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随机过程测试题二答案1．以1T 表示泊松过程}0),({≥t t N 中事件首次发生的时刻，则对于t s ≤，求条件概率}1)(|{1=≤t N s T P解： ==≤}1)(|{1t N s T P ts .（细节请查书） （5分） 2．设{N (t ), t ≥0}是强度为λ的泊松过程，N (t )表示到时刻t 为止事件A 发生的次数，则对任意t s <≤0，求),(),(t DN t EN )).(),(cov(s N t N解：t t DN t EN λ==)()(； （5分） .))(),(cov())(),(-)(cov())(),(cov(s s N s N s N s N t N s N t N λ=+= （5分）3．设某公交车站从早晨5时至晚上21时有车发出．从5时至8时乘客的平均到达率呈现性增加，5时乘客的平均到达率为200人/小时，8时乘客的平均到达率为1400人/小时；8时至18时乘客的平均到达率不变；18时至21时乘客的平均到达率线性减少，到21时为200人/小时．假定在不相重叠的时间间隔内到达车站的乘客数相互独立．求（1）12时至14时恰有2000名乘客到车站的概率；（2）这两小时内到车站的乘客平均数．解：以N (t )表示0时到t 时到达的乘客数，则211818885),18(4001400,1400),5(400200)(≤≤<<≤≤⎪⎩⎪⎨⎧---+=t t t t t t λ,（1）).21400(~)12()14(⨯-P N N==-}2000)12()14({N N P !2000280020002800⋅-e ； （5分） （2）2800)]12()14([=-N N E ． （5分）4．假定某天文台观测到的流星流是一个泊松过程，据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流星. 试求（1）在上午8点到12点期间，该天文台没有观察到流星的概率.（2）下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间的分布函数.解：（1）设早晨8时为0时刻，以N (t )表示0时到t 时观测到的流星数，则N (t )是强度为3（颗/小时）的泊松过程．).43(~)0()4(⨯-P N N==-}0)0()4({N N P 12-e ； （5分）（2）记下午（12点以后）该天文台观察到第一颗流星的时间为1T ，则其密度函数为.0,3)(3≥=-t e t f t相应的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(3t t e t F t ． （5分） 5．保险公司接到的索赔次数是一个泊松过程{N (t )，t ≥0}, 每次的赔付金额{Y n }是一族独立随机变量序列，且有相同分布F ，索赔数额与它发生的时刻无关．则在(0,t ]时间内保险公司赔付的总金额可表示为∑=)(1t N i i Y （5分）；若保险公司以平均每月两次的速率接到索赔要求,每次赔付为均值是2000元的正态分布,则它的年平均赔付金额为48000元（5分）.解：2000元×2×12=48000元6． 设到某电影院的观众服从强度为λ的泊松流，如果电影在时刻t 开演，求在(0,t ]时间内到达电影院的观众等待开演的时间总和的均值.解：假设以强度为λ的泊松过程{N (t )，t ≥0}来到某电影院，火车在时刻t 启程． 计算在(0,t ]时间内到达的乘客的等待时间的总和的期望值.解1：以T n 记第n 位观众的来到时刻，则所求为∑=-)(1)(t N i i T t E.22])(|[])(|)([)(1)(1nt nt nt n t N T E nt n t N T t E t N i i t N i i =-==-==-∑∑== （5分） ∑∑∑+∞=====-=-0)(1)(1})({])(|)([)(n t N i i t N i i n t N P n t N T t E T t E.2)!1()(2!)(221120t e n t t e n t nt n t n n t nλλλλλλ=-==∑∑+∞=--+∞=- （5分） 7．某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t et t t X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Utt Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
4030(30)((1)40)!kk P N ek -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
一．填空题〔每空2分，共20分〕2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t2t,;e,e ⎫⎬⎭。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，假设ii f1<，称状态i 为非常返的。
9．非周期的正常返状态称为遍历态。
三．计算题〔每题10分，共50分〕1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t Tπ⎧⎨⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1p(H)=p(T)=2，求〔1〕{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；〔2〕一维分布函数F(x;0),F(x;1)。
解：〔1〕样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； 〔2〕当t=0时，{}{}1P X(0)=0P X(0)=12==， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0x<-11F(x;1)=1x<12x 11⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。
（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】 （1（2F (（3(F （4，（1)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。
令R t W t X +=)()(，求随机过程{}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同1题。
依题意，|)|,0(~)(2t N t W σ，)4,1(~N R ，因此R t W t X +=)()(服从于正态分布。
故：均值函数1)()(==t EX t m X ；相关函数5)]()([),(==t X s X E t s R X ；协方差函数4)]}()()][()({[),(=--=t m t X s m s X E t s B X X X （当t s =时为方差函数） 3、（10分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。
随机过程试题及答案一、选择题1. 随机过程是研究什么的对象？A. 确定性系统B. 随机性系统C. 静态系统D. 动态系统答案：B2. 下列哪项不是随机过程的特点？A. 可预测性B. 随机性C. 连续性D. 状态的不确定性答案：A3. 随机过程的数学描述通常使用什么？A. 概率分布B. 微分方程C. 差分方程D. 以上都是答案：A4. 马尔可夫链是具有什么特性的随机过程？A. 独立性B. 无记忆性C. 均匀性D. 周期性答案：B5. 以下哪个是随机过程的数学工具？A. 傅里叶变换B. 拉普拉斯变换C. 特征函数D. 以上都是答案：D二、简答题1. 简述什么是随机过程的遍历性。
答：遍历性是随机过程的一种特性，指的是在足够长的时间内，随机过程的统计特性不随时间变化而变化，即时间平均与遍历平均相等。
2. 解释什么是泊松过程，并给出其主要特征。
答：泊松过程是一种计数过程，它描述了在固定时间或空间内随机发生的事件次数。
其主要特征包括：事件在时间或空间上独立发生，事件的发生具有均匀性，且在任意小的时间段内，事件发生的概率与该时间段的长度成正比。
三、计算题1. 假设有一个泊松过程，其平均事件发生率为λ。
计算在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率。
答：在时间间隔[0, t]内恰好发生n次事件的概率由泊松分布给出，公式为：\[ P(N(t) = n) = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^n}{n!} \]2. 考虑一个具有两个状态的马尔可夫链，其状态转移概率矩阵为：\[ P = \begin{bmatrix}p_{11} & p_{12} \\p_{21} & p_{22}\end{bmatrix} \]如果初始时刻在状态1的概率为1，求在第k步时处于状态1的概率。
答：在第k步时处于状态1的概率可以通过马尔可夫链的状态转移矩阵的k次幂来计算，即：\[ P_{11}^{(k)} = p_{11}^k + p_{12} p_{21} (p_{11}^{k-1} + p_{12} p_{21}^{k-2} + \ldots) \]四、论述题1. 论述随机过程在信号处理中的应用及其重要性。
《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
一、设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确定的t对应随机变量X(t)t3te如果对如果对t时取得红球t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族.设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
设随机过程X(t)U cos2t U E(U)5，D(U)5.求：，其中是随机变量，且（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数.设有两个随机过程X(t)Ut2Y(t)Ut3,U随机变量，且D(U)5.，其中是试求它们的互协方差函数。
设A,B,X(t)At3B t T(,)的均值是两个随机变量试求随机过程，函数和自相关函数.A,B,~(1,4),~(0,2),()(,)若相互独立且A N B U则m X t及R X t1t2为多少？一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令N(t)表示(0,t)时间内的体检人数，则N(t)为参数为30的poisson过程。
以小时为单位。
则E(N(1))30。
40k(30) P(N(1)40)ek!k030。
在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1，2，当1路公共汽车有N人乘坐后出发；2路公共汽车1在有N2人乘坐后出发。
设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当N1=N，1=22时，计算上述概率。
