2019届高考数学二轮复习仿真冲刺卷三文

仿真冲刺卷(三)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,若a+bi=-(a,b∈R),则a+b的值是( )(A)0 (B)-i (C)- (D)2.设集合A={-1,0,1,2,3},B={x||x|≤2},则A∩B等于( )(A){-1,0,1,2} (B){-2,-1,0,1,2} (C){0,1,2} (D){1,2}3.已知a=log35,b=log30.6,c=0.21.2,则( )(A)b<c<a (B)a<c<b (C)c<b<a (D)a<b<c4.如图是近三年某市生产总值增速(累计,%)的折线统计图,据该市统计局初步核算,2018年一季度全区生产总值为1 552.38亿元,与去年同一时期相比增长12.9%(如图,折线图中其他数据类同).根据统计图得出正确判断是( )第4题图(A)近三年该市生产总值为负增长(B)近三年该市生产总值为正增长(C)该市生产总值2016年到2017年为负增长,2017年到2018年为正增长(D)以上判断都不正确5.已知M是△ABC所在平面内一点,++4=0,现将一个质点随机撒在△ABC内,则质点落在△MBC内的概率是( )(A)(B)(C)(D)6.已知函数f(x)=cos(4x-),将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向右平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的一个单调递增区间为( )(A)[-,] (B)[-,] (C)[,] (D)[,]7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为( )第7题图(A)64- (B)64-8π (C)64- (D)64-8.已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )(A)有最小值-1,最大值1 (B)有最大值1,无最小值(C)有最小值-1,无最大值(D)有最大值-1,无最小值9.如果实数x,y满足关系又≥λ恒成立,则λ的取值范围为( )(A)(-∞,] (B)(-∞,3] (C)[,+∞) (D)(3,+∞)10.定义[x]表示不超过x的最大整数,(x)=x-[x],例如[2.1]=2, (2.1)=0.1,执行如图所示的程序框图,若输入的x=5.8,则输出的z等于( )(A)-1.4 (B)-2.6 (C)-4.6 (D)-2.811.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点F,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(-3,t),|MF|=,则双曲线的离心率为( )(A)(B)(C)(D)12.(2018·湖南联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),若对任意的正实数x,都有xf′(x)+2f(x)>0恒成立,且f()=1,则使x2f(x)<2成立的实数x的集合为( )(A)(-∞,-)∪(,+∞) (B)(-,)(C)(-∞,) (D)(,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为.14.在三棱锥P ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥的外接球的表面积为.15.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ABC=,则b的值为.16.(2017·湖北联考)设函数f(x)=若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N*).(1)证明数列{}为等差数列;(2)求S1+S2+…+S n.18.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2a,DA=a,E为BC中点.(1)求证:平面PBC⊥平面PDE;(2)线段PC上是否存在一点F,使PA∥平面BDF?若存在,请找出具体位置,并进行证明:若不存在,请分析说明理由.19.(本小题满分12分)(2018·孝义模拟)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量y(袋),(1)根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程y=x+;(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为C=投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L=销售收入-原材料费用)参考公式:==,=-.参考数据:x i y i=1343,=558,=3 237.20.(本小题满分12分)(2018·安庆一中模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是E,F,离心率e=,过点F的直线交椭圆C于A,B两点,△ABE的周长为16.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O为原点,圆D:(x-3)2+y2=r2(r>0)与椭圆C交于M,N两点,点P为椭圆C上一动点,若直线PM,PN与x 轴分别交于G,H两点,求证:|OG|·|OH|为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a<0).(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程(2018·宜昌调研)在极坐标系中,已知圆C的极坐标方程为ρ= 4cos θ,以极点为原点,极轴方向为x轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)已知点M(,0),直线l与圆C交于A,B两点,求||MA|-|MB||的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)解不等式f(x)>0;(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.1.D 因为a+bi=-==,所以a=,b=0,a+b=.2.A 因为集合A={-1,0,1,2,3},B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={-1,0,1,2}.故选A.3.A 由题意得a=log35>1,b=log30.6<0,0<c=0.21.2<1,所以b<c<a.故选A.4.B 由折线统计图可知,增长率都是大于0的,故近三年该市生产总值为正增长,故选B.5.C由++4=0得+=-4,设BC边的中点为D,则2=-4,即=-2,=,=,所以质点落在△MBC内的概率是,故选C.6.B 函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得y=cos(2x-),再将所得函数图象向右平移个单位,得g(x)=cos[2(x-)-]=cos(2x-)=sin 2x,由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以[-,]符合.故选B.7.C根据三视图画出该几何体的直观图.该几何体是一个棱长为4的正方体切去一个圆柱和一个圆锥.圆锥、圆柱底面半径为2,高为4.所以V=43-(4×22π+×22π×4)=64-π.故选C.8.C 作出函数g(x)=1-x2和函数|f(x)|=|2x-1|的图象如图1所示,得到函数h(x)的图象如图2所示,由图象得出函数h(x)有最小值-1,无最大值.9.A 设z==2+,z的几何意义是区域内的点到D(3,1)的斜率值加2,作出实数x,y满足关系对应的平面区域如图:由图形,可得C(,),由图象可知,直线CD的斜率最小值为=-,所以z的最小值为,所以λ的取值范围是(-∞,].故选A.10.C 模拟程序的运行,可得x=5.8,y=5-1.6=3.4,x=5-1=4;满足条件x≥0,执行循环体,x=1.7,y=1-1.4=-0.4,x=1-1=0;满足条件x≥0,执行循环体,x=-0.2,y=-1-1.6=-2.6,x=-1-1=-2;不满足条件x≥0,退出循环,z=-2+(-2.6)=-4.6.输出z的值为-4.6.故选C.11.C 由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(,0),准线方程为x=-,由M在抛物线的准线上,则-=-3,则p=6,则焦点坐标为F(3,0),所以|MF|==,则t2=,解得t=±,双曲线的渐近线方程是y=±x,将M代入渐近线的方程=3×,即=,则双曲线的离心率为e===,故选C.12.C构造函数g(x)=x2f(x),当x>0时,依题意有g′(x)= x[xf′(x)+2f(x)]>0,所以函数g(x)在x>0上是增函数,由f(x)是奇函数,可知g(x)也是R上的奇函数,故g(x)在x<0时,也为增函数,且g(0)=0,g()=2f()=2,所以不等式x2f(x)<2⇔g(x)<g(),根据单调性有x<,故选C.13.解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,故所求圆的圆心为(1,0),半径为2,所以该圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=414.解析:由题知,三棱锥P ABC的外接球的直径为=,则球的表面积为4π()2=14π.答案:14π15.解析:由正弦定理知==.所以a= c.又sin B=,则由S△ABC=acsin B=×c×c×==.故c2=4,则c=2.此时a=5.由sin B=及B为锐角知cos B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=14.故b=.答案:16.解析:若x<1时,函数h(x)=3x-a有一个零点,则0<a<3,而此时函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)只有一个零点, 所以解得≤a<,若x<1时,函数h(x)=3x-a没有零点,则a≤0或a≥3,函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)必有两个零点,所以a≥3,综上,a∈[,)∪[3,+∞).答案:[,]∪[3,+∞)17.(1)证明:由条件可知,S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,整理得-=1,所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,=1+n-1=n,即S n=n·2n,令T n=S1+S2+…+S n=1·2+2·22+…+n·2n,①2T n=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-T n=2+22+…+2n-n·2n+1,整理得T n=2+(n-1)·2n+1.18.(1)证明:连接BD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=a,DA=a,所以BD=DC=2a,E为BC中点,所以BC⊥DE.又因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥PD.因为DE∩PD=D,所以BC⊥平面PDE.因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDE.(2)解:当点F位于PC三分之一分点(靠近P点)时,PA∥平面BDF.连接AC,AC与BD交于O点, AB∥CD,所以△AOB∽△COD.又因为AB=DC,所以AO=OC,从而在△CPA中,AO=AC,而PF=PC,所以OF∥PA,而OF⊂平面BDF,PA⊄平面BDF,所以PA∥平面BDF.19.解:(1)由所给数据可得==10.4,==25,===2.5,=-=25-2.5×10.4=-1,则y关于x的线性回归方程为y=2.5x-1.(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当x=15时,y=36.5,即预计需要原材料36.5袋,因为C=当t=35时,利润L=700×35-(400×35-20)=10 520;当t=36时,利润L=700×36-380×36=11 520,当t=37时,利润L=700×36.5-380×37=11 490.综上所述,餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为11 520元.20.(1)解:由题意得4a=16,则a=4,由=,解得c=,则b2=a2-c2=9,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由条件可知,M,N两点关于x轴对称,设M(x1,y1),P(x0,y0),则N(x1,-y1),由题可知,+=1,+=1,所以=(9-),=(9-).又直线PM的方程为y-y0=(x-x0),令y=0得点G的横坐标x G=,同理可得H点的横坐标x H=.所以|OG|·|OH|=16,即|OG|·|OH|为定值.21.解:(1)对函数求导数,得f′(x)=-(x>0),依题意,得f′(x)<0在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在x>0时有解.所以Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.再结合a<0,得-1<a<0.(2)a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+ln x-b=0.设g(x)=x2-x+ln x-b,则g′(x)=,所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,4)时,g′(x)>0.得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以g(x)的极小值为g(2)=ln 2-b-2;g(x)的极大值为g(1)=-b-,g(4)=-b-2+2ln 2; 因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,所以解之得ln 2-2<b≤-.22.解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.由消去t得x-y-=0,所以直线l的普通方程为2x-2y-1=0.(2)显然直线l过点M(,0),将代入圆C的直角坐标方程x2+y2-4x=0得t2-t-=0,则t1+t2=,t1t2=-<0,根据直线参数方程中参数的几何意义知||MA|-|MB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.23.解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,即4x2-4x+1>x2+4x+4,3x2-8x-3>0,解得x<-或x>3.所以不等式f(x)>0的解集为{x|x<-或x>3}.(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=故f(x)的最小值为f=-,因为∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,所以4m-2m2>-,解得-<m<.即m的取值范围为(-,).。

执行如图所示的程序框图，当输入的．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记4}，则P(B|A)．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为.423是函数f(x)(x ∈R )的导函数，(x )的解集是( )⎭⎪⎫ln2，＋∞18.(本小题满分12分)已知从A地到B地共有两条路径L1和L2，据统计，经过两条路径所用的时间互不影响，且经过L1与L2所用时间落在各时间段内的频率分布直方图分别如图1和图2.现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地到B地．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB ⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠P AD＝45°，E为P A的中点．(1)求证：DE∥平面PBC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，请说明理由．323本题的突破点是由三视图得几何体的直观图．本题考查导数在函数中的应用．设为3f(x)＝f′(x)，N(－2,0)，则∠NFM －1，直线MN的方程为本题的突破点是特殊值法的应用．本题考查函数的图象与性质、数形结合思想的应用．方程有两个不同实根等价于函数f(象有两个不同的交点．在平面直角坐标系内画出函数＝kx＋1恒过定点考虑构造空间直角坐标系，利用空间向量进行计算．的中点M，连接EM，∴CN∥DA，CDAN为平行四边形，AN＝6，在Rt△BNC。

年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析2018卷Ⅲ三视图·T 3数学文化题是近几年课标全国卷中出现的新题型，预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易.2017卷Ⅰ中国古代太极图与几何概型·T 2 卷Ⅱ数列求和·T 3 2016卷Ⅱ秦九韶算法·T 8立体几何中的数学文化题立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等．[典型例题](1)(2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．(2)(2018·黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面面积．其意：如果两个等高的几何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，一个焦点为(5，0)．直线y ＝0与y ＝3在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形OABN ，则它绕y 轴旋转一圈所得几何体的体积为________．【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A -BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A ­BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.(2)由题意可得双曲线的方程为x 2－y 24＝1，直线y ＝3在第一象限内与渐近线的交点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，3，与双曲线在第一象限内的交点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，3，在所得几何体中，在高为h 处作一截面，则截面面积为π⎝⎛⎭⎫1＋h 24－h24＝π，根据祖暅原理，可得该几何体的体积与底面面积为π，高为3的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为3π.【答案】 (1)12π (2)3π(1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积．此类问题源于生活中的盖房问题．这将引领师生关注生产、生活中的社会问题，体现数学文化“以数化人”的功能．对于其他几何体，如“刍童”“羡除”等，需要给予关注．(2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人教A 版《必修2》教材第30页专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华优秀传统文化．[对点训练]《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113解析：选A.依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A.数列中的数学文化题数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[典型例题](1)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A.507斗粟 B.107斗粟 C.157斗粟 D.207斗粟 (2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86【解析】 (1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5，解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C.法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C. (2)由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C.【答案】 (1)C (2)C解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A.76钱B.56钱C.23钱 D.1钱解析：选D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D.算法中的数学文化题算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图．[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)( )A ．12B ．24C ．36D ．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a ＝110011，k ＝2，n ＝7，则输出的b ＝( )A ．19B ．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B.(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C.【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6C．7 D．30解析：选C.a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a ＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a＝12，b＝3，a＝12－3＝9，n＝4＋1＝5；a＝b不成立，a>b成立，a＝9－3＝6，n＝5＋1＝6；a＝b不成立，a>b成立，a＝6－3＝3，n＝6＋1＝7；a＝b成立，输出的kb＝6，n＝7.概率中的数学文化题概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型和几何概型．[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A.13B.14C.15D.16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A.136B.118C.112D.19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝39＝13.故选A.(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B.【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A.π15 B.2π5 C.2π15D.4π15解析：选C.因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C.三角函数中的数学文化题三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换．[典型例题](2018·益阳、湘潭调研)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A.32 B.34 C.52D.54【解析】 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2＋1）2（2－1）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B. 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练]第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，那么tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________．解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5，1，于是有5sin θ－5cos θ＝1(0<θ<π2)，即有sin θ－cos θ＝15.从而(sin θ＋cos θ)2＝2－(sin θ－cos θ)2＝4925，则sin θ＋cos θ＝75，因此sin θ＝45，cos θ＝35，tan θ＝43，故tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝－7.答案：－7函数中的数学文化题函数中的数学文化题一般以中华优秀传统文化为背景，考查函数的图象与性质．[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O 的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个； ②函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)可以是某个圆的“太极函数”； ③正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y ＝f (x )是“太极函数”的充要条件为函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形． 其中正确的命题为( )A ．①③B ．①③④C ．②③D ．①④【解析】 过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O ，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f (x )＝ln(x 2＋x 2＋1)的图象如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确； 函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图，故④错误．故选A.【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练]在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A.如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD . 因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x 3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3，所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A.一、选择题1．(2018·合肥模拟)我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B.2．(2018·益阳、湘潭调研)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为( )A ．15B ．16C ．47D ．48解析：选D.执行程序框图，n ＝3，x ＝3，v ＝1，i ＝2≥0，v ＝1×3＋2＝5，i ＝1≥0，v ＝5×3＋1＝16，i ＝0≥0，v ＝16×3＋0＝48，i ＝－1<0，退出循环，输出v 的值为48.故选D.3．(2018·沈阳教学质量监测(一))刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )A.334πB.332πC.12πD.14π解析：选B.如图，在单位圆中作其内接正六边形，则所求概率P ＝S 六边形S 圆＝34×12×6π×12＝332π.4．(2018·高考北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：选D.从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }，则第八个单音频率为a 8＝f (122)8－1＝1227f ，故选D.5．(2018·潍坊模拟)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：选C.由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．6．(2018·惠州第二次调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名 符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：选B.由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.7．(2018·兰州模拟)刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方，得两堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积之比为定值2∶1，这一结论今称刘徽原理．如图是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.3π2C ．3πD ．4π解析：选B.由三视图得阳马是一个四棱锥，如图中四棱锥P -ABCD ，其中底面是边长为1的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD 且P A ＝1，所以PC ＝3，PC 是四棱锥P -ABCD 的外接球的直径，所以此阳马的外接球的体积为4π3⎝⎛⎭⎫323＝3π2，故选B.8．(2018·唐山五校联考)割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这是公元三世纪我国古代数学家刘徽大胆地应用以直代曲、无限趋近求圆周率的思想方法．现利用刘徽的“割圆术”思想设计一个计算圆周率的近似值的程序框图(如图)．若输入的a ＝3，n ＝10，则输出的n ＝( )A ．20B ．40C ．80D ．160参考数据：α 36° 18° 9° 4.5° sin α0.587 80.309 00.156 40.078 5解析：选B.当a ＝3，n ＝10时，b ＝3，a ＝12×10sin 360°10＝2.939，此时|a －b |＝0.061>0.05，不满足条件，则n ＝20，b ＝2.939，a ＝12×20×sin 360°20＝3.090，此时|a －b |＝0.151>0.05，不满足条件，则n ＝40，b ＝3.090，a ＝12×40×sin 360°40＝3.128，此时|a －b |＝0.038<0.05，满足条件，故输出的n ＝40.故选B. 9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式：设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.若a 2sin C ＝4sinA ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( )A. 3 B ．2 C ．3D. 6解析：选A.根据正弦定理，由a 2sin C ＝4sin A ，得ac ＝4.再结合(a ＋c )2＝12＋b 2，得a 2＋c 2－b 2＝4，则S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222＝16－44＝3，故选A. 10．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A.392B.752C ．39D.6018解析：选B.设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B.11．(2018·昆明模拟)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现在一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.16π3 B ．6π C ．8πD ．16π解析：选C.由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝12×4×4×π＝8π，故旋转体D 的体积为8π，故选C.12．(2018·郑州第一次质量预测)刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图为一个刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为( )A ．24B ．32 5C ．64D ．32 6解析：选B.由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S 四边形ABED ＝S 四边形ACFD ，S △ABC ＝S △DEF .过点A 向平面BCFE 作垂线，垂足为A ′，作AM ⊥CF 于点M ，作AN ⊥BC 于点N ，连接A ′N ，易知AA ′＝4，A ′N ＝CM ＝8－42＝2，CN ＝12BC ＝2.在Rt △AA ′N 中，AN ＝AA ′2＋A ′N 2＝42＋22＝25，在Rt △ANC 中，AC＝CN 2＋AN 2＝22＋（25）2＝26，在Rt △AMC 中，AM ＝AC 2－CM 2＝（26）2－22＝2 5.所以S四边形ACFD ＝12×(4＋8)×25＝125，S △ABC＝12×BC ×AN ＝12×4×25＝4 5.所以该茅草屋顶的面积为2×125＋2×45＝325，故选B.二、填空题13．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)．解析：由题意得，蒲草的长度组成首项为a 1＝3，公比为12的等比数列{a n }，设其前n 项和为A n ；莞草的长度组成首项为b 1＝1，公比为2的等比数列{b n }，设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12，B n ＝2n －12－1，令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝2n －12－1，化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *)，解得2n ＝6，所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2≈3，即第3天时蒲草和莞草长度相等．答案：314．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n ＝________．解析：第一次循环，得S ＝2，否；第二次循环，得n ＝2，a ＝12，A ＝2，S ＝92，否；第三次循环，得n＝3，a ＝14，A ＝4，S ＝354，否；第四次循环，得n ＝4，a ＝18，A ＝8，S ＝1358＞10，是，输出的n ＝4.答案：415．(2018·广州调研)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1＝1，S 2＝2，S 3＝2，S 4＝4，…，则S 126＝________．解析：题图②中的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，有1个1，第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1，第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第n 次全行的数都为1的是第2n－1行，有2n－1个1.第1行，1个1，第2行，2个1，第3行，2个1，第4行，4个1；第1行1的个数是第2行1的个数的12，第2行与第3行1的个数相同，第3行1的个数是第4行1的个数的12；第5行，2个1，第6行，4个1，第7行，4个1，第8行，8个1；第5行1的个数是第6行1的个数的12，第6行与第7行1的个数相同，第7行1的个数是第8行1的个数的12.根据以上规律，当n ＝8时，第28－1行有128个1，即S 128＝128，第127行有64个1，即S 127＝64，第126行有64个1，即S 126＝64. 答案：6416．我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于五世纪末提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“势”是几何体的高，“幂”是截面积．意思是，两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．现有下题：在xOy 平面上，将两个半圆弧(x －1)2＋y 2＝1(x ≥1)和(x －3)2＋y 2＝1(x ≥3)、两条直线y ＝1和y ＝－1围成的封闭图形记为D ，如图所示阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0，y )(|y |≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为4π1－y 2＋8π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．解析：根据提示，一个底面半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面积为8π的长方体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π·12·2π＋2·8π＝2π2＋16π.答案：2π2＋16π。

2019年辽宁省鞍山一中高考数学三模试卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知复数，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再利用复数模的运算公式，即可求解．【详解】由题意，复数，所以，故选：A．【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.设集合，则等于（）A. [﹣1，1]B. （﹣1，0）C. [1，3）D. （0，1）【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和指数函数的性质，求解集合，再根据集合的运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合，又，全集，所以．所以．故选：C．【点睛】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.设是公差为﹣1的等差数列，是前n项的和，若成等比数列，则＝（）A. 2B. ﹣2C.D.【答案】D【解析】∵是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，∴，，，由成等比数列，得：，即，解得：，故选D.4.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可得到目标函数的最大值，得到答案．【详解】由题意，满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数，∴，故的最大值是7，故选：C．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，，第二次执行程序后，，第三次执行程序后，，第四次次执行程序后，，不成立，跳出循环，输出，故选A.6.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求双曲线渐近线方程，再根据垂径定理得圆心到渐近线的距离，最后解方程得离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则，化，，故选：．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程、离心率以及直线与圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题.7.刘徽《九章算术•商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，再根据长方体的性质，即可求解的球的半径，利用体积公式，即可求解． 【详解】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1， ∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1， ∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为.故选：B ．【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用问题，其中解答中根据三视图换原几何体，以及根据三视图的数量关系，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，及运算与求解能力，属于中档题．8.设、是夹角为的单位向量，则和的夹角为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，因为、是夹角为的单位向量，∴，则，，，∴和的夹角α满足，即，故选：B．【点睛】本题主要考查了向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.已知数列：…依它的前10项的规律，这个数列的第2019项满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设数列的第2019项在第n组中，根据分组的规律和等差数列的求和公式，得到不等式，即可求解．【详解】由题意，将此数列分组为…第n组有n个数，设数列的第2019项在第n组中，由等差数列前n项和公式可得：，解得，则前63组共，即在第64组的第3项，即，故选：B．【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中认真审题，根据题意，合理作出归纳，得到计算的规律是解答的关键，着重考查了阅读观察能力及归纳推理能力，属于中档试题．10.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（）A. ﹣2B. ﹣1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得的值，即可得到答案．【详解】由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，则，即，则，即是周期为4的周期函数，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数，乙获得“最佳手气”的概率．故选：A．【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.已知函数有三个极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数有三个极值点，转化为有三个不同的实根，得到，进而得到有两个不等于﹣1的根，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数的导数，若函数有三个极值点，等价为有三个不同的实根，即，即，则，所以有两个不等于﹣1的根，则，设，则，则由得x＞1，由得且，则当时，取得极小值，当时，，作出函数，的图象如图，要使有两个不同的根，则满足，即实数a的取值范围是．故选：C．【点睛】本题主要考查了函数极值的应用，根据极值个数转化为的根，以及利用构造法以及参数分离法转化求函数的取值范围是解决本题的关键，综合性较强有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_____．【答案】【解析】试题分析：由可得，所以该抛物线的焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义可得，所以．考点：抛物线的定义及其标准方程．14.设等差数列满足，则数列的前n项的和等于_____．【答案】【解析】【分析】由，求出等差数列的通项公式，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】是等差数列，，，即，，，前项和为，故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.15.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_____．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，，，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.16.四边形中，，且，则对角线长为_____．【答案】【解析】【分析】设，在中和中，分别应用余弦定理，列出关于的方程，即可求解．【详解】由题意，设，由，则，在中，，由余弦定理得；在中，，由余弦定理得；∵，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的x的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）函数的最大值为4，．【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换的公式，化简函数＝，再利用三角函数的性质，即可求解；（Ⅱ）由函数最小值为2，求得m的值，得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，即可求解．【详解】（Ⅰ）由于函数＝＝，∴最小正周期为．令，解得，故函数的单调增区间为．（Ⅱ）当时，的最小值为2，则，解得：．所以：，则函数的最大值为4，当，解得：．【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角恒等编号的的公式化简得出函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．18.2021年，辽宁省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分．为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查．（1）已知抽取的n名学生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的2×2列联表：请将如表的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中技分层抽样再抽出6名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这6名女生中再抽取3人，求这3人中选择“历史”的人数为2人的概率．参考公式：【答案】（1），男生人数为：55人；（2）没有95%的把握（3））【解析】【分析】（1）根据分层抽样的方法得，解得，进而求解男生的人数；（2）由题意，得出2×2列联表，利用公式求得，对比附表，即可得到结论；（3）由题意，得到有4人选择物理，2人选择历史，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】（1）由题意，根据分层抽样的方法，可得，解得，所以男生人数为：人．（2）2×2列联表为：，所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关．（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为，2人选择历史，设为A，B，从中选取3人，共有20种选法，其中由2人选择历史的有4种，故这3人中有2人选择历史的概率为：．【点睛】本题主要考查了对立性检验的应用，以及古典概型及其概率的计算和分层抽样的应用，其中解答中认真审题，合理利用利用公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．19.如图，正三棱柱中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，N是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANB1⊥平面AA1B1B．（2）求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱锥B1﹣ANB的高．【详解】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长AA1＝2，底面边长AB＝1，N是CC1的中点．∴以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），N（0，1，），B1（，2，0），（），（﹣1，2，0），设平面ANB1的法向量（x，y，z），则，取y＝1，得（2，1，0），平面AA1B1B的法向量（0，0，1），∵0，∴平面ANB1⊥平面AA1B1B．（2）B（，0，0），（﹣1，0，0），设平面ABN的法向量（x，y，z），则，取z＝2，得（0，，2），∴点B1到平面ANB的距离d．∴三棱锥B1﹣ANB的高为．【点睛】本题考查了利用空间向量解决面面垂直的证明及三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知函数．（1）证明：当时，恒成立；（2）若函数在R上只有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）对函数求导，得到函数的最小值为2，即可证明.（2对a分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．【详解】（1）f′（x）=，令f′（x）=0，得到x=0,当x<0时，f′（x）<0，单调递减，当x>0时，f′（x）>0，单调递增,∴在x=0处取得最小值.,∴.（2）当a=0时，>0恒成立，无零点，与题意不符；当a<0时，f′（x）=,在R上单调递增,又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时，=e>0，根据零点存在性定理，在R上有唯一零点，当a>0时，f′（x）=令f′（x）=，x=lna,，f(x)单减，，f(x)单增，在x=lna处取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，Lna=2，所以a=∴当a<0或a=时，在R上有唯一的零点.【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度．21.如图，在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为为线段的中点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）四边形内接于椭圆，．记直线的斜率分别为，求证：为定值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】，，线段AB的中点从而，由，求出，由此能求出椭圆的离心率；椭圆的标准方程为，，，直线BC的方程为，联立直线BC和椭圆方程得到点C坐标，联立直线AD和椭圆方程，得，，代入点坐标化简，由此能证明为定值．【详解】，，线段AB的中点，，解得，．，椭圆的离心率．证明：由得椭圆的标准方程为，，，直线BC的方程为，联立，得，解得，，即，直线AD的方程为联立，化，，解得，，，，化为，，为定值．【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查两线段的斜率乘积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.已知直线l的参数方程为，点在直线上．（1）求m的值；（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线与直线l交于两点，求的值．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由点在直线上，代入直线的参数方程，即可求解；（2）根据极坐标与直角坐标的互化公式，曲线的方程，把直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义，即可求解．【详解】（1）由直线的参数方程为，因为点在直线上，故代入直线的参数方程得到：．（2）曲线，根据极坐标与直角坐标的互化，可得直角坐标方程为：，由于圆与直线交于两点，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，所以（和为对应参数）．故．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.设函数．（1）若，求a的取值范围；（2）若对恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由不等式，即，分类讨论，即可求解．（2）由，利用绝对值的三角不等式，求得的最小值2，再由，恒成立，即可得到实数m的取值范围．【详解】（1）由题意，可得，则不等式，即，等价于或，解得或，故a 的取值范围为（2）由，则∵时，，当且仅当时取等号，∴恒成立，∴．【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21。

2019届高考数学仿真模拟试卷及答案（三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅱ卷第22题为选考题,其他题为必考题.共150分,考试时间120分钟. 参考公式:如果事件A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果A B 互相独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复所以试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn nP k C P P -=-.球的表面积公式24S R π=,其中R 表示球的半径.球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集},{},,,{},,,{},,,,,{b a e b a B e d c A e d c b a U 则集合===可表示为A ．B AB ．B AC ),(C ．A B C U ),(D ．)(B A C U2．已知απαπαtan ),0,2(,31)2sin(则-∈=+= A ．22- B ．22 C ．42-D ．42 3.．已知命题p x R x p ⌝>+∈∀则,012,:2是A ．012,2≤+∈∀x R x B ．012,2>+∈∃x R xC ．012,2<+∈∃xR xD ．012,2≤+∈∃xR x4．设θθθπθ则,sin cos 331,0i ii+=++<<的值为A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π5.．若函数))4(,4(,cos )(f x x f 则函数图像在点=处的切线的倾斜角为A ．90°；B ．0°；C ．锐角；D ．钝角.6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性？ ()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁7、设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( ) （A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=8、如右图所示的5×5正方形表格中尚有20个空格， 若在每一个空格中填入一个正整数，使得每一行和每 一列都成等差数列，则字母a 所代表的正整数是 A.16 ; B.17; C.18; D.19;9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则E ξ等于A ．53B ．158 C ．1514-D ．110.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(A)1; (B)12; (C)13; (D)1611．对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．)2,(--∞;B ．[)+∞-,2;C ．]2,2[-;D ．[)+∞,012.2002年8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ, 大正方形面积是1, 小正方形面积是251, 则θθ22cos sin -的值是A. 1 ;B. 257 ;C. 2524;D. 257-左视图主视图第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13．若点0214)1,3(22=--+x y xP 是圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是14.在如下程序框图中，输入0()cos f x x =，则输出的是__________. 3＝ 。

2019届全国新高考原创仿真试卷（三）数学（文科）本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，若是复数的共轭复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意结合复数的运算法则有：.本题选择A选项.2. 已知集合，则的真子集个数为（）A. 1B. 3C. 5D. 7【答案】B【解析】联立解得，则有两个元素，真子集个数为故选3. 已知变量之间满足线性相关关系，且之间的相关数据如下表所示：则（）A. 0.8B. 1.8C. 0.6D. 1.6【答案】B【解析】由题意，，代入线性回归方程为，可得故选4. 下列说法中，错误的是（）A. 若平面平面，平面平面，平面平面，则B. 若平面平面，平面平面，则C. 若直线，平面平面，则D. 若直线平面，平面平面平面，则【答案】C【解析】选项C中，若直线，平面平面，则有可能直线在平面内，该说法存在问题，由面面平行的性质定理可得选项A正确；由面面垂直的性质定理可得选项B正确；由线面平行的性质定理可得选项D正确；本题选择C选项.5. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设抛物线的准线为，作直线于点，交轴于由抛物线的定义可得：，结合可知：，即，据此可知抛物线的方程为：.本题选择D选项.点睛：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．6. 运行如图所示的程序框图，输出的（）A. 4B.C.D.【答案】C【解析】循环依次为 ;,结束循环,输出选C.7. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】代入，，则直线单调递减，又函数存在最小值则且，解得故选8. 已知，则（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】由题意可知：，则：，结合诱导公式有：，，据此可得：.本题选择C选项.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 27B. 36C. 48D. 54【答案】D【解析】该几何体为一个边长为3的正方体与两个边长为3的一半正方体的组合体,体积为,选D.10. 现有六支足球队参加单循环比赛（即任意两支球队只踢一场比赛），第一周的比赛中，各踢了3场，各踢了4场，踢了2场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，则在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】依据题意：踢了场，队与队未踢过，则C队参加的比赛为：；D踢了场，队与队也未踢过，则D队参加的比赛为：；以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，则在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共11场：，，则队踢的比赛的场数是.本题选择D选项.11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点为双曲线的左焦点，过点作垂直于轴的直线分别在第二、三象限交双曲线于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（）A. 3B.C.D. 2【答案】A【解析】由题意得选A.12. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为和都是偶函数,问题可以转化为当时，恒成立，在同一坐标系中画出及的图像如图所示，易知，当时，，，又，在上，恒成立，故恒成立，故，故选C.点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用函数的奇偶性，将解不等式的问题转化为两函数图象在上的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过先猜后证的方式得到结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量满足，若，则__________．【答案】-2或3【解析】由向量平行的充要条件可得：，即：，求解关于的方程可得：或.14. 已知实数满足，则的取值范围为__________．【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示：目标函数表示点与可行域内的点连线的斜率，很明显，在坐标原点处，目标函数取得最小值：，联立方程：可得：在点处取得最大值：，综上可得：的取值范围为.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．15. 如图所示，长方形中，分别是的中点，图中5个圆分别为以及四边形的内切圆，若往长方形中投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率为__________．【答案】【解析】概率为几何概型，分母为矩形面积8 .分子为4个小圆面积加一个大圆面积，所以落在阴影区域内的概率为点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．16. 已知函数的部分图象如图所示，______．【答案】2【解析】依题意，因为函数的图像关于原点对称对称，故，因为，所以，故，结合图像可知的周期为2，所以，所以，故. 故答案为：2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，角所对的边分别是，且．（1）求的大小；（2）若，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：⑴利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出的值，利用特殊角的三角函数值即可求出的大小；⑵由题意及余弦定理可得出，的值，然后由三角形面积公式即可求解；解析：（1）由，可得，∴，∴，又∵，∴；（2）若，则，由题意，，由余弦定理得，∴，∴，∴．18. 已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(Ⅰ)结合递推关系可得是以为首项，公比为的等比数列，据此可得通项公式为.(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论有，分钟求和可得.试题解析：（Ⅰ）因为，故，得；设，所以，，，又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，故，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，故.19. 已知多面体中，四边形为正方形，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求六面体的体积．【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1) 取中点，根据正方形性质得. 再根据勾股定理计算得；因为，所以根据线面垂直判定定理得结果(2)分割成,再根据锥体体积公式求体积即可..................试题解析:（Ⅰ）取中点，链接，.根据题意可知，四边形是边长为的正方形，所以.易求得，所以，于是；而，所以平面.又因为，所以平面.（Ⅱ）连接，则由（Ⅰ）可知平面，平面.所以，，所以.20. 随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为共享产品的态度与性别有关系？（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送超市购物券作为答谢，求恰有1人是女性的概率．参考公式：．临界值表：【答案】(1) 可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；(2)【解析】试题分析：（1）根据题中数据，利用参考公式计算的观测值，对应查表下结论即可；（2）从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，写出所有的基本事件，即可得到恰有1人是女性的概率.试题解析：（1）依题意，在本次的实验中，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为，从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为：，共15种，其中满足条件的为共8种情况，故所求概率．21. 已知椭圆，过点，且离心率为．过点的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的右顶点，探究：是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．（其中，分别是直线的斜率）．【答案】(1) (2) 为定值1【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组有，，故椭圆的标准方程为.(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程可得，则综上所述，为定值.试题解析：（Ⅰ）依题意，解得，，故椭圆的标准方程为.（Ⅱ）依题意，.易知当直线的斜率不存在时，不合题意.当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入中，得，设，，由,得，，，故综上所述，为定值.点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22. 已知函数．（1）若，讨论函数的单调性；（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1) ，则函数在上单调递增，在上单调递减；，则函数在上单调递减，在上单调递增；(2)【解析】试题分析:(1)先求导数,根据a的正负讨论确定导函数符号，进而确定对应单调性(2)分离变量转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值即得实数的取值范围.试题解析:（Ⅰ）依题意，若，则函数在上单调递增，在上单调递减；若，则函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）因为，故，①当时，显然①不成立；当时，①化为：；②当时，①化为：；③令，则，当时，时，，，故在是增函数，在是减函数，，因此②不成立，要③成立，只要，，所求的取值范围是.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.。

绝密★启用前 试卷类型：A2019-2020年高考仿真模拟冲刺卷数学文3含答案参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面上，复数()1i i z =+的共轭复数的对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ， 若cos cos sin b C c B a A +=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定3．若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．设,a b ∈R ， 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若实数x ，y 满足约束条件12280x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，目标函数z=x+ay （a>0）取得最大值的最优解有无数个，则z 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．13 6．已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则1(())4f f 的值是（ ）A ．10B ．109C ．-2D ．-57．已知{}0232<+-=x x x A ，{}a x x B <<=1，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．](1,2C ．()2,+∞D ．[)2,+∞8．如图给出的是计算20121614121+⋅⋅⋅+++的值的程序框图，其中判断框内应填入的是 （ ） A ．2012≤i B ．2012i > C ．1006≤iD ．1006>i ．9．设点P 是双曲线22221x y a b-= ()0,0a b >>与圆2222x y a b+=+在第一象限的交点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且21122PF F PF F ∠=∠，则双曲线的离心率为 （ ）A ．1B ．2C ．1D ．310．定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意x R ∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f x x x =-+-，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛⎝⎭C ．⎛⎝⎭D ．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置． 11．若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则,a b 夹角的余弦值为 ．12．已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则___________.13．若圆()2220xy r r +=>上有且只有两个点到直线x-y-2=0的距离为1，则实数r 的取值范围是_________．14．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ； 15．已知函数()()02xf x x x =>+．观察下列计算：()()1,2xf x f x x ==+()()21(),34xf x f f x x ==+()()32(),78xf x f f x x ==+()()43(),1516xf x f f x x ==+ ，根据以上事实，由归纳推理可得：当2n N n *∈≥且时，()()()1_______n n f x f f x -==．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()cos cos()3f x x x π=⋅-（Ⅰ）求2()3f π的值; （Ⅱ）求使1()4f x <成立的x 的取值集合．17．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：（Ⅰ）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（Ⅱ）求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．18．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.（Ⅰ）证明:2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅲ）证明:对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<．19．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，1,AB AD ==,AB BC CD BD ⊥⊥，如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面A BD BCD '⊥平面，如图（2）．（Ⅰ）求证：CD A B '⊥； （Ⅱ）求三棱锥A BDC '-的体积；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得A N 'BD ⊥？若存在，请求出BCBN的值；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0Fc c >到直线:20l x y --=的距离为2.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程; （Ⅱ）当点()00,Px y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程;（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．21．（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率为10．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）判断方程()2f x x =根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）探究：是否存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．文科数学（三）一、选择题：二、填空题：11．3- ； 12．2； 13．）； 14．2π+24； 15．(21)2n nx x -+ 三、解答题：16、解：(1) 41)212cos 232(sin 21)3sin sin 3cos(cos cos )(+⋅+⋅=⋅+⋅⋅=x x x x x x f ππ41)32(.414123sin 21)32(41)62sin(21-==-=+=⇒++=ππππf f x 所以. (2)由(1)知,)2,2()62(0)62sin(4141)62sin(21)(f ππππππk k x x x x -∈+⇒<+⇒<++=.),12,127(.),12,127(Z k k k Z k k k x ∈--∈--∈⇒ππππππππ所以不等式的解集是：17．解：（Ⅰ） 设PM2．5的24小时平均浓度在（50,75]内的三天记为123,,A A A ，PM2.5的24小时平均浓度在（75,100）内的两天记为12,B B ．所以5天任取2天的情况有：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22A B ，31A B ，32A B 共10种． …4分其中符合条件的有：11A B ，12A B ，21A B ，22A B ，31A B ，32AB 共6种． …………6分 所以所求的概率63105P ==． ……………………8分 （Ⅱ）去年该居民区PM2．5年平均浓度为：12.50.2537.50.562.50.1587.50.140⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．……10分因为4035>，所以去年该居民区PM2．5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ………………………………12分 18、解: (1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴=(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ [来源:学,科,网Z,X,X,K] ∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+11111111123355721211111.2212n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⋅-<⎢⎥+⎣⎦ 19．解：（Ⅰ）∵平面A BD BCD '⊥平面，A BD BCD BD '⋂=平面平面，CD BD ⊥∴CD A BD '⊥平面， 2分又∵AB A BD '⊂平面，∴CD A B '⊥． …4分 （Ⅱ）如图（1）在2Rt ABD BD ∆==中，．30ADBC ADB DBC ∴∠==︒，．在tan 30Rt BDC DC BD =︒=中，∴12BDC S BD DC ∆=⋅=． ……………………………6分 如图（2），在R t A BD '∆中，过点A '做A E BD '⊥于E ，∴A E BCD '⊥平面．3A B A D A E BD '''==， 7分∴233111333A BDC BDC V S A E '-∆'=⋅==． 8分（Ⅲ）在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，理由如下：如图（2）在Rt A EB '∆中，12BE ==，∴14BE BD =， …9分过点E 做DC EN //交BC 于点N ，则14BN BE BC BD ==，∵BD EN BD CD ⊥∴⊥,， …10分又A E BD '⊥，A EEN E '=，BD A EN '∴⊥平面，又A N A EN ''⊂平面，∴A N BD '⊥．∴在线段BC 上存在点N ，使得A N 'BD ⊥，此时14BN BC =．…………………12分20．(1)依题意d ==解得1c =(负根舍去) ∴抛物线C 的方程为24x y =;(2)设点11(,)A x y ,22(,)B x y ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y-+=. ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理,20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ∵经过1122(,),(,)A x y B x y 两点的直线是唯一的, ∴直线AB 的方程为y x xy -=002,即00220x x y y --=; (3)由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+,所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩,消去x 得()22200020y y x y y +-+=,2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y x y y y ∴⋅=-++-+++2200019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时,AF BF ⋅取得最小值为9221．解法一：（Ⅰ）因为2()ln f x x a x =+，所以'()2af x x x=+， 函数()f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线斜率'(1)2k f a ==+．由210a +=得：8a =． …………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()8ln f x x x =+，令()()2F x f x x =-228ln x x x =-+．因为(1)10F =-<，(2)8ln 20F =>，所以()0F x =在(0,)+∞至少有一个根．又因为8'()22260F x x x=-+≥=>，所以()F x 在(0,)+∞上递增， 所以函数()F x 在(0,)+∞上有且只有一个零点，即方程()2f x x =有且只有一个实根． 7分（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x =+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切 线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t -+=+-， 即28(2)8ln 8y t x t t t =+-+-(0)x >． ………………… 8分 记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t+-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t t t++-+(0)x >， 则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x --=+-+=． ………………… 11分 （1）当4t t=，即2t =时，22(2)'()0x h x x -=≥对一切(0.)x ∈+∞成立， 所以()h x 在(0,)+∞上递增．又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时()0h x <，当(2,)x ∈+∞时()0h x >，即存在点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线 在该点处切线的两侧． ………………… 12分（2）当4t t >，即2t >时，4(0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t∈时，'()0h x <； (,)x t ∈+∞时，'()0h x >．故()h x 在4(,)t t上单调递减，在(,)t +∞上单调递增． 又()0h t =，所以当4(,)x t t∈时，()0h x >；当(,)x t ∈+∞时，()0h x >， 即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧． 13分（3）当4t t<，即02t <<时， (0,)x t ∈时，'()0h x >；4(,)x t t ∈时，'()0h x <；4(,)x t∈+∞时，'()0h x >． 故()h x 在(0,)t 上单调递增，在4(,)t t上单调递减． 又()0h t =，所以当(0,)x t ∈时，()0h x <；当4(,)x t t∈时，()0h x <， 即曲线在点(,())A t f t 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．综上，存在唯一点(2,48ln 2)A +使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）证明如下：由2()8ln f x x x =+，8'()2f x x x=+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为28(8ln )(2)()y t t t x t t-+=+-， 即28(2)8ln 8y t x t t t=+-+-(0)x >． ……………… 8分 记2()8ln h x x x =+-28[(2)8ln 8]t x t t t+-+- 28ln x x =+-28(2)8ln 8t x t tt++-+(0)x >， 则42()()88'()2(2)x t x t h x x t x t x--=+-+=． ………………… 11分 若存在这样的点(,())A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分都 位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t 不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当4t t=，即2t =时，t 不是极值点，即()0h x '≥．所以()h x 在()0,+∞上递增． 又()0h t =，所以当(0,2)x ∈时，()0h x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h x >， 即存在唯一点(2,48ln 2)A +，使得曲线在点A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧． ………………… 14分。

仿真冲刺卷(五)(时间;120分钟满分;150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·成都二诊)i是虚数单位,则复数的虚部为( )(A)3 (B)-3 (C)3i (D)-4i2.已知函数f()为偶函数,且函数f()与g()的图象关于直线y=对称.若g(3)=2,则f(-2)等于( )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)33.命题“∀∈R,∃n∈N*,使得n≥2”的否定形式是( )(A)∀∈R,∃n∈N*,使得n<2 (B)∀∈R,∀n∈N*,使得n<2(C)∃∈R,∃n∈N*,使得n<2(D)∃∈R,∀n∈N*,使得n<24.(2017·江西上饶市二模)《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“竹筒容米”就是其中一首;家有八節竹一莖,为因盛米不均平;下頭三節三生九,上梢三節貯三升;唯有中間二節竹,要将米数次第盛;若是先生能算法,也教算得到天明!大意是;用一根8节长的竹子盛米,每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升,上端3节可盛米3升,要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为( )(A)9.0升 (B)9.1升(C)9.2升(D)9.3升5.(2017·黑龙江哈尔滨模拟)一个五面体的三视图如图,正视图是等腰直角三角形,侧视图是直角三角形,则此五面体的体积为( )第5题图(A)1 (B)2 (C)3 (D)46.(+)(2-)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为( )(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)407.富华中学的一个文学兴趣小组中,三位同学张博;、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究,并且他们选择的名家各不相同.三位同学一起;找图书管理员刘老师,让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象.刘老师猜了三句话;“①张博;研究的是莎士比亚;②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹;③高家铭自然不会研究莎士比亚.”很可惜,刘老师的这种猜法,只猜对了一句,据此可以推知张博;、高家铭和刘雨恒分别研究的是( )(A)曹雪芹、莎士比亚、雨果(B)雨果、莎士比亚、曹雪芹(C)莎士比亚、雨果、曹雪芹(D)曹雪芹、雨果、莎士比亚8.(2017·山东济宁一模)执行如图所示的程序框图,若输入的,y∈R,那么输出的S的最大值为( )第8题图(A)0 (B)1 (C)2 (D)39.(2018·开封模拟)如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球相外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是( )10.如图,F1,F2是双曲线C;-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C交于A,B两点.若|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5.则双曲线的离心率为( )第10题图(A)(B)2(C)3 (D)11.(2017·宁夏银川二模)设函数f′()是定义在(0,π)上的函数f()的导函数,有f()sin -f′()cos<0,a=f(),b=0,c=-f(),则( )(A)a<b<c (B)b<c<a(C)c<b<a (D)c<a<b12.已知函数f()=sin(ω+ϕ)(ω>0,|ϕ|<),f(0)=,f()在A(0,y0)处取得极大值,B(0-,0),C(0,-y0),△ABC是锐角三角形,则下列结论正确的是( )(A)存在∈(0,),使得f()=1成立(B)若存在>0,使得f()=1,则必有>(C)存在m>0,使得f()在(0,m)内单调递减(D)存在∈(0,),使得f()=0成立第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2017·辽宁抚顺市高考一模改编)在一次马拉松比赛中,30名运动员的成绩(单位;分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编号为1～30号,再用系统抽样方法从中抽取6人,则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是.14.(2018·广东模拟)设,y满足约束条件则=+y的最大值为.15.(2017·云南省大理州高考一模)若数列{a n}的首项a1=2,且a n+1= 3a n+2(n∈N*),令b n=log3(a n+1),则b1+b2+b3+…+b100= .16.(2017·福建省莆田市高考一模)设F为抛物线C;y2=4的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交轴于点M,若|AB|=6,则|FM|= .三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,B=,=λ(0<λ<1),AD=BD=,AC=.(1)求证;△ABD是等腰三角形;(2)求λ的值以及△ABC的面积.18.(本小题满分12分)(2018·湖南百所重点中学诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位;百万元)如下面的折线图所示.(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高?(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;(3)试以第3年的前4个月的数据(如表),用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.相关公式;==,=-.19.(本小题满分12分)如图所示,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除了A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC=EB,DC∥EB,AB=4,tan∠EAB=.(1)证明;平面ADE⊥平面ACD;(2)当AC=BC时,求二面角D AE B的余弦值.20.(本小题满分12分)(2017·河南商丘三模)已知O为坐标原点,抛物线C;y2=n(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为,曲线C在点P处的切线交轴于点Q,直线l1经过点Q且垂直于轴.(1)求线段OQ的长;(2)设不经过点P和Q的动直线l2;=my+b交曲线C于点A和B,交l1于点E,若直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,试问;l2是否过定点?请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数f()=+a+2ln (a∈R)在=2处取得极值.(1)求实数a的值及函数f()的单调区间;(2)已知方程f()=m有三个实根1,2,3(1<2<3),求证;3-1<2.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44;坐标系与参数方程在直角坐标系Oy中,以O为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l与直线C2交于M,N两点,若|MN|≥2,求实数a的取值范围.23.(本小题满分10分)选修45;不等式选讲已知不等式||+|-3|<+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若>0,y>0,n+y+m=0,求证;+y≥16y.1.A ==-3+3i,所以虚部为3.故选A.2.D 因为函数f()与g()的图象关于直线y=对称,且g(3)=2,所以f(2)=3.因为函数f()为偶函数,所以f(-2)=f(2)=3.故选D.3.D 由于特称命题的否定形式是全称命题,全称命题的否定形式是特称命题,所以“∀∈R,∃n∈N*,使得n≥2”的否定形式为“∃∈R,∀n∈N*,使得n<2”.4.C 由题意要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,设相差的同一数量为d升,下端第一节盛米a1升,由题意得解得a1=1.36,d=-0.06,所以中间两节可盛米的容积为a4+a5=(a1+3d)+(a1+4d)=2a1+7d=2.3.这根八节竹筒盛米的容积总共为2.3+3.9+3=9.2(升).故选C.5.B 由三视图可得,该几何体是一个四棱锥,且底面是一个上、下底分别为1和2,高为2的直角梯形,棱锥高为2,所以该四棱锥的体积是V=××(1+2)×2×2=2.故选B.6.D在(+)(2-)5中,令=1,得(1+a)(2-1)5=2,即a=1.原式=·(2-)5+(2-)5,故常数项为·(2)2(-)3+·(2)3·=-40+80=40.故选D.7.A 假设“张博;研究的是莎士比亚”正确,那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的,这不符合“刘老师只猜对了一句”这一条件,所以假设错误;假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确,故①不正确,即张博;研究的不是莎士比亚,②不正确,即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹.这样的话莎士比亚没人研究了,所以此假设错误;前两次假设都是错误的,那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那句,那么其他两句话是猜错的,即高家铭研究莎士比亚,那么张博;只能研究曹雪芹,刘雨恒研究雨果.故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果,故选A.8.C 由程序框图知,算法的功能是求可行域内,目标函数S=2+y的最大值,画出可行域,如图中阴影所示.当=1,y=0时,S=2+y的值最大,且最大值为2.故选C.9.B 由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切,排除C,D,把其中一个球扩大为与正方体相切,则另一个球被挡住一部分,由于两球半径不等,所以排除A;B正确.故选B.10.A 因为|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5,所以设|AB|=3,|BF1|=4,|AF1|=5,所以△ABF1为直角三角形.又点B在双曲线左支上,则|BF2|-|BF1|=2a,故|BF2|=|BF1|+2a=4+2a,从而可知|AF2|=+2a,又|AF1|-|AF2|=2a,则5--2a=2a,因此=a.Rt△F1BF2中,|BF2|2+|BF1|2=4c2,即(4+2a)2+(4)2=4c2,所以(4a+2a)2+(4a)2=4c2.整理得52a2=4c2,即=13,因此=,即e=.11.A 令g()=f()cos ,则g′()=f′()cos -f()sin >0,当0<<π时,g()在(0,π)上单调递增,因为0<<<<π,所以cos f()<cos f()<cos f(),化为f()<0<-f(),即a<b<c,故选A.12.B 由f(0)=,得sin ϕ=,又|ϕ|<,所以ϕ=,即f()=sin(ω+),当ω+=+2π,∈,即=+,∈时,f()取得极大值1,即A(+,1),又△ABC是锐角三角形,BC=BA,因而∠ABC<,则<1,∈(,+∞),则=+>+4,∈,若>0,则≥0,得>,因而A错误,B正确,由-+2π≤ω+≤+2π得-+≤≤+,则对m>0,使得f()在(0,m)内单调递增或有增有减,C错误,若f()=0,则ω+=π,∈,即=-,∈,当>0时,>2-≥,>,当≤0时,<2-≤-,则∉(0,),D错误.故选B.13.解析;将运动员按成绩由好到差分成6组,则第1组为(130,130, 133,134,135),第2组为(136,136,138,138,138),第3组为(141,141, 141,142,142),第4组为(142,143,143,144,144),第5组为(145,145, 145,150,151),第6组为(152,152,153,153,153),故成绩在区间[130, 151]内的恰有5组,共25人,故应抽取6×=5(人).答案;514.解析;作可行域如图阴影部分所示,其中A(-1,2),B(4,-2),C(3,-3),当直线y=-+过点B(4,-2)时,=+y取得最大值,最大值为2.答案;215.解析;因为数列{a n}的首项a1=2,且a n+1=3a n+2(n∈N*),所以+1=3(a n+1),a1+1=3,所以{a n+1}是首项为3,公比为3的等比数列,所以a n+1=3n,所以b n=log3(a n+1)=log33n=n,所以b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100==5 050.答案;5 05016.解析;因为抛物线y2=4,所以p=2,设直线l的方程为y=(-1),A(1,y1),B(2,y2),直线y=(-1)代入y2=4,整理可得22-(22+4)+2=0,所以1+2=2+,利用抛物线定义,1+2=|AB|-p=6-2=4.所以AB中点横坐标为2,所以2+=4,所以=±,AB中点纵坐标为,AB的垂直平分线方程为y-=-(-2),令y=0,可得=4,所以|FM|=3.答案;317.(1)证明;在△ABD中,AD=,BD=1,所以由正弦定理=,得sin∠BAD==,所以∠BAD=,所以∠ADB=π--=,所以△ABD是等腰三角形.(2)解;由(1)知∠BAD=∠BDA=,所以AB=BD=1,∠ADC=.在△ACD中,由余弦定理AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos∠ADC,得13=3+CD2-2××CD×(-). 整理得CD2+3CD-10=0,解得CD=-5(舍去),CD=2,所以BC=BD+CD=3,所以λ=.所以S△ABC=AB·BC·sin B=×1×3×=.18.解;(1)由折线图可知5月和6月的月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为1+2+3+5+6+7+4=28(百万元),第2年前7个月的总利润为2+5+5+4+5+5+5=31(百万元),第3年前7个月的总利润为4+4+6+6+7+6+8=41(百万元),所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)因为=2.5,=5,=12+22+32+42=30,y i=1×4+2×4+3×6+4×6=54,i所以==0.8,所以=5-2.5×0.8=3,所以=0.8+3,当=8时,=0.8×8+3=9.4.所以估计第3年8月份的利润为9.4百万元. 19.(1)证明;因为AB是半圆O的直径,所以BC⊥AC.因为CD⊥平面ABC,所以CD⊥CB.所以BC⊥平面ACD.因为CD=EB,CD∥EB,所以BCDE是平行四边形.所以BC∥DE,所以DE⊥平面ACD.因为DE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ACD.(2)解;依题意,EB=AB·tan∠EAB=4×=1,AC=BC=2.如图所示,建立空间直角坐标系C y,则D(0,0,1),E(0,2,1),A(2,0,0),B(0,2,0).所以=(-2,2,0),=(0,0,1),=(0,2,0),=(2,0,-1).设平面DAE的法向量为n1=(1,y1,1),则即令1=1,得1=2,所以n1=(1,0,2).设平面ABE的法向量为n2=(2,y2,2),则即令2=1,得y2=1,所以n2=(1,1,0).所以cos<n1,n2>===.由图知,二面角D EA B的平面角为钝角,所以二面角D EA B的余弦值为-.20.解;(1)由抛物线C;y2=n(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为得2+=,所以n=2,故抛物线方程为y2=2,P(2,2).所以曲线C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=,则y′=.故曲线C在点P处的切线斜率==,切线方程为y-2=(-2),即-2y+2=0.令y=0得=-2,所以点Q(-2,0),故线段OQ的长为2.(2)由题意知l1;=-2,因为l2与l1相交,所以m≠0,将=-2代入=my+b,得y=-,故E(-2,-),设A(1,y1),B(2,y2),由消去得y2-2my-2b=0,则y1+y2=2m,y1y2=-2b,直线PA的斜率为==,同理直线PB的斜率为,直线PE的斜率为.因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,所以+=2×,即=.因为l2不经过点Q,所以b≠-2.所以2m-b+2=2m,即b=2.故l2;=my+2,即l2恒过定点(2,0).21.(1)解;由已知得f′()=+a+(>0),f′(2)=2+a+=0,所以a=-3,所以f′()=-3+==(>0),令f′()>0,得0<<1或>2;令f′()<0,得1<<2,所以函数f()的单调递增区间是(0,1),(2,+∞),单调递减区间是(1,2).(2)证明;由(1)可知函数f()的极小值为f(2)=2ln 2-4,极大值为f(1)=-, 可知方程f()=m三个实根满足0<1<1<2<2<3,设h()=f()-f(2-),∈(0,1),则h′()=f′()+f′(2-)=>0,则h()在(0,1)上单调递增,故h()<h(1)=f(1)-f(2-1)=0,即f()<f(2-),∈(0,1),所以f(2)=f(1)<f(2-1),由(1)知函数f()在(1,2)上单调递减,所以2>2-1,即1+2>2,①同理设g()=f()-f(4-),∈(1,2),则g′()=f′()+f′(4-)=>0,则g()在(1,2)上单调递增,故g()<g(2)=f(2)-f(4-2)=0,即f()<f(4-),∈(1,2),f(3)=f(2)<f(4-2),由(1)知函数f()在(2,+∞)上单调递增,所以3<4-2,即3+2<4,②由①②可得3-1<2.22.解;(1)根据题意,由=ρcos θ,y=ρsin θ,2+y2=ρ2, 曲线C1的极坐标方程ρ(ρ-4sin θ)=12,可得曲线C1的直角坐标方程为2+y2-4y=12, 设点P(′,y′),Q(,y),根据中点坐标公式,得代入2+y2-4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l的普通方程为y=a,设圆心到直线的距离为d,由弦长公式可得|MN|=2≥2,可得圆心(3,1)到直线l的距离为d=≤,即4a2-3a≤0,解得0≤a≤,即实数a的取值范围为[0,]. 23.(1)解;由||+|-3|<+6,得或或解得-1<<9,所以m=-1,n=9.(2)证明;由(1)知9+y=1,又>0,y>0,所以(+)(9+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=,即=,y=时取等号,所以+≥16,即+y≥16y.。

2019年高考数学仿真押题试卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，，则=B A （ ）A ．)1,(--∞B ．]1,(--∞C ．),1(+∞D ．),1[+∞2．已知复数，则||z z +=（ ）A ．12-B ．12-+ C ．12 D ．12 3．若，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．624- B ．624+ C ．187 D ．32 4．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）A ．14π-B ．12π- C ．22π-D ．4π 5．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+6．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心可能为（ ）A ．)0,2(-B ．)0,1(C ．)0,10(D ．)0,14(8．函数的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，2=AC ，若四面体ABCD 的体积为332，球心O 恰好在棱DA 上，则这个球的表面积为（ ） A ．254πB ．4πC ．8πD ．16π10．F 为双曲线22221x y a b-=右焦点，M ，N 为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．22C ．2D ．311．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆所覆盖，则实数k 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0x 是方程的实根，则关于实数0x 的判断正确的是（ ）A ．0ln 2x ≥B ．01ex < C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．展开式中含3x 项的系数为 ．（用数字表示）14．已知(1,)a λ=，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则a 在b 方向上的投影为 ． 15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，且8=a ，ABC △的面积为34，则c b +的值为 ．16．如图所示，点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A ，B 分别在抛物线x y 82=及圆的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB △的周长的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．设n S 为数列}{n a 的前n 项和，且11=a ，，*n ∈N ．（1）证明：数列}1{+nS n为等比数列； （2）求．（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X 表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X 的分布列及其数学期望．20．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C 与圆的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）当0a ≤时，试求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在)1,0(内有极值，试求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：，直线（t 为参数，0α<π≤）．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于B A ,两点（A 在第一象限），当时，求a 的值．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数．（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数)(x f y =的最小值记为m ，设a ，b ∈R ，且有m b a =+22，试证明：．【答案解析】第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】C【解析】，，，选C ．2．【答案】C【解析】，1z =，．故选C ．3．【答案】A【解析】，，，故选A ． 4．【答案】A【解析】几何概型，由面积比例可以得出答案． 5．【答案】C【解析】由三视图可知：该几何体是由一个三棱锥和一个圆锥的14组成的，故选C ． 6．【答案】B7．【答案】C【解析】由题知A =，8ωπ=，再把点(2,-代入可得34ϕπ=-，，故选C ．8．【答案】D 【解析】由函数不是偶函数，排除A 、C ，当时，sin y x =为单调递增函数，而外层函数e x y =也是增函数，所以在上为增函数．故选D ．11．【答案】D【解析】由于圆心(3,3)在直线上，又由于直线与直线互相垂直其交点为，直线与的交点为(0,6)-．由于可行域恰好被圆所覆盖，及三角形为圆的内接三角形圆的半径为，解得6k =或6k =-（舍去）．故选D ．12．【答案】C 【解析】方程即为，即，令()e xf x x =，，则，函数()f x 在定义域内单调递增，结合函数的单调性有：，故选C ．二、填空题13．【答案】0【解析】5(1)x -展开式中含3x 项的系数为3510C =，含2x 项的系数为3510C -=-，所以展开式中含3x 项的系数为10-10=0．14．【答案】【解析】由题知1λ=．15．【答案】【解析】，∴由正弦定理1cos 2A =-，23A π=， 8a =，由余弦定理可得：，又因为ABC △面积12=，16bc =，b c +=三、解答题 17．【答案】(1)数列{1}nS n+是首项为2，公比为2的等比数列．(2)．【解析】 (1)因为，所以，即，则，所以，又1121S +=， 故数列{1}nS n+是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以，故．设，则，所以，所以，所以．18．【答案】二面角E AC F --． 【解析】（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF 平面，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥． 又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ， 由2AB a =，，， 可知，2BD a =，，， 从而，故EF AF ⊥． 又，所以EF ⊥平面AFC ．又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC ．（2）取EF 中点G ，由题可知OG DE ∥，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示），则(0,0,0)O，,0,0)A ，，，，所以，，．由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为．设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即，即,0,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令z =，得4y =，所以．从而．故所求的二面角E AC F --． 19．【答案】(1) (2)【解析】（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是515010=， 所以，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有120210⋅=人，参与整理、打包衣物的志愿者被抽中的有130310⋅=人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是．（2）女生志愿者人数0,1,2X =，则，，．∴X 的分布列为∴X 的数学期望为．（2）直线l 的解析式为2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ．假设存在点(,0)D m ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，则DE AB ⊥．由得，故，所以，．因为DE AB ⊥，所以1DE k k=-，即，所以．当0k >时，，所以．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点D ，且点D 的横坐标的取值范围为．（2）若()f x 在(0,1)内有极值，则()f x '在(0,1)x ∈内有解．令，e 0xax -=，e xa x=．设e ()xg x x=(0,1)x ∈，所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<恒成立，所以()g x 单调递减．又因为(1)e g =，又当0x →时，()g x →+∞， 即()g x 在(0,1)x ∈上的值域为(e,)+∞，所以当e a >时，有解．设，则(0,1)x ∈，所以()H x 在(0,1)x ∈单调递减． 因为，，所以在(0,1)x ∈有唯一解0x ．所以有：所以当e a >时，()f x 在(0,1)内有极值且唯一．当e a ≤时，当(0,1)x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不成立． 综上，a 的取值范围为(e,)+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】(1) 244x y =+；(2) ∴6απ=． 【解析】（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =． 所以2232a b +=，从而，从而．当且仅当时，等号成立，即21 6a=，24 3b=时，有最小值，所以得证。

江苏省2019届新高三原创精准冲刺试卷（三）数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题卡的相应位置．1.设集合，集合，若，则．【答案】1【解析】试题分析：由题意，所以．考点：集合间的关系．2.已知，则＝________.【答案】3【解析】【分析】利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的关系可得结果. 【详解】，故答案为3.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及同角三角函数的关系，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.3.在平面直角坐标系中，点在角的终边上，且，则点的坐标为__________. 【答案】【解析】由题意可知点P的极坐标为，转化为直角坐标，则：，则点的坐标为.点睛：(1)直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境．(2)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．4.已知：______【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式先求出的值，进而可得的值【详解】，，，又，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.5.已知幂函数的图象过点，则＝【答案】2【解析】因为幂函数的图象过点，则,＝26.函数的定义域为______【答案】(1，3]【解析】【分析】根据幂函数与对数函数的性质，列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.7.已知，，，则从小到大排列是．（用“”连接）【答案】【解析】试题分析：由对数函数图象知，，，所以. 考点：三角函数的单调性、对数函数的图象.8.与直线垂直的直线的倾斜角为____________【答案】【解析】直线斜率为，所求直线与直线垂直，故所求直线斜率为，故倾斜角为.故答案为.9.已知，，，，则的值为_______．【答案】【解析】试题分析：，考点：同角间三角函数关系及两角和差的正切公式10.若曲线在处的切线与直线垂直，则实数等于______【答案】【解析】【分析】求出的导函数，可得曲线在处切线的斜率为，根据两直线垂直斜率之间的关系求解即可.【详解】，，即曲线在处切线的斜率为，又该切线与垂直，，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及两直线垂直斜率之间的关系，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.11.函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】先判断为奇函数，在上单调递增，从而可由得出，讨论和两种情况，求出的取值范围即可.【详解】的定义域为，且，为奇函数，且在上单调递增，由得，，，，①时，，②时，，的最小值为1，，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.12.已知函数和函数的图象交于三点，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】由,结合，求出的值 ,得出三个点的坐标，即可计算面积. 【详解】根据题意,令,即，解得或，即或，又或或，点，面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、特殊角的三角函数以及简单的三角方程，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力,属于中档题.13.已知三次函数，对于任意，均有，且存在唯一，满足，则____.【答案】-3【解析】【分析】，且存在唯一，满足等价于即，从而而可得必为二次函数，且最小值为，进而可得结果.【详解】，，即，又存在唯一满足，必为二次函数，且最大值为，即，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数的求导公式以及导数的运算法则，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.14.若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】令，则方程有6解等价有6解,判断的单调性得出的根的分布情况，得出方程的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出的范围.【详解】，令，则，当或时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极大值，又时，时，，作出的函数图象如图所示，令，由图象可知，当时，方程有3解，当或时，方程有1解，当时，方程有2解，当时，方程无解，方程有6个解，即有6个解，关于的方程在有2个解，，解得，故答案为.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二．解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角的对边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若△ABC的面积，求a的值．【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】(1)利用余弦定理可求的,进而根据求得,利用正弦定理即可求得；(2)根裾和的关系，由正弦定理求得和的关系，把代入面积公式求得三角形的面积，进而利用三角形面积公式求得的值.【详解】（1）∵==，∴．∵，，∴．∵，∴==．（2）∵，∴，．∴．又∵S=，∴，∴．【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16.已知函数f(x)＝4sin x·cos(x＋)＋.(1) f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值；(2) 若方程f(x)－t＝0在x∈上有唯一解，求实数t的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）t的范围是t∈[－，－1)或t＝2.【解析】【分析】(1)利用两角和与差公式化简函数得,由, 求得,即可求出函数的值域，并根据正弦函数的性质可判断在何处取得最大值或最小值；(2)根据（1)有,则其对称轴为，可得时，函数单调递增，且值域为时，函数单调递减，且值域为,若方程有唯一解，则需或.【详解】(1) f(x)＝4sin x＋＝2sin xcos x－2sin2x＋＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2，当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2.(2) 因为－≤x≤时，－≤2x＋≤，所以－1≤2sin≤2，且单调递增；≤x≤时，≤2x＋≤，所以－≤2sin≤2，且单调递减，所以f(x)＝t有唯一解时对应t的范围是t∈[－，－1)或t＝2.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式与辅助角公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.17.已知函数，其中．（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】(l) 求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性即可求得函数的值域；(2)求得导函数的解折式，然后结合导函数的符号判断函数的单调性，分类讨论即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，令得，列表：由上表知，函数的值域为．（2），① 当时，，函数在区间单调递增，所以，即（舍）．② 当时，，函数在区间单调递减，所以，符合题意．③ 当时,当时，区间在单调递减；当时，区间在单调递增．所以，不符合题意．综上所述：实数取值范围为．【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.18.如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米，米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园，都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点，，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米.（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.【解析】试题分析：（1）设直线矩形交于两点，则阴影部分的面积为矩形的面积减去梯形和扇形与扇形的面积．（2）设，则，故，从而可得修建费用，利用导数求解，可得当时，即，有最小值，即修建费用最低．试题解析：（1）如图,设直线矩形交于两点，连，则米，米．梯形的面积为平方米，矩形的面积为平方米，由，得扇形和扇形的面积均为平方米，故阴影部分面积为平方米．（2）设，则，所以，修建费用，所以，令，得，当变化时，的变化情况如下表：由上表可得当时，即，有极小值，也为最小值．故当为时，修建费用最低．19.已知函数的图象过点，且在处取得极值．(1) 求实数的值；(2) 求在上的最大值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）因为函数的图象过点，可把点坐标代入，得到一个关于的等式,再因为函数在处取得极值.所以函数在处的导数为0 ,由此又得到一个关于的等式,两个等式联立，就可解出；（2）利用导数求最大值，因为为分段函数，所以可按的范围，分段求导数,找到扱大值.再比较区间上的极大值与端点函数值的大小，找到最大值.【详解】（1）当时，，由题意得：，即，解得：。