八年级数学上册13.1命题、定理与证明如何寻找命题的条件和结论素材(新版)华东师大版

13．1.2 定理与证明1．理解已学的5个基本事实,理解定理的概念．2．理解证明的概念,体会证明的必要性．重点证明的过程与步骤．难点证明的必要性．一、回顾1．什么是命题？命题的结构是什么？2．命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？3．今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法．二、探究新知(一)基本事实教师讲解,并板书：(1)两点确定一条直线；(2)两点之间,线段最短；(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；(5)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行．上述五个命题是被公认的真命题,我们将它们当作基本事实,是我们用来判断其他命题真假的原始依据,即出发点．(二)定理与证明教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的．从而说明证明的重要性．1．教师讲解：请大家看下面的例子：当n＝1时,(n2－5n＋5)2＝1；当n＝2时,(n2－5n＋5)2＝1；当n＝3时,(n2－5n＋5)2＝1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数(n2－5n＋5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的,因为当n＝5时,(n2－5n＋5)2＝25.2．教师再提出一个问题让学生回答：如果a＝b,那么a2＝b2.由此我们猜想：当a＞b 时,a2＞b2.这个命题是真命题．答案：上面的说法不正确,举一个反例来看,因为3＞－5,但32＜(－5)2.教师总结：在前面的学习过程中,我们用观察、验证、归纳、类比等方法,发现了很多几何图形的性质．但由前面两题我们又知道,这些方法得到的结论有时不具有一般性．也就是说,由这些方法得到的命题可能是真命题,也可能是假命题．教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理．(三)定理的证明直角三角形两锐角互余．教师引导：将文字语言转化为几何语言,注意推理步步有据,并在后面的括号里写上每步的依据．教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据．三、练习巩固1．请你说出学过的知识中,哪些是公理,哪组说得又多又准就是获胜者．如：(1)两点确定一条直线；(2)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行．2．试证明：如果两条平行线被第三条直线所截,那么同旁内角的角平分线互相垂直．3．如图,AD∥BC,∠A＝∠C.求证：AB∥CD.四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结．作业教材第58页练习第1,2题．本节课从同学们已学的五个性质入手,讲解了基本事实的概念作用与地位；从发现命题的结论不具有一般性让学生理解证明的必要性；从直角三角形两锐角互余的证明让学生感知证明的步骤与要求．本节课有很多理性认识,学生不可能一蹴而就,而是在学习中及时完善与提升．对证明的条理问题应提出更高的要求,以培养学生更严谨的逻辑思维能力．。

重点难点分析
1．命题
判断一件事情的句子，叫做命题。

2．命题的组成
每个命题都由条件和结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，也称为命题的结论。

3．命题的一般形式
命题的一般形式为如果……，那么……，由如果引出部分为命题的条件，也称题设，由那么引出的部分称为命题的结论。

4．命题的真假
现实生活中有些命题是正确的，有些命题是错误的，正确的命题又称为真命题，错误的命题又称为假命题。

要说明一个命题是假命题，只要举出一个不能成立的反例说明一下就可以。

5．公理
人们通过长期实践和总结出来的一部分数学命题，而且是公认的真命题，这种命题称为公理。

这种命题无需再进行推理论证，而直接作为证明其他命题的依据。

6．证明
除了公理之外，其他的真命题的正确性都须通过推理方法加以证实，这个推理必须是一步一步，而且步步有据，这个推理过程叫做证明。

7．定理
经过证明是真命题的命题叫做定理。

一般的性质有判定定理和性质定理。

1。

理清证明思路要说明一个命题是真命题,除了公理外，其他的则需要推理，推理的过程就是证明，初学证明要注意以下两点：一、掌握基本的定义、公理、定理正确地理解几何定义、公理、定理是学好证明的前提，是推理的依据.如：“两点之间线段最短”是证明三角形两边之和大于第三边的依据等.当一个命题被证明了是真命题时，它又可以作为证明其他命题是真命题的依据.如：三角形内角和定理是证明四边形内角和等于360°的依据等.二、掌握证明的书写过程几何证明是从条件出发，经过一步步推理，最后推出结论的过程，证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、公理、已学过的定理.在初学证明时要把根据写在每一步推理后面的括号里，像“已知”、“根据定义（如角平分线定义）”以及“等量代换”等.证明一个几何命题一般分为以下几步：1.根据题意，画出符合题意的图形.2.根据条件、结论，结合图形，写出已知求证.3.经过分析，找出由已知条件推出所要求的结论的途径，写出证明过程.有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.证明的关键是思路的打开，分析问题的思路一般有两个类型.1.由果导因：从已知条件出发，逐步推理得到结论.2.执果索因：由结论向条件追溯.下面我们就一道例题来体会一下证明的思路.【例题】已知DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证∠FDE＝∠DEB.【思考与分析】（1）由条件DE∥BC，可利用平行线的性质定理得同位角、内错角相等，同旁内角互补.（2）要证明∠FDE＝∠DEB，只要证明DF∥BE即可.证明：∵DE∥BC（已知），∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）.∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC（已知），∴∠ADF＝∠ABE（角平分线定义）.∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行）.∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等）.【小结】本题运用了平行线的性质和角平分线的定义，采用了由已知条件挖掘新条件，由结论进行逆推，从而找寻思路的方法，在以后的学习中我们要慢慢体会这种方法。

13.1 命题、定理与证明（第一课时）一、说教材1、教材的地位和作用命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题如定理可以作为继续推理的依据，所以认识命题的定义、结构、真假是数学学习的主要任务之一。

而正确找出命题的题设和结论，是基础，特别是题设和结论不明显的命题，和难以判断真假的命题，是学习的重点。

本节课将通过一些具体的例子来了解基本概念，不必深究，不钻难题。

二、说教学目标知识与技能目标：了解命题、真命题、假命题、定理的含义能识别真假命题。

会区分命题的题设和结论。

过程与方法目标：通过命题的真假，培养分类思想。

通过命题的构成，培养学生分析法。

通过命题的构成，培养语言推理技能。

情感态度与价值观目标：通过命题、定理的具体含义，让学生体会到数学的严谨性。

通过学习命题真假，培养学生尊重科学、实事求是的态度。

通过学习命题的构成，使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

三、教学重点:定义、命题、公理、定理的概念；四、教学难点:判定什么定义、命题、定理、公理，及找出命题的题设和结论。

五、说教法学法通过“目标定向，自主合作”，以实现学习目标为目的，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。

教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。

本节课的学习任务是让学生了解命题的概念，能区分命题的题设和结论，并初步认识真、假命题。

因此就内容看来，可能会较为枯燥、单调；因此在教学设计时，根据不同的学习任务进行了不同的教学设计。

在命题的概念教学中，与以往直接的告知学生概念不同，采用了让学生对两组语句进行比较、区别，然后再学生充分讨论的感性认识基础上，在提出命题的概念，能有效促进学生对命题概念的理解，然后再通过学生举例来加强巩固概念。

在命题的构成这一环节中，通过一个问题的思考与探讨，让学生了解到命题是由题设和结论两部分构成，同时感受到命题的常用表述形式，然后教师再加以总结分析，使学生对知识的认识更加透彻。

优质资料---欢迎下载课题：13.1 命题、定理与证明第一课时命题＆.教学目标：1、理解命题的概念及命题的结构形式，会把一个命题写成“如果……，那么……”的形式。

2、理解真命题和假命题，并会通过举反例判定一个命题是假命题。

＆.教学重点、难点：重点：让学生分清命题的条件和结论，熟悉命题的表达方式。

难点：将一个命题改写成“如果……，那么……”的形式。

＆.教学过程：一、问题引入1、根据你所学过的一些图形的特征填空：（1）三角形的内角和等于 .（2）等腰三角形的两个底角 .（3）平行四边形的对角线 .（4）两直线垂直于同一直线，则这两条直线 .（5）等边三角形的三个内角 .2、根据你学过的图形特征，试判断下列句子是否正确。

（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）同旁内角相等，两直线平行；（4）平行四边形的对角线相等；（5）直角都相等。

二、探究新知教学活动：学生先独立完成，然后在分组交流讨论。

根据已有的知识可以判断出上面的句子（1）、（2）、（5）是正确的，句子（3）、（4）是错误的。

像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。

（引出标题）§1.命题：对一件事情作出判断（肯定的或否定的）的句子叫做命题。

注意：（1）命题一定是对一个问题作出了判断，即正确或错误（肯定或否定）。

（2）一般地对概念的定义，或作图的叙述或问句都不是命题，即：“祈使句、疑问句”一定不是命题。

§2.命题的分类：命题分为真命题和假命题两类，其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

例如：上述问题中的（1）、（2）、（5）就是真命题，（3）、（4）就是假命题。

§3.命题的结构形式：观察以下三个命题，看看它们在叙述方式上有什么共同的特点。

（1）如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（2）如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么内错角相等；（3）如果两个三角形全等，那么对应边相等.教学方法：教师引导，学生独立与合作相结合探讨。

第13章全等三角形13．1 命题、定理与证明13．1.1 命题1．了解命题的概念,理解命题的结构．2．会识别命题的真假,会说明一个命题是假命题．重点命题的结构,真命题与假命题的识别．难点识别命题的真假．一、创设情境情境：小亮和小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》．小亮：“哈！这个黑客终于被逮住了．”小刚：“是的,现在网络广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……”坐在旁边的两个人一边听着他的谈话,一边也在悄悄地议论着,“这个黑客是个小偷吗？”“可能是喜欢穿黑衣服的贼．”你听完这则片段故事,有何想法？同学们各抒己见后,教师给予同学的各种回答评价后,发表自己的看法：在日常生活中,我们会遇到许多概念,以致无法进行正常的交流．同样,在数学学习中,要进行严格的论证,也必须首先对所涉及的概念下定义．本节课我们就一起来学习命题．二、探究新知1．提出问题我们已经学过一些图形的特性．例如：(1)三角形的内角和等于180°；(2)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；(3)两直线平行,同位角相等；(4)直角都相等．引导学生观察、分析它们的共性,得出命题的概念．即它们都是判断某一件事情的语句,像这样表示判断的语句叫做命题．2．练习下列句子哪些是命题？①动物都需要水；②猴子是动物的一种；③玫瑰花是动物；④美丽的天空；⑤负数都小于零；⑥你的作业做完了吗？⑦所有的质数都是奇数；⑧过直线外一点作l的平行线；⑨如果a＞b,a＞c,那么b＝c.3．观察下列命题,你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流．(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；(2)如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等；(3)如果a2＝b2,那么a＝b.总结：在数学中,许多命题是由条件和结论两部分组成的．条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……,那么……”的形式．其中,用“如果”开始的部分是条件,用“那么”开始的部分是结论．例如,在命题(1)中,“两个角是对顶角”是条件,“这两个角相等”是结论．例把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果……,那么……”的形式,并分别指出命题的条件与结论．解：这个命题可以写成：“如果在一个三角形中有三个角相等,那么这个三角形是等边三角形．”这里的条件是“在一个三角形中有三个角相等”,结论是“这个三角形是等边三角形”．4．真、假命题思考：试判断下列句子是否正确．(1)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；(2)三角形的内角和是180°；(3)同位角相等；(4)同角的余角相等；(5)一个锐角与一个钝角的和等于180°.根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(4)是正确的,句子(3)、(5)是错误的．从而引导学生概括出真、假命题的定义．即条件成立,结论一定成立的命题,称为真命题．条件成立,不能保证结论总是成立的命题,称为假命题．三、练习巩固1．指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题请举一个反例说明．(1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)两个无理数之和仍是无理数．2．命题“一个角的补角一定大于这个角”的条件是____________,结论是________________,它是一个____________,反例为________________．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结．作业教材第58页习题13.1第1,2,3题．本节内容较少,比较简单,但命题的概念比较抽象,应从形式到内容帮助学生分析．命题的条件与结论是辨别命题真假的关键,又是后面学习逆命题的基础,应掌握．针对学习情况对理解不深刻的同学给予单独的辅导．。

命题、定理与证明知识讲解【学习目标】1．了解命题、定理的含义，会区分命题的题设（条件）和结论，会在简单情况下判断一个命题的真假；2．能用基本的逻辑术语、几何证明的步骤、格式和规范进行几何证明；3．了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据．【要点梳理】要点一、命题、基本事实与定理1. 命题一般地，判断某一件事情的语句叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题．命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“开始的部分是结论.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．2.基本事实人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.如：（1）两点确定一条直线；（2）两点之间，线段最短等.3.定理数学中，有些命题可以从基本事实或者其他真命题出发，用逻用推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.要点诠释：满足以下两个条件的真命题称为定理：（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.要点二、证明1.证明根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．2.证明表述格式证明几何命题时，表述格式一般如下：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程.要点诠释：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线，添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常要画出虚线.【典型例题】类型一、命题1. 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？做出判断的哪些是正确的？哪些是错误的？(1)对顶角相等； (2)画一个角等于已知角；(3)两直线平行，同位角相等； (4)a ，b 两条直线平行吗?(5)鸟是动物； (6)若24a =，求a 的值；(7)若22a b =，则a =b ．【答案与解析】句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，其中 (1)(3)(5)判断是正确的，（7）判断是错误的． 句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断．其中(2)属于操作性语句，(4)属于问句，都不是判断性语句.【总结升华】主要考察命题的定义.举一反三：【变式】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?(1)若a b ＜，则＜-b a -；(2)三角形的三条高交于一点；(3)在ΔABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B 吗?(4)两点之间线段最短；(5)解方程2230x x --=；(6)1＋2≠3．【答案】（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．2. 下列命题是真命题的是（ ）A ．如果|a|=1，那么a=1B ．有两条边相等的三角形是等腰三角形C ．如果a 为实数，那么a 是有理数D ．有两边和一角相等的两个三角形全等；【答案】C【解析】如果|a|=1，那么a=±1，故A 错误；如果a 为有理数，那么a 是实数，故C 错误；有两边和夹角相等的两个三角形全等，故D 错误；而B 根据等腰三角形的定义可判断正确；【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义.举一反三：【变式】下列命题中，真命题的个数有（ ）①对顶角相等 ②同位角相等 ③4的平方根是2 ④若a ＞b ，则-2a ＞-2bA ．3个B ．1个C ．4个D ．2个【答案】Ｂ3.指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：(1)三条边对应相等的两个三角形全等；(2)在同一个三角形中，等角对等边；(3)对顶角相等；(4)同角的余角相等；【答案与解析】（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

如何寻找命题的条件和结论学习了“命题”以后，细心的同学会发现，课本中给出的很多命题都省略了“如果…，那么…”，因此使它的条件和结论不明显，对于这类命题，要经过分析，写成“如果…，那么…”的形式，才能准确地把握其条件和结论．下面就如何把命题改写成“如果…，那么…”谈点看法，供同学们参考．任何命题的结构都具有固定的形式，我们遇到的问题都是由题设和结论两部分组成。

题设（条件）是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．因此，命题常用“如果…… ，那么……”或“若…… ，则……”的形式表达，具有这种形式的命题中，“如果”或“若”引出的部分是条件，“那么”或“则”引出的部分是结论。

如果一个命题不是这种形式，我们就要将他们改写为“如果…… ，那么……”或“若…… ，则……”的形式，在改写前下要分出题设和结论，必要时可以结合图形来区分。

下面举例来说明。

例请将下列命题写成“如果…… ，那么……”的形式，并写出条件和结论．（1）平行于同一条直线的两条直线平行．（2）互为邻补角的两个角的角平分线互相垂直．分析：我们可以逆向思考，即（1）结论应为“平行”，那么什么平行呢？一般是两直线互相平行。

那么满足什么样的条件的两直线？可得条件是两条直线平行于同一条直线。

（2）结论应为“互相垂直”，那么什么互相垂直呢？一般是两条线（直线、射线或线段）互相垂直。

那么满足什么样的条件的两线互相垂直呢？可得条件是两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线。

这样通过逐步逆向设问的方法可以帮助我们确定条件和结论，最后用完整的文字语言写出来即可。

解：（1）改写成“如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．”条件是：两条直线平行于同一条直线；结论是：这两条直线平行．（2）改写成“如果两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线，那么这两条射线互相垂直．”条件是：两条射线是互为邻补角的两个角的角平分线；结论是：这两条射线互相垂直点评：在改写命题时，不是机械地在原命题中添上“如果”和“那么…”，而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主要要求为（1）改写后的命题与改写前的命题的内容要一致；（2）改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必要时，要对原命题加一些修饰，并且补上原来省略的部分．比如改写命题“两点确定一条直线”，不能写成“如果两点，那么确定一条直线”，应该改写为“如果过两点作直线，那么能够作而且只能作一条直线．”练习：请将下列命题写成“如果…，那么…”的形式．（1）两直线相交只有一个交点．（2）角平分线上的点到角的两边距离相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．（4）直角三角形两锐角互余．参考答案：（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．（2）如果某点是角平分线上的点，那么这个点到角的两边距离相等．（3）如果一个四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分．（4）如果两个角是直角三角形的一组锐角，那么这两个角互余．。

13.1命题与证明
本节课的主要内容有两个方面，一是命题的有关概念，二是证明的格式．学生对命题已经比较熟悉，但对一个命题的逆命题却是刚开始认识，因此需要以较多的例子加以说明．命题证明的格式应更多地关注表述的规范问题，以利于学生良好证明习惯的养成．1．对于“观察与思考”，建议在教师的引导下，由学生自己独立完成．在此基础上，还可以适当补充一些学生熟悉的命题，并将其改写成逆命题．除举出几何中的命题以外，也可以举出代数中的命题并写出它的逆命题．
2．“做一做”的设置是为了达到两个方面的目的，一是检验学生是否会正确地构造一个命题的逆命题，二是说明原命题及其逆命题的真假是互不相干的．教学中，可适当再添加一些例子，以使学生掌握上述的两个方面的认识．
3．引导同学们明确认识到，要说明一个命题为假，只需举一个反例即可；而要说明一个命题为真，则需“证明”．“证明”具有两个特征：一是步步有“据”，只有该命题的条件，学过的基本事实、定义和定理才能作为“据”，二是要符合逻辑与顺序，使论述构成一个有条理、有序的说理过程．期间，教师的示范及解析是十分必要的．
4．对于教科书中“例”的教学，就是要具体地突出与落实上述所说“证明”的两方面特征，教师要引导学生充分认识并掌握“证明过程”是如何进行的，并以此作为“范本”，指导自己．
5．“做一做”，要作为学生自行实践“证明”；共同剖析错误与不足，完善并确定表述规范的研究对象来处理，发挥好它的“案例”作用．
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