七年级数学下册第九章《三角形》9.1三角形的边三大几何作图问题素材(新版)冀教版

七年级数学下册第九章《三角形》素材：
三角形的再认识
用同样长度的小棒（火柴棒或牙签）3根、4根、5根、6根、7根、8根……摆三角形，把摆的结果填在表格里。

小
棒数 3 4 5 6 7
8
能否摆成三角形能
摆事实成三角形的个数 1
三角形的类型等边
答：4根同样长度的火柴棒不可能摆成三角形，因为一个三角形两条边长之和不可能与另一条边长
相等，等边三角形的边长也不可能与高相等。

5根同样长度的火柴棒可以摆2个等边三角形或1个等腰三角形，如图：
6根同样长度的火柴棒可以摆出1个或4个三角形，如图：
（三棱锥立体图形）
7根同样长度的火柴棒可以摆3个等边三角形或1个等腰三角形或2个三角形，如图：
8根同样长度的火柴棒可以各摆1个等腰三角形或2个、3个、5个三角形，如图
1。

三角形的丰富性质我们都知道，任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外，还有以下重要性质：一是“欧拉线”，即经过三角形的垂心、质心和外心三心的直线，且质心在外心和垂心的三等分点上．但欧拉线未揭示出三角形内心、旁心的性质．二是“九点圆”，即经过三角形三边中点、三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆．九点圆与三角形的三个旁切圆相切，圆心也在欧拉线上，且圆心到三角形垂心、外心距离相等．九点圆又称“费尔巴哈圆”、“欧拉圆”．经过研究，我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质：一是任意三角形有三条“九点线”，九点线是指从三角形的一个顶点，引两个底角的内、外角平分线垂线得到的四个垂足、该顶点两邻边中点、经过该顶点的角平分线中点、高线中点、中线中点，此九点共线．九点线经过三角形的一条中位线，因而平行于三角形的一边．二是第二个九点圆，第二个九点圆是指三角形的三个顶点、三角形三个旁心构成的三角形（以下简称“旁心三角形”）的三边中点、三角形内心与三个旁心联线中点，此九点共圆．又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合，因而第二个九点圆又可称为“十二点圆”．第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质，且与三角形的外接圆重合，圆心在三角形的外心上，第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1．三是一条“九心线”，三角形的内心、外心，由三角形的三边中点构成的三角形（以下简称“中点三角形”）垂心，旁心三角形的垂心、质心、外心，旁心三角形的中点三角形的垂心、质心、外心，此九心共线．九心线与欧拉线相交于三角形的外心．四是一些线段和的不等关系：1．三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．2．三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．3．三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．4．三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．5．三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形（以下简称“分角三角形”）的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．6．分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．7．分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．8．分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．五是两个面积不等关系：1．三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形* ．2．分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．六是两个夹角范围，由于尚未给出严格的证明，故作为猜想提出：1．三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30°2．三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30°已经得出的结论是：当三角形为等腰三角形时，θ1、θ2均为0°；θ1、θ2取接近30°值时，三角形不可能是等腰三角形或直角三角形．一个典型的实例是当三角形的三边为34、2493、2509时，θ1=29.658°．七是其它一些性质：1．三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合．2．中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合，且两质心重合，中点三角形的垂心与原三角形的外心重合，两条欧拉线上的垂心、质心、外心排列方向相反．3．两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2．4．三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形（以下简称“垂足三角形”）的第一九点圆半径之比为2:1．5．三角形内接于它的旁心三角形*．6．三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角，且垂直与旁心三角形的一边，从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*．作为特殊三角形的等腰三角形，它的九心线与欧拉线重合，并且是等腰三角形的对称轴，该线经过与三角形有关的无数“颗”心．例如：它经过三角形本身的垂心、质心、外心、内心和一个旁心等“五心”，经过三角形的旁心三角形的五心，旁心三角形的旁心三角形的五心……，三角形的中点三角形的五心，中点三角形的中点三角形的五心……，三角形的分角三角形的五心，分角三角形的分角三角形的五心……，三角形的垂足三角形的五心，垂足三角形的垂足三角形的五心……，以及各三角形的复合三角形的一些心，等等．。

七年级数学下册第九章《三角形》素材：坏狐狸和三角形鸡妈妈孵出了四只小鸡，她又高兴又担心．高兴的是四只鸡宝宝个个欢蹦乱跳，真是惹人喜爱；担心的是坏狐狸会来偷吃鸡宝宝．为了防备坏狐狸偷吃鸡宝宝，鸡妈妈找来许多木板和木棍搭了一间平顶小木房．鸡妈妈想，有了房子就不怕坏狐狸来了．深夜，田野静悄悄的．月光下，一条黑影飞快地跑向小木房．“砰、砰！”一阵敲门声把鸡妈妈惊醒．“谁？”鸡妈妈问．“是我，老公鸡，快开门吧．”一种十分难听的声音在回答．鸡妈妈想，不对呀！老公鸡出远门了，需要好多天才能回来呢．这难听的声音根本不是老公鸡的声音．鸡妈妈大声地说：“你不是老公鸡，快走开！”坏狐狸一看骗不成，就露出了狰狞的面目．他厉声喝道：“快把小鸡崽给我交出来！不然的话，我要推倒你的房子，把你们统统吃掉！”鸡妈妈心里虽然害怕，嘴里却说：“不给，不给，就是不给！我的鸡宝宝不能给你吃．”坏狐狸大怒，使劲地摇晃平顶木房子，吓得四只小鸡躲在鸡妈妈的翅膀下发抖．摇了一会儿，房架倾斜了．房顶和墙之间露出个大缝，一只大狐狸爪子伸了进来，抓起一只鸡宝宝就跑．天亮了，小鸟飞来飞去在寻找食物．一阵哭声，惊动了他们．小黄雀问：“鸡妈妈，你哭什么呀？”鸡妈妈一边哭一边说：“我修了一个平顶木房，防备坏狐狸来偷吃鸡宝宝，谁知平顶木房不结实，让坏狐狸三推两推给推歪了．坏狐狸抢走一只鸡宝宝，呜……”啄木鸟说：“小喜鹊会盖房子．还是请他来帮你盖一座结实的房子吧！”不一会儿，啄木鸟把喜鹊请来了．喜鹊说：：“我只会搭窝，哪里会盖房子呀！”“那怎么办？”大家犯愁了．喜鹊说：“有一次我在大树上，听见树下几个建筑工人说，三角形的房顶最结实．”啄木鸟着急地说：“谁见过三角形是什么样子啊？”喜鹊衔来三根树枝，摆了一个三角形．大家说：“就按这个样子来盖吧．”小鸟们有的衔树枝，有的衔泥，啄木鸟在木头上啄出小洞，喜鹊用细枝条把木头都绑起来．在太阳快落山的时候，一座三角形房顶的新房子盖好了．可是，鸡妈妈又说：“三角形的屋顶是比较牢靠，可是我们不能总待在房子里面呀！我们一出来，坏狐狸一定会来抓鸡宝宝的．”百灵鸟说：“那咱们帮鸡妈妈在房子外面围一圈木栅栏，再装一个木栅栏门进出，这不就可以防备坏狐狸了吗？”大家都说这个主意好，于是一起动手筑了一道木栅栏．他们还把上头削尖了，防止坏狐狸跳进来．最后装上一个长方形的木栅栏门．小喜鹊说：“长方形的门容易变形，给它斜钉上一块木板，变成两个三角形就牢固多了．”晚上，坏狐狸果然又来了．他直奔木栅栏门，使劲摇晃门．只听“扑通”一声，他掉进了大家挖的陷阱里．陷阱底全是三角形的木尖钉，狡猾的狐狸丧了命．鸡妈妈高兴地说：“三角形用处可真大呀！是它的稳定性使我们的房屋和栅栏门都变得很坚固，保卫了我的宝宝们．”选自《300个新数学故事》。

七年级数学下册第九章《三角形》素材：
三角形编家谱
三角形接到上级通知，要交一份家谱．回到家后，他把全家老小喊到一块，说：“为了管好咱们这一大家子，不给村里添麻烦，今天我们重新梳理门户，编制一个家谱．我觉得这可以有两种分法，一种是按角分类，你们可以分为兄弟三家：老大是钝角三角形，即有一个角是钝角；老二是直角三角形，即有一个角是直角；老小是锐角三角形，三个角都是锐角．另一种是按边分类．”
三角形刚画完，等边三角形就嚷开了：“老头子偏心眼，钝角三角形、直角三角形、锐角三角形平起平坐，三分天下，我为什么要比等腰三角形晚一辈，是不是别人都送礼了？”
“糊涂！这辈份是能随便改的吗？有两条腰相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的才叫等边三角形，你比等腰三角形多了一个条件，你是一个特殊的等腰三角形．”老头子气得吹胡子瞪眼．“其实也没什么奇怪的，按角分的话，等边三角形三个角都是60°，只能算是锐角三角形．我就不同了，三种都可能是．”等腰三角形说完之后摇身一变．
三角形最后强调：“稳定性是我们三角形家族的最大特点，今后，我们一定要保持团结稳定的大好局面．”
1。

三角形三边关系的应用“三角形中任意两边之和大于第三边”及“三角形任意两边之差小于第三边”这两个结论在某些问题中是必备知识，同学们一定要力求熟练掌握，现举例说明．1．判定三角形是否存在当线段A.B.c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a≤b≤c，只要满足a+b＞c便可构成三角形．例1 等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形底边的长．解：如图1所示，设这个三角形腰长2xcm，底边长ycm，则∵8+8＜17，故不能构成三角形，∴这个三角形的底边长5cm．注：在求三角形边长时，一定要注意构成三角形的条件．例2 ABCD的边长 AB=5cm，那么它的两条对角线AC.BD的长可能是 [ ]A． 4cm和6cm B．3cm和7cm．C．4cm和8cm D．2cm和12cm．(第九届“希望杯”初二培训)解：如图2，ABCD中，对角线AC 、对于选择A.B 都有OA+OB=AB，故不正确，对于 D有 AO+ AB= OB故也不正确，所以只能选C．2．确定某条边的取值范围三角形中一边的长小于其它两边之和而大于它们的差．例3 一个三角形的周长为偶数，其中两条边的长分别是4和1997，则满足条件的三角形的个数是_______．解：∵4+1997+c是偶数，∴ c为奇数．又∵ 1993＜c＜2001，∴ c只能取1995、1997、1999．故满足条件的三角形有3个．3．化简例4 若A. B. c为三角形的三条边长，则-(a+b+c)+｜a-b-c｜-｜b-c-a｜+｜c-b-a｜= [ ]．(A)2(a-b-c) (B)2(b-a-c)．(C)2(c-a-b) (D)2(a+ b+ c)．(第六届“希望杯”初二试题)解：由三角形三边关系，有a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-b-a＜0，∴原式=- a- b- c+ b+ c- a-(a+ c- b)+ a+b- c= 2(b- a- c)．∴选(B)．4．证明不等式例5 设三角形两条高线的长分别是12和20，证明第三条高线的长小于30．证明：设△ABC的边长为a，b，c，对应高为h1=12，h2=20，h3，三角形面积为S，则∵a-b＜c．5．其它例6 用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．(97太原市初中数竞)解设三角形各边需火柴杆的根数为x、y、3x．则由①得y=100-4x，分别代入②、③、④．解得∵ x为正整数，∴ x=15，16，∴满足条件的三角形有两组，需用火柴的根数分别是15，40，45或16，36，48．例7 △ABC的一边为5．另外两边的长是方程2x2-12x+m=0的两根，那么，m的取值范围是______． (97年四川初中数竞)解设△ABC中．三边为A.B.c．a≤b．c=5．。

三角架的竖立三角架在生活中用处很大:如摄影爱好者用它来支撑照相机；露营野炊者用它来做烧水做饭的支架；测量定位用的定位仪……。

把三根杆子的一端系在一起，另一端支开，就构成了一个三角架。

系在一起的是三角架的“头”，支开的三端则是三角架的三只“脚”。

三角架简单实用，但使用时必须注意，三角架的“头”应处在它的三只“脚”所构成的三角形之中，这样才稳定。

若三角架的“头”偏出了三只“脚”所在的三角形区域外，那么三角架就会翻倒。

这是因为任何物体都有一个重心，如果物体的重心越出物体支撑点的范围，物体就会不稳甚至翻倒。

表演杂技顶花瓶的演员正是利用了这一原理，才会有了惊人的表演。

演员把一根木棒顶在放有花瓶、茶杯等东西的玻璃板下，使得玻璃板上的重心落在木棒上，玻璃板上的花瓶、茶杯等就不会翻倒。

要使三角架稳定，就应该使它的“头”的重心落在它的支撑点范围(三角架的“脚”所构成的三角形)之内。

所以正确掌握重心位置是物体稳定的关键。

一般地可以用几何作图法求三角形的重心。

在三角形ＡＢＣ的三条边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ上，分别找出它们的中点Ｄ、Ｅ、Ｆ，连结ＡＥ、ＢＦ、ＣＤ，那么这三条线必相交于一点Ｏ，Ｏ点就是这个三角形的重心。

第1课时完全平方公式[知识与技能]理解公式的本质 , 从差别的层次上理解完全平方公式 , 并会运用公式进行简单的计算 , 了解完全平方公式的几何背景.[过程与方式]经历探索完全平方公式的过程 , 并从推导过程中 , 培养学生观察、发现、归纳、概括、猜测等探究创新能力 , 发展逻辑推理能力和有条理的表达能力 , 培养学生的数形结合意识.[情感态度]在学习中使学生体会学习数学的乐趣 , 培养学习数学的信心 , 感受数学的内在美.[教学重点]1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点 , 用自己的语言说明公式及其特点.2.会用完全平方公式进行运算.[教学难点]会用完全平方公式进行运算.（一）情景导入 , 初步认知同学们 , 前面我们学习了多项式乘多项式法那么和合并同类项法那么 , 你会计算以下各题吗?(x+3)2= ,(x-3)2= ,这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试:(2m+3n)2= , (2m-3n)2=.[教学说明]让学生运用多项式乘以多项式的法那么进行计算 , 为本节课学习完全平方公式做准备.（二）思考探究 , 获取新知1.计算以下式子 , 你能发现什么规律？(1)(a+1)2 ;=(a+1)(a+1)=a2+a+a+12=a2+2×a+12=a2+2a+122.观察上面的计算结果 , 回答以下问题 :(1)原式的特点？两数和的平方.(2)结果的项数特点？等于它们平方的和 , 加上它们乘积的两倍.(3)三项系数的特点？(特别是符号的特点).(4)三项与原多项式中两个单项式的关系.3.再举两例验证你的发现.4.你能用自己的语言表达这一公式吗？[归纳结论]两数和的平方 , 等于它们平方的和 , 加上它们乘积的两倍.即 : (a+b)2=a2+2ab+b2.5.用一个边长为a+b的正方形按以以下图分割成4块 ,你能用这个图形来解释完全平方公式吗？6.议一议 : (a－b)2= ？你是怎样做的？7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言表达这一公式.[归纳结论]两数差的平方 , 等于它们平方的和 , 减去它们乘积的两倍.即 : (a-b)2=a2-2ab+b2.上面的两个公式称为完全平方公式.8.分析完全平方公式的结构特点 , 并用语言来描述完全平方公式.结构特点 : 左边是二项式(两数和(差))的平方 ; 右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.语言描述 : 两数和(或差)的平方 , 等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍.[教学说明]让学生观察、思考、总结 , 归纳 , 使之掌握基本的数学活动经验 , 让学生用文字语言表示公式 , 提高学生运用数学语言的能力.（三）运用新知 , 深化理解1.见教材P45例4.3.以下各式中哪些可以运用完全平方公式计算(C)A.(a+b)(a+c)B.(x+y)(－y+x)C.(ab－3x)(－3x+ab)D.(－m－n)(m+n)4.计算 :[教学说明]让学生熟悉公式的特征 , 培养学生的观察、分析、归纳概括的能力 ; 让学生思考、得出结论 , 可以使学生有效防止出现易错的符号问题.（四）师生互动,课堂小结通过本节课的学习 , 你在知识上有哪些收获 , 哪些能力得到了提高？引导学生自主总结 , 组织学生互相交流各自的收获与体会 , 成功与失败.明确以下几点 :1.完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称.2.公式中的a、b可以是任意数或代数式.3.公式的条件是 : 两数和的平方或两数差的平方.1.布置作业:教材第50页〞习题2.10平面直角坐标系知识点归纳总结2. 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；3.坐标平面上的任意一点P 的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（b a ,）一一对应；其中，a 为横坐标，b 为纵坐标坐标；3、x 轴上的点，纵坐标等于0；y 轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限；2.四个象限的点的坐标具有如下特征：小结：（1）点P （y x ,）所在的象限 横、纵坐标x 、y 的取值的正负性； （2）点P （y x ,）所在的数轴 横、纵坐标x 、y 中必有一数为零；3. 在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a4. 平行直线上的点的坐标特征：a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；-2b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；5. 对称点的坐标特征：a) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；b) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；c) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称6. 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；b) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；XXXXP X-在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上X。

三角形三边关系性质的应用“三角形任意两边的和总大于第三边”这个性质是三角形最基本的性质之一，它的应用十分广泛，下面举例说明．例1 等腰三角形的两边为4，8，则它的周长为_______.分析：从表面上看本题有两种可能，以4、4、8为边的等腰三角形和以8、8、4为边的等腰三角形，但前者不符合三角形的三边关系，所以周长为20．例2 不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比k的取值范围是 [ ](98年江苏省初中数学竞赛题)解：如图1，设BC=a，AC=b(a＞b)，高AD.BE分别为ha，说明：利用三角形的三边关系衡量能否组成三角形或已知三角形的三边确定某边的敢值范围时，要注意性质中“大于”二字，而不是相等，“任意”两边而不是其中两边．例3 四边形ABCD中，O为对角线交点，解：如图2，在△ABC中，由三边关系得AB+BC＞AC，①同理可得：BC+CD＞BD，②CD+DA＞AC，③DA+AB＞BD．④由①②③④得2(AB+BC+CD+DA)＞2(BD+AC)．∴AB+BC+CD+DA＞BD+AC在△AOB中 OA+OB＞AB，①同理得OB+OC＞BC，②OC+OD＞CD ③OD+OA＞AD ④由①②③④得2(OA+OB+OC+OD)＞AB+BC+CD+DA．例4 若A.B.c为△ABC的三边，求证关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根．证明：∵△=(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a)在△ABC中，∵b+c＞a，∴b+c-a＞0．同理 b-c+a＞0，b-c-a＜0．∴△＜0．∴关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0没有实数根．说明：三角形的三边关系常常用来解决一些几何或代数证明题．例5 如图3，D为△ABC的边AC上一点，分别在AB.BC上求作点E.F，使△DEF的周长最小．(96年江苏省扬州中学提前招生试题)作法：分别以BC.AB所在的直线为对称轴，作出D点的对称点 D′、D″，连结 D′D″交AB于E.BC于F，∴△DEF为所求作的三角形．证明：由轴对称图形的性质可知ED=ED″，FD=FD′，∴D′D″代表了△DEF的周长．若E′点在AB上除E点外的一点，在△D″E′ D′中由三边关系的性质可知，D″E′+E′ D′＞D′ D″同理若F′点在BC上除F点外的一点，也能说明 D′ D″最小．说明：利用三角形的三边关系解作图题是同学们解题时常忽略的方法．原几何教科书第二册91页中的例3就是个很好的说明．《比较线段的长短》说课稿一、教材分析1、地位和作用分析：《线段的长短比较》内容选自北师大版教材七年级上册第四章第二节的内容。