2009数学建模试题与答案

问题分析和解决方法从题目要求出发，主要需要解决三个问题：1）预测本届会议与会代表的数量, 并确定需要预订各类客房的数量；2）确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量；3）确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室以及租车的规格和数量。

问题1是求解问题2，3的前提，首先应该根据附表2，3的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。

确定预订客房总量时，应使会议筹备组在订房上的损失尽量小，损失包括：预订客房数超过实际用量时需要支付的一天空房费；预订客房数不够时引起代表不满的“费用”，后者要用适当的数学表达式加以量化。

根据附表2数据中本届会议的代表所需要6种类型的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客房的数量。

问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意，如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。

若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。

以宾馆总数最少为目标的优化模型其最优解一般不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、客房价格等因素，从几个解中选出相对较好的一个。

问题3主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。

租车要考虑多少代表参加哪个分组会议, 题目中没有这方面的信息, 可以按照平均的、随机的方式处理。

当建立优化模型时, 可用租借会议室和客车的总费用最少为目标函数, 以满足对会议室数量、大小及租车的需要为约束条件, 以租用会议室和车辆的规格、数量为决策变量。

将问题2, 3统一建立模型并求解有一定困难, 可在问题2几个解的基础上解问题3，通过比较得出最后结果。

一种参考解法1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量设有n届同类型会议的历史数据可利用(n较小, 本题n=4)第i届发来回执的代表数量ai第i届发来回执但未与会的代表数量bi第i届未发回执而与会的代表数量ci第i届与会代表数量di= ai- bi+ ci•比例法预测第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai emean，emax本届发来回执数量A预测本届会议与会代表数量Nmean=Aemean=661Nmax=Aemax=6781. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量• 建立di 对ai的回归模型用线性模型预测本届会议与会代表数量N =638确定预订客房的总量考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用”• 适当提高预测的与会代表数量•对未发回执而与会的代表另作安排 • 参考“航空公司的预订票策略”模型（姜启源等：《数学模型（第三版）第284页》1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量本届会议要求合住、独住各s (=3)种价位(类型)代表数量及所占比例 (合住考虑性别) 预订客房的总量预订各类客房的数量需要预订合住第j 种类型客房数量T 1j需要预订独住第j 种类型客房数量T 2j第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住或独住)能提供的间数C 1ij第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)能提供的间数C 2ij2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量以宾馆总数最少为目标，以满足代表在合住、独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，建立优化模型.决策变量设共有r 家宾馆双人、单人房各s 种类型预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住)间数 x 1ij预订第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)间数 x 2ij预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(改独住)间数 yij第i 家宾馆的选择变量 ki (ki =0,1)目标函数约束条件满足需求250300350400450500550600650∑==r i i k z 1min s j T x k j r i ij i ,,2,1,111 =≥∑=s j T y x k j ij r i ij i ,,2,1,)(212 =≥+∑=满足供给求解整数规划模型（LINGO ）最优解一般不唯一，可得到多个解可考虑距离因素、价格因素等确定最终方案或者在这些解的基础上进入下一步，根据租借会议室和租车情况确定最终方案.3. 确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室 以及租车的规格和数量预订会议室的原则：• 每个会议室的容量至少为与会总人数的1/6• 会议室位于预订客房的宾馆内租车的原则：•与会总人数1/6的代表不需接送 • 宾馆距离在一定范围内的代表不需接送• 一辆车每次会议最多接送2趟以会议室和客车的租费最小为目标建立优化模型求解对学生论文的评述基本情况• 绝大多数同学都能根据对问题的理解和掌握的数学知识，给出解决问题的方法，并得到所要求的结果。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。

试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。

（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。

以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。

当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。

容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。

为消除这一不确定性，令()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。

由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。

又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。

不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。

证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。

作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题制动器试验台的控制方法分析汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。

制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。

但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。

模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。

制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。

被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。

试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。

将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。

试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。

飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。

房地产业发展问题住房问题是关系民生的大问题。

自2001年以来，随着居民生活水平提高，居民消费结构升级带动产业结构升级，工业化进程加快和城镇化率快速提高，使中国经济进入了以住房、汽车、电子通讯、能源和基础原材料业较快发展的新一轮增长周期。

其中，房地产、钢铁、水泥等行业投资迅猛增长，带动了整个固定资产投资的快速增长。

2004年1-2月份固定资产投资完成额增长53％，经济运行中出现了新的不平衡，能源、运输供应紧张，居民消费品价格指数(CPI)开始走高（6月同比上涨5％），中国经济运行出现偏热的迹象。

从2003年下半年开始，房地产业在发展过程中出现了部分地区房地产投资过热、房价上涨过高的现象，各项指标表明中国房地产存在一定程度的泡沫（测定房地产泡沫的指标可参照附件一）。

为保持经济健康稳定的发展，近年来，中央政府综合运用经济、法律和必要的行政手段，以区别对待和循序渐进的方式，对房地产业连续出台了一系列宏观调控政策。

从阶段和性质上分析，可划分为两个阶段。

第一阶段：2003年以“121号文”为标志，紧缩型房地产调控拉开序幕，2004年调控加强，2005-2006年达到高潮，2007年属于持续阶段，并延续至2008年上半年。

第二阶段：从2008年下半年开始，由地方到中央，开始放松调控，其性质是松绑，节奏逐渐加快，这是一个过渡性的阶段。

总体来看，调控初见成效。

但房地产市场仍然存在住房供给结构不合理、部分城市房价上涨太快、中低收入居民住房难以满足等问题。

2008年，在世界金融危机和国内经济下行的双重外部压力下，在行业自身调整的内部推动下，全国房地产市场出现了周期性变化，由增长期转变为衰退期，2009年世界经济形势非常严峻，这场百年一遇的金融危机，目前尚看不出何时会到底，最坏的时间或许还没有到来，世界经济步入衰退，已没有什么悬念，这必将对我国房地产业产生巨大影响。

附件二提供了1998——2008年我国相关房地产政策，附件三提供了某城市2003——2008年房地产业的部分数据，请针对以下问题进行研究。

制动器试验台的控制方法分析摘要制动器试验台是专门模拟车辆制动过程的试验台。

通过分析制动器试验台的工作原理,可知对制动器实验台的控制实质是对一个闭环系统的控制。

由于制动器制动过程中存在着力矩平衡关系，通过对此力矩平衡关系的变换，得以在电动机驱动电流和可观测量之间建立起可靠的数学关系，为系统数学模型的建立、优化以及系统反馈控制提供了依据。

由于制动器实验台进行的模拟实验需代替车辆路试，所以要求试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致，即要求在制动过程中，试验台上飞轮的制动角减速度与路试时车轮上的制动角减速度尽可能一致。

但由于飞轮与主轴组成的机械惯量和车辆的等效转动惯量之间总存在差异，所以需要利用试验台上的电机补偿扭矩，以达到路试的效果。

这就要求制动器实验台控制系统需有较高的控制精度。

考虑到当前PID （即比例—积分—微分）控制成熟的应用环境和良好的控制效果,本文将其引入到制动器试验台的控制中。

通过对制动器试验台的分析,本文首先建立了理想的纯比例控制模型（模型一），但由于此模型在干扰的情况下总存在波动和稳态误差，所以就有必要对纯比例控制模型进行优化，于是导出了更为符合实际控制情况的PID 控制模型（模型二）,并详细论述了决定PID 模型控制效果的三个参数(p K 、e T 、d T )的整定方法,继而引出PID 控制模型的计算机控制方法，同时编写了PID 模型的单片机控制例程，使PID 模型在制动器试验台的应用上具有了实在的意义。

在本文中,还从模拟实验的原则和制动消耗的能量误差两个方面对问题4给出的某种控制方法进行了评价，综合的评价结果是该种控制方法基本可行。

关键字：模拟试验台 控制 PID一、问题的提出汽车行驶时能在短时间内停车且方向稳定和在下长坡时能维持一定车速的能力，称为汽车的制动性。

汽车制动性能直接关系到行车安全，是汽车的主要性能之一，直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

2003-2009全国大学生数学建模竞赛试题及参考答案2010-7-192005A题: 长江水质的评价和预测 (2)2005 A题评阅要点 (4)2005B题： DVD在线租赁 (6)2005 B题评阅要点 (8)2006A题:出版社的资源配置 (10)2006A题评阅要点 (10)2006B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (13)2006 B题评阅要点 (14)2007A题：中国人口增长预测 (17)2007 A题评阅要点 (18)2007 B题：乘公交，看奥运 (21)2007 B题评阅要点 (22)2008A题数码相机定位 (24)2008 A题评阅要点 (27)2008B题高等教育学费标准探讨 (27)2008B题评阅要点 (29)2009 A题制动器试验台的控制方法分析 (30)2009 A题评阅要点 (32)2009B题眼科病床的合理安排 (35)2009 B题评阅要点 (36)2005A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。

专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。

”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。

2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。

为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。

附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。

通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。

2009年数学建模竞赛试题每个参赛队只需在A题与B题中任选一题做即可，每队最多由三个人组成。

A题：优秀毕业生评选问题现在每个学校为了鼓励广大学生在校期间勤奋学习、刻苦钻研，促进大学生德、智、体、美等方面全面发展都会在大学的第八个学期开展校级优秀毕业生的评比活动。

在以往评比过程中除了要求学生具备如(1)具有坚定的政治方向，热爱社会主义祖国，拥护中国共产党的领导，坚持四项基本原则，能模范遵守国家的法律法规和《高等学校学生行为准则》。

(2)努力学习马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想，能够树立正确的世界观、人生观和价值观。

(3)学习目的明确，学习态度端正，学习成绩优良等基本条件后，然后在综合学生在校期间获三好学生、获过奖学金、优秀学生干部、参加学科竞赛、学生科研等情况，最后由学生管理部门评出校级优秀毕业生。

但这评选过程多少存在一些不合理的现象。

现请你利用数学建模的方法，针对我校情况考虑以下几个问题：(1)建立一种科学合理的评选优秀毕业生的数学模型，根据模型建立一个完整的评选方案；(2)根据你们建立评选模型和评选方案，对附件1的提供的数据进行评选，评出10名校级优秀毕业生；(3)针对目前高等教育大众化的背景下，提出了一种“合格+特长”的评价理念，请你针对这种理念下的建立评选优秀毕业生的数学模型，并根据附件1提供的数据评出10名优秀毕业生。

(4)根据你们建模分析的结果，给学校有关部门写一份报告，提出你们自己评选优秀毕业生的具体建议。

B题：旅游路线选择问题某单位要组织外出旅游。

出游时间定在5月下旬的某个周末（周六、日2天），按惯例由单位补助经费为每人500元。

经与旅游公司联系协商，旅游公司提供了三条线路（见附件一）。

三条线路的报价均在500元上下，超出500元的部分自费，未超的部分将以提供更好的住宿条件等形式补足。

1．单从行程安排看，有人认为，线路一比较合理，线路二和线路三就比较差。

你们是否同意他的看法？2．有员工从行程角度考虑，选择了线路一；有员工从价格角度考虑，也选择了线路一；有员工由于以前去过黄山，选择了线路二；有员工从景色等角度考虑，选择了线路三。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

1．考虑最简单圆形轨道和一般的椭圆轨道假设卫星测控站分布在与卫星轨道共面的地球表面，且卫星的运行轨道为圆。

利用几何关系给出全部覆盖需要的测控站点数与卫星高度的关系。

如卫星高度100 200 300 343 400 500观测站数24 16 12 12 11 10当卫星的运行轨道为椭圆，卫星运行轨道的一个焦点在地球中心，利用几何关系给出每个测控站的覆盖范围。

然后利用数值方法对测控站点进行优化，给出一些具体结果（数量和位置）。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B题眼科病床的合理安排医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。

该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。

附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。

目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。

做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。

如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。

这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。

当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。