09年数学建模A题(含代码)

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。

（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。

（4分）解：圆盘总数：202010022⨯=排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。

（4分）解：行数：111+=圆盘总数：20111110522-⨯+=（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。

（5分）解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106（此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。

）2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

5分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

5分解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3（2）a, 则一个最粗略的模型为更好的模型：()y k w aγ=-3、 （10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。

（5分） （2）给出单位重量价格c与w 的关系，并解释。

A题电力变压器铁心柱截面的优化设计电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。

我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。

根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。

现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。

电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。

为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。

截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。

阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。

由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。

因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。

铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。

而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。

设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。

显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。

但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。

表1 铁心柱截面级数的选择铁心柱直径mm 级数80-195 5-7200-265 8-10270-390 11400-740 12-14760以上>15问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。

问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。

因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。

请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。

问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。

2009年数学建模集训题目第1题A题纯净水安全监控问题日趋加剧的水污染，已对人类的生存安全构成重大威胁，成为人类健康、经济和社会可持续发展的重大障碍。

据世界权威机构调查，在发展中国家，各类疾病有8%是由于饮用了不卫生的水而传播的，每年因饮用不卫生水至少造成全球2000万人死亡，因此，水污染被称作"世界头号杀手"。

我国政府对纯净水安全问题十分重视，已将纯净水安全作为一项重要的公共管理目标，采取了一系列措施，强化纯净水安全的监管，并取得了初步成效。

但纯净水安全问题的总体形势仍不容乐观，依然存在一系列隐忧，近年来食品安全方面的恶性、突发性事件屡屡发生。

2007年07月12日，南通一纯净水厂发生造假事件。

2008年3月底，贵阳市发生数百人感染甲肝事件，经卫生部中国疾控中心专家组核查，确认“竹源牌”桶装水是造成疫情爆发的主因。

2009年03月25日，某大学B区学生饮用了“清清”牌桶装纯净水后，百余学生先后出现集体腹泻事件。

2009年2月26日，湖南师范某寝室在长沙爱高普纯净水有限公司订购的桶装纯净水中出现了黑色虫子事件。

生物性和化学性污染对纯净水安全的影响愈来愈严重。

本问题主要考虑纯净水的以下危害因素: （按照危害的严重性依次给出）“电导率”: 是纯净水的特征性指标，反映的是纯净水的纯净程度，以及生产工艺控制的好坏，“电导率”根本达不到国家卫生标准要求，与自来水无异，根本不能算做纯净水。

菌落总数: 是指纯净水检样经过处理，在一定条件下培养后所取1ml（g）检样中所含菌落的总数。

它可以作为判定纯净水被污染程度的指标之一。

大肠菌群：反映纯净水加工过程中对大便污染程度的一个指标。

数值越高证明污染越严重。

霉菌：食物霉变后产生，直接引起中毒，或产生致癌物质，毒害人体。

纯净水的安全危机的爆发，往往是日常的监控机制和管理长期存在漏洞的反映。

完整、有效的纯净水安全风险分析监测预控，为政府及有关部门实施控制措施提供决策依据和技术支持，可以有效提高纯净水安全监管效率和管理水平，及时化解可能出现的安全危机。

制动器试验台的控制方法分析摘要由于在车辆设计阶段无法对汽车的制动器进行路试，为了检测制动器的综合性能，需要在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验，所以设计一种模拟性好、误差较低的制动器试验台控制方法是非常重要的。

本文主要针对制动器试验台的控制方法进行了深入分析与研究。

针对问题1，本文根据能量守恒定律，将车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，最后求得等效的转动惯量J=52kg·m 2。

针对问题2，本文根据物理学中刚体转动惯量的求解公式分别算出3种不同飞轮的所具有的转动惯量：30kg·m 2、60kg·m 2 、120 kg·m 2；由于基础惯量为10 kg·m 2，根据排列组合知识得到8种机械惯量：10kg·m 2、40kg·m 2、70kg·m 2、100kg·m 2、130kg·m 2、160kg·m 2、190kg·m 2、220kg·m 2；根据电动机补偿惯量的范围[-30, 30]kg·m 2及问题1等效的转动惯量52 kg·m 2，可以计算出需要用电动机补偿的惯量为12kg·m 2或-18kg·m 2。

针对问题3，本文采取机械惯量和电惯量组合的形式，建立了电动机驱动电流依赖于可观测量主轴上的制动力矩的数学模型，其表达式为：dtd J J I a n )(k 30-=π，代入相应数据可得驱动电流为I =174.8A 或I=-262.2A 。

针对问题4，由于评价控制方法优劣的一个重要的数量指标是能量误差的大小，本文根据这一指标求得了所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中所消耗能量的相对误差为：5.4%，超出了国家规定的允许误差±5%，此控制方法不是很合理。

制动器试验台的控制方法分析摘要制动器试验台是专门模拟车辆制动过程的试验台。

通过分析制动器试验台的工作原理,可知对制动器实验台的控制实质是对一个闭环系统的控制。

由于制动器制动过程中存在着力矩平衡关系，通过对此力矩平衡关系的变换，得以在电动机驱动电流和可观测量之间建立起可靠的数学关系，为系统数学模型的建立、优化以及系统反馈控制提供了依据。

由于制动器实验台进行的模拟实验需代替车辆路试，所以要求试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致，即要求在制动过程中，试验台上飞轮的制动角减速度与路试时车轮上的制动角减速度尽可能一致。

但由于飞轮与主轴组成的机械惯量和车辆的等效转动惯量之间总存在差异，所以需要利用试验台上的电机补偿扭矩，以达到路试的效果。

这就要求制动器实验台控制系统需有较高的控制精度。

考虑到当前PID （即比例—积分—微分）控制成熟的应用环境和良好的控制效果,本文将其引入到制动器试验台的控制中。

通过对制动器试验台的分析,本文首先建立了理想的纯比例控制模型（模型一），但由于此模型在干扰的情况下总存在波动和稳态误差，所以就有必要对纯比例控制模型进行优化，于是导出了更为符合实际控制情况的PID 控制模型（模型二）,并详细论述了决定PID 模型控制效果的三个参数(p K 、e T 、d T )的整定方法,继而引出PID 控制模型的计算机控制方法，同时编写了PID 模型的单片机控制例程，使PID 模型在制动器试验台的应用上具有了实在的意义。

在本文中,还从模拟实验的原则和制动消耗的能量误差两个方面对问题4给出的某种控制方法进行了评价，综合的评价结果是该种控制方法基本可行。

关键字：模拟试验台 控制 PID一、问题的提出汽车行驶时能在短时间内停车且方向稳定和在下长坡时能维持一定车速的能力，称为汽车的制动性。

汽车制动性能直接关系到行车安全，是汽车的主要性能之一，直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

PROBLEM A: Designing a Traffic CircleMany cities and communities have traffic circles—from large ones with many lanes in the circle (such as at the Arc de Triomphe in Paris and the Victory Monument in Bangkok) to small ones with one or two lanes in the circle. Some of these traffic circles position a stop sign or a yield sign on every incoming road that gives priority to traffic already in the circle; some position a yield sign in the circle at each incoming road to give priority to incoming traffic; and some position a traffic light on each incoming road (with no right turn allowed on a red light). Other designs may also be possible.The goal of this problem is to use a model to determine how best to control traffic flow in, around, and out of a circle. State clearly the objective(s) you use in your model for making the optimal choice as well as the factors that affect this choice. Include a Technical Summary of not more than two double-spaced pages that explains to a Traffic Engineer how to use your modelto help choose the appropriate flow-control method for any specific traffic circle. That is, summarize the conditions under which each type of traffic-control method should be used. When traffic lights are recommended, explain a method for determining how many seconds each light should remain green (which may vary according to the time of day and other factors). Illustrate how your model works with specific examples.PROBLEM B: Energy and the Cell PhoneThis question involves the “energy” consequenc es of the cell phone revolution. Cell phone usage is mushrooming, and many people are using cell phones and giving up their landline telephones. What is the consequence of this in terms of electricity use? Every cell phone comes with a battery and a recharger.Requirement 1Consider the current US, a country of about 300 million people. Estimate from available data the number H ofhouseholds, with m members each, that in the past were serviced by landlines. Now, suppose that all the landlines are replaced by cell phones; that is, each of the m members of the household has a cell phone. Model the consequences of this change for electricity utilization in the current US, both during the transition and during the steady state. The analysis should take into account the need for charging the batteries of the cell phones, as well as the fact that cell phones do not last as long as landline phones (for example, the cell phones get lost and break).Requirement 2Consider a second “Pseudo US”—a country of about 300 million people with about the same economic status as the current US. However, this emerging country has neither landlines nor cell phones. What is the optimal way of providing phone service to this country from an energy perspective? Of course, cell phones have many social consequences and uses that landline phones do not allow.A discussion of the broad and hidden consequences of having only landlines, only cell phones, or a mixture of thetwo is welcomed.Requirement 3Cell phones periodically need to be recharged. However, many people always keep their recharger plugged in. Additionally, many people charge their phones every night, whether they need to be recharged or not. Model the energy costs of this wasteful practice for a Pseudo US based upon your answer to Requirement 2. Assume that the Pseudo US supplies electricity from oil. Interpret your results in terms of barrels of oil.Requirement 4Estimates vary on the amount of energy that is used by various recharger types (TV, DVR, computer peripherals, and so forth) when left plugged in but not charging the device. Use accurate data to model the energy wasted by the current US in terms of barrels of oil per day.Requirement 5Now consider population and economic growth over the next 50 years. How might a typical Pseudo US grow? For each 10 years for the next 50 years, predict the energy needs for providing phone service based upon your analysis in the first three requirements. Again, assume electricity is provided from oil. Interpret your predictions in term of barrels of oil.。

2009年数学建模竞赛赛题
2009年全国大学生数学建模竞赛赛题有A题和B题。

A题是设计一个交通环路。

题目描述了许多城市和社区存在的交通圈，需要用一个模型来确定如何最好地控制交通，绕流，并走出了一条循环。

需要考虑影响这种选择的因素，包括一个不超过两个双页纸的技术总结，并说明交通工程师如何使用模型来帮助选择适当的流量控制任何特定交通圈的方法。

B题是能源与手机。

这个问题涉及到手机革命的“能源”后果。

每部手机配备了一个电池和一个充电器。

以上信息仅供参考，建议查阅全国大学生数学建模竞赛官网了解更多赛题内容。

2009 Contest ProblemsMCM PROBLEMSPROBLEM A: Designing a Traffic Circle问题A：设计一个道路的圆形交叉路口Many cities and communities have traffic circles—from large ones with many lanes in the circle (such as at the Arc de Triomphe in Paris and the Victory Monument in Bangkok) to small ones with one or two lanes in the circle. Some of these traffic circles position a stop sign or a yield sign on every incoming road that gives priority to traffic already in the circle; some position a yield sign in the circle at each incoming road to give priority to incoming traffic; and some position a traffic light on each incoming road (with no right turn allowed on a red light). Other designs may also be possible.很多城市和社区有一些道路的圆形交叉路口----大的有很多路口（例如巴黎的Arc de Triomphe和Bangkok的Victory Monument），小的有一两个路口。

一些圆形交叉路口在每个进口处设置停止或让路标识，使已经在环形交叉路口的车辆拥有优先权；有的在进口处只设置停止标识（在红灯时不允许右转）。