高一数学圆的方程

高一数学必修二知识点解析：圆的方程数学是一门很特别的科目，想要学好数学并不能难，只要掌握重要的知识点就可以得心应手，小编为大家整理了高一数学必修二知识点解析：圆的方程一文，希望能够帮助到各位同学们的复习。

高一数学知识点解析：圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r；（2）一般方程当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

高一数学圆方程知识点圆方程是高中数学中的一个重要知识点，它在几何图形的研究中有着广泛的应用。

下面，我将为大家详细介绍高一数学圆方程的相关内容。

一、圆的一般方程在平面直角坐标系中，圆可以用一般方程表示，其一般方程为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。

二、圆的标准方程圆的标准方程是圆的一般方程的简化形式，标准方程为：x² +y² + Dx + Ey + F = 0。

其中，圆心的坐标为(-D/2, -E/2)，半径的平方为R² = (D²+E²)/4-F。

三、与坐标轴平行的圆1. 与x轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。

当圆的圆心不位于原点时，可以用(x-a)² + y² = r²来表示。

2. 与y轴平行的圆当圆的圆心位于原点时，圆的方程可以表示为x² + y² = r²。

当圆的圆心不位于原点时，可以用x² + (y-b)² = r²来表示。

四、圆的切线方程圆的切线是与圆的边缘只有一个交点的直线。

求圆的切线方程的步骤如下：1. 求切点坐标设圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，已知切线的斜率为k。

通过方程联立，求解出切点坐标(x₁, y₁)。

2. 求切线方程根据切线的定义，切线方程可表示为y-y₁ = k(x-x₁)。

五、与直线的位置关系1. 直线与圆相交当直线与圆相交时，有三种可能的情况：相交于两点、相切于一点和不相交。

2. 直线与圆外切当直线与圆外切时，直线到圆心的距离等于圆的半径。

可以通过计算直线到圆心的距离来判断。

3. 直线与圆内切当直线与圆内切时，直线到圆心的距离小于圆的半径。

圆的标准方程1定义：圆的标准方程中(x－a)²+(y－b)²=r²中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

2圆的方程；X²+Y²=1 ，圆心O（0，0）被称为1单位圆；x²+y²=r²，圆心O（0，0），半径r；(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O（a，b），半径r。

确定圆方程的条件确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r，或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)²+(y－b)²=r²；根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程3方程推导(x-a)²+(y-b)²=r²在平面直角坐标系中，设有圆O，圆心O(a,b) 点P(x,y)是圆上任意一点。

圆是平面到定点距离等于定长的所有点的集合。

所以两边平方，得到(x-a)²+(y-b)²=r²4一般式²+y²+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系配方化为标准方程：其圆心坐标：半径为此方程满足为圆的方程的条件是:D²+E²-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程已知直径的两个端点坐标A（m，n）B(p，q）设圆上任意一点C（X，Y）。

则有：向量AC*BC=0；可推出方程：（X-m）*（X-p）+（Y-n）*（Y-q）=0 再整理即可得出一般方程5点与圆点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)²+(y1－b) ²>r²时，则点P在圆外。

高一数学圆的标准方程和一般方程公式
高一数学圆的标准方程和一般方程公式
：期中考试已经结束了，大家知道自己还有哪些知识不熟了吗?小编也为大家整理了高一数学圆的公式，希望大家喜欢。

圆：体积=4/3(π)(r^3)
面积=(π)(r^2)
周长=2(π)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
(一)椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高
总结：高一数学圆的公式就为大家介绍完了，高考是重要的考试，大家要好好把握。

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高一年级数学圆的方程必修二知识点圆的方程定义：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，所以确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ＜0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.①d＜R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d＞R,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；⑵过切点的半径垂直于切线；⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点；⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心；当一条直线满足（1）过圆心；（2）过切点；（3）垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这个点的连线平分两条切线的夹角．圆锥曲线性质：一、圆锥曲线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.即.3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.二、圆锥曲线的方程1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中,a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0,b>0）或-=1（a>0,b>0）（其中,c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0）,x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）范围：|x|≤a,|y|≤b（2）顶点：(±a,0),(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0,b>0）（1）范围：|x|≥a,y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）范围：x≥0,y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-练习题：1.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，则该三角形外接圆方程是()A.(x-2)2+(y-2)2=20B.(x-2)2+(y-2)2=10C.(x-2)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y-2)2=【解析】选C.易知△ABC是直角三角形，∠B=90°，所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，即r=，所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.2.已知圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是()A.(x-2)2+y2=13B.(x+2)2+y2=17C.(x+1)2+y2=40D.(x-1)2+y2=20【解题指南】根据题意设圆心坐标为C(a，0)，由|AC|=|BC|建立关于a的方程，解之可得a，从而得到圆心坐标和半径，可得圆C的标准方程.【解析】选D.因为圆心在x轴上，所以设圆心坐标为C(a，0)，又因为圆C经过A(5，2)，B(-1，4)两点，所以r=|AC|=|BC|，可得=，解得a=1，可得半径r===2，所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.3.已知实数x，y满足x2+y2=9(y≥0)，则m=的取值范围是()A.m≤-或m≥B.-≤m≤C.m≤-3或m≥D.-3≤m≤【解题指南】m=的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，求出直线的斜率即可得解.【解析】选A.由题意可知m=的几何意义是：半圆上的点(x，y)与(-1，-3)连线的斜率，作出图形，所以m的范围是：m≥=或m≤=-.故所求m的取值范围是m≤-或m≥.4.设P(x，y)是圆C(x-2)2+y2=1上任意一点，则(x-5)2+(y+4)2的值为()A.6B.25C.26D.36【解析】选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，-4)的距离的平方，因为点P在圆(x-2)2+y2=1上，这个值是(|QC|+1)2=36.。

一、选择题1．圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心和半径分别为A．（4，–6），r=16 B．（2，–3），r=4C．（–2，3），r=4 D．（2，–3），r=16【答案】C【解析】将圆x2+y2+4x–6y–3=0的方程化成标准形式，得（x+2）2+（y–3）2=16，∴圆x2+y2+4x–6y–3=0的圆心为C（–2，3），半径r=4，故选C．2．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线【答案】D3．已知圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，其圆心坐标为（a，b），半径为r，则以下说法中，正确的是A．a=–1，b=2，r=2 B．a=–1，b=2，r=4C．a=1，b=–2，r=2 D．a=1，b=–2，r=4【答案】A【解析】圆C的一般方程为x2+y2+2x–4y+1=0，它的标准方程为（x+1）2+（y–2）2=4，表示以（–1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据其圆心坐标为（a，b），半径为r，可得a=–1，b=2，r=2，故选A．4．方程x2+xy=x表示的曲线是A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线【答案】C【解析】方程x2+xy=x即x（x+y–1）=0，化简可得x=0或x+y–1=0．而x=0表示一条直线，x+y–1=0也表示一条直线，故方程x2+xy=x的曲线是两条直线，故选C．5．已知实数x，y满足x2+y2–2x–2y+1=0，则x2+y2的最小值为A1B C．3-D．2【答案】C【解析】圆x2+y2–2x–2y+1=0，即（x–1）2+（y–1）2=1，表示以C（1，1）为圆心、半径等于1的圆．则x2+y2表示圆上的点和原点连线的距离的平方．由于CO∴CO2=2，∴x2+y2的最小值为)21=3–C．6．过三点A（–3，2），B（3，–6），C（0，3）的圆的方程为A．x2+y2+4y–21=0 B．x2+y2–4y–21=0C．x2+y2+4y–96=0 D．x2+y2–4y–96=0【答案】A7．已知方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是A．（2，+∞）B．（–2，+∞）C．（–∞，2）D．（–∞，1）【答案】C【解析】∵方程x2+y2–2x+2y+a=0表示圆，∴22+22–4a>0，∴4a<8，∴a<2，故选C．8．曲线x2+y2––4=0关于A．直线x B．直线y=–x轴对称C．点（–2D0）中心对称【答案】B【解析】曲线x2+y2––4=0于圆心在直线y=–x上，∴曲线关于直线y=–x对称．∴A、C、D都不正确．故选B．9．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax–4ay+5a2–4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（–∞，–2）D．（–∞，–1）【答案】B10．已知圆x2+y2–4x+6y=0的圆心坐标为（a，b），则a2+b2=A．8 B．16 C．12 D．13【答案】D【解析】圆x2+y2–4x+6y=0化为：（x–2）2+（y+3）2=13的圆心坐标为（2，–3），则a2+b2=4+9=13．故选D．二、填空题11．圆x2+y2–2x+4y=0的面积为___________．【答案】5π【解析】圆的方程即（x–1）2+（y+2）21，–2的圆，故圆的面积为π•r2=5π，故答案为：5π．12．圆x2+y2–2x+6y+8=0的周长为___________．【答案】【解析】圆x2+y2–2x+6y+8=0，即圆（x–1）2+（y+3）2=2，表示以（1，–3）为圆心，．13．圆x2+y2+6x–4y+12=0的圆心坐标是___________．【答案】（–3，2）【解析】圆x2+y2+6x–4y+12=0，即（x+3）2+（y–2）2=1，故圆的圆心为（–3，2），故答案为：（–3，2）．14．若直线3x –4y +12=0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为___________．【答案】x 2+y 2+4x –3y =0【解析】由x =0得y =3，由y =0得x =–4，∴A （–4，0），B （0，3），∴以AB 为直径的圆的圆心是（–2，32），半径r 52=，∴以AB 为直径的圆的方程是（x +2）2+（y –32）2=254，即x 2+y 2+4x –3y =0．故答案为：x 2+y 2+4x –3y =0． 15．若方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，且圆心位于第一象限，则实数m 的取值范围是___________． 【答案】（0，12） 【解析】方程x 2+y 2–2mx +（2m –2）y +2m 2=0表示一个圆，可得：圆心为（m ，1–m ），r ．∴12m <，由圆心位于第一象限，010m m >⎧⎨->⎩，解得0<m <1．∴实数m 的取值范围是0<m <12．故答案为：（0，12）． 三、解答题16．若方程x 2+y 2+2mx –2y +m 2+5m =0表示圆，求：（1）实数m 的取值范围； （2）圆心坐标和半径．17．若圆过A（2，0），B（4，0），C（0，2）三点，求这个圆的方程．【解析】设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有420 1640 240D FD FE F++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩①②③，②–①得：12+2D=0，∴D=–6，代入①得：4–12+F=0，∴F=8，代入③得：2E+8+4=0，∴E=–6，∴D=–6，E=–6，F=8，∴圆的方程是x2+y2–6x–6y+8=0．18．求下列满足条件的圆的方程（1）圆心为C（2，–2）且过点P（6，3）的圆的方程；（2）已知点A（–4，–5），B（6，–1），求以线段AB为直径的圆的方程．【解析】（1=故圆的方程为（x–2）2+（y+2）2=41；（2）由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，–3），即圆心的坐标，r=故圆的方程为（x–1）2+（y+3）2=29．19．已知实数x，y满足方程x2+y2–4x+1=0．（1）求yx的最值；（2）求y–x的最值；（3）求x2+y2的最值．（2）令y–x=t，即x–y+t=0对应直线l，将直线l平移，当l与圆C：（x–2）2+y2=3相切时，t达到最大或最小值，由d=t=–2∴t的最小值为–2（3）满足x2+y2–4x+1=0的点P（x，y）在以C（2，0x2+y2=|OP|2，∵当P、O、C三点共线时，|OP|达到最大值或最小值，∴当圆C上的点P在OC延长线上时，|OP|的最大值为|OC得到x2+y2的最大值为（2当圆C上的点P在线段OC上时，|OP|的最小值为|OC|得到x2+y2的最大值为（22=7–综上所述，x2+y2的最大值为7–20．m为何值时，方程x2+y2–4x+2my+2m2–2m+1=0表示圆，并求半径最大时圆的方程．。

高一数学复习考点知识专题讲解圆的标准方程学习目标 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系．知识点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.知识点二点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r21．方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(×)2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．(√)3．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.(×)4．(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(×)一、求圆的标准方程例1 (1)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________． 答案 (x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y 轴相切， ∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝25.(2)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________． 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝25 解析 ∵AB 为直径， ∴AB 的中点(1,2)为圆心，12|AB |＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 反思感悟 直接法求圆的标准方程的策略确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 跟踪训练1 求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解 (1)r 2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝8. (2)设圆心为C (0，b )， 则(3－0)2＋(－4－b )2＝52， ∴b ＝0或b ＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r ＝5，∴圆的标准方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25. 二、点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．点P 在圆内 B ．点P 在圆外 C ．点P 在圆上 D ．不确定 答案 B解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24， 得点P 在圆外．(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围为________________． 答案 [0,1)解析 由题意知⎩⎨⎧a ≥0，(5a ＋1－1)2＋(a )2<26，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，26a <26，解得0≤a <1. 反思感悟 判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．跟踪训练2 已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部． 解 (1)因为点A 在圆的内部， 所以(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，且a 不为0，解得a <－2.5.(2)因为点A 在圆上，所以(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2， 解得a ＝－2.5.(3)因为点A 在圆的外部，所以(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2， 且a 不为0，解得a >－2.5且a ≠0.待定系数法与几何法求圆的标准方程典例 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程． 解 方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，(1－a )2＋(1－b )2＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. 方法二 (几何法)由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r ＝42＋(－3)2＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.[素养提升](1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程．(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果．充分体现数学运算的数学核心素养．1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为()A．(－1,5)，3B．(1，－5)， 3C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3答案 B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案 D解析由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.3．点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定答案 B4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为C(0，b)，则(0－1)2＋(b－2)2＝1，∴b＝2，∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.5．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为__________．答案a>113或a<－113解析∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>1169，∴a>113或a＜－1 13.1．知识清单：(1)圆的标准方程．(2)点和圆的位置关系．2．方法归纳：直接法、几何法、待定系数法．3．常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况．1．圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是() A．(x＋3)2＋(y＋1)2＝5C ．(x －3)2＋(y －1)2＝5D ．(x －3)2＋(y －1)2＝25 答案 D2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的周长是( ) A.13π B ．213π C ．2π D ．23π 答案 B解析 由圆的标准方程可知，其半径为13，周长为213π.3．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100 答案 B解析 由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r ＝12|AB |＝12(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，所以圆的标准方程是(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.故选B.4．若点A (a ＋1,3)在圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0,5) D ．[0,5] 答案 C解析 由题意，得(a ＋1－a )2＋(3－1)2>m ，即m <5，又易知m >0，所以0<m <5，故选C.5．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13. 故所求圆的标准方程为 (x －2)2＋(y ＋3)2＝13.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 答案 ±2解析 ∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2.7．圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝1关于直线x ＋y －3＝0对称的圆的标准方程是________________． 答案 (x －4)2＋y 2＝1解析 设圆心A (3，－1)关于直线x ＋y －3＝0对称的点B 的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3·(－1)＝－1，a ＋32＋b －12－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，故所求圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.8．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以点C 为圆心，5为半径的圆的标准方程是________________．解析 将直线方程整理为(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0， 可知直线恒过点(－1,2)，从而所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.9．已知圆C 过点A (3,1)，B (5,3)，圆心在直线y ＝x 上，求圆C 的标准方程． 解 设圆心C (a ，a )，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －3)2＋(a －1)2＝r 2，(a －5)2＋(a －3)2＝r 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，r ＝2，∴圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4. 10．已知点A (－1,2)和B (3,4)．求： (1)线段AB 的垂直平分线l 的方程； (2)以线段AB 为直径的圆的标准方程． 解 由题意得线段AB 的中点C 的坐标为(1,3)． (1)∵A (－1,2)，B (3,4)， ∴直线AB 的斜率k AB ＝4－23－(－1)＝12.∵直线l 垂直于直线AB ， ∴直线l 的斜率k l ＝－1k AB ＝－2，∴直线l 的方程为y －3＝－2(x －1)， 即2x ＋y －5＝0. (2)∵A (－1,2)，B (3,4)，∴|AB |＝(3＋1)2＋(4－2)2＝20＝25， ∴以线段AB 为直径的圆的半径r ＝12|AB |＝ 5.又圆心为C (1,3)，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.11．已知圆心在x轴上的圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则C的标准方程为()A．(x＋4)2＋y2＝50 B．(x＋4)2＋y2＝25C．(x－4)2＋y2＝50 D．(x－4)2＋y2＝25答案 A解析根据题意，设圆的圆心C的坐标为(m，0)，若圆C经过A(3,1)，B(1,5)两点，则有(3－m)2＋1＝(m－1)2＋25，解得m＝－4，即圆心C为(－4,0)，则圆的半径r＝|CA|＝(3＋4)2＋1＝50，则圆C的标准方程为(x＋4)2＋y2＝50，故选A.12．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案 D解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.13．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9答案 B解析 由(3＋2λ)x ＋(3λ－2)y ＋5－λ＝0，得(2x ＋3y －1)λ＋(3x －2y ＋5)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，3x －2y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，即P (－1,1)． ∵圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，∴|PC |＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25，故选B.14．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为__________．答案 1＋ 2解析 (x －1)2＋(y －1)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1,1)的距离，因此最大值为2＋1.15．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为______________． 答案x 2＋(y ＋1)2＝1解析 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1，设其圆心为C 1，则圆C 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点的坐标为(a ，b )，即圆心C 的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧b a －1·(－1)＝－1，－a ＋12＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. 所以圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.16．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的标准方程．解 设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．因为直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2， 所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧ n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n 2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.。

高一上册数学知识点整理【导语】高一新生要作好充分思想准备，以自信、宽容的心态，尽快融入集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。

记住：是你主动地适应环境，而不是环境适应你。

由于你走向社会参加工作也得适应社会。

以下内容是作者为你整理的《高一上册数学知识点整理》，期望你不负时光，努力向前，加油！1.高一上册数学知识点整理圆的方程定义：圆的标准方程（x—a）2+（y—b）2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b），只要求出a、b、r，这时圆的方程就被肯定，因此肯定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系：1、直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系。

①Δ>0，直线和圆相交②Δ=0，直线和圆相切③Δ<0，直线和圆相离。

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较。

2、直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程、求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情形，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情形。

3、直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题。

切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；⑵过切点的半径垂直于切线；⑶经过圆心，与切线垂直的直线必经过切点；⑷经过切点，与切线垂直的直线必经过圆心；当一条直线满足⑴过圆心；⑵过切点；⑶垂直于切线三个性质中的两个时，第三个性质也满足。

切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

2.高一上册数学知识点整理直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面相互垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。