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1.6.3薄透镜系统的初级像差理论[2]1.6.3.1初级像差理论在像差理论中，把各项像差和物高y （或视场角ω）、光束孔径h （或孔径角u ）的关系用幂级数的形式表示出来。
把最低次幂对应的像差量称为初级像差，而把较高次幂对应的像差量称为高级像差。
初级像差理论忽略了y 及h 的高次项，在y 及h 均不大的情况下，初级像差理论能够很好的近似代表光学系统的像差性质，为研究和设计工作带来极大的方便。
1.6.3.2薄透镜系统的初级像差方程组如果一个透镜组的厚度和它的焦距比较可以忽略，这样的透镜组称为薄透镜组。
由若干个薄透镜组组成的系统，称为薄透镜系统（透镜组间的间隔是可以任意的）。
对这样的系统在初级像差的范围内，可以建立像差和系统结构参数之间的直接函数关系。
如图1-16为一个简单的薄透镜系统示意图。
我们取两条辅助光线：第一辅助光线是由轴上点发出的经过孔径边缘的光线，它在第i 个透镜上的投射高为i h ；第二辅助光线是轴外点发出的经过孔径中心的光线，它在第i 个透镜上的投射高为zi h 。
而且第i 个透镜的光焦度也是已知的为i ϕ。
每个透镜组的i h 、zi h 和i ϕ叫做透镜组的外部参数，都是已知的，和薄透镜组的具体结构无关；对应的，每个透镜组的i r 、i d 、i n 称为透镜组的内部结构参数。
像差既和外部结构参数有关也和内部结构参数有关。
薄透镜系统初级像差方程组的作用是把系统中各个薄透镜组已知的完部参数和未知的内部结构参数与像差的关系分离开来，便于研究。
下面是各像差和数公式：球差和数''2'2[]i i iS nu L h p δI =-=∑（1-17）弧矢彗差和数'''2[]S zi i i iiS n u K h p J W II =-=-∑∑（1-18）像散和数2''2'2[2]zi zi tsi i i i i ii ih hS n u x p J W Jh h ϕIII =-=-+∑∑∑（1-19）像弯和数 2''2'22[2(1)]z i z iV Pi ii i i i iii h h S n u x p J W J h h ϕμI =-=-++∑∑∑ （1-20）畸变和数 32'''2222[3(3)]ziziziV zi i i i i i i iiih h h S n u y p JW J h h h δϕμ=-=-++∑∑∑ （1-21）轴向色差和数''2'2[]C FC i i iS n u L h C I =-∆=∑（1-22）垂轴色差和数'''[]C FC zi i i iS n u y h hC II =-∆=∑ （1-23）其中，'n 、'u 为系统最后像空间的折射率和孔径角，'''J nu y =是系统的拉格朗日不变量，他们以及每个透镜组的外部参数i h 、zi h 和i ϕ可以当成已知常数，在方括号里的求和式∑中，每个透镜组对应一项。
薄透镜成像公式及作图法薄透镜成像公式及作图法薄透镜成像公式及作图法 2011年04月01日本节向您讲述透镜成像的各种有效的作图法，以及薄透镜成像公式应用，您一定会在这里找到许多有用的方法。
[内容综述]如果一个透明物体的两个界面都是球面，或者一个界面是球面，另一个界面是平面，这就是透镜，中央部分比边缘厚的，叫凸透镜，它具有会聚光线的性能，所以也叫做会聚透镜。
透镜中央部分比边缘薄的，叫凹透镜，它具有发散光线的性能，也以也叫做发散透镜。
如果透镜的厚度比两球面的曲率半径小得多，叫做薄透镜。
本讲主要的重点、难点是薄透镜成像公式的应用及透镜成像的作图法。
[要点讲解]1、单球面折射成像公式如图15-28所示，设单球面左、右方的折射率分别为1和n，S’是S的像，因为是近轴光线，所以i与r均很小，所以有(R为球面曲率半径)，代入?及，?式即为单球面成像公式，当时的v就是焦距f，所以2、薄透镜成像公式透镜实质上是两个单折射球面组成，它的成像过程就是连续两次的单球面成像过程。
下面讨论薄透镜成像。
如图15-29所示，设左球面的半径为，右球面半径为，透镜材料的折射率为n。
点光源S发出的近轴光经左球面折射后设成像于S’’，由于透镜很薄，两球面顶点可视为一点，设为O，设SO=u，OS’’=V’，由单球面折射成像公式可得原应成像于S"的光束在尚未会聚前又被第二个球面折射，第二次成像。
S’’成为物，是虚物，折射后成像于S’。
现在的物距是-v’，像距为v，则 ?+?可得，这就是薄透镜成像公式。
这里，u,v, , 均有正、负，规则同前面所规定的。
对图15-29，u,v, 均为正，为负，当时，当时，当透镜两边处于同一介质中时f=f ’。
当f和f’>0的透镜称为会聚透镜(凸透镜)。
当f 和f’<0的透镜称为发散透镜(凹透镜)。
用焦距表示，可将?式透镜的成像公式写成 (当f=f ’时)上式称为高斯公式。
3(透镜成像作图法(1)基本光线作图法如图15-30所示，从物方焦点发出的任意光线径透镜折射后必成为平行于主轴的光;平行于主轴射向透镜的任意光线径透镜折射后必经过像方焦点;过光心的光线径透镜后方向不变。
表2.1公式2.2中使用的光线由左向右传播的物像符号法则位置物,s o像,s i 透镜左侧+(实) -(虚) 透镜右侧-(虚) +(实)对于物体不在无限远处，而且入射到透镜的波前不是平面波的情况，波前透视图可以让我们知道成像的位置。
比如，再一次参照图2.4，可见随着物体向透镜移近，从左侧入射并距离透镜s o的波前有更大的曲率(C=1/s o)。
虽然透镜有足够大的屈光本领使平面波波前汇聚到s i=f的像距上，但并不能将发散的球面波重新汇聚到同样的像距上。
因此，像的位置距离透镜更远。
定量来说，入射和透射波前的曲率变化取决于透镜的能力。
这种变化通过物理学入门课程中常用的成像公式总结为1 =1o+1i(2.2)这个公式说明，对于一个有正焦距f的透镜来说，较小的物距(=s o)会导致较大的像距(=s i)。
换句话说，入射到透镜上的波前曲率(C o=1/s o)和被透镜透射的波前曲率(C i=1/s i)之和等于透镜的焦度Φ=1/f。
因为一个给定透镜的焦度是常数，公式2.2表明物和像的波前曲率之和一定等于一个常数(等于1/f)。
随着物体靠近透镜，落在透镜上的波前曲率越大；而透射的波前曲率一定越小，因此汇聚的像点位置更远。
表2.1给出的符号法则区分了所谓的正透镜和负透镜。
正透镜的焦距f>0，它使一个无穷远处物体在正方向的焦点处（透镜右侧）成实像；负透镜的焦距f <0，它使一个无穷远处的物体在负方向的焦点处（透镜左侧）成虚像。
这两种基本类型的透镜的典型形状如图2.10所示。
正透镜负透镜平凸透镜平凹透镜双凸透镜双凹透镜正凸凹透镜负凸凹透镜图2.10三种类型的正、负透镜。
诺斯科技有限责任公司授权重绘。
不幸的是，本节中所使用的大多数透镜都不是简单的薄透镜。
例如，公式2.1给出的焦距随透镜厚度的增加而改变(见第3章)。
类似的其他细节也很重要：如果透镜很厚，我们应该使用哪个平面来测量物体到透镜或者透镜到像点的距离？同样的，对于一个包含许多单独成分（或元素）的透镜，我们应该使用哪个平面来测量焦距？这些细节已经超出了本文的范围；有关更具体信息请参见Kasunic[1]和Smith[2]。
推导推导出薄透镜成像公式薄透镜成像公式是用于描述薄透镜形成的物体和像的关系的数学公式。
它的推导基于光线追迹法和薄透镜的光学性质。
本文将详细介绍薄透镜成像公式的推导过程。
1. 光线追迹法简介为了推导薄透镜成像公式，首先需要了解光线追迹法。
该方法基于光线的传播性质，通过绘制光线的传播路径来研究光的成像。
光线追迹法在光学中有着广泛的应用。
2. 薄透镜的定义和性质薄透镜是一个中间较薄的透光介质，它可以将入射光线汇聚或发散。
根据其形状，薄透镜分为凸透镜和凹透镜。
3. 凸透镜成像公式的推导以凸透镜为例，推导其成像公式。
假设物体位于光轴上的物距为p，物体高度为h，像距为q，像高度为h'。
根据光线追迹法，我们可以得到以下关系：公式1：(1/p) + (1/q) = (1/f)其中，f为凸透镜的焦距。
该公式表达了物距、像距和焦距之间的关系。
4. 符号约定在推导过程中，要确定符号的约定。
一般来说，我们使用以下约定：物距p：正值代表物体位于透镜的一侧，负值代表物体位于透镜的另一侧。
像距q：正值代表像位于透镜的一侧，负值代表像位于透镜的另一侧。
焦距f：凸透镜情况下为正值，凹透镜情况下为负值。
5. 利用类似三角形的关系在推导过程中，可以通过利用类似三角形的关系来得到更具体的公式。
借助几何相似性，我们可以得到以下关系：公式2：h'/h = -q/p6. 凸透镜成像公式的最终推导将公式1和公式2联立，可以解得：公式3：h'/h = -q/p = (p-f)/f通过对公式3进行整理，我们可以得到凸透镜成像公式：公式4：h'/h = -q/p = (1-q/f)这就是凸透镜的成像公式。
7. 凹透镜成像公式的推导凹透镜的成像公式与凸透镜的成像公式类似。
只需要根据约定的符号规定进行推导即可。
最终得到的凹透镜成像公式为：公式5：h'/h = q/p = (1-q/f)8. 薄透镜成像公式的应用薄透镜成像公式在光学实验和实际应用中具有重要意义。
初级像差方程组应用举例：1. 设计要求：焦距：f ’ =250mm通光孔径：D=40mm视场角：2w=6°入瞳与物镜重合物镜后棱镜系统的总厚度为150mm ，要求：'m L δ=0.1mm, 'm SC =-0.001,'FC L ∆=0.05 2. 经初级像差理论PW 法求解其结构参数r d 玻璃153.1 6 K9-112.93 4 ZF1-361.68 50∞ 150 K9∞第一次优化后新系统的结构参数为：r d 玻璃145.812 6 K9-120.3064 4 ZF1-413.5847 50∞ 150 K9∞ 96.08f ’=250, 'm L δ=-0.222, 'FC L ∆=0.05018, 'm SC =-0.001此时的球差值'm L δ=-0.222，而要求的目标值为0.1，根据初级像差公式P h hP 'L u'2n'S 342ϕδ==-=I ；两边对'L δ和P 微分有：P h )L ('u '2n 34'm 2ϕδ=∆-342h )'L ('u '2n P ϕδ∆-=∆； 在保持物方孔径角W u 1,不变的条件下更换玻璃，则0P P P ∆=∆=∆∞。
因为 200Q Q 352P P )(.-+=∞;15.0)Q Q (67.1W 0+--=∞;ϕh 'u =, n ’=1.0;L'δ=0.1-(-0.222)=0.322;所以 3420h L u 2n P ϕδ)'(''∆-=∆=ϕδ2h L 2)'(∆-=250120322022⨯⨯-.=-0.4025。
000P P P ∆+=*=0.13+（-0.4025）=-0.2725 由于色差不变，所以C 不变，C =0.0019。
