高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第8讲曲线与方程练习理北师大版

1,
1
n m
由 x可得myy2-n4,my-4n=0,(*) 因为 y(2yīn4wxèi)直线l'与曲线E有唯一公共点A,
所以Δ=16m2+16n=0,即n=-m2.
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所以(suǒyǐ)(*)可化简为y2-4my+4m2=0, 所以(suǒyǐ)A(m2,2m), 因为n=-m2,
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3于-1点A已,B知,且曲 线=E-2: ax.2若+b点y2B=的1(坐a>标0,b为>(00),,2经),过求(曲jīn线ggEu的ò)方点33程M,0. 的直线l与曲线E交
MB MA
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解故析 =(j iě ,x ī)= 设. A(x0,y0),∵B(0,2),M33 ,0,
段
a2 b2
MN中点的轨迹方程是 x2+ 4=y21 .
a2 b2
答案(dáàxn2 ) 4 y2+ =1 a2 b2
解析(jiě xī) 设MN的中点为P(x,y),则点M(x,2y),又点M在椭圆上x2 ,∴(2 y)2+ =
1,即所求的轨迹方程为 + =1.
x2 4y2
a2 b2
a2 b2
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所 所以以 NNA·A ⊥N=NP(Pm, 2-1,2m)· =-2m22,+21-m2-n2n=0, 所以点N在以AP为直径的圆C上. 证法(zhènɡ fǎ)二:依题意可设直线l':y=kx+b(k≠0), 由 可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*) 因为 y直线kxl'与 b曲, 线E有唯一公共点A, 所以 y2 即 4x

第8讲 曲线与方程1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0. 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. 2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆解析：选A.设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0，3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0，3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0，3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2 解析：选D.如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1， 又因为|PA |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.4．(2016·珠海模拟)已知点A (1，0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝2xC ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：选B.设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12＝1，y ＋y 12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . 因为点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上， 所以y 1＝2x 1－4，所以－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .5．设m ∈R ，在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(mx ，y ＋1)，向量b ＝(x ，y －1)，a ⊥b ，则动点M (x ，y )的轨迹为( ) A ．两条直线 B ．圆或椭圆 C ．双曲线D ．两条直线或圆或椭圆或双曲线解析：选D.因为a ⊥b ，a ＝(mx ，y ＋1)，b ＝(x ，y －1)，所以a ·b ＝mx 2＋y 2－1＝0即mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时，动点M 的轨迹为两条直线，y ＝±1，当m ＝1时，动点M 的轨迹为圆x 2＋y 2＝1， 当m >0且m ≠1时，动点M 的轨迹为椭圆x 21m＋y 2＝1，当m <0时，动点M 的轨迹为双曲线y 2－x 2－1m＝1. 6．(2016·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1， 0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：选D.因为M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.7．已知M (－2，0)，N (2，0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，因为△MPN 为直角三角形，所以|MP |2＋|NP |2＝|MN |2，所以(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16，整理得，x 2＋y 2＝4. 因为M ，N ，P 不共线， 所以x ≠±2，所以轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案：x 2＋y 2＝4(x ≠±2)8．已知点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q (x ，y )的轨迹方程是________． 解析：依题意有|QP |＝|QF |，则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ→＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________． 解析：OQ →＝PF 1→＋PF 2→，如图，PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b ＝1，即x 24a ＋y 24b＝1.答案：x 24a 2＋y 24b2＝110．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：设曲线C 上任一点P (x ，y )，由|PF 1|·|PF 2|＝a 2，可得 （x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2(a >1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故①不正确．因为点P (x ，y )在曲线C 上，则点P 关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，将P ′代入曲线C 的方程等式成立，故②正确．设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2，故③正确． 答案：②③11．已知点A (－1，0)，B (2，4)，△ABC 的面积为10，求动点C 的轨迹方程． 解：因为|AB |＝32＋42＝5，所以AB 边上高h ＝205＝4.故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线． 因为k AB ＝43，AB 的方程为4x －3y ＋4＝0，可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0. 由|c －4|5＝4，得c ＝24或c ＝－16，故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.12．(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为C 1(3，0)． (2)设M (x ，y )，因为 A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， 所以由圆的性质知：MC 1⊥MO ，所以MC 1→·MO →＝0. 又因为MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )，所以由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3，0)．又因为直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，所以53<x ≤3.所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．1．(2016·成都质量检测)在棱长为1的正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，若点P 是棱上一点，则满足|PA |＋|PC ′|＝2的点P 的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12 解析：选B.因为正方体的棱长为1， 所以AC ′＝ 3.因为|PA |＋|PC ′|＝2，所以点P 是以2c ＝3为焦距，以a ＝1为长半轴，以12为短半轴的椭球上．因为P 在正方体的棱上，所以P 应是椭球与正方体的棱的交点． 结合正方体的性质可知，在棱B ′C ′，C ′D ′，CC ′，AA ′，AB ，AD 上各有一点满足条件．故选B.2．已知点A ，B 分别是射线l 1：y ＝x (x ≥0)，l 2：y ＝－x (x ≥0)上的动点，O 为坐标原点，且△OAB 的面积为定值2，则线段AB 中点M 的轨迹方程为________． 解析：由题意可设A (x 1，x 1)，B (x 2，－x 2)，M (x ，y )，其中x 1>0，x 2>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，①y ＝x 1－x 22.②因为△OAB 的面积为定值2，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12(2x 1)(2x 2)＝x 1x 2＝2.①2－②2得x 2－y 2＝x 1x 2，而x 1x 2＝2， 所以x 2－y 2＝2.由于x 1>0，x 2>0，所以x >0，即所求点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝2(x >0)．答案：x 2－y 2＝2(x >0)3．(2016·唐山模拟)已知P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1，0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．解：(1)圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于2 2. 由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22>2＝|AB |，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆， 即a ＝2，c ＝1，b ＝1， 所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24（x ＋1），整理得5x 2＋2x －7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上， 所以点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22. 4．(2016·郑州质检)已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点(与A 、B 不重合)． (1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ACBD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由． 解：(1)设点P (x ，y )，由题意可得， （x －1）2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时，不合题意．当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n |m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0，Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0，x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1， S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22， 当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x－62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．。

第八节 曲线与方程[最新考纲] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的基本步骤3．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . (1)当0＜e ＜1时，圆锥曲线是椭圆． (2)当e ＞1时，圆锥曲线是双曲线． (3)当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线． 4．两曲线的交点设曲线C 1的方程为f 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为g (x ，y )＝0，那么(1)曲线C 1，C 2的任意一个交点坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，y ＝0，gx ，y ＝0.(2)反之，上述方程组的任何一组实数解都对应着两条曲线某一个交点的坐标．[常用结论]1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线〞是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解〞的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( ) (3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16yD ．x 2＝－16yC [由题意可知，动点M 到点F (0,4)的距离等于到直线y ＝－4的距离，故点M 的轨迹为以点F (0,4)为焦点，以y ＝－4为准线的抛物线，其轨迹方程为x 2＝16y .]2．P 是椭圆x 29＋y 25＝1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，那么PM 中点的轨迹方程为( )A.49x 2＋y25＝1 B ．x 29＋45y 2＝1C.x 29＋y 220＝1 D ．x 236＋y 25＝1 B [设中点坐标为(x ，y )，那么点P 的坐标为(x,2y )， 代入椭圆方程得x 29＋45y 2＝1.应选B.]3．假设过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，那么AB 中点M 的轨迹方程为________．x ＋y －1＝0 [设M 的坐标为(x ，y )，那么A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM ，∵l 1⊥l 2.∴|PM |＝|OM |，而|PM |＝x －12＋y －12，|OM |＝x 2＋y 2. ∴x －12＋y －12＝x 2＋y 2，化简，得x ＋y －1＝0， 即为所求的轨迹方程．]4．线段AB 的长为6，直线AM ，BM 相交于M ，且它们的斜率之积是49，那么点M 的轨迹方程是________．x 29－y 24＝1(x ≠±3) [以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系(图略)，那么A (－3,0)，B (3,0)．设点M 的坐标为(x ，y )，那么直线AM 的斜率k AM ＝y x ＋3(x ≠－3)，直线BM 的斜率k BM ＝yx －3(x ≠3)．由有y x ＋3·y x －3＝49(x ≠±3)，化简整理得点M 的轨迹方程为x 29－y 24＝1(x ≠±3)．]考点1 直接法求轨迹方程直接法求曲线方程的关注点(1)假设曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，那么可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)假设是只求轨迹方程，那么把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；假设是求轨迹，那么要说明轨迹的形状、位置、大小等．动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．[解] (1)由题意可知，直线PM 与PN 的斜率均存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝yx ＋1·yx －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． 即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)当λ＞0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； 当－1＜λ＜0时， 轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)． 当λ＜－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性，检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．[教师备选例题](2016·全国卷Ⅲ)抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)假设F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)假设△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，那么ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B两点的直线为l ，那么l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，那么k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ . (2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，那么S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求的轨迹方程为y 2＝x －1.两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于0的等差数列，那么点P 的轨迹是什么曲线？[解] 设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)得 PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)，所以MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →是公差小于0的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[21＋x ＋21－x ]，21－x －21＋x ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x ＞0.所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)． 考点2 定义法求轨迹方程(1)假设动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由定义易求得圆锥曲线方程中的关键量，那么往往用圆锥曲线的定义法求解．(2)应用定义法求曲线方程的关键在于由条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系式结合曲线的定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求 C 的方程．[解] 由得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4＞|MN |＝2.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．[母题探究]1．把本例中圆M 的方程换为：(x ＋3)2＋y 2＝1，圆N 的方程换为：(x －3)2＋y 2＝1，求圆心P 的轨迹方程．[解] 由于点P 到定点N (1,0)和定直线x ＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以N (1,0)为焦点，以x 轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y 2＝4x .2．在本例中，假设动圆P 过圆N 的圆心，并且与直线x ＝－1相切，求圆心P 的轨迹方程．[解] 由条件可知圆M 和N 外离，所以|PM |＝1＋R ，|PN |＝R －1，故|PM |－|PN |＝(1＋R )－(R －1)＝2＜|MN |＝6，由双曲线的定义知点P 的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，那么应对其中的变量x 或y 进行限制．1.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，那么顶点A 的轨迹方程为________．x 22－y 22＝1(x ＞2) [以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如下图的坐标系，E ，F 分别为两个切点．那么|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2， 所以b ＝2，所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ＞2)．]2．(2019·某某模拟)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 1过点F 1且垂直于椭圆的长轴，动直线l 2垂直l 1于点P ，线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程．[解] 由e 2＝c 2a 2＝a 2－1a 2＝12，得a ＝2，c ＝1，故F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 由条件可知|MP |＝|MF 2|，∴点M 的轨迹是以l 1为准线，F 2为焦点的抛物线， ∴C 2的方程为y 2＝4x .考点3 相关点(代入)法求轨迹方程“相关点法〞求轨迹方程的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝fx ，y ，y 1＝g x ，y ；(3)代换：将上述关系式代入曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． (4)检验：注意检验方程是否符合题意．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，那么N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，那么 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .本例第(1)问在求解中巧用“NP →＝2NM →〞实现了动点P (x ，y )与另两个动点M (x 0，y 0)，N (x 0,0)之间的转换，并借助动点M 的轨迹求得动点P 的轨迹方程；对于本例第(2)问的求解，采用的是“以算待证〞的方法，即求得l 的方程后，借助直线系的特点，得出直线过定点．[教师备选例题]在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．[解] (1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，解得⎩⎨⎧m ＝2＋1x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋122y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 那么x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上， 知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1， 即4k 2k 2＋22＋8k 2＋22＝1，解得k 2＝2.这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝322，原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62. 1.(2019·某某模拟)F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上的动点，那么△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B ．4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋43y 2＝1(y ≠0)C [依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，G (x ，y )，那么由三角形重心坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y ， 代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1，得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．]2.(2019·沂州一中月考)如下图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．[解] 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

§9.8 曲线与方程1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的基本步骤知识拓展1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(6)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 教材改编2．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线． 3．曲线C ：xy ＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______． 答案 2解析 在曲线xy ＝2上任取一点(x 0，y 0)，则x 0y 0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x 0||y 0|＝|x 0y 0|＝2.题组三 易错自纠4．(2017·广州调研)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．5．已知M (－1,0)，N (1,0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线 D ．双曲线右支答案 C解析 由于|PM |－|PN |＝|MN |，所以D 不正确，应为以N 为端点，沿x 轴正向的一条射线． 6．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是__________．答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析 连接OP ，则|OP |＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆，∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2).题型一 定义法求轨迹方程典例 (2018·枣庄模拟)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程． 解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝|MN |.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． 思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．跟踪训练 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1，O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 题型二 直接法求轨迹方程典例 已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，知|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42. 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8－2bkk 2，①x 1x 2＝b 2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 整理得2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③ 将①②代入到③中并化简得8(b ＋k )＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，有建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)由题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2， 经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13. 题型三 相关点法求轨迹方程典例 (2017·合肥质检)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， ∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．跟踪训练 (2018·安阳调研)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[3分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得⎝⎛⎭⎫λ2－14x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[6分] 当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[8分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴为y 轴的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[10分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[12分]1．(2017·衡水模拟)若方程x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A ．任意实数a 方程表示椭圆B ．存在实数a 方程表示椭圆C ．任意实数a 方程表示双曲线D ．存在实数a 方程表示抛物线 答案 B解析 当a >0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B.2．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1， 又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.3．(2018·湛江模拟)在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0，表示一条直线．4．(2017·宜春质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a (其中a是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在答案 C解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a ≥29＝6，当且仅当a ＝3时“＝”成立．当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当|PM 1|＋|PM 2|>6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.5．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6．(2018·广州模拟)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支答案 C解析 本题可构造如图圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________． 答案 4π解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆． 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.8．(2018·梅州质检)在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为____________． 答案 x 22－y 22＝1(x >2)解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E ，F 分别为两个切点， 则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22<4＝|BC |，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．9．已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________． 答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，∴满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3， 则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5)．10.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y2，又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.11. (2017·广州模拟)已知点C (1,0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解 (1)连接CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ， ∴|CP |＝|AP |＝|BP | ＝12|AB |， 由垂径定理知， |OP |2＋|AP |2＝|OA |2， 即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，则(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9， 化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在．根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，其中p2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4，得x 2＋3x －4＝0， 解得x ＝1或x ＝－4.由x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程． 解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)， 由DM →＝12DP →知，P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆．(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在， 设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0， 得k 2<15，∴0<x <83.∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13．(2018·宿迁模拟)若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．14．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．15．(2017·辽宁葫芦岛调研)在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2，0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外) B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外) C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外) D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 答案 B解析 设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3. 又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|， 即M 为△ABC 的外心， 所以点M 在y 轴上， 又GM →∥AB →，则有M ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 由|MC →|＝|MA →|，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)．16．(2018·新余模拟)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，又a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1|·|PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12F PF S＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2 ≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。