第01讲集合的概念及基本关系（3大考点10种解题方法）考点考向1．集合的概念把某些能够确切指定的对象全体看作一个整体，这个整体就称为一个集合，集合中的每个对象称为该集合的元素。
任何一个对象α对于某一个集合A 来说，或是属于该集合)(A ∈α即，或是不属于该集合)A (∉α即。
2.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
3.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．4.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法．5.常见的数集及其表示符号名称自然数集(非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+N ZQR6.集合的分类：有限集，无限集，空集；7.子集与真子集子集：若集合A 中任何一个元素都属于集合B ，则集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇；真子集：对于集合A 和B ，若B A ⊆,且B 中至少有一个元素不属于A ，则集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B8.相等的集合：对于两个集合A 和B ，若B A ⊆，且A B ⊇，则叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =；【要点注意】（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆∅，空集是任何非空集合的真子集；（2）任何集合A 是其自身的子集，即A A ⊆；（3）子集的传递性：若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；（4）若B A ⊆，则AB 或B A =；（5）相等的集合中的所含元素完全相同；（6）连接元素与集合的符号有：∈和∉；（7）连接集合与集合的符号有：⊆，，≠=,等；（8）含有n 个元素的集合的子集共有n2个,真子集有12-n个。
（9）子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.方法技巧1.与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．3.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．4.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．考点精讲考点一：集合的概念及其表示题型一：集合的确定性1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D 的标准唯一，故能组成集合．故选：D ．2.（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是()A.中国各地最美的乡村； B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数； D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者．【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD题型二：集合的互异性3.在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是()A．0B．1C．2D．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2，由集合中元素的互异性知：选A ．4.若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a =)A．1-B．0C．1D．0或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1，a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0；②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ．题型三：集合常见表示方法5.（2021·全国高一课时练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式217x +>的整数解．【答案】（1）能，集合为{}0,1,2,3,4；（2）不能，理由见解析；（3）能，集合为{}3,x x x Z >∈.【分析】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【详解】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为{}0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由217x +>得3x >，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{}3,x x x Z >∈.题型四：数集及其表示符号6．（2021·全国高一专题练习）填空：集合N 表示________集合；集合*Z 表示________集合；集合*R 表示________集合.【答案】自然数正整数正实数【分析】利用数集的表示直接求解【详解】集合N 表示自然数集合；集合*Z 表示正整数集合；集合*R 表示正实数集合，故答案为：自然数，正整数，正实数考点二：元素与集合的关系题型五：元素与集合之间的关系1.（多选题）下列关系中，正确的有（）A．∅∪ th B．13Q∈C．Q Z⊆D．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的；选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.2.下列关系中，正确的个数为()R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A．6B．5C．4D．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解．【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中， ∈R ，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．题型六：元素个数问题3.集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为()A．4B．5C．10D．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且噸 是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y噸 ∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1，符合条件的x 共有12个，故选：D ．4.已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为()A．2B．3C．4D．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }，当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3；所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用．题型七：单元素集合5.若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值．【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91．故a 、b 的值分别为31，91.题型八：二次函数与集合6.设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }（1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围；（3）求：A 中各元素之和．【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1，∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a 2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．考点三：集合间的基本关系题型九：空集1.如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为()A．04a <<B．40<≤a C．40≤<a D．40≤≤a 【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则 ＞t△ − t，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．2.已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.题型十：子集与真子集1.已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则()A．M N=B．M ⊊N C．N ⊊M D．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论．【答案】M ＝{x |x噸，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，N ＝{x |x 噸 ，k ∈Z }＝{x |噸，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．2.若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是()A．(,1)-∞-B．(,1)-∞C．(1,)+∞D．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0，解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键．3.已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1-8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.巩固提升一、单选题1．（2022·全国·高一）下列各对象可以组成集合的是（）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师【答案】B【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD ，集合中的元素具有确定性，但ACD 中的元素不确定，故不能构成集合，ACD 错误；B 中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B 正确.故选：B.2．（2022·全国·高一）若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形【答案】C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（）A ．{}0,1B ．{}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】通过解方程进行求解即可.【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =，所以{}1,0,1A =-，故选：D4．（2022·全国·高一）给出下列四个关系：π∈R ，0∉Q ，0.7∈N ，0∈∅，其中正确的关系个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集，∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅，∴正确的个数为1.故选:D .5．（2021·山东聊城一中高一期中）若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.【详解】0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C6．（2022·全国·高一专题练习）下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案.【详解】①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确.故选：A.7．（2021·全国·高一课时练习）下列说法中正确的是（）A ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合B ．由1，3，1-，13，32，647个元素C ．{}1,2,3,4,5,6和{}6,5,4,3,2,1表示相同的集合D ．{}∅表示空集【答案】C【分析】由自然数集可判断A ；由集合元素的互异性可判断B ；由集合元素的无序性可判断C ；由{}∅表示以空集为元素的集合可判断D.【详解】对于A ，不大于3的自然数组成的集合是{}0,1,2,3，故A 错误；对于B ，由3624=31=结合集合元素的互异性，可知由1，3，1-，13，32，64成的集合有5个元素，故B 错误；对于C ，由集合元素的无序性可知两个集合相等，故C 正确；对于D ，∅表示空集，{}∅表示以空集为元素的集合，故D 错误；故选：C 二、多选题8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列说法正确的是（）A ．E 由3x <-所有实数组成集合，F 由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合.E F 、均不存在.B ．2{|440}E x x x =-+=，F 由5个2组成的集合.则{}2E F ==C ．{|E x Z =∈32x -}Z ∈，{}1,1-⊆F ⊆E ，则F 可能有4个.D ．(){,|2,1,}E x y y x x x Z ==≤∈，用列举法表示集合E 为()(){}1,2,1,2--.【答案】BC【分析】根据集合之间的关系，以及集合的表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：由3x <-所有实数组成的集合E 是空集，由立德中学某班会运动的所有学生组成的集合是F ，,E F 都存在，故A 错误；对B ：{}{}2|4402E x x x =-+==，F 由5个2组成的集合，根据集合中元素的互异性，故{}2F E ==，故B 正确；对C ：{|E x Z =∈32x -{}}1,1,3,5Z ∈=-，因为{}1,1-⊆F ⊆E ，故F 为含有1,1-且是{}1,1,3,5-的子集{}{}{}{}1,1,1,1,3,1,1,5,1,1,3,5----，共有4个，故C 正确；对D ：(){}()()(){},|2,1,1,2,0,0,1,2E x y y x x x Z ==≤∈=--，故D 错误.故选：BC .9．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一阶段练习）下列叙述正确的是（）A ．若{(1,2)}P =，则P∅∈B ．{|1}{|1}x x y y >⊆C ．{(,)|1}M x y x y =+=，1{|}N y x y =+=，则M N =D ．{2,4}有3个非空子集【答案】BD【分析】A 选项：集合与集合的关系是包含与否；B 选项：直接判断即可；C 选项：点集和数集之间没有关系；D 选项：一个集合中有n 个元素，则它的非空子集的个数为21n -.【详解】∅是个集合，所以P ∅⊆，A 错误；{|1}x x >是{|1}y y 的一个子集，所以{|1}{|1}x x y y >⊆，B 正确；M 是点集，N 是数集，所以集合M 与集合N 没有关系，C 错误；{2,4}的非空子集有{2}，{4}与{2,4}，共3个，D 正确.故选：BD 三、填空题10．（2020·四川·双流中学高一阶段练习）已知集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则实数x =__________．【答案】2【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解.【详解】因为集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则242x x ⎧=⎨=⎩，解得2x =．故答案为：2.11．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）设集合{}**(,)|3,N ,N A x y x y x y =+=∈∈，则用列举法表示集合A 为______．【答案】{(1,2),(2,1)}【分析】根据题意可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<，对1,2x =代入检验，注意集合的元素为坐标．【详解】∵**3,N ,N x y x y +=∈∈，则可得030x y x >⎧⎨=->⎩，则03x <<又∵*N x ∈，则当1,2x y ==成立，当2,1x y ==成立，∴{(1,2),(2,1)}A =故答案为：{(1,2),(2,1)}．12．（2020·甘肃·永昌县第一高级中学高一阶段练习）下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x |x 2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥{}|2x x ≥{}|1x x >.【答案】①③⑥【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6}{2,3,4,5,6∈，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确；对于②，菱形不属于矩形，则{菱形}{矩形}，故②不正确；对于③，由20x =，解得0x =，则{x |x 2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，()}{0,10,1∉，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确；对于⑥，{}|2x x ≥{}|1x x >，故⑥正确.故答案为：①③⑥.13．（2022·湖南·高一课时练习）用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-；（2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-；（4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数．【答案】⊆=⊇⊆【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆故答案为：⊆，=，⊇，⊆14．（2021·浙江省青田县中学高一期中）设全集{2,3,5,6,9}U =，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是___________.【答案】{}3,5,9【分析】写出包含元素个数从小到大的子集个数，发现含有小于等于2个元素的子集的个数为16个，含有小于等于3个元素的子集的个数为26个，故判断出第23位的子集在含有3个元素的子集中，由于第23位离第26位较近，所以从后面往前找，最终求得结果【详解】不含任何元素的子集个数有1个，含有一个元素的子集个数有5个，含有两个元素的子集个数有10个，含有3个元素的子集个数有10个，因为1+5+10+10=26>23，故排在第23位的子集在含有3个元素的子集中，第26位的子集为{}5,6,9，第25位的子集为{}3,6,9，第24位的子集为{}2,6,9，第23位的子集为{}3,5,9故答案为：{}3,5,915．（2021·江苏·高一课时练习）有下列命题：①空集是任何集合的真子集；②设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈；③{0,1,2}{1,2,0}⊆.其中，正确的有_________.（填序号）【答案】②③【分析】根据空集不是本身的真子集即可判断①，根据子集的概念即可判断②③.【详解】解：空集不是空集的真子集，故①错误；由子集的概念可得，设A B ⊆，若m A ∈，则m B ∈，故②正确；由子集的概念可得{0,1,2}{1,2,0}⊆，故③正确.故答案为：②③.四、解答题16．（2022·湖南·高一课时练习）只有一个元素的集合，例如{}孙悟空，它有两个子集：空集∅和{}孙悟空．两个或三个元素组成的集合各有多少个子集？你能找出一般规律吗？【分析】利用子集的定义及集合的表示即得.【详解】对于两个元素组成的集合{},A a b =，它有4个子集：{}{}{},,,,a b a b ∅；对于三个元素组成的集合{},,B a b c =，它有8个子集：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,a b c a b a c b c a b c ∅；规律：一般地对于有n 个元素的集合{}12,,,n a a a ，共有2n 个子集.17．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）已知集合{}22,,A xx m n m n ==+∈∈Z Z ∣.(1)判断2,5,25是否属于集合A ；(2)若正整数y 能表示为某个整数的平方，z A ∈，证明：yz A ∈；(3)若集合{}43,B xx k k ==+∈Z ∣，证明：A B =∅.【答案】(1)2,5,25属于集合A ；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)将2，5，25拆成两个整数平方和即可；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，由此即可证明yz A ∈；(3)根据m 与n 的奇偶分类讨论即可.(1)由222222211,512,2534=+=+=+，可知2,5,25属于集合A ；(2)由题可设()2y a a =∈Z ，又由z A ∈，设()22,z b c b c =+∈∈Z Z ，有()22222()()yz a b c ab ac =+=+，由,,a b c ∈∈∈Z Z Z ，有,ab ac ∈∈Z Z ，故有yz A ∈；(3)①当,m n 都为偶数时，不妨设()()11222,2m k k n k k =∈=∈Z Z ，有()2222221212444x m n k k k k =+=+=+，此时x 为4的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；②当,m n 都为奇数时，不妨设()()112221,21m k k n k k =+∈=+∈Z Z ，有()()()222222121212212142x m n k k k k k k =+=+++=++++，此时x 为2的倍数，而偶数B ∉，此时A B =∅；③当,m n 一奇一偶时，不妨设()()112221,2m k k n k k =+∈=∈Z Z ，有()()2222221212121441x m n k k k k k =+=++=+++，此时x 被4整除余1，而集合B 中的元素被4整除余3，此时A B =∅.由①②③可知，A B =∅.18．（2021·全国·高一专题练习）含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.①求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.②求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）①672，②192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）①求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.②分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）①集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.②设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ，集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.19．（2021·全国·高一专题练习）设N n ∈且3n ≥，有限集合12{,,}n M a a a =⋯，，其中12310n n a a a a a -≤<<<⋯<<，若对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a M -∈，则称集合M 为“含差集合”.（1）分别判断集合{0,2,4}A =和集合{1,2,3}B =是否是“含差集合”，并说明理由；（2）已知集合12345{,,,,}C a a a a a =，集合2{|,,4}D x x ka k N k ==∈≤，若集合C 是“含差集合”，试判断集合C 与集合D 的关系，并加以证明.【答案】（1）A 是，B 不是；（2）C D =，证明见解析.【分析】（1）根据含差集合的定义判断即可；（2）根据“含差集合”的定义，可求出集合C ，再与集合D 比较即可.【详解】（1）由{0,2,4}A =，可知0j i a a -=或2或4，因为0,2,4A ∈，所以集合{0,2,4}A =是“含差集合”，由{1,2,3}B =，可知0j i a a -=或1或2，因为0B ∉，所以{1,2,3}B =不是“含差集合”，（2）因为12345{,,,,}C a a a a a =是含差集合，所以123450a a a a a ≤<<<<，且对任意i j 、（1i j n ≤≤≤），都有()j i a a C -∈，因为1a 最小，所以10a =，因为32323a a C a a a -∈⎧⎨-<⎩，所以322a a a -=或321a a a -=（舍）所以322a a =，又4342a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且234a a a <<，10a =，可得43a a -=2a ，3a ；42a a -=2a ，3a ；当433a a a -=时，43224a a a ==；当432a a a -=时，423a a =；当422a a a -=时，422a a =；因为322a a =，43a a >，此种情况不成立，当423a a a -=时，423a a =；所以423a a =，又5453a a C a a C -∈⎧⎨-∈⎩且345a a a <<，10a =，322a a =，423a a =，可得54a a -=2a ，3a ，4a ；53a a -=2a ，3a ，4a ；当542a a a -=时，524a a =；当543a a a -=时，525a a =；当544a a a -=时，526a a =；当53a a -=2a 时，5243a a a ==，因为54a a >，此种情况不成立，当53a a -=3a 时，524a a =；当53a a -=4a 时，525a a =；所以10a =，322a a =，423a a =，524a a =或525a a =，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =或2222{0,,2,3,5}C a a a a =此种情况225a a C -∉，不成立，所以2222{0,,2,3,4}C a a a a =，而22222{|,N,4}{0,,2,3,4}D x x ka k k a a a a ==∈≤=，所以C D =.。
