第1讲-集合的基本概念高一新教材
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新高一第一章集合知识点集合是数学中的一个基本概念,它是由一些确定的对象组成的整体。
在高中数学的学习中,集合是一个重要的知识点。
本文将为您介绍新高一第一章的集合知识点,帮助您更好地理解和掌握这一内容。
1. 集合的基本概念一个集合是由若干个元素组成的整体。
集合中的元素是无序的,表示为a∈A(a属于A)。
若元素a属于集合A,则称a是A的元素;反之,若元素a不属于集合A,则称a是A的非元素。
2. 集合的表示方法(1)列举法:直接列出集合中的元素,用花括号{}括起来表示,元素之间用逗号隔开。
例如,集合A = {1, 2, 3, 4}。
(2)描述法:通过描述元素的特点或所满足的条件来表示集合。
例如,集合B = {x | x是正整数,且x<5}表示集合B是由所有小于5的正整数组成。
3. 集合的运算(1)并集:集合A和集合B的并集,表示为A∪B,即A和B两个集合中所有的元素的集合。
例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。
(2)交集:集合A和集合B的交集,表示为A∩B,即A和B两个集合中共有的元素组成的集合。
例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A∩B = {3}。
(3)差集:集合A和集合B的差集,表示为A-B,即属于A但不属于B的元素组成的集合。
例如,A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},则A-B = {1, 2}。
(4)补集:相对于某个全集U而言,集合A中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,表示为A'或A的补集。
4. 包含关系和子集(1)包含关系:若一个集合A中的所有元素都属于另一个集合B,则称A包含于B,表示为A⊆B。
例如,集合A = {1, 2},集合B = {1, 2, 3},则A⊆B。
(2)真包含关系:若一个集合A包含于另一个集合B,且A≠B,则称A是B的真子集,表示为A⊂B。
主题集合的基本概念
教学内容
1. 使学生初步了解“属于”关系的意义;
2. 使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义;
3. 掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)。
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一、集合的概念
1、看图片
①一群大象在喝水;②一群鸟在飞翔;③一群学生在热烈欢迎来宾
在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是一群大象、一群鸟、一群学生)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对象的总体。
2、观察下列对象:
①1~20以内的所有质数;
②我国从1991—2003年的13年内所发射的所有人造卫星
③金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
④2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;
⑤所有的正方形;
⑥到直线l的距离等于定长d的所有的点;
⑦方程x2+3x—2=0的所有实数根;
2)互异性:同一集合中不应重复出现同一元素.
3)无序性:集合中的元素没有顺序
4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样
二、集合与元素的关系
【问题】高一(4)班里所有学生组成集合A,a是高一(4)班里的同学,b是高一(5)班的同学,a、b与A分别有什么关系?
引导学生思考上述问题,发表学生自己的看法。
得出结论:①如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A。
②如果b不是集合A的元素,就说b不属于集合A,记作b∉A。
再让学生举一些例子说明这种关系。
熟记数学中一些常用的数集及其记法
符号名称含义
N非负数集或自然数集全体非负整数组成的集合
N*或N+正整数集所有正整数组成的集合
Z整数集全体整数组成的集合
Q有理数集全体有理数组成的集合
三、集合的表示方法
列举法:将集合中的元素一一列出来(不考虑元素的顺序),并且写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法;
描述法:在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性,即:{}
=满足的性质,这种表示集合的方法叫做描述法.
A x x p
(采用教师引导,学生轮流回答的形式)
例1. 下面给出的四类对象中,构成集合的是(D)
A.某班个子较高的同学
B.相当大的实数
C.我国著名数学家
D.倒数等于它本身的数
试一试:下列各项中,不可以组成集合的是(C)A.所有的正数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数
例2. 下列八个关系式 ①{0}=φ ②0∈φ ③φ⊆{φ} ④φ∈{φ} ⑤{0}⊇φ
⑥0∉{{0},φ} ⑦{φ}⊆{0} ⑧φ∈{0}其中正确的个数 ( A )
(A )4 (B )5 (C )6 (D )7
试一试:若集合*}16|
{N x Z x S ∈-∈=,用列举法表示集合S 。
答案:S ={2,3,4,7}
这个题对于刚开始接触集合的学生来说难度较大,老师也要强调一下记住几个特殊集合的重要性。
例3. 用列举法表示下列集合:
(1)不大于10的非负偶数集;
(2)自然数中不大于10的质数集;
(3)方程 x 2+2x -15=0 的解。
(1){0,2,4,6,8} (2){2,3,5,7} (3){-3,5}
例4. 用描述法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集:
(1)所有被2整除的数;
(2)坐标平面内,x 轴上的点的集合;
(1){}2,x x k k Z =∈; (2){}
(,)0,x y x y R =∈两个都是无限集
这里老师可以向学生简单讲解点集的表示,同时也介绍一下集合的分类:有限集,无限集,空集重点介绍空集的符号与表示,这个在下节课中也会重点讲解。
(学生统一完成,互相批改,教师针对重难点详细讲解)
1. 用符号∈或∉填空:
(1)2______N
(2)2______Q (3)0____∅ (4)0______{}0 (5)b ______{},,a b c
(6)0______*N 答案:∈ ∉ ∉ ∈ ∈ ∉
2. 写出下列集合中的元素(并用列举法表示):
(1)既是质数又是偶数的整数组成的集合
答案:{}2 (2)大于10而小于20的合数组成的集合
答案:{}12,14,15,16,18
3. 用描述法表示下列集合:
(1)被5除余1的正整数所构成的集合
答案:{}|51,x x k k =+∈N
(2)平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合
答案:{}(,)|0,,x y xy x y >∈∈R R
(3)函数221y x x =-+的图像上所有的点
答案:(){}2,|21,,x y y x x x y =-+∈∈R R
(4)12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭
答案:*,,52n x x n n n ⎧
⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭
N 4. 用列举法表示下列集合: (1)(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N 答案:()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0
(2){}2230,x x x x --=∈R 答案:{}3,1-
(3){}2230,x x x x -+=∈R 答案:∅
(3)12,5x x x ⎧
⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z 答案:{}7,1,1,3,4-- 5. 设A ={x |ax +1=0},}02|{2
=-+=x x x B ,若B A ⊆,求实数a 的值。
答案:由已知得:B ={1,-2} ∵ B A ⊆,∴ A =φ或A ={1}或A ={-2},由A =φ得a =0;由A ={1}得a =-1;由A ={-2}得a =1/2。
∴ a 的值为0或-1或1/2。
本节课主要知识点:集合的性质,集合的表示方法,元素与集合的关系 .
【巩固练习】
1. 下列关系中正确的是 ( ) B
A .0∈{(0,1)}
B .0∈{0,1}
C .1∈{(0,1)}
D .}1 0{1,
∉ 2. 已知集合S ={a ,b ,c }中的三个元素可构成△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( ) D A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形
3. 下列命题中正确的是 ( ) C A .{0}是空集 B .}N x 6|
Q x {∈∈是有限集 C .}02x x |Q x {2=++∈是空集 D .集合N 中最小的数是1
4. 已知A ={-2,-1,0,1},B ={x |x =|y |,y ∈A },则集合B =_________________. {0,1,2}
5. 已知A ={1,3,a },B ={1,a 2-a +1},且A ⊇B ,则a 的值为__________. 2或-1
6. 已知含有三个元素的集合M ={x ,xy ,x -y },N ={0,|x |,y }且M =N ,求x 、y 的值。
∵0∈N ,M =N ,∴0∈M ,∵集合M 为含三个元素的集合,∴x ≠xy ,∴x ≠0
∵0∈N ,y ∈N ,根据元素的互异性,∴y ≠0,因此,在集合M 中,只有x -y =0
∴x =y ,所以集合}0,,{2x x M =,集合N ={0,|x |,x },∴||2x x =,∴x =0,x =±
1 又据元素的互异性可得x =-1,y =-1。
【预习思考】
1. 思考:实数有相等.大小关系,如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢?
2. 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗?
(1){1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==;
(2)设A 为某中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合;
(3)设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形
(4){2,4,6},{6,4,2}E F ==.。