第1讲 集合的概念与运用
- 格式:ppt
- 大小:5.29 MB
- 文档页数:69
第1讲 集合的概念和运算必记考点1.集合的基本概念(1)集合元素的三个特征: 、 、 . (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 或 表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.(4)常用数集: N ; N *(或N +) ; Z ;Q ; R . (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、 . 2.集合间的基本关系(1)子集: ,则A ⊆B (或B ⊇A ). (2)真子集: 则A B (或B A ).若集合A 中含有n 个元素,则A 的子集有2n 个,A 的真子集有2n -1个.(3)空集:空集是 的子集,是 的真子集.即∅⊆A ,∅B (B ≠∅).(4)集合相等:若 ,则A =B . 3.集合的基本运算及其性质(1)并集:A ∪B = . (2)交集:A ∩B = .(3)补集:∁U A = ,U 为全集,∁U A 表示A 相对于全集U 的补集. (4)集合的运算性质①A ∪B =A ⇔B ⊆A ,A ∩B =A ⇔A ⊆B ; ②A ∩A =A ,A ∩∅=∅; ③A ∪A =A ,A ∪∅=A ;④A ∩∁U A =∅,A ∪∁U A =U ,∁U (∁U A )=A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 014+b 2 014=________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( ).考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ={x |0<x ≤4},B =(-∞,a ),若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ={x |-3≤2x -1≤3},集合B 为函数y =lg(x -1)的定义域,则A ∩B =( ).A .(1,2)B .[1,2]C .[1,2)D .(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ). A .{1,2,4} B .{2,3,4} C .{0,2,4}D .{0,2,3,4}(3)设全集U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={1,2,4},B ={3,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为( ).A .{5}B .{4}C.{1,2} D.{3,5}基础演练1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则().A.A B B.B AC.A=B D.A∩B=∅2.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁U Q)=().A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5} D.{1,2}3.设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁U M=().A.{1,4} B.{1,5}C.{2,3} D.{3,4}4.若集合A={x||x|>1,x∈R},B={y|y=2x2,x∈R},则(∁R A)∩B=().A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1} D.∅5.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________. 6.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________.7.若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a,b.第2讲函数及其表示必记考点1.函数的概念一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应;那么就称:f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作.2.函数的三要素函数由、、三个要素构成,对函数y=f(x),x∈A,其中(1)定义域:.(2)值域:.(3)两个函数就相同: .3.函数的表示方法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是().2.下列各组函数表示相同函数的是().A.f(x)=x2,g(x)=(x)2B.f(x)=1,g(x)=x2C.f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x,x≥0,-x,x<0,g(t)=|t|D.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y =x +1x 的定义域为________.(2)函数y =x -3x +1的值域为________.(3) 设函数f (x )=41-x ,若f (a )=2,实数a =________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x ,x >1,则f (f (3))=( ).A.15 B .3 C.23D.139(2)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x 为有理数,0,x 为无理数,则f (g (π))的值为( ).A .1B .0C .-1D .π(3)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x+1,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a 等于( ).A.12 B.45 C .2 D .9基础演练1.函数f (x )=11-x +lg(1+x )的定义域是( ).A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞)2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). A .f (x )=x ,g (x )=(x )2 B .f (x )=x 2,g (x )=(x +1)2 C .f (x )=x 2,g (x )=|x |D .f (x )=0,g (x )=x -1+1-x3.设函数f (x )=⎩⎨⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,若f (a )+f (-1)=2,则a =( ).A .-3B .±3C .-1D .±14.函数f (x )=lg 1-x 2的定义域为________.5.(2013·皖南八校联考)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,log 2x ,x >0,则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫-12=________. 6.已知f (x )是二次函数,若f (0)=0,且f (x +1)=f (x )+x +1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,①若 ,则f (x )在区间D 上是增函数;②若 ,则f (x )在区间D 上是减函数.(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ,则区间D 叫做f (x )的单调区间.(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有 ,那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有 ,那么函数f (x )就叫做奇函数.(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称.考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ).A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .y =⎝⎛⎭⎫12xD .y =x +1x(2)函数y =-x 2+2x -3(x <0)的单调增区间是( ).A .(0,+∞)B .(-∞,1]C .(-∞,0)D .(-∞,-1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )=4x 2-mx +5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则f (1)=________. (2) 函数y =f(x)在R 上为增函数,且f(2m)>f(-m +9),则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )=2xx +1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________.考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=x 3-2x ;(2)f (x )=x 2-1+1-x 2;(3)f (x )=(x -1)- 1+x1-x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________.(2) 设函数f (x )=(x +1)(x +a )x 为奇函数,则a =________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时,f (x )=2x+2x +b (b 为常数),则f (-1)= .基础演练1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有f (a )-f (b )a -b>0,则必有( ).A .函数f (x )先增后减B .f (x )是R 上的增函数C .函数f (x )先减后增D .函数f (x )是R 上的减函数2.函数y =f (x )在R 上为减函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是 .3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是( ).A .y =1xB .y =|x |+1C .y =-x 2+1D .y =-2x +14.已知f (x )=x 2-2mx +6在(-∞,-1]上是减函数,则m 的范围为________.5.已知函数f (x )为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________. 6.下列函数是偶函数的是( ).A .y =xB .y =2x 2-3C .y =1xD .y =x 2,x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=2x 2-x ,则f (1)=________.9.已知函数y =f (x )是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和是________. 10.若f (x )=x 2+bx +c ,且f (1)=0,f (3)=0.(1)求b 与c 的值;(2)试证明函数f (x )在区间(2,+∞)上是增函数.第4讲 指数与指数函数必记考点1.指数与指数运算 (1)根式的概念若x n =a ,则x 叫 ,.式子na 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.即x n=a ⇒⎩⎨⎧x =n a (当n 为奇数且n ∈N *时),x =±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n = .②当n 为奇数时,na n= ;当n 为偶数时,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)-a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n =na m (a >0,m ,n ∈N *,n >1).负分数指数幂a -m n =1a m n =1na m (a >0,m ,n ∈N *,n >1).(4)幂指数的运算性质a r ·a s = rs aa= (a r )s = (ab )r =2.指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式: (1)[(0.06415)-2.5]23- 3338-π0;(2) 2132a b ·(-31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x -2+x =0的解的个数是________. (2) 下列各式比较大小正确的是( ). A .1.72.5>1.73 B .0.6-1>0.62C .0.8-0.1>1.250.2 D .1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )=2x -12x +1,①讨论f (x )的奇偶性;②讨论f (x )的单调性.⎝⎛⎭⎫21412-⎝⎛⎭⎫-350-⎝⎛⎭⎫827-13=________. 已知函数f (x )=4+a x -1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是( ).函数y =1-3x 的定义域为________。
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素,且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U,则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁U A)=∅,A∪(∁U A)=U,∁U(∁U A)=A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】(2020·海南省海南中学高三月考)若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合,则S 的非空真子集个数是( ) A .62B .32C .64D .30规律方法 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模)已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭,则集合A 真子集的个数为( ) A .3B .4C .7D .8规律方法 1.若B ⊆A ,应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图,化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】(2020·全国高三一模(文))已知集合{}|15A x x =-≤≤,{}2|23B x x x =->,则A B =( )A .5}|3{x x <≤B .{|15}x x -≤≤C .{|1x x <-或3}x >D .R【例3-2】(2020·安徽省六安一中高一月考)已知集合{}2230A x x x =-->,(){}lg 11B x x =+≤,则()R A B =( )A .{}13x x -≤< B .{}19x x -≤≤ C .{}13x x -<≤D .{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题:耐心阅读,分析含义,准确提取信息是解决这类问题的前提,剥去新定义、新法则、新运算的外表,利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合,是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1.集合的定义2.元素与集合的关系3.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性4.常用数集及其记法:5.集合的表示方法:二、例题讲解例1:集合M中的元素为1,x,x2-x,求x的范围?例2:三个元素的集合1,a,ba,也可表示为0,a2,a+b,求a2005+ b2006的值.例3:集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合A的关系?(1)0 (2(3例4.用描述法表示下列集合:(1)所有被3整除的整数的集合;(2)使yx=有意义的x的集合;(3)方程x2+x+1=0所有实数解的集合;(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合;例5.已知A={a|6,3N a Za∈∈-},试用列举法表示集合A.例6.已知集合P={-1,a,b},Q={-1,a2,b2},且Q=P,求1+a2+b2的值.三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x,|x|x,组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合:(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2,0≤y<2,x ,y ∈Z}4、用描述法表示下列集合:(1)不等式2x-3>5的解集;(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合;5、集合A={x|y=x 2+1},B={t|p=t 2+1},,这三个集合的关系? 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-},试用列举法表示集合A .1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1.子集的概念及记法:2.子集的性质:① A ⊆ A② A ∅⊆3.真子集的概念及记法:4.真子集的性质:①∅是任何非空集合的真子集5.全集的概念:6. 补集的概念:二、例题讲解例1:以下各组是什么关系,用适当的符号表示出来.(1)a 与{a} 0 与 ∅(2)∅与{20,35,∅} (3)S={-2,-1,1,2},A={-1,1},B={-2,2};(4)S=R ,A={x|x ≤0,x ∈R},B={x|x>0 ,x ∈R };例2:设集合A={x|x 2+4x=0,x ∈R},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,x ∈R},若B ⊆A ,求实数a 的取值范围.例3:①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ,U=R ,试求A 及u C A . ②设全集U=R ,A={x|x>1},B={x|x+a<0},B 是R C A 的真子集,求实数a 的取值范围.三、巩固练习1.指出下列各组中集合A 与B 之间的关系.(1) A={-1,1},B=Z ;(2)A={1,3,5,15},B={x|x 是15的正约数};(3) A = N*,B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*},B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2.(1)已知{1,2 }⊆M ⊆{1,2,3,4,5},则这样的集合M 有多少个?(2)已知M={1,2,3,4,5,6, 7,8,9},集合P 满足:P ⊆M ,且若P α∈,则10-α∈P ,则这样的集合P 有多少个?3.若U=Z ,A={x|x=2k ,k ∈Z},B={x|x=2k+1, k ∈Z},则U C A ___________ U C B ___________:4.设全集是数集U={2,3,a 2+2a-3},已知A={b ,2},U C A ={5},求实数a ,b 的值.5.已知集合A={x|x 2-1=0 },B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ,求a ,b 的取值范围.1.3 交集、并集一、知识梳理1.交集的定义:注意: 当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A ∩B=∅.2.交集的常用性质:(1)(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C);(2) A ∩B ⊆A , A ∩B ⊆B3.区间的表示法:4.并集的定义:注意:并集(A ∪B )实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合,但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5.并集的常用性质:(1)(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C);(2) A ⊆A ∪B , B ⊆A ∪B二、例题讲解例1. (1)设A={-1,0,1},B={0,1,2,3},求A ∩B ;(2)设A={x|x>0},B={x|x≤1},求A∩B;(3)设A={x|x=3k,k∈Z},B={y|y=3k+1 k∈Z },C={z|z=3k+2,k∈Z},D={x|x=6k+1,k∈Z},求A∩B;A∩C;C∩B;D∩B;例2:已知数集 A={a2,a+1,-3},数集B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},求a的值.例3:(1)设集合A={y|y=x2-2x+3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+10,x∈R},求A∩B;(2)设集合A={(x,y)|y=x+1,x∈R},B={(x,y)|y=-x2+2x+34,x∈R},求A∪B;例4:已知集合A={x|x2-1=0 },B={x|x2-2ax+b=0},A∪B=A,求a,b的值或a,b所满足的例5:若A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0},(1)若A∪B=A∩B,求a的值;(2)∅ A∩B,A∩C=∅,求a的值.例6:已知集合A={2,5},B={x|x2+px+q=0,x∈R}(1)若B={5},求p,q的值.(2)若A∩B= B ,求实数p,q满足的条件.例10、已知集合A={x|-2<x<-1,或x>0},B={x|a≤x≤b},满足A∩B={x|0<x≤2},A∪B={x|x>-2},求a、b的值。