北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数21i i=+ A ．1i - B ．1i --C ．1i +D ．1i -+【答案】C 【详解】21i i =+2i(1i)1i 2-=+ ,选C. 2．双曲线221416x y -=的渐近线方程是（ ）A ．2y x =±B ．4y x =±C ．12y x =±D ．14y x =±【答案】A【分析】双曲线的焦点在x 轴上时，渐近线方程为by x a=±；焦点在y 轴上时，渐近线方程为ay x b=±.故首先要判断双曲线的焦点位置，再求解. 【详解】双曲线221416x y -=的焦点在x 轴上，故渐近线方程为b y x a =±,其中2,4a b ==，所以渐近线方程为2y x =±.故选：A【点睛】对于椭圆和双曲线，焦点位置有两种情况，所以首先要判断焦点位置，再用相关知识求解.3．某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[)[)[]0,5,5,10,35,40...,，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用直方图计算出各不同锻炼时间的学生人数分布，结合各选项确定符合人数分布的茎叶图即可.【详解】由直方图知：⨯⨯=人；[0,5):200.0151⨯⨯=人；[5,10):200.0151⨯⨯=人；[10,15):200.0454⨯⨯=人；[15,20):200.0252⨯⨯=人；[20,25):200.0454⨯⨯=人；[25,30):200.0353⨯⨯=人；[30,35):200.0353⨯⨯=人.[35,40):200.0252∴结合各选项的茎叶图知：只有B符合.故选：B.4．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ） A ．37B ．45C ．67D ．1213【答案】D【分析】根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B ，分别求得P （AB ）和P （A ）的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．【详解】解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A ，“一件上一等品，另一件不是一等品”为事件B ，则P （A ）＝12628C C -=115132828-=，P （AB ）1126281228C C C ==， 则P （B |A ）()()1213P AB P A ==； 故选D ．【点睛】本题主要考查条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵活运用，属于基础题．5．在2nx ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．112- B ．112 C ．1120- D ．1120【答案】B【分析】由二项式系数最大为第5项，根据二项式系数的对称性可知n 值，进而由二项式展开项通项公式确定常数项对应的r 值，求常数项即可. 【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为4n C 最大， ∴由对称性知：8n =，而展开式通项884331882()(2)r rr r r rr T C x C x x--+=⋅⋅-=-⋅⋅，∴2r时，常数项为2238(2)112T C =-⋅=.故选：B.6．双曲线C 的左右焦点分别为1F ，2F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为 AB．1+ C．1D．2+【答案】B【详解】试题分析：∵2y 4x =，∴焦点为(1,0)，即1c =，∵212212A A pAF F F x x ===+=+，∴1A x =， 即(1,2)A ，∴1AF =，则22a =，即1a =，∴21c ea．【解析】抛物线的标准方程及几何性质．7．直线():110l mx m y +--=（m 为常数），圆()22:14C x y -+=，则下列说法中：①当m 变化时，直线l 恒过定点()1,1-；②直线l 与圆C 有可能无公共点；③对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点；④若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为 ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】由直线系方程可确定①定点，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断②，根据特殊情况1m =判断③，当圆心到直线的距离最大时，MN 的长最小求长度判断④.【详解】①：由直线方程得()10m x y y +--=，当01x y y +=⎧⎨=-⎩时方程恒成立，即过定点(1,1)-，错误；②：由题设，圆心为(1,0)，半径为2，而圆心到直线的距离：12d =≤<，错误；③：由②知：当1m =时，直线l 为1x =过圆心，显然此时圆上存在关于直线l 对称的点，错误；④：由②知：当1d =，即0m =时，MN 的长最小，此时直线l ：1y=-代入圆的方程得1x =±MN =正确.∴只有④正确. 故选：A.8．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A ．50种 B ．51种 C ．140种 D ．141种【答案】D【详解】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有661C =种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有246430A C =种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有22264290C C C =种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有336320C C =种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1309020141+++=种方案,故D 正确. 【解析】排列组合，考查分类讨论思想.二、双空题9．复数12z i -=-，则z 的虚部是______，z =_________.【答案】2【分析】根据共轭复数的概念，结合已知z -可写出z 的代数形式，进而可得其虚部、模. 【详解】由已知，根据共轭复数得：12z i =+，∴z 的虚部是2，||z ==故答案为：2三、填空题10．随机变量()2~500,X N σ，且()490510=0.95P X ≤≤，则()510P X >=____.【答案】0.025【分析】利用正态分布的对称性，有1(490510)(510)2P x P X -≤≤>=即可求概率.【详解】由题设知：正态分布曲线关于500X =对称， ∴1(490510)(510)0.0252P x P X -≤≤>==.故答案为：0.025.11．若椭圆的方程为221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.【答案】4或8【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可.【详解】因为221102x y a a +=--是椭圆的方程，所以100a ->且a 20->，所以210a <<,由椭圆的方程可得()2c 102122a a a =---=-，又2c 4=，所以1224a -=，解得4a =或8a =. 故答案为4或8【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，由椭圆的长半轴、短半轴以及半焦距之间的关系即可求解，属于基础题型.12．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为_______（用数字作答） 【答案】80.【分析】分甲、乙排在丙左侧或右侧两种情况：先将甲、乙排在丙左侧排好，应用插空法依次将丁、戊插入队列中，最后根据对称性得到甲、乙排在丙右侧的排法，两种情况的排法加总.【详解】1、将甲、乙排在丙左侧有22A 种排法，即3人形成4个空， 2、将丁在4个空中插入有14C 种，即4人形成5个空， 3、将戊在5个空中插入有15C 种. ∴共有21124540A C C =种；将甲、乙排在丙右侧时，根据对称性也有40种，所以一共有80种排法. 故答案为：80.13．盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回，直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，则恰好第四次停止的概率为__________. 【答案】44125【分析】先求出两次停止和三次停止的概率，再利用对立事件求出恰好第四次停止的概率.【详解】盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回， 每次抽出红球的概率为：35， 直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，包括两次停止，三次停止和四次停止.两次停止的概率为：13395525P =⨯=’ 三次停止的概率为：223332336555555125P =⨯⨯+⨯⨯=， ∴恰好四次停止的概率为：12936441125125125P P --=--=. 故答案为：44125. 【点睛】概率的计算：①古典概型、几何概型直接套公式计算；②互斥事件同时发生的概率用概率加法、相互独立事件同时发生的概率用概率的乘法.③正面计算情况比较多的可以求其对立事件的概率.14．点()1,1A 为圆224x y +=内一点，,P Q 为圆上的动点，且=90PAQ ∠︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为_______.【答案】2210x y x y +---=.【分析】由题设，设线段PQ 中点为00(,)B x y ，则||||||BP BQ BA ==且222||||||OP OB BA =+，即可写出中点B 的轨迹方程.【详解】由题设，若线段PQ 中点为00(,)B x y ，由=90PAQ ∠︒，∴||||||BP BQ BA ==，而22222||||||||||4OP OB BP OB BA =+=+=， ∴22220000(1)(1)4x y x y ++-+-=，整理得22000010x y x y +---=， ∴线段PQ 中点的轨迹方程为2210x y x y +---=. 故答案为：2210x y x y +---=.【点睛】关键点点睛：利用圆、直角三角形的性质，根据动点到定点距离的平方和为定值求轨迹.四、解答题15．某校组织知识竞赛。

2023北京高一（上）期末数学汇编空间直线、平面的垂直一、单选题 1．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（ ）AB C ．32D 2．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）已知平面α，β，直线m ，n ，下列命题中真命题是（ ） A ．若m α⊥，m β⊥，则αβ⊥ B ．若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ C ．若m α⊥，n β⊥，则αβ∥D ．若m α，αβ∥，n β⊂，则m n ∥3．（2023秋·北京密云·高二统考期末）设m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥B ．若//m α，//n α，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥4．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在长方体1111ABCD A B C D −中，13,2,1AB BC AA ===，则二面角1D BC D −−的余弦值为（ ）A B C D 5．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）如图，平面α⊥平面β，l αβ=，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，4DA =，6AB =，8CB =，若平面α内的动点P 满足APD BPC ∠=∠，则四棱锥P ABCD −的体积的最大值为（ ）A ．24B ．C ．48D ．6．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为直角梯形，1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足平面1DD M ⊥平面1AAC ．当线段DM 的长度取到最大值时，直线DM 与底面ABCD 所成角的正弦值是（ ）A ．13B ．23C D 7．（2023秋·北京通州·高二统考期末）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ，2AB AP ==，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A．2B C ．32D ．28．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为111,BD B C 的中点，P 为正方体1111ABCD A B C D −表面上的动点．下列叙述正确的是（ ）A ．当点P 在侧面11AA D D 上运动时，直线CN 与平面BMP 所成角的最大值为2πB ．当点P 为棱11A B 的中点时，CN ∥平面BMPC ．当点P 在棱1BB 上时，点P 到平面CNMD ．当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有2个9．（2023秋·北京怀柔·高二统考期末）在长方体1111ABCD A B C D −中，AB =BC 11AA =，则直线1AC 与平面11BB C C 内直线所成的角中最小角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°二、填空题10．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P其中所有正确结论的序号是________．11．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1DD 的中点，F 是正方形11CDD C 内部（含边界）的一个动点，且1//B F 平面1A BE .给出下列四个结论：①动点F 的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F ，使得11B F A B ⊥； ③三棱锥11B D EF −的体积的最大值为23；④设直线1B F 与平面11CDD C 所成角为θ，则tan θ的取值范围是⎡⎣.其中所有正确结论的序号是__________.12．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）正方体1111ABCD A B C D −的棱长是1，则点1A 到平面11BB D D 的距离为_________．13．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点M ，N分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111D C B A 内，点Q 在线段A 1N 上，若PM =PQ 长度的最小值为____.三、解答题14．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，12AC CC CB ===，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．(1)求证：1BC AC ⊥； (2)求证：1//BC 平面1ACE 15．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，D 为AC 中点，12AC AA ==，AB BC =(1)求证：1B C ∥平面1A BD ； (2)求证：平面1BDA ⊥平面11AAC C ；(3)若1=B C ，求三棱柱111ABC A B C 的体积．参考答案1．A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心， 所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =， 所以，11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等， 设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，11EB CE B C ==112CEB S =⨯=△因为111111133D EB C BE CEB C CED D V V S h S B C −−==⋅⋅=△△，113111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得h所以，F 到平面1EB C 故选：A2．B【分析】根据线面垂直和面面垂直的性质与判定定理、线面平行的判定定理和性质依次判断选项即可. 【详解】对于A ：m α⊥，m β⊥，//αβ∴，故A 错误，对于B ：//m n ，m α⊥，n α∴⊥，由平行线中的一条直线垂直于一个平面， 则另一条也垂直于这个平面可知，故B 正确； 对于C ：m α⊥，n β⊥若m β⊂，由面面垂直判定定理可知αβ⊥，故C 错误；对于D ：//,//,m n ααββ⊂，//m n ∴或m 与n 互为异面直线或m 与n 相交，故D 错误. 故选：B . 3．A【分析】根据空间线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，根据线面垂直的定义可知，若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥，A 选项正确. B 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行，所以B 选项错误. C 选项，若m α⊥，m n ⊥，则n 可能含于平面α，所以C 选项错误. D 选项，若//m α，m n ⊥，则n 可能含于平面α，所以D 选项错误. 故选：A 4．D【分析】画出长方体1111ABCD A B C D −，1D CD ∠为二面角1D BC D −−所成的平面角，求出1cos D CD ∠的值即可得出答案.【详解】长方体1111ABCD A B C D −中，13,2,1AB BC AA ===，1CD ∴BC CD ∴⊥，BC ⊥平面11DCC D ,1CD ⊂平面11DCC D ,1BC CD ∴⊥,又平面1D BC平面BCD BC =，∴1D CD ∠为二面角1D BC D −−所成的平面角，11cos CD D CD CD ∠== 所以二面角1D BC D −−. 故选：D.5．C【分析】根据已知可得36ADCB S =，则当四棱锥的高h 最大，即PAB 的高PE 最大即可.根据面面垂直的性质得出线线垂直关系结合APD BPC ∠=∠，可得2BP AP =.设APB θ∠=，AP m =，在APB △根据余弦定理结合面积公式得出h =由三边关系得到26m <<，即可得到4h ≤，代入体积公式即可求出结果.【详解】在平面β内，由DA l ⊥，CB l ⊥，可得//DA BC .又4DA =，8CB =，所以四边形ADCB 为直角梯形，()()114863622ADCB S AD BC AB =⨯+⨯=⨯+⨯=.要使四棱锥P ABCD −的体积的最大值，则只要四棱锥的高h 最大即可. 因为平面α⊥平面β，l αβ=，过点P 向l 作垂线交l 于E ，根据面面垂直的性质可得，PE α⊥，则PE h =.又PE 是PAB 的高，且由DA l ⊥，CB l ⊥可知，DA α⊥，CB α⊥， 又AP α⊂，PB β⊂，所以DA AP ⊥，BC PB ⊥. 在Rt PAD △中，tan AD APD AP∠=.在Rt PBC 中，tan BCBPC BP ∠=.又APD BPC ∠=∠，所以AD BCAP BP =，所以4182AP AD BP BC ===，即2BP AP =. 设APB θ∠=，AP m =，在APB △中，由余弦定理可得22222536cos 24AP BP AB m AP BP mθ+−−==⋅.因为sin 0θ>，所以sin θ=则1sin 2PABSPA PB θ=⋅=，又132PABS AB h h =⋅=，所以，h . 根据三角形三边关系可得66PA PB AB PA PB AB +>=⎧⎨−<=⎩，即366m m >⎧⎨<⎩，所以26m <<，2436m <<.所以，当220m =时，h =4=. 又四棱锥P ABCD −的体积为113644833ADCB V S h =⨯⋅≤⨯⨯=，所以，四棱锥P ABCD −的体积的最大值为48. 故选：C. 6．B【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段DM 的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线DM 与底面ABCD 所成的角，即可求得其正弦值.【详解】根据几何体特征，四棱柱1111ABCD A B C D −是直四棱柱，所以1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC DD ⊥，要满足平面1DD M ⊥平面1AAC ，作DE AC ⊥于E ，延长DE 交BC 于G ，交AB 的延长线于F ， 作1//GH DD 交11B C 于H ，连接1D H ，如下图所示；又因为1DEDD D =，所以AC ⊥平面1DD E ，即AC ⊥平面1DD HG而AC ⊂平面1AAC ，所以平面1DD HG ⊥平面1AAC ， 又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段1,,DG G HD H ； 又因为底面ABCD 为直角梯形，1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//， 所以ADCFAD ，即CD ADAD FA=，得4FA =，所以1FB =； 又,1FB CD CD =//，所以DCG FBG ≅，即G 为线段,BC DF 的中点，DF =DG =，易知，当线段DM 的长度取到最大值时，点M 于点H 重合， 此时，HDG ∠即为直线DM 与底面所成的角，12GH DD ==，3DH ，2sin 3GH HDG DH ∠== 所以，线段DM 的长度取到最大值时，直线DM 与底面ABCD 所成角的正弦值是23. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果. 7．B【分析】易证PD ⊥平面AEF ，得到PF 为点P 到平面AEF 的距离，再根据E 是PC 的中点，得到点C 与点P 到平面AEF 的距离相等求解.【详解】解：在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥平面ABCD ， 所以CD AD ⊥，CD PA ⊥，又AD PA A ⋂=， 所以CD ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ， 所以CD PD ⊥，因为点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，所以//CD EF ，所以PD EF ⊥， 又PA AD =，则AF PD ⊥，且EF AF F =，所以PD ⊥平面AEF ，所以PF 为点P 到平面AEF 的距离， 又因为E 是PC 的中点，所以点C 与点P 到平面AEF 的距离相等，即PF所以点C 到平面AEF 故选：B 8．C【分析】NC 与MB 不可能垂直，故选项A 错误；平移NC 与平面相交于一点H ，故选项B 错误；利用体积相等即可求出点P 到平面CNM C ，当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个.当点P 为平面11BCC B 的中心时，故判断选项D 【详解】由于线面角的最大值为2π， NC 与MB 不可能垂直，故直线CN 与平面BMP 所成角的最大值达不到2π.选项A 错误；取DC 的中点为H ，11A B 的中点为Q ,连接11AC ,11B D 相交于点O ，连接,OH ON , //ON HC 且ON HC =故//OH NCH ∈平面1HBQD ,OH ⊄面1HBQD ，故CN不能与平面BMP 平行，故选项B 错误；P CNM M PNC V V −−=M 到平面PNC 的距离始终为12，故当点P 运动到点1B 时，PNC △取得最小值为1111224⨯⨯=，故111132243P CNM M PNC PNCCNMV V SS h −−==⨯==⋅322MC MN ==NC ,12228MNCS==故h ，故选项C 正确. 当点P NC ∉时，满足MP ⊥平面NCP 的点P 共有1个.当点P 为平面11BCC B 的中心时，故选项D 错误 故选：C.9．B【分析】设l 是平面11BB C C 内任一直线，n 是l 的一个方向向量.当//l BC 或l 与BC 重合时，11B C A ∠即等于线线角，在11Rt AB C △中，求出即可；当l 与BC 不平行且不重合时. 设BA a =，BC b =，1BB c =，则{},,a b c 可以作为空间向量的一个基底.则1AC a b c =−++，根据平面向量基本定理以及共线向量可得到l 的一个方向向量1n mb c =+.设线线角为θ，则11cos cos ,AC n θ==.令2t ⎛⎫=，用判别式法求出102t ≤≤，即可得到0cos θ≤. 【详解】如图，连接1AB .设l 是平面11BB C C 内任一直线，n 是l 的一个方向向量.①当//l BC 或l 与BC 重合时，11B C A ∠即等于直线1AC 和l 所成的角.又111B C AB ⊥，11B C =12AB ==，则在11Rt AB C △中，11111tan AB B C A B C ∠== ②当l 与BC 不平行且不重合时.设BA a =，BC b =，1BB c =，则{},,a b c 可以作为空间向量的一个基底， 且3a =，2b =，1c =，,,a b c 两两垂直，则11AC BA BC BB a b c =−++=−++，且16AC =根据平面向量基本定理，可知,λμ∃∈R ，1n BC BB λμ=+，显然0μ≠， 则1n BC BB λμ=+与向量11n BC BB λμ=+共线，所以11n BC BB λμ=+也是l 的一个方向向量. 设m λμ=，则11n mBC BB mb c =+=+. 设直线1AC 和l 所成的角为θ，则11cos cos ,AC n θ=.()()221121AC n a b c mb c mb c m ⋅=−++⋅+=+=+，16AC =()222222121n mb c m b c m =+=+=+，所以12n m =， 则111111cos ,6AC nAC n AC n ⋅==⋅. 令222441126m m t m ⎛⎫++==+，整理可得()21244610t m m t −−+−=， 该方程有解，即()()()()22441246114420tt t t ∆=−−−−=−−≥， 解得102t ≤≤，即2102≤≤，即1110cos ,2AC n ≤≤=， 所以0cos 2θ≤≤. 因为0,90，cosθ在0,90⎡⎤⎣⎦上单调递减，所以当cos θθ取最小值为45. 又11tan 1B C A ∠>，即1145BC A ∠>.综上所述，直线1AC 与平面11BB C C 内直线所成的角中最小角为45.故选：B.10．①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥，1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B C A B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ；所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C (,)f x y当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11AC 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//AQ AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又AH 112MN AQ =， MH =，AN =在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==，因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =−+，所以22243x y MH +==，222x y ⎫=+⎪⎪⎝⎭，所以x =y所以四边形AHNM 的面积2MN AH S AG +=⋅=故过点A ，H ，P当HB 时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤， 在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+，又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当HB 时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决. 11．②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面1//A BE 平面1MNB ，进而知动点F 的轨迹；对于②，利用垂直的性质的可判断；对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取1CC 和11D C 的中点,N M ，连接MN ，1MB ，1NB ，由正方体性质知1//MN A B ，11//NB EA ，1,MN NB ⊂/平面1A BE ，11,A B EA ⊂平面1A BE ，所以1,//MN NB 平面1A BE ,又1,MN NB ⊂平面1MNB ，1MN NB N =，所以平面1//A BE 平面1MNB ， 当F 在MN 上运动时，有1//B F 平面1A BE ，故动点F 的轨迹是线段MN ，故①错误； 对于②，当F 为线段MN 中点时，11MB NB =，1B F MN ∴⊥， 又1//MN A B ，11B F A B ∴⊥，故②正确；对于③，三棱锥11B D EF −的体积11111233D EF D EF V S B C S =⋅=， 又1max 12112D EF S =⨯⨯=所以三棱锥的体积的最大值为23，故③正确； 对于④，连接11,B F C F ，则1B F 与平面11CDD C 所成角11FC B θ=∠，则12tan C F θ=，11C F ≤≤，所以tan θ的取值范围是⎡⎣，故④正确； 故正确结论的序号是①③④，故答案为：②③④12【分析】连接11AC 交11B D 于O .判断出点1A 到平面11BB D D 的距离即为1AO ，即可求得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，有正方体的结构可知：面11BB D D ⊥面1111D C B A 且面11BB D D ⋂面111111A B C D B D =.连接11AC 交11B D 于O .因为1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，所以11AC⊥面11BB D D . 所以点1A 到平面11BB D D 的距离即为1AO .在正方形1111D C B A 中，111A B =，所以11AC ==111122A C O A ==.131【分析】取11B C 的中点O ，连接,OM OP ，得到MO OP ⊥，求得11A N OP =，得到点P 在以O 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形1111D C B A 中，求得1A NO S ，结合11322A N OH ⋅=，即可求解. 【详解】如图所示，取11BC 的中点O ，连接,OM OP ，则MO ⊥平面1111D C B A ，所以MO OP ⊥，因为PM =1111ABCD A B C D −的棱长为2，N 是11D C 的中点，所以11A N OP ==，所以点P 在以O 为圆心，1为半径的位于平面1111D C B A 内的半圆上， 单独画出平面1111D C B A 及相关点、线，如图所示，所以点O 到1A N 的距离减去半径就是PQ 长度的最小值， 连接1,AO ON ，作1OH A N ⊥交1A N 于H ， 则11113221111212222A NO S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=，所以11322A N OH ⋅=，解得OH所以PQ 1.1.14．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面11ACC A ，，再由线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）利用面面平行的判定定理先证明平面1//A EC 平面1C FB ，再由面面平行的性质定理即可证明线面平行.【详解】（1）1AA ⊥底面ABC 且BC ⊂平面ABC ， 1AA BC ∴⊥，又AC BC ⊥且1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ， BC ∴⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ， 1BC AC ∴⊥ （2）取11A B 的中点F ，连接1,FB FC ，因为,E F 分别为11,AB A B 的中点可知1//EB A F ，1=EB A F ， 所以四边形1EBFA 是平行四边形，所以1//FB A E ，因为FB ⊄平面1A EC ，1A E ⊂平面1A EC ，所以//FB 平面1A EC ，同理可得1//C F 平面1A EC ，又因为1C F BF F ⋂=，1,C F BF ⊂平面1C FB ，所以平面1//A EC 平面1C FB ，又因为1BC ⊂平面1C FB ，所以1BC //平面1ACE 15．(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）作出辅助线，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）由题干中的面面垂直得到线面垂直，进而得到平面1BDA ⊥平面11AAC C ； （3）求出ABC S ，证明出1A D ⊥底面ABC ，利用柱体体积公式进行求解.【详解】（1）连接1AB ，交1A B 于点E ，连接DE ，因为四边形11AA B B 为平行四边形， 所以E 为1AB 的中点，因为D 为AC 的中点，所以DE 为1AB C 的中位线，所以DE //1B C ，因为1B C ⊄平面1A BD ，DE ⊂平面1A BD ， 所以1B C ∥平面1A BD ；（2）因为AB BC =D 为AC 的中点， 所以BD ⊥AC ，因为侧面11AAC C ⊥底面ABC ，交线为AC ，BD ⊂平面ABC ， 所以BD ⊥侧面11AAC C ，因为BD ⊂平面1BDA ，所以平面1BDA ⊥平面11AAC C ；（3）因为2AC =，AB BC ==D 为AC 中点，所以1AD DC ==，BD =因为BD ⊥AC ，所以11222ABC S AC BD =⋅=⨯因为1=B C ，所以112DE B C == 因为BD ⊥侧面11AAC C ，1A D ⊂平面11AAC C ， 所以BD ⊥1A D ，故12A B DE ==由勾股定理得：1A D =又12AC AA ==，所以22211A D AD AA +=，故1A D AD ⊥， 因为BD AD D ，,BD AD ⊂平面ABC ， 所以1A D ⊥底面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C 的体积为1ABC V S A D =⋅=。

2019-2020学年北京市中央民族大学附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数11ii+-的模为（ ） A ．i B ．1C ．2iD ．2【答案】B根据复数除法运算,化简可得复数,进而求得模. 解：复数11ii+-,由复数除法运算化简可得 ()()()211111i i i i i i ++==--+ 所以复数的模为1i = 故选:B点评：本题考查了复数除法的运算,求复数的模,属于基础题. 2．已知数列{a n }满足12n n a a +-=，1=1a ，则4a 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C根据递推公式可知数列{}n a 为等差数列,结合首项即可求得通项公式,进而求得4a 的值.解：因为数列{}n a 满足12n n a a +-=, 所以数列{}n a 为等差数列,公差为2d = 又因为1=1a所以()11221n a n n =+-⨯=- 所以42417a =⨯-= 故答案为:C点评：本题考查了等差数列的定义及通项公式的求法,通项公式基本量的计算,属于基础题.3．已知椭圆方程为221=432x y +，则椭圆的长轴长为（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】D将椭圆的方程化为标准方程,即可求得a ,进而得长轴长. 解：椭圆方程为221=432x y +化为标准方程可得22=134x y +所以椭圆交点在y 轴上,且2a = 所以长轴为24a = 故选:D点评：本题考查了将一般方程化为椭圆的标准方程,椭圆几何性质的简单应用,属于基础题.4．已知()sin 2f x x x =⋅，则'2f π⎛⎫⎪⎝⎭为（ ） A ．π- B ．2π-C ．2π D ．π【答案】A根据导数运算,求得()'f x ,代入即可求解. 解：因为()sin 2f x x x =⋅所以由导数运算公式可得()'sin 22cos2f x x x x =+ 所以sin 22'2cos 2222f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⨯⨯⨯⎭+ 0cos πππ=+=-故选:A点评：本题考查了导数的乘法运算公式,复合函数求导的简单应用,求导数的值,属于基础题.5．公比2q =的等比数列{}n a 满足354a a +=，则46a a +＝（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．16【答案】A根据等比数列通项公式及公比,即可由35a a +的值求得46a a +的值. 解：因为数列{}n a 为等比数列,公比2q =所以3456,a q a a a q ==⋅⋅ 所以3654a a a a q q =⋅+⋅+()35q a a =⋅+248=⨯=故选:A点评：本题考查了等比数列通项公式及性质的简单应用,属于基础题.6．已知(),4,2a x =-r ，()3,,5b y =-r ，若a b ⊥r r ，则22x y +的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．[)4,+∞D ．[)5,+∞【答案】C根据向量的坐标与垂直关系,可得,x y 的等量关系.由22x y +可知其意义为(),x y 到原点距离平方,即可由点到直线距离公式求解.解：(),4,2a x =-r,()3,,5b y =-r ,且a b ⊥r r由向量数量积的运算可得34100a b x y ⋅=--=rr22x y +的意义为(),x y 到原点距离平方由点到直线距离公式可知原点到直线34100x y --=的距离为2d ==因为点到直线的距离为最短距离,所以22x y +的最小值为4即22xy +的取值范围为[)4,+∞故选:C点评：本题考查了空间向量垂直的坐标关系,向量数量积的运算.点到直线距离公式的应用,两点间距离公式的理解,属于基础题.7．若0b a <<，则下列不等式中正确的是（ ） A ．11a b> B ．a b >C ．2b aa b+> D ．a b +>【答案】C由0b a <<,取特殊值代入选项检验即可排除错误选项.对于正确选项,予以证明即可. 解：因为0b a << 令1,2a b =-=-对于A,111111221,a b ==-=-=--,所以11a b>错误; 对于B, 1,212a b -===-=,所以a b >错误;对于C, 由0b a <<,则0,0b a a b >>,由基本不等式可知22b a b aa b a b+>⋅=因为b a ≠,所以不能取等号,所以C 正确;对于D,()()()()123,221222a b ab +=-+-=-=-⨯-=,所以2a b ab +>错误.综上可知,C 为正确选项. 故选:C点评：本题考查了不等式性质,由条件判断不等式是否成立,基本不等式求最值,属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，在正方形11DD C C 中有一动点P ，满足1PD PD ⊥，则直线PB 与平面11DD C C 所成角中最大角的正切值为（ ）A ．1B ．2C ．312+ D ．512+ 【答案】D根据题意,可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点.由BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角可知当PC 取得最小值时,PB 与平面11DD C C 所成的角最大.而连接圆心E 与C 时,与半圆的交点为P,此时PC 取得最小值.设出正方体的棱长,即可求得PC ,进而求得tan BPC ∠.解：正方体1111ABCD A B C D -中,正方形11DD C C 内的点P 满足1PD PD ⊥ 可知P 是平面11DD C C 内,以1DD 为直径的半圆上一点,设圆心为E,如下图所示:当直线PB 与平面11DD C C 所成最大角时,点P 位于圆心E 与C 点连线上此时PC 取得最小值.则BPC ∠即为直线PB 与平面11DD C C 所成的角设正方体的边长为2,则1PC EC EP =-=,2BC =所以1tan2BC BPC PC ∠===故选:D点评：本题考查了空间中动点的轨迹问题,直线与平面夹角的求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.二、填空题9．双曲线22149y x -=的渐近线方程是______. 【答案】23y x =±双曲线22149y x -=的渐近线方程为22049y x -=，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解：Q 双曲线22149y x-=，∴双曲线22149y x -=的渐近线方程为22049y x -=， 即2.3y x =±故答案为2.3y x =±点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．10．复数()()342z i i =+⋅-的虚部为_____. 【答案】5根据复数乘法运算化简,即可得复数的虚部. 解：复数()()342z i i =+⋅- 由复数乘法运算化简可得()()342z i i =+⋅-26384i i i =-+-105i =+由复数定义可得虚部为5 故答案为:5点评：本题考查了复数代数形式的乘法与加减运算,复数的概念,属于基础题.11．函数()2x x f x e=的极大值点为_____.【答案】2先求得导函数,并令()'0f x =求得极值点.再由极值点两侧函数的单调性,即可判断出极大值,进而得极大值点.解：函数()2x x f x e=则()()()2222'x x xx x x x xe e f x e e -==-令()'0f x =解得0,2x x ==当(),0x ∈-∞时,()'0f x <,函数()f x 单调递减 当()0,2x ∈时,()'0f x >,函数()f x 单调递增 当()2,x ∈+∞时,()'0f x <,函数()f x 单调递减 由以上可知,()f x 在2x =处取得极大值 故答案为:2点评：本题考查了利用导数求函数的极值点,注意判断极值点左右两侧函数的单调性,属于基础题. 12．已知不等式x bx a-≤-0的解为23x ≤<，则2+a b 的值为_____. 【答案】7根据不等式中分母不为0,分子可以为0,可分别求得,a b 的值,代入即可求解. 解：因为不等式x bx a-≤-0的解为23x ≤<, 由不等式解集中等号端取2可知2b = 所以3,2a b ==则23227a b +=+⨯= 故答案为:7点评：本题考查了不等式解集性质及应用,分式不等式中分子可以为0,分母不为0,属于基础题.13．过抛物线2y ax =（0a ≠）的焦点做平行于x 轴的直线与抛物线相交于A B 、两点，O 为坐标原点，OAB ∆面积为12，则a =_____.【答案】12±将抛物线方程化为标准方程,求得焦点坐标.可得直线AB 的方程及AB 的长.由面积即可求得a 的值.解：抛物线2y ax =（0a ≠） 化为标准方程可得21x y a=所以焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭则直线AB 的方程为14y a=代入抛物线方程可得2214x a=,所以12x a =± 则1AB a=由题意可得111242OAB S AB a ∆=⨯⨯= 代入可得1111242OAB S a a ∆=⨯⨯= 解得12a =±故答案为: 12±点评：本题考查了抛物线标准方程及性质的简单应用,属于基础题.14．如图所示，为a 为某一值时()31f x x =+和()239g x x x a =-++在同一直角坐标系下的图象，当两函数图象在y 轴右侧有两个交点时，a 的范围为_____.【答案】()4,1-构造函数()()()h x f x g x =-,代入后求得()'h x .根据函数()h x 的单调性,可得极大值与极小值.由题意可知函数()h x 有两个正的零点,结合三次函数图像可得关于a 的不等式,解不等式组即可求得a 的取值范围. 解：令()()()h x f x g x =-代入可得()()()3232139391h x x x x a x x x a =+--++=+-+-则()()()2'369331h x x x x x =+-=+- 当3x <-时,()'0h x >,()h x 单调递增 当31x -<<时, ()'0h x <,()h x 单调递减 当1x >时,()'0h x >,()h x 单调递增所以()32391h x x x x a =+-+-在3x =-处取得极大值,在1x =处取得极小值 因为两函数图象在y 轴右侧有两个交点 即()32391h x x x x a =+-+-有两个正的零点结合三次函数图像可知只需满足()()0010h h ⎧>⎪⎨<⎪⎩即1040a a ->⎧⎨--<⎩,解得41a -<<即()4,1a ∈- 故答案为:()4,1-点评：本题考查了函数零点与函数交点关系,构造函数法分析函数的交点情况,三次函数图像与性质的应用,属于中档题.三、解答题15．已知数列{}n a 为公差1d =的等差数列，数列{}n b 为公比2q =的等比数列，数列{}n c 满足n n n c a b =+，且有112a b =>，244.a a b ⋅=（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =+，132n n b -=⋅；（2）21532322n n T n n =++⋅- （1）令112t a b =>=,结合等差数列与等比数列的通项公式,代入等式244.a a b ⋅=.即可求得11,a b .即可求得{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）因为n n n c a b =+,利用等差数列求和公式与等比数列求和公式,分别求得{}n a 和{}n b 的前n 项和,合并即可求得{}n c 的前n 项和nT.解：（1）由题意可得1d =,2q =,可令112t a b =>=,244.a a b ⋅= 可得()()11312131a a b ++⨯⨯= ,即有()()138t t t ++=, 解得3t =（1t =舍去）, 即113a b ==则由等差数列通项公式可得312n a n n +-=+=, 由等比数列通项公式可得132n n b -⋅=； （2）1232n n n n c a b n -++⋅=+=,前n 项和()()13423632n n T n -++⋯+++++⋯+⋅=()()312132212n n n -=+++- 21532322n n n =+⋅-+. 点评：本题考查了等差数列通项公式与等比数列通项公式的简单应用,等差数列与等比数列求和公式的应用,分组求和法,属于基础题.16．函数()32f x x mx nx -=-在()22f ，（）处切线方程为58y x =-.（1）求()f x 的解析式（2）求122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最值. 【答案】（1）()322f x x x x =-+；（2）最小值0，最大值2（1）先求得导函数,将切点代入切线方程求得切点坐标.根据导数几何意义及切点坐标,得方程组,解方程组即可求得,m n 的值,得()f x 的解析式;（2）根据导函数,求得极值点.判断函数在区间上的单调性,并比较端点值,即可求得最大值和最小值.解：（1）()32f x x mx nx -=-, 则()232f x x mx n -'=-由在()22f ，（）处切线方程为58y x =-,可得切点为()22， 结合导数的几何意义可得()28422'(21245f m n f m n ⎧=--=⎨=--=⎩,解方程组可得,12n m =-=， , 所以()322f x x x x =-+（2）由（1）可知()()()2341311f x x x x x '=+=---,当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()0f x <′,函数单调递减, 当(]12x ∈，时()0f x >′,函数单调递增,故当1x =时,函数取得最小值()10f =, 由于()112228f f ⎛⎫=>=⎪⎝⎭ 故当2x =时函数取得最大值()22f =.点评：本题考查了导数的几何意义,利用导数求函数的最值,属于基础题.17．在直三棱柱111ABC A B C -中，5BA BC ==，18AC AA ==，D 为线段AC 的中点.（1）求证：1BD A D ⊥：（2）求直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值； （3）求二面角1C BC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）45；（3）6525（1）由直三棱柱的定义可得1AA BD ⊥,再根据等腰三角形性质可得BD AC ⊥,再由线面垂直的判定可得BD ⊥平面11ACC A ,即可证明1BD A D ⊥.（2）取线段11A C 的中点为1D ,分别取1DB DC DD ，，作为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,利用向量数量积运算求得平面BC 1D 的法向量,即可由线面夹角的求法求得直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值.（3）由平面BC 1D 的法向量和平面1BCC 的法向量,即可利用法向量法求得二面角1C BC D --的余弦值.解：（1）证明：由直三棱柱111ABC A B C -,可得1AA ⊥底面ABC , ∴1AA BD ⊥.∵5BA BC ==,D 为线段AC 的中点. ∴BD AC ⊥,又1=AC AA A ⋂, ∴BD ⊥平面11ACC A , ∴1BD A D ⊥.（2）取线段11A C 的中点为1D ,分别取1DB DC DD ，，作为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,如下图所示:()()()()11000,0,48,300,048D A B C -，，，，，，，, ()10,48DA =-u u u u r ，,()300DB =u u u r ，，,()1048DC =u u u u r ，，, 设平面BC 1D 的法向量为(),,n x y z =r,则•100n DB n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v v u u u u v v ,代入可得30480x y z =⎧⎨+=⎩,令2y =可得021x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩即()02,1n =-r，. ∴直线1A D 与平面1BC D 所成角的余弦值|1114c 5,os 580n DA n DA n DA ⋅===⋅⋅u u u u r r u u u u r r u u uu r r |. （3）()040C ，，,()1008CC =u u u u r，，,()340BC =-u u u r ，，. 设平面1BCC 的法向量为(),,m a b c =u r,则100m CC m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v ,代入可得80340c a b =⎧⎨-+=⎩,令4a =,解得430a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩即()430m =u r，，. ∴65,55m n cos m n m n⋅===⋅⋅u r r u r r u r r ＜＞. 由图可知,二面角1C BC D --为锐二面角 ∴二面角1C BC D --65.点评：本题考查了由线面垂直判定线线垂直,空间向量法求线面夹角、面面夹角,对计算能力要求较高,属于中档题.18．已知椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），其离心率12e =，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），12PF F ∆周长为6.过椭圆右焦点2F 的直线L 与椭圆交于A B 、两点，O 为坐标原点，OAB ∆. （1）求椭圆的标准方程： （2）求直线L 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）220x y ±-= （1）根据椭圆的离心率和12PF F ∆周长,可求得,a c .再由椭圆中,,a b c 的关系,即可求得2b ,进而得椭圆的标准方程.（2）根据椭圆的标准方程,可得右焦点坐标,设出直线方程和()()1122,,,A x y B x y .联立直线与椭圆方程,可得关于y 的一元二次方程.由韦达定理表示出12y y +,12y y ,即可求得12y y -.由OAB ∆m 的方程组,解方程即可求得m 的值,代入直线方程即可得解. 解：（1）由离心率12c e a ==,则2,a c = 由12PF F ∆周长为6,可得226a c +=, 则21a c ==，,2223b a c =-=,所以椭圆的标准方程：22143x y +=；（2）由（1）可知椭圆的右焦点()210F ，,设直线L 的方程1x my =+,()()1122,,,A x y B x y联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去x ,整理得()234690m my ++-=,则122634m y y m +=-+,122934y y m =-+,所以12y y -==OAB ∆面积1211122OABS OF y y ∆=⨯⨯=⨯=﹣. 解得214m =,即12m =±, 所以直线L 的方程为220x y ±-=.点评：本题考查了椭圆标准方程的求法,椭圆的几何性质及应用,直线与椭圆的位置关系,韦达定理及三角形面积的应用,属于中档题. 19．函数()()211ln 2f x x a x x x =+--， （1）若()f x 在定义城内为单调递增函数，求a 的取值范围；（2）当3a =时，关于x 的方程()0f x b +=在区间(]1,e 上有且只有一实数根，求b 的取值范围.【答案】（1）1a ≥；（2）2151222e e b --≤<- （1）求得导函数,并根据()f x 在定义城内为单调递增函数,分离参数a .并构造函数()2g x lnx x =+-,求得()g x ',由导函数求得()max g x ,即可求得a 的取值范围;（2）将3a =代入,可得()f x 的解析式.求得导函数()f x '.构造函数()()1ln h x f x x x ='=+-,并求得()h x ',可证明()0h x >在区间(]1,e 上恒成立,即()0f x >′在区间(]1,e 上恒成立,即可知()f x 在(]1,e 上单调递增.根据函数()f x 的最值即可求得b 的取值范围.解：（1）定义域()0+∞，, 由题意可得,()20f x x a lnx '=+--≥在()0+∞，上恒成立, 故2a lnx x ≥+-在()0+∞，上恒成立, 令()2g x lnx x =+-,0x > 则()1xg x x-'=,可知当01x <<时,()0g x '>,()g x 单调递增,当()1x ∈+∞，时,函数单调递减, 故()()11max g x g ==, 所以1a ≥；（2）3a =时,()212ln 2f x x x x x =+- ()1ln f x x x '=+-令()1ln h x x x =+-,则()111x h x x x-'=-=, 当(]1,x e ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增, 故()()12h x h >=,即()0f x >′恒成立, 故()f x 在(]1,e 上单调递增,所以()()25112122f f x f e e e =<≤=+-（） 故2512122b e e -≤+-＜, 所以2151222e e b --≤-＜.点评：本题考查了由导数研究函数的单调性,利用函数的最值求参数的取值范围,构造函数法的应用,属于中档题.20．已知L +∈N ，数列A ：1a ，2a ，…n a 中的项均为不大于L 的正整数.k c 表示1a ，2a ，…n a 中k 的个数（12k L =⋯，）.定义变换T ，T 将数列A 变成数列()T A ：()1t a ，()2t a ，…()n t a 其中()12kc c c t k L n+++=⋅L .（1）若4L =，对数列A ：112334，，，，，，写出()14i c i ≤≤的值；（2）已知对任意的k （12k n =⋯，），存在A 中的项m a ，使得m a k =.求证：()i i t a a = （12i n =⋯，）的充分必要条件为i j c c =（,12i j L =⋯，）； （3）若L n =，对于数列A ：1a ，2a ，…n a ，令()()T T A ：12,n b b b ⋯，求证：()i i b t a =（12i n =⋯，）.【答案】（1）12342,1,2,1c c c c ====；（2）见解析；（3）见解析（1）根据定义,k c 表示1a ,2a ,…n a 中k 的个数,即可由数列A 得()14i c i ≤≤的值. （2）根据对任意的k （12k n =⋯，）,存在A 中的项m a ,使得m a k =,由充分必要条件的判定,分必要性与充分性两步分别证明即可.（3）设A ：1a ,2a ,…n a 的所有不同取值为12,m u u u ⋯,且满足：12m u u u <<⋯<.设12111212122212m r r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ：，，，，，，，，，，，，.根据L n =,结合题意中的T 变换可得()()T T A ：()()()1111r t r t r t r 144L 424443个，，，,()()()2121212r t r r t r r t r r +++144444424444443L 个，，，,()()()m r t L t L t L L 144424443个，，，,即可证明()i i b t a =（12i n =⋯，）.解：（1）∵4L =,对数列A :112334，，，，，, ∴12342,1,2,1c c c c ====.（2）证明：由于对任意的正整数k （1k L ≤≤）,存在A 中的项m a ,使得m a k =.所以12,L c c c ⋯均不为零.必要性：()i i t a a =（1i n ≤≤）,由于()12kc c c t k L n+++=⋅L ,∴()111c t L n =⋅=；()1222c ct L n +=⋅=；()12333c c c t L n ++=⋅=；…；()12Lc c c t L L n+++=⋅L .通过解此方程组,可得i j c c =（,12i j L =⋯，）成立. 充分性：若i j c c =（,12i j L =⋯，）成立,不妨设i j h c c ==（,12i j L =⋯，）,可以得到.h L n ⋅= ∴()11h t L n =⋅=；()222h t L n =⋅=；()333h t L n =⋅=；…；()Lht L L L n=⋅=. ∴()i i t a a =（1i n ≤≤）成立.故()i i t a a =（12i n =⋯，）的充分必要条件为i j c c =（,12i j L =⋯，） （3）证明：设A ：1a ,2a ,…n a 的所有不同取值为12,m u u u ⋯,且满足：12m u u u <<⋯<.不妨设12111212122212m r r m m mr A u u u u u u u u u L L L L ：，，，，，，，，，，，，, 其中111121r u u u ==L =；221222r u u u ===L ； (12)m m mr u u u ==L =.又∵L n =,根据变换T 有：()()()()111112111u r c t u t u t u t u L r n=====⋅=L ；()()()()12221222212u u r c c t u t u t u t u L r r n+=====⋅=+L ；…；()()()()121212mm u u u m m mr m m c c c t u t u t u t u L r r r L n+++=====⋅=+++=L L L ；∴()T A ：()()()1111r t t t μμμL 14444244443个，，，,()()()2222r t t t μμμ144424443个，，,()()()m m m m r t t t μμμ144442444L 43个，，，,即()T A ：1111r r r r 43L 142个，,2121212r r r r r r r +++1444424L 4443个，，，,m r L L L L 14243个，，，, ∴()()T T A ：()()()1111r t r t r t r 144L 424443个，，，,()()()2121212r t r r t r r t r r +++144444424444443L 个，，，,()()()m r t L t L t L L 144424443个，，，,∵11212m r r r r r r +⋯<++⋯+<<,∴()11t r r =,()1212t r r r r +=+,…,()12m t r r r L +++=⋯. ∴112121211112r r r r r b b b r b b b r r +++========+L L L ，，,1211211212m m r r r r r r n m b b b r r r L --++++++++====+++=L L L L即()()T T A ：1111r r r r 14243L 个，，，,2121212r r r r r r r +++1444424L 4443个，，，,m r L L L L 14243个，，，, 从而()i i b t a =（12i n =⋯，）. 故()i i b t a =（12i n =⋯，）点评：本题考查了数列中的新定义,充分必要条件的证明,抽象数列的性质及应用,对思维能力要求高,属于难题.。

2019-2020学年北京市民大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在数列{a n}中，a n=n2−22n+10，则满足a m=a n(m≠n)的等式有()A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个2.双曲线x2−4y2=4的焦点坐标为()A. (±√3,0)B. (0,±√3)C. (0,±√5)D. (±√5,0)3.对抛物线x2=12y，下列判断正确的是()A. 焦点坐标是(3,0)B. 焦点坐标是(0,−3)C. 准线方程是y=−3D. 准线方程是x=34.不等式的解集是(13,12)，则a+b的值是()A. −2B. 2C. 12D. 225.已知正实数a，b，c满足a2−2ab+9b2−c=0，则当abc 取得最大值时，3a+1b−12c的最大值为()A. 3B. 94C. 1D. 06.若a>b>c，且a+b+c=0，下列不等式恒成立的是()A. ac>bcB. ab>acC. a|b|>c|b|D. a2>b2>c27.各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，若a2−a5=−78，S3=13，则数列{a n}的通项公式a n=()A. 2nB. B、2n−1C. 3nD. 3n−18.已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F，直线x+y−1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF+BF+CF+DF=()A. 2√3B. 4√3C. 4D. 8二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线y236−x228=1的渐近线方程是________．10.已知焦点在x轴上的椭圆x225+y2m=1(m>1)的左焦点为F(−4,0)，则m的值为______．11.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≤4，S5≥15，则a4的最小值为______ ．12.已知点A(4,−2)，抛物线y2=8x的焦点是F，点M在抛物线上，|MA|+|MF|最小值是______ ．13.若x，y∈(0,+∞)，且x+4y=1，则1x +1y的最小值为______．14.设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知公差不为零的等差数列{a n}满足：a1=2且a22=a1a5(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a2n−1}的前n项和，求S n．16. 某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产里x(单位：吨)满足函数关系式C =3+x ，每日的销售额R(单位：元)与日产量x 满足函数关系式S ={3x +kx−8+ 5．(0<x <6)14 (x ≥6)，已知每日的利润L =S −C ，且当x =2时，L =3 (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．17. 已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，点F 1，F 2分别为其左右焦点，离心率为e ，直线l ：y =ex +a 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)证明：λ=1−e 2；(2)若λ=34，△MF 1F 2的周长为6，求椭圆C 的方程．18. 在等比数列{a n }中，a 3=9，a 4+9a 2=54．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n =(2n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．19.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其左、右顶点分别为A1(−2,0)，A2(2,0).过点D(1,0)的直线l与该椭圆相交于M、N两点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线A1M与NA2的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在实数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20.数列{a n}满足a1=1，前n项和为S n，S n+1=4a n+2，求a2017．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由a n =n 2−22n +10，a m =a n (m ≠n)， 则n 2−22n +10=m 2−22m +10， 化为：n +m =22，n ，m ∈N ∗．∴n =1，m =21；n =2，m =20；…；n =10，m =12.共10个等式． 故选：C ．由a n =n 2−22n +10，a m =a n (m ≠n)，可得：n +m =22，n ，m ∈N ∗，n ≠m.即可得出． 本题考查了数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2.答案：D解析：解：双曲线x 2−4y 2=4，标准方程为：x 24−y 2=1，可得a =2，b =1，c =√5，所以双曲线的焦点坐标：(±√5,0)． 故选：D ．利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力． 3.答案：C解析：解：抛物线x 2=12y ，焦点坐标是(0,3)，准线方程是y =−3． 故选：C ．直接由抛物线的方程得出结论．本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础． 4.答案：B解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a 、b 的值，再求a +b ． 【解答】解：不等式ax 2+bx +2<0的解集是(13,12)， ∴方程ax 2+bx +2=0的实数根为13和12， 由根与系数的关系知{2a=13×12−b a =13+12,解得a =12，b =−10， ∴a +b =2． 故选B ．解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配凑，属于中等题．由已知条件得出c=a2−2ab+9b2，代入abc，并在分式分子分母中同时除以ab，利用基本不等式可求出abc 的最大值，同时注意等号成立的条件a=3b，并得出c=12b2，代入3a+1b−12c并利用配方可求出该代数式的最大值．【解答】解：由a2−2ab+9b2−c=0，可得c=a2−2ab+9b2，∴abc =aba2−2ab+9b2=1a2+9b2−2abab=1ab+9ba−2≤2√ab⋅9ba−2=14，当且仅当ab =9ba时，即当a=3b时，等号成立，此时c=a2−2ab+9b2=(3b)2−2×3b×b+9b2=12b2，所以，3a +1b−12c=33b+1b−1212b2=−1b2+2b=−(1b−1)2+1≤1，当且仅当b=1时，等号成立，所以，3a +1b−12c的最大值为1．故选C．6.答案：B解析：∵a>b>c，且a+b+c=0，∴a>0，c<0，∴ab>ac，故选B．7.答案：D解析：解：各项均为正数，公比为q的等比数列{a n}，a2−a5=−78，S3=13，可得a1q−a1q4=−78，a1+a1q+a1q2=13，解得a1=1，q=3，则a n=a1q n−1=3n−1，n∈N∗，故选：D．设公比为q的等比数列{a n}，运用等比数列的通项公式，列方程，解方程即可得到首项和公比，即可得到所求通项公式．本题考查等比数列的通项公式的运用，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．8.答案：D解析：分析：利用直线过椭圆的焦点，转化为椭圆的定义去求解．本题主要考查了椭圆的方程和椭圆的性质，综合性较强．解：如图：两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，FD．由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1是椭圆的下焦点)为平行四边形，所以AF1=FD，同理BF1=CF．所以AF+BF+CF+DF=AF+BF+BF1+AF1=4a=8．9.答案：y=±3√77x解析：【分析】本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题．根据双曲线的渐近线方程直接求解即可．【解答】解：由题知a=6，b=2√7，∴该(焦点在y轴)双曲线的渐近线方程为y=±ab x=±3√77x故答案为y=±3√77x．10.答案：9解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，为基础题．利用已知条件列出关系式求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆x225+y2m=1(m>1)的左焦点为F(−4,0)，可得25−m=16，解得m=9．故答案为：9．11.答案：7解析：解：∵S4=2(a1+a4)≤4，∴a1+a4=a3−2d+a3+d=2a3−d≤2，∵S5=5a3≥15，∴a3≥3，∵2a3−d≤2，∴d−2a3≥−2，又∵a3≥3，∴2a3≥6，∴d ≥4，∴a 4=a 3+d ≥7， ∴a 4的最小值是7． 故答案为：7．由S 4=2(a 1+a 4)≤4，可得2a 3−d ≤2.由S 5=5a 3≥15，可得a 3≥3，进而得出：d ≥4，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12.答案：6解析： 【分析】本题考查抛物线的定义和性质的应用，解答的关键利用是抛物线定义，体现了转化的数学思想，属于基础题．求出焦点坐标和准线方程，设点M 到准线的距离为d =|PM|，则由抛物线的定义，把|MF|+|MA|转化为|MA|+|PM|，利用当P 、A 、M 三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值，可得结论． 【解答】解：由题意得F(2,0)，准线方程为x =−2， 过点M 作MP 垂直于准线，交准线于P 点， 设点M 到准线的距离为d =|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P 、A 、M 三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=4+2=6． 故答案为：6．13.答案：9解析：【分析】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意乘“1”法的运用和基本不等式等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题．由题意可得1x +1y =(x +4y)(1x +1y )，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：x ，y ∈(0,+∞)，且x +4y =1， 则1x +1y =(x +4y)(1x +1y ) =1+4+xy +4y x≥5+2√x y⋅4y x=9，当且仅当x =2y =13时，等号成立， 则1x +1y 的最小值为9． 故答案为9．14.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=13⋅2c，则c=3a，即e=ca=3．故答案为：3．由题意可得2a=13⋅2c，结合离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．15.答案：解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a1=2且a22=a1a5，∴(2+d)2=2(2+4d)，化简得：d2−4d=0，解得d=0或d=4．当d=0时，a n=2；当d=4时，a n=2+(n−1)⋅4=4n−2，∴a n=2或a n=4n−2，(2)由(1)得，当a n=2时，a2n−1=2，则S n=2n，当a n=4n−2时，a2n−1=8n−6，S n=n(2+8n−6)2=4n2−2n．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式应用，属于基础题．(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意和等差数列的通项公式列出方程，求出d的值，由等差数列的通项公式分别求出a n；(2)由(1)和等差数列的前n项和公式，分别求出a2n−1和S n．16.答案：解：(Ⅰ)由题意可得：L={2x+kx−8+2,0<x<611−x ,x≥6因为x=2时，L=3所以3=2×2+k2−8+2所以k=18(Ⅱ)当0<x<6时，L=2x+18x−8+2所以L=2(x−8)+18x−8+18=−[2(8−x)+188−x]+18≤−2√2(8−x)⋅188−x+18=6当且仅当2(8−x)=188−x即x=5时取等号当x≥6时，L=11−x≤5所以当x=5时，L取得最大值6所以当日产量为5吨时，毎日的利润可以达到最大值6．解析：(Ⅰ)根据每日的利润L =S −C 建立函数关系，然后根据当x =2时，L =3可求出k 的值； (Ⅱ)当0<x <6时，利用基本不等式求出函数的最大值，当x ≥6时利用函数单调性求出函数的最大值，比较两最大值即可得到所求．本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)证明：椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)，直线l ：y =ex +a ，消去y 并化简可得x 2+2cx +c 2=0， 可得x =−c ，△=0，可知直线与椭圆相切， 切点坐标(−c,b 2a )，A(−a 2c,0)，B(0,a)，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得： λ=a 2−c 2a 2=1−e 2．(2)由{1−e 2=342a +2c =6，解得a =2，c =1，可得b 2=3， 所以所求椭圆方程为：x 24+y 23=1．解析：(1)判断直线与椭圆的位置关系，求出切点坐标，利用AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .化简求解即可． (2)利用(1)以及△MF 1F 2的周长为6，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程． 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力． 18.答案：解：(1)等比数列{a n }的公比设为q ，a 3=9，a 4+9a 2=54， 则{a 1q 2=9a 1q 3+9a 1q =54，解得a 1=1，q =3， 故{a n }的通项公式为a n =a 1q n−1=3n−1; (2)由(1)可得b n =(2n +1)⋅3n−1，则S n =3+5×3+7×32+⋯+(2n +1)⋅3n−1，① 3S n =3×3+5×32+⋯+(2n +1)⋅3n ，②①−②得−2S n =3+2×3+2×32+⋯+2×3n−1−(2n +1)⋅3n =3+6(1−3n−1)1−3−(2n +1)3n =−2n ⋅3n ，故S n =n ⋅3n ．解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．(1)等比数列{a n }的公比设为q ，运用等比数列的通项公式，解方程可得所求首项和公比，即可得到所求通项公式；(2)可得b n =(2n +1)⋅3n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求． 19.答案：解：(Ⅰ)依题意可知a =2． ∵e =ca =√32，∴c =√3，得b =√a 2−c 2=1．∴椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅱ)设直线A 1M 的方程为y =k 1(x +2)，直线NA 2的方程为y =k 2(x −2)． 联立方程组{y =k 1(x +2)x 24+y 2=1，得(4k 12+1)x 2+16k 1x +16k 12−4=0． 解得点M 的坐标为(2−8k 124k 12+1,4k14k 12+1)， 同理，可解得点N 的坐标为(8k 22−24k 22+1,−4k24k 22+1).由M ，D ，N 三点共线，得4k 14k 12+12−8k 124k 12+1−1=−4k 24k 22+18k 22−24k 22+1−1，化简有(4k 1k 2+1)(k 2−3k 1)=0．∵k 1，k 2同号，∴4k 1k 2+1>0，则k 2=3k 1．故存在λ=3，使得结论成立．解析：(Ⅰ)由已知得a ，结合离心率得c ，再由隐含条件求得b 得答案；(Ⅱ)设直线A 1M 的方程为y =k 1(x +2)，直线NA 2的方程为y =k 2(x −2).分别联立直线方程和椭圆方程求得M ，N 的坐标，结合M ，D ，N 三点共线可得k 2=3k 1.说明存在λ=3，使得结论成立． 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 20.答案：解：∵S n+1=4a n +2， ∴a 1+a 2=4a 1+2， 解得a 2=5，由S n =4a n−1+2，S n+1=4a n +2得：a n+1=4a n −4a n−1， 故数列{a n+1−2a n }是以3为首项，以2为公比的等比即数列，∴a n+12n+1−a n 2n =34，∴数列{a n 2n }是以12为首项，，以34为公差的等差数列， ∴a n 2n=12+34(n −1)=34n −14，∴a n =(34−14)2n ，a 2017=(34×2017−14)×22017=6050×22015．解析：本题主要考查数列的递推关系，化简可得a n+1=4a n −4a n−1，从而求得数列{a n+1−2a n }是以3为首项，以2为公比的等比数列，数列{a n2n }是以12为首项，，以34为公差的等差数列，从而解出答案．。

1中央民大附中2019—2020学年第一学期9月考试试题卷年级高三科目数学时量 120 分钟总分 150 分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．函数( ) A ． B ． C ． D ． 2. 已知角α的终边经过点(3,4)-，则cos α= ( )A.35B. 35-C. 45D.45- 3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 ( ) A. 22y x x =+ B. 3y x = C.ln y x = D.2y x =4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )5. 3πα=是1cos 2α=的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6．函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)7．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，2121[()()][]0f x f x x x -⋅-<恒成立，设1((2),(3)2a fb fc f =-==，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c8. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不1()1f x x =-[0,)+∞(1,)+∞[0,1)(1,)+∞[0,1)2确定）. “L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则 ( ) A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 已知向量(1,2)=-a ，(2,)m =b ，若 ，则m =. 10．已知函数3()log ()f x x a =+的图象过点(2,1)，那么a =____． 11.o sin 225=_________12．能够说明“设a ,b 是任意非零实数．若1ba>，则b >a ”是假命题的一组整数．．a ,b 的值依次为________．13．函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么(0)f ＝________14. 已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.f f x f x F x f x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，①若22()1x f x x =+，则(1)_______f F =； (13题图)②若()e 1a xf x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为__________ .三、解答题共6小题，共80分。

北京市人大附中2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x 0∈R ，≤0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈R ，＞0B ．∃x 0∉R ，≤0 C ．∀x ∈R ，2x ＞0 D ．∀x ∈R ，2x ≤02．下列求导运算正确的是（ ）A ．（x 3）'=x 2B ．C ．（e x ）'=xe x ﹣1D ．（cosx ）'=sinx3．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）4．“a ＞b ，c ＞d ”是“a+c ＞b+d ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A （﹣1，0），右焦点为F 2（，0），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±2xC ．y=±xD ．y=±x6．如图，直线l 是曲线y=f （x ）在x=4处的切线，则f ′（4）=（ ）A ．B ．3C ．4D ．57．函数f （x ）=2x 3﹣3x 2+a 的极大值为6，那么a 的值是（ ）A ．5B ．0C ．6D ．18．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y轴于点P ．若=2，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f （x ）=sinx ，则f ′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为______．12．函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是______．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f （x ）的极值点；②1是函数y=f （x ）的最小值点；③y=f （x ）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M （3，﹣6）在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线l ：y=2x+1与抛物线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求线段AB 的长．16．已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D ： +=1的半焦距c=1，且a=b ．（1）求椭圆D 的标准方程；（2）过点M （0，m ）且斜率为的直线l 与椭圆D 有两个不同的交点P 和Q ，若以PQ 为直径的圆经过原点O ，求实数m 的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在曲线C 上，∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M（I ）若点M 的坐标为（2，0），则|AF 2|=______；（II ）若|AF 1|+|AF 2|=24，则△F 1AF 2的面积为______．19．（I ）设函数f （x ）=x （x+1）（x+2），则f ′（0）=______；（II ）设函数f （x ）=x （x+1）（x+2）…（x+100），则f ′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．北京市人大附中2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x 0∈R ，≤0”的否定是（ ）A ．∃x 0∈R ，＞0B ．∃x 0∉R ，≤0C ．∀x ∈R ，2x ＞0D ．∀x ∈R ，2x ≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x ∈R ，2x ＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（ ）A ．（x 3）'=x 2B ．C ．（e x ）'=xe x ﹣1D ．（cosx ）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A ．（x 3）'=3x 2 故A 错误；B ．（lgx ）'= 故B 正确；C ．（e x ）'=e x 故C 错误；D ．（cosx ）'=﹣sinx 故D 错误；故选B3．如果x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，把x 2+ky 2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k ＜1．∴实数k 的取值范围是（0，1）．故选：A ．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．（，0），则双曲线的渐5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．（，0），【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f （x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y 轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故xB =﹣c，yB=，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x 轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f （x ）=sinx ，则f ′（）= ． 【考点】导数的运算． 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【解答】解：f （x ）=sinx ， 则f ′（x ）=cosx ，则f ′（）=cos =，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，若弦AB 经过焦点F 1，则△ABF 2的周长为 12 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF 2的周长为4a ，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 与椭圆的另一个焦点F 2构成△ABF 2，则△ABF 2的周长l=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=（|AF 1|+|AF 2|）+（|BF 1|+|BF 2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f （x ）=（x ﹣3）e x 的单调递增区间是 （2，+∞） ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f （x ）=（x ﹣3）e x 求导，可得f ′（x ）=（x ﹣2）e x ，令f ′（x ）＞0，解可得答案．【解答】解：f ′（x ）=（x ﹣3）′e x +（x ﹣3）（e x ）′=（x ﹣2）e x ，令f ′（x ）＞0，解得x ＞2． 故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，则|AB|= 8 ．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点∴|AB|=x 1+x 2+2，又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f （x ）的导函数y=f ′（x ）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f （x ）的极值点；②1是函数y=f （x ）的最小值点；③y=f （x ）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是 ①④ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x ∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x ）＜0，在x ∈（﹣2，+∞）时，f'（x ）≥0则函数y=f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确∵函数y=f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴y=f （x ）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M （3，﹣6）在以原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线C 上，直线l ：y=2x+1与抛物线C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）求线段AB 的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C 的方程；（2）将直线l ：y=2x+1与抛物线C 的方程y 2=12x 联立化简整理可得：4x 2﹣8x+1=0，即可求线段AB 的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C 的方程为y 2=2px （p ＞0）由点M （3，﹣6）在抛物线C 上可得：（﹣6）2=2p ×3=6p ，∴p=6．故所求抛物线C 的方程为y 2=12x ；（2）将直线l ：y=2x+1与抛物线C 的方程y 2=12x 联立化简整理可得：4x 2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2（Ⅰ）求f （x ）的单调减区间；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2，通过求导得出f ′（x ）＜0，解出即可；（Ⅱ）f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x ﹣2∴f ′（x ）=﹣3x 2+6x+9．令f ′（x ）＜0，解得x ＜﹣1或x ＞3，∴函数f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f （﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f （2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f （2）＞f （﹣2）．∵x ∈（﹣1，3）时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f （x ）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f （2）和f （﹣1）分别是f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f （x ）max =20，f （x ）min =﹣7．17．已知椭圆D ： +=1的半焦距c=1，且a=b ．（1）求椭圆D 的标准方程；（2）过点M （0，m ）且斜率为的直线l 与椭圆D 有两个不同的交点P 和Q ，若以PQ 为直径的圆经过原点O ，求实数m 的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b ＞0，又a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出椭圆D 的标准方程．（2）由题意易知：直线l 的方程为y=x+m ．与椭圆方程联立可得：5x 2+4mx+2（m 2﹣1）=0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得： •=0，即x 1x 2+y 1y 2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b ＞0，又a 2=b 2+c 2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D 的标准方程为： +y 2=1．（2）由题意易知：直线l 的方程为y=x+m ．联立，化简整理可得：5x 2+4mx+2（m 2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m 2﹣1）=40﹣8m 2＞0，可得：＜m ＜．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．由以PQ 为直径的圆经过原点O 可得：OP ⊥OQ ．从而•=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0．∴x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+=3x 1x 2+（x 1+x 2）+m 2=3×+m ×（﹣）+m 2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m 的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在曲线C 上，∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M（I ）若点M 的坐标为（2，0），则|AF 2|= 6 ；（II ）若|AF 1|+|AF 2|=24，则△F 1AF 2的面积为 54 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I ）求得双曲线的a ，b ，c ，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=6，进而可得所求；（II ）由双曲线的对称性，可设A 在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I ）双曲线C ：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F 1（﹣6，0），F 2（6，0），∠F 1AF 2 的平分线交x 轴于点M ，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）= 2 ；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）= 1×2×3×…×100 ．（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为： =1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y）．则x0==，y=kx+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有kMN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，，∴a≤g（x）min易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）=g（1）=﹣1．min∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．。

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题（共60分）1. 命题“若A ∩B=A ，则A ⊆B 的逆否命题是（ ） A ．若A ∪B ≠A ，则A ⊇B B ．若A ∩B ≠A ，则A ⊆B C ．若A ⊆B ，则A ∩B ≠A D ．若A ⊇B ，则A ∩B ≠A 2．已知a ＞b ＞1，P=b a lg lg ⋅ ，Q=)lg (lg 21b a +，R=)2lg(b a +则P,Q,R 关系是（ ） A. P ＞Q ＞R B. Q ＞R ＞P C.P ＞R ＞Q D.R ＞Q ＞P 3．对于实数x,y ，条件px+y ≠8,条件qx ≠2或y ≠6，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．都不对 4．下列命题中正确的个数是( )①∃x ∈R,x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x ∈{x|x 是无理数}，x 2是无理数 A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．已知命题p3≥3,q3>4，则下列判断正确的是( )A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，⌝p 为假B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假 6．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为( ) A ．192522=+y x (y ≠0) B. 192522=+x y (y ≠0)C. 191622=+y x (y ≠0)D. 191622=+x y (y ≠0)7．方程mx 2-my 2=n 中，若mn<0,则方程的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线8．若θ是任意实数，则方程x 2+4y 2sin θ=1所表示的曲线一定不是( ) A ．圆 B ．双曲线 C ．直线 D ．抛物线9．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=( )A ．8B ．10C ．6D ．410．设F 1、F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2=90°，则△PF 1F 2的面积是( )A ．1B ．25C ．2D ．5 11．若不等式 x 2+px+q ＜0的解集为（-31,21）则不等式qx 2+px+1＞0的解集为（ ） A ．（-3,2） B ．（-2,3） C ．（-21,31） D ．R 12．关于x 的不等式0>-b ax 的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(b ax +)(2x -)>0的解集是 ( )A.()),2(1,+∞⋃∞-B.(-1,2)C. (1,2)D.()),2(1,+∞⋃-∞-二、填空题(共20分)13. 不等式3x 2-3x+20≤的解集是_____________14．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则离心率e=________。

2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知椭圆的一个焦点为（2，0），则a的值为（）A．B．C．6D．82．（4分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝a n﹣1+2（n∈N*，n≥2），则a3＝（）A．5B．6C．7D．83．（4分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A．∀x≥1，x2≤1B．∃x＜1，x2＞1C．∀x＜1，x2＞1D．∃x≥1，x2＞1 4．（4分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．a2＜b2D．a3＜b35．（4分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么||＝（）A．B．6C．9D．186．（4分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或08．（4分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当时，数列x﹣f（x），f（x），x（）A．是等差数列，也是等比数列B．是等差数列，不是等比数列C．是等比数列，不是等差数列D．不是等差数列，也不是等比数列9．（4分）设有四个数的数列{a n}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6．则实数m的取值范围为（）A．m≥6B．C．m≤6D．m≥210．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②C．②③D．③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为．12．（5分）不等式＜0的解集为．13．（5分）能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a、b值是a＝，b＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．15．（5分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元．若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为万元；当n＝时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．16．（5分）若x1，x2，x3，…，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i∈{x∈N|2≤x≤9}，要求灯x i的左边有且只有灯x i﹣1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要次操作；如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要次操作．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）已知等比数列{a n}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，且S n＝62，求n的值．18．（13分）已知函数f（x）＝x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（a）＞f（1），求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB＝90°，求△AFB的面积．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠P AB＝90°．P A＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是，求m的值；（Ⅲ）若m＝2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x＝﹣4于点E，直线BF交直线x＝﹣1于点D．是否存在这样的直线l，使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．22．（13分）若无穷数列a1，a2，a3，…满足：对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），a i﹣1+a j+1＝a i+a j与a i+1+a j﹣1＝a i+a j至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”．（Ⅰ）求证：若数列{a n}为等差数列，则{a n}为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{a n}为“和谐数列”，则数列{a n}从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{a n}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a1＝0，且存在p∈N*使得a p＝p，a1+a2+a3+…+a p＝﹣p，求p的所有可能值．2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知椭圆的一个焦点为（2，0），则a的值为（）A．B．C．6D．8【分析】判断椭圆的焦点所在的轴，然后转化求解a即可．【解答】解：椭圆的一个焦点为（2，0），所以椭圆的长轴是x轴，所以，解得a＝2．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．2．（4分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝a n﹣1+2（n∈N*，n≥2），则a3＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】结合等差数列的定义及通项公式即可求解．【解答】解：由题意可知数列是以a1＝2为是首项，以2为公差的等差数列，则a3＝6．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础试题．3．（4分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A．∀x≥1，x2≤1B．∃x＜1，x2＞1C．∀x＜1，x2＞1D．∃x≥1，x2＞1【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p：∀x＜1，x2＞1；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4．（4分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．a2＜b2D．a3＜b3【分析】利用不等式的性质，逐项分析即可．【解答】解：取a＝﹣2，b＝﹣1，a＝2b，故选项A错误；当b＝0时，ab＝b2＝0，故选项B错误；取a＝﹣1，b＝0，显然选项C错误；由y＝x3为R上的增函数可知，当a＜b时，a3＜b3，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．5．（4分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么||＝（）A．B．6C．9D．18【分析】根据题意，设＝k，即（3，x，y）＝k（﹣1，2，1），分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，则设＝k，即（3，x，y）＝k（﹣1，2，1），则有k＝﹣3，则x＝﹣6，y＝﹣3，则＝（3，﹣6，﹣3），故||＝＝3；故选：A．【点评】本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．6．（4分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（4分）已知向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或0【分析】由，，共面，得，由此能求出x的值．【解答】解：∵向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），，，共面，∴，∴（1，x，2）＝（n，m，2m），解得n＝1，m＝x，2＝2m，∴x＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（4分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当时，数列x﹣f（x），f（x），x（）A．是等差数列，也是等比数列B．是等差数列，不是等比数列C．是等比数列，不是等差数列D．不是等差数列，也不是等比数列【分析】根据题意，求出f（x）和x﹣f（x）的值，即可得数列x﹣f（x），f（x），x；据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，当时，f（x）＝2，则x﹣f（x）＝（+1）﹣2＝﹣1，数列x﹣f（x），f（x），x，即﹣1，2，+1，其不是等差数列，也不是等比数列；故选：D．【点评】本题考查数列的表示方法，关键是求出f（x），属于基础题，9．（4分）设有四个数的数列{a n}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6．则实数m的取值范围为（）A．m≥6B．C．m≤6D．m≥2【分析】本题先根据等差数列列出后3项，然后根据等比中项的性质算出第1项，再写出m关于d的表达式，根据二次函数的性质可得出实数m的取值范围．【解答】解：由题意，后3项成等差数列，其和为6，故可设公差为d，后3项可写成2﹣d，2，2+d．又∵前3项成等比数列，根据等比中项的性质，可知第1项为．∴数列{a n}为：，2﹣d，2，2+d．∴m＝+2﹣d+2＝d2﹣3d+6＝（d﹣3）2+≥．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的性质，二次函数的知识，考查了函数思想的应用及计算能力．本题属中档题．10．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②C．②③D．③【分析】将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，曲线C 关于原点不对称；曲线C：x3+y3＝1过点M（x，），M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝≥1；曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，所以曲线C关于原点不对称，故①错误；曲线C：x3+y3＝1过点M（x，），M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝≥1，故②正确；曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点，故③正确；故正确的结论的序号是：②③，故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查曲线的对称性、曲线上的点到原点的距离和整点问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为8．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，结合椭圆的定义可得若M为椭圆上一点，则有|MF1|+|MF2|＝2a＝10，又由题意，分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为+＝1，其中a＝＝5，若P为椭圆上一点，则有|PF1|+|PF2|＝2a＝10，又由P到左焦点F1的距离是2，则P到右焦点的距离为10﹣2＝8；故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用椭圆的定义分析．12．（5分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．13．（5分）能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a、b值是a＝1，b＝﹣1．【分析】结合不等式的性质即可进行判断．【解答】解：利用a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但是，故此时若a＞b，则”为假命题．故答案为：1，﹣1．【点评】本题主要考查了命题的真假判断，属于基础试题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y＝x 的距离为c，可得：＝b＝，可得，即c＝2a，所以双曲线的离心率为：e＝．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15．（5分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元．若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为n2+3n+100万元；当n＝10时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．【分析】第一空：根据增长规律可求得第n年捕捞所需费用为2n+2，进而求出总费用；第二空：表示出平均花费，利用基本不等式即可求出n＝10时平均花费最低．【解答】解：因为第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元，则第n年捕捞所需费用为4+2（n﹣1）＝2n+2，所以总花费为+100＝n2+3n+100；平均花费＝＝n++3≥2+3＝23，当且仅当n2＝100即n＝10时，平均花费最小，故答案为：n2+3n+100；10．【点评】本题考查函数模型的实际应用，涉及基本不等式求最值，属于综合题．16．（5分）若x1，x2，x3，…，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i∈{x∈N|2≤x≤9}，要求灯x i的左边有且只有灯x i﹣1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要3次操作；如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要21次操作．【分析】（1）把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要3次操作；（2）按照规则，适当对灯x1操作，先把灯x6打开，再一步一步把前面的灯打开即可．【解答】解：（1）如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要3次操作；（2）如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么：第1次操作：把x2灯关闭，第2次操作：把x1灯打开，第3次操作：把x4灯关闭，第4次操作：把x1灯打开，第5次操作：把x2灯打开，第6次操作：把x1灯关闭，第7操作：把x3灯关闭，第8次操作：把x1灯打开，第9次操作：把x2灯关闭，第10次操作：把x1灯关闭，第11次操作：把x6灯打开，第12次操作：把x1灯打开，第13次操作：把x2打开，第14次操作：把x1灯关闭，第15次操作：把x3灯打开，第16次操作：把x1灯打开，第17次操作：把x2灯关闭，第18次操作：把x1灯关闭，第19次操作：把x4灯打开，第20次操作：把x1灯打开，第21次操作：把x2灯打开，至少需要21次操作，可以使所有灯都开着，故答案为：3，21．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）已知等比数列{a n}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，且S n＝62，求n的值．【分析】本题第（Ⅰ）题先根据数列{a n}的公比为2的等比数列写出a3，a4，a5．然后根据等差中项的性质有2（a4+4）＝a3+a5，代入解出a1，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题根据等比数列的求和公式写出前n项和为S n，然后S n＝62，化简，解关于n 的方程即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{a n}为公比为2的等比数列，故，a4＝8a1，a5＝16a1，依题意，得2（a4+4）＝a3+a5，即2（8a1+4）＝4a1+16a1，整理，得4a1＝8，解得a1＝2．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）根据（1），可知＝．故2n+1﹣2＝62，整理，得2n+1＝64，解得n＝5．∴n的值是5．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，以及等比数列的求和公式．考查了方程思想的应用和计算能力．本题属中档题．18．（13分）已知函数f（x）＝x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（a）＞f（1），求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．【分析】（I）结合已知函数解析式及二次不等式的解法即可求解，（II）结合二次不等式的恒成立可转化为求最值问题，可求，（III）结合二次不等式的解法，对a进行分类讨论即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由f（a）＞f（1）得a2+a2＞1+a，整理得2a2﹣a﹣1＞0，解得或a＞1}．（Ⅱ）f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，则f（x）min≥﹣4，所以，整理得a2﹣16≤0，解得{a|﹣4≤a≤4}（Ⅲ）解x2+ax＝0，得x1＝0，x2＝﹣a，①当﹣a＞0时，即a＜0时，x＜0或x＞﹣a；②当﹣a＜0时，即a＞0时，x＜﹣a或x＞0；③当﹣a＝0时，即a＝0时，x≠0．综上，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜0或x＞﹣a}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x ＜﹣a或x＞0}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解及二次不等式的恒成立问题的应用，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档试题．19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB＝90°，求△AFB的面积．【分析】（Ⅰ）由离心率及焦点坐标和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，A，F的坐标，设B的坐标，由∠AFB＝90°，得直线BF，AF的斜率之积为﹣1，即B在椭圆上，求出B的坐标，进而求出AF，BF的长，求出面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意c＝1，，解得，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设点B（x0，y0），因为点B在椭圆上，所以，因为∠AFB＝90°，所以k F A•k FB＝﹣1，得，由①②消去y0得，，解得x0＝0（舍），，代入方程②得，所以，所以，又，所以△AFB的面积．【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠P AB＝90°．P A＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是，求m的值；（Ⅲ）若m＝2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥平面P AB．AE⊥BC．AE⊥PB．由此能证明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出m的值．（Ⅲ）设F（0，0，t）（0≤t≤3）．当m＝2时，C（0，2，2）.，．由PF⊥CE知，，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．这与0≤t≤3矛盾．从而在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD⊥平面P AB，BC∥AD，所以BC⊥平面P AB．又因为AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC．在△P AB中，P A＝AB，E是PB的中点，所以AE⊥PB．又因为BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：因为AD⊥平面P AB，所以AD⊥AB，AD⊥P A．又因为P A⊥AB，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，m），E（1，1，0），P（2，0，0），D（0，0，3），，．设平面AEC的法向量为＝（x，y，z）．则即令x＝1，则y＝﹣1，，于是＝（1，﹣1，）．因为AD⊥平面P AB，所以AD⊥PB．又PB⊥AE，所以PB⊥平面AED．又因为，所以取平面AED的法向量为＝（﹣1，1，0）．所以|cos＜＞|＝＝，即，解得m2＝1．又因为m＞0，所以m＝1．（Ⅲ）解：结论：不存在．理由如下：证明：设F（0，0，t）（0≤t≤3）．当m＝2时，C（0，2，2）.，．由PF⊥CE知，，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．这与0≤t≤3矛盾．所以，在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查实数值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x＝﹣4于点E，直线BF交直线x＝﹣1于点D．是否存在这样的直线l，使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．【分析】（Ⅰ）通过横坐标为1的点到焦点的距离为3，求出p得到抛物线方程．得到准线方程．（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得消去y得k2x2+（2k2﹣8）x+k2＝0．利用韦达定理，方法一：直线BF的方程为，求出D的坐标，利用直线DE与直线AF的斜率相等．推出．转化求解直线的斜率，得到直线方程．方法二：利用DE∥AF，得到，转化求解直线的斜率，然后求解直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得p＝4，所以y2＝8x，所以准线方程为x＝﹣2．（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得消去y得k2x2+（2k2﹣8）x+k2＝0．由△＝（2k2﹣8）2﹣4k4＞0，解得．所以且k≠0．由韦达定理得，x1x2＝1．方法一：直线BF的方程为，又x D＝﹣1，所以，所以，因为DE∥AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等．又E（﹣4，﹣3k），所以．整理得，即，化简得，，即x1+x2＝7．所以，整理得，解得．经检验，符合题意．所以存在这样的直线l，直线l的方程为或．方法二：因为DE∥AF，所以，所以．整理得x1x2+（x1+x2）＝8，即，整理得．解得，经检验，符合题意．所以存在这样的直线l，直线l的方程为或．【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（13分）若无穷数列a1，a2，a3，…满足：对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），a i﹣1+a j+1＝a i+a j与a i+1+a j﹣1＝a i+a j至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”．（Ⅰ）求证：若数列{a n}为等差数列，则{a n}为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{a n}为“和谐数列”，则数列{a n}从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{a n}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a1＝0，且存在p∈N*使得a p＝p，a1+a2+a3+…+a p＝﹣p，求p的所有可能值．【分析】（I）结合等差数列的性质即可进行证明，（II）结合等差数列的定义进行转化即可求解证明，（III）对p的所有可能的值进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式及性质可求．【解答】（Ⅰ）证明：因为数列{a n}为等差数列，所以对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），有a i+1﹣a i＝a j﹣a j﹣1＝d，所以a i+1+a j﹣1＝a i+a j．所以数列{a n}为“和谐数列”．（Ⅱ）证明：因为数列{a n}为“和谐数列”，所以当i＝1，j＝4时，只能a i+1+a j﹣1＝a i+a j成立，a i﹣1+a j+1＝a i+a j不成立．所以a2+a3＝a1+a4，即a2﹣a1＝a4﹣a3．当i＝1，j＝5，6，7，8，9…时，也只能a i+1+a j﹣1＝a i+a j成立，a i﹣1+a j+1＝a i+a j不成立．所以a2+a4＝a1+a5，a2+a5＝a1+a6，a2+a6＝a1+a7，…，即a2﹣a1＝a5﹣a4＝a6﹣a5＝a7﹣a6＝…，所以a2﹣a1＝a4﹣a3＝a5﹣a4＝a6﹣a5＝…令a2﹣a1＝d，则数列{a n}满足a n﹣a n﹣1＝d（n≥4）．所以，数列{a n}从第3项起为等差数列．（Ⅲ）解：①若p＝1，则a p＝a1＝1，与a1＝0矛盾，不合题意．②若p＝2，则a1＝0，a2＝2，但a1+a2＝2≠﹣2，不合题意．③若p＝3，则a1＝0，a3＝3，由a1+a2+a3＝﹣3，得a2＝﹣6，此时数列{a n}为：0，﹣6，3，﹣3，﹣9，…，符合题意．④若p≥4，设a2﹣a1＝d，则．所以，即．因为p﹣1≠0，所以p+d+p﹣（p﹣3）d＝0．所以p＝4不合题意．所以．因为p为整数，所以为整数，所以p＝5，6，8，12．综上所述，p的所有可能值为3，5，6，8，12．【点评】本题考查等差关系的确定与等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．。

2023北京高二（上）期末数学汇编空间向量在立体几何中的应用 2的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =−=，则的方向向量为(1,1,2a =−，平面α的法向量为()6,4,1u =−，则,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =−=−，则的方向向量()0,3,0a =，平面的法向量是()0,5,0u =−，则北京西城·高二统考期末）在空间直角坐标系O xyz −中，点AB坐标平面xOy B ．直线AB ⊥坐标平面AB 坐标平面xOz D ．直线AB ⊥坐标平面北京西城·高二北京师大附中校考期末）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达A ．14B ．12C ．22D ．324．（2023秋·北京·高二清华附中校考期末）如图，在正方体111ABCD A B C D −P 沿着棱DC 从点D 向点C 移动，对于下列四个结论：①存在点P ，使得1PA PE =；②存在点P ，使得BD ⊥平面PA E ；其中，所有正确的结论的个数是（A ．1 B ．5．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）已知直线个法向量为(2,0,4)n =−−，则（A ．l α∥秋·北京石景山平面ABC ，,1,AC AB AC ==为原点建立空间直角坐标系，如图所示，n 为平面PBC 量，则n 的坐标可能是（A ．111,,224⎛⎫−− ⎪⎝⎭B ．24⎝7．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,=−m a (2,1,2)=−n 是平面α的法向量．若，则下列选项正确的是（A ．340a b −−= B ．C ．a =−8．（2023秋·北京大兴·高二统考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，,ABC AB =F 分别为111,AC BB 的中点，则直线置关系是（A ．平行B ．垂直9．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图，在正方体动点．则下列结论不正确的是（A ．1//D E 平面11AB BAB ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与11BD 所成角的范围为D ．二面角11E A B A −−的大小为10．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）棱长为1BP xBA yBC zBB =++，其中①当0x =，1z =时，BPD △②当0x =，1y =时，三棱锥③当1z =，且1x y +=时，△1x y +=∠其中所有正确结论的序号是________．11．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）已知平面α的法向量为(1,2,2)n =−，直线l 的方向向量为(2,,4)u m =−，且l α⊥，则实数m =_________．12．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）在空间直角坐标系O xyz −中，已知过坐标原点O 的平面α的一个法向量是()0,0,1n =−，点()3,4,5P −到平面α的距离为________．(1)求证：1AB AD ⊥；(2)求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值；(3)求1BC 到平面1AD E 的距离．14．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知在四棱锥PAD 是正三角形，E 、F 、三个条件中选择一个条件作为已知平面ABCD(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；(3)在线段PA 上是否存在点M(1)求证：PB∥平面AEC；(2)求证：平面PCD⊥平面APD(3)设平面DAE与平面AEC夹角为16．（2023秋·北京·高二北京八中校考期末）如图，在三棱柱(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B PD A−−的大小；(3)在线段AC上是否存在点N30，若存在，求出中，PA90. 点(1)求证：MN平面BDE；(2)求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值；(3)求点A到平面EMN的距离.18．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱锥正方形，E为线段AB的中点，⊥；(1)求证：BC PE(2)求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值19．（2023秋·北京西城·高二统考期末）如图，在四棱柱∥=ABCD AB CD AD CD，，已知.条件①：；条件②：(1)求直线CE与B D所成角的余弦值；11(2)求点1C到平面BCE的距离；(3)已知点M在线段1CC20．（2023秋·北京朝阳21．（2023秋·北京东城·高二统考期末）在四棱雉P ABCD −中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA AD ⊥，2PA AB ==，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题.条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ；条件②：PA AB ⊥.(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)求点B 到平面ACQ 的距离.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.22．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D −，3AB =，12AD AA ==，点E 在AB 上，且1AE =．(1)求直线1A E 与直线1BC 所成角的余弦值；(2)求直线1BC 与平面1A EC 所成角的正弦值；(3)求点A 到平面1A EC 的距离23．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC 上任意一点．(1)求证：AM BD ⊥；AB CD，(1)求证：AB⊥平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC(3)在棱PB上是否存在点GPG的值，若不存在，说明理由．(1)已知点G为线段BC的中点，求证：(2)若2==，直线PC与平面PA AB−择几个作为已知，使四棱锥P ABCD（ⅰ）直线CD到平面ABF的距离；−−的余弦值．（ⅱ）二面角B AF C(1)求直线1BC 与1AC 所成角的大小；(2)求1BC 与平面1A EC 所成角的正弦值27．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，11,AA BB 的中点，12,AB AA ==(1)求证：1C M CN ⊥；(2)求直线CN 与平面BCM (3)求平面BCM 与平面ABB 28．（2023秋·北京石景山，在ABC 中，AB 的中点，M N ，分别是CP 将CAP 折起，连接(1)求证：//MN 平面ABC ；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角AQ AC的值．(1)求证：1C D ∥平面AB (2)求平面1AB E 与平面1A (3)求点1C 到平面1AB E 的距离．30．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是边长为2的正三角形，(1)求证：CD ⊥平面11AA B B ．(2)求二面角1B AE B −−的余弦值．【分析】根据空间位置关系的向量判断方法对四个选项一一判断即可【详解】对于A ：因为()()2,3,1,2,3,1a b =−=，所以//a b 不成立，所以对于B ：因为()1,1,2a =−，()6,4,1u =−,所以()1614a u ⋅=⨯+−⨯+所以a u ⊥，所以//l α或l ⊂α.故B 错误；对于C ：因为()()2,2,1,3,4,2u v =−=−，,所以()2324u v ⋅=⨯−+⨯+所以v u ⊥，所以αβ⊥.故C 正确；D ：因为()0,3,0a =，()0,5,0u =−,所以35a u =−，l α⊥.故D 错误； 故选：C【分析】求出AB 及三个坐标平面的法向量，根据AB 与法向量的关系判断．【详解】(1,0,1)AB =−−xOy 的一个法向量是坐标平面yOz 的一个法向量是，这三个法向量与AB 都不平行，但(0,1,0)0AB ⋅=，点上，因此AB 与坐标平面故选：C ． ．C【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C ，()1,0,2Q ，(0,0,2)G ，(1,1,0)A ，(1,2,QC =−，(1,0,0),(1,1QG AC =−=−QGC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02x x y −=⎧⎨−+⎩，则平面QGC 的一个法向量为(0,1,1)n =，22n AC n⋅=.m ，求出到P 到平面11A B E 的距离不变，从而易判断④，以1BD 不可能与1A E 垂直，故②不正确；设(0,P m ，(0m ≤≤【详解】设正方体棱长为由1AA ⊥,ABCD AP 所以2221PA AA AD ++正方体棱长为2，则11(2,0,2),(1,2,2),(0,0,2)A E ， 1(1,2,0),A E =−1(2,2,2)BD =−−，112A E BD ⋅=−≠，所以1BD 不可能与1A E 垂直，故BD 错误；设(0,,0),(02)P m m ≤≤，221(1,2,2),1(2)4495,PE m PE m m m A E =−=+−+=−+=，所以122(1,2,2)(1,2,0)32cos ,,549549m m PE A E m m m m −⋅−−==⋅−+⋅−+到直线1A E 的距离为d ，则222212(4)32836||sin ,49155549m m m m PE PE A E m m m m ⎛⎫−+−−+=−+⋅−== ⎪⋅−+⎝⎭不变，所以1A PE 的面积【详解】因为直线所以(1,0,AB =−−的一个法向量为(2,0,n =−−且2n AB =，所以平面的方向向量平行，l α⊥， 故选：B . ．D【分析】先求出()(1,1,0,1,0,BC PC =−=−，根据法向量求解公式列方程即可求解．【详解】依题意得，()()0,1,0,1,0,0,B C ，则()(1,1,0,1,0,BC PC =−=−设(),,n x y z =，则020n BC x y n PC x ⎧⋅=−⎪⎨⋅=−=⎪⎩，取12x =则1,2y z ==，所以111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D ．C【分析】根据可得m 与n 共线，由向量的坐标表示可得答案【详解】若l ，则m n λ=，11232a b λ⎧⎪=−⎪⎪=−⎨⎪⎪=⎪⎩，且3−a因为5,AB BC M ==为又在三棱柱111ABC A B C 中，则EM ⊥平面ABC ，又AC 又12AC AA ==，则12AM =则(0B ,2,0)，(1C −,0,0)，(1D ,0,1)，设平面BCD 的法向量为(,,)n x y z =则00n BC n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y x y z +=⎧⎨−+=⎩，令，故(2,1,n =−−又(0,2,1)EF =−，(2,0,1)DC =−−因为20(1)2(4)(n EF ⋅=⨯+−⨯+−⨯，又()001(1)EF DC ⋅=+−⨯−所以直线EF 与平面BCD 相交，且不垂直于平面BCD ． 故选：D. 9．C【分析】由平面11//CDD C 平面1A B BA ，1D E ⊂平面11CDD C ，即可判断11EB AD ⋅即可判断选项11cos(,)|AE B D 的范围即可判断选项可判断选项D ，进而可得正确选项．如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A (0,,0),0E m 1(1,1,1)B ，1(0,0,1)D ，1(1,0,1)A ，对于选项：1(1,1,1)EB m =−，1(1,0,1)AD =−因为11(1,1,1)(1,0,1)0EB AD m ⋅=−⋅−=，所以11EB AD ⊥，即1EB 故选项B 正确；对于选项C ：(1,,0)AE m =−，11(1,B D =−，设直线AE 与11B D 所成角为θ112|1|cos |cos ,|2m AE B D m θ−=〈〉=⨯，时最大等于22，此时θ最小为θ最小等于0，此时时，(0,2,2)P z 1BDD 的法向量为(,,m a b =，1(2,2,0),(2,2,2)BD BD ==，(0,2,2BP =11020(1,1,0)2200m BD m BD b m b c m BD m BD ⎧⎧⊥⋅=+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=−⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩ 2,2m BP m BP m BPBP⋅〈〉==⋅⋅， 所以点P 到平面1BDD 的距离为：2cos ,22BP m BP BP BP⋅〈〉=⋅=⋅，显然1221112222222BDD SDD BD =⋅⋅=⨯⨯+=， 三棱锥P BDD −142223⨯=，所以本结论正确；1=，且,2)y ，1BPD S=当12x =时，(2PB x =−，1(2PD =−为直角，所以1102(2PB PD PB PD x ⊥⇒⋅=⇒−−，代入(1)中，化简得：28410x x −−=30<，不符合题意，而134x −=<【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键11．4−【分析】根据直线与平面垂直可得直线即可求解.【详解】因为平面α的法向量为(1,2,2)n =−的方向向量为(2,,4)u m =−，所以//n u ，则存在实数λ使得u n λ=，(,2,2)λλλ−，解得：2λ=−【分析】由点到平面的距离公式即可求得P 点到平面(0,0,0n OP n⋅=()()(10,0,0,B 0,2,0,A D ()(1=0,2,0=2,0,2AB AD ，1=20022AB AD ⋅⨯+⨯+1AB AD ∴⊥（2）因为正方体的棱长为2，()(10,0,0,A A ∴()10,0,2AA =，()12,0,2AD =，()0,2,1AE =，设平面1AD E 的一个法向量为(),,n x y z =，则122n AD x n AE y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+令2z =，则2,1x y =−=−，∴()2,1,2n =−−设直线1AA 与平面1AD E 所成角为θ，则11sin ||||n AA n AA θ⋅⋅|＝1AA 与平面AD 所成角的正弦值为（3）∵(2,2,0C ，∴()12,0,2BC =由（）知，平面1AD E 所的法向量为(2,1,2n =−−10BC n ∴⋅=∴平面1AD E 所以1BC 到平面1E 的距离可以转化为点到平面AD E ()=0,2,0AB ，2||41n AB d n ⋅=+14．(1)证明见解析； (2)3π (3)答案见解析【分析】（）选条件①：CD ）建立空间直角坐标系，求得平面EFG 的一个法向量为(,,m x y =法向量为()0,0,1n =,m n m n m n⋅=⋅求解；）设PM PA λ=，λ∈，得到(2,GM λ=(3,0,m =,sinm GM m GM m GM⋅==⋅【详解】（）证明：选条件①：CD ⊥平面PAD 又CD ⊂所以平面ABCD ，因为PAD 是正三角形， 且O 是AD 的中点，PO AD ⊥，又平面APD 平面PO ⊥平面选条件②：PC PD CD ==PD ⊥，又因为PAD 是正三角形，PO AD ⊥，又平面APD 平面PO ⊥平面选条件③：平面因为PAD 是正三角形，PO AD ⊥，又平面APD 平面PO ⊥平面）由（1）建立如图所示空间直角坐标系：则()()()2,0,0,2,4,0,2,4,0A B C −()()(0,0,23,1,2,3,1,0,P E F −−所以()()0,2,0,1,2,3EF EG =−=−，设平面EFG 的一个法向量为(,,m x y =00m EF m EG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0z =3=，则x ，所以(3,0,3m =易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =所以1cos ,2m n m n m n⋅==⋅，EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为（3）设PM PA λ=，[]0,1λ∈，则(2GM PM PG PA PG λλ=−=−=由（2）知平面EFG 的一个法向量为：(3,0,m =所以直线GM 与平面EFG 所成角的正弦值为cos ,sinm GM m GM m GMπ⋅==⋅6，整理得22320λλ−+=，，所以方程无解，即不存在满足条件的点M .（2）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面∴AC=（a，，AE=（0，，AP=（0，显然m=（1，0）为平面AED的一个法向量，设平面ACE的法向量为n=（x，yn ACn AE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3得n=（3a，﹣1，3）DAE与平面AEC夹角为60°m n＜，＞|＝|m nm n⋅|34a+3 2，即AB32=．16．(1)详见解析；(2)60；(3)存在，38ANAC=或78ANAC=.【分析】（1）设AB CD O=，根据线面平行的性质可得（2）取AD的中点G，根据线面垂直的判定定理可得量求法即得；）设AN AC λ=，利用线面角的向量求法结合条件即得因为侧面ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点，因为//PD 平面MAC ，PD PBD 平面MAC 所以//PD OM ，又O 为BD ,AP DP P =平面ADP ，DP ，ADP ，可得,ABAD A =ABCD ，AD ⊂PG ⊥平面如图以G 为原点建立空间直角坐标系，则()()(2,0,0,2,0,0,0,0,2D A P −所以()(4,4,0,2,0,BD PD =−=−设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =440220m BD x y m PD x z ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−=⎪⎩，令1x =(1,1,2m =又平面ADP 的法向量可取()0,1,0n = 所以11cos ,122m n m n m n ⋅===⋅⨯，60；（3）假设在线段AC ，使得直线MN 与平面30， 设AN AC λ=，因为(,4,4,0AC =所以(4,4,0AN λλ=，又1,2,M ⎛− ⎝所以41,4MN λ⎛=− ⎝PBD 的一个法向量为(1,1,2m =21cos ,22m MN m MN m MN⋅===⋅，26440210λλ−+=，或78λ=，上存在点N ，使得直线30， AN AC MF 平面NF 平面MNF 平面MN 的距离为sin MA α. MF 平面BDE NF AC DE ，∵DE NF ⊄平面平面MFNF F =，∴NF 平面MNF ，∴平面MNF 平面⊂平面MNF MN平面BDE ）∵PA ⊥底面90BAC =，以为原点建立如图所示空间直角坐标系则有()()()()()0,0,0,2,0,0,0,4,0,0,0,11,2,0,0,2,2A B C M E ，()()()1,2,1,0,2,1,0,4,0MN ME AC =−==的法向量为(),,n x y z =22n MN x n ME y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，则有4,1,2n，所成角为θ，则直线AC 与平面EMN 421cos ,21214n AC θn ACn AC . ）由（2）得，0,0,1MA，设MA 与平面EMN 所成角为α，A 到平面EMN 的距离为2221sin cos ,12121n MA MA αMA n MAn.18．(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得BC PE ⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面的余弦值【详解】（1）由PA ⊥平面ABCD ，根据线面垂直的性质定理可知，PA BA A =，且AB 的中点，PE ⊥）根据题意可知，以坐标系，如下图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则(2,0,2),(0,2,2)PB PD =−=−， 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =得·220·220n PB x z n PD y z ⎧=−=⎪⎨=−=⎪⎩，令1z =可得，，即(1,1,1)n =；易知，(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量，设平面PAB 与平面的夹角为θ，2cos cos ,3n AD n AD n ADθ===⨯所以，平面PAB 与平面PBD 夹角的余弦值为ABCD ，则四边形，则1FB =.则在CFB 中，AB ⊥，又1，DA AA ⊥，则如图建立以则()()(11100011,,，,,，,C E D 得()(111111,,，,CE B D =−−=−111111535CE B D CE B D ⋅==⨯⋅（2）因()()()1020110001,,，,,，,,，B C E C 则()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =−=−−=. 设平面BCE 的法向量为()111,,x n y z =，则00n CE n CB ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩取()1,1,2n =，则求点1C 到平面BCE 的距离14CC n d n⋅==3）因点M 在线段1CC 上，则设()11,,t ，其中[]0,2t ∈.()0,0,1E ，则()1,EM =又()(11,1,00,0,2CB CC =−=，设平面1BCC 法向量为()2,m x y =，则221020x m CB z m CC ⎧−⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎩取(1,1,0m =，则直线EM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为：()222121EM m t EM mt ⋅=⇒=⋅+−或3t =. 得线段CM 的长为320．(1)证明过程见解析； (2)520； (3)存在，14CM CP =.ABCD AB =APO 的法向量为(0,1,0)OE =，DPO 的法向量为(,,)n x y z =，(0,0,22),(1,3,0)OP OD ==−020(3,1,0)300n OP z n x y z n OD ⎧⋅==⎪⇒⇒=⎨++=⋅=⎪⎩， A PO D −−的余弦值为：2215202231OE n OE n⋅==⋅⨯+；）假设在棱PC 上存在点M ，使得//BM 平面POD ，且([0,1])CM CP λλ=∈,1,22)λλ−，因此(,1,22)BM λλλ=−−的法向量为(3,1,0)n =，，所以1004BM n BM n λλ⊥⇒⋅=⇒−=⇒=∈()002,,，)0,0,0A ，(0,1,1Q 所以(2,2,0AC =，()0,1,1AQ =1）知平面ABCD 的法向量()0,0,2AP =，设平面ACQ 的法向量为(),,n x y z =，则2n AC x n AQ y z ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩00x y y z +=+=，令1，则()1,1,1n =−−，ABCD 夹角的为θ，23,32AP n AP n AP n⋅−==⨯⋅， ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为）由已知得()2,0,0B ，()2,0,0AB =， 的距离为23AB n n−⋅==22．(1)105(2)26(3)23【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线）建立如图所示空间直角坐标系，()()()(111,0,1,2,2,3,0,0,3,2,2,0,2A E B C BC =−=−1BC 所成角为α， 11114105522A E BC A E BC ⋅==⨯⋅. )()0,3,0,2,2,0EC =−， 设平面1A EC 的法向量为(),,n x y z =120220n A E y z n EC x y ⎧⋅=−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，故可设()2,2,1n =设直线1BC 与平面1A EC 所成角为β， 1122sin 63n BC n BC β⋅===⨯⋅. ）()(2,0,0,0,1,0A AE =到平面1A EC 的距离为23n AE n⋅=.23．(1)证明过程见解析 (2)33【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值所以()()0,0,0,1,0,0,A B D ()(1,1,,1,1AM m BD ==−()(1,1,1,1,0AM BD m ⋅=⋅−所以AM BD ⊥；（2）M 是棱1CC 的中点，故C 则()()1,1,1,0,1,0AM BC ==，设异面直线AM 与BC 所成角的大小为θ，则(1,1,1cos cos ,AM BC AM BC AM BCθ⋅===⋅故异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为ABCD ，∠BA AD ⊥，，BA ⊂平面,AD PD D =；ABCD ， ADC ∠所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，设(2,1,0),(0,2,0),C PAD ，所以平面PAD 的法向量为(0,1,0)AB =PBC 的法向量为(,,)n x y z =，(2,1,2),(0,2,2)PB PC =−=−，02(1,2,2)200n PB x y z n y z n PC ⎧⋅=+−⎪⇒⇒=⎨−=⋅=⎪⎩， PAD 与平面PBC 夹角为θ21n AB n AB⋅=⨯⋅所以平面PAD 与平面夹角的余弦值为23；（3）设((0,1))PG PB λλ=∈，可得点2)λ， 所以(2,,22)DG λλλ=−，由（的法向量为(1,2,2)n =假设DG 与平面PBC 所成角的正弦值为所以有：23DG n DG n ⋅⇒=⋅因此假设成立，所以在棱PG PB 的值为89(1)证明过程见详解ⅰ26CEEF E =，⊂平面EFC（2）选择条件①和③（ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠由题意可知：30∠=︒PCA ，又PA =因为平面PAD ⊥平面PAB ，且平面所以AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PADABFS=ABDS =//DC AB 平面ABF 所以点D 到平面CD 到平面1132ABFABDSh SAP ⋅=⋅，，所以263h = 的距离为26.（ⅱ）由（ⅰ）可知：AB ，AP ，AD 两两垂直，分别以所在直线为x 轴，图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，则(2,0,0)AB =(0,2,1)AF =，(2,22,0)AC =，设平面ABF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面的法向量为22(,,n x y =则有·0·0m AF m AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即1112020y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令z ，则(0,2,2)m =−；则有·0·0n AF n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，也即2222222y z x ⎧+⎪⎨+⎪⎩，则(2,2,2)n =−，,24m n m n m n<>==+由图可知：二面角B AF C −−所以二面角B AF C −−的余弦值为90【分析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为出1AC ，1(2,0,2)BC =−，利用空间向量的数量积求解直线2）求出平面1A EC 的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角【详解】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 的方向分别为坐标系．()(()()112,0,2,0,3,00,3,2,2,1,0A C C E ，所以(12,3,AC =−，1(2,0,2)BC =−．所以11111144cos ,8||AC AC BC AC BC BC ⋅−〈〉==⨯所以11AC BC ⊥，故直线1AC 与BC 所成角为90 ． ）因为(2,2,0)EC =−,(10,1,A E =设平面1A EC 的法向量为(m x =，y 10,0,m A E m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.y z x y −=⎧⎨−+=⎩2=，则2x =，z 于是()2,2,1m =与平面1A EC 所成角为θ， 111402,622BC m BC m BC m⋅−+〈〉==⨯， 与平面1A EC 所成角的正弦值为27．(1)证明见解析 (2)69(3)23【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；由于111ABC A B C 是直三棱柱，易知又因为AB AC ⊥，且1AA AC A =，所以AB ⊥平面11AAC CM 、N 分别是11,AA BB 的中点，所以又1C M ⊂平面11AAC C ，所以MN ⊥111,AC CC =MNCM M =平面CMN ，CN ⊥.1）可知，为坐标原点，AB易得(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),A B C M (2,1,1),(2,1,0),(0,1CN BC CM =−=−=−设平面BCM 的一个法向量为(,,)n x y z =则·20·0n BC x y n CM y z ⎧=−+=⎪⎨=−+=⎪⎩，令2y =得，x ，即(1,2,2)n =设直线CN 与平面BCM 所成的角为θ，23n CN n CN n CN==⨯，与平面BCM 所成角的正弦值为9）知，平面BCM 的一个法向量为(1,2,2)n =11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)AC =， 所成的角（锐角）为α， 2,3n AC AC n n AC==； 与平面11ABB A 所成角的余弦值为证明见解析；）利用线面平行的判定定理直接证明；原点，,,BP CP AP 分别为轴正方向建立空间直角坐标系先证明出,,AP BP CP 原点，,,BP CP AP 分别为.）在PBC 中，因为的中点，所以ABC ,BC ⊂面ABC ABC .）在ABC 中，ACB ∠CP BP ⊥.选条件①：BP AC ⊥.AC ⊥，CP ⊥面ACP AP ，可以以原点，,,BP CP AP 分别为在ABC 中，ACB ∠是直角，()1,0,0M ，(0,1,0N ，所以(1,1MN =−，(0,1,0NC =因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()0,1CQ tCA t ==−≤,所以()0,10,12,2NQ NC CQ t t =+=−.不妨设(),,m x y z =为平面的一个法向量，则()()()((),1,1,00,0,12,212m MN x y y m MN x y t t y ⎧⋅=⋅−=⎪⎨⋅=⋅−+−⎪⎩1y =，则11,1,2m −⎛= ⎝显然()0,0,2PA =为面所以二面角Q MN −20,1m PA m PA m PA⋅==⨯222120022,121122t m PA t m PA m PAt t −⎛⎫++⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯−⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭在ABC 中，因为AB AC =，所以AP BP +所以可以以P 原点，,,BP CP AP 分别为()2,0,0，C .因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以()1,0,0M ，(0,1,0N ，所以(1,1MN =−，(0,1,0NC =因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()0,1CQ tCA t ==−≤,所以()())0,10,12,2NQ NC CQ t t =+=−.不妨设(),,m x y z =为平面的一个法向量，则()()()((),1,1,00,0,12,212m MN x y y m MN x y t t y ⎧⋅=⋅−=⎪⎨⋅=⋅−+−⎪⎩1y =，则11,1,2m −⎛= ⎝显然()0,0,2PA =为面20,1m PA m PA m PA⋅==⨯222120022,121122t m PA t m PA m PAt t −⎛⎫++⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯−⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭1B A 即可，利用向量法可得答案.）证明：由题，四边形11B C CB BCAD ，故四边形1B A ，又，则1C D ∥平面1AB E 为原点的空间直角坐标系则()()()()(100010001010120,,，,,,,,，,,,,，A B D B E 得()()1102011,,，,,AB AE ==，设平面1AB E 法向量为(),,n x y z =1200n AB x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取(21,,n =−又平面1111D C B A 法向量()0,0,1m =，且由图可知，平面1AB E 与平面11D C B A 夹角θ为锐角，则16m n m n⋅−=⋅）由图可得，()11,1,2，则(11,AC =，又由（2）解析可知法向量为()211,,n =−， 的距离116AC n d n⋅=.30．(1)证明见解析 (2)1010【分析】（1）证明CD AB ⊥，（2）取11A B 的中点为F ，连接角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱111ABC A B C 中，因为又ABC 为等边三角形，AB 的中点，所以CD AB ⊥因为1,ABAA A =所以CD ⊥平面AA 2）解：取11A B 的中点为因为在三棱柱111ABC A B C 中，四边形1//AA ，⊥平面ABC ，AB ⊂所以，133,0,,(2,3,0)22AE AB ⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭1AB E 的法向量(,,)n x y z =，133022230n AE x z n AB x y ⎧⋅=−+=⎪⎨⎪⋅=−+=⎩，令1x =，所以21,,3n ⎛= ⎝由题意可知，平面BAE 的一个法向量1(0,3,0).AA =因为11110cos ,1023AA n AA n AA n⋅===⋅⨯． 由已知可得二面角1B AE B −−为锐角， 所以二面角1B AE B −−的余弦值为10．。

北京市首师大附中2019-2020学年高二年级第一学期数学期末考试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.i 为虚数单位，复数21i i=+ A.1i - B.1i -- C.1i -+ D.1i +2.双曲线221416x y -=的渐近线方程是 A.2y x =± B.4y x =± C.12y x =± D. 14y x =± 3.某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟）。

根据所得 数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[)[)[]0551035,40，，，，...,，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是A.B.C.D.4.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为 A.37 B. 45 C. 67 D.12135.在2n x ⎫⎪⎭的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 A.-112 B. 112 C. -1120 D.11206.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F 是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为B. C. D.7.直线():110l mx m y +--=（m 为常数），圆()22:14C x y -+=，则下列说法中： ○1当m 变化时，直线l 恒过定点()-11，○2直线l 与圆C 有可能无公共点○3对任意实数m ，圆C 上都不存在关于直线l 对称的两点○4若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ,则线段MN 的长为正确的命题有A.1个B.2个C.3个D.4个8.如果小明在某一周的第一天和第7天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个“或”持平“或”少一个“，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有A.50种B.51种C.140种D.141种二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9.复数12z i -=-，则z 的虚部是 ，z =10.随机变量()2~500X N σ，，且()490510=0.95P X ≤≤，则()510P X >= 11.若椭圆的方程221102x y a a +=--，且此椭圆的焦距为4，则实数a = 12.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为 （用数字作答）13．盒子里有五个大小一样，质地均匀的球，其中三个是红球，两个是黑球，现从中每次抽取一个球，每次抽取后均放回，直到抽出两次红球为止，但至多抽取四次，则恰好第四次停止的概率为14.点()4,1A 为圆224x y +=内一点，,P Q 为圆上的动点，且=90PAQ ∠︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为三、解答题（本大题共4小题，共50分）15.（本小题满分12分）某校组织知识竞赛。

北京市民大附中19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数(1−2i)2(2+i)2的模为()A. 1B. 2C. √5D. 52.已知数列{a n}中，a1=3，a2=6，a n+2=a n+1−a n，则a5=()A. 6B. −6C. 3D. −33.已知椭圆的方程为y225+x216=1，则椭圆的长轴长为()A. 4B. 5C. 10D. 84.已知f′(x)是(x)的导函数，f(x)=sin2x，则f′(π2)=()A. −2B. 2C. 0D. −15.已知等比数列{a n}满足a1+a3=2a2，则公比q=()A. −2B. 2C. −1D. 16.已知a⃗=(2,y，2)，b⃗ =(x,−1,1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数x，y满足的关系式为()A. 2x−y=0B. 2x+y=0C. 2x+y−2=0D. 2x−y+2=07.已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A. a+b≥2√abB. a2+b2>2abC. ab +ba≥2 D. |ab+ba|≥28.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为()A. √52B. √53C. 2√55D. 23二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.双曲线x2−y2=1的渐近线方程为______ ．10.设复数z=(5+i)(1−i)(i为虚数单位)，则z的虚部是______．11.函数f(x)=1+xe x的极大值是________12.不等式1−x2+x≥0的解集为______ ．13.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积为______ ．14.已知当x∈[0,1]时，函数y=(ax−1)2的图象与y=√x+a的图象有且只有一个交点，则正实数a的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线方程为3x+y+2=0．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值与最小值．17.三棱柱ABC−A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中．已知AB=2，AC=4，A1A=3，D是BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1−A1D−C1的正弦值．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(−1,2√33)在椭圆C上，|PF2|=4√33，过点F1的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若△OMN的面积为1211，O为坐标原点，求直线l的方程．19.已知函数f(x)=lnx+ax+1，a∈R．(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b，求a，b的值；(2)记g(x)=f(x)+ax，若函数g(x)在区间(0,12)上有最小值，求实数a的取值范围；(3)当a=0时，关于x的方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．20.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(1)求a2，a3；(2)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(3)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：直接由商的模等于模的商求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 解：∵(1−2i)2(2+i)2=1−4i+4i 24+4i+i 2=−3−4i 3+4i=−1，∴|(1−2i)2(2+i)2|=1．故选：A ．2.答案：B解析：解：∵数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，a n+2=a n+1−a n ， ∴a 3=a 2−a 1=3，同理可得：a 4=3−6=−3，a 5=−3−3=−6． 故选：B ．利用递推关系即可得出．本题考查了递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：解：椭圆的方程为y 225+x 216=1， 可得椭圆的焦点在y 轴上，即有a =5，可得椭圆的长轴长为2a =10． 故选：C ．求得椭圆的a =5，可得长轴长为2a =10．本题考查椭圆的方程和性质，考查长轴长的求法，属于基础题．4.答案：A解析：先求导，再代值计算即可．本题考查了复合函数的求导公式，属于基础题．解：f′(x)=2cos2x，∴f′(π2)=2cosπ=−2，故选：A．5.答案：D解析：解：根据题意，等比数列{a n}满足a1+a3=2a2，即a1+a1q2=2a1q，则有q2−2q+1=0，解可得q=1，故选：D．根据题意，由等比数列的性质可得a1+a1q2=2a1q，变形可得q2−2q+1=0，解可得q的值，即可得答案．本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式，属于基础题．6.答案：D解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =2x−y+2=0，故选：D．a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．7.答案：D解析：解：对于A，若a，b<0，a+b≥2√ab不成立；当a，b>0，不等式成立，且a=b时取等号．故A不恒成立；对于B，若a=b，则a2+b2=2ab，若a≠b，a2+b2>2ab成立．故B不恒成立；对于C，若ab<0，则ab +ba<2；若ab>0，则ab+ba≥2成立．故C不恒成立；对于D，|ab +ba|=|ab|+|ba|≥2恒成立，且|a|=|b|时取得等号．故选：D．由a，b<0，可判断A不恒成立；由a=b，可判断B不恒成立；由ab<0，可判断C不恒成立；运用绝对值的性质和基本不等式，即可得到D恒成立．本题考查基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查重要不等式a2+b2≥2ab，属于基础题．8.答案：C解析：本题主要考查了直线与平面之间所成角，属于简单题．连接AE，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，然后再在直角三角形AEB中求出正切值即可．解：连接AE，因为几何体是正方体，可知BA⊥平面AA1D1D，得到∠AEB是直线BE与平面AA1D1D所成的角，设棱长为2，AE=√22+12=√5，直线BE与平面AA1D1D所成角的正切值为：ABAE =2√55．故选C．9.答案：y=±x 解析：由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，即可得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．解：由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则双曲线x2−y2=1的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．10.答案：−4解析：解：∵z=(5+i)(1−i)=6−4i．∴z的虚部是−4．故答案为：−4．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11.答案：1解析：本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题，先求函数f(x)=1+xe x的导数，令导数等于0，求得导数等于0的点，再判断左右导数的符号即可．解：∵函数f(x)=1+xe x ，∴f′(x)=ex−e x(1+x)e2x=−xe x，令f′(x)=0，解得x=0，∴当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x=0是函数f(x)=1+xe x的极大值点，∴f(x)=1+xe x的极大值是f(0)=1．故答案为1．12.答案：(−2,1]解析：不等式1−x2+x ≥0⇒x−1x+2≤0⇒{(x+2)(x−1)≤0x+2≠0，运用一元一次不等式组的解法，计算即可得到所求解集．本题考查分式不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，也可转化为二次不等式，注意分母不为0，考查运算能力，属于基础题．解：不等式1−x2+x ≥0⇒x−1x+2≤0，⇒{(x+2)(x−1)≤0x+2≠0即有−2<x≤1，则−2<x≤1，即解集为(−2,1]．故答案为(−2,1]．13.答案：2√2解析：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理进行求解，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则S△AOB=12|OF|⋅|y1−y2|.直线l的方程即为x=1+y代入y2=4x得：y2−4y−4=0，由此能求出△OAB的面积．解：抛物线的焦点为F(1,0)，直线l的方程为y=x−1，直线l的方程即为x=1+y，代入y2=4x得：y2−4y−4=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4，y1y2=−4，∴|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=4√2，∴S△AOB=12|OF|⋅|y1−y2|=12×4√2=2√2．故答案为：2√2．14.答案：(0,1]∪[3,+∞)解析：本题考查了函数图象的交点问题，涉及函数单调性与值域，是中档题．根据函数y=(ax−1)2和y=√x+a的解析式，讨论0<a≤1和a>1时，对应函数的单调性和值域，从而求出满足题意的a的取值范围．解：根据题意，a为正数，y=(ax−1)2为二次函数，在区间(0,1a )为减函数，(1a,+∞)为增函数，且函数y=√x+a为增函数，分2种情况讨论：①当0<a≤1时，有1a≥1，在区间[0,1]上，y=(ax−1)2为减函数，且其值域为[(a−1)2,1]，函数y=√x+a为增函数，其值域为[a,1+a]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②当a>1时，有1a<1，y=(ax−1)2在区间(0,1a )为减函数，(1a,1)为增函数，函数y=√x+a为增函数，其值域为[a,1+a]，若两个函数的图象有1个交点，则有(a−1)2≥1+a，解可得a≤0或a≥3，又由a为正数，则a≥3；综合可得：a的取值范围是(0,1]∪[3,+∞)；故答案为：(0,1]∪[3,+∞)．15.答案：解：(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q=3，b n=b2q n−2=3×3n−2=3n−1；即有a1=b1=1,a14=b4=27，则d=a14−a114−1=2，则a n=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；(2)c n=a n+b n=2n−1+3n−1，则数列{c n}的前n项和为：(1+3+...+2n−1)+(1+3+...+3n−1)=1+2n−12×n+1−3n1−3=n2+3n−12．解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，属于中档题．(1)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；(2)求得c n=a n+b n=2n−1+3n−1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可．16.答案：解：(1)因为f(x)=x3+ax2−1，所以f′(x)=3x2+2ax，f′(−1)=3−2a，所以函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线的斜率为3−2a，因为函数f(x)=x3+ax2−1在点(−1,f(−1))处的切线方程为3x+y+2=0，所以3−2a=−3，解得a=3，f(x)=x3+3x2−1综上所述，结论是：f(x)=x3+3x2−1(2)由(1)知：f(x)=x3+3x2−1，f′(x)=3x(x+2)，令f′(x)=0，解得x=0或−2舍去，当−1≤x<0时，f′(x)<0，当0<x≤2时，f′(x)>0所以f(x)在[−1,0)上是减函数，在(0,2]上是增函数，所以当x=0时，f(x)取得最小值，最小值是f(0)=−1因为f(−1)=1，f(2)=19，所以f(2)>f(−1)，所以f(x)的最大值为19综上所述，结论是：函数f(x)在区间[−1,2]上的最大值是19，最小值是−1解析：本题考查函数的导数几何性质以及最值，属于基础题．(1)利用函数的导数的几何意义求出参数的值，得出结果．(2)利用函数的导数判断函数的单调性，确定函数的最值．17.答案：解：(1)根据题意，可得A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，D(1,2，0)，A 1(0,0，3)，B 1(2,0，3)，C 1(0,4，3)， ∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−3)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)， 设平面A 1C 1D 的一个法向量是n ⃗ =(x,y ，z)， 可得：{n ⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y −3z =0n⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y =0，取z =1，得x =3，y =0，可得n⃗ =(3,0，1)， 设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角为α，而DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,3)，∴sinα=|cos <n ⃗ ，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|3×1+0×(−2)+1×3|√10⋅√14=3√3535． 因此，直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值等于3√3535； (2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，结合A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，−3)、A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，0)，可得：{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b −3c =0m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0，取b =3，得a =0，c =2，可得m ⃗⃗⃗ =(0,3，2)， 设二面角B 1−A 1D −C 1的大小为β，得 |cosβ|=|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|0×3+3×0+2×1|√13⋅√10=√2√65∴sinβ=√1−cos 2β=3√45565，即二面角B 1−A 1D −C 1的正弦值等于3√45565．解析：(1)由题中的坐标系，得到A 、B 、C 、D 、A 1、B 1、C 1各点的坐标，从而得出A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出n ⃗ =(3,0，1)是平面A 1C 1D 的一个法向量，结合DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,3)，利用空间向量的夹角公式和直线所平面所成角的定义与性质，即可算出直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值；(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标利用数量积为零建立关于a 、b 、c 的方程组，得到m ⃗⃗⃗ =(0,3，2)，结合n ⃗ =(3,0，1)是平面A 1C 1D 的一个法向量，利用空间向量的夹角公式算出n ⃗ 、m ⃗⃗⃗ 夹角的余弦值，再由同角三角函数的关系即可算出二面角B 1−A 1D −C 1的正弦值． 本题在指定空间坐标系内求直线与平面所成角和二面角的大小．着重考查了空间向量的夹角公式和利用空间向量研究空间角的知识，属于中档题．同时考查了空间想象能力，逻辑推理能力和运算能力，是一道不错的综合题．18.答案：解：(1)由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，由|PF 2|=(2√33)=4√33，解得：c =1，则F 1(−1,0)，PF 1⊥F 1F 2，则丨PF 1丨=2√33， 由丨PF 1丨+丨PF 2丨=2a =2√3，a =√3， b 2=a 2−c 2=2，离心率e =ca=√33， ∴椭圆的标准方程：x 23+y 22=1；(2)当直线MN 与x 轴垂直时，丨MN 丨=4√33，则△OMN 的面积S △OMN =2√33，不符合题意，舍去； 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线l ：y =k(x +1)，{x 23+y 22=1y =k(x +1)，整理得：(2+3k 2)x 2+6k 2x +(3k 2−6)=0， 则x 1+x 1=6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，丨MN 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3(k 2+1)2+3k ， 原点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2， 则三角形的面积S △OMN =12×2√3(k2+1)2+3k 2=1211，解得：k 2=3，则k =±√3，∴直线MN 的方程为y =√3(x +1)或y =−√3(x +1)．解析：(1)由两点之间的距离公式|PF 2|=4√33，即可求得c 的值，即可求得丨PF 1丨=2√33，根据椭圆的定义，即可求得a 的值，求得b 的值，求得椭圆方程；(2)由当直线MN 与x 轴垂直时，显然不成立，设直线l 的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求k 的值，求得直线l 的方程．本题考查椭圆的定义及方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．19.答案：解：(1)f′(x)=1x −ax 2，则f′(1)=1−a =2， 解得a =−1，则f(x)=lnx −1x +1，此时f (1)=ln1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2， 所以a =−1，b =−2;(2)g(x)=f(x)+ax =lnx +ax +ax +1，g′(x)=1x−a x2+a =ax 2+x−ax 2．①当a =0时，g′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0,12)上为增函数，g(x)在区间(0,12)上无最小值． ②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根， 设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1， 则两根一正一负， 不妨设x 1<0<x 2．设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0)， (i)若a >0，若x 2∈(0,12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a4+12−a >0， 解得0<a <23．此时x ∈(0,x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减， x ∈(x 2,12)时，m(x)>0，则g(x)递增，当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0,12)，m(x)<0，g(x)在(0,12)单调减，无最小值． (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增，x ∈(x 2,+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减，在区间(0,12)上，g(x)不会有最小值． 所以a <0不满足条件．综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0,12)上有最小值; (3)当a =0时，由方程f(x)=bx 2，得lnx +1−bx 2=0， 记ℎ(x)=lnx +1−bx 2，x >0，则ℎ′(x)=1x−2bx =−2bx 2+1x．①当b ≤0时，ℎ′(x)>0恒成立，即ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数， 则函数ℎ(x)至多只有一个零点，即方程f(x)=bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．②当b >0时，当x ∈(0,√12b)时，ℎ′(x)>0，所以函数ℎ(x)递增； 当x ∈(√12b,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以函数ℎ(x)递减，则ℎ(x)max =ℎ(√12b )=ln√12b +12．要使方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根， 则ℎ(√12b )=ln√12b +12>0，解得0<b <e2，(i)当0<b <e2时，ℎ(1e )=−be <0. 又(1e )2−(√12b)2=2b−e 22be 2<0，则1e <√12b ，所以存在唯一的x 1∈(1e,√12b)，使得ℎ(x 1)=0.(ii)ℎ(1b )=ln 1b +1−1b =−lnb +1−1b ，记k(b)=−lnb +1−1b ，0<b <e2， 因为k′(b)=−1b +1b =1−b b ，则k(b)在(0,1)上为增函数，在(1,e2)上为减函数， 则k(b)max =k(1)=0，则ℎ(1b )≤0. 又(1b )2−(√12b)2=2−b 2b 2>0，即1b >√12b ，所以存在唯一的x 2∈(√12b ,1b]，使得ℎ(x 2)=0，综上，当0<b <e2时，方程f(x)=bx 2有两个不相等的实数根．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是综合性题目．(1)求出函数f(x)的导数f′(x)，则f′(1)=1−a=2解得a的值，求得f(x)=lnx−1x+1，得切点即可；(2)函数g(x)=f(x)+ax=lnx+ax +ax+1，其导数g′(x)=1x−ax2+a=ax2+x−ax2，对a分类讨论，得出其单调性．20.答案：解：(1)∵S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，∴S2=4a1−2=6.∴a2=S2−a1=4．同理可得a3=8．(2)∵S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，∴S n=4a n−1−2(n≥2)．两式相减得：a n+1=4a n−4a n−1,变形得：a n+1−2a n=2a n−4a n−1=2(a n−2a n−1)(n≥2)，则：a n−2a n−1=2(a n−1−2a n−2)(n≥3)，a n−2a n−1=2(a n−1−2a n−2)=22(a n−2−2a n−3)=23(a n−3−2a n−4) =2n−2(a2−2a1)，∵a2−2a1=0∴a n−2a n−1=2n−2(a2−2a1)=0，数列{a n−2a n−1}是常数列．(3)由(2)可知：a n=2a n−1(n≥2)，数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n=2n，∴a n−1a n+1−1=2n−12n+1−1=12⋅2n−12n−12<12，a1−1 a2−1+a2−1a3−1+...+a n−1a n+1−1<12+12+...+12=n2．解析：本题考查数列的性质及综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．(1)由S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，知S2=4a1−2=6.所以a2=S2−a1=4.a3=8．(2)由S n+1=4a n−2(n=1,2，3...)，知S n=4a n−1−2(n≥2)，所以a n+1=4a n−4a n−1，由此入手能推导出数列{a n−2a n−1}是常数列；(3)由题设条件知a n=2n，所以a n−1a n+1−1=2n−12n+1−1=12⋅2n−12n−12<12，由此可得结论．。

…装…………○…___姓名：___________班级：…装…………○…绝密★启用前 北京市中央民族大学附属中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．在平行六面体ABCD －1111A B C D 中，用向量1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r 来表示向量1AC u u u u r （ ） A ．11AC AB AD AA =-+u u u u r u u u r u u u r u u u r B ．11AC AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r C ．11AC AB AD AA =+-u u u u r u u u r u u u r u u u r D ．11AC AB AD AA =--u u u u r u u u r u u u r u u u r 2．双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ） A ．23y x =± B ．49y x =± C ．32y x =± D ．94y x =± 3．设数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，则3a 的值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．104．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ） A ．(0,2) B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．()()2018ln f x x x =+，若()0'2019f x =，则0x 等于（ ） A ．2e B ．1 C ．ln 2 D ．e 6．已知ABC V 的顶点A 、C 在椭圆22196x y +=上，顶点B 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在AC 边上，则ABC V 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12 7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m β⊥的是（ ）A ．αβ⊥且m α⊂B ．//m n 且n β⊥C ．αβ⊥且//m αD ．m n ⊥且//αβ8．设双曲线22221x y a b -=与22221(0,0)y x a b b a -=>>的离心率分别为1,e 2e ，当a ，b 变化时，2212e e +最小值是（ ）A ．4B ．CD ．2第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．函数1()ln f x x x =+的导函数为________．10．不等式240x ax -+<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 11．已知向量()()2,1,3,1,2,1a b =-=-v v ，若()a a b λ⊥-v v v ，则实数λ的值为______. 12．已知()x f x e ax =-在[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是________．22x y………装………__________姓名：_______………装………的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个椭圆的离心率是________. 14．已知数列{}n a 满足：431n a -=，410n a -=，2n n a a =，*n N ∈，则2019a =________，2020a =________． 三、解答题 15．已知{}n a 为等差数列，且44,a =-72a =．（1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 满足18,b =-2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式． 16．已知函数321()212f x x x x =--+ （1）求函数321()212f x x x x =--+在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 17．如图，在三棱锥P-ABC 中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，30BAC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ． （1）求证：PA ⊥平面PBC ； （2）求二面角P-AC-B 的余弦值； （3）求直线BC 与平面P AC 所成角的正弦值． 18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(2,0)F ，且椭圆过点122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆C 的右焦点(2,0)F 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于M ，若1:OMA OAF S S k =V V （OMA S V 为OMA V 的面积，OAF S V 为OAF △的面积），2||||MB k FB =，参考答案1．B【解析】因为1111AC AC CC AB AD CC AB AD AA =+=++=++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故选B 2．A【解析】【分析】 将方程22194x y -=变为22094x y -=，解出来即可 【详解】 因为双曲线的方程为22194x y -= 所以其渐近线方程为：22094x y -= 即23y x =± 故选：A【点睛】由双曲线的标准方程得渐近线，只需将右边的1换成0，然后解出来即可.3．B【解析】【分析】由332a S S =-求出即可【详解】因为2n S n n =+所以3321266a S S =-=-=故选：B【点睛】本题考查的是数列的前n 项和与通项公式的关系，较简单.4．C【解析】【分析】 将抛物线方程化为24y x =即可得出 【详解】 抛物线方程可化为：24y x =，则124p = 所以18p = 所以抛物线24y x =的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C【点睛】 本题考查的是由抛物线的方程得焦点坐标，较简单.5．B【解析】【分析】可求出导函数()2019f x lnx '=+，从而根据0()2019f x '=即可得出0x 的值．【详解】()12018f x lnx '=++，00()20192019f x lnx ∴'=+=，00lnx ∴=，解得01x =．故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于容易题．6．D【解析】【分析】画出图形，利用椭圆的定义即可解出【详解】由椭圆的方程可知：3,a b c ===如图，1,F B 为椭圆的左右焦点所以由椭圆的定义：1126,26CF CB a AF AB a +==+==所以1112CF CB AF AB +++=即12CA CB AB ++=即ABC V 的周长是12故选：D【点睛】本题考查的是椭圆的定义，较简单.7．B【解析】【分析】根据A 、B 、C 、D 所给条件，分别进行判断即可【详解】若αβ⊥且m α⊂，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，故A 不成立若//m n 且n β⊥，则m β⊥，故B 成立若αβ⊥且//m α，则m β⊂，或//m β，或m 与β相交，故C 不成立由m n ⊥且//αβ得不到m β⊥，故D 不成立故选：B【点睛】本题考查的是立体几何中平行和垂直有关的判断，较简单.8．A【解析】【分析】求出2122e e +，利用基本不等式求出其最小值即可【详解】 因为2222222121,b e b a a b e a ++== 所以222222222222212224a b a b b a e a b a b e +++=+=++≥+= 当且仅当a b =时等号成立所以2212e e +最小值是4故选：A【点睛】1.本题考查的是双曲线的离心率，属于比较典型的题.2.基本不等式常用来求最值9．211()f x x x '=- 【解析】【分析】利用导数的计算法则直接求出即可【详解】 因为1()ln f x x x =+所以211()f x x x'=- 故答案为：211()f x x x '=- 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.10．4a >或4a <-【解析】【分析】由题意可得2160a ∆=->，解出即可【详解】因为不等式240x ax -+<的解集不是空集所以2160a ∆=->解得4a >或4a <-故答案为：4a >或4a <-【点睛】本题考查的是一元二次不等式的知识，较简单.11．2【解析】【分析】由题意知，向量()a a b λ⊥-v v v ，所以()0a a b v v v λ⋅-=，由空间向量的坐标运算，即可求解． 【详解】由题意知，向量()a a b λ⊥-v v v ，所以()0a a b v v v λ⋅-=， 又由()()()222112311470a a b a a b v v v v v v λλλλ⎡⎤⋅-=-⋅=--⨯-+⨯+⨯=-=⎣⎦，解得2λ=．【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 12．a e ≤【解析】【分析】条件转化为()0x f x e a '=-≥在[1,)+∞上恒成立，即x a e ≤在[1,)+∞上恒成立，然后求出右边的最小值即可【详解】因为()x f x e ax =-在[1,)+∞上是增函数所以()0x f x e a '=-≥在[1,)+∞上恒成立即x a e ≤在[1,)+∞上恒成立因为x y e =在[1,)+∞上单调递增所以a e ≤故答案为：a e ≤【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性，较典型.131【解析】【分析】由已知可得12PF F ∆为直角三角形，且216PF F π∠= 。

2019年北京中央民族大学附属中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（）A．40 B．80 C．160 D．320参考答案：C【考点】等差数列的通项公式．【分析】运用等差数列的性质，求得a5=80，即可得到所求．【解答】解：在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，由a3+a7=a2+a8=2a5，可得5a5=400，a5=80，则a2+a8=160，故选：C．【点评】本题考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．2. 已知函数，集合只含有一个元素，则实数的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：B略3. 若且，则是（）A．第二象限角 B．第一或第三象限角C．第三象限角 D．第二或第四象限角参考答案：C4. 对于标准正态分布N（0，1）的概率密度函数，下列说法不正确的是（）A. 为偶函数B. 的最大值是C. 在上是单调减函数,在上是单调增函数D. 关于x=1是对称的参考答案：D略5. 在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有A．3项B．4项C．5项D．6项参考答案：B略6. 设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2参考答案：B依题意可得，该球是长方体的外接球，其直径等于长方体的体对角线，所以该球的表面积，故选B7. 已知：区域，当直线和曲线有两个不同的交点时，设它们围成的平面区域为，向区域上随机投一点A，点A落在区域内的概率为P(M),若P(M),则实数的取值范围为（）A． B． C．D．参考答案：D8. 函数（x>1）的最大值是A．－2 B．2 C．－3 D．3参考答案：A9. 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A．－1 B．1 C． D．2参考答案：B10. 已知集合,,则“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知矩阵，若矩阵属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值－1的一个特征向量为，则矩阵．参考答案：略12. 将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为__________．参考答案：如图所示，设对角线，∴．∵，∴，又，，∴平面，∴三棱锥的体积，，，．13. 在展开式中，如果第项和第项的二项式系数相等，则， .参考答案：解析：14. 函数的图象经过四个象限，则的取值范围是 .参考答案：15. 直线关于直线对称的直线方程为．参考答案：由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.16. 若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，8]【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．【解答】解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．17. 已知实数满足组，目标函数仅在点处取到最小值，则实数的取值范围是____________；参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年北京师大附中上学期高二期末考试数学试题一、新添加的题型 1．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A ．2 B ．1C ．-2D ．-1【答案】D 【解析】【详解】 由题知为纯虚数，实部为.故.故本题选.二、单选题2．已知i 是虚数单位，复数z 满足1z i =-，则复平面内表示z 的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标，从而得到答案. 【详解】复数1z i =-,所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()11-， 所以复平面内表示z 的点在第四象限. 故选：D 【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.3．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ） A ．1 B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a 3=6，S 3=12，联立可求公差d ． 解：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3=6，S 3=12，得：解得：a 1=2，d=2． 故选C ．【考点】等差数列的前n 项和．4．已知双曲线22x a -25y =1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于A ．14B ．4C ．32D ．43【答案】C【解析】由题意知c ＝3，故a 2＋5＝9，解得a ＝2，故该双曲线的离心率e ＝c a ＝32．5．“0m n >>”是“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若方程221x y m n +=表示的曲线为椭圆，则0m >，0n >且m n ≠， 则“0n m >>”是“方程221x y m n+=表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出m ，n 的关系是解决本题的关键． 6．设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则点1A 到平面1B AC 的距离是（ ）A B ．2C ．3D 【答案】D【解析】由等体积法有1111A ACB C AA B V V --=,可求出答案. 【详解】设点1A 到平面1B AC 的距离是h ,由等体积法1111AACB C AA B V V --=有11113A ACB ACB V S h -=⨯△,有(12211sin 6022ACB S AC =⨯⨯︒=⨯=△111121114223323C AA B AA B V S BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯=△所以142333h⨯⨯=，解得：233h=故选：D【点睛】本题考查点到面的距离，考查等体积法，属于基础题.7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF 所成角的余弦值为（）A．5618-B．55-C．65D．255【答案】D【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），AE＝（﹣2，1，2），BF＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝•AE BFAE BF＝635＝255,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为255．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.8．如图，已知三棱锥S–ABC中，SA=SB=CA=CB=3，AB=2，SC=2，则二面角S–AB–C的平面角的大小为A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解析】取AB的中点O，连接SO，CO，由题设条件推导出AB⊥平面SOC，由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC，在△SOC中，求得∠SOC.【详解】如图，取AB的中点O，连接SO，CO，由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC，∴二面角S–AB–C 的平面角是∠SOC．在△SOA中，SO=222SA AO-=，同理CO=2，在△SOC中，SO=CO=SC=2，∴∠SOC=60°，二面角S–AB–C的平面角的大小为60°．故选C．【点睛】本题考查面面角的大小的求法，解题时要认真审题，合理转化空间问题为平面问题，属于中档题． 9．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p => 上任意一点，M 是线段PF 的中点，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A．2B ．1CD ．2【答案】B【解析】设()00,P x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，M 是线段PF 的中点，所以002,22p x y M ⎛⎫+ ⎪⎪⎪⎝⎭. 直线OM 的斜率为：00020000012k 2222222y y y p p y p y p x x p y p ====++++. 显然00y >时的斜率较大，此时001k 1222y pp p y p y =≤=+，当且仅当0022y p p y =，0 y p =时，斜率最大为1. 故选B.10．已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=怡好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(][),10,1-∞- B ．(]1,1-- C ．[)1,1- D ．[]()1,01,-+∞【答案】C【解析】利用绝对值的几何意义，由2x y =-可得2,022,0y y x y y y -≥⎧=-=⎨--<⎩，曲线2x y =-与方程224x y λ+=的曲线必相交于()0,2±，为了使曲线1C 与双曲线2C 恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它公共点，将2x y =-代入方程224y x λ+=，整理可得()214440y y λλλ+-+-=，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出0y <时的情形.【详解】双曲线1C 的方程为2,022,0y y x y y y -≥⎧=-=⎨--<⎩，所以，曲线1C 的图象与曲线2C 的图象必相交于点()0,2±， 为了使曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，将2x y =-代入方程224y x λ+=，整理可得()214440y y λλλ+-+-=.①当1λ=-时，2y =满足题意；②当1λ≠-时，由于曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，()()2161611160λλλ∴∆=-+-=>，且2是方程()214440y y λλλ+-+-=的根，则()4101λλ-<+，解得11λ-<<.所以，当0y ≥时，11λ-≤<.根据对称性可知，当0y <时，可求得11λ-≤<. 因此，实数λ的取值范围是[)1,1-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围，在解题时要对变量的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、填空题11．i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________.【解析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++- 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12．双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________【答案】5x 4y =±【解析】令222516y x -=，解得54y x =±． ∴双曲线2212516y x -=的渐近线方程为54y x =±．答案：54y x =±13．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则△12F PF 的面积等于___________. 【答案】4【解析】由椭圆的定义有126PF PF +=,结合12:2:1PF PF =可得14PF =,22PF =,又12F F =则三角形面积可求.【详解】由椭圆22194x y +=有3,2,a b c ===.由椭圆的定义有126PF PF +=，又12:2:1PF PF =所以14PF =,22PF =,又12F F =在△12F PF 中,2222212122420PF PF F F +=+==所以△12F PF 为直角三角形, △12F PF 的面积为121124422PF PF ⋅=⨯⨯= 故答案为:4 【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.14．已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 15．已知等比数列{a n }各项均为正数，5671,32a a a =+=，若存在正整数(3)k k >，使得123123k k a a a a a a a a ++++>，请写出一个满足题意的k 值_________.【答案】4～12的正整数均可【解析】根据题意求出等比数列{}n a 的通项公式，然后由条件123123k ka a a a a a a a ++++>有()152212n k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->，求解即可.【详解】在等比数列{a n }中,设公比为q ,数列各项均为正数,所以0q >5671,32a a a =+=,则()253a q q +=,所以26q q +=,解得:2q 或3q =-(舍)又44511122a a q a ==⨯=,所以512a -=. 则15161222n n n n a a q ----==⨯=()()555123212122211232kk k ka a a a ---++++-==-=--()()()()()1112315221123122232k kk k k k kkk a a a a a q --++++--⎛⎫==⨯=⨯ ⎪⎝⎭123123k k a a a a a a a a ++++>即()()12112123232kk k k -⎛⎫->⨯ ⎪⎝⎭,即()152212k k k⎛⎫--⎪⎝⎭->()1522210k k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->>当()152k k k ⎛⎫>--⎪⎝⎭,即213100k k -+<,也即131322k +<< 时,有()15222k k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->成立.又正整数(3)k k >,且1313122>> 又当410k ≤≤时,()1502k k ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭,显然有()152221k k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭->成立.当11,12k =时,也有()152221k k k ⎛⎫--⎪⎝⎭->成立.所以4～12的正整数均可满足条件. 故答案为：4～12的正整数均可 【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前n 项和以及解不等式，属于中档题.16．已知数列{}n a 的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有135,=,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中k 为使1n a +为奇数的正整数，当35a =时，1a 的最小值为__________；当11a =时，1220S S S +++=___________.【答案】5 910【解析】由题设可知当35a =时，252k a =解得15253ka ⨯-=或152m ka +=⨯，因为{}n a 的各项均为正整数，,m k 为正整数，所以当2k =时，1a 有最小值154553a ⨯-==.当11a =时，可求出2348,1,8a a a === ，得到数列{}n a 是周期为2的周期数列，可求出结果.【详解】数列{}n a 的各项均为正整数135,=,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪⎨⎪⎩为奇数为偶数,其中k 为使1n a +为奇数的正整数.当35a =时,232k a a =或3235a a =+. 即252k a =或2535a =+，则252k a =⨯或20a =（舍） 所以122m a a =或2135a a =+.则152m ka +=⨯或15253k a ⨯-=，因为{}n a 的各项均为正整数，,m k 为正整数.显然当2k =时，1a 有最小值154553a ⨯-==. 当11a =时，21358a a =+=，382k a =，其中k 为使3a 为奇数的正整数，所以3k =，338=12a = 所以43358a a =+=,582k a =，其中k 为使5a 为奇数的正整数，所以3k =，538=12a = ……………………所以数列{}n a 是周期为2的周期数列，奇数项为1，偶数项为8.1220S S S +++=()()()()1+1+8+12+8+12+82++110+810=910⨯⨯⨯⨯⨯故答案为（1） 5 （2）910 【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用，考查周期数列求和问题,属于难题.四、解答题17．已知各项均不相同的等差数列{}n a 的前四项和414S =，且1a 、3a 、7a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求2019T 的值.【答案】（1）1n a n =+；（2）20194042【解析】(1)利用等差数列{}n a 的前4项和414S =，以及1a 、3a 、7a 成等比数列，建立关于首项和公差的方程，解出即可. (2)由（1）可得()()111111212n n a a n n n n +==-++++，用裂项相消求和法可求解出答案. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由等差数列{}n a 的前4项和414S =，以及1a 、3a 、7a 成等比数列()()12111461426a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩ ，又0d ≠，解得11,2d a == 所以1n a n =+ （2）由（1）可得()()111111212n n a a n n n n +==-++++ 则1111111123344512n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()112222n n T n n =-=++ 所以201920192019=220214042T =⨯【点睛】本题考查等差数列的通项公式和运用裂项相消法求和，属于中档题.18．如图所示，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB =，点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点.（1）求证：BD ∥平面1EFC ；（2）若1AA =，求直线11AC 与平面1EFC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2【解析】(1)由点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点，则EF ∥BD ，可得证.(2) 以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面1EFC 的一个法向量，然后即可求线面角. 【详解】证明：（1）∵点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点，∴EF ∥BD . 又EF ⊂平面1,EFC BD ⊄平面1EFC ，BD ∴∥平面1EFC .（2）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系则1111(0,,0),(,1,0),22A F E C1111(,,0),(222FE EC ==-设平面1EFC 的一个法向量为(,,)n x y z = 由10,0n FE n EC ⋅=⋅=可得11022102x y y x x x ⎧+=⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎪⎩ 令1z =(23,n ∴=-11(1,1,0)AC =- 111112cos ,65AC n A F n AC n⋅∴==⋅ ∴直线1A F 与平面1EFC . 【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解，属于中档题.19．已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p ，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k （x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM ⊥ON 试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以， 解得，所以 抛物线的方程为. （Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得. 所以. 由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20．已知点(2,1)P 和椭圆22:142x y C +=.（1）设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，试求△12PF F 的周长；（2）若直线220(0)l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：||||PM PN =. 【答案】（1）422+（2）见解析【解析】(1)由椭圆的定义可得12|||4|PF PF +=，则三角形的周长可求.(2)要证||||PM PN =，则需证明以∠PMN ＝∠PNM ，设直线P A 与PB 的斜率分别为12,k k ，只需证明120k k +=，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可证明结论. 【详解】（1）由题意可知，224,2a b ==，所以22c =.因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得12|||4|PF PF +=， 所以△12PF F的周长为4+（2）由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<.设1122(,),(,)A x y B x y，则212128,24m x x x x -+=-=，1212,22m m y y ++==. 显然直线P A 与PB 的斜率存在，设直线P A 与PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +=1221(1)((1)(m mx x ++-+-=====0==.因为120k k +=，所以∠PMN ＝∠PNM . 所以||||PM PN =. 【点睛】本题考查椭圆的定义的运用，考查直线与椭圆的关系和几何条件的转化，考查运算能力，属于难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1).（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 、B 为椭圆C的左右顶点，直线:l x =与x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，直线AP 、BP 分别交直线l 于E 、Ｆ两点，当点P 在椭圆C 上运动时，||||DE DF ⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）为定值1 【解析】(1) 由题意可知1b =,c e a ==结合222a b c =+，可求出椭圆方程. (2) 设00(,)P x y ,则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，求出DE =，同理得出DF =，将点P 在椭圆上这个条件代入，可得到答案.【详解】（1）由题意可知1b =又因为c e a ==且222a b c =+，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）||||DE DF ⋅为定值1.由题意可得：(2,0),(2,0)A B -，设00(,)P x y ，由题意可得：022x -<<， 所以直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =002)2y y x =+，即DE =；同理：直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，令x =002)2y y x =-，即DF =；所以220022004444y y DE DF x x ⋅===--而220014x y +=，即220044y x =-，代入上式得1DE DF ⋅=， 所以||||DE DF ⋅为定值1. 【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题. 22．已知数列{}n a 、{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 满足1(1)(1)n n n a n a -+=-,()*2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,,n n nn na c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn b =；（2）存在，16m =；（3）212434(21),4324(21),43n n n n n n T n n n 为奇数为偶数-⎧+++-⎪⎪=⎨+⎪+-⎪⎩． 【解析】试题分析：（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{a n }的通项公式．b 1=2，b n+1=2b n 可知{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{b n }的通项公式．（2）b n =2n ．假设存在自然数m ，满足条件，先求出212111111111222222n n n b b b +++⋯+=+++⋯+=-<，将问题转化成824m -≥可求得m 的取值范围；（3）分n 是奇数、n 是偶数两种情况求出T n ，然后写成分段函数的形式。

2019-2020学年北京市民大附中高二（上）期末数学试卷的模为（）1.（单选题，5分）复数1+i1−iA.iB.1C.2iD.22.（单选题，5分）已知数列{a n}满足a n+1-a n=n，a1=1，则a4的值为（）A.5B.6C.7D.83.（单选题，5分）已知椭圆方程为4x2+3y2=12，则椭圆的长轴长为（）A. √3B.2C.2 √3D.4）为（）4.（单选题，5分）已知f（x）=x•sin2x，则f'（π2A.-πB.- π2C. π2D.π5.（单选题，5分）公比q=2的等比数列{a n}满足a3+a5=4，则a4+a6=（）A.8B.10C.12D.166.（单选题，5分）已知a⃗ =（x，-4，2），b⃗⃗ =（3，y，-5），若a⃗⊥ b⃗⃗，则x2+y2的取值范围为（）A.[2，+∞）B.[3，+∞）C.[4，+∞）D.[5，+∞）7.（单选题，5分）若b＜a＜0，则下列不等式中正确的是（）A. 1a ＞1bB.|a|＞|b|C. ba + ab＞2D.a+b＞2 √ab8.（单选题，5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，在正方形DD1C1C中有一动点P，满足PD1⊥PD，则直线PB与平面DD1C1C所成角中最大角的正切值为（）A.1B. √2C. √3+12D. √5+129.（填空题，5分）双曲线y24−x216=1的渐近线方程是___ ．10.（填空题，5分）复数z=（3+4i）•（2-i）的虚部为___ ．11.（填空题，5分）函数f（x）= x2e x的极大值点为___ ．12.（填空题，5分）已知不等式x−bx−a≤0的解为2≤x＜3，则a+2b的值为___ ．13.（填空题，5分）过抛物线y=ax2（a≠0）的焦点作平行于x轴的直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，△OAB面积为12，则a=___ ．14.（填空题，5分）如图所示，为f（x）=x3+1和g（x）=-3x2+9x+a在同直角坐标系下的图象，当两函数图象在y轴右侧有两个交点时，a的范围为___ ．15.（问答题，13分）已知数列{a n}为公差d=1的等差数列，数列{b n}为公比q=2的等比数列，数列{c n}满足c n=a n+b n，且有a1=b1＞2，a2•a4=b4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．16.（问答题，13分）函数f（x）=x3-mx2-nx在（2，f（2））处切线方程为y=5x-8．（1）求f（x）的解析式（2）求x∈[ 12，2]时，f（x）的最值．17.（问答题，14分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA=BC=5，AC=AA1=8，D为线段AC的中点．（1）求证：BD⊥A1D：（2）求直线A1D与平面BC1D所成角的余弦值；（3）求二面角C-BC1-D的余弦值．18.（问答题，13分）已知椭圆的方程为x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0），其离心率e= 12，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点（P不在x轴上），△PF1F2周长为6．过椭圆右焦点F2的直线L与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，△OAB面积为12√519．（1）求椭圆的标准方程：（2）求直线L的方程．19.（问答题，13分）函数f（x）= 12x2+（a-1）x-xlnx，（1）若f（x）在定义域内为单调递增函数，求a的取值范围；（2）当a=3时，关于x的方程f（x）+b=0在区间（1，e]上有且只有一实数根，求b的取值范围．20.（问答题，14分）已知L∈N+，数列A：a1，a2，…a n中的项均为不大于L的正整数．c k表示a1，a2，…a n中k的个数（k=1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：．t（a1），t（a2），…t（a n）其中t（k）=L• c1+c2+⋯+c kn（Ⅰ）若L=4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出c i（1≤i≤4）的值；（Ⅱ）已知对任意的k（k=1，2，…，n），存在A中的项a m，使得a m=k．求证：t（a i）=a i（i=1，2，…，n）的充分必要条件为c i=c j（i，j=1，2，…，L）；（Ⅲ）若l=n，对于数列A：a1，a2，…，a n，令T（T（A）：b1，b2，…，b n，求证：b i=t（a i）（i=1，2，…，n）．。