小学六年级奥数--面积计算(二)

数学学科教师辅导教案知识精讲知识点一（长方形、正方形的周长）【知识梳理】同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。

长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。

如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。

【典型例题】例1 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。

答案：72课堂练习一:1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。

答案：18*2=36厘米2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。

答案：178厘米45cm3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。

答案：14厘米例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。

现在这块木板的周长是多少厘米？答案：192-4*4=176平方厘米176/4=44厘米44*2=88厘米课堂练习二：1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。

求这个正方形的周长。

答案：6*4=24米2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？答案：4*8=32厘米3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。

求划去的绿化带的面积是多少平方米？答案：280/2*2+2*2=284平方米例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？答案：2a+4b课堂练习三:1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。

附加专题2：圆的周长和面积一、填空：１、圆是平面上的一种（）图形，围成圆的（）的长叫做圆的周长。

在大大小小的圆中，它们的周长总是各自圆直径的（）倍多一些，我们把这个固定的数叫做（），用字母（）表示，它是一个（）小数，在计算时，一般只取它的近似值（）。

2、一个圆的直径扩大5倍，它的半径扩大（）倍，它的周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。

3、画一个周长12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米。

4、在一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸片上画一个最大的圆，这个圆的半径是（）厘米；如果画一个最大的半圆，这个圆的半径是（）厘米，周长是（），面积是（）。

5、（）叫做圆的面积。

把圆沿着它的半径r分成若干等份，剪开后可以拼成一个近似的（），这个图形的长相当于圆周长的（），用字母表示是（）；宽相当于圆的（），用字母表示是（）。

所以圆的面积S＝( )×( ) ＝( )。

二、判断：1、圆的周长是这个圆的直径的3.14倍。

（）2、小圆的圆周率比大圆的圆周率小。

（）3、把一张圆形纸片对折若干次，所有折痕相交于圆心。

（）4、圆的半径扩大3倍，它的直径就扩大6倍。

（）5、半圆的周长等于圆周长的一半。

（）6、经过一点可以画无数个圆。

（）一、填空1、圆周率表示一个圆的（）和（）的倍数关系。

π约等于（）。

2、在一个圆中，圆的周长是直径的（）倍，是半径的（）倍。

4、要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是（）厘米。

6、在一个正方形里面画一个最大的圆，这个圆的周长是6.28厘米，这正方形的面积是（）平方厘米。

剩下的面积是（）平方厘米。

7、大圆半径是3分米，小圆半径是2分米，小圆面积是大圆面积的（）。

8、有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆的（），大圆面积是小圆的（）。

9、用一根长12.56厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是（）平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是（）平方厘米。

二、判断题（对的打√，错的打×）1,所有的直径都相等,所有的半径都相等. （）2,两端在圆上的线段,直径最长. （）3,经过圆心的线段就是直径. （）4,小圆的圆周率比大圆的圆周率小. （）5、圆的周长是6.28分米，那么半圆的周长是3.14分米。

2019年秋季小学六年级奖学金班奥数培训（4）平面图形的面积（一）学校 姓名一、底、高比例法例题1：如图，ABC ∆被分成了甲、乙两个部分，3:2:=DC BD ，EB AE 2=，若甲的面积是122cm ，求乙的面积是多少平方厘米？练习1：如图所示，ABC ∆是60，5:4:,1:4:,3:1:===FC EF ED BE DC AD ，求BEF ∆的面积.练习2：D 、E 分别为△ABC 边AB 、BC 的中点，点F 为DE 的中点，△BDF 和△DEC 的面积和为2016，求△ABC 的面积.二、用字母法（方程法）解题例题11,求阴影部分的面积。

练习1：如图所示，ABC ∆的面积是24平方厘米。

F EC BE ,2=是CD 的中点，求阴影部分的 面积是多少平方厘米.练习2：如图两线段把三角形ABC 分成四块，已知其中3块的面积为5、9、9， 求阴影部分的面积是多少？训练检测1：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．2：如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．3：如图所示，AE ED =，BD=3CD ，30ABC S ∆=（cm 2）。

求阴影部分的面积。

4：如图所示，BO=3DO ，阴影部分的面积是4平方厘米，那么，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？5：正方形ABCD的边长为24cm，E、F分别是CD、BC的中点，BE与DF交于G。

求阴影部分的面积。

6：如图所示，在三角形ABC中，BD=2DC，AE=2ED，且FC=2016，求AF=？7：如右图，在△ABC中，F是AC的中点，BD=2DC,已知△ABC的面积为36平方厘米。

则阴影部分的面积是多少平方厘米？。

第28讲表面积与体积（二）一、知识要点解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。

把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。

这是物体全部浸没在水中的情况。

如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。

（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。

（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。

（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。

二、精讲精练【例题1】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。

如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？中、小水池升高部分是一个长方体，它的体积就等同于碎石的体积。

两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米，两堆碎石的体积就是3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）。

把它沉到大水池里，水面升高部分的体积也就是0.7立方米，再除以它的底面积就能求得升高了多少厘米。

3×3×0.06+2×2×0.04=0.7（立方米）0.7÷6的平方=7/360（米）=1又17/18（厘米）答：大水池的水面升高了1又17/18厘米。

练习1：1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。

面积计算的小学奥数题及答案关于面积计算的小学奥数题及答案1、人民路操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。

现在操场面积比原来增加多少平方米?【思路导航】用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积，操场现在的面积是：(90+10)×(45+5)=5000(平方米)，操场原来的面积是：90×45=4050(平方米)。

所以现在比原来增加5000-4050=950平方米。

(90+10)×(45+5)-(90×45)=950(平方米) 练习(1)有一块长方形的木板，长22分米，宽8分米，如果长和宽分别减少10分米，3分米，面积比原来减少多少平方分米?练习(2)一块长方形地，长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米?2、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米，如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米?【思路导航】由：“宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米”可知它的`宽是54÷6=9(米);又由“长不变，宽减少3米，那么它的面积减少了36平方米”，可知它的长为：36÷3=12(米)，所以，这个长方形的面积是12×9=108(平方米)。

(36÷3)×(54÷9)=108(平方米)练习(1)一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米，如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米，这个长方形原来的面积是多少平方米?练习(2)一个长方形，如果宽不变，长增加5米，那么它的面积增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，那么它的面积增加48平方米，这个长方形的面积原来是多少平方米?练习(3)一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米，求这个长方形原来的面积。

面积计算（二）----等积变形1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。

2.能在解题中发现题目中所涉及的几何模型。

3.能在面积计算中熟练运用各定理。

1.推导各个定理的由来和比例公式。

2.理解图形中边长、高与面积的关系，并会在图形中找到这些关系。

3.熟记等积模型、鸟头定理、蝴蝶定理、相似模型适用的条件，以免混淆。

1.等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图12::S S a b=③夹在一组平行线之间的等积变形，如图A C D B C D S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．例1.如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？_A _B _G _C _E _F _D 练习1.如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．练习2.在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．等积模型主要在于理解底边、高与面积的关系，等底则高之比即面积之比，等高则底之比即面积之比。

2.鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△例1.如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA练习1.如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA练习2.如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？A BCD E在图形中找到共角三角形时，则可运用鸟头定理，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

(一)小学六年级奥数试题及答案：列方程解应用题1.甲的存款是乙的4倍，如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍．甲、乙原来各有存款多少元？考点：列方程解含有两个未知数的应用题．分析：根据“如果甲取出110元，乙存入110元，那么乙的存款是甲的3倍”，可找出数量之间的相等关系式为：（甲原来的存款-110）×3=乙原来的存款+110，再根据“原来甲的存款是乙的4倍”，设原来乙的存款为x元，那么甲的存款就是4x元，据此列出方程并解方程即可．解答：解：设原来乙的存款为x元，那么甲的存款就是4x元，由题意得：（4x-110）×3=x+110，12x-330=x+110，12x-x=110+330，11x=440，x=40，甲的存款：4×40=160（元）；答：甲原有存款160元，乙原有存款40元．点评：此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可.(二)六年级奥数题及答案：组合图形的面积2.长方形ABCD的边上有两点E．F，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块，其中三个小木块的面积标注在图上，阴影部分的面积是多少平方米？考点：组合图形的面积．分析：所求的影阴部分，恰好是三角形ABF与三角形CBE的公共部分，而S1，S2，S3这三块是长方形中没有被三角形ABF与三角形CBE盖住的部分．因此，△ABF面积+△CBE 面积+（S1+S2+S3）=长方形面积+阴影部分面积．而△ABF的底是长方形的长，高是长方形的宽；△CBE的底是长方形的宽，高是长方形的长．因此，三角形ABF面积与三角形CBE面积，都是长方形面积的一半．解答：解：设长方形的面积为S，则S△CBE=S△ABF=(1/2)S，由图形可知，S+S阴影=S△CBE+S△ABF+15+46+36，S阴影=(1/2)S+(1/2)S+15+46+36-S=97（平方米），答：阴影部分的面积是97平方米．点评：本题考查长方形面积、三角形面积的计算．本题明白所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为15、46、36这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分是解决本题的关键，从而根据S+S阴影=S△CBE+S△ABF+15+46+36建立等量关系求解．（三）六年级奥数题及答案：四边形面积3.在平行四边形ABCD中，三角形AOD的面积为12平方厘米，三角形BOC的面积是平行四边形面积的1/5，求平行四边形的面积．考点：平行四边形的面积．分析：根据题意可知，三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四边形ABCD的高，三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形的面积的一半，所以可用1/2平行四边形的面积减去1/5平行四边形的面积等于三角形AOD的面积，列式解答即可得到答案．解答：解：设平行四边形ABCD的面积为x平方厘米，答：平行四边的面积是40平方厘米．点评：解答此题的关键是根据三角形BOC和三角形AOD的高等于平行四边形ABCD的高确定三角形BOC和三角形AOD的面积等于平行四边形ABCD的面积的一半，然后再列式计算即可．。

第十六讲面积计算（二）第一部分：趣味数学两球间隙哪个大在兴趣小组活动中，老师给同学们出了这样一道题：假定我们给地球腰上打一个箍，也给小小的足球的腰上打一个箍，要求箍打得不大不小，刚好紧紧地套住球。

如果现在这两个箍的周长都增加了1米，试问把这两个箍分别套到这两个“球”上去时，“箍”和“球”之间的间隙哪个大？【答案】一样大第二部分：习题精讲【例题1】如图所示，求图中阴影部分的面积。

【思路导航】解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米[3.14×102×1/4－10×（10÷2）]×2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。

把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。

（20÷2）2×1/2－（20÷2）2×1/2＝107（平方厘米）答：阴影部分的面积是107平方厘米。

练习一：1．如图所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）2．如图所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。

求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？【例题2】如图所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

【思路导航】解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。

如图所示。

3.14×62×1/4－（6×4－3.14×42×1/4）＝16.82（平方厘米）解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。

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】第九讲图形的面积（二）阅读与思考上讲里我们学习了几何图形中一些面积计算的相关知识和方法。

本讲我们继续探讨平面几何图形面积的计算问题。

对于较为复杂的组合图形的面积问题，要注意观察图形的特点，寻找图形中的内在联系，灵活运用典型的数学思想方法、技巧解题。

1、利用弦图分割拼补求面积：如图1 弦图是由四个相同的长方形拼成一个大正方形，大正方形的边长等于长方形的长和宽的和，小正方形的边长等于长方形的长和宽的差。

根据大小正方形的边长和长方形的长与宽之间的关系可以巧妙地解决许多面积问题。

2、利用等量代换的思想计算有部分图形重叠的组合图形面积计算问题。

这类问题需要我们认真观察图形的特点，从组合图形中重叠的部分出发，寻找图形中的内在联系，巧妙地利用已知图形面积的和与差之间的关系建立等式，等量代换。

从而巧妙地求出组合图形的面积。

3、添加合适的辅助线构造成特殊图形如平行四边形、正方形、等腰直角三角形或等积形等。

添加辅助线的一般技巧有“见中点连中线，见中线延长一半”；“四十五度旁边想直角，分割拼补成等腰”等等。

典型例题|例①|如图2 从一个正方形木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为5平方米。

问锯下的长方形木条面积是多少？分析与解这类题可以巧妙地运用弦图来求面积。

如图2 可以看出剩下的长方形的长是原正方形的边长，它的宽比长少0.5米。

根据弦图的启发，我们可以假设有四个与剩下的长方形一样的长方形，把它们拼成如图 3 的大正方形，这个大正方形的边长是长方形的长和宽的和，阴影小正方形的边长是长方形长和宽的差，正好等于0.5米，问题迎刃而解了。

大正方形的面积=0.5×0.5+4×5=20.25，大正方形的边长为4.5米，于是剩下的长方形中长+宽=4.5，长-宽=0.5，长=（4.5+0.5）÷2=2.5（米）。

考点：立体图形的表面积问题一、知识要点小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。

从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。

因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。

在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。

（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。

反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。

若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。

二、精讲精练【例题1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。

图27--1②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。

图27--2③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。

图27--3练习1：1、（课后）从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×1的正方形，新增加了左右下面三个1×1的正方形，所以表面积大小不变。

2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？4×4×6－2×2×2＝92平方厘米3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？中心挖去的洞的体积是：12×3×3－13×2＝7立方厘米，挖洞后木块的体积：33－7＝20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是12×4－12＝3平方厘米，挖洞后木块的表面积：（32+3）×6＝72平方厘米。

平面图形计算(一）经典图形：1. 任意三角形ABC 中，CD=31AC,EC=43BC ，则三角形CDE 的面积占总面积的31⨯43=41(为什么？）2. 任意平行四边形中任意一点，分别连接四个顶点,构成的四个三角形中，上下两个三角形面积之和等于左右两个三角形面积之和。

（为什么?）3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。

（1）腰上的两个三角形面积相等;（2）上下两个三角形面积之积等于左右两个三角形面积之积。

(为什么？）4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方÷2。

等腰直角三角形面积等于直角边的平方÷2,或者等于斜边的平方÷4.（为什么？）例题： 例1． 如右图，三角形ABC 的面积是10，BE=2AB,CD=3BC,求三角形BDE 的面积.例2． 如图，已知三角形ABC 的面积是1，延长AB 至D ，使BD=AB ，延长BC 至E ，使CE=2BC ，延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积.例3． 如图，三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AE=ED ，EF=2BF ，求AEF 的面积。

例4． 如图，ABCD 是个长方形，DEFG 是个平行四边形，E 点在BC 边上，FG 过A 点，已知,三角形AKF 与三角形ADG 面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。

求三角形BEK 的面积。

FK BEC DGA例5． 如图，三角形ABC 的AB 和AC 两条边分别被分成5等分。

三角形ABC 面积是500，求图中阴影部分的面积？例6． 如图，设正方形ABCD 的面积为120，E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，FC=3GC ，则阴影部分的面积是多少?ABC DFEG例7． 在如图所示的三角形AGH 中，三角形ABC,BCD ，CDE ，DEF,EFG,FGH 的面积分别是1，2，3,4，5，6平方厘米，那么三角形EFH 的面积是多少平方厘米？ABCD EFG H例8． 如图，在平行四边形ABCD 中,AC 为对角线，EF 平行于AC ，如果三角形AED 的面积为12平方厘米，，求三角形DCF 的面积。

小学六年级奥数教材课程圆的周长和面积一条线段绕着它固定的一端在平面内旋转一周，它的另一端在平面内画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线就是圆。

画圆时，固定的一点叫做圆心，从圆心到圆上任意一点的线段叫做圆的半径，在同一个圆中，所有的半径都相等。

通过圆心，并且两端在圆上的线段叫做直径。

在同一个圆中，所有的直径都相等，且等于半径的2倍。

圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

任意一个圆，它的周长除以直径的商总是一个固定的数，这个数叫圆周率。

如果用C 表示圆周的长度，d 表示这个圆的直径，r 表示它的半径，π表示圆周率，就有C dπ=或2C r。

π是一个无限不循环小数，π=3.14159265358979323846…。

圆的周长：C=2πr 或C=πd，圆的面积：S=πr 2。

圆的周长和面积计算的基本方法是仔细观察，发现特点，找出内在的联系，常常通过对图形的割补、旋转、平移、等积变形等方法加以解决。

需要精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

(本讲π均取 3.14)例1、上海外滩海关大钟钟面的直径是5.8米，钟面的面积是多少平方米？时针长2.7米，时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是多少米？(得数保留一位小数)分析与解法：钟面的直径是5.8米这个条件是直接的，时针长指的是半径。

解：钟面的面积是：3.14×(5.8×2)2≈26.4(平方米)。

时针绕一圈时针尖端走过途径的长度是：2×3.14×2.7≈17.0(米)。

例2、如图所示，试比较大圆的面积与阴影部分的面积、大圆的周长与阴影部分的周长。

图图(1)分析与解法：本题有两问，一是比较阴影部分面积与大圆的面积；二是比较阴影部分周长与大圆的周长。

为了考虑问题方便，我们把图经过割补成图(1)，在图(1)中更容易看出大圆与小圆阴影部分的关系。

学习目标总结重点AOB解：先比较大圆面积与阴影部分的面积。

设大圆半径为r，则小圆半径为r，大圆面积为S 1=πr 2。

六年级奥数图形题2例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了（如图）。

二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可（如图）。

三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了（如图）。

四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了（如图）。

五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如图）。

六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半（如图）.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形（如图）。

八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积（如图）.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB 在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积（如图）。

面积计算（一）专题简析：计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

例题1。

已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

因为BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

练习11、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。

求阴影部分的面积。

2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝13 BD ，S △ABC ＝21平方厘米。

求阴影部分的面积。

3、 如图18－4所示，DE ＝12AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

AB CFD E18－2ABCFE D18－1 ABCFED 18－3CB D EF 18－4例题2。

两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？【思路导航】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD相等（等底等高）可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD 的2倍。

六年级奥数-椭圆部分面积
引言
本文档将介绍六年级奥数中椭圆部分面积的相关知识和计算方法。

椭圆的定义
椭圆是平面上一条固定点到平面上任意一点的距离之和等于常数的点的轨迹。

椭圆由两个焦点（F1和F2）和一条连接它们的直线（主轴）组成。

主轴的两端点称为椭圆的顶点。

椭圆的中点称为椭圆的中心。

椭圆的部分面积
椭圆的部分面积是指在椭圆内部取一段弧所围成的面积。

分别用S表示椭圆的面积，S1表示扇形面积，S2表示三角形面积，则椭圆的部分面积等于S1减去S2。

椭圆部分面积的计算公式
假设椭圆的长轴为a，短轴为b，椭圆的角度为θ（θ范围在0至360度），则椭圆部分面积的计算公式为：
S = π * a * b * θ / 360 - 1/2 * a * b * sin(θ)
实例演示
例如，给定一个椭圆，其长轴为10，短轴为6，所需计算的部分面积的角度为60度。

代入公式，可得：
S = π * 10 * 6 * 60 / 360 - 1/2 * 10 * 6 * sin(60) = 15π - 60√3
结论
本文档介绍了六年级奥数中椭圆部分面积的定义和计算方法。

通过使用相关公式和实例演示，可以有效地计算椭圆的部分面积。

参考资料
无。

ED C B A 六年(Nian)级奥数图形问题(2)一(Yi)、填空题1.算出圆内(Nei)正方形的面积为 .2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴(Yin)影部分面积是 平方(Fang)厘米.3.一(Yi)个扇形圆心角,以扇形的半径为边长画(Hua)一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所示(Shi),以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28平方厘米. B 长40厘米, BC 长 厘米.6厘米2C ② ① A B6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米(Mi),等腰直角三角形的面积为 .7.扇形的面(Mian)积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度(Du).8.图(Tu)中扇形的半径OA =OB =6厘(Li)米., AC 垂(Chui)直OB 于(Yu)C ,那(Na)么图中阴影部分的面积是 平方厘米.9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.二、解答题6 CB AO 4512 15 2011. ABC 是等腰直角三(San)角形. D 是半圆周的中(Zhong)点, BC 是半圆(Yuan)的直径,已知:AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆(Yuan)周率)12.如图,半(Ban)圆S 1的面积(Ji)是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴(Yin)影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知圆心(Xin)是O ,半径r =9厘米,,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?———————————————答(Da) 案———S 2S 1 CB A0 1 2 A10 DC B——————————————————— 1. 18平(Ping)方厘米.由图示可知,正方形两条对角(Jiao)线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为(平(Ping)方厘米).2. 1.14平方(Fang)厘米.由图示可知,图中阴影部分面积(Ji)为两个圆心角为的扇形面积减去直角三(San)角形的面积.即(平方厘(Li)米).3. 125.6平方厘米.由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为(平方厘米).4. 3.09厘米.边结BE 、CE ,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE 为等边三角形.于是.BE=CE=(厘米).于是阴影部分周长为(厘米).5. 32.8厘米.从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米. 半圆面积为(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为(厘米).6.平方厘米.将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x 厘米,则圆的半径为厘米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的,于是有,解得.故等腰直角三角形的面积为(平方厘米).7..⌒⌒A10DCB OE 扇形(Xing)面积是圆面积的,故扇(Shan)形圆心角为的(De)即(Ji)72.8. 5.13.三角(Jiao)形ACO 是一个等腰直角(Jiao)三角形,将AO 看(Kan)作底边,AO 边上(Shang)的高为(厘米),故三角形ACO 的面积为(平方厘米).而扇形面积为(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).9. 142.75.由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为(厘米).图形总面积为两个圆面积加上正方形的面积,即(平方厘米).10. 90平方厘米.图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即(平方厘米).11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED 的面积减去正方形BEDO 的面积再加上圆面积的.三角形AED 的面积是;正方形面积是,圆面积的41是,故阴影部分面积为:（平方厘米）.12. 由已知半圆S 1的面积是14.13平方厘米得半径的平方为(平方厘米),故半径为3厘米,直径为6厘米.又(You)因圆S 2的面积(Ji)为19.625平(Ping)方厘米(Mi),所以S 2半(Ban)径的平方为(平方厘米),于(Yu)是它的半径为2.5厘米,直(Zhi)径为5厘(Li)米. 阴影部分面积为(平方厘米).13. 因OA=OB ,故三角形OAB 为等腰三角形,即 , 同理,于是.扇形面积为:(平方厘米).14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为(平方厘米).正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即 (平方厘米),所有空白部分面积为平方厘米. 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为(平方厘米).十二、圆和组合图形（2）一、填空题1.如图,阴影部分的面积是 .2 1 22.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍(Bei).大圆的面积比小圆的面积大 平方厘(Li)米.3.在一个半径是(Shi)4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是 平方厘(Li)米.(取3.14,结果精确到(Dao)1平方厘米)4.右图中三角(Jiao)形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平(Ping)方厘米).5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等(Deng).图中阴影部分的周长是 厘米.)14.3(=π6.如图,的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .7.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.8.已(Yi)知:ABC D 是正(Zheng)方形, ED =DA =AF =2厘米,阴(Yin)影部分的面积是 .9.图中(Zhong),扇形BAC 的面积是(Shi)半圆ADB 的(De)面积的倍(Bei),那么,是(Shi) 度.10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.( 取3.14)二、解答题11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r .(计算时圆周率取)12.已知右图中大正方(Fang)形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.E D C B A A GF O DC A B 2 甲乙13.有三个面(Mian)积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖(Gai)的面积是2S +2,并且重合的两块是等(Deng)面积的,直线a 过两(Liang)个圆心A 、B , 如果直(Zhi)线a 下方(Fang)被圆覆盖的面积是9,求圆面积S 的(De)值.14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、C D 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位.2. 188.4.小圆的半径为(厘米),大圆的半径为(厘米).大圆的面积比小圆的面积大(平方厘米).3. 57. (平方厘(Li)米)≈57(平(Ping)方厘米).4. 10.26.120 ABCD 1 2AB Ca1O C BA EDEDCB A AG F ①②从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形(Xing)面积之差,即(平(Ping)方厘米).5. 20.5.设(She)圆的半径为r ,则圆面(Mian)积即长方形面积为,故长方形(Xing)的长为.阴(Yin)影部分周长(厘米).6.(平方厘米).如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为(平方厘米).又圆半径为(厘米),因为151=∠, 又OA=OD ,故,扇形AOC 的面积为(平方厘米).三角形AOC 的面积为(平方厘米).方形面积为(平方厘米),从而阴影部分的面积为(平方厘米).7. 19.1416.花瓣图形的结构是正方形的面积,加上四个43圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣图形的面积是(平方厘米).8. 2.43平方厘米.如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB 的 面积减去三角形CED 、三角形CDA 、扇形AFG 的面积,即(平方厘米).9. 60.设扇形ABC 圆心角的度数是x ,半圆的半径OA=r ,有,解(Jie)得x=60.⌒10. 0.14.扇(Shan)形面积为(平方厘米(Mi)),甲部分面积为(平方厘米),乙部(Bu)分面积为(平方厘米),甲(Jia)乙两部分面积差为(平方厘(Li)米11. 如图,小(Xiao)正方形的边长为,则(Ze)①的面积为: ,②的面积为,①和②的面积和为.即阴影部分面积为.12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半,即阴影部分面积等于(平方厘米).13. 设一个阴影部分的面积为x ,则有:,于是(1)又,于是有,解得S=6.14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求, 它的面积为:(平方厘米).面积计算（三）专(Zhuan)题简析：对于一些比较(Jiao)复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。

小学六年级奥数椭圆的周长和面积椭圆的定义椭圆是数学中一个常见的几何图形。

它可以通过一个平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合来定义。

这两个定点称为焦点，而常数称为椭圆的离心率。

椭圆还有一个特殊的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和恒定，这个常数就是椭圆的周长。

周长的计算公式椭圆的周长可以通过以下公式计算：周长= 2π × √((a^2 + b^2) / 2)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

面积的计算公式椭圆的面积可以通过以下公式计算：面积= π × a × b其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

例题现在我们通过一个例题来进一步理解椭圆的周长和面积的计算。

假设一个椭圆的长轴长度是8，短轴长度是5。

我们可以先计算周长：周长= 2π × √((8^2 + 5^2) / 2)≈ 2π × √((64 + 25) / 2)≈ 2π × √(89 / 2)≈ 2π × √(44.5)≈ 2π × 6.670≈ 13.340π所以，这个椭圆的周长约为13.340π。

接下来，我们计算面积：面积= π × 8 × 5≈ π × 40≈ 40π所以，这个椭圆的面积约为40π。

总结椭圆的周长和面积是我们在学习奥数时经常遇到的问题。

通过掌握椭圆的周长和面积的计算公式，我们可以轻松解决相关的题目。

在做题时，记得先确定椭圆的长轴和短轴的长度，然后根据公式进行计算即可。