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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(4), 1698-1703 Published Online April 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.124176波浪能发电装置输出功率的微分方程模型马家耀1，吴彬睿1，吕 平2*1杭州师范大学经亨颐教育学院，浙江 杭州 2杭州师范大学数学学院，浙江 杭州收稿日期：2023年3月24日；录用日期：2023年4月18日；发布日期：2023年4月27日摘要波浪能是当今社会一种十分具有前景的清洁可再生能源，提高波浪能发电装置的转化效率尤为重要。
针对波浪能发电装置只做垂荡运动的情况，本文建立基于微分方程的垂荡模型。
以垂荡模型为基础，本文进一步计算波浪能发电装置的平均输出功率，并建立以波浪能发电装置平均输出功率最大为目标的最优阻尼系数模型。
最后，本文通过多重搜索算法，遍历求解得到最大输出功率及对应的最优阻尼系数。
关键词微分方程，多重搜索法，波浪能发电装置，阻尼系数The Differential Equation Model for the Output Power of Wave Energy ConverterJiayao Ma 1, Binrui Wu 1, Ping Lv 2*1Jing Hengyi School of Education, Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang 2School of Mathematics, Hangzhou Normal University, Hangzhou ZhejiangReceived: Mar. 24th, 2023; accepted: Apr. 18th, 2023; published: Apr. 27th, 2023AbstractNowadays wave energy as the clean and renewable energy resource has a promising future, so it is particularly significant to enhance the conversion efficiency of wave energy converter. Aiming at the situation that the wave energy converter only does vertical motion, this paper establishes a vertical oscillation model based on differential equation. In terms of this model, the paper further calculates the average output power of wave energy converter, and establishes an optimal damp-ing coefficient model with the goal of the maximum average output power. Finally, the maximum output power and the corresponding optimal damping factor are obtained by traversing the solu-tion through multiple search algorithms.*通讯作者。
摆式波能转换装置的水动力分析模型摆式波能转换装置是一种利用海浪能够较稳定地提供的能量来进行发电的装置。
它通过利用波浪的起伏来推动装置的运动，进而驱动发电机发电。
本文将会建立一个水动力分析模型，以便更好地了解摆式波能转换装置的工作原理和性能。
首先，我们将该装置简化为一个摆动的质点。
假设该质点的质量为m，位置为(x, y)，速度为(vx, vy)。
质点所受到的水流力为F，在水平方向上的分量为Fx，在垂直方向上的分量为Fy。
根据牛顿第二定律，我们可以得到质点的运动方程：m * ax = Fxm * ay = Fy - mg其中，ax和ay分别为质点在x轴和y轴方向上的加速度，g为重力加速度。
接下来，我们需要计算质点所受到的水流力F。
根据物理学原理，水流力的大小与质点的速度大小成正比，与水流速度的平方成正比。
因此，我们可以将水流力的大小表示为：F = 1/2 * ρ * A * C * (vx^2 + vy^2)其中，ρ为水的密度，A为受力面积，C为阻力系数。
在水中进行振动的摆式波能转换装置可以看作是一个可移动的质点，其振动的频率和幅度与波浪的特性有关。
因此，我们还需要考虑波浪对质点运动的影响。
假设波浪的传播速度为c，波浪的传播方向与x轴平行。
波浪的幅度为A0，角频率为ω。
我们可以得到质点所受到的波浪力Fw的表达式：Fw = 1/2 * ρ * A0 * (2π/T)^2 * cos(2πt/T) * sin(kx - ωt)其中，T为波浪的周期，k为波数。
这里的波浪力是一个随时间和空间变化的函数，它会影响质点的运动轨迹。
综合考虑水流力和波浪力，质点的动力学方程可以表示为：m * ax = Fx = -1/2 * ρ * A * C * (vx^2 + vy^2) + 1/2 * ρ * A0 * (2π/T)^2 * cos(2πt/T) * sin(kx - ωt)m * ay = Fy - mg = -1/2 * ρ * A * C * (vx^2 + vy^2) + 1/2 * ρ *A0 * (2π/T)^2 * cos(2πt/T) * sin(kx - ωt) - mg我们可以利用这个动力学方程组进行数值模拟，以研究摆式波能转换装置的性能。
海浪发电海浪发电姓名：沈剑南学号：21634106 专业：船舶与海洋⼯程随着传统能源⽇趋枯竭、环境污染问题恶化，新能源开发迫在眉睫，⽽利⽤环境清洁可再⽣能源如太阳能、风能以及波浪能发电提供电能，⽇益受到各界⼴泛关注。
据不完全统计，⽬前已有28个国家(地区)研究波浪能的开发，建设⼤⼩波⼒电站上千座，总装机容量超过8亿⽡，其建站数和发电功率分别以每年2.5％和10％的速度上升。
从20世纪70年代以来，许多海洋国家积极开展了波浪能开发利⽤的研究。
并取得了重⼤进展。
英国早在80年代初就已成为世界波浪能研究中⼼。
于1990年和1994年分别在苏格兰伊斯莱岛和奥斯普雷建成了75kW和2万千⽡振荡⽔柱式和固定式岸基波⼒电站。
⽇本对海洋能的研究也⼗分活跃，其特点是着重波浪技术的开发。
开展的波浪能研究项⽬有：海明号波⼒发电船、60kW防波堤式电站、摆式波能装置、40kW 岸式电站、“巨鲸”漂浮式波⼒发电装置、⽓压罐式波⼒发电装置、导航⽤波⼒发电装置等。
法国早在20世纪60年代就投⼊巨资建造了⾄今仍是世界上容量最⼤的潮汐发电站，装机容量24万千⽡，年发电量5亿千⽡时的朗斯潮汐电站。
瑞典在1983—1984年进⾏了30kW软管泵原型装置的现场试验，并且在西班⽛⼤西洋岸外建了⼀座1000kW的波⼒⽰范电站。
印尼在挪威的帮助下，从1988年开始在巴厘岛建造⼀座1500kw的波⼒电站，并制定建造数百座波⼒电站，实现联站并⽹的发电计划。
中国从1986年开始在珠江⼝⼤万⼭岛建设3kW波浪电站。
随后⼏年改造成20kW的电站。
“九五”期间，在科技部科技攻关计划⽀持下，在⼴东汕尾市遮浪研建l00kW波⼒电站，是⼀座与电⽹并⽹运⾏的岸式振荡⽔柱型波能装置。
2016年8⽉16⽇世界⾸台3.4兆⽡模块化海洋潮流能发电机组⾸套1兆⽡机组正式启动发电，发电机组运⾏正常。
潮流能发电在浙江⾈⼭成为现实。
相⽐风能与太阳能技术，波浪能发电技术要落后⼗⼏年。
水动力学模型的分类随着社会经济的发展以及气候变化，暴雨洪水发生更加频繁和损失更加严重，对防洪减灾提出了更高的要求，需要的资料越来越详细，例如河道洪水水位、街道的洪水淹没过程、局部地方的洪水流速等，传统的水文学方法无法给出这些特征数据，这为水动力学方法提供了发展空间。
按照研究方法的不同，水动力学模型可以分为宏观与微观两类。
从宏观角度出发的模型，一般假设流体连续分布于整个流场，诸如密度、速度、压力等物理量均是时间和空间的足够光滑的函数。
这类水动力学模型采用的控制方程一般为简化后的N-S方程，即圣维南方程（一维）或者二维浅水方程（二维），是目前国内外使用最为广泛的模型。
从微观角度出发的模型，采用非平衡统计力学的观点，假设流体是由大量的微观粒子组成，这些粒子遵守力学定律，同时服从统计定律，运用统计方法来讨论流体的宏观性质，这类水动力学模型采用的控制方程为Boltzmann方程。
Boltzmann方法的理论基础是分子运动论和统计力学，从微观的粒子尺度出发，建立离散的速度模型，在满足质量、动量和能量守恒的条件下得出粒子分布函数，然后对分布函数进行统计计算，得到压力、流速等宏观变量。
基于Boltzmann方程的模型满足熵原理，在计算中不会出现非物理性震荡，具有精度高、运算速度快的优点，吸引了国内外不少研究者的兴趣。
Boltzmann方法目前仅局限于对缓流的模拟，而对急流的模拟却不够成功。
目前，国内外大部分水动力学模型均采用以浅水方程组为控制方程，Boltzmann方法应用并不广泛。
事实上，从Boltzmann出发可推出浅水方程，一些研究者也尝试引入Boltzmann方法求解浅水方程，并取得一定的效果。
按照水动力学模型模拟的维度，水动力学模型可以分为一维水动力学模型、二维水动力学模型以及三维水动力学模型。
在城市洪水模拟中，一维模型具有计算效率高，所需要基础数据少等优点，但应用范围较为局限，主要用来模拟计算城市地下管网、河网、街道的洪水演进，但不适用于街道交汇处和广场等区域。
振荡水柱式波能装置的水动力性能实验报告实验报告：振荡水柱式波能装置的水动力性能一、实验目的：通过振荡水柱式波能装置的实验，探究其水动力性能和能量转换效率。
二、实验原理：振荡水柱式波能装置是利用波浪的动能将其转化为机械能的装置。
装置由上下端活塞和垂直管道组成，当波浪通过管道时，会引起管道内部水柱的振荡。
上下活塞与管道相连，当水柱振荡时，活塞也会随之上下运动。
通过这种方式，波浪的动能可以转化为活塞的机械能，进而通过传动装置将其输出。
三、实验装置：1.振荡水柱式波能装置2.海浪模拟装置3.数据采集系统四、实验步骤：1.将振荡水柱式波能装置安装在实验台上，并将海浪模拟装置连接至装置的进水口。
2.打开海浪模拟装置，产生模拟的波浪。
3.通过数据采集系统记录波浪的振幅、周期等波浪参数。
4.开始记录装置内部的水柱振动情况。
可采用视频记录或安装传感器进行数据采集。
5.将实验数据导入计算机，进行数据处理和分析。
五、实验结果与分析：通过实验获得的水柱振动数据和波浪参数，可以计算得到波浪在水柱内的动能和振幅。
根据计算结果，可以得到装置的水动力性能和能量转换效率。
六、实验结论：七、实验注意事项：1.操作时应注意安全，避免对设备和人员造成损伤。
2.实验前应了解实验装置的性能和操作方法，确保实验的顺利进行。
3.实验结束后，应对设备进行清洁和维护，以延长其使用寿命。
4.实验过程中应保持设备稳定，并进行必要的数据校对和验证。
八、改进方向：1.提高振荡水柱式波能装置的能量转换效率，以提高其应用价值。
2.进一步研究波浪的特性和对装置的影响，以优化装置的结构和性能。
3.探索更多的应用领域，将振荡水柱式波能装置应用于海洋能源的开发和利用。
以上是振荡水柱式波能装置的水动力性能实验报告，通过实验可以了解其能量转换效率和水动力性能，并从中得出结论和改进方向。
实验的过程中要注意安全和数据的准确性，确保实验的顺利进行。
摆式波能转换装置的水动力分析模型*滕斌，陈文（大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室，辽宁大连 116024）摘要：基于势流理论分别建立了波浪与摆式波能转换装置作用的频域和时域分析模型，用于求解摆板运动过程、摆板表面压力、活塞作用力和俘获的能量。
对于线性活塞模型和小振幅运动假设，开展了时域模型和频域模型的对比计算，验证了模型的一致性和正确性。
应用频域模型，开展了活塞阻尼和波浪频率对俘获能量影响的系统研究，给出了转换装置的最佳阻尼和频率范围。
对于非线性活塞模型，采用时域模型做了计算分析，给出了摆板运动响应、活塞作用力和俘获能量的时间历程及与波高的关系。
关键词：波能转换装置；摆式；水动力分析；数值模型1 引言随着世界能源日趋紧张，海洋能的利用[1]逐渐受到各国重视，波能作为一种绿色、可再生的新能源具有非常广阔的发展空间。
目前，许多波能转换装置[2]-[4]相继开发出来，效率较高的装置类型主要有鸭式、振荡水柱式、振荡浮子式、摆式等。
其中，摆式波能转换装置具有频率响应范围宽、可靠性好、常海况条件转换效率高、建造成本相对较低等许多优点。
芬兰AW-Energy公司开发的WaveRoller式装置[5][6]和英国AquamarinePower公司与女王大学共同研发的Oyster式装置[7]-[9]为常见的两种摆式波能转换装置形式，如图1、图2所示。
这类摆式装置主要由摆板、转轴、传动系统部分组成，利用垂直于摆板方向的波浪作用，摆板绕摆轴前后摆动带动传动系统的活塞杆运动，进而将摆板俘获的波能转换为传动系统的机械能，最终通过其它装置将机械能转换为电能。
图1 WaveRoller式图2 Oyster式对于线性和非线性的传动系统，本文分别建立了波浪与摆式波能转换装置相互作用的频域和时域分析模型，可用于分析摆式波能转换装置的摆板转动幅度、摆板表面的压力、活塞的作用力和俘获的波浪能量。
2 计算方法2..1 水动力分析的频域势流方法定义一右手坐标系Oxyz来研究波浪对三维结构物的作用问题，如图3所示，原点在平均静水面上，Z 轴垂直向上为正，X轴为波浪入射方向。
物体表面定义为S B，自由水面S F，水平海底S D。
图3 坐标系和计算域定义图假定流体不可压缩，无粘，运动无旋。
速度势满足拉普拉斯方程20∇Φ=（1）*作者简介：滕斌（19-），男，教授。
Email: bteng@对于圆频率为ω的规则波浪，分离出时间因子i t e ω−，速度势Φ为Re i te ωϕ−⎡⎤Φ=⎣⎦，（2）速度势ϕ可分解为入射势0ϕ，绕射势7ϕ和对应物体六个广义运动（纵荡、横荡、升沉、纵摇、橫摇、转动）模态的辐射势(1~6)j j ϕ=，即()6071j j j i ϕϕϕωζϕ==++−∑（3）各速度势满足的边界条件为：20 (0~7)jj gj z∂ϕωϕ∂−== （4）在自由水面S F 上；07(1~6)jj n nn j n∂ϕ∂ϕ∂∂∂ϕ∂=−==（5）在物体表面S B 上；0 (0~7)jj n∂ϕ∂== （6）在海底S D 上；以及在无穷远处，辐射势和绕射势满足Sommerfeld 条件12lim ()0 (1~7)jj r r ik j r ∂φφ∂→∞−==，（7）式中k 为波数。
采用满足自由水面边界条件的格林函数，可得到关于绕射势和辐射势的第二类Fredholm [10]积分方程000()(,)()()(,)(j=1~7)B B j j j S S x G x x C x x ds G x x ds n n ϕϕϕ∂∂−=−∂∂∫∫，（8） 式中：C 为流体角系数；(,)o G x x 为格林函数。
式（8）经变换[11]可得到一个新的积分方程010000()(,)(,)()()()(,)(j=1~7)BBj j j j S S x G x x G x x x x x ds G x x ds n n n ϕϕϕϕ∂∂∂−−=−∂∂∂⎡⎤⎢⎥⎣⎦∫∫， （9）式中：1(,)o G x x 为Rankine 源和它关于海底的像。
式（9）经离散，可得到线性方程组{}{}[](j=1~7)j A B ϕ=，（10）由上述方程组可求得对应于物体六个运动模态的辐射势(1~6)j j ϕ=和绕射势7ϕ。
波浪在物体上的作用力可通过物体表面的水动压强积分来求得。
入射势和绕射势引起的波浪激振力jF 为07Re () =Re (=1~6)B i t i tj j j S F i n ds e f e j ωωρωϕϕ−−⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∫，（11）绕射力引起的水动力系数为(,1~6)Bmn mn mn n m S f i a b i n ds m n ωρωϕ=+==∫，（12）式中：mn a 被称为附加质量；mn b 为辐射阻尼。
2.2 摆板运动的频域分析模型在线性系统的假设下，规则波浪与摆板的作用可采用频域方法计算求解。
将物体的转动中心设置在摆板的转轴00(,)x z 上，则摆板只有绕转轴的运动，其他方向上的运动均为零5ξθ= （13） 123460ξξξξξ=====（14）稳态情况下摆板与波浪同频率运动，可分离出时间因子，得到摆板的运动方程[12]-[14]为25555555555555555()()I i a i b K C f ωωξ⎡⎤−++−Λ+++=⎣⎦，（15） 式中：55I 为摆板惯性矩；55i 为活塞杆惯性矩；55a 为附加质量矩；55Λ为活塞杆阻尼矩；55b 为辐射阻尼矩；55K 为活塞杆刚度矩；55C 为恢复力矩；5ξ为摆板运动幅值；5f 为一阶波浪激振力。
求解运动方程（15）可得摆板转动幅值5ξ即θ。
假设活塞杆的阻尼为线性的，若不考虑活塞杆质量和刚度因素的影响，活塞杆的作用力p F 、力矩pM 和阻尼矩阵系数55Λ分别为：cos p p p p F v i L ωθα=Λ=Λ（16） 2(cos )p p M i L ωαθ=Λ （17） 255(cos )p L αΛ=Λ（18）式中：p Λ为活塞杆线性阻尼系数；p v 为活塞杆运动线速度；L 为活塞杆与摆板连接点到转动中心的距离；α为活塞杆倾角（与水平面的夹角）。
转换装置在一个周期的平均输出功率PTO P 为2011()()(cos )2TPTOp p p P F t v t dt L T ωθα==Λ∫（19）单宽波峰入射的波能w P 为21214sinh 2w kd P gA c kd ρ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠， （20）式中：ρ为流体密度；g 为重力加速度；A 为波幅；c 为波速；d 为水深。
波能俘宽效率w C 定义为/()w PTO w C P DP =，（21）式中D 为摆板迎浪面的长度。
在频域模型中，摆板表面的波动压强p 可由摆板运动时的总速度势求得()6071[]j j j p i i ωρϕϕωζϕ==++−∑，（22）表面总压强为波动压强与静水压强的和。
2.3 摆板运动的时域分析模型当波浪转换装置为非线性系统时，必须采用时域模型进行分析。
由Cummins [15]方法，时域下的波浪作用力()j f t 、附加质量ij a 和迟滞函数()ij R t ，可通过频域下波浪激振力()j f ω、附加质量()ij a ω和辐射阻尼()ij b ω计算求得。
对于绕转轴转动的摆板，时域运动方程为：()555555555()()()()()() tp I a t R C t t d f t M t θθθτττ−∞+++=−+∫&&&（23）式中：()t θ为摆板转动幅值；()p M t 为活塞杆作用于摆板的力矩；55C 为静水恢复矩阵系数。
活塞杆对摆板的作用力()p F t 和作用力矩()P M t 分别为：()[()()][()()][()()] P pp F t m t L t t L t K t L t θθθ=Λ++&&&（24）()()()P p F M t t L t =（25）式中：m 为活塞杆的质量；()()()B P L t L t n t τ=⋅v v 为活塞杆的作用力臂；()B t τv为摆板的法向单位向量；()P n t v为活塞杆的轴向单位向量；[()()]pt L t θΛ&为活塞的阻尼力；pK 为活塞杆刚度系数。
应用四阶Runge-Kutta 方法求解方程（20），可得到摆板瞬时运动的角加速度()t θ&&、角速度()t θ&和转角()t θ。
转换装置的瞬时输出功率()PTO P t 为()()()()PTOpP t F t t L t θ=& （26）在时域模型中，摆板表面的波动压强可由压强的脉冲响应函数与波面高度卷积求得，表面总压强为波动压强与静水压强的和。
3 数值模拟及结果分析以下以Oyster 式波能转换装置为例，分别假设活塞反力为线性和非线性阻力模型，采用频域和时域模型开展计算研究。
3.1 摆式波能转换装置结构Oyster 式波能转换装置摆板由空心圆筒和钢板组成，通过转轴安置于海底。
坐标系原点定义在水面与摆板中心的交界上，Z 轴垂直向上，X 轴为波浪传播方向。
模型尺寸与动力特性参数以及安放位置如表1、图4所示。
图5为摆板表面离散成的6节点或8节点的网格单元。
由于摆板物面关于X 和Y 轴对称，采用高阶边界元方法[11][16]分析时可只在一个象限的湿表面上剖分网格做计算。
表1 模型尺寸与动力特性参数参数名称 数值 参数名称数值 长（m ） 7.0 平均密度（kg/m 3）188.3 宽（m ） 1.2 质量（kg ）7500.0 高（m ） 6.2 横轴惯性矩（kg m 2） 825.9 吃水（m ） 5.4 纵轴惯性矩（kg m 2） 75141.6 水深（m ）5.4 垂轴惯性矩（kg m 2） 98230.1图4 转换装置示意图 图5 摆板表面单元网格3.2 线性阻尼和小幅度运动假设下时域模型与频域模型对比为了验证本文所建的频域和时域模型的正确性，以及在线性系统情况下的两种模型的一致性。
首先利用频域和时域两种分析模型，对线性阻尼的摆式波能转换装置做数值模拟研究。
假设摆板直立时活塞杆倾角为30°，活塞杆阻尼力形式为cos p p p p F v i L ωθα=Λ=Λ，利用频域模型计算的摆式波能转换装置的俘获效率如图6所示。
从图6中可以看到，当活塞阻尼一定时波能转换装置的摆板转角、活塞杆阻尼力和输出功率值均随波浪圆频率呈先增大后减下的变化趋势；当活塞阻尼系数在5.0×10+5Ns/m 附近时，该装置的波能俘获效率为最佳，最大值可以达到90%左右。
