福建省厦门市2018届高三质量检查数学（文）一、选择题1.已知集合{|11}A x x =-<<，{1,0,1}B =-，则（ ）A.AB B = B.AB A = C.AB =∅ D.{|11}A B x x =-≤≤答案：D解析：∵{|11}A x x =-<<，{1,0,1}B =-，∴{0}AB =，故A ，C 错误；{|11}A B x x =-≤≤，故B 错误，D 正确，故选D.2.已知i 为虚数单位，,a b R ∈，若(2)2a i i b i +=+，则a b +=（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4答案：B解析：∵(2)2a i i b i +=+，∴22ai b i -+=+，解得2a =，2b =-，∴220a b +=-=，故选B.3.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D．2 3答案：B解析：甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，有{象棋，象棋}，{象棋，文学}，{象棋，摄影}，{文学，象棋}，{文学，文学}，{文学，摄影}{摄影，象棋}{摄影，文学}，{摄影，摄影}共九种情形，而这两名同学加入同一个社团有三种情形，∴所求概率为3193P==，故选B.4.已知双曲线的渐近线方程为12y x=±，焦距为）A．221 4xy-=B．2214yx-=C．2214xy-=或2214xy-=D．2214yx-=或2214yx-=答案：C解析：∵双曲线的渐近线方程为12y x=±，∴设双曲线的方程为22(0)4xyλλ-=≠，即2214x yλλ-=，又2c=，∴c=222c a b=+，∴54λλ=+或54λλ=--，∴双曲线的标准方程为2214xy-=或2214xy-=.故选C.5. 设x，y满足约束条件1,1,0,x yx yy+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则2z x y=+的最大值是（）A．1-B．0 C．1D ．2答案：C解析：作出约束条件表示的可行域如图所示，可将目标函数2z x y =+变形为2y x z =-+，当直线2y x z =-+在y 轴上的截距最小时，z 取得最小值，∴当平行直线系2z x y =+过点(0,1)A 时，z 取得最小值min 011z =+=.6.把函数()sin 2f x x x =的图象向右平移ϕ个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2sin g x x =的图象，则ϕ的一个可能值为（ ）A ．3π-B ． 3π C ．6π-D ． 6π 答案：D解析：∵()sin 22sin(2)3f x x x x π==+，()f x 向右平移ϕ个单位长度得到()2sin[2()]2sin(22)33f x x x ππϕϕ=-+=-+的图像，又把所得图像上各点的横坐标伸长为原来2倍，纵坐标不变，得到1()2sin(22)2sin(2)233g x x x ππϕϕ=⨯-+=-+的图像. 又∵()2sin g x x =，∴223k πϕπ-+=，k Z ∈，即6k πϕπ=-，k Z ∈. ∴当0k =时，6πϕ=，故选D.7.已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．ln ||()xx f x e = B ．()ln ||x f x e x =C ．ln ||()x f x x= D ．()(1)ln ||f x x x =-答案：A解析：对于A ：ln ||()xx f x e =， 有ln ,0,()ln(),0,x x x x e f x x x e ⎧>⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩ 1ln ,0,()1ln(),0,x x x x x e f x x x x e ⎧-⎪>⎪⎪'=⎨⎪--⎪<⎪⎩∴当0x >时，设1x x =，()0f x '=，即()f x 在1(0,)x 上单调递增，在1(,)x +∞上单调递减，且在1(,)x +∞上，()0f x '>；当0x <时，有：在(1,0)-上，()0f x <，在(,1)-∞-上，()0f x >，故A 正确；对于B ：()ln ||x f x e x =，若0x >，则()ln ||x f x e x =在(0,)+∞上为增函数，不合题意，故B 不正确；对于C ：ln ||()x f x x=，有()()f x f x -=-，即()f x 在定义域上是奇函数，图像关于原点对称，不合题意，故C 不正确；对于D ：()(1)ln ||f x x x =-，若(0,1)x ∈，则()0f x >，不合题意，故D 不正确.故选A.8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）A ．8πB ．9πC ．163π D ．283π 答案：A解析：由三视图还原得到一个直三棱柱111ABC A B C -，且底面ABC 为等腰直角三角形，2BC =，AB AC ==12BB =，∴ABC ∆，111A B C ∆外接圆的圆心分别为BC ，11B C 的中点M ，N ，∴三棱柱外接球的球心O 为MN 的中点，∴外接球的半径R BO ==∴直三棱柱111ABC A B C -的外接球O 的表面积为22448S R πππ===，故选A.9.已知0.31()2a =，12log 0.3b =，bc a =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<答案：B解析： ∵0.31()(0,1)2a =∈，1122log 0.3og 1b l =>=， ∴1122log 0.3log 0.30.30.30.311[()][()]0.322bc a ====. ∵0.30.310.3()2<，∴c a <，∴c a b <<.故选B. 10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出n 的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）( 1.732，sin150.2588≈，sin 7.50.1305≈)A ． 3.10?S ≤B ． 3.11?S ≤C ． 3.10?S ≥D ． 3.11?S ≥答案：C解析：由程序框图，输入6n =，第一次循环，136036sin 262S =⨯⨯= 第二次循环，22612n n ==⨯=，136012sin 3212S =⨯⨯=； 第三次循环，221224n n ==⨯=，136024sin 12sin15120.2588 3.1056 3.10224S =⨯⨯==⨯=≥， 此时输出24n =，故选C.11．矩形ABCD 中，BC =，E 为BC 中点，将ABD ∆沿BD 所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：①存在某个位置，BD AE ⊥； ②存在某个位置，BC AD ⊥；③存在某个位置，AB CD ⊥； ④存在某个位置，BD AC ⊥.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④答案：C解析：∵矩形ABCD 中，BC =，∴令1AB =，则BC =BD =，过点A ，C 作AM BD ⊥，CN BD ⊥分别交BD 于点M ，N ，AM CN ==，BM MN ND ===， 将ABD ∆沿着BD 所在直线翻折. ①∵点M ，E 分别为BN ，BC 的中点，∴//ME CN ，又CN BD ⊥，∴ME BD ⊥，又AM BD ⊥，ME AM M =，∴BD ⊥平面AEM ，即BD AE ⊥，∴存在某个位置，BD AE ⊥，故①正确.②若存在某个位置，使BC AD ⊥，则BC AD ⊥，BC CD ⊥，ADCD D =， ∴BC ⊥平面ADC ，∴BC AC ⊥，即ABC ∆为直角三角形，且AB 为斜边，与AB BC <矛盾，故②错误.③若存在某个位置，使AB CD ⊥，则AB AD ⊥，AB CD ⊥，ADCD D =， ∴AB ⊥平面ADC ，∴AB AC ⊥，ABC ∆为直角三角形，且BC 为斜边，此时1AB =，BC =1AC =， 故③正确.④若存在某个位置，使BD AC ⊥，则A M B D ⊥，BD AC ⊥，AM AC A =，∴BD ⊥平面AMC ，与BD ⊥平面AEM 矛盾，故④错误，故选C.12.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1b =，2sin a A =，则c 的最大值为（）A ．2B C ．3D ．4答案：A解析：∵1b =，2sin a A =.∴sin sin a A C A =，又∵(0,)A π∈，∴a C =. ∵222cos2a b c C ab +-=，∴22cos C =∴2212sin 1cos 6(1cos2)21c C C C C C =+-=--+7)3C π=-+.∴当3232C ππ+=，即712C π=时，2c 取得最大值，最大值为7+∴max 2c == A.二、填空题13.已知向量(1,21)a x =+，(2,3)b =，若//a b ，则x = ．答案：14解析：∵向量(1,21)a x =+，(2,3)b =，若//a b ，∴13(21)20x ⨯-+⨯=，解得14x =.14.已知cos()4πα-=，则sin 2α= ． 答案： 34- 解析：223sin 2cos(2)2cos ()121244ππααα=---=⨯-=-. 15.若函数1()2sin 22cos 2f x x x m x =-+在(0,)π上单调递增，则m 的取值范围是 ． 答案：(-∞解析： ∵1()2sin 22cos 2f x x x m x =-+， ∴2()2cos22sin 2(12sin )2sin f x x m x x m x '=--=---2222sin 2sin 12(sin )122m m x m x x =-+=-+-， 设sin x a =，(0,1]a ∈，∴2()221g a a ma =-+∴()42g a a m '=-.当0m ≤时，()0g a '>，min ()(0)1g a g >=，∴()0f x '>，()f x 在(0,)π上单调递增.当0m >时，令()0g a '=，则2m a =. （1）当12m ≥，即2m ≥时，()0g a '≤，min ()(1)320g a g m ==-<， ∴()0f x '≥在(0,)π上不恒成立，不合题意.（2）当12m <，即2m <时，()g a '在(0,)2m 上小于0，在(,1)2m上大于0， ∴2min()()122m m g a g ==-.∴当2102m -≥，即0m <≤()0f x '≥，此时()f x 在(0,)π上单调递增，综上所述，m 的取值范围为(-∞.16.已知A ，B 是圆22:82160C x y x y +--+=上两点，点P 在抛物线22x y =上，当APB ∠取得最大值时，||AB = ． 答案：解析：设2(,)2t P t ，当APB ∠最大时，PA ，PB 为圆C 的切线，且此时||PC 最小，又圆22:82160C x y x y +--+=，∴圆22:(4)(1)1C x y -+-=，圆心(4,1)C ，1r =，∴||PC ===.令28174t y t =-+，则38y t '=-.∴当2t =时，0y '=；当2t >时，0y '>，当2t <时，0y '<，即48174t y t =-+在(,2)-∞上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，∴当2t =时，4min282174161754y =-⨯+=-+=，即min ||PC (2,2)P .又||1AC =，∴||2PA ==，||||||22||PA AC AB PC ⋅=⨯==.三、解答题17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，1232a a ⋅=，510S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列求数{}n b 的前21n +项和21n T +.答案： （1）12n n a +=； （2）见解析. 解析：（1）由题意得()11513,254510,2a a d S a d ⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩即()1113,222,a a d a d ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍去），∴11a =，12d =， ∴数列{}n a 的通项公式111(1)22n n a n +=+-=.（2）由（1）得：∴数列{}n b 的前21n +项和为21n T +为 2121123213521222222n n n n T b b b b ++++=++++=++++++ 23135721(2222)()2222n n ++=+++++++++12223212(12)2222222212222n n n n n n n n n +++++-++=+⋅=-+⋅=+--. 18. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位：分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）； （2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关？附：参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：答案： （1）52； （2）见解析. 解析：（1）由频率分布表可得该校学生的每天平均阅读时间为： 8101211721030507090110505050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 803006007706302202600525050+++++===（分钟）（2）由频数分布表得：“阅读达人”的人数是117220++=（人）， 根据等高条形图完成22⨯列联表如下：()225061218142254.3272030242652K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 由于4.327 6.635<，故没有99%的把握认为“阅读达人”跟性别有关.19.如图，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=，//AF CE ， AF AC ⊥，2AB AF ==，1CE =.（1）求四棱锥B ACEF -的体积； （2）在BF 上有一点P ，使得//AP DE ，求BPPF的值. 答案：（1 （2）12. 解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥. 又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面ACEF .在ABC ∆中，60ABC ∠=，2AB BC ==，设BDAC O =，则2AC =，BO =在梯形ACEF 中，//AF CE ，AF AC ⊥，2AC AF ==，1CE =， ∴梯形ACEF 的面积1(12)232S =⨯+⨯=，∴四棱锥B ACEF -的体积为11333V S BO =⨯⨯=⨯.（2）在平面ABF 内作//BM AF ，且1BM =，连接AM 交BF 于点P ，则点P 满足//AP DE .证明如下： ∵//AF CE ，1CE =，∴//BM CE ，BM CE =，∴四边形BMEC 是平行四边形. ∴//BC ME ，BC ME =，又菱形ABCD 中，//BC AD ，BC AD =，∴//ME AD ，ME AD =， ∴四边形ADEM 是平行四边形 ∴//AM DE ，即//AP DE ， ∵//BM AF ，∴BPMFPA ∆∆，又1BM =，∴12BP BM PF AF ==.20.设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F .直线:(0)l y kx m m =+>与C 交于A ，B 两点，AF 的中点为M ，||||5OM MF +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设点(0,1)P ，4PA PB ⋅=-，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标. 答案：（1）221255x y +=； （2）见解析. 解析：（1）设椭圆的右焦点为2F ，连接OM ，则OM 为2AFF ∆的中位线， 即212OM AF =，12MF AF =，∴1||||||||52AF AF OM MF a ++===，∵c e a ==，∴c =b =∴椭圆C 的方程为：221255x y +=.（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22,1,255y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：222(15)105250k x mkx m +++-=，∴0∆>，1221015km x x k +=-+，212252515m x x k -=+，∴12121222()()()215my y kx m kx m k x x m k +=+⋅+=++=+，2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222222525105251515k m k k m m k m m k k k --++-==++， 又(0,1)P ，4PA PB ⋅=-，∴1122121212(,1)(,1)14x y x y x x y y y y -⋅-=+--+=-，∴222222525252+50151515m m k mk k k ---+=+++，整理得：23100m m --=，解得2m =或53m =-（舍去），∴直线l 得方程为2y kx =+. 故直线l 过定点(0,2).21.已知函数2()()32xa af x x e x x =--，a e ≤，其中e 为自然对数的底数. （1）当0a =，0x >时，证明：2()f x ex ≥； （2）讨论函数()f x 极值点的个数. 答案：见解析 解析：（1）依题意得函数()x f x xe =，原不等式可化为2x xe ex ≥，又0x >，只要证0x e ex -≥， 记()(0)x g x e ex x =->，则()(0)x g x e e x '=->，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，函数()g x 单调递增， ∴()(1)0g x g ≥=，即2()f x ex ≥，故原不等式成立.（2）依题意得212()()()3232x xa a f x e ax x x e ax =--+--2(1)(1)(1)x x x e ax ax x e ax x =+--=+-+(1)()x x e ax =+-，记()x h x e ax =-，()x h x e a '=-，（ⅰ）当0a <时，()0xh x e a '=->，()h x 在R 上单调递增，(0)10h =>，11()10a h e a=-<.∴存在唯一01(,0)x a∈，0()0h x =，且当0x x <时，()0h x <；当0x x >，()0h x >.①若01x =-，即1a e =-时，对任意1x ≠-，()0f x '>，此时()f x 在R 上单调递增，无极值点.②若01x <-，即10a e-<<时，此时当0x x <或1x >-时，()0f x '>.即()f x 在0(,)x -∞，(1,)-+∞上单调递增；当01x x ≤≤-时，()0f x '≤，即()f x 在0[,1]x -上单调递减，此时()f x 有一个极大值点0x 和一个极小值点1-.③若010x -<<，即1a e<-时，此时当1x <-或0x x >时，()0f x '>.即()f x 在(,1)-∞-，0(,)x +∞上单调递增；当01x x -≤≤时，()0f x '≤，即()f x 在0[1,]x -上单调递减：此时()f x 有一个极大值点1-和一个极小值点0x .（ⅱ）当0a =时，()x f x xe =，∴()(1)x f x x e '=+，显然()f x 在(,1)-∞-单调递减；在(1,)-+∞上 单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点.（ⅲ）当0a e <<时，由（1）可知，对任意0x ≥，()()0x x h x e ax g x e ex =->=-≥，从而()0h x >.而对任意0x <，()0x x h x e ax e =->>，∴对任意x R ∈，()0h x >成立，此时令0()f x '<，得1x <-；令0()f x '>，得1x >-，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；在(1,)-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大值点.（ⅳ）当a e =时，由（1）可知，对任意0x ≥，()0x x h x e ax e ex =-=-≥，当且仅当1x =时取等号 此时令0()f x '<，得1x <-；令0()f x '>得1x >-，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递减；在(1,)-+∞上单调递增；此时()f x 有一个极小值点1-，无极大 值点. 综上可得：当1a e <-或10a e -<<时，()f x 有两个极值点；当1a e=-时，()f x 无极值点；当0a e ≤≤时，()f x 有一个极值点.22.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(1sin )8(0)ρθρ+=>.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0(,)2πρ，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点(1)P --，l 与C 的交点为A ，B ，求11||||PA PB +的最大值. 答案：（1）2228x y +=； （2）43. 解析：（1）把0(,)2Q πρ代入曲线C 可得220(1sin)82πρ+=，即02ρ=， ∴(2,)2Q π化为直角坐标为(0,2)Q ，又直线l 的参数方程cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数），∴l 过点|(1)P --，又l 过点(0,2)Q ，∴直线l的普通方程为2y x =+. ∵22(1sin )8ρθ+=可化为22(sin )8ρρθ+=. ∴222x y ρ=+，sin y ρθ=可得222()8x y y ++=， 即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，22(cos 2(sin 1)8t t αα-+-=，化简得22(sin 1)4(sin )60t t ααα+-+=，①22[4(sin )]24(sin 1)ααα∆=--+，12t t +=12260sin 1t t α=>+，故1t 与2t 同号. 1212121212||||||1111||||||||||||||||t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4|sin()|33πα==+，∴6πα=时，4|sin()|33πα+有最大值43. 此时方程①的340∆=>，故11||||PA PB +有最大值43.23.不等式选讲已知函数()|||31|()f x x a x a R =++-∈. （1）当1a =-时，求不等式()1f x ≤的解集；（2）设关于x 的不等式()|31|f x x ≤+的解集为M ，且1[,1]4M ⊆，求a 的取值范围.答案： （1）11{|}42x x ≤≤； （2）714a -≤≤.解析：（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =-+-，∴()1|1||31|1f x x x ≤⇒-+-≤.即1,31131x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩或11,31311x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩或1,1311,x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩解得1,314x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩ 或11,312x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩ 或1,3.4x x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，∴1143x ≤≤或1132x <≤或∅. ∴原不等式的解集为11{|}42x x ≤≤. （2）∵1[,1]4M ⊆，∴当1[,1]4x ∈时，不等式()|31|f x x ≤+恒成立， 即|||31||31|x a x x ++-≤+在1[,1]4上恒成立. 当11[,)43x ∈时，||1331x a x x ++-≤+，即||6x a x +≤， ∴66x x a x -≤+≤，∴75x a x -≤≤在11[,)43上恒成立， 而当14x =时，7x -取得最大值，5x 取得最小值， ∴max min (7)(5)x a x -≤≤，即7544a -≤≤. 当1[,1]3x ∈时，||3131x a x x ++-≤+，∴||2x a +≤，即22x a -≤+≤， ∴22x a x --≤≤-在1[,1]3上恒成立， 而当13x =时，2x --取得最大值，当1x =时，2x -取得最小值， ∴max min (2)(2)x a x --≤≤-，即713a -≤≤. 综上，a 的取值范围为714a -≤≤.。
厦门市2018届高中毕业班第一次质量检查参考答案文科数学一、选择题：DBBCCDAABC CA 二、填空题：13．1414．34-15．m ≤16．三、解答题：17．本题主要考查等差数列的基本量运算，考查分组求和法及等差和等比数列的求和运算；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、分类与整合思想等。
满分12分。
解：（1）由条件可得：11111133()()2254225102a a d a a d a d a d ⎧+=⎧⎪+=⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+=+=⎩⎪⎩-----------------------------------------------------2分消去d 得：211230a a +-=，解得11a =或13a =-（舍），所以12d =--------------------------------4分所以1n n a +=．-----------------------------------------------------------------------------------------------------6分（2）由（1）得：122,1,2nn n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，---------------------------------------------------------------------------------7分所以数列{}n b 的前21n +项和为：212112342213521222222n n n n n T b b b b b b ++++=++++++=++++++ ---------------------------------8分23135721(2222)()2222n n ++=+++++++++ ---------------------------------------------------10分1223212(12)222221222n n n n n n ++++-+=+⋅=+------------------------------------------------------------12分18．本小题主要考查样本的数字特征，等高条形图和2⨯2列联表等基础知识；考查数据处理能力，运算求解能力；考查统计概率思想。
