专题22三角函数的性质()-高考数学(理)名师揭秘之一轮(0924091326)

三角函数的基本性质三角函数是数学中一个重要的概念，它涉及到角度和三角形的关系。

在数学中，常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）、正切函数（tangent）等。

通过研究和掌握三角函数的基本性质，我们可以在解决各种与角度相关的问题时得到便利。

1. 正弦函数（Sine）的基本性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，它定义了一个角度和一个比率之间的关系。

正弦函数通常表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的基本性质包括：1.1 周期性：正弦函数在一定角度范围内是周期性的，周期为360度或2π弧度。

换言之，对于任意实数k，sin(x+2kπ) = sin(x)。

1.2 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，这意味着正弦函数以原点为对称轴。

1.3 范围：正弦函数的值域在[-1,1]之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

2. 余弦函数（Cosine）的基本性质余弦函数是三角函数中与正弦函数密切相关的函数，它通常表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的基本性质包括：2.1 周期性：余弦函数也是周期性的，周期为360度或2π弧度。

在数学上，可以表示为cos(x+2kπ) = cos(x)。

2.2 对称性：与正弦函数相似，余弦函数也是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，以y轴为对称轴。

2.3 范围：余弦函数的值域同样在[-1,1]之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

3. 正切函数（Tangent）的基本性质正切函数是另一个常见的三角函数，通常表示为tan(x)。

正切函数定义了一个角度和两条线段之间的比率。

正切函数的基本性质包括：3.1 周期性：正切函数也是周期性的，周期为180度或π弧度。

可以表示为tan(x+π) = tan(x)。

3.2 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)，以原点为对称轴。

3.3 定义域：正切函数的定义域为除去所有余切为零的实数之外的所有实数。

三角函数的定义及性质三角函数是数学中一类重要的函数，它们描述了角度和三角形边长之间的关系。

在解决各种实际问题和数学问题中，三角函数都扮演了重要角色。

本文将探讨三角函数的定义、性质以及常见应用。

一、正弦函数的定义及性质1. 正弦函数的定义正弦函数（sin函数）描述了一个角度对应的垂直边与斜边的比值。

设三角形中的一个角为θ（0 ≤ θ ≤ 360°），斜边的长度为r，则正弦函数的定义如下：sin(θ) = 垂直边的长度 / 斜边的长度2. 正弦函数的性质正弦函数的性质包括：- 周期性：sin(θ) = sin(θ + 2π)，其中π为圆周率。

- 奇偶性：sin(-θ) = -sin(θ)。

- 取值范围：-1 ≤ sin(θ) ≤ 1，正弦函数的值在闭区间[-1, 1]内取值。

二、余弦函数的定义及性质1. 余弦函数的定义余弦函数（cos函数）描述了一个角度对应的邻边与斜边的比值。

设三角形中的一个角为θ（0 ≤ θ ≤ 360°），斜边的长度为r，则余弦函数的定义如下：cos(θ) = 邻边的长度 / 斜边的长度2. 余弦函数的性质余弦函数的性质包括：- 周期性：c os(θ) = cos(θ + 2π)，其中π为圆周率。

- 奇偶性：cos(-θ) = cos(θ)。

- 取值范围：-1 ≤ cos(θ) ≤ 1，余弦函数的值在闭区间[-1, 1]内取值。

三、正切函数的定义及性质1. 正切函数的定义正切函数（tan函数）描述了一个角度对应的垂直边与邻边的比值。

设三角形中的一个角为θ（0 ≤ θ ≤ 360°），则正切函数的定义如下：tan(θ) = 垂直边的长度 / 邻边的长度2. 正切函数的性质正切函数的性质包括：- 周期性：tan(θ) = tan(θ + π)，其中π为圆周率。

- 奇偶性：tan(-θ) = -tan(θ)。

- 定义域：tan函数在θ = 90°或270°处不存在定义，其他角度上都有定义。

第22讲 三角函数的图象和性质激活思维1. 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4的定义域是( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4(k ∈Z ) B. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠－π4 C. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π4(k ∈Z )D. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠π4 2.将函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数图象的解析式为( )A. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4 B. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋3π4 C. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －π4 D. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －3π4 3. 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的单调增区间为( ) A. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－7π6，2k π－π6(k ∈Z ) C. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 4. 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，(第4题)则该函数的解析式为( ) A. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1011x ＋π6 B. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1011x －π6 C. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6 D. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 5. (多选)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3，则下列命题错误的是( ) A. f (x )的周期为2π B. f (x )的值域为RC. f (x )的图象关于直线x ＝π6成轴对称D. f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0成中心对称知识聚焦1. 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )R R ________(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(2) 奇偶性：若f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．2. 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象(1) y＝A sin(ωx＋φ)表示一个振动量的有关概念第1课时三角函数的图象和性质分类解析目标1 定义域与值域、最值问题(1) 函数f(x)＝64－x2＋log2(2sin x－1)的定义域是________．(2) 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. 2－3B. 0C. －1D. －1－3(3) 函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2的最大值是( ) A. 14 B. 34C. －1D. 1(1) 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cosx 的定义域为________． (2)已知函数f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6，其中x∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是( ) A. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，π3 B. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π2 C. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，2π3 D. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π 目标2 单调性问题(1) (2020·江门一模)若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4，则( ) A. f (1)>f (2)>f (3) B. f (3)>f (2)>f (1) C. f (2)>f (1)>f (3) D. f (1)>f (3)>f (2)(2) (多选)若函数y ＝cos ωx 在x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π2上单调递减，则正整数ω的值可能为( )A. 1B. 2C. 4D. 6(3) (2020·中原名校联盟)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________．(1) 若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π(2)已知函数f (x )＝m sinωx (其中ω>0，m >0)在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，2π3上单调递增，则ω的取值范围是________．目标3 周期性、奇偶性及对称性(1)(2020·河南期末)(多选)若函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6的图象的一条对称轴方程为x ＝π3，则实数ω的取值可能为( )A. 1B. 4C. 7D. 8(2) (2020·潍坊模拟)已知ω∈(0,1)，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω的值为________．(3)已知f (x )＝sin⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3(x ＋1)－3cos⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 021)＋f (2022)＝________.1. (多选)关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)，有以下四个选项，其中错误的有( )A. 对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数B. 存在φ，使得f (x )是偶函数C. 存在φ，使得f (x )是奇函数D. 对任意的φ，f (x )都不是偶函数2. (2020·北京模拟)下列函数中，最小正周期为π2的是( )A. y ＝sin|x |B. y ＝cos|2x |C. y ＝|tan x |D. y ＝|sin 2x |3.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是直线x ＝－512π，则φ＝________.课堂评价1. (2020·临沂模拟)(多选)下列函数中，最小正周期为π的选项有( )A. y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2 B. y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π2 C. y ＝tan 2x D. y ＝|sin x ＋cos x |2. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A. 2B. 3C. 3＋2D. 2－33. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π上的大致图象是( )A BC D4. (2020·山东测试卷) (多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x|，sin x ≥cos x ，|cos x|，sin x ＜cos x ，则下列说法正确的是( )A. f (x )的值域是[0,1]B. f (x )是以π为最小正周期的周期函数C. f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2上单调递增 D. f (x )在[0,2π]上有2个零点5. 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，x ∈R .(1) 求f (x )的最小正周期；(2) 若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值；(3) 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围．第2课时 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象分类解析目标1 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象识别(1)(2020·长沙质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A. ω＝2，φ＝π6B. ω＝12，φ＝π6C. ω＝2，φ＝π3D. ω＝12，φ＝π3(例1(1))(例1(2))(2) (2020·济南调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A. 1B. 12 C. 22D.32(1)(2020·黄山期末)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，|φ|<π，ω>0)的部分图象如图所示，则( )A. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 B. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3 C. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 D. y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3(变式(1))(变式(2))(2) 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1＋x 2＝2π3，则f (x 1)＋f (x 2)等于( )A.32B. 22C. 0D. －12目标2 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换(1)(2020·聊城期末)(多选)为了得到函数y ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4的图象，可作如下变换( )A.将y ＝cosx 的图象上所有点向左平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变而得到B.将y ＝cosx 的图象上所有点向右平移π4个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到C. 将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移π4个单位长度而得到D.将y ＝cosx 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移π8个单位长度而得到(2)(2020·保定二模)已知函数y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6(ω>0)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，则该函数图象是由y ＝cos2x 的图象经过怎样的变换得到？( )A. 向左平移π3个单位长度B. 向左平移π6个单位长度C. 向右平移π3个单位长度D. 向右平移π6个单位长度(1)(2020·郑州预测)已知曲线C 1：y ＝cosx ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2(2) 已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将f (x )的图象( )A. 向左平移π12个单位长度B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移5π12个单位长度D. 向右平移5π12个单位长度目标3 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象性质的综合运用(2020·山东测试卷)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6对称；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π18，0对称；③f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a 存在，求出a 的值；若a 不存在，请说明理由．已知函数f (x )＝4sin⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω∈N *)的最小正周期不小于π3，且________，是否存在正实数a ，使得函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π12上有最大值3?(2020·济宁质检)在①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________.(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 求函数f (x )在[0,2π]上的单调增区间．课堂评价 1.(2020·大连三模)若将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心可以为( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，0B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，0 C. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π12，0 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，02. 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，5π4上单调递增B. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π上单调递减C. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5π4，3π2上单调递增D. 在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π2，2π上单调递减3.(2020·青岛模拟)(多选)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )(第3题)A. 函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B. 函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12，0对称 C. 函数f (x )在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，－π6上单调递增 D. 函数y ＝1与y ＝f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π12≤x ≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3 4.(2020·九江质检)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6，其中ω>0.若x 1，x 2是方程f (x )＝2的两个不同的实数根，且|x 1－x 2|的最小值为π，则当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为________．5. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝0. (1) 求ω； (2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，3π4上的最小值．。

三角函数的性质三角函数是数学中重要的概念，它们有着许多独特的性质和特点。

本文将对三角函数的性质进行探讨，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数的性质正弦函数是一个周期函数，周期为2π。

在单位圆上，正弦函数的值等于对应角度的弧度值的y坐标。

正弦函数的定义域是所有实数，值域在-1到1之间。

2. 余弦函数的性质余弦函数也是一个周期函数，周期同样为2π。

在单位圆上，余弦函数的值等于对应角度的弧度值的x坐标。

余弦函数的定义域和值域也都是实数。

3. 正切函数的性质正切函数是一个奇函数，意味着它在原点是对称的。

正切函数的定义域是除了一切对应正弦函数值为0的角度之外的所有实数。

正切函数的值域为所有实数。

4. 周期性质正弦函数和余弦函数具有周期性，即在固定的一段时间内，它们的图像会重复出现。

这是因为单位圆的性质导致的。

这一周期性质可以用于解决各种实际问题，在物理、工程、天文学等领域有着广泛的应用。

5. 反函数除了正弦函数、余弦函数和正切函数，它们的反函数也具有重要的性质。

反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别记为sin^(-1)x、cos^(-1)x和tan^(-1)x。

它们的定义域和值域与正弦函数、余弦函数和正切函数相反。

通过反函数，我们可以将一个三角函数的值反推回对应的弧度或角度值。

6. 基本恒等式三角函数有一些基本的恒等式，它们在计算中起着重要的作用。

例如，正弦函数和余弦函数的平方和等于1，即sin^2x + cos^2x = 1。

这个恒等式可以通过单位圆的性质进行证明。

另外，还有一些三角函数的和差化积公式、倍角公式等，它们在解决复杂问题时发挥着重要的作用。

总结：三角函数是数学中非常重要的概念，具有多种性质和特点。

正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性是它们的重要性质之一，通过单位圆可以直观地理解它们的定义和性质。

反函数和基本恒等式也是三角函数的重要内容，它们在解决实际问题和数学推导中起着关键的作用。