专题21 三角函数的图象(检测)-2019年高考数学名师揭秘之一轮总复习

【变式训练 1】 (1)函数 y＝ 2sinx－1的定义域为 ()
A.π6，56π B.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) C.2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z) D.kπ＋6π，kπ＋56π(k∈Z)
解析
由
2sinx－1≥0， 得
sinx≥
1 2
，
所
以
2kπ
＋
π 6
≤x≤2kπ＋56π(k∈Z)．
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[必会结论] 1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周 期为 T＝|2ωπ|，函数 y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 T＝|ωπ|. 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距 离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周 期． 3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx 或 y＝ Atanωx 的形式，而偶函数一般可化为 y＝Acosωx＋b 的形式．
(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为 y ＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令 t＝sinx，或 t＝sinx±cosx)化为关于 t 的二次函数求值域(最 值)．
(3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化 为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题．此时注意所 换元的取值范围．
解析 对称中心的横坐标满足 2x＋π4＝kπ，解得 x＝－
π8＋k2π，k∈Z.当 k＝1 时，x＝38π，y＝1.故选 B.
5．[课本改编]函数 y＝tanπ4－x的定义域是(

为常数，且 ω∈12，1. (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)若 y＝f(x)的图象经过点π4 ，0，求函数 f(x)在 区间0，3π5 上的取值范围.
2019年8月10日
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【解析】(1)因为 f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2 3sin
2x＋12cos
2x＝
22sin2x＋π4 ，对于命题①，因为
x∈π2 ，5π8 ，所以 2x＋π4 ∈5π4 ，3π2 ，所以 y＝f(x)
为减函数，即①正确.对于命题②，当 x＝π8时，fπ8 ＝
22sinπ4 ＋π4 ＝
2kπ
-
π 2
,
2kπ

2


k

Z

2k ,2k
k Z

k

2
, k

2

2kπ
+
π 2
,
2kπ
2k,2k
k Z
k Z
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3 2


k Z
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3．三角函数在其定义域内不是单调函数，但是它们 有无数个单调区间且彼此独立，运用三角函数的单调性 比较三角函数值大小时，必须使被比较的函数同名，且 自变量要落在同一个单调区间内．
2019年8月10日
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4．函数 y＝Asin(ωx＋φ )＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b 2π
y＝
2 2 sin

[解析] (1)要使函数y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义，
则21－sin2xco－s 1x＞≥00，，
sin 即
x＞12，
cos x≤12.
解得2kπ＋π3≤x<2kπ＋56π，k∈Z.
即函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z.
(2)∵0≤x≤9， ∴－π3≤π6x－π3≤76π， ∴－ 23≤sinπ6x－π3≤1， 故－ 3≤2sinπ6x－π3≤2. 即函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值为 2，最小值为 － 3.所以最大值与最小值的和为 2－ 3.
(2)2－ 3
(3)1－2 2，54
[方法技巧] 1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组)，常借助三角函数图象来求解． 2．三角函数最值或值域的求法 (1)直接法：直接利用 sin x 和 cos x 的值域求解． (2)化一法：把所给三角函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的 形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把 sin x、cos x、sin xcos x 或 sin x±cos x 换 成 t，转化为二次函数求值域．
2．已知函数 f(x)＝3sin ωxcos ωx－4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为
π，且 f(θ)＝12，则 f θ＋π2＝
A．－52
B．－92
C．－121
解析： f(x)＝32sin 2ωx－2cos 2ωx－2，
() D．－123
因为函数 f(x)的最小正周期为 π，所以 ω＝1，
因为 sin C≠0，所以 cos A＝－12，则 A＝23π，
所以
f(x) ＝ 2sin

《2019年高考数学名师揭秘》之一轮总复习（文科）专题20三角函数的图象本专题特别注意：1.图象的平移（把系数提到括号的前边后左加右减）2. 图象平移要注意未知数的系数为负的情况3. 图象的横坐标伸缩变换要注意是加倍还是变为几分之几4.五点作图法的步骤5.利用图象求周期6.已知图象求解析式【学习目标】1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象.2.会用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，理解A，ω，φ的物理意义.3.掌握函数y＝A sin(ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系.4.会由函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式.【方法总结】1.五点法作图时要注意五点的选取，一般令ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，算出相应的x值，再列表、描点、作图.2.函数图象变换主要分平移与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少与方向，并要注意变换的顺序.3.给出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，求它的解析式，由最高点或最低点求A值；常由寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，求φ值，由周期求ω值.高考模拟：一、单选题1．函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 2．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 详解：根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 3．若在是减函数，则的最大值是A. B. C. D.【答案】A点睛：函数的性质：(1). (2)周期 (3)由求对称轴，(4)由求增区间;由求减区间.4．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+π)的一个零点为x=D. f(x)在(,π)单调递减【答案】D【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数图像的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图像关于直线对称，选项B正确；，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式.（2）求的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.5．把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到函数的图象，已知函数，则当函数有4个零点时的取值集合为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析: 通过三角函数的平移变化规律求解f（x），对g（x）分段函数讨论零点情况，即可求解函数g（x）有4个零点时a的取值集合．详解: 函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得即f（x）=．当时，可得2x﹣∈[﹣2π，2a-，若f（x）=sin（2x﹣）有4个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a，]上没有零点，则，即a取值范围是[，）．若f（x）=sin（2x﹣）有3个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a，]上有1个零点，则，即a取值范围是[，1）．若f（x）=sin（2x﹣）有2个零点，则f（x）=3x2﹣2x﹣1在（a，]上有2个零点，则，即a取值范围是[﹣，）．综上可得a取值范围是[﹣，）∪[，1）∪[，）．故答案为：B点睛: (1) 本题主要考查了正弦型三角函数的图象零点和二次函数的零点，意在考查学生第这些知识的掌握水平和分类讨论数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是想到分类讨论，分成三种情况讨论，再数形结合分析推理.6．函数的部分图象如图所示，若，且，则（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】分析：由图像可得，由周期公式可得，代入点可得的值，可得，再由题意可得，代入式子计算可得结果.详解：根据题意，函数中，，周期，所以，又函数图像过点，即，又，所以，所以，所以，即图中最高点的坐标为，又且，所以，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关利用函数图像，求解函数解析式，求有关函数值的问题，属于简单题目，注意从图中读出相应的信息.7．命题若向量，则与的夹角为钝角；命题若，则.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，即可判断出真假；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．可得sin（α+β）=0．即可判断出真假．详解：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，因此为假命题；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N*．则sin（α+β）=0．为真命题．下列命题为真命题的是p∨q，其余为假命题．故答案为：D点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2) 若向量，则非零向量与非零向量的夹角为钝角或平角，因为当两个向量的夹角为平角时，，不能说非零向量与非零向量的夹角为钝角.8．已知点,是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由,是函数的图象上的两个点，可求得与，根据函数图象变换规律可得，根据正弦函数的性质可得结果.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.9．函数(,,)在上的部分图像如图所示,,则的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意首先求得函数的解析式，然后求解函数值即可求得最终结果．详解: 由函数的图象可得A=5，周期，∴．再由五点法作图可得，∴，故函数．故．故选：D．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.10．已知关于的方程在区间上有两个实数根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C详解：原方程可以化为，所以在上有两个实数根，也就是，与直线有两个不同的交点，且两个交点的横坐标的差的绝对值不小于．又，的图像如下：图像与轴两个交点的横坐标的差的绝对值为，故．故选C．点睛：一般地，对方程的解的个数或性质的讨论有两种方法：（1）可以看出函数的零点；（2）可以看成函数的图像与函数的图像的交点的横坐标．如果的单调性容易得到，则我们选择（1）；否则，我们选择（2）．11．已知函数（，）的部分如图所示，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：先根据图像确定A，T,,,再根据平移得函数的解析式详解：由图得,因为时，所以，因此，选D.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.12．关于的方程在内有且仅有5个根，设最大的根是，则与的大小关系是（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图，再观察交点个数，即可得必是与在内相切时切点的横坐标，从而可得结论．详解：由题意作出与在的图象，如图所示：∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，，则.∴，则.∴∴故选C.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13．已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.14．已知函数的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：化简为正弦型函数，写出的最小正周期，求出的值，得出，利用计算即可求解．点睛：本题主要考查了三角函数的求值问题，其中解答中涉及到三角函数的化简，以及正弦型函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力．15．如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：根据奇偶性求出对应a的值，若存在就是“Θ函数”．详解：若f（x）=sinx是“Θ函数”，则，若f（x）=cosx是“Θ函数”，则，若f（x）=sinx﹣cosx =是“Θ函数”，则，若f（x）= sin2（x+）是“Θ函数”，则，因此“Θ函数”的个数为2，选B.点睛：函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.16．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（）A. 关于点对称B. 关于点对称C. 关于直线对称D. 关于直线对称【答案】B【解析】分析：利用函数的图象与性质求出和，写出函数的解析式，再求的对称轴和对称中心，从而可得结果.详解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的周期为，，，将函数的图象向左平移个单位后，得到函数图象，图象关于轴对称，，即，又，，令，解得，，得的图象关于点对称，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.17．已知函数的图象过点，区间上为单调函数，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，则（ ）A.B.C. D.【答案】A【解析】分析：由函数的图象过点，可得，可求得的值，由的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，可得结合区间上为单调函数可得的值，从而可得结果. 详解：由函数的图象过点，，解得，又，，又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知，又，，所以，，故选A.点睛：本题考查了三角函数的图象与性质以及利用函数性质求解析式，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.18．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析： 分别计算出函数在内的减区间，求交集可得函数在区间内的公共减区间为，则的最大值为.详解：对于函数，令，解得,当时，令，则；对于函数，令，解得，当时，令，则.易得当函数与均在区间单调递减时，的最大值为，的最小值为，所以的最大值为，故选B.点睛：（1）本题解题的核心关键在于求解函数的公共减区间，分析当取最大值，取最小值时，取得最大值；（2）求三角函数单调区间的两种方法：①代换法，就是将比较复杂的三角函数汗自变量的代数式整体当作一个角（或），利用复合函数的单调性列不等式求解，②图像法，画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.19．将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质求出结果．详解：函数的图象向左平移个单位后，得到：y=sin（ωx+）的图象，便得到函数y=cosωx=sin（ωx+）的图象．所以：（k∈Z），解得：（k∈Z）．当k=0时，．故答案为：C点睛：本题主要考查了函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先根据图确定半个周期，得ω，再根据最大值求φ.详解：因为，所以因为，所以因为|φ|＜因此，选B.点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.二、填空题21．已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.22．设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．【答案】点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，(4)由求增区间; 由求减区间.23．函数在的零点个数为________．【答案】【解析】分析：求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数。