高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案巩固练习-函数及其表示方法-提高.doc

《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。

知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。

3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。

4．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数(a ＞0，a ≠1)。

【知识网络】【要点梳理】知识点一、指数及指数幂的运算 1.根式的概念a 的n 次方根的定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质：(1)当na =；当n,0,,0;a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩(2)na =3.分数指数幂的意义：)0,,,1m na a m n N n =>∈>；()10,,,1m nm naa m n N n a-=>∈>要点诠释：0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质：()0,0,,a b r s Q >>∈(1)rsr sa a a+= (2)()r srsa a = (3)()rr rab a b =知识点二、指数函数及其性质 1.指数函数概念 一般地，函数()0,1xy aa a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .2.指数函数函数性质：知识点三：对数与对数运算 1.对数的定义(1)若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>.2.几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =.3.常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N (其中 2.71828e =…). 4.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且知识点四：对数函数及其性质 1.对数函数定义一般地，函数()log 0,1a y x a a =>≠且叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域()0,+∞. 2.对数函数性质：知识点五：反函数 1.反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=.2.反函数的性质(1)原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称.(2)函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域.(3)若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上.(4)一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 知识点六：幂函数 1.幂函数概念形如()y x R αα=∈的函数，叫做幂函数，其中α为常数. 2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1).(3)单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y 轴.(4)奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数.当qpα=(其中,p q 互质，p 和q Z ∈)，若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方.【典型例题】类型一：指数、对数运算 例1.计算(1) 2221log log 12log 422-； (2)33lg 2lg 53lg 2lg 5++； (3)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++；(4)lg0.7lg20172⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好. 【答案】(1)12-；(2)1；(3)3；(4)14。

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域； （2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数． 与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线； （2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换； （3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象． 要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++． 当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-． 当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-． 要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义． 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点． （2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点． 【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--． （1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象； （2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识． 【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象， 于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）． （2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ）， 应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】 已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】 由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确． 【变式2】 定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】 当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--， 又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 0(2)(2)8, 0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩，30(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或30(2)80x x <⎧⎨--->⎩． 解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定 【答案】 B【解析】 依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1） 【答案】 B【解析】 要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（ ）A ．14 B ．12C ．22D ．32【答案】 C【解析】 函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+． 而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴22m M =．故选C 项． 举一反三：【变式1】函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是________．【答案】[0，1） 【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221x y x =+，得21y x y=-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）．例6．设函数()|24|1f x x =-+． （1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【解析】 （1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】 直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 【答案】 514a <<【解析】 如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定 【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = ． 【答案】2,8a b ==-【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是 ． 【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用 例8. 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】 （1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0）， 取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数． 当a ＞0时，同解法一．【总结升华】 函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】 【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1． （1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明． 【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增． 类型五：函数的实际应用例9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润? 【答案】11.5 1490【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本200元／天，水进价5元／桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题．解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销售量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题． 【解析】 设每桶水在原来的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为：480-40(x -1)＝520-40x ＞0，所以0＜x ＜13，则利润：213(52040)2004014902y x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭．(0＜x ＜13)故当x ＝6.5时，利润最大，即当水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．【总结升华】列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润＝收入－支出”这一实际意义建立变量之间的关系．运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值． 【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n=++=++ 24000c =++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案函数应用（Ⅱ）编稿：审稿：【学习目标】1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.【要点梳理】【高清课堂：函数模型的应用实例392115 知识要点】要点一：解答应用问题的基本思想和步骤1.解应用题的基本思想2.解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言)⇒数学问题(数量关系与函数模型)⇒建模(数学语言)⇒求模(求解数学问题)⇒反馈(还原成实际问题的解答).要点二：解答函数应用题应注意的问题首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它.其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率.【典型例题】类型一、已建立函数模型的应用题例1．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T . R . Malthus ，1766～1834)就提出了自然状态下的人口增长模型：0rty y e =，其中t 表示经过的时间，y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人55196563005748258796602666145662828645636599467207(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0．000 1)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符．(2)如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口可达到13亿? 【解析】 (1)设1951～1959年的人口增长率分别为1r ，2r ，…，9r ．由55196(1+r 1)＝56300，可得1951年的人口增长率r 1≈0.0200．同理可得r 2≈0.0210，r 3≈0.0229，r 4≈0.0250，r 5≈0.0197，r 6≈0.0223，r 7≈0.0276，r 8≈0.0222，r 9≈0.0184．于是，1951～1959年期间，我国人口的年平均增长率为 r ＝(r 1+r 2+…+r 9)÷9≈0.0221．令0y =55196，则我国在195l ～1959年期间的人口增长模型为0022155196ty =.，t ∈N ．根据表中的数据作出散点图，并作出函数y ＝55196 e 0.022 1t (t ∈N )的图象(如图所示)．由上图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．(2)将y ＝130000代入y ＝55196 e 0.022 1t ，由计算器可得t ≈38.76． 所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿．由此可以看出，如果不实行计划生育，而是让人口自然增长，今天我国会面临难以承受的人口压力． 【总结升华】明确解题的基本步骤：阅读理解，审清题意—→引进数学符号，建立数学模—→解答函数(或方程)问题—→回归应用情境，回答具体问题．举一反三：【变式1】 设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是y=ce kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa ，1000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强（结果保留3位有效数字）。

第一章 集合与函数概念1.2 函数及其表示知识一、函数的概念 1．函数的概念设A 、B 是______，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的_____x ，在集合B 中都有______的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．解读函数概念（1）“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．（2）理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．（3）函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个（任意性）元素x ，在非空数集B 中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y 与之对应．（4）函数符号“()y f x =”是数学中抽象符号之一，“()y f x =”仅为y 是x 的函数的数学表示，不表示y 等于f 与x 的乘积，()f x 也不一定是解析式，还可以是图表或图象．2．函数的构成要素由函数概念知，一个函数的构成要素为___________．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．辨析()f x 与()()f a a A ∈：()f a 表示当自变量x a =时函数() f x 的值，是一个常量，而() f x 是自变量x 的函数，它是一个变量，()f a 是() f x 的一个特殊值． 3．相等函数（同一函数）对于两个函数，只有当两个函数的_______都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一函数．名师提醒（1）判断两个函数是相同函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是相同函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是相同函数． （2）函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． （3）在化简解析式时，必须是等价变形．二、区间及其表示 1．区间的概念设a ，b 是两个实数，而且a <b ．我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为___________； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为___________；（3）满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为__________． 其中实数a ，b 都叫做相应区间的端点．我们可以在数轴上表示上述区间，为了区别开区间、闭区间的端点，我们用_____表示包括在区间内的端点，用_____表示不包括在区间内的端点．注意：区间符号里面的两个字母（或数字）之间用“，”隔开． 2．无穷大的概念实数集R 可以用区间表示为___________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．把满足,,,x a x ax b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞．三、函数的三种表示方法 1．解析法用___________表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．2．图象法用___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法．3．列表法通过列出___________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．对三种表示法的说明解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域．图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点．列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性．四、分段函数1．分段函数的概念在函数定义域内，对于自变量x的不同___________，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．知识提升（1）分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体才是该分段函数的解析式．分段函数是一个函数，而不是几个函数．（2）分段函数的定义域：一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式．（3）分段函数的值域：求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集．2．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图象，作图时要注意每段曲线端点的___________，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上的点．名师提醒作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． 五、映射一般地，设A ，B 是两个___________，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的___________元素x ，在集合B 中都有___________的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射．对映射的理解（1）映射包括非空集合A ，B 以及对应关系f ，其中集合A ，B 可以是数集，可以是点集，也可以是其他任何形式的集合． 当A ，B 为数集时，此时的映射就是函数，即函数是一种特殊的映射． （2）集合A ，B 是有先后次序的，即A 到B 的映射与B 到A 的映射是不同的．（3）集合A 中每一个元素在集合B 中必有唯一的元素和它对应（有，且唯一），但允许B 中元素没有A 中元素与之对应．（4）A 中元素与B 中元素对应，可以是“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”．知识提升对于映射:f A B →，我们通常把集合A 中的元素叫原象，而把集合B 中与A 中元素相对应的元素叫象，集合A 叫原象集，象集为C ，则C B ⊆．象是对原象而言的，原象也是对象而言的，原象和象不可以互换．设A ，B 是两个集合，:f A B →是从集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中不同的元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B 上的一一映射．知识参考答案：一、1．非空的数集 任意一个数 唯一确定2．定义域、对应关系和值域 3．定义域和对应关系二、1．（1）[,]a b （2）(,)a b （3）[,)a b ，(,]a b 实心点 空心点 2．(,)-∞+∞ 三、1．数学表达式 2．图象 3．表格 四、1．取值区间 2．虚实 五、非空的集合 任意一个 唯一确定重点1．函数概念判断所给对应是否是函数，首先观察两个数集A ，B 是否非空；其次验证对应关系下，集合A 中数x 的任意性和集合B 中数y 的唯一性（即不能没有数y 对应数x ，也不能有多于一个的数y 对应数x ）． 【例1】给出下列两个集合,A B A B →及的对应f ：①{}{}1,0,1,1,0,1:A B f A=-=-,中的数的平方； ②{}{}0,1,1,0,1:A B f A==-,中的数的开方； ③,:A B f A ==Z Q ,中的数的倒数；④{},:A B f A==R 正实数,中的数取绝对值； ⑤{}{}1234,246810:2,,A B f n m n A m B ===∈∈，，，，，，，,其中． 其中是A 到B 的函数有__________个． 【答案】2【解析】①②正确，满足函数的定义； ③0∈Z ，但是0没有倒数，所以不正确；④00=，但0不是正实数，所以不正确； ⑤当1=n 时，B m ∉=21，当2=n 时，B m ∉=1，当3=n 时，B m ∉=23，故不正确． 所以其中是A 到B 的函数有2个．【名师点睛】本题所给集合,A B 都是数集，关键是看根据给出的对应关系，自变量在其取值集合中的每一个值是否都有唯一的值与之对应． 2．函数相等讨论两个函数是否为同一函数时，要树立“定义域优先”的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，看对应关系是否相同．注意：定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数．【例2】下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是A ．()1f x x =-与()g x =B ．()f x x =与2()x g x x=C ．()f x x =与()g x =D ．24()2x f x x -=-与()2g x x =+【答案】C【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判定它们是同一函数．对于A ，()1f x x =-与()1g x x ==-，两个函数的解析式不同，不是同一函数；对于B ，()()f x x x =∈R 与2()(0)x g x x x x==≠，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于C ，()()f x x x =∈R 与()()g x x x ∈R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D ，24()2(2)2x f x x x x -==+≠-与()2()g x x x =+∈R ，两个函数的定义域不同，故不是同一函数． 故选C ．【名师点睛】因为函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量和对应关系是无关紧要的． 3．函数的定义域（1）当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负；③0y x =要求0x ≠；④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；⑤已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域，其实质是由()g x 的取值范围，求出x 的取值范围； ⑥已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()g x 的取值范围； ⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．注意：定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【例3】函数1()3f x x =-的定义域是 A ．[2,3)B ．(3,)+∞C ．[2,3)(3,)+∞D ．(2,3)(3,)+∞【答案】C【名师点睛】对于(),y f x x A =∈，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域．当函数以解析式的形式给出时，函数的定义域是使这个解析式有意义的自变量x 的取值范围．求函数的定义域：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数式有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0y x =要求x ≠0等．（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域，其实质是由()g x 的取值范围，求出x 的取值范围． （4）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()g x 的取值范围． 注意：①求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式求解，否则可能会改变原函数的定义域．②定义域必须用集合或区间（后面内容中学习）表示；③由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解． 4．求函数值或函数的值域（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x ，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求． 求函数值应遵循的原则：①已知()f x 的表达式求()f a 时，只需用a 替换表达式中的x ． ②求()f f a ⎡⎤⎣⎦的值应遵循由里往外的原则．③用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值．（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数223y x x =-+的值域与函数223,{|0y x x x x =-+∈≤3}x <的值域是不同的；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．【例4】函数yA ．{|1}x x ≥-B ．{|0}x x ≥C ．{|0}x x ≤D ．{|1}x x ≤-【答案】B【解析】由x +1≥0，∴函数y {|0}x x ≥．故选B ．【例5】函数243,[1,1]y x x x =-+∈-的值域为A ．[1,0]-B ．[0,8]C ．[1,8]-D ．[3,8]【答案】B【名师点睛】（1）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值．求函数值时，注意将对应x 的值或代数式整体代入解析式求解，否则会导致错误．（2）抽象函数的求值，往往通过赋值法解决，赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量．它是解决抽象函数问题的常用策略．（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值（或解析式中的参数值），只需将函数值代入解析式，建立关于自变量（或参数）的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制． （4）求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数223y x x =-+的值域与函数223,{|0y x x x x =-+∈≤3}x <的值域是不同的；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；④换元法：对于一些无理函数（如()f x ax b =±±利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域． 5．函数解析式的求法（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数． （2）已知f （g （x ））=h （x ），求f （x ），常用的有两种方法：①换元法，即令t =g （x ），解出x ，代入h （x ）中，得到一个含t 的解析式，即为所求解析式； ②配凑法，即从f （g （x ））的解析式中配凑出“g （x ）”，即用g （x ）来表示h （x ），然后将解析式中的g （x ）用x 代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g （x ）的取值范围的限定．（3）已知f （x ）与f （g （x ））满足的关系式，要求f （x ）时，可用g （x ）代替两边所有的x ，得到关于f （x ）与f （g （x ））的方程组，消去f （g （x ））解出f （x ）即可．常见的有f （x ）与f （−x ），f （x ）与1()f x．（4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．【例6】已知1)f x =+，求()f x ．【答案】2()1(1)f x x x =-≥．【解析】方法一：21)111)1f x x =+=+-=-11≥，所以2()1(1)f x x x =-≥．方法二：令1t =，则2(1),1x t t =-≥，所以22()(1)2(1)1(1)f t t t t t =-+-=-≥，所以2()1(1)f x x x =-≥．【名师点睛】在方法二中，用t 替换后，要注意t 的取值范围为1t ≥，忽略了这一点，在求()f x 时就会出错． 6．函数图象（1）要判断一个图象是否为某个函数的图象，其方法是：任作垂直于x 轴的直线，若此直线与该图象最多有一个交点，则该图象为在此定义域内的函数图象，否则不是．（2）识别函数图象的关键是明确函数的定义域对函数图象的限制，再利用特殊点确定函数的图象．若函数是分段函数，需注意分段函数的图象由几部分构成．（3）函数图象主要应用于研究函数的性质，如最值、值域等；也常用于研究方程的解、不等式的解集以及图象的交点个数等问题，应用时注意将所给的问题转化为函数问题，再通过画函数的图象，借助于图象的直观性来处理． 【例7】函数()xf x x x=+的图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】对x 进行讨论，将函数()xf x x x=+转化为所熟知的基本初等函数即可作图． 当x ＞0时，()1f x x =+，故图象为直线1y x =+上0x >的部分； 当x ＜0时，()1f x x =-，故图象为直线1y x =-上0x <的部分； 当x =0时，()f x 无意义．综上，1,0()1,0x x f x x x +>⎧=⎨-<⎩的图象为直线1y x =+上0x >的部分，1y x =-上0x <的部分，即两条射线．故选C ．【名师点睛】作分段函数图象的关键是根据定义域的不同部分，分别由解析式作出对应的图象．作图时一定要注意每段自变量的取值范围，且要标出关键点的横、纵坐标． 7．分段函数（1）求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值．（2）在分段函数的前提下，求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的值在分段函数定义域的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．【例8】已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f -+=_________．【答案】4 【解析】34323134=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ，3834234=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛f ，所以438343434=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ． 【名师点睛】解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．本题中403-<，且0x ≤对应的解析式是()(1)f x f x =+，所以要通过这个式子把自变量的值转化到0x >，从而利用0x >对应的解析式求解． 8．映射判断一个对应是不是映射，关键有两点：（1）对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应； （2）B 中的对应元素是不是唯一的． 对于一一映射f ：A →B ，应满足：（1）A 中每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应； （2）A 中的不同元素对应B 中的元素也不同； （3）B 中每一个元素在A 中都有唯一的元素与之对应． 【例9】给出下列两个集合间的对应：（1）A ＝{你班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重； （2）{}{}1,2,3,42,4,6,8M N ==，，f ：n ＝2m ； （3）X ＝R ，Y ＝{非负实数}，f ：y ＝x 4．其中是映射的有________个，是函数的有________个． 【答案】3，2【解析】由映射及函数的概念知：（1）是映射，但不是函数； （2）是映射，也是函数；（3）是映射，也是函数．【名师点睛】映射与函数的区别与联系：（1）映射是函数概念的推广，而函数是一种特殊的映射．（2）函数是非空数集A到非空数集B的映射，而映射不一定是函数，因为A，B不一定是数集．9．求函数的解析式时忽略函数的定义域【例10】已知等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，求y关于x的函数解析式．【错解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x．【错因分析】错解中的函数解析式不完整，缺少自变量x的取值范围．【正解】根据等腰三角形的周长列出函数解析式，∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x．∵20－2x>0，∴x<10．由构成三角形的条件（两边之和大于第三边）可知2x>20－2x，得x>5，所以函数的定义域为{x|5<x<10}．所以y关于x的函数解析式为y＝20－2x（5<x<10）．【名师点睛】函数的解析式包括定义域和对应关系，在确定函数的解析式时必须注意确定函数的定义域，否则所求函数的解析式可能是错误的．基础训练1．函数f（x）1x的定义域是A．{x|x>0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R2．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是A．B．C．D．3．下面哪个点不在函数y=–2x+3的图象上A．（–5，13）B．（0.5，2）C．（3，0）D．（1，1）4．函数()1xf x x =-的定义域是 A ．（–1，+∞） B ．（–1，1）∪（1，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）∪（1，+∞）5．已知函数f （x ）x ∈{1，2，3}．则函数f （x ）的值域是A．{1B ．（–∞，0]C ．[1，+∞）D ．R6．函数y =x 2+1的值域是A ．[1，+∞）B ．（0，1]C ．（–∞，1]D ．（0，+∞）7．已知A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =ax +b 是从A 到B 的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是 A ．3B ．4C ．5D ．68．已知映射f ：A →B ，其中A ={a ，b }，B ={1，2}，已知a 的象为1，则b 的象为A ．1，2中的一个B ．1，2C ．2D ．无法确定9．已知函数y =()()21020x x x x ⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，若f （a ）=10，则a 的值是A ．3或–3B ．–3或5C ．–3D ．3或–3或5能力提升10．已知函数f （x ）R ，则实数m 取值范围为A ．{m |–1≤m ≤0}B ．{m |–1<m <0}C ．{m |m ≤0}D ．{m |m <–1或m >0}11．若集合A ={x |x （x –1）<0}，B ={y |y =x 2}，则A ．A =BB ．A ⊆BC ．A ∪B =RD ．B ⊆A12．若集合(){|10}{|A x x x B y y =+≥==，，则A ．A =BB ．A ⊆BC ．A ∪B =RD ．B ⊆A13．设x ∈R ，定义符号函数sgnx =100010x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩，，，，则函数f （x ）=|x |sgnx 的图象大致是A ．B ．C ．D ．14．已知f （x ）=1010x x ≥⎧⎨-<⎩，，则不等式x +（x +2）•f （x +2）≤5的解集是A ．[–2，1]B ．（–∞，–2]C ．322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，15．函数2211x y x -=+的值域是A ．{y |–1≤y ≤1}B ．{y |–1≤y <1}C ．{y |–1<y ≤1}D ．{y |0<y ≤1}16．设函数f （x ）=()()22222x x x x ⎧+≤⎪⎨>⎪⎩，若f （x 0）=8，则x 0=__________． 17．已知函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩（1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若f （a ）=12，求a 的取值集合．真题练习18．（2018•新课标Ⅲ）函数y =–x 4+x 2+2的图象大致为A ．B ．C ．D ．19．（2018•湖北模拟）设，定义符号函数则 A ． B ． C ．D ．20．（2019•江苏模拟）函数y__________． 21．（2019•浙江模拟）设函数()3231f x x x =++．已知a ≠0，且()()()()2–––f x f a x b x a x =∈R ，，则实数a =__________，b =__________．参考答案1．【答案】A【解析】由题意得：0x x ≥⎧⎨≠⎩，故x >0，故函数的定义域是（0，+∞），故选A ．x ∈R 1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩|||sgn |x x x =||sgn ||x x x =||||sgn x x x =||sgn x x x =2．【答案】B【解析】B 中，当x >0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选B ．4．【答案】D【解析】要使函数f （x ）有意义，需满足1010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥–1且x ≠1．∴函数()1xf x x =-的定义域是[–1，1）∪（1，+∞）．故选D ． 5．【答案】A【解析】f （x ）x ∈{1，2，3}．当x =1时，f （1）=1；当x =2时，f （2）；当x =3时，f （3）f （x ）的值域是{1．故选A ． 6．【答案】A【解析】∵y =x 2+1≥1，∴函数y =x 2+1的值域是[1，+∞），故选A ． 7．【答案】A【解析】A =B =R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y =ax +b 是从A 到B 的映射，又1和8的原象分别是3和10， ∴31108a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，即f ：x →y =x –2，5在f 下的象可得f （5）=1×5–2=3，故选A ．8．【答案】A【解析】映射f ：A →B ，其中A ={a ，b }，B ={1，2}，已知a 的象为1，可得b =1或2，故选A ． 9．【答案】B【解析】若a ≤0，则f （a ）=a 2+1=10，解得a =–3（a =3舍去）；若a >0，则f （a ）=2a =10，解得a =5．综上可得，a =5或a =–3，故选B ．11．【答案】B【解析】集合A={x|x（x–1）<0}={x|0<x<1}，B={y|y=x2}={y|y≥0}．可知：A⊆B．故选B．12．【答案】D【解析】集合(){|10}{|A x x xB y y=+≥=，，可得A={x|x≥0或x≤–1}，B={y|y≥0}．可知B⊆A．故选D．13．【答案】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx=00x xxx x>⎧⎪=⎨⎪<⎩，，，=x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故选C．14．【答案】D【解析】①当x+2≥0时，即x≥–2，f（x+2）=1，由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5，∴x≤32即–2≤x≤32，当x+2<0即x<–2时，f（x+2）=–1，由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x–（x+2）≤5，即–2≤5，∴x<–2，综上，不等式的解集为{x|x≤32}，故选D．15．【答案】C【解析】由2211xyx-=+整理得y+yx2=1–x2，∴（y+1）x2+y–1=0．当y+1≠0时，Δ=–4（y+1）（y–1）≥0，解得–1<y≤1．当y+1=0时，–1=1不成立，∴y≠–1．故选C．17．【答案】（1）图象详见解析；（2）{32-，2-，2}．【解析】（1）函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩的图象如下图所示：（2）当a ≤–1时，f （a ）=a +2=12，可得：a =32-； 当–1<a <2时，f （a ）=a 2=12，可得：a=2±；当a ≥2时，f （a ）=2a =12，可得：a =14（舍去）； 综上所述，a 的取值构成集合为{32-，2-，2}．18．【答案】D【解析】函数过定点（0，2），排除A ，B ．函数的导数f ′（x ）=–4x 3+2x =–2x （2x 2–1），由f ′（x ）>0得2x （2x 2–1）<0，得x <–2或0<x<2，此时函数单调递增，由f ′（x ）<0得2x （2x 2–1）>0，得x>x <0，此时函数单调递减，排除C ，故选D ． 19．【答案】D【解析】对于选项A ，右边，而左边，显然不正确；对于选项B ，右边，而左边，显然不正确；,0|sgn |0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,0sgn 0,0x x x x x ≠⎧==⎨=⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩对于选项C ，右边，而左边，显然不正确；对于选项D ，右边，而左边，显然正确.故应选D ．20．【答案】[–3，1]【解析】由3–2x –x 2≥0得：x 2+2x –3≤0，解得：x ∈[–3，1]，故答案为：[–3，1]． 21．【答案】－2，1【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪<⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩,0sgn 0,0,0x x x x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩,0||,0x x x x x ≥⎧==⎨-<⎩。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固【巩固练习】1.已知函数()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有（ ）。

A. ()()()()f a f b f a f b +>-+-B. ()()()()f a f b f a f b +>---C. ()()()()f a f a f b f b +->+-D. ()()()()f a f a f b f b +->--2.若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（ ）。

A.1a < B. 1a > C. 1a ≤ D. 1a ≥3．函数2()23f x x ax =--在区间[]1,2上是单调函数的条件是（ ）。

A.(],1a ∈-∞B.[)2,a ∈+∞C.[]1,2a ∈D. (][),12,a ∈-∞+∞4.函数y = ）A.(][),01,-∞+∞ B .[]0,1 Ｃ. (]0,1 Ｄ. ()[),01,-∞+∞5.函数|35|y x =-的单调递减区间是（ ） A.()0,+∞ B. (),0-∞ C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A. ()()f x f x ⋅-是奇函数 B. ()|()|f x f x ⋅-是奇函数 C. ()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数7. 已知函数1, 0()1, 0x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（ ）A．{|11}x x -≤≤ B ．{x|x ≤1}C．{|1}x x ≤D．{|11}x x ≤≤8.实数,x y 满足224x y +=，则283x y ++的最大值是（ ） A ．23 B ．21 C ．19 D ． 17．9.设[]2,3x ∈-，则函数2241y x x =--的值域是 .10. 设()f x 是定义在R 上的函数且(2)()f x f x +=,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为 .11．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.12.关于函数22()21,f x x ax a x R =-++∈，有下列四个结论： ①当0a >时，函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增； ②当0a >时，函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减； ③对于任意x R ∈，必有()1f x ≥成立；④对于任意x R ∈，必有()(2)f x f a x =-成立． 其中正确的论断序号是 ．（将全部正确结论的序号都填上）13. 已知函数f(x)=-x 2+2ax-a 2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 取值范围；(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14. 已知实数1[,1]3a ∈，将函数f(x)=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a 的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)在区间1[,1]3上的单调性，并求出g(a)的最小值．15．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >．（1）求(1)f ； （2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f ．【答案与解析】1. 【答案】A【解析】因为a b >-、b a >-，所以()()f a f b >-、()()f b f a >-，即()()()()f a f b f a f b +>-+-。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案函数的奇偶性编稿： 审稿：【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ；(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数．（2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】 【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三： 【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数 【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．【答案】1[1,)2-． 【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<．故m 的取值范围是1[1,)2-．【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案巩固练习一、选择题1．下列条件所指对象能构成集合的是 ( )A ．与0非常接近的数B ．我班喜欢跳舞的同学C ．我校学生中的团员D ．我班的高个子学生2．下列四个集合中，是空集的是( )A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ．}0|{2≤x xD ．},01|{2R x x x x ∈=+-3．集合{}|(31)(4)0x Z x x ∈--=可化简为（ ）A ．13⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．{}4C ．1,43⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,43⎧⎫--⎨⎬⎩⎭4．下面有四个命题：(1)集合N 中最小的数是1； (2)若a -不属于N ，则a 属于N ；(3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； (4)x x 212=+的解可表示为{}1,1；其中正确命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．若以集合{},,S a b c =中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6． 设0a <，则不等式10ax -<的解集为（ ）A ．1|x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．1|x x a ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ C ．1|x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D ．1|x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭二、填空题7．用符号“∈”或“∉”填空(1)-3______N ，______N ，N ； (2)1______,_______,______2R R R e C Q π-(e 是个无理数).8. 方程组2,0x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为 .9．自然数中6个最小的完全平方数组成的集合为 .10．由||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合是 .11．用描述法表示的集合{}2|21,y y x x x R =-++∈可化简为 .三、解答题12．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=N x N x A 68|，试用列举法表示集合A . 13．分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）大于4-且小于6的整数所组成的集合；（2）方程32560x x x --=的实数根所组成的集合.14．已知集合A ={x R ∈|2210ax x ++=，a R ∈}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围.答案与解析：一、选择题1.C 元素的确定性.2.D 选项A 所代表的集合是{}0并非空集，选项B 所代表的集合是{}(0,0)并非空集，选项C 所代表的集合是{}0并非空集，选项D 中的方程210x x -+=无实数根.3. B 解方程得121,43x x ==，因为x Z ∈，故选B. 4.A (1)最小的数应该是0；(2)反例：0.5N -∉，但0.5N ∉； (3)当0,1,1a b a b ==+=；(4)元素的互异性.5.D 元素的互异性a b c ≠≠.6. A 不等式两边同除以一个负数，不等号的方向改变.二、填空题7.(1),,;(2),,∉∉∈∈∈∈.8.(){}1，1 加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.9.{}01491625，，，，， 最小的6个自然数是0，1,2,3,4,5，容易把自然数“0”漏掉.10.{}202-，， 分别对,a b 进行讨论，去掉绝对值，得到集合中的三个元素：-2,0,2.11. {}|2y y ≤ 2(1)2y x =--+，2(1)0x --≤，2y ∴≤.三、解答题12.解：由题意可知6x -是8的正约数，当61,5x x -==；当62,4x x -==；当64,2x x -==；当68,2x x -==-；而0x ≥，∴2,4,5x =，即 {}5,4,2=A .13.解：（1）{}2,1,0,1,2,3,4,5-- {}|46x Z x ∈-<<（2）{}1,0,6- {}32|560x R x x x ∈--=.14. 解：（1）0a =时，原方程为210x +=，得1,2x =-符合题意；（2）0a ≠时，方程2210ax x ++=为一元二次方程，依题意440a ∆=-≤，解得1a ≥. 综上，实数a 的取值范围是1a ≥或0a =.。

3.1.1函数及其表示方法第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法课时1 函数的概念考点1函数的概念1.下列说法正确的是()。

A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应法则也就确定了答案：C解析：由函数的定义可知,函数的定义域和值域为非空的数集。

2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图像是()。

图3-1-1-1-1答案：C解析：根据函数定义,知对自变量x的任意一个值,都有唯一确定的实数(函数值)与之对应。

显然选项A,B,D 满足函数的定义,而选项C不满足。

故选C。

3.(2018·河北衡水中学高一月考)下列四组函数中,表示同一函数的是()。

3 B.y=1与y=x0A.y=√x2与y=√x3C.y=2x+1与y=2t+1D.y=x与y=(√x)2答案：C3=x,它们的对应关系不同,不是同一函数;对于B,y=1(x∈R),y=x0=1(x≠0),它们的解析：对于A,y=√x2=|x|,y=√x3定义域不同,不是同一函数;对于C,y=2x+1与y=2t+1,它们的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),y=(√x)2=x(x≥0),它们的定义域不同,不是同一函数。

【易错点拨】考查同一函数的问题,注意把握同一函数的定义,必须保证是三要素完全相同,才是同一函数。

4.(2019·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()。

A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2答案：A5.给出下列两个集合间的对应关系:①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的平方;②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方;③A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数;④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值;⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中的数的2倍。