下载文档原格式
高中数学选修2・1知识点总结第一章常用逻辑用语1、 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.2、 “若p ,则g”： 〃称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、 若原命题为“若p,则q”，则它的逆命题为“若Q,则・4、 若原命题为“若p,则Q”，则它的否命题为“若"，则「彳” •5、 若原命题为“若”，则q”，贝U 它的逆否命题为“若制，则.6、 四种命题的真假性：原命题 逆命题否命题 逆否命题 真 真 真真 真 假 假 真 假 真 真 真 假假假假四种命题的真假性之间的关系：(1) 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2) 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.原命题 ------- 互逆 •逆命题 碧农则g 、 :|・ 否命题 若「卩则-1?7、〃是彳的充要条件：p°q〃是彳的充分不必要条件：p=q, "是彳的必要不充分条件：p^>q 、qd p命题及 其关系-BTIf四种命题否否杏命题H_4逆否命题若p ■则g若g,则p』原命题卜~——4逆命题常用逻辑用- 1条件_ - 充分不必耍条件 T 必要不充分条件 彳 充分必耍条件-既不充分也不必耍条件就 一:逆否命题 若则F"是Q的既不充分不必要条件：p±>q、q4 P8、逻辑联结词：（1）用联结词“且”把命题〃和命题q联结起來，得到一个新命题，记作全真则真，有假则假。
（2）川联结词“或”把命题p和命题q联结起來，得到一个新命题，记作pvq.全假则假，有真则真。
（2）对一个命题#全盘否定，得到一个新命题，记作真假性相反9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“V”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M中任意一个兀，有p（兀）成立”，记作“VxwM, 〃（兀）”.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M中的一个兀,使p（兀）成立”，记作“3XG M,〃（兀）”・10^全称命题〃：V XG M , p（x）,它的否定, -ip（x）.全称命题的否定是特称命题.例：“a=l”是“0兀〉0,2兀+纟>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件pH相交卜彳関谯曲线的戎—T IM 切］脚离|1、椭鬪定义：平面内与两个定点F2的距离Z和等于常数（大于F（F2）的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭闘的焦点，两焦点的距离称为椭閲的焦距.2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上图形y1第二章锥曲线与方程曲线与方程闘饰1111线与方~I定义—ifffiiM-―「标准方程r_I儿何性质｝I定义一I双曲线一―I你來方程｝—|标准方程｝—|儿何性质｝圈形TC线与脚俳曲线的位时关系3、平面内与两个定点件，F2的距离Z差的绝对值等于常数（小于F, F2）的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.4、双曲线的几何性质：5实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.6平面内与一个定点F和一条定宜线2的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点, 定直线/称为抛物线的准线.7过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”，即|AB| = 2/?.8焦半径公式：若点P（x0,y0）在抛物线y2 =2px（p>0）±,焦点为F,则|PF| = x0 :若点P（x0,y0）在抛物线），=-2〃兀（〃>0）上，焦点为F,贝ij|PF| = -x0 +y : 若点P（x0,y0）在抛物线宀2py（p〉0）上,焦点为F,则|PF|=%+牛2若点P（So ）在抛物线宀-2py（p>0）上,焦点为F,贝IJ |PF| = —%+£.29、抛物线的几何性质:解题注意点：1、“回归定义”是一种重要的解题策略。
命题
．命题的概念
()命题的定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假
的陈述句，叫做命题．
()命题的分类：判断为真的语句称为真命题；判断为假
的语句称为假命题．
．命题的结构
命题的结构形式是“若，则”，其中是条件，是结论．
四种命题及其相互关系
．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和
条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
若原命题是“若，则”，则其逆命题为“若，则”．
．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和
结论的否定．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的否命题．若原命题为“若，则”，则其否命题为“若，则”．
．对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的逆否命题．
若原命题为“若，则”，则其逆否命题为“若，则”．
．四种命题的关系如图
．互为逆否的命题是等价命题，它们有相同的真假性；
互逆的两个命题或互否的两个命题的真假性之间没有关系．因此，原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为个或个或个。
章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．【例1】判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．【例2】若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？【例3】设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．【例4】判断下列命题的真假．(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.【例5】 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四 全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可． 全称命题的否定是特称命题，应含存在量词． 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 【例6】 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)3＝2； (2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0； (4)有些质数是奇数．【例7】 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题． (2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3， ∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3.故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a ·b ＝0为真命题． 逆命题：若a ，b 为非零向量，a ·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题． 否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a ·b ≠0也为真．例2解若a＝－1，b＝12，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p q.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1、x2，且0<x1≤x2<1，则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.于是0<－a<2,0<b<1，即－2<a<0,0<b<1，故q⇒p.所以，p是q的必要不充分条件．例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0} ＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4.故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0.例4解(1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命题为真；(2)∵当x＝5时，(x－3)(x－6)≠0，∴命题为假．例5解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2.q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12，∴t <1＋a ·t 2－12，∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6解(1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。
