下载文档原格式
章末优化总结, )三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径(1)利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的值域求解． (2)将所求三角函数式变形为关于sin x (或cos x )的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．求y ＝sin x －2cos x －2的值域．[解] 将已知函数式看成单位圆上的点A (cos x ，sin x )与点B (2，2)连线的斜率，如图所示，观察得到k AB ≤y ≤k CB . 设过点B 的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)． 即kx －y －2k ＋2＝0.于是|2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－73，4＋73.已知|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．[解] y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1.令t ＝sin x ，因为|x |≤π4，所以－22≤sin x ≤22. 则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－22≤t ≤22，当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－122＋54＝1－22.三角函数的性质1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 及y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．2．研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝k π(k ∈Z )时，函数为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数为偶函数；当φ≠k π2(k ∈Z )时，函数为非奇非偶函数．3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x 前的系数ω变成正值)，应把ωx ＋φ视为一个整体，由A 的符号来确定单调性．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像为C . (1)图像C 关于直线x ＝11π12对称；(2)函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增加的； (3)由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C .以上三个论断中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，所以直线x ＝11π12为图像C 的对称轴，故(1)正确；(2)由－π12＜x ＜5π12，得－π2＜2x －π3＜π2，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增加的，故(2)正确； (3)f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，而由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图像，得不到图像C ，故(3)错误．[答案] C三角函数的图像及图像变换三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求如下：(1)用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 应明确A ，ω，φ与单调性的关系，针对x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图像求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x 轴向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，写出函数y ＝g (x )的解析式；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又因为f (x )min ＝－2，所以A ＝2.因为f (x )的最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. 因为0＜φ＜π2，所以4π3＜4π3＋φ＜11π6，所以4π3＋φ＝3π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12³2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ――→沿x 轴向右平移π6个单位长度 y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝2sin x ，所以y ＝g (x )＝2sin x .(3)因为0≤x ≤π12，所以π6≤2x ＋π6≤π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π6＝1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π3＝ 3.1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选A.因为sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0， 又因为cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0， 所以角θ所在象限为第一象限．2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2sin x 的图像大致为( )解析：选A.函数的定义域为{x |x ≠0}，所以排除B ，C.因为f (－x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x2sin(－x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－1xsin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图像关于原点对称，故排除D.3．化简：1－sin 2440°＝________．解析：原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 280°＝cos 280°＝cos 80°. 答案：cos 80°4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________．解析：由0≤ωx ≤π2，得0≤x ≤π2ω，所以y ＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2ω上是递增的． 又ω∈(0，1)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2ω，故f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是递增的，即2sin ωπ3＝2，所以ω＝34.答案：345．已知函数y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图像过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－32. (1)求φ的值，并求函数y ＝f (x )图像的对称中心的坐标；(2)当0≤x ≤π2时，求函数y ＝f (x )的值域．解：(1)因为函数图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32， 所以sin φ＝－32，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝k π(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以函数f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )．(2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1， 所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1., [学生用书单独成册])(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简sin 600°的值是( )A ．0.5B ．－32C.32D ．－0.5解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cosa ＋b2的值为( )A ．0B ．22C ．1D ．－1解析：选C.由题知[a ，b ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{1}B ．{1，3}C ．{－1}D ．{－1，3}解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋cos xcos x＋tan x tan x＝3； 当x 为第二象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋tan x－tan x＝－1；当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan x tan x＝－1； 当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝( ) A.56π B ．16π C.π2 D ．π3解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．因为其图象与y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合， 所以φ－π＝π3－π2＋2k π，所以φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又因为－π≤φ<π，所以φ＝5π6.5．要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像( ) A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.因为函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π2＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12， 所以将函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度， 即可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6的图像．故应选C. 6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，f 3(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－1，则( )A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )A ．f (cos α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π2－β＞0，所以sin α＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)<f (cos β)成立，选D.8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π2个单位后所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重合，所以ωπ2＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不可能等于6，故选B.法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f (x )＝2sin(6x ＋φ)的图像向左平移π2个单位长度所得图像的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：选C.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又因为函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最小值，所以2³π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x －56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )A ．10小时B ．8小时C ．6小时D ．4小时解析：选B.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝1.5，－A ＋b ＝0.5，2πω＝12，解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π6，则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>12.又t ∈[0，24]，πt 6∈[0，4π]，因此0≤πt 6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt 6≤2π＋2π，即0≤t <2或10<t ≤12或12≤t <14或22<t ≤24，在一日内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同实数解，所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2与y ＝m 有两个不同交点． 令u ＝2x －π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，在同一直角坐标系中做出函数y ＝2sinu 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.答案：[1，2)12．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________． 解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝－1，得－5π6≤x ≤－π3，得函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π313．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由小至大顺序排列)．解析：a ＝sin 5π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2π7＝sin 3π14， 因为0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又因为0＜π4＜2π7＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12³π6＋π6＝sin π4＝22.答案：2215．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y ＝f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称； ④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称．其中正确的是________．解析：①f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，正确；②T ＝2π2＝π，最小正周期为π，错误；③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，正确； ④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾，错误．所以①③正确． 答案：①③三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113π－cos 585°²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－374π.解：原式＝3sin （－120°－3³360°）tan ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋2π3－cos(225°＋360°)²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π－14π＝－3sin 120°tan2π3＋cos 225°tan π4＝－3sin 60°－tanπ3＋(－cos 45°)²tan π4 ＝3²323＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－22³1＝32－22.17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；(2)已知函数y ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值． 解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1，即x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝－23π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .所以当x ＝π3＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12. 当a ＞0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3. 所以12a ＋3＝4，所以a ＝2.当a ＜0，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3. 所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x的图像作怎样的变换？解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像；②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin 2x 的图像；②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像；④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．综上得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2³π8＋φ＝±1.所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎛⎪⎫2x －3π，列表如下：描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π2＜φ＜0，得φ＝－π3.函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π3，即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3. (2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π3，k ∈Z .所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π18＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－22＋f （x ）恒成立．因为2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为13，所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.。
三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角(1)角的看法的实行①按旋转方向不相同分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地址不相同分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，那么称为第几象限角．第一象限角的会集为k360k 36090 , k第二象限角的会集为k36090k 360180 , k第三象限角的会集为k360180k360270 , k第四象限角的会集为k360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的会集为k180 , k终边在 y 轴上的角的会集为k180 90 , k终边在坐标轴上的角的会集为k 90 ,k(2)终边与角α相同的角可写成α＋ k·360 °(k∈Z )．终边与角相同的角的会集为k 360, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝ 2π弧度； 180°＝π弧度．③半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，那么角的弧度数的绝对值是l r④ 假设扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为l，周长为C，面积为S，那么l r ，C2r l ，S1lr1r 2．222．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x， y)，它与原点的距离为r r x2y2，那么角α的正弦、余弦、正切分别是： sin α＝yr， cos α＝xr， tan α＝yx．〔三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦〕3．特别角的三角函数值1角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的根本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的根本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；〔在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号〕sin α(2)商数关系：＝tanα.〔3〕倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k ) tan其中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan(π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π引诱公式可概括为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假设是奇数倍，那么函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦) ；假设是偶数倍，那么函数名称不变，符号看象限是指：把πα看作锐角时，依照 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与要点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．〔 sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二〕2(3)巧用 “1〞的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ ＝tan24〔 〕齐次式化切法： tank ，那么 asinbcosa tanb ak b4m sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法〔如y sin x 与 y cosx 的周期是〕。
描述：例题：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
一、学习任务
1. 了解任意角的概念，了解终边相同的角的意义．
2. 了解弧度制的意义，并能进行弧度与角度的互化．
二、知识清单
任意角的概念 弧度制
三、知识讲解
1.任意角的概念
任意角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．如图，一条射线的端点是 ，它从起始位置 按逆时针方向旋转到终止位置 ，形成一个角 ，射线 称为角的始边，射线 称为角的终边．
角的分类
正角（positive angle） 按逆时针方向旋转形成的角．
负角（negative angle） 按顺时针方向旋转形成的角．
零角（zero angle） 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．象限角与轴线角
在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角（quadrant angle）．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为轴线角．
终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可以构成一个集合
，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和．
O OA OB αOA OB x ααS ={β| β=α+k ⋅,k ∈Z }360∘αα在下列说法中：
①时钟经过两个小时，时针转过的角是
；②钝角一定大于锐角；③射线 绕端点 按逆时针旋转一周所成的角是 ；
60∘OA O 0∘
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
又 ，∴令 得 ．
∵α∈(0,2π)k =1α=
π。
