椭圆与双曲线

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：

（一）椭圆

1.椭圆的定义

如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆

即|PF1|+|PF

2|=2a其中P是动点，F

1,F

2是定点且|F

1F

2|=2C

当a>c时表示

当a=c时表示

当a

第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0

2.椭圆的标准方程参数方程

（1）标准方程

（2）参数方程

3.椭圆的性质

（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程

x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF

2|=(F

1，F

2分别为椭

圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称

轴的弦）|P1P

2|=

（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程

x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距

离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF

2|=(F

1，F

2分别为椭

圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)

4.椭圆系

（1）共焦点的椭圆系方程为22

21xy

kkc

(其中k>c2,c为半焦距)

（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程22

22(0)xy

ab

(二)双曲线

1.双曲线的定义

如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动

点的轨迹是双曲线

若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨

迹是双曲线的一支

F

1，F

2为两定点，P为一动点，(1)若||PF

1|-|PF

2||=2a

①0<2a<|F1F

2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F

2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

(2)若|PF

1|-|PF

2|=2a

①0<2a<|F1F

2|则动点P的轨迹是

②2a=|F1F

2|则动点P的轨迹是

③2a=0则动点P的轨迹是

2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质

椭圆与双曲线的性质对比

椭圆和双曲线是二次曲线的两种重要形式。它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。本文将对椭圆和双曲线的性质进行比较分析。

一、定义与基本方程

1. 椭圆

椭圆可以由平面上到两个给定点的距离之和恒定于常数的点构成。这两个点称为椭圆的焦点。椭圆的基本方程为：

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1 （a > b > 0）

其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。

2. 双曲线

双曲线可以由平面上到两个给定点的距离之差恒定于常数的点构成。这两个点也称为双曲线的焦点。双曲线的基本方程为：

(x - h)² / a² - (y - k)² / b² = 1 （a > b > 0）

其中，(h, k)为双曲线的中心坐标，a为长半轴长度，b为短半轴长度。

二、形状与图像

椭圆和双曲线在几何形状上有明显的差异。

1. 椭圆 椭圆是一个封闭的曲线，其形状类似于椭圆形。所有椭圆上的点到椭圆的两个焦点的距离之和始终等于常数。因此，椭圆的图像是有界的。

2. 双曲线

双曲线是一个开放的曲线，其形状类似于双曲线形。所有双曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之差始终等于常数。因此，双曲线的图像是无界的。

三、焦点与离心率

1. 焦点

椭圆和双曲线都有焦点，但它们在位置上有一定的差异。

对于椭圆而言，焦点位于椭圆的中心轴上。而对于双曲线而言，焦点位于双曲线的中心轴之外。

2. 离心率

离心率是衡量椭圆或双曲线扁平程度的指标。离心率的计算公式为：

e = √(a² - b²) / a

在椭圆中，离心率的值介于0和1之间（0≤ e < 1）。离心率越接近0，椭圆的扁平程度越高。

而在双曲线中，离心率的值大于1（e > 1）。离心率越大，双曲线的扁平程度越高。 四、对称性与渐近线

1. 对称性

椭圆和双曲线都具有对称性。

对于椭圆而言，它具有两个轴对称线，即横轴和纵轴。沿着这两个轴进行镜像对称，椭圆保持不变。

高中数学高考综合复习

专题二十一 椭圆与双曲线

一、知识网络

二、高考考点

1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；

2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；

3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；

4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；

5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；

6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。

三、知识要点

(一)椭圆

Ⅰ 定义与推论

1、定义1的的认知 设M为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有

（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）

（2）隐蔽的不等关系： ，

（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）

2、定义2的推论

根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有：

（d1为点M到左准线l1的距离）

（d2为点M到右准线l2的距离）

由此导出椭圆的焦点半径公式：

Ⅱ 标准方程与几何性质

1、椭圆的标准方程

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程 ①

中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程 ②

（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：

（2）标准方程①、②统一形式：

2、椭圆 的几何性质

（1）范围： （有界曲线）

（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）

（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b名称与几何意义）

（4）离心率： 刻画椭圆的扁平程度

（5）

准线：左焦点 对应的左准线

右焦点 对应的右准线

椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ；

中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 .

郎婷玮

1

1.

椭圆

标准

方程 （焦点在x轴）

)0(12222babyax （焦点在y轴）

)0(12222babxay

定 义 与两个定点1F，2F的距离的和等于2a

顶点坐标 )0,(a (0,)b ),0(a (,0)b

焦点坐标 1(,0)Fc 2(,0)Fc 1(0,)Fc 2(0,)Fc

焦点在长轴上，22cab

双曲线

双曲线 标准方程（焦点在x轴）

)0,0(12222babyax 标准方程（焦点在y轴）

)0,0(12222babxay

定义 曲线上点与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是2a

焦点坐标 1(,0)Fc 2(,0)Fc 1(0,)Fc 2(0,)Fc

焦点在实轴上，22cab；焦距：122FFc

顶点坐标 （a,0） (a,0) (0, a,) (0，a)

离心率 eace(1)

渐近线

方程 xaby (实虚) yabx (实虚)令相应方程的1为0 M

1F2Fx yO M1F 2F

xyOxyP

1F 2F x y

xyP

1F2Fxy郎婷玮

2

抛物线

抛

物

线 )0(22ppxy

)0(22ppxy

)0(22ppyx

)0(22ppyx

定义 曲线上点与一个定点F和一条定直线l的距离相等

范围 0,xyR 0,xyR ,0xRy ,0xRy

对称性 关于x轴对称 关于y轴对称

焦点 (2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p)

焦点在对称轴上

顶点 (0,0)O

离心率 e=1

准线

方程 2px 2px 2py 2py

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

焦点到准线的距离 p

例：y=－2x^2的焦点是（ ）---------------------（0，－1／2）