七年级数学三角形的初步知识;图形和变换浙江版知识精讲

学生：科目：第阶段第次课教师：课题三角的初步知识复习教学目标了解三角形的有关概念，会画任意三角形的角平分线、中线以及高，两个三角形的全等条件。

重点、难点三角形全等的条件教学内容知识框架考点一：典型例题【例1】如图，在△ABC中，∠A=∠ACB，CD为△ACB•的角平分线，•CE•是△ABC的高，（1）试说明∠CDB=3∠DCB；（2）若∠DCE=48°，求∠ACB的度数．【分析】（1）由CD为△ABC的平分线，可得∠ACD=∠DCB．再利用∠CDB•为△ACD的外角，可知∠CDB=∠A+∠ACD．（2）要求∠ACB只要求∠A，要求∠A只要求∠CDB．已知CE是高线和∠DCE=48°，利用三角形内角和定理便可求得．【解】（1）∵CD是△ACB的角平分线，且∠A=∠ACB∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB=12∠A．∵∠CDB=∠A+∠ACD∴∠CDB=3∠DCB．（2）∵CE是△ABC的高∴∠E=90°∵∠DCE=48°∴∠CDB=42°∴∠ACB=∠A=23∠CDB=28°．【例1】 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，说出∠1=∠2成立的理由．【分析】 利用全等三角形对应边相等，•对应角相等是证明线段或角相等的重要方法，要善于从组合图形中分解出基本图形，会用直观的方法寻找需要说明相等的线段或角所在的一对全等三角形，然后再说出全等的理由． 【解】 ∵BD=CE （已知） ∴BD-ED=CE-ED ， ∴BE=CD在△AEB 和△ADC 中(AB AC =⎧⎪⎨⎪⎩已知)AE=AD(已知)BE=CD∴△AEB ≌△ADC （SSS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）．【例2】 如图，已知：AB=CD ，AC=BD ，试说明∠A=∠D ．【分析】 若把∠A 、∠D 放在△AOB 与△COD 中，•不能直接证明全等，•若连结BC ，这样已知的两边与公共边BC 构成△ABC 和△DCB ．根据条件两个三角形全等． 【解】 连结BC 在△ABC 与△DBC 中(AB CD =⎧⎪⎨⎪⎩已知)AC=BD(已知)BC=CB(公共边)∴△ABC ≌△DCB （SSS ）∴∠A=∠D （全等三角形对应角相等）．针对性练习1．如图，在△ABC中，高BD、CE相交于H，已知∠HBC-∠HCB=10°，∠1=12∠HBC，求∠A的度数．2．如图2，已知AB=CD，AD=BC，说出∠1=∠2的理由．解：在_______和_______中⎧⎪⎨⎪⎩________( ) ________( ) ________( )∴____________（）∴∠1=∠2（）3．如图3，已知△ABF≌△DEC，且AC=DF，说明△ABC≌△DEF的理由．解：∵△ABF≌△DEC∴AB=________ BF=________又∵BC=BF+_________，EF=CE+________．∴BC=_________．在△ABC与△DEF中⎧⎪⎨⎪⎩________ ________ ________∴△ABC≌△DEF（）4．如图1-5-9，已知AD=BC，OD=OC，O为AB中点，说出△AOD≌△BOC的理由．5．如图，△ABC 和△DBC 中，AB=CD ，AC=BD ，AC 和DB 相交于O ，说出∠1=∠2•的理由．考点二：典型例题【例1】 如图，已知AB 、CD 相交于O ，△ACO ≌△BDO ，AE=•BF ，•试说明CE=FD ．【分析】 本题考查SAS 公理的应用，要证CE=FD ，只要证△OCE ≌△ODF ．•显然∠EOC=∠FOD ．需证OE=OF ，OC=OD ．因AE=BF ，故需证OA=OB ，由已知△ACO ≌△BDO ，可得OC=OD ，OA=OB ． 【解】 ∵△ACO ≌△BDO ∴CO=DO ，AO=BO ∵AE=BF ，∴EO=FO 在△EOC 与△FOD 中CO DO COE DOF EC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EOC ≌△FOD ，∴EC=FD【例2】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上中线．试说明AD<（AB+AC ）． 【分析】 证明边之间的关系一般是在一个三角形中利用“三角形边的关系推论”，所以考虑把线段AB 、AD 、AC 的等价线段放在一个三角形中．因此需添加辅助线，而涉及到一边的中线问题需要引辅助线，常用方法：延长中线使之延长后的线段与中线相等并连结，构造成两个三角形全等． 【解】 延长AD 到E ，使DE=AD 在△ACD 与△EDB 中AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB∴BE=CA在△EBA 中，AE<AB+BE ∴2AD<AB+AC 即AD<12（AB+AC ）【例3】 如图，已知AB=AC ，D 、E 两点分别在AB 、AC 上，且AD=AE ，试说明：△BDF ≌△CEF ． 【分析】 在△BFD 与△CFE 中，有一组对角相等，由已知条件得，BD=CE ，•只要证明它们的另一组对角∠C 与∠B 相等，就可证出结论，为了证∠C=∠B ，可以由△ACD•与△ABE 全等得到．【解】 在△ABE 与△ACD 中AB AC A A AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACD ，∴∠B=∠C ∵AB=AC ，AD=AE ，∴BD=CE在△BDF 与△CEF 中B C DFB EFC BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△CEF ．【例4】 如图，BD 、CE 交于O ，OA 平分∠BOC ，△ABD 的面积和△ACE 的面积相等，试说明BD=CE ． 【分析】 有了角平分线性质定理，使证明线段相等又多了一种方法．同时利用图形的面积关系转化成线段之间的长度关系，也是几何证明题中常用的方法． 【解】 过A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F 、G ． ∵OA 平分∠BOC∴AF=AG （角平分线上的点到这个角的两边距离相等） ∵S △ABD =S △ACE ∴12AF ·BD=12AG ·CE ∴BD=CE ．针对性练习：1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，说明AD=BC 的理由． 解：∵_________，__________（已知） ∴∠1+∠3=_________． 即_______=_______． 在_________和________中∴△_______≌△_______（ ） ∴AD=BC （ ）2．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作AE•的垂线CF ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D ．（1）试说明：AE=CD ； （2）AC=12cm ，求BD 的长．3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．4.如图，△ABC两条角平分线BD、CE相交于点O，∠A=60°，求证：CD+•BE=BC．5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AF是△ABC的角平分线，∠BAC=100°，•∠C=60°，求∠FAB、∠AFD、∠FAD的度数．。

图形的初步认识：三角形考点一、三角形1、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

2、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角平等边；等边平等角；大角对大边；大边对大角。

4、三角形的面积三角形的面积 = 1×底×高2考点二、全等三角形1、全等三角形的观点能够完整重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、三角形全等的判断三角形全等的判断定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“ SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ SSS”）。

（4）角角边定理：有两角和一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“ AAS”）。

直角三角形全等的判断：关于特别的直角三角形，判断它们全等时，还有 HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ HL”）3、全等变换只改变图形的地点，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。

全等变换包含一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行挪动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这类变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转必定的角度到另一个地点，这类变换叫做旋转变换。

考点三、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边平等角）推论 1：等腰三角形顶角均分线均分底边并且垂直于底边。

浙教版七年级下知识点归纳第1章三角形的初步知识由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

三角形任何两边的和大于第三边。

三角形的内角和等于180.锐角三角形：三个内角都是锐角。

直角三角形：有一个内角是直角。

钝角三角形：有一个内角是钝角。

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做该三角形的外角。

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线。

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

能够重合的两个图形称为全等图形。

能够重合的两个三角形叫做全等三角形。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点。

互相重合的边叫做全等三角形的对应边，互相重合的角叫做全等三角形的对应角。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。

有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。

垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（SAS的推论）有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。

有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。

角平分线上的点到角两边的距离相等。

（AAS的推论）全等三角形的判断定理：SSS、SAS、ASA、AAS是根据三角形的稳定性推导的。

第2章图形和变换如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

对称轴垂直平分线连结两个对称点之间的线段。

由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换，也叫反射变换，简称反射。

数学图形与变换（二）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：1、了解现实生活中图形的相似。

2、了解相似变换的概念。

3、了解图形相似变换的性质：不改变图形中每一个角的大小；每条线段都扩大或缩小相同的倍数。

4、掌握按要求作出简单平面图形经相似变换后的图形。

5、灵活运用相似解决一些简单的实际问题。

6、运用轴对称、平移、旋转、相似变换的基本性质解决一些常见的问题。

二. 重点、难点：重点：相似变换基本知识的落实。

难点：利用轴对称、平移、旋转、相似变换的基本性质解决一些常见的问题。

【典型例题】一、相似变换的复习：（一）现实生活中图像的相似：1、如图，形状相同的图像有哪些？1、9相似；2、4相似；、5、7相似；3、10相似（二）相似图像的概念及性质： 1、下列说法不正确的是（ D ）（A ）一个图形相似变换后，对应角的大小不变；（B ）中国地图可看成中国实际版图通过相似变换所得的图像； （C ）图像作相似变换时，图形中的各条线段都扩大或缩小了k 倍； （D ）图形作相似变换时，各条线段都扩大n 倍，则面积也扩大n 倍。

2、用2倍放大镜照一个边长为3的等边三角形，则放大后三角形的（ C ） （A ）边长为3 （B ）边长为4 （C ）内角为60︒ （D ）内角为120︒（三）作图1、如图，把四边形在方格纸上作相似变换所得的图形的边长是原图形的2倍。

（四）利用图形相似解决一些实际问题：1、在某城市地图（比例尺1:9000）上，解放大街的图上长度与中兴大街的图上长度分别为16cm 和10cm ，求解放大街与中兴大街的实际长度各是多少？解：根据题意，得：19000解放大街的图上长度＝解放大街的实际长度19000中兴大街的图上长度＝中兴大街的实际长度∴解放大街的实际长度是：()()()1690001440001440cm cm m ⨯== 中兴大街的实际长度是：()()()10900090000900cm cm m ⨯==2、旗杆的影子长6m ，同时测得旗杆的高度是10m ，如果此时附近小树的影子长3m ，那么小树有多高？解：由题意可得：旗杆的影子长小树的影子长＝旗杆的高度小树的高度∴6310=小树的高度∴小树的高度为5米。

七年级数学基本图形章节复习某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：基本图形章节复习二. 重点、难点：1. 直线：（1）直线是向两方无限延伸的（2）直线没有端点，没有长短（3）经过两点有一条直线，并且只有一条直线2. 射线：（1）直线上一点和它一旁的部分叫射线（2）射线只有一个端点，没有长短（3）射线可向一方无限延伸3. 线段：（1）直线上两点和它们之间的部分叫线段（2）线段有两个端点，有长短（3）所有连结两点的线中，线段最短（4）连结两点的线段的长度，叫做两点的距离4. 角：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（2）一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形叫做角（3）一平角=2直角，一周角=2平角5. 角的度量：16016011601160︒===︒=''''''''6. 互为补角：（1）如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角（2）同角或等角的补角相等7. 互为余角：（1）如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角（2）同角或等角的余角相等【典型例题】例1. 已知线段AB =10cm ，直线AB 上有一点C ，且BC =4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长。

分析：题中只告诉了A 、B 、C 三点在一条直线上，并没有明确C 点在线段AB 上，还是在线段AB 的延长线上，故应分两种情况。

解：（1）当点C 在线段AB 上时，如图甲：A M C B（甲）M 是AC 中点，∴=AM AC 12， 又 AC AB BC AB cm BC cm =-==，，104∴=-=-=AM AB BC cm 12121043()() （2）当点C 在线段AB 的延长线上时，如图乙：（乙）点M 是AC 的中点∴=AM AC 12又 AC AB BC AB cm BC cm =+==，，104 ∴==+=+=AM AC AB BC cm 1212124107()() 故AM 的长是3 cm 或7 cm 。

七年级数学图形的初步知识（7.1~7.3）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容图形的初步知识（7.1~7.3）二. 重点、难点1. 认识点、线、面、体及线段、射线和直线的概念。

2. 会画一条线段等于已知线段；会比较线段的长短及有关计算。

3. 会运用“两点确定一条直线”，“两点间线段最短”解决简单实际问题。

三. 教学过程（一）知识要点1、几何图形（1）立体图形：柱体、椎体、球体,柱体包括圆柱和棱柱，椎体包括圆锥和棱锥.（2）平面图形：点、线、面。

2、面分平面和曲面，线分直线和曲线。

3、点动成线，线动成面，面动成体。

4、七巧板拼图。

［重要提示］1、棱柱有直棱柱和斜棱柱之分，但我们只研究直棱柱，包括三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等，其中长方体和正方体属于四棱柱。

2、现实生活中的一些几何体往往是由几个基本几何体组合而成。

3、“点动成线，线动成面，面动成体”从运动的角度去理解，并且能借助具体的实例去理解。

［典型例题］例1. 请你分别举出在日常生活中常见的类似于下列几何体的两个实例：（1）长方体；（2）圆柱体；（3）圆锥体；（4）棱柱体；（5）球体。

分析：举出实例，我们必须掌握这几种几何体的特征，如长方体是由六个面围成，至少有四个面是长方形，另两个面可能是长方形，也可能是正方形，并且长方形相对的两个面是完全相同的两个长方形或正方形，圆柱体由两平面和一个曲面围成，其中相对的两个平面是完全相同的圆，圆锥体是由一个圆和一个曲面围成。

解：长方体：平放的教科书，火柴盒；圆柱体：学校门口的大柱子，圆柱形的垃圾桶；圆锥体：冰淇淋的纸壳，倒在操场上的一堆沙子；棱柱体：自行车上的六角螺母，楼房中的混凝土房梁；球体：乒乓球，篮球反思：圆柱体与棱柱体自身的上下两个底面是完全相同的两个图形，否则就不是圆柱体或棱柱体，如上面大，下面小的圆口形水桶，就不是圆柱体。

例2. 如图所示：（1）图中的几何体是由几个面围成的?它们是平的还是曲的?（2）图中相交成几条线?它们是直的还是曲的?答：（1）由三个面围成，其中上底面、下底面是平的，侧面是曲的。

《图形的初步认识》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1. 经历从现实世界抽象几何图形的过程，能说出常见的几何体和平面图形；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、表示方法、性质、及画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、几何图形1.几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2.几何体的构成元素几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、线段、射线、直线1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本事实(1)直线:两点确定一条直线． (2)线段:两点之间线段最短． 要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB ＝ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：①度量法；②叠合法；③估算法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC ＝AC ，或AC ＝a+b ；AD ＝AB-BD.（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：12AM MB AB ==.要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M 在线段上，且有12AM AB =，则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等. 如下图，点M,N,P 均为线段AB 的四等分点，则有AB PB NP MN AM 41====. PN要点三、角1．角的概念及其表示（1）角的定义：从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示. 2.角的分类3.角的度量1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″. 要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同. ②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一 成60.4.角的比较与运算（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法；③估算法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠1=∠2=12∠AOB ，或∠AOB=2∠1=2∠2. 类似地，还有角的三等分线等.5.余角、补角（1）定义：若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角. 若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （2）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”．6.方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小. （2）北偏东45 °通常叫做东北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏东45 °通常叫做东南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.【典型例题】类型一、几何图形1.对于棱柱体而言，不同的棱柱体由不同的面构成：三棱柱由2个底面，3个侧面，共5个面构成；四棱柱由2个底面，4个侧面，共6个面构成；五棱柱由2个底面，5个侧面，共7个面构成；六棱柱由2个底面，6个侧面，共8个面构成；（1）根据以上规律判断，十二棱柱共有多少个面？（2）若某个棱柱由24个面构成，那么这个棱柱是什么棱柱？（3）棱柱底面多边形的边数为n，则侧面的个数为多少？棱柱共有多少个面？（4）底面多边形边数为n的棱柱，其顶点个数为多少个？有多少条棱？【答案与解析】解：(1)十二棱柱由2个底面，12个侧面，共14个面构成．(2)这个棱柱有24个面，由于底面有2个，故其侧面共有22个，从而这个棱柱是二十二棱柱．(3)棱柱底面多边形的边数与侧面的个数是相等的，即底面多边形的边数为n，则侧面的个数也为n，棱柱的面数为(n+2)．(4)底面多边形的边数为n的棱柱，其顶点个数为2n个，共有3n条棱．【总结升华】根据立体图形的特点，从特殊到一般，寻找规律．举一反三：【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的几何体是（）A. B. C. D.【答案】B类型二、线段和角的概念或性质2.下列判断错误的有( )①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．A．0个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①由于射线向一方无限延伸，因此，不能延长射线；②由于直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，因此它们都是不能度量的，所以它们不存在相等或不相等的关系，而线段是可以度量的，可以比较线段的长短；③线段PA＝PB，只有当点P在线段AB上时，才是线段AB的中点，否则就不是；④两点间的距离是表示大小的量，而线段是图形，二者的本质属性不同．【总结升华】本题考查的是基本概念，要抓住概念间的本质区别．举一反三：【变式】下列说法正确的个数有( )①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B 提示：③正确3. (安徽芜湖)如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()．A．330°B．315°C．310°D．320°【答案】B【解析】通过网格的特征首先确定∠4＝45°．由图形可知：∠l与∠7互余，∠2与∠6互余，∠3与∠5互余，所以∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝90°+90°+90°+45°＝315°．【总结升华】互余的两个角只与数量有关，而与位置无关．举一反三：【变式】如图所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3＝∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2，∠3．【答案】解：因为∠AOE ＝90°，所以∠2＝90°-∠1＝90°-27°20′＝62°40′． 又∠AOD ＝180°-∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD ．所以∠3＝12∠AOD ＝76°20′． 答：∠2为62°40′，∠3为76°20′．4. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．【答案与解析】解：设时针转过的度数为x °时，与分针第一次重合，依题意有： 12x ＝90+x 解得9011x =答：时针转过9011⎛⎫⎪⎝⎭°时，与分针第一次重合． 【总结升华】在相同时间里，分针转过的度数是时针的12倍，此外此问题可以转化为追及问题来解决． 举一反三：【变式】125°÷4＝ °＝ ° ′ 【答案】31.25，31、15类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算 1.方程的思想方法5. 如图所示，B 、C 是线段AD 上的两点，且32CD AB =，AC ＝35cm ，BD ＝44cm ，求线段AD 的长．【答案与解析】解：设AB ＝x cm ，则3cm 2CD x =(35)cm BC x =-或3(44)cm 2x -于是列方程，得335442x x -=-解得：x ＝18，即AB ＝18(cm ) 所以BC ＝35-x ＝35-18＝17(cm )33182722CD x ==⨯=(cm ) 所以AD ＝AB+BC+CD ＝18+17+27＝62(cm )【总结升华】根据题中的线段关系，巧设未知数，列方程求解． 2.分类的思想方法6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．【思路点拨】先根据题意画出图形，再从图上直观的看出各线段的关系及大小． 【答案与解析】 解：利用条件中的AD ＝59DB ，AC ＝95CB ，设DB ＝9x ，CB ＝5y ， 则AD ＝5x ，AC ＝9y ，分类讨论：（1）当点D ，C 均在线段AB 上时，如图所示：∵ AB ＝AD+DB ＝14x ，AB ＝AC+CB ＝14y ，∴ x ＝y∵ CD ＝AC －AD ＝9y －5x ＝4x ＝4，∴ x ＝1，∴ AB ＝14x ＝14(cm )． （2）当点D ，C 均不在线段AB 上时，如图所示：方法同上，解得87AB =(cm )．（3）如图所示，当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．（4）如图所示，当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时，方法同上，解得11253AB =(cm )．综上可得：AB的长为14cm，87cm，11253cm．【总结升华】解决没有图形的题目时，一要注意满足条件下的图形的多样性；二要注意解决的方法，注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中，(3)与(4)的答案虽然相同，但作为图形上的差别应了解．。

浙教版初中数学七年级上册《图形的初步认识》全章复习与巩固(基础)知识讲解本文讲述了几何图形的初步认识，包括常见的几何体和平面图形的分类和构成元素。

同时，讲解了直线、射线、线段、角等基本图形的概念、表示方法、性质和画法，并介绍了应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题的能力。

在几何体的分类中，不同的分类标准会得到不同的分类结果。

而几何体是由点、线、面构成的，点可以动成线，线与线相交成点，线动成面，面与面相交成线，面动成体，体是由面组成。

在线段、射线和直线的区别与联系中，直线由两点确定，线段是两点之间的最短距离，而射线则是从一个点出发，延伸出去的线段。

在画一条线段等于已知线段时，可以用度量法或尺规作图法。

而线段的比较与运算可以通过度量法、叠合法或估算法来实现。

同时，线段的中点可以将一条线段分成两条相等的线段。

最后，本文介绍了角的概念及其表示方法。

角是由两条射线共同确定的，可以用度数或弧度来表示。

角是由两条射线或一条射线绕着端点旋转形成的图形，其中端点称为角的顶点，射线称为角的边。

角的表示方法有三种：用三个大写字母表示、用顶点的一个大写字母表示、用一个小写希腊字母或数字表示。

角可以根据其大小和范围进行分类，包括锐角、直角、钝角、平角和周角。

角的度量单位是度，一周角等于360度，一平角等于180度，一度等于60分，一分等于60秒。

度、分、秒之间的转换方法是逐级进行乘除法，超过60进一或减一成60.角的比较和运算有三种方法：度量法、叠合法和估算法。

角的平分线是从角的顶点出发，将角分成相等的两个或三个角的射线。

余角和补角是两个角的关系，同角（或等角）的余角和补角相等。

方位角是以正北、正南方向为基准，描述物体运动方向的角。

第七章《三角形》知识归纳及配套练习题与三角形有关的线段(1)三角形的定义(2) ①⎪⎩⎪⎨⎩⎨⎧等边三角形底和腰不相等的三角形等腰三角形三角形按边)(②⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形按角(3)三角形的主要线段①三角形的中线:顶点与对边中点的连线,三中线交点叫重心②三角形的角平分线:内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三角角平分线的交点叫内心③三角形的高:顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)(4)三角形三边间的关系.①两边之和大于第三边 b a c a c b c b a >+>+>+,,②两边之差小于第三边 a c b c b a b a c <-<-<-,,(5)三角形的稳定性:三角形的三条边确定后,三角形的形状和大小不变了,这个性质叫做三角形 的稳定性.三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.例1:已知BD,CE是ABC∆的高，直线BD,CE相交，所成的角中有一个角为50°，则等于BAC∠分析:本题中由于没有图形, ABC∆的形状不确定,应分两种情况:①ABC∆是锐角三角形②ABC∆是钝角三角形解:50或130(过程略)与三角形有关的角（1）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

（2）三角形的外角及外角和①三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。

②三角形的外角和等于360°。

（3）多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。

第四章几何图形的认识初步
知识框架
本章的主要内容是图形的初步认识，从生活周围熟悉的物体入手，对物体的形状的认识从感性逐步上升到抽象的几何图形.通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系.在此基础上，认识一些简单的平面图形——直线、射线、线段和角.本章书涉及的数学思想：
1.分类讨论思想。

在过平面上若干个点画直线时，应注意对这些点分情况讨论；在画图形时，应注意图形的各种可能性。

2.方程思想。

在处理有关角的大小，线段大小的计算时，常需要通过列方程来解决。

3.图形变换思想。

在研究角的概念时，要充分体会对射线旋转的认识。

在处理图形时应注意转化思想的应用，如立体图形与平面图形的互相转化。

4.化归思想。

在进行直线、线段、角以及相关图形的计数时，总要划归到公式n(n-1)/2的具体运用上来。

三角形初步请参考讲义完成本讲预习~【三角形的基本概念】1.三角形的定义：由三条的线段组成的平面图形叫做三角形。

三角形具有性2.（1）三角形的内角：三角形的每两条边所组成的角。

（2）三角形的外角三角形的任意一边练习1.△ABC3.三角形的分类：（1）按角分类（三种）（2）按边分类（两种）：4、三角形三边关系：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边。

练习2.在△ABC中，有两条边长分别是2 cm ，5 cm，则第三边的范围练习3.一个三角形的两边长分别是2cm和9cm，第三边的长是一个奇数，则第三边长为（）A、5cm B、7cm C、9cm D、11cm【三角形的三线】1.高线：从三角形一个顶点向其对边所在直线作垂线，所形成的线段。

2.中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段。

3.角平分线。

一个三角形中，有条高，条中线，条角平分线。

练习4、在△ABC中，∠A＝50°,∠B,∠C的角平分线相交于点O，则∠BOC的度数是( ) A．65°B．115°C．130°D．100°练习5、如图，在∆ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7 cm ，AC=5cm，则∆ABD和∆ACD的周长差为cm．【三角形内外角】1.内角和定理：三角形三个内角的和为推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

2.外角和：三角形三个外角和为（注意：外角和计算是每个顶点取一个角相加）练习6．在△ABC中，∠A=2∠B=4∠C，则△ABC为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能。

初一数学图形与变换（一）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形与变换（一）（1）图形的轴对称①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。

③欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。

（2）图形的平移①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。

②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。

③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。

（3）图形的旋转①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。

②能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

③欣赏旋转在现实生活中的应用。

④探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。

⑤灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。

二. 重点、难点：重点：通过学习轴对称、平移、旋转的学习应用于实际；难点：轴对称、平移、旋转中的基本性质，并运用基本性质解决几何问题。

【典型例题】一、轴对称：（一）基本性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。

例1. 如图，P 在AOB ∠内，点,M N 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，若PEF ∆的周长为15，求MN 的长。

解：∵P 在AOB ∠内,点,M N 分别是点P 关于AO 、BO 的对称点，,E F 分别在直线,OA OB 上∴ME 与PE 关于直线OA 成轴对称，NF 与PF 关于直线OB 成轴对称， ∴,ME PE NF PF ==又∵MN ME EF FN =++，PEF ∆的周长为15 ∴15MN PE EF PF =++=例2、如图，90A ∠=︒，E 为BC 上一点，A 点和E 点关于BD 对称，B 点、C 点关于DE 对称，求ABC ∠和C ∠的度数。

初一数学三角形的画法 三角形的内角与外角的性质浙教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：三角形的画法 三角形的内角与外角的性质5.7 三角形的角平分线、中线、高线 三角形三边关系二. 重点、难点：重点：1. 学会已知两边夹角、两角夹边、三边画三角形。

2. 三角形内角和等于︒180。

3. 三角形的角平分线、中线、高线的概念。

4. 三角形的性质：任意两边之和大于第三边。

难点：1. 已知三边画三角形。

2. 运用三角形性质计算时推理过程的准确表述。

3. 钝角三角形的高线的画线。

4.[例1] 如图AMC ∆解：∵∴AM ∵BC ∴8-=BC AC∴AMC ∆的周长8-++=++=BC MC BM AC MC AM )(22830cm =-=[例2] 已知一个三角形的三个内角之比为2 : 3 : 4，求这个三角形不同顶点的三个外角之比。

解：∵ 此三角形三个内角之比是2 : 3 : 4∴ 可设这三个内角依次为x 2度，x 3度，x 4度。

由题意得180432=++x x x∴20=x∴ 三内角依次为︒40，︒60，︒80。

对应三外角依次为：︒140，︒120，︒100。

故此三角形不同顶点的三个外角之比为7 : 6 : 5。

注：[例3] 已知∆（1）若（2）若解：（1）∵=∠50A ∴∠∵BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠（已知）∴ABC ∠=∠211，ACB ∠=∠212（角平分线意义） ∴︒=︒⨯=∠+∠=∠+∠=∠+∠6513021)(21212121ACB ABC ACB ABC又∵︒=∠+∠+∠18021BIC ∴︒=∠115BIC（2）设x A =∠度 则x BIC 2=∠度 ∵︒=∠+∠+∠180A ACB ABC ∴x ACB ABC -=∠+∠180∵BI 平分ABC ∠，CI 平分ACB ∠（已知）∴ABC ∠=∠211，ACB ∠=∠212（角平分线意义） ∴2180)(21212121xACB ABC ACB ABC -=∠+∠=∠+∠=∠+∠∵︒=∠+∠+∠18021BIC （三角形内角和︒180） ∴x 218021-=∠+∠ ∴x x 2180)180(21-=- 得x ＝60 ∴∠==︒BIC x 2120度注：[例4] 已知确定ABD ∆（1）解：（1（2（3如图，ABD ∆和D AB '∆都是所画三角形。