高中数学课程数列中的放缩法（在全...

高中数学放缩法教程一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是向高中学生传授数学中的放缩法技巧。

放缩法是高中数学中一种重要的解题方法，尤其在解决函数、数列、不等式等问题时具有广泛的应用。

通过本教程的学习，学生将理解放缩法的原理，掌握放缩法在不同题型中的应用，并能够灵活运用该方法解决数学问题。

2、教学对象本教程的教学对象为高中二年级的学生。

他们已经掌握了基本的数学知识，如函数、数列、不等式等，具备一定的数学推理和逻辑思维能力。

然而，大部分学生对放缩法的理解尚浅，应用能力有限。

因此，本教程旨在提升学生运用放缩法解决问题的能力，为后续数学学习打下坚实基础。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解放缩法的概念和基本原理，能够解释放缩法在数学问题中的重要性。

（2）掌握放缩法在不同数学领域（如函数、数列、不等式等）的应用，能够运用放缩法解决具体问题。

（3）学会利用放缩法分析数学问题，提高解题效率，形成系统的解题思路。

（4）能够将放缩法与其他数学方法（如构造法、归纳法等）相结合，解决更复杂的数学问题。

2、过程与方法（1）通过分析实际例题，让学生体验放缩法的运用过程，培养他们的观察、分析和解决问题的能力。

（2）采用启发式教学，引导学生主动探究放缩法的原理和应用，提高他们的自主学习能力。

（3）组织课堂讨论，让学生在讨论中碰撞思维火花，互相学习，提高合作能力。

（4）布置有针对性的练习题，使学生在实践中掌握放缩法，培养他们的实际操作能力。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学的兴趣，培养他们积极向上的学习态度。

（2）通过解决数学问题，让学生体会数学的美妙和挑战性，增强他们克服困难的信心。

（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，提高他们的数学素养。

（4）培养学生严谨、细致的思考习惯，使他们形成科学的价值观。

（5）鼓励学生勇于发表自己的观点，尊重他人意见，培养良好的沟通能力和团队合作精神。

三、教学策略1、以退为进在放缩法的教学中，采用“以退为进”的策略，即在教学过程中，教师有意识地引导学生从已知的简单问题出发，逐步深入，让学生在解决问题的过程中自然地发现放缩法的原理和应用。

数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法（Sequence Squeezing Method）是指在解决数学问题时，通过限制或放缩数列的取值范围，从而简化问题的求解过程。

数列放缩法是数学竞赛和高等数学中常见的一种技巧，本文将总结数列放缩法常用的技巧和应用场景。

1. 加减不等式放缩法加减不等式放缩法是通过对等式进行加减操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。

常见的加减不等式放缩技巧有如下几个：1.1. 约束条件加减法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行加减操作，将原不等式放缩为C<D。

常见的约束条件包括正整数、正实数等。

1.2. 平方项加减法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行加减操作，从而得到一个更易于处理的不等式。

例如，对于a2+b2<2ab，可以将不等式变换为(a−b)2>0，从而得到更容易求解的形式。

1.3. 倒数项加减法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行加减操作，从而放缩不等式。

例如，在2ab<a2+b2中，可以将不等式变换为$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} > \\frac{2}{a+b}$，从而得到更容易处理的形式。

2. 乘除不等式放缩法乘除不等式放缩法是通过对等式进行乘除操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。

常见的乘除不等式放缩技巧有如下几个：2.1. 约束条件乘除法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行乘除操作，将原不等式放缩为C<D。

常见的约束条件包括正整数、正实数等。

2.2. 平方项乘除法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行乘除操作，从而得到一个更易于处理的不等式。

例如，在a2+b2<2ab中，可以将不等式变换为a2−2ab+b2<0，从而得到更容易求解的形式。

2.3. 倒数项乘除法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行乘除操作，从而放缩不等式。

n n n ,所以 ∑n4 ⎛ 1 1 ⎫ = 2 - ⎪ k 2 < 1 + 2 - +Λ + - ⎪ < 1 + (7) 2( n + 1 - n ) < 1 < 2( n - n - 1) (8) ⎛ 22n + 3 ⎭ 2n = n(9)1 ⎛ ⎫ - n 1 1n(n - 1)(n + 1) n(n - 1) n(n + 1) ⎭ n + 1 - n - 1⎛ ⎫= i 2 - j 2(i - j)( i 2 + 1 +j + 1)2数列放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例 1.(1)求 ∑k =12 4k 2 - 1 的值; (2)求证: ∑ 1 < 5 .k 2 3k =1解析:(1)因为2 4n 2 - 1 = 2 1 1 = - (2n - 1)(2n + 1) 2n - 1 2n + 1 ,所以 ∑ k =12 1 2n= 1 - = 4k 2 - 1 2n + 1 2n + 1(2)因为 1n 2<1n 2 -= 1 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭ k =141 ⎛ 1 1 1 1 ⎫ 25⎝ 3 5 2n - 1 2n + 1 ⎭ 3 3=奇巧积累:(1) 14 4 ⎛1 1 ⎫ n2 4n 2 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭= < = 2 - ⎪(2) 1 2 1 1= = -C 1 C 2 (n + 1)n(n - 1) n(n - 1) n(n + 1)n +1 n(3)T r +1= C r ⋅ n1 n! 1 1 1 1 1= ⋅ < < = - (r ≥ 2)n r r!(n - r)! n r r! r(r - 1) r - 1 r(4) (1 + 1 ) n < 1 + 1 + 1 + 1 + Λ +n2 ⨯ 13 ⨯ 21 5<n (n - 1) 2(5)1 11=-2 n (2 n - 1)2 n - 1 2 n(6)1n + 2< n + 2 - n1 ⎫ 1 ⎪⋅ ⎝ 2n + 1= + ⎪ , = - ⎪k (n + 1 - k ) ⎝ n + 1 - k k ⎭ n + 1 n (n + 1 + k ) k + 1 ⎝ n n + 1 + k ⎭1 1 - (2n + 1) ⋅ 2n -1 (2n + 3) ⋅ 2n(10) (11)= -(n + 1) ! n ! (n + 1) !1 n < 2( 2n + 1 - 2n - 1) =2 2 2n + 1 + 2n - 1 =n +21 1 + n -2 2(11) 2n 2n 2n 2n -1 1 1= < = = -(2n - 1)2 (2n - 1)(2n - 1) (2n - 1)(2n - 2) (2n - 1)(2n -1 - 1) 2n -1 - 1 2n - 1(n ≥ 2)(12)1n 3 = 1n ⋅ n 2 < 1 1 1 1 = - ⎪⋅ ⎝⎪⎛ 1 = - ⎝ n - 1 1 ⎫ n + 1 + n - 1 ⎪⋅n + 1 ⎭ 2 n< 1 1 - n - 1 n + 1(13)2n +1 = 2 ⋅ 2n = (3 - 1) ⋅ 2n > 3 ⇒ 3(2n - 1) > 2n ⇒ 2n - 1 > 2n 1 2n ⇒ <3 2n - 1 3(14) k + 2 1 1= -k!+(k + 1)! + (k + 2)! (k + 1) ! (k + 2) !(15) 1n (n + 1)< n - n - 1(n ≥ 2)(15)i 2 + 1 -j 2 + 1 i - j=i + ji 2 + 1 + j 2 + 1 < 1例 2.(1)求证:1 + 1 + 1 + Λ +32521 7 1> - (n ≥ 2) (2n - 1) 2 6 2(2n - 1)1 / 24(2n -1)2 (2n - 1)(2n + 1) n 2 + 2 + 例 3.求证:6n1 1 1 5 n2 - 1 < 1 + 2 - +Λ + - ⎪ < 1 + = n n 6n,当 n = 1 时, 6n1 1 1 ,所以综上有1< 1 . a.设 b ∈ (a ， ，整数解析:由数学归纳法可以证明{a }是递增数列,故存在正整数 m ≤ k ,使 a ≥b ,则(2)求证: 1 + 1 + 1 + Λ + 1 < 1 - 14 16 36 4n 2 2 4n(3)求证: 1 + 1⋅ 3 + 1⋅ 3 ⋅ 5 + Λ + 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅Λ ⋅ (2n - 1) <2n + 1 - 12 2 ⋅ 4 2 ⋅ 4 ⋅ 6 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅Λ ⋅ 2n(4) 求证： 2( n + 1 - 1) < 1 + 1 + 12 3 +Λ + 1< 2( 2n + 1 - 1)n解析:(1)因为1 1 1 ⎛ 1 1 ⎫,所以> = - ⎪2 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭∑ 1 (2i -1) i =12 1 1 1 1 1 1 > 1 + ( - ) > 1 + ( - )2 3 2n + 1 2 3 2n -1(2) 1 + 1 + 1 + Λ + 1 = 1 (1 + 1 + Λ + 1 ) < 1 (1 + 1 - 1 )4 16 364n 24 2 2 n 2 4 n(3)先运用分式放缩法证明出 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅Λ ⋅ (2n - 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅Λ ⋅ 2n< 1 2n + 1 ,再结合 1n + 2 < n + 2 - n进行裂项 ,最后就可以得到答案(4)首先 1n > 2( n + 1 - n ) =2n + 1 + n,所以容易经过裂项得到2( n + 1 - 1) < 1 + 1 1 3 +Λ +1n再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以1 n < 2( 2n + 1 - 2n -1) =2 2 2n + 1 + 2n -1 = n + 21 1+ n -2 21 + 1 1 3 +Λ + 1 n < 2( 2n + 1 - 1)≤ 1 + + +Λ + <(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 3解析:一方面:因为 ,所以1 1 4 ⎛ 11 ⎫ < = =2 - ⎪ n 2 4n 2 - 1 ⎝ 2n - 1 2n + 1⎭4∑ 1k 2 k =1⎛ 1 1 1 1 ⎫ 2 5⎝ 3 5 2n - 1 2n + 1 ⎭ 3 3另一方面:1 + 1 + 1+ Λ + 1 > 1 + 1 + 1 + Λ +4 9n 22 ⨯3 3 ⨯ 41 1 n= 1 - =n (n + 1) n + 1 n + 1当 n ≥ 3 时, >n + 1 (n + 1)(2n + 1)6n 1 1 1 = 1 + + +Λ + (n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 ,当 n = 2 时,< 1 + + +Λ +(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 26n 1 1 1 5≤ 1 + + +Λ + <(n + 1)(2n + 1) 4 9 n 2 3例 4.(2008 年全国一卷 ) 设函数 f ( x) = x - x ln x .数列 {a }满足 0 < a nk ≥ a 1 - b .证明: a> b .k +1a lnb 1n +1 = f (a ) n1nmak +1> a ≥ b ,否则若 a < b (m ≤ k ) ,则由 0 < a ≤ a < b < 1 知k m 1 m2 / 24= a - a ln a = a - ∑ a ln a k ∑[k∑[k- (k - 1)m +1] < (m + 1)∑ k m < (n + 1)m +1 - 1 = (n + 1)m +1 - n m +1 + n m +1 - (n - 1)m +1 + Λ + 2m +1 -1m +1 = ∑[(k + 1) [km +1- (k - 1)m +1] < (m + 1)∑ k m< ∑[(k + 1)n2 1 - 4 1 - 2 34 (4n - 1) + 2(1 - 2n ) - + 2 - 2n +1 + - 2n +1 = 3 - T + T + T +Λ + T = 3 ⎛ 2 ⎝ 3 3 7 2n - 1 例 7.已知 x = 1,n ⎩n - 1(n = 2k, k ∈ Z ) +Λ + ln 3n 1 1 2 3n + 1 +Λ + 1⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 > + + ⎪+ + ⎪ + Λ +  ⎪⎪ = 6 ⎝ 6 9 ⎭ ⎝ 18 27 ⎭ ⎝ 2 ⋅ 3n -1 3n ⎭⎛ 3n -1a m ln a m ≤ a 1 ln a m < a 1 lnb < 0 , a k +1k k k 1 m k m ,因为 ∑ a ln a < k (a ln b ) , m m 1m =1m =1于是 ak +1> a + k | a ln b |≥ a + (b - a ) = b1 1 1 1例 5.已知 n , m ∈ N , x > -1, S = 1m + 2m + 3m + Λ + n m ,求证: n m +1 < (m + 1)S < (n + 1)m +1 - 1 .+mn解析:首先可以证明: (1 + x)n ≥ 1 + nxnm +1= nm +1- (n - 1)m +1+ (n - 1)m +1- (n - 2)m +1+ Λ + 1m +1- 0 =nm +1- (k - 1)m +1]所以要证k =1n m +1 < (m + 1)S < (n + 1)m +1 - 1 只要证:nnk =1m +1n n k =1k =1m +1- k m +1]故只要证 ∑n nm +1 - k m +1],即等价于k =1k =1k =1k m +1 - (k - 1)m +1 < (m + 1)k m < (k + 1)m +1 - k m ,即等价于1 + m + 1 < (1 + 1 )m +1,1 - m + 1 < (1 - 1 )m +1k k k k而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知 a = 4n - 2n ,nT =n2na + a +Λ + a1 2n,求证:T + T + T + Λ + T < 3 . 1 2 3 n解析:T = 41 + 42 + 43 + Λ + 4n - (21 + 22 + Λ + 2n ) = 4(1 - 4n ) - 2(1 - 2n ) = 4 (4n - 1) + 2(1 - 2n )n所以T = n 2n 2n 2n 3 ⋅ 2n 3 2n= = = = ⋅ 4n +1 4 4n +1 2 4n +1 - 3 ⋅ 2n +1 + 2 2 2 ⋅ (2n )2 - 3 ⋅ 2n + 13 3 3 3 32n 3 ⎛ 1 1 ⎫ ⋅ = ⎪ 2 (2 ⋅ 2n - 1)(2n - 1) 2 ⎝ 2n - 1 2n +1 - 1⎭从而 1 2 3 n 1 1 1 1 1 - + - +Λ + - 1 ⎫ 3 ⎪< 2n +1 - 1 ⎭ 21⎧n(n = 2k - 1, k ∈ Z ) ,求证: x = ⎨ 4 1 x ⋅ x 2 3+ 4 1x ⋅ x 4 5+Λ + 1 4 x x2n 2n +1> 2( n + 1 - 1)(n ∈ N *)证明:4 1 x x 2n2n +1= 4 1 (2n - 1)(2n + 1) = 1 4 4n 2 - 1 > 1 4 4n 2= 1 2 ⋅ n=2 2 n ,因为 2 n < n + n + 1 ,所以4 1 x x 2n 2n +1> 2 2 n > 2 n + n + 1 = 2( n + 1 - n ) 所以4 二、函数放缩1 x ⋅ x23 + 14 x ⋅ x 45 +Λ + 14 x x 2n 2n +1 > 2( n + 1 - 1)(n ∈ N *)例 8.求证： ln 2 + ln 3 + ln 4 + Λ + ln 3n < 3n - 5n + 6 (n ∈ N * ) .23 4 3n6解析:先构造函数有 ln x ≤ x -1 ⇒ ln x ≤ 1 - 1 ,从而 ln 2 + ln 3 + ln 4x x 2 3 4< 3n - 1 - ( + +Λ + 3 3n1)因为 1 2 31 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 = + ⎪+ + + + + + ⎪ +Λ + 3n ⎝23 ⎭ ⎝456789 ⎭ ⎝ 2n + 1 1 ⎫+Λ + ⎪2n + 1 3n ⎭5 ⎛ 3 3 ⎫ ⎛ 9 9 ⎫3n -1 ⎫ 5n + 63 / 24⎰ 1 ,从而, 1 ⋅ i < ⎰ 1 = ln x | xnx E 取 i = 1有, 1< ln n - ln(n -1) ,nOA ⎰ 1 ,从而有 1 取 i = 1有, 1 ⋅ i > ⎰ = ln x |n = ln n - ln(n - i) 1 ,所以综上有 1 +Λ + 1(1 + 1 )(1 + ) ⋅Λ ⋅ (1 + 1 ) < e 和1 2! 3! n! 9 例 13.证明: ln 22 - x ,令 ,所以 ln 2所以 ln 2 + ln 3 + ln 4 + Λ + ln 3n < 3n - 1 - 5n = 3n - 5n + 62343n66例 9.求证:(1)α ≥ 2, ln 2α + ln 3α + Λ + ln n α < 2n 2 - n - 1 (n ≥ 2)2α3α n α 2(n + 1)解析:构造函数f (x) =ln x x,得到 ln n n αα ≤ln n 2 n 2,再进行裂项 ln n 2 ≤ 1 - 1 < 1 -n 2 n 21 ,求和后可以得到答案n(n + 1)函数构造形式: ln x ≤ x -1 , ln n α ≤ n α - 1(α ≥ 2)例 10.求证: 1 + 1 + Λ + 1 < ln(n + 1) < 1 + 1 + Λ + 12 3n + 1 2 n解析:提示: ln(n + 1) = ln n + 1 ⋅ n ⋅Λ ⋅ 2 = ln n + 1 + ln n + Λ + ln 2n n - 1 1 n n - 1函数构造形式:ln x < x, ln x > 1 -1x当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f (x) = 1 ,x首先:nn S<n = ln n - ln(n - i)ABCFn -in -in -iyFn-in D C Bx所以有 12 < ln 2, 1 < ln 3 - ln 2 ,…, 1 < ln n - ln(n -1) ,3 n1 n + 1< ln(n + 1) - ln n , 相 加 后 可 以 得 到 :1 1 1 + +Λ + < ln(n + 1)23 n + 1另一方面SABDE> n n -ix所以有ln(n +1) < 1+ 1 +Λ + + 1 2 n 2 31 1 < ln(n + 1) < 1 + +Λ +n + 1 2 n例 11.求证: 1 (1 + )(1 + 1 1) ⋅Λ ⋅ (1 + 81 32n) < e .解析:构造函数后即可证明例 12.求证: (1 + 1⨯ 2) ⋅ (1 + 2 ⨯ 3) ⋅Λ ⋅ [1 + n(n + 1)] > e 2n -3解析:ln[n(n + 1) + 1] > 2 -3n(n + 1) + 1,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:ln(x + 1) > 2 -3 1 + ln(1 + x) 3 (x > 0) ⇔ > (x > 0)x + 1 x x + 1(加强命题)+ ln 3 + ln 4 3 4 5 +Λ + ln n n (n -1)< (n ∈ N *,n > 1) n + 1 4解析:构造函数 f (x) = ln(x - 1) - (x - 1) + 1(x > 1) ,求导,可以得到:f '(x) = 1-1 =x -1 x -1f ' ( x ) > 0 有1 < x < 2 ,令 f ' ( x ) < 0 有 x > 2 ,所以 f ( x ) ≤ f (2) = 0 ,所以 ln(x - 1) ≤ x - 2 ,令 x = n 2 + 1 有, ln n 2 ≤ n 2 - 1所以ln n n +1 ≤n -12+ ln 3 + ln 4 3 4 5 +Λ + ln n n(n -1) < (n ∈ N *,n > 1) n + 1 44 / 242n n (n +1) 2 n (n +1) 2 nn ln a < ln(1 +1+ 1) + ln a≤ (1+ 1 n 2 + n 2n≤ ln(1 + 1 ≤ ln a + 1 。

数列的放缩技巧
数列的放缩技巧主要有以下几种：
1. 利用单调性放缩：如果数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式。

2. 分式放缩：通过改变数列的项的分母来达到放缩的目的。

3. 部分放缩：只对数列的部分项进行放缩，常用方法有：舍弃一部分不需要的项，或者将一部分项的值直接取为1等。

4. 迭代放缩：通过多次迭代的方式，逐步将数列的项进行放缩。

5. 基于递推结构的放缩：根据数列的递推公式，通过逐步推导的方式进行放缩。

6. 利用导数不等式放缩：对数列的项进行求导，再利用不等式，达到放缩的目的。

高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法是一种用于求解数列问题的技巧。

通过适当的方法对数列进行放缩，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。

在高中数学中，数列是一个非常重要的概念。

通过研究数列的性质和规律，可以帮助学生培养数学思维和分析问题的能力。

数列放缩法的基本思想是通过一系列变换将原始数列转化为一个更
加简单或者更加易于处理的数列，从而使问题的求解变得更加容易。

下面介绍几种常用的数列放缩方法：
1. 数列的倍数放缩：如果一个数列的每一项都乘以一个相同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有明显倍数关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等比数列，从而更加方便地求解。

2. 数列的平移放缩：如果一个数列的每一项都加上或者减去一个相
同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有明显递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等差数列，从而更加方便地求解。

3. 数列的递推放缩：如果一个数列的每一项都是前一项的某个函数，
那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有复杂递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个递推公式，从而更加方便地求解。

除了以上几种基本的放缩方法，还可以根据具体问题的特点进行其他类型的放缩。

数列放缩法在高中数学中有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种数列问题，提高数学分析和推理能力。

总之，高中数列放缩法是一种重要的解题技巧，通过适当的放缩方法可以简化数列问题的求解过程，提高解题效率。

掌握数列放缩法对于高中数学的学习和应试都具有重要的意义。

以下是八个放缩公式一览表：
1.等差数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等差数列，且公差变为原来的k倍。

2.等比数列的放缩公式：如果将每一项都乘以一个常数k，那么新得到的数列仍然是等比数列，且公比变为原来的k倍。

3.y=c（c为常数）：这个公式表示当x取任意值时，y都等于常数c。

4.y'=0：这个公式表示函数y的导数为0，即函数y是常数函数。

5.y=x^n：这个公式表示当x取任意值时，y等于x的n次方。

6.y'=nx^(n-1)：这个公式表示函数y的导数为nx的n-1次方，即函数y是x的n次方的导数。

7.y=a^x：这个公式表示当x取任意值时，y等于a的x次方。

8.y'=a^xlna：这个公式表示函数y的导数为a的x次方的自然对数，即函数y是a的x次方的导数。

数列型不等式放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n nn n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n (13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn (4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以 )12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n ++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到n n 131211)11(2++++<-+ ,再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(,∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m nk m nk m m k k n nnn n k m k k111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k-+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n na a a T +++= 212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnnn n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+, 所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n三、分式放缩姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++<m b a ma mb a b记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n也可以表示成为12)12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n和1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n n解析: 利用假分数的一个性质)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 可得>-⋅⋅122563412n n=+⋅⋅nn 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n nn⇒12)122563412(2+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩:1338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n n n (加1)nn n n 31391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)相乘,可以得到:)13(1323875421131381057.2423137845122+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n 所以有.13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n四、分类放缩例21.求证:212131211nn>-++++ 解析: +++++++++>-++++ )21212121()4141(211121312113333n2)211(221)212121(n n nn n n n >-+=-+++ 六、借助数列递推关系例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则nn n n n a na a n a n n a +=+⇒++=++2)1(2)1(21211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到1221)22(1321)1(22)1(21121-+⋅+<-+⋅+<-+=++++n n n n a a n a a a n n ,所以1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn解析: 设n n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅= 则111)12(]1)1(2[)1(212+++++=++⇒++=n n n n n a a n a n a n n a ,从而n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到11223121)12(3)12(1121-+<-+⋅+<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:)11(211121-+≥+++n a a a n解析:nn n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21112112所以就有2122111121121121-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 九、均值不等式放缩例32.设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ，)21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ， 即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2b a ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnn n n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

数列的放缩法总结数列的放缩法是一种常用的证明方法，它可以通过对数列进行放缩，从而得到一些有用的结论，进而证明某个定理或命题。

下面是数列的放缩法的详细总结：1. 什么是数列的放缩法？数列的放缩法是一种通过对数列进行放缩，从而得到一些有用的结论，进而证明某个定理或命题的方法。

它通常是通过对数列的每一项进行某种变换，使得变换后的数列具有一些特殊的性质，然后利用这些性质来证明定理或命题。

2. 数列的放缩法的基本思想是什么？数列的放缩法的基本思想是通过对数列的每一项进行某种变换，使得变换后的数列具有一些特殊的性质，然后利用这些性质来证明定理或命题。

这种变换通常是通过对数列的每一项进行乘法或加法变换，从而得到一个新的数列。

3. 数列的放缩法的具体步骤是什么？数列的放缩法的具体步骤如下：（1）确定要证明的定理或命题。

（2）对数列的每一项进行某种变换，使得变换后的数列具有一些特殊的性质。

（3）利用这些特殊的性质来证明定理或命题。

4. 数列的放缩法的常用技巧有哪些？数列的放缩法的常用技巧有以下几种：（1）利用数学归纳法。

（2）利用柯西-施瓦茨不等式。

（3）利用阿贝尔变换。

（4）利用柯西定理。

（5）利用特殊的数列性质，如单调性、凸性等。

5. 数列的放缩法的应用范围有哪些？数列的放缩法可以应用于各种数学领域，如代数、几何、概率等。

它可以用于证明各种定理和命题，如不等式、极限、级数等。

在数学竞赛中，数列的放缩法也是一种常用的证明方法。

总之，数列的放缩法是一种常用的证明方法，它可以通过对数列进行放缩，从而得到一些有用的结论，进而证明某个定理或命题。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的技巧和方法。

⾼考数学：数列放缩法
数列放缩法需要把握两⽅⾯：
⼀、放缩⽅向
数列放缩的⽅向包含两层意思：
1.放缩成什么形式？
2.放⼤呢还是缩⼩呢？
第2个问题看题⽬要求即可.
对于第1个问题，⾼中阶段，数列放缩主要有两个⽅向.
1.朝等⽐数列去放缩，即把数列放缩为等⽐数列.
看这样⼀个例题：
从解答过程能够看出，本题需要放⼤，原数列⽆法求和，放⼤之后为等⽐数列，顺利实现求和.
2.朝裂项相消去放缩，即把数列放缩为能够采⽤裂项相消法求和的形式.
看这个例题：
数列⽆法求和，需要放缩，⽽且需要放⼤.
注意：为保证n-1有意义，n从2开始取值.
⼆、放缩的度
看个例题，体会放缩的“度”：
先分析通项，貌似能够朝裂项相消去放缩.
从上式结论看出，我们没有达到题⽬的要求，放的过⼤了.
为此，我们需要重新放⼤⼀次，这⼀次要往回收⼀些.
⼩结：
1.根据不等式符号决定放⼤还是放⼩；
2.常⽤的放缩⽅向：朝等⽐放缩和朝裂项相消法放缩；
3.放缩“度”的调节⽅法：不同形式放缩.。

解决数列放缩问题的六大技巧本篇主要目标是聚焦于数列放缩，常见的方法有六种，具体我将在文中以实例详细说明.类型1.利用单调性放缩例1．已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+（1）设12n n b a =+，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）证明：12211113nb b b ≤+++< ．解析：（1）∵131n n a a +=+，则111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即13n n b b +=，又∵111322b a =+=，所以{}n b 是首项为32，公比为3的等比数列，∴32n n b =，故{}n b 的通项公式为32nn b =.（2）由（1）知123n n b =，即1n b ⎧⎫⎨⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，∴121221133111222111333313nnnn b b b ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+++==- ⎪⎝⎭- ，又∵数列113n⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭单调递增，∴11111133n⎛⎫⎛⎫-≤-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12211113nb b b ≤+++< .类型2.先求和再放缩先求和再放松实质上是一类很常见的题目，这类放缩实质在考察数列求和，放缩的结果也很松，下面通过两个例子简单说明即可，分别是利用裂项相消求和与错位相减求和后放缩.例2.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++< na a a ．解析：（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+ n a a a n n 111112(1)2231=-+-++-+ n n 12(1)21=-<+n ．注：111111().n n n n a a d a a ++=-，则：1223111111111......()n n n a a a a a a d a a ++⇒+++=-.可以看到，裂项后一定可以得到一个估计.例3．已知等比数列{}()n a n N*∈为递增数列，且236324,522==+aa a a a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()42n nn b n N a *-=∈，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：6n S <．解析：（1）由题意，()2251123111522a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11212a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或122a q =⎧⎨=⎩，因为等比数列{}()n a n *∈N 为递增数列，所以122a q =⎧⎨=⎩，所以1222n nn a -=⨯=.（2）由（1）知数列{}n b 的前n 项和为：0111322212n n n S -=++-+ ①，112123212122223n n n n n S --=++-++ ②，两式相减可得：1112111112121232212312222211122212n n n n n n n n n S --⎛⎫=+⎛⎫- ⎪--+⎝⎭=+=+++-⎝-⎪⎭-- ，所以12362n n n S -+=-，又因为*n N ∈，所以12302n n -+>，所以123662n n n S -+=-<.类型3.先放缩通项再求和这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点.此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩.当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.1．常见的裂项公式：例如：n n n n n )1(11)1(12-<<+或者12112-+<<++n n nn n 等2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 这样的话，可得：1)(-->-n nnab a b a ，就放缩出一个等比数列.3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<.下面来看上面这些基本的放缩结构的应用.例4.（2013年广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .解析：（2）当2n ≥时,32112233n n S na n n n +=---,()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =.（3）当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-<，综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<下面我们再看将通项放缩成等比（等差比数列）再求和完成放缩证明.例5.（2014全国2卷）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112na a a ++<…+.解析：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，又11322a +=，所以1{}2n a +是首项为32，公比为3的等比数列，1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=（2）由（1）知1231nn a =-，因为当1n ≥时，13123n n --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯于是12-112311-1111111313311-13332321-3n n n n a a a a ++++<++++==< （.所以123111132n a a a a ++++< .注：此处13123nn --≥⨯便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ 当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132-=<-n n n ，请读者自行尝试.类型4.基于递推结构的放缩1.nnn a a a +=+11型：取倒数加配方法.例6．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A．100332S <<B．10034S <<C．100942S <<D．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++⎛⎫==+-⎪⎪⎭2111122n a +⎛⎫∴<++⎪⎪⎭12<根据累加法可得，11122n n -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)311n n n n a n a a a n n n ++∴≥∴=≤=++++.一方面：252111)1(41002>⇒+-+>+>S n n n a n .另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<．故选：A．2.二次递推型：r qa pa a n n n ++=+21.12121211+++++=-⇒+=-⇒++=n n n n n nn n n nn a a r pa a qa r pa qa a r qa pa a ，然后裂项即可完成放缩，我们以2015浙江卷为例予以说明.例7.（2015浙江卷）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.分析：=-⇒=-++n n n n n a a a a a 11121211[1,2]1n n n n n na a a a a a +==∈--，累加，则可证得.解析：（1）由题意得210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，故12n a ≤.由11(1)n n n a a a --=-得1211(1)(1)...(1)0n n n a a a a a --=--->，由102n a <≤得211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤.（2）由题意得21n n n a a a +=-,所以11n n S a a +=-①,由1111n n n n a a a a ++-=和112n n a a +≤≤得11112n n a a +≤-≤所以11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②由①②得：*11()2(2)2(1)n S n N n n n ≤≤∈++.类型5.数列中的恒成立例8．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +⨯+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n -+++=⨯=，所以1221n n a n +=--.(2)()()()231122325221n n n S a a a n +⎡⎤=+++=-+-++-+⎣⎦()()23122235721n n +=+++-+++++ ()()222212321122242n n n n n n +-++=--=---，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+---+>，可得22222nn n n λ+⋅>+-即2242nn n λ+>-对于任意正整数n 恒成立，所以2max242n n n λ⎡⎤+>-⎢⎥⎣⎦，令()242n nn n b +=-，则21132n n n n b b ++--=，所以1234b b b b <>>>⋯，可得()222max222422n b b +⨯==-=-，所以2λ>-，所以λ的取值范围为()2,-+∞.类型6.利用导数产生数列放缩1.由不等式1ln -≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.例9.（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x -->，令112n x =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,而23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b->-+，即111ln ln ()2b a b a a b-<+-.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++①.(,)L a b<1ln ln ln 2ln (1)a ab x x x b x ⇔-⇔⇔<->其中，接下来令t =2>11(1)n ln n >+，1(n ln n+>②.例10．已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+.（1）若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>.解析：（1）综上可知，λ的最小值时12.（2）由上述不等式①，所以111ln(1)ln (21n n n n +-<++，111ln(2)ln(1)()212n n n n +-+<+++，111ln(3)ln(2)(223n n n n +-+<+++…，111ln 2ln(21)(2212n n n n--<+-.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln 2ln (2123212n n n n n n n n-<+++++++++- ，即111211ln 22123214n n n n n n<+++++++++- ，故11211ln 212324n n n n n +++++>+++ ，即21ln 24n n a a n-+>.例12．已知函数()ax x f x xe e =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设*n N ∈(1)ln n ++⋯+>+．1()n ln n+>，进一步求和可得：11231((...(1)12nnk k k n ln ln ln n k n==++>=⨯⨯⨯=+∑，...(1)ln n ++．。

高考专题 放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。

但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。

因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。

要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。

掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2) 求证：112122n n n S S S S S +-<++⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得)1)((11=--+++n n n n a a a a01>+∴>+n n n a a a∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S（2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121nn S n n n S S S =+=+++>++2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n na a a a⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n na a a a a a⋅+≥+=--)1()1()(2．当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-．∴nn a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….解（1）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .（2）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ，所以n b b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k k k k k k（2）．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k kk k k kk k k k常见高考放缩法试题1. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.3. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n nS b n n ．4. 已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23na +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列；(Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <25．5. （1）已知：)0(∞+∈x ，求证xx x x 11ln 11<+<+；（2）已知：2≥∈n N n 且，求证：11211ln 13121-+++<<+++n n n 。

数列放缩法数列放缩法是一种常见的数学证明方法，它通常用于证明不等式。

该方法的基本思想是利用已知的不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的不等式。

这种方法在数学竞赛和研究中被广泛使用，因为它可以使证明更加简单和直观。

一般来说，数列放缩法可以分为两种类型：基于平均值不等式（AM-GM不等式）的放缩和基于柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz 不等式）的放缩。

这两种方法都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。

基于平均值不等式的放缩方法通常适用于求证一些简单的不等式，例如求证a+b>=2√ab。

该方法的基本思想是利用AM-GM不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的形式。

例如，对于上述不等式，我们可以将其转化为(a+b)/2>=√ab，然后应用AM-GM不等式即可得到证明。

基于柯西-施瓦茨不等式的放缩方法通常适用于求证一些复杂的不等式，例如求证(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)。

该方法的基本思想是利用柯西-施瓦茨不等式将目标不等式转化为一个更容易证明的形式。

例如，对于上述不等式，我们可以将其转化为(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)>= (a+b+c)^2，然后应用柯西-施瓦茨不等式即可得到证明。

除了AM-GM和柯西-施瓦茨不等式外，数列放缩法还可以使用其他的不等式，例如夹逼准则、均值不等式等。

这些不等式都有其独特的优点和适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。

值得注意的是，数列放缩法虽然可以使证明更加简单和直观，但也存在一些限制和注意事项。

首先，该方法只适用于证明不等式，不能用于证明其他类型的数学问题。

其次，该方法需要掌握一定的数学知识和技巧，否则容易出现错误。

最后，该方法只能在特定的条件下使用，不能滥用。

综上所述，数列放缩法是一种常见的数学证明方法，它可以使证明更加简单和直观。

该方法可以分为基于平均值不等式的放缩和基于柯西-施瓦茨不等式的放缩两种类型，还可以使用其他的不等式。