2021届四川省凉山州高三上学期第一次诊断性检测数学(理科)试题及答案

2021年高三上学期第一次阶段性测试数学（理）试题 含答案 数学试题（理科） 满分150分 时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题 (本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合，，则= ( )A ．B ．C ．AD ．B2. 函数的定义域为 ( )A. B ． C ． D ．（ ）4. 已知，，则 ( )A ．B ．C ．D ．5. ( )A ．B ．C ．D ．6.设都是不等于1的正数，则“”是“”的 ( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.设，则函数的零点位于区间 ( )A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）1()(0,1)+=>≠∞8.若函数的值域为[1,+),则f(-4)与f(1)的关系是（ ）x f x a a a21() ( )=++∞19.若函数在(,+)上是单调递增函数，则a的取值范围是2f x x axx10.函数的大致图像是( )11.设定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.32''''''3212.f(x)ax bx cx d(a0),y,f(x)f(x), f(x)f(x)f(x)=0.f(x)=x3x,))) ))=+++≠-++++ +已知函数的图像的对称中心M(x）记函数的导函数为123的导函数为，则有若函数则f(f(f(20152015201540284029f(f(的值为（）20152015A.-8058B.-4029C.8058D.4029第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为减函数，则实数m的值是．14.由三条曲线所围成的图形的面积是．115.1=+直线过原点与曲线相切于点，那么点的坐标为_____.y P Px''216.f(x)0+f(x)f(x),f(x1)(x1)f(x1)∞+>--已知函数的定义域为（，），为f(x)的导函数，且满足f(x)<-x则不等式的解集是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)1()-4+7(1)0)4=∞-+-++≤∞∞⌝∧2设命题：在区间（，）上是减函数；命题q ：关于x 的不等式x 在（-,+上有解.若（p)q 为真，求实数m 的取值范围。

高中(gāozhōng)2021级第一次诊断性考试数学〔理工类〕本套试卷分为试题卷和答题卷两局部，其中试题卷由第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕组成，一共4页；答题卷一共4页。

满分是150分，在在考试完毕之后以后将答题卡和答题卷一起交回。

第I卷〔选择题，一共60分〕考前须知：1、答第1卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3、参考公式：假如事件A、B互斥，那么P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕；假如事件A、B互相HY，那么P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕；假如事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次HY重复试验中恰好发生k次的概率：。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。

1. 复数A. 0B. 1C. iD.2. “m>1,n>1”是“log m n>0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 与函数有一样图象的一个函数是A. B.C. D.4. 某公司(ɡōnɡ sī)有N个员工，下设假设HY门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本〔N是n的正整数倍〕。

某部门被抽取了m个员工，那么这一部门的员工数为A. B. C. D.5. 命题“假设a，b都是奇数，那么a+b是偶数〞的逆否命题是A. 假设a+b不是偶数，那么a，b都不是奇数B . 假设a+b不是偶数，那么a，b不都是奇数C. 假设a+b是偶数，那么a，b都是奇数D. 假设a+b是偶数，那么a，b不都是奇数6. 设函数在点x = 0处连续，那么a的值是A. 0B.C.D. 17. 假设存在，那么a的值是1A. 0B. 1C. －1 Ｄ.28. 设随机变量服从正态分布N(0，1)，记，那么以下结论不正确的选项是A. B.C. D.9. 函数的图象具有的特征：①原点O〔0，0〕是它的对称中心；②最低点是〔1，2a〕；③y轴是它的一条渐进线。

凉山州2022届高中毕业班第一次诊断性检测理科综合理科综合试题卷第1页（共12页）理科综合共300分，包括物理、化学、生物三部分，考试时间共150分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

可能用到的相对原子质量：H —1C —12N —14O —16Na —23Mg —24S —32Cl —35.5Fe —56Cu —64Br —80第Ⅰ卷(选择题共126分)一、选择题（每题给出的选项中只有一个选项最符合题目要求，共13题，每题6分，共78分。

）1.神经元线粒体自由基代谢失调，会导致线粒体的氧化损伤，出现线粒体功能紊乱。

这种改变不会直接影响下列哪种生理过程（）A.NADH 与O 2结合生成水B.葡萄糖分解成丙酮酸C.高尔基体对物质的分类包装D.神经细胞对K +的吸收2.“ATPase ”是存在于生物膜上具有ATP 水解酶活性的载体蛋白，它能够水解ATP ，并利用ATP水解释放出的能量驱动相关物质跨膜运输。

下列相关分析错误的是（）A.相关物质通过“ATPase ”可以进行逆浓度梯度运输B.“ATPase ”有运输和催化作用，说明它无酶的专一性C.由“ATPase ”可知生物膜有物质运输和能量转换的作用D.“ATPase ”可以水解ATP 分子中远离A 的那个高能磷酸键3.果蝇体细胞含有8条染色体。

下列关于果蝇精原细胞进行减数分裂的叙述，错误的是（）A.在减数第一次分裂前的间期，染色体复制，细胞体积增大B.在减数第一次分裂的前期，每个四分体含有4个DNA 分子C.减数第一次分裂时同源染色体分离，导致染色体数目减半D.两次分裂是均裂，形成的4个精细胞中DNA 含量一定相同4.以下生物学实验的部分操作过程，正确的是（）选项实验名称实验操作A 检测生物组织中的蛋白质在待测液中加入NaOH 和CuSO 4等量混合溶液B 观察细胞中DNA 和RNA 的分布先加吡罗红染色，再加甲基绿染色C 探索生长素类似物促进生根的最适浓度先做预实验，在此基础上再设计细致的实验D低温诱导植物染色体数目加倍先用卡诺氏液固定细胞，再用低温处理5.谷氨酸是大脑内的一种重要的兴奋性递质，如果细胞外谷氨酸长期大量积累，会引起抑郁症等疾病。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

凉山州2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1.本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题(每小题5分，共60分)1-12.BAACB BABDA BB二、填空题(每小题5分，共20分)13.13514.(][],20,2-∞- 15.50916.②③④三、解答题（共70分）17.解：⑴22⨯列联表如下：大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低101020舒张压正常206080合计307010022100(10601020) 4.762 6.635 (530702080)K ⨯⨯-⨯∴=≈<⨯⨯⨯分所以，没有99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关..............6分302133333366120333333366012,3.19(0)=(1)=202091(2)=(3)= (102020)X C C C C P X P X C C C C C C P X P X C C ∴========（2）由题意得，采用分层抽样抽取的6人中，大龄受试者有3人，年轻受试者有3人；的可能取值为，，，分故X 的分布列为X0123P 12092092012019913()0123 (12202020202)E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=分()22218.1=),=cos (242)11=sin cos =sin tan 2220, (3)S a c b S ac B S ac B B B B B B ππ+-∴=∈∴=解：（） 由余弦定理得分又 ，即分222222........................52=2c 3=-2cos -cos =3=1 (73)=2a b B b a c ac B c c c c BC ππλ=∴++∆∴分（）由题意得，，由余弦定理，得44，即分设边与x轴的交点为D，则ABD为正三角形2===)2211=3232sin()=sin()=12323=+2,=+2, (326)x A k k Z k k Z πωππϕππϕϕπππϕπϕπ∴∴∴+∴++∴+∈∈函数f(x)的最小正周期为2......................9分 f(x)又点（，）在函数f(x)的图像上 f()，即.....................11=. (1226)ππϕϕ∴分又0<< 分19.12=...................................................PA ABCD AD BC ABC AB AB A PB PB π⊥⊂∴⊥∠=∴⊥∴⊥⊂∴⊥ 解：（）平面ABCD且AD 平面ABCD PA AD...............2分 在底面中，， AD 而PA AD 平面PAB，平面PAB AD .........4................................................5AF A ADEF ∆∴⊥=∴⊥ 分 又在PAD中，PA=AB=2,F是PB的中点 AF PBAD PB 平面分1=(24)2=62122, 1 (73)ABCD S S PA PA PA ⨯+⨯∴==∴= （2）底面的面积 四棱锥P-ABCD的体积V=分 以点AB为x轴，AD为y轴，PA为z轴，建立如图所示的空间坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,1)20.解：（1）由题意得：c =1b =，则2223a b c =+=∴椭圆方程为2213x y +=.................................................................................................4分（2）解法一（常规方法）：设1122(,),(,)A x y B x y ，联立222113y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得:22(31)6(21)12(1)0k x k k x k k ++-+-= 直线21(0)y kx k k =+-≠与椭圆C 交于A 、B 两点0∴∆>即2212[(31)(21)]48(1)0k k k k +--=-->解得：01k <<由韦达定理得：1212226(21)12(1),73131k k k k x x x x k k --+=-⋅=++分1212211212121212122211()2(22)() =........................................................966(21)1212112(1)1212PA PB y y x y x y x x k k x x x x kx x k x x x x k k k k k k k k k--+-+∴+=+=+-+-+--===--分1..................................................................12PA PB ∴直线、得斜率和为定值分解法二（构造齐次式）：由题直线21(0)y kx k k =+-≠恒过定点(2,1)--①当直线AB 不过原点时，设直线AB 为(1)1()mx n y +-=* ，11112112=040,220=01,=4,11,1,4cos ,PDPC n n PD y z x y z n PC y z x n n n n n ∴⎧-=⎛⎪⎨ +-=⎝⎪⎩==∴∴<>= =(0,4,-1),=(2,2,-1)设平面PDC的法向量=(x,y,z),则 ，即 取则 =（）............10分又平面PDA的法向量=（1,0,0）21226n n n = 分分则221mx n --=即12m n +=-有12m n =--由2213x y +=有223(1)6(1)0x y y +-+-=则223(1)6(1)[(y 1)]0x y y mx n +-+-+-=整理成关于,1x y -的齐次式：22(36)(1)6(1)0n y mx y x +-+-+=，进而两边同时除以2x ，则211(36)()6()10y y n m x x--+++=令1y k x -=则121216()116213636PA PB n y y m k k x x n n ----∴+=+=-=-=++.........................................10分②当直线AB 过原点时，设直线AB 的方程为12y x =，0000(,),(,)A x y B x y --，0000001121212PA PB y y y k k x x x ---∴+=+==⨯=-综合①②可得：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值1.................................................12分分，没有极大值分上单调递增，上单调递减，在，在，则，若，则若分时，当，的定义域为、解：极小值3..............................................0)1()(2.......................)1()10()(100)(10)(1.............................)1)(12(112)(1)0()()1(21==∴∞+∴<<<'>>'-+=--='=∞+f x f x f x x f x x f xx x x x x f a x f 00(2)(1)(2)()2(2)(0)..................................................410()01()001()(01)(1)201202()0012a x a x f x x a x x xa f x x f x x f x a a a f x x x +-'=-+-=>''≥>><<<∴+∞<-<-<<''><<->分当时，若，则，若，则在，上单调递减，在，上单调递增当，即时，若，则或，若0()012()(1)(0)(1)22312()02a f x x a a f x a a f x <-<<∴--+∞'-==-≥，则在，上单调递减，在，，，上单调递增当，即时，恒成立，0()(0)...............................................................................................64122()001()0122()(1)(01)(22f x a a a a f x x x f x x a a f x ∴+∞-><-''><<>-<<<-∴--在，上单调递增分当，即时，若，则或;若，则在，上单调递减，在，，)12()(1)(01)()2222()(0)320()(1)(0)(1)2240()(01)(1)a a a f x a f x a a a f x a f x +∞<---+∞=-+∞-<<--+∞≥+∞ 上单调递增 综上所述：当时，在，上单调递减，在，，，上单调递增；当时，在，上单调递增;当时，在，上单调递减，在，，，上单调递增;当时，在，上单调递减，在，上单调递增;.............8分22222(3)(1)()ln (01)(01)ln (1)0ln ...................................................................................91(1)f x x x x x x x x f x x xn n x x x n n =--∴∈-->=∴->=-=-++由知在，上为减函数，时，令，得分分加得将以上各式左右两边相分，，，即12.......................................................)1(433221)1ln()1(4332211ln 34ln 23ln 2ln 11.............................)1(1ln 4334ln 3223ln 212ln )1(1ln 1ln 1ln )1(22222222222222+++++>+∴+++++>++++++>+>>>∴+>++-=+>+-∴n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 22.（1）解：将直线)(2:为参数t t y t x l ⎩⎨⎧-==化为直角坐标系方程为：02=--y x ......1分1 (24)π∴直线的斜率为，即直线的倾斜角为分由曲线C 的极坐标方程：02,cos 2cos 2222=-+∴==x y x θρρθρ变形得∴曲线C 得直角坐标系方程为0222=-+x y x 。

2021-2022年高三数学上学期第一次诊断考试试题理注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2，，，，，，则|432234=>=--M x x N(A) (B)(C) (D)2．设是虚数单位，则复数的虚部为(A) (B) 4 (C) (D)－43．“”是“”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分又不必要条件4．函数的图象的一条对称轴方程为(A) (B)(C) (D)5．已知各项均为正数的等比数列满足，，则(A) 4 (B) 2 (C) 1 (D)6．已知角α的顶点与原点O重合，始边与轴的非负半轴重合，是角α终边上的一点．则的值为(A) (B)(C) (D)7．函数的图象可能是8．设是等差数列的前项和，若，则(A) (B)(C) (D)9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，)(A)(B)(C)(D)10．已知等比数列的前n项和为，则下列结论一定成立的是(A) 若，则(B) 若，则(C) 若，则(D) 若，则11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且满足，则(A) (B)(C) (D)12．已知是定义在区间上的函数，其导函数为，且不等式恒成立，则(A) (B)(C) (D)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

一、单选题二、多选题1. 已知复数满足，则（ ）A．B．C．D．2. 数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种3. 已知正四面体内接于球，点是底面三角形一边的中点，过点作球的截面，若存在半径为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 已知向量，满足，则（ ）A ．0B ．2C．D ．55. 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数性模型：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的待定系数）.已知一只体重为的豚鼠脉搏率为，如果测得一只小狗的体重，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（ ）A．B．C．D．6. 设，为单位向量，，，若，则（ ）A．B ．2C．D．7. 已知平面向量的夹角为，且，则的值为（ ）A．B ．4C．D．8. 已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点且斜率为的直线与的右支交于点，，，则的离心率为（ ）A ．3B ．2C．D．9.如图，正四棱柱中，，、分别为的中点，则（）A．B ．直线与直线所成的角为C ．直线与直线所成的角为D ．直线与平面所成的角为10. 已知函数，，则（ ）四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题(1)四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．函数在上无极值点B．函数在上存在极值点C ．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值D ．若，则的最大值为11.已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．A ．函数是以2为周期的周期函数B ．函数是以4为周期的周期函数C ．函数为奇函数D ．函数为偶函数12.已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿x轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A．函数图象的一个对称中心为B ．当到时，函数的最小值为C ．若，则的值为D．函数的减区间为13. 已知向量是互相垂直的两个单位向量，若，则___________.14. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过且不与轴垂直的直线交于两点，，，则的方程为______.15. 若关于的不等式对任意的恒成立，则整数的最大值为______.16. 已知函数．(1)证明；(2)关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．17. 已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）18. 在三棱锥中，底面ABE ，AB ⊥AE，，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且，连接PC ，PD ，CD.(1)求证：平面PAB ；(2)求点E 到平面PCD 的距离.19. 如图所示，在五面体EF －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，．(1)求证：；(2)若，点G为线段ED的中点，求直线DF与平面BAG所成角的正弦值．20.已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）直线交圆于，两点，当为的中点时，求直线的方程．21. 如图，在直三棱柱中，D，E，F分别为AC，AB，的中点，且，，，.(1)证明：平面；(2)求点A到平面DEF的距离.。

2021年高三上学期第一次质检数学（理）试卷含解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B=．2．函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是．6．已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）= ．7．已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．9．在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）11．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为．12．若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m的值为．13．已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是．14．一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有．（填上所有正确答案的序号）（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；①f1②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．17．（14分）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．18．（14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．21．（16分）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．22．（16分）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x ﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．23．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．xx学年江苏省徐州市沛县中学高三（上）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案写在答题卡相应位置上）1．已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B={1，2} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（xx秋•普宁市校级期中）函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先求出函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的导数，然后令f′（x）＞0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：f′（x）=2（x﹣1），令f′（x）＞0，解得x＞1，所以f（x）在[1，+∞）递增，即函数f（x）=（x﹣1）2﹣2的递增区间是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及导数的应用，属于基础题．3．已知复数z=，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：z==，则复数z的虚部是：．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．函数y=lg（3x+1）+的定义域是{} ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】由题意可得，解之可得函数的定义域，注意写成集合的形式即可．【解答】解：由题意可得，解之可得故函数的定义域是{}．故答案为：{}【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的取值范围是（﹣4，0] ．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z的几何意义，进行平移，结合图象得到z=2x﹣y的取值范围．【解答】解：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣2，0）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．当直线y=2x﹣z经过点O（0，0）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．所以z的最大值为z=﹣2×2=4，最小值z=0﹣0=0．即﹣4＜z≤0．故答案为：（﹣4，0]【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．6．（xx•长春三模）已知f（x）=+sinx，则f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=5．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件求解f（x）+f（﹣x）=2，然后即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=+sinx，∴f（x）+f（x）=+sinx++sin（﹣x）=，则f（0）=1，f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）=2+2+1=5，故答案为：5．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用条件得到f（x）+f（﹣x）=2是解决本题的关键．7．（xx•通州区一模）已知函数f（x）=在区间（﹣∞，a]上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣1，0] ．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：由y=x2在（﹣∞，0）递减，故a≤0，由x+1＞0，解得：x＞﹣1，故a≥﹣1，故答案为：[﹣1，0]．【点评】本题考查了二次函数以及对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．8．若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是（0，3）．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．9．（xx•通州区一模）在△ABC中，已知BC=2，AC=，，那么△ABC的面积是．【考点】正弦定理．【专题】对应思想；综合法；解三角形．【分析】利用正弦定理解出sinA，cosA，根据两角和的正弦公式计算sinC，代入三角形的面积公式求得面积．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinA=，∴cosA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==．===．∴S△ABC故答案为．【点评】本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式，三角形的面积计算，属于中档题．10．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的充分不必要条件条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a ＞1”，故必要性不成立，故答案为：充分不必要条件．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，属于基础题．11．（xx•万州区模拟）已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则16x+4y的最小值为8．【考点】基本不等式；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0，得到x，y满足的等式；利用幂的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得．【解答】解：∵∴4（x﹣1）+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为8【点评】本题考查向量垂直的充要条件：数量积为0；考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件：一正、二定、三相等．12．（2011秋•雁塔区校级期末）若函数y=sinx+mcosx图象的一条对称轴方程为，则实数m 的值为．【考点】正弦函数的对称性；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】化简函数y=sinx+mcosx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对称，就是时，函数取得最值，求出m即可．【解答】解：函数y=sinx+mcosx=sin（x+θ），其中tanθ=m，，其图象关于直线对称，所以θ+=±，θ=，或θ=（舍去）所以tanθ=m=，故答案为：．【点评】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．13．（xx•韶关模拟）已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是1．【考点】向量在几何中的应用．【专题】压轴题；平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值．【解答】解：∵=||||cosA，∠A=120°，∴||||=4∵=（+），∴||2=（||2+||2+2 •）=（||2+||2﹣4）≥（2||||﹣4）=1∴min=1故答案为：1．【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（xx•安庆二模）一般地，如果函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域也是[a，b]，则称函数f（x）为“保域函数”，下列函数中是“保域函数”的有②③⑤．（填上所有正确答案的序号）①f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]；②f2（x）=sinx，x∈[，π]；③f3（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]；④f4（x）=x﹣lnx，x∈[1，e2]；⑤f5（x）=，x∈[0，2]．【考点】进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出题目中所给5个函数的值域，根据已知中“保域函数”的定义逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：对于①，f1（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]的值域为[﹣1，0]，不符合，故①舍去；对于②，f2（x）=sinx，x∈[，π]的值域为，故②正确；对于③，，于是f3（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，其值域为[﹣2，2]，故③正确；对于④，，单调递增，其值域为[1，e2﹣2]，不符合题意，故④舍去；对于⑤，f5（0）=0，当x＞0时，（当且仅当x=1时，等号成立），其值域为[0，2]，故⑤正确．故答案为：②③⑤．【点评】本题考查的知识点是函数的值域，其中熟练掌握求函数值域的方法，并正确理解保域函数”的定义是解答的关键．二、解答题：（本大题共9小题，共130分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）（xx秋•苏州期中）已知集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，函数y=lg（﹣x2+5x+14）的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）利用a=4，求出集合A，对数函数的定义域求出集合B，即可求解集合A∩B．（2）通过“x∈A”是“x∈B”的充分条件，推出关于a的表达式，求出a的范围．【解答】解：（1）因为集合A={x|（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0}，a=4，所以（x﹣3）（x﹣3a﹣5）＜0⇒（x﹣3）（x﹣17）＜0，解得3＜x＜17，所以A={x|3＜x＜17}，由函数y=lg（﹣x2+5x+14）可知﹣x2+5x+14＞0，解得：﹣2＜x＜7，所以函数的定义域为集合B={x|﹣2＜x＜7}，集合A∩B={x|3＜x＜7}；（2）“x∈A”是“x∈B”的充分条件，即x∈A，则x∈B，集合B={x|﹣2＜x＜7}，当3a+5＞3即a＞﹣时，3a+5≤7，解得﹣＜a≤．当3a+5≤3即a≤﹣时，3a+5≥﹣2，解得﹣≥a≥﹣．综上实数a的取值范围：．【点评】本题考查二次不等式的解法，对数函数的定义域的求法，集合的交集与充要条件的应用，考查计算能力．16．（12分）（xx•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．17．（14分）（xx春•洛阳期末）已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．18．（14分）（xx•玉溪三模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=bcosC ﹣csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D为边AC的中点，BD=1，求△ABC面积的最大值．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换化简已知可得cosBsinC=﹣sinCsinB，又sinC≠0，从而可求tanB=﹣，结合B为三角形内角，即可得解B的值．（Ⅱ）由D为边AC的中点，可得2=+，两边平方，设||=c，||=a，可得4=a2+c2﹣ac，结合基本不等式的应用可得ac的最大值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵a=bcosC﹣csinB，∴由正弦定理可得：sinA=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sin（B+C）=sinBcosC﹣sinCsinB，∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC﹣sinCsinB，∴cosBsinC=﹣sinCsinB，又∵C为三角形内角，可得sinC≠0，∴tanB=﹣，又∵B为三角形内角，可得B=…（6分）（Ⅱ）如图，∵点D为边AC的中点，∴2=+，∴两边平方可得：4||2=||2+2||•||•cos∠ABC+||2，…（9分）又∵由（Ⅰ）知B=，设||=c，||=a，即：4=a2+c2﹣ac≥ac，（当且仅当a=c=2时等号成立），=acsin∠ABC=ac≤．∴S△ABC∴当且仅当a=c=2时，△ABC面积的最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，考查了平面向量及其应用，考查了基本不等式，三角形面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（14分）（xx•江西二模）已知函数f（x）=|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】选作题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|=|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．20．（16分）（xx•宝山区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，]，f（x）=•﹣（2m+）||的最小值为﹣，求实数m的值．【考点】三点共线；三角函数的最值．【专题】综合题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到；（II）由（Ⅰ）变形即可得到两向量模的比值；（Ⅲ）求出的解析式，判断其最值取到的位置，令其最小值为，由参数即可，【解答】解：（Ⅰ）由已知，即，∴∥．又∵、有公共点A，∴A，B，C三点共线．（3分）（Ⅱ）∵，∴=∴，∴．（6分）（Ⅲ）∵C为的定比分点，λ=2，∴，∴∵，∴cosx∈[0，1]（8分）当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；（9分）当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1﹣m2，得（舍）（10分）当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，得（11分）综上所述，为所求．（12分）【点评】本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，尤其本题中在判定最值时需要分类讨论的，对思考问题的严密性一个挑战．21．（16分）（xx春•成都校级期中）一房产商竞标得一块扇形OPQ地皮，其圆心角∠POQ=，半径为R=200m，房产商欲在此地皮上修建一栋平面图为矩形的商住楼，为使得地皮的使用率最大，准备了两种设计方案如图，方案一：矩形ABCD的一边AB在半径OP上，C在圆弧上，D在半径OQ；方案二：矩形EFGH的顶点在圆弧上，顶点G，H分别在两条半径上．请你通过计算，为房产商提供决策建议．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】应用题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】分类讨论，按照方案一，二的要求进行讨论．方案一：连OC，设，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC，通过代入化简，由三角函数的最值确定的条件，可以得出答案；方案二：作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，设矩形EFGH的面积为S，求出S的式子，由三角函数的性质求出最值．最后，比较二者最大值的大小，选出最大值即可得出答案．【解答】解：按方案一：如图，连OC，设，在Rt△OBC中，BC=Rsinx，OB=Rcosx，则DA=Rsinx在Rt△OAD中，，得，则，设矩形ABCD的面积为y，则y=AB•BC==sin（2x+）﹣，由得．所以当，即时．按方案二：如图作∠POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连OE．设，在Rt△MOE中，ME=Rsinα，OM=Rcosα在Rt△ONH中，，得，则，设矩形EFGH的面积为S，则S=2ME•MN=2R2sinα（cosα﹣sinα）=R2（sin2α+cos2α﹣）=由，则，所以当，即时∵，即y max＞S max答：给房产商提出决策建议：选用方案一更好．【点评】本题考查学生的计算能力，考查学生的转化能力，以及运用三角知识进行求解实际问题的能力，属于中档题．22．（16分）（xx•湖北）已知函数f（x）=ax++c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）用a表示出b，c；（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），则有，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令g（x）=f（x）﹣lnx=ax++1﹣2a﹣lnx，x∈[1，+∞）则g（1）=0，（i）当，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≤lnx在[1，+∞）上恒不成立．（ii）时，若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．23．（16分）（xx•桂林模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．39179 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2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附解析）2021年成都市高2021届高三第一次诊断考试数学问题（科学）第ⅰ卷（选择题，共50分）一、多项选择题：本主题共有10个子题，每个子题得5分，每个子题给出的四个选项共50分，只有一个符合问题要求1．已知集合a?{x?z|(x?1)(x?2)?0}，b?{x|?2?x?2}，则ab?（a） {x | 1 | x | 2}（b）{1,0,1}（c）{0,1,2}（d）{1,1}2？在ABC中，“a？？2”是“cosa？”424（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）充要条件（d）既不充分也不必要条件3.如图所示，剩余部分与开挖部分的体积比为（a）3:1（b）2:1（c）1:1（d）1:2正视图侧视图77?19154c?log4．设a?()，b?()，，则a,b,c的大小顺序是2997俯视图（a）b?a?c（b）c?a?b（c）c?b?a（d）b?c?a已知空间中的两条线，N和m，是不同的，？，？对于空间中的两个不同平面，以下命题是正确的的是（a）如果M/？，m/然后呢？/？（b）如果我？？，Mn、那么n/？（c）若m//?,m//n，则n//?（d）若m??,m//?，则6.执行如图所示的程序框图，如果输出结果不大于50，则输入整数k的最大值为（a）4（b）5（c）6（d）77．已知菱形abcd边长为2，?b?开始输入KS？0，n？0n？K不，是吗？s2n？2n？N1输出s？，P点满足AP？？AB，3结束？？r、如果是BD？内容提供商？？3.那么？价值在于121（c）3（a）121（d）?3（b）？1X2y28。

在双曲线2上？2.1的左顶点a（a？0，B？0）是一条斜率为1的直线，这是两条双曲线ab1渐近线的交点分别为b,c.若ab?bc，则此双曲线的离心率为2（a）10（b）5（c）3（d）2xy409．设不等式组?x?y?2?0表示的平面区域为d.若指数函数y?ax(a?0且a?1)的图Y2.0如果图像通过区域D上的点，则a的值范围为（a）[2，3]（b）[3,??)（c）(0，]（d）[,1)10.如果序列{an}中的任意三个连续奇数项和三个连续偶数项可以构成三角形的边长，则{an}称为“次三角形”序列；对于“次三角形”序列{an}，如果函数y？F（x）使1313bn?f(an)仍为一个“亚三角形”数列，则称y?f(x)是数列{an}的一个“保亚三角形函数（n？n），数字序列{CN}的第一n项的总和是Sn，C1？2022，5Sn？1？席席？10080，如果{CN}的项目n的最大值是G（x）？LGX是序列{CN}（参考数据：LG2×10.301，LG2022×3.304）（A）33（B）34（C）35（D）36的“次三角保留函数”。

四川省凉山州2019+届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}210A x x =-，集合{}1,0,1,2B =-，则A B ?（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,2D. {}1,1- 【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合A 中不等式的解集，然后求集合A,B 的交集. 【详解】由210x ->得12x >，故{}1,2A B ?.故选C.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查集合交集的求法，属于基础题.2.已知复数3iz i=+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 131010i - B. 131010i + C. 1322i + D. 1322i -【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得z ，再由共轭复数的概念求z 即可. 【详解】复数()()()33113333911010i i i i z i i i i -+====+++-+， z 的共轭复数131010z i =-.故选A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.3.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1AB 、1BC 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A. 1EF BB ^B. EF ^平面11BCC BC. //EF 平面1D BCD. //EF 平面 11ACC A 【答案】D 【解析】 【分析】连接1B C ，利用中位线证得//EF AC ，由此证得//EF 平面11ACC A .【详解】连接1B C 交1BC 于F ，由于四边形11BCC B 是平行四边形，对角线平分，故F 是1B C 的中点.因为E 是1AB 的中点，所以EF 是三角形1B AC 的中位线，故//EF AC ，所以//EF 平面11ACC A .故选D.【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知//EF AC ，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项.属于基础题. 4.已知双曲线E 的渐近线方程是2y x =?，则E 的离心率为（ ）A.2或2 B. 55 C. 5 D. 5【答案】B 【解析】 【分析】讨论双曲线的焦点在x 轴和y 轴两种情况，利用222e 1()c a b ba a a+==+.【详解】当双曲线的焦点在x 轴上时，若渐近线方程是2y x =?，则2ba=. 则离心率222e 1()5c a b ba a+=+.当双曲线的焦点在y 轴上时，若渐近线方程是2y x =?，则2ab=. 则离心率2225e 1()c a b b a a +==+55故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率公式222e 1()c a b ba a+==+，注意双曲线的焦点所在的轴是x 还是y 轴，属于易错题. 5.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 32-B. 32C. 12-D. 12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序运行的顺序，求得k 的值，代入πsin6k S =，从而求得输出S 的值. 【详解】运行程序，当5k =时，判断“是”，退出循环结构，5π1sin 62S ==，故选D.【点睛】本小题主要考查程序框图的知识，解决这类问题只需要按照程序运行的顺序，循环结束后可求得输出的值.6.设ABC D 是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则·()AB FB FC +u u u v u u u v u u u v的值为（ ）A. 3B. 3C. 4D. 33 【答案】A 【解析】 【分析】用,AB AC u u u v u u u v 表示,FB FC u u u v u u u v ,在利用向量数量积的运算，求得()·AB FB FC +u u u v u u u v u u u v的值. 【详解】()()122AB FB FC AB FE AB AE AB AB AC?=???u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()2211π222cos 3223AB AB AC 骣琪=+?+创=琪桫u u u v u u u v u u u v ，故选A. 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查平面向量数量积的计算，还考查了等边三角形的几何性质，属于基础题. 7.设函数2()sin cos()44f x x x p =--，任意x R Î都满足()()f c x f c x +=-，则c 的值可以是（ ） A.8p B. 38p C. 2p D. 58p【答案】B 【解析】 【分析】化简函数得()1sin 224f x x p 骣琪=-琪桫，由()()f c x f c x +=-，得x c =为函数的对称轴，令22,42x k k Z p pp -=+?解出对称轴即可得解. 【详解】函数()2sin cos 4f x x x p 骣琪=--琪桫 222sin 224x sinx 骣琪=-琪桫 2222sin x x =-1sin 224x p 骣琪=-琪桫，任意x R Î都满足()()f c x f c x +=-，即为x c =为函数的对称轴.令22,42x k k Z p p p -=+?，解得3,8x k k Z p p =+?. 当0k =时，38x p=.故选C.【点睛】本题主要考查了两角差的余弦展开公式、二倍角公式及三角函数的对称性，属于中档题.8.已知,x y R Î，则“22(2)8x y +-?”是“60x y -+>”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【分析】画出两个不等式所表示的区域，根据其中的包含关系得出正确选项. 【详解】不等式()2228x y +-?表示圆内和圆上，不等式60x y -+>表示直线的右下方.画出图像如下图所示，由图可知，A 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件.【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要条件的判断.属于基础题.9.在ABC D 中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若6a =2b c =，7cos 8A =，则ABC D 的面积等于（ ） A. 3 B. 15C. 15D. 17【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得222222467cos 248b c a c c A bc c +-+-===，可得c ，进而得b ，利用面积公式12ABC S bcsinA D =即可得解.【详解】在ABC D 中，由余弦定理可得222222467cos 248b c a c c A bc c +-+-===. 解得2c =.所以24b c ==. 又215sinA 18cos A =-=. 所以1152ABC S bcsinA D =故选B.【点睛】本题主要考查了余弦定理求解三角形及面积公式的应用，属于基础题. 10.一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下，设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ³时，下面说法正确的是（ ）A. 500n S <B. 500n S £C. n S 的最小值为100D. n S 的最大值为400 【答案】A 【解析】 【分析】通过归纳得到第n 次着地时,共经过了21222[1001002100()2100)2m 333n -纟ç+创+创++创úçú棼L ，从而得12100400[1)3n n S -纟ç=+-úçú棼，从而可得数列单调递增，有最小值，再根据有界性可得500n S <.【详解】第一次着地时,共经过了100,第二次着地时,共经过了21001002m 3骣琪+创琪桫,第三次着地时,共经过了222[1001002100)2m 33纟ç+创+创úçú棼,以此类推,第n 次着地时,共经过了21222[1001002100()2100)2m 333n -纟ç+创+创++创úçú棼L . 所以114002[1)233100100400[1)2313n n n S --纟-?úç纟ú棼ç=+=+-úçú棼-， 则n S 是关于n 的单调增函数，所以当2n ³时，2n =，n S 有最小值为27003S =. 又12100400[1)1004005003n n S -纟ç=+-<+=úçú棼.故选A.【点睛】本题主要考查数列的前项和的取值范围的求法,考查等比数列的性质.11.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数2n >时，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ） A. 存在至少一组正整数组(,,)x y z 使方程333x y z +=有解 B. 关于,x y 的方程331x y +=有正有理数解 C. 关于,x y 的方程331x y +=没有正有理数解D. 当整数3n >时，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正实数解 【答案】C 【解析】 【分析】由于B,C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.利用反证法，先假设有正有理数解，然后推出跟题目所给费马大定理矛盾，由此得出方程没有正有理数解. 【详解】由于B,C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于,x y 的方程331x y +=有正有理数解，故,x y 可写成整数比值的形式，不妨设,m bx y n a==，其中,m n 为互质的正整数，,a b 为互质的正整数.代入方程得33331m b n a+=，两边乘以33a n 得()()()333am bn an +=，由于,,am bn an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于,x y 的方程331x y +=没有正有理数解.故选C.【点睛】本小题主要考查对新概念的理解和运用，考查了反证法证明命题成立，考查了有理数的概念与性质.有理数是有限小数或者无限循环小数.另一种说法是有理数是可比数，即可以写成两个整数比值的数.根据有理数的性质，利用反证法，推出和费马大定理矛盾的结果，由此得出正确选项.属于难题.12.若120x x a <<<都有211212ln ln x x x x x x -<-成立，则a 的最大值为（ ） A.12B. 1C. eD. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】将题目所给不等式转化为12121ln 1ln x x x x ++<，构造函数()1ln xf x x+=，利用导数研究函数()f x 的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】原不等式可转化为12121ln 1ln x x x x ++<，构造函数()1ln xf x x+=，()2ln xf x x -=¢，故函数在()0,1上导数大于零，单调递增，在()1,+?上导数小于零，单调递减.由于12x x <且()()12f x f x <，故12,x x 在区间()0,1上，故a 的最大值为1，所以选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式43x x 骣琪-琪桫的展开式中常数项为__________．【答案】-4 【解析】 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可.【详解】由二项式展开式的通项公式可知二项式43x x 骣琪-琪桫展开式的通项公式为：()444314431rr rr rr r T C x C xx--+骣=-=-，令4403r -=可得：3r =，则展开式的常数项为：()33414C -=-. 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 14.已知正数,m n 满足21m n +=，则2log ()mn 的最大值是__________． 【答案】-3 【解析】 【分析】由基本不等式222m n mn +?mn 有最大值18，从而得解.【详解】正数,m n 满足21m n +=， 又222m n mn +?18mn £. 当且仅当122m n ==，即11,42m n ==时，mn 有最大值18. 从而()2log mn 有最大值21log 38=-.故答案为：-3.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.15.设ABO D （O 是坐标原点）的重心、内心分别是,G I ，且//BO GI u u u v u u v，若(0,4)B ，则cos OAB Ð的最小值是__________．【答案】12【解析】 【分析】由//BO GI u u u v u u v，所以3A x r =，（r为ABO D 内切圆的半径），再由()1122ABO A S AB AO OB r OB x =++=n n ，从而得8AB AO +=，再由余弦定理222|cos 2AB AO OBOABAB AO+-?n ，结合基本不等式即可得最值.【详解】因为重心、内心分别是,G I ，且//BO GI u u u v u u v，所以3A x r =，（r 为ABO D 内切圆的半径）， 又()1113r 222ABO A S AB AO OB r OB x OB =++==n n n .且4OB =. 解得8AB AO +=. 所以22222|()21624241cos 11222()2AB AO OBAB AO AB AO OABAB AO AB AOAB AOAB AO+-+--?==-?=+n n n n .当且仅当4AB AO ==时，即ABO D 为等边三角形cos OAB Ð有最小值12. 【点睛】本题考查了三角形的重心与内心的性质、三角形的面积计算公式，余弦定理与基本不等式，综合性较强，难度较大.16.定义函数{}()max ,f x x x l l =-，x R Î，其中0l >，符号{}max ,a b 表示数,a b 中的较大者，给出以下命题： ①()f x 是奇函数；②若不等式(1)(2)1f x f x -+-?对一切实数x 恒成立，则1l ³③=1l 时，()()(1)(2)(100)F x f x f x f x f x =+-+-++-L 最小值是2450 ④“0xy >”是“()()()f x f y f xy +?”成立的充要条件以上正确命题是__________．（写出所有正确命题的序号）【答案】② 【解析】 【分析】函数()f x 等价于()f x x l =.利用奇偶性排除①，利用利用分离常数法，判断②正确.利用倒序相加法判断③错误.【详解】函数()f x 等价于()f x x l =，.这是一个偶函数，故命题①错误.对于命题②，不等式等价于()121x x l-+-?，即max112x x l 骣琪³琪-+-桫由于12x x -+-()()121x x ?--=，故max1112x x 骣琪=琪-+-桫，所以1l ³，故命题②是真命题.对于③，当1l =时，()1100F x x x x =+-++-L ，()10099F x x x x=-+-++L 两式相加得()()()()2100199100F x x x x x x x =+-+-+-++-+L ，而()100100100x x xx +-?-=，()19919998x x x x -+-?--=，以此类推，可得()()()2210098962,100989622550F x F x >++++>++++=L L .故③为假命题.对于④()()()f x f y x y l+=+，()f x y x y l+=+，即x y x y +?，这对任意的,x y 都成立，故0xy >不是它的充要条件.命题④错误.故填②.【点睛】本小题主要考查对于新定义概念的理解.将新定义的概念，转化为绝对值不等式来解决，属于化归与转化的数学思想方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面22´列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求2X=时的概率(2)P X=及X的数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：【答案】(1)见解析;（2）34.【解析】试题分析：（1）根据所给的数据列出列联表，再代入公式计算得出2K，与临界值比较即可得出即结论；（2）由题意，用频率代替概率可得出抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，由于13,4X B 骣琪~琪桫，由公式计算出期望与方差即可.试题解析：（1）列出列联表， 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 15050200()22200602030902006.060 6.635150509011033K 创-?==?创?, 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关. （2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的概率为0.25， 将频率视为概率，∴13,4X B 骣琪~琪桫，∴()13344E X =?. 18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14CC =，2AB =，22AC =，045BAC ?，点M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点.（1）证明：1BC B M ^；（2）若平面1MB C 将棱柱111ABC A B C -分成体积相等的两部分，求此时二面角1M B C B --的余弦值.【答案】（1）见解析； （26【解析】 【分析】（1）先由余弦定理可求得2BC =，再由勾股定理可得090ABC ?，然后由BC AB ^和1BC BB ^即可证得BC ^平面11ABB A ，从而得证；（2）由题设知，111112C ABB ABC A B C V V --=，结合柱体的体积可得2AM =，所以M 是1AA 的中点，以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量求解二面角即可.【详解】（1）证明：（方法一）在ABC D 中，由余弦定理2220||||2cos 482222cos454BC AB AC AB AC BAC =+-?+-创=.∴2BC =，则222||8||AB BC AC +==，∴090ABC ?.∴BC AB ^，又1BC BB ^，1=BB AB B Ç， ∴BC ^平面11ABB A 又1B M Ì平面11ABB A ， ∴1BC B M ^证明：（方法二）在ABC D 中，0|AC|cos BAC=22cos452AB ?=，∴090ABC?，∴BC AB ^又1BC BB ^，1=BB AB B Ç， ∴BC ^平面11ABB A 又1B M Ì平面11ABB A ， ∴1BC B M ^（2）11111·22482ABC A B C ABC V S CC -D ==创?由题设知，1111118422C ABBABC A B C V V --==?又11112433C ABB ABB ABB V S BC S -D D === 2AM =，∴M 是1AA 的中点.∴以B 为坐标原点，1,,BA BC BB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标，∴()2,0,2A ，()0,0,0B ，()10,0,4B ，()0,2,0C ，()10,2,4CB =-u u u v ，()12,0,2B M =-u u u u v设()1111,,n x y z =u v是平面1ACB 的法向量，11·0·0n CB n B M ì=ïí=ïîu u u v v u u u uv v ，1111240220y z x z ì-+=ïí-=ïî，令11x =，12y =，11z = ∴()11,2,1n =u v平面1B BC 的法向量()21,0,0n =u u v，121212·6cos ,66n n n n n n ===u v u u vu v u u v u v u u v . 所以二面角1M B C B --的余弦值为66. 【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明及柱体和椎体的体积公式，利用空间向量求解二面角问题，属于常规题型.19.设有三点,,A B P ，其中点,A P 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，(0,2)A ，(2,0)B ，且6OA OB +=u u u v u u u vu u uv . （1）求椭圆C 的方程；（2）若过椭圆C 的右焦点的直线l 倾斜角为045，直线l 与椭圆C 相交于,E F ，求三角形OEF 的面积.【答案】（1）22184x y +=； （2）83.【解析】 【分析】（1）先求得b 的值.设出P 点坐标，代入62OA OB +=u u u v u u u vu u uv ，化简后可求得P 点坐标，将P 点坐标代入椭圆方程，由此求得a 的值，并求出椭圆方程.（2）由（1）求得椭圆焦点的坐标，利用点斜式得到直线l 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用两点间距离公式求得EF 的长度，利用点到直线的距离公式求得O 到直线l 的距离，由此求得三角形OEF 的面积.【详解】（1）解：由题意知，2b =， 设(),P x y ，()0,2A ，()2,0B ，由62OA OB +=u u u v u u u vu u u v ，∴())62,2,2x y =， ∴66x y ì=ïïíï=ïî设椭圆方程22214x ya +=②，将①代入②，216166614a +=∴28a =，∴椭圆方程为22184x y +=（2）222c a b -=，∴L 的方程2y x =-代入22184x y +=，整理得2380x x -=，∴0x =或83x =， ∴交点坐标为()0,2-和82,33骣琪琪桫228882333EF 骣骣琪琪+琪琪桫桫O 到l 的距离为222d -==所以18822233OEF S D =创=， 所以三角形OEF 的面积为83.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，考查了向量加法和减法的坐标运算，以及两点间的距离公式和点到直线距离公式.有关直线和椭圆相交所得的弦长，往往通过联立直线的方程和椭圆的方程，求出交点坐标或者利用韦达定理和弦长公式来求解.20.设各项为正数列{}n a 满足：213212n n a a a a a a n l +---=+L （l 是常数）. （1）判断是否存在l ，使数列{}n a 满足对任意正整数n ，有122n n n a a a ++=+恒成立？若存在，求出l ；若不存在，请说明理由.（2）当1l =-，10a =时，求数列{}2n a 前n 项和n S 的表达式.【答案】（1）存在0l =，使122n n n a a a ++=+成立； （2）4313215n n S -+=.【解析】 【分析】 （1）由213212n n a a a a a a n l+---=+L 和()2132121n n a a a a a a n l ----=-+L ()2n ³作差可得14n n a a +-=()2n ³，然后只需()22124a a l -=+=即可得解；（2）根据条件可得1,1216,2128n a n n n ì=ï=íï³ïî，当2n ³时，()2311161616128n n S =++++L ，利用等比数列求和公式求解即可，再验证1n =时也成立即可. 【详解】（1213212n n a a a a a a n l +---=+L ①()2132121n n a a a a a a n l ----=-+L ()2n ³ ②①-12n n a a +-=，即14n n a a +-= ()2n ³ 当1n =212a a l -=+，()2212a a l-=+又122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列， 所以()22124a a l-=+=，所以0l =，所以存在0l =，使122n n n a a a ++=+成立.（2）由（1）可知，当1l =-，10a =时，0,147,2n n a n n ì=ï=í-?ïî 所以1,1216,2128n a n n n ì=ï=íï³ïî，所以，当2n ³时，()2311161616128n n S =++++L ()2143161161132112811615n n ---+=+?-， 当1n =时，11132115S +==，所以1n =也成立，所以4313215n n S -+=.【点睛】本题主要考查了由数列的递推求数列的通项公式及等比数列求和，注意运算过程中，数列下标的变化及范围，属于易错题型.. 21.设函数()23ln f x x a x =+.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调减区间； （2）若()()()3F x f x f x 轾=-臌有三个不同的零点，求a 的取值范围；（3）设()()12H x f x x =-，若()H x 无极大值点，有唯一的一个极小值点l ，求证：()12H l ?.【答案】（1）函数()f x 在6骣琪琪桫上单调递减，在6骣琪+?琪桫上单调递增； （2）6a e=-或0a =； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0f x >得增区间，由()'0f x <得减区间；（2）设()f x t =，则()30F x t t =-=，则0t =或1t =或1t =-，讨论a 和0的大小关系，由()f x 的单调性及最值，分析()01f x =?，时是否有三个根即可； （3）由题意可知，令()'0H x =，即26120x x a -+=在()0,+?内有唯一的一个正根，由求根公式得方程两个根12x x ，，因为只能有一个正跟，从而得0a <，所以[)22,x l =??，由()0H l ¢=，得2126a l l=-，代入()H l ，求导利用单调性即可证得.【详解】（1）当1a =-时，()23ln f x x x =-，()2161'6(0)x f x x x x x-=-=>.当()'0f x >时，6x ()'0f x <时，60x < 所以函数()f x 在6骣琪琪桫上单调递减，在6骣琪+?琪桫上单调递增.（2）设()f x t =，则()30F x t t =-=，则0t =或1t =或1t =-，()26'6(0)a x af x x x x x+=+=>.01当0a >时，()'0f x >恒成立，∴()f x 在()0,+?上为增函数，且0x +®时，()f x ??；x ??时，()f x ??，则()f x t =的零点有3个，符合题意.02当0a =时，()23(0)f x x x =>，此时()f x t =只有一个零点，不合题意.03当0a <时，若()'0f x >，则6a x >-()'0f x <时，06a x <-， 函数()f x 在6a 骣琪-琪桫上单调递减，在,6a 骣琪-+?琪桫上单调递增. 又且0x +®时，()f x ??；x ??时，()f x ??，所以()1f x =或()1f x =-或()0f x =要有三个零点，则06a f 骣琪-=琪桫即3ln 066a a a 骣骣琪琪-+-=琪琪桫桫，所以6a e =- 综上所述，6a e =-或0a =.（3）()()2123ln 12H x f x x x a x x =-=+- ()2612'612(0)a x x a H x x x x x-+=+-=>. 因为()H x 在()0,+?无极大值点，有唯一的一个极小值点l即()'0H x =，即26120x x a -+=在()0,+?内有唯一的一个正根. 所以144240a D=->，即6a < 又1121442412a x --=，2121442412a x -=， 又因为只有唯一的一个正根，所以10x <即0a <.当0a <时，()H x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +?上单调递增. 此时()H x 无极大值，有唯一一个极小值点2x ， 所以[)22,x l =??，所以()()2612'02a H l l l l l-+==? 所以2126a l l =-所以()()()2223ln 123126ln 122H a l l l l l l l l l l =+-=+--?()()()2126'61212ln 12121ln 0H l l l l l l l l l-=+-+-=-=. 所以()H x 在[)2,+?上单调递减，所以()()2122412H H l ?-=- 综上，()12H l ?.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及单调性以及方程的实数根问题，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，属难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin r q =，直线l 的极坐标方程为0()R q q r =?，曲线C 与直线l 相交于,A B 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当0=3p q 时，求|AB|. 【答案】（1）2220x y y +-=； （23.【解析】【分析】（1）对曲线C 的极坐标方程两边乘以r ，可转化为直角坐标方程.（2）将π3q =代入圆的极坐标方程，直接求得AB 的长度.【详解】（1）由2sin r q =，即22sin r r q =，所以222x y y +=，所以曲线C 的直角坐标系方程为2220x y y +-=，（2）解一：3p q =时，2sin 33AB p r ==解二：曲线C 的标准方程为()2211x y +-=，直线l 的方程为3y x ，212132AB 骣琪=-=琪桫【点睛】本小题主要考查极坐标和直角坐标相互转化，考查利用极坐标方程来求弦长的方法，基础题.23.已知函数()21f x x a x =+++.（1）当1a =时，解关于x 的不等式()2f x ³；（2）当1a =-时，求()f x 的最小值.【答案】（1）4(,][0,)3-???； （2）32. 【解析】【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法，将函数的绝对值去掉，变为分段函数的形式，再解不等式组，求得x 的范围.（2）利用零点分段法，将()f x 的绝对值去掉，变为分段函数的形式，由此求得函数的最小值.【详解】（1）1a =时，()2f x ³，即2112x x +++?， 所以1322x x ì?ïí--?ïî或1122x x ì-<<-ïíï-?î或12322x x ì>-ïíï+?î，解得43x £或0x ³ 所以不等式的解集为][4,0,3骣琪-???琪桫.（2）1a =-时，()3,112,1213,2x x f x x x x x ìï-<-ïïï=--＃íïïï>ïî， ()min 1322f x f 骣琪==琪桫()f x 的最小值为32. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法.主要的方法就是零点分段法，将函数转化为分段函数来解决，属于基础题.。

凉山州2024届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分第1卷（选择题），第Il卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫术的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确2选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3考试结束后，将答题卡收回第1卷（择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的））设全集U =l l,2,3,4,5,6}，集合M=l l,3,4l ,N=l 3,5,6}，则MU (C,JI ＇)=（）A. ！ 5 }B {l,2,3,4,5}c. ! 1,2,3,4 ID.U2.已知复数z满足z(1-i )=2+i ，则z=()A－卡宁l 3 B. －一＋－i 2 2C1 3 ．一－一i2 2． 3-2＋ l -2D 3已知数列忆I的前n项和S,.=n 2＋血，则a )如＝（）2 A.9B lOc.11D. 124.已知厂寸＝98，则X +J-=()心，＋矿＝一30A.2B.3C.4D. 5-－ 5已知平面向扭(L,b满足1-;-u'I－ －(t-2b =1, (t. b =l ，则1了＋2t/|＝（）A .V3B.2\/了C.3D.2\/了6万名同学彝族新年期间去邓海湿地公园采风观泉，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有()A. 12种B. 24种C.48种数学（理科）试卷第l页（共4页）D. 96种7已知函数八t)＝」—+“ +」—，则”八尤）是奇函数”是“a=O”的() x-1 x+a-1．飞＋lA.充分而不必要条件C.充分必要条件B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件8已知双曲线斗－乓＝1（心O,b>O)的渐近线与y轴的夹角为工，则此双曲线的离心率c为（） ”- b 3A. 2V了3B. 2或2V3 C.V3 D. V了或29在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AC=V了，AB=BC=I，二面角S-AC-8的正切值是V了，则三棱锥S-ABC外接球的表而积是（）A.V丁'ITB. 3'ITC. 4'TTD. 4V了石10将函数J(x)=a n(2x+f)的图象向左平移工个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于6函数g(．飞）的说法正确的是（）A图象关于直线x=O对称B在（－于，千l上单洞递增C.最小正周期为'7TD.图象关于点（于，0）对称2.. 211已知点P在椭圆土＋兮＝1（（L>b>0)上，凡，片是椭圆的左、右焦点，若万平万;=3，且A PF)凡的a2. b面积为2，则胪＝（）A. 2B. 3C. 4D. 512函数f(无）＝—无2+aln飞在区间(I,2)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围为（）2A.(-2,l)B.(-2,-1)C.(-2,0)第Il卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13设伍，｝是等比数列，且a,+a,=I业＋（4=2，则（叶偉＋（砃您＝0. (-3,-2)14已知P(x,y)是曲线心户L(x>O)土的点，则兰立L的取值范围是一x+I数学（理科）试卷第2页（共4页）15若圆锥侧面展开图是圆心角为立L，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为316在!:::,ABC中，角A,B,C的对边分别为ci,b,c,lanA=2t a nB,b=Y了，当6ABC的面积取最大值时，则a=.三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤．共70分）l7 l2分）已知函数f(尤）却虹CO莎x-cos2x.I求j(.飞）的减区间；(2) j(x)在(O,＋动上的零点从小到大排列后构成数列伍，1，求伍，｝的前10项和18.12分）体育课上，同学们进行投篮测试规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行30次投篮训练已知甲同学每次投中的概率为—，每次是否投中相互独立I求甲同学通过侧试的概率；2若乙同学每次投中的概率为上，每次是否投中相互独穸经过测试后，甲、乙两位同学2需婓进行投篮训练的投篮次数之和记为X，求X的分布列与数学期望E(X)l9 l2分）如图在四棱锥P-ABCD中，底而ABCD是边长为4的正方形，LPAD=工，PD=2,PB=2V761证明：平面PAD.l平面ABCD;2若E为PC的中点，求二面角A-B E-C的余弦值/．＇．．u\/cA B数学（理科）试卷第3页（共4页）20.(12分）已知函数f(x)＝（釭2+x+I)已(1)当（已0时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)的单洞性21.(12分）P(2,2)为抛物线r寸＝IIIX J:.一点，过P作两条关于．飞＝2对称的直线分别交r于A (x,,y,),8伍，Y2)两点(l)证明：直线B的斜率为定值，并求出该定值；(2)祚．x,<2<．飞2，求LPA B面积的最大值请考生在第22、23两题中选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22.(10分）［选修4-4:坐标系与参数方程］已知曲线c,的参数方程为．飞＝2c o边，（a为参数），以直角坐标原点0为极点，尤轴的正半轴y=sma为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程p＝知o s8(I）求C，的极坐标方程；(2)若曲线0＝工（p>O)与曲线C,、曲线C2分别交于A,B两点，点P的极坐标为(4,0),6求l::,PA B的面积23.(10分）［选修4一5：不等式选讲］已知函数f(x)=lxl(l)解不等式f(x)+f(x一）斥2;(2)对a+b=l(a,b>O)及Vx eR，不等式f(x-rn)-lx+2 I,;;;上十上恒成立，求实数m的取值a. b范围数学（理科）试卷第4页（共4页）凉山州2024届高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）参考答案及评分意见评分说明：1.本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3.解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4.只给整数分数，选择题不给中间分．一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CDCAC6-10. BBABDIH2. CD二、填空题（每小题5分，共20分）13【答案】48;14【答案】(0,2): 15【答案】16亢9，16【答案】石．三、解答题（共70分）17解：（1) /(x)=sinxcosx-cos 2 xl l = �sin 2x-�(cos 2x + I) 2 2 5兀l=—sin(2x －一）－－24 2 冗兀37t令2朊＋－�2x －一三2朊＋—，keZ2 42 得朊＋31t . 71t －—�x �朊＋—，k e Z.8 831t .7兀因此，函数．／（x ）的减区间是［朊＋—，k 下＋—］，keZ..8. 8•....•..•....•..•....... 3分..•.......•..... 6分＄．亢l(2)？函数／（x)=7s in(2x －一）－一的最小正周期为兀242冗兀函数f(x)在(0,7t ）上的零点分别为一，－4 2 :．数列｛a 五－，｝是以巴为首项，兀为公差的等羌数列；4亢数列{%}是以－为首项，2 7t 为公养的等羌数列，则沁＝（a ,+a 3+..·+(I 9)+ (a 2 +a .+ ·••a 10)冗5x4兀5x4. 95n =(5x-＋—兀）＋（5X-＋—兀）＝— 4 2 2 2 4所以{a,，}的前10项和为95n4...............•... 8分•....•..•....•..•.... 10分.......•................ 12分18.解：（l）解：记事件A:甲同学通过测试，则甲同学在3次投篮中，投中2次或3次，则P(A)=C i日（1分）＋C!甘）三 5 分(2)解：若乙通过测试，则前两次投中或者三次投篮中，第三次投中，前两次有一次投中，所以，乙通过测试的概率为［主］叶g虳－甘＝；，出题意可知，随机变量X的可能取值有0,30, 60, .........•........ 7分7 1 7 7 1 7 l lP(X=O)＝—x-＝—P(X=30)＝—x(J-�)+(1-—)x-＝－，27 2 54'27 2 27 2 27 l lOP(X=60)=(1-—)x(l-－＝—,27 2 27........................ 10分所以，随机变量X的分布列如下表所示：X 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】B【解析】考点：集合的运算.2. «Skip Record If...»的虚部是（）A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】C【解析】试题分析：«Skip Record If...»,所以该复数的虚部为«Skip Record If...»，故选C.考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】D【解析】试题分析：由正弦定理«Skip Record If...»，故选D.考点：正弦定理.4. 已知双曲线«Skip Record If...»，点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»为其两个核心，点«Skip Record If...»为双曲线上一点，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】A【解析】考点：双曲线的概念及几何性质.5. 函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取到极值，则«Skip Record If...»的值为（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】B【解析】试题分析：«Skip Record If...»,由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，故选B.考点：导数与函数的极值.6. 某四棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该三棱锥底面是一个等腰直角三角形，直角边长为«Skip Record If...»，该棱锥的高为«Skip Record If...»，所以该三棱锥的体积为«Skip Record If...»，故选A.考点：三视图.7. 设数列«Skip Record If...»知足«Skip Record If...»，«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），若数列«Skip Record If...»是常数列，则«Skip Record If...»（）A．«Skip Record If...» B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】A【解析】考点：1.数列数的概念；2.数列的递推关系.8. 设向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值等于（）A．1 B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．0【答案】C【解析】试题分析：因为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，故选C.考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.9. 设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，持续摸三次，«Skip Record If...»表示三次中红球被摸中的次数，每一个小球被抽取的概率相同，每次抽取相对立，则方差«Skip Record If...»（）A．2 B．1 C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»【答案】C【解析】试题分析：每次取球时，取到红球的概率为«Skip Record If...»、黑球的概率为«Skip Record If...»，所以掏出红球的概率服从二项散布，即«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»，故选C.考点：二项散布.10. 下列四个结论：①若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»恒成立；②命题“若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»”的逆否命题为“若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»”；③“命题«Skip Record If...»为真”是“命题«Skip Record If...»为真”的充分没必要要条件；④命题“«Skip Record If...»，«Skip Record If...»”的否定是“«Skip Record If...»，«Skip Record If...»”．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题考查逻辑联结词与命题、特称命题与全称命题，属中档题；全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变成其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.11. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无穷增加时，多边形面积可无穷逼近圆的面积，并创建了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽取得了圆周率精准到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出«Skip Record If...»的值为（）（参考数据：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】考点：1.数学文化；2.程序框图.【名师点睛】本题考查数学文化与程序框图，属中档题；数学文化是高考新增内容，程序框图是第年高考的必考内容，掌握循环程序的运行方式，框图以赋值框和条件框为主，依照框图箭线方向和每一个框的指令要求运行，注意条件框的要求是不是知足，运行程序时要准确.12. 若直线«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）与函数«Skip Record If...»图象交于不同的两点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，且点«Skip Record If...»，若点«Skip Record If...»知足«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A．1 B．2 C．3 D．«Skip Record If...»【答案】B【解析】试题分析：因为«Skip Record If...»，且直线«Skip Record If...»通过坐标原点，所以函数«Skip Record If...»图象两个交点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»关于原点对称，即«Skip Record If...»，又«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得，«Skip Record If...»，解之得«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，故选B.考点：1.向量的坐标运算；2.函数的奇偶性.【名师点睛】本题考查向量的坐标运算，函数的奇偶性，属中档题；平面向量是高考的重点和热点内容，且常与函数、数列、三角、解析几何等交汇命题，解决此类问题的解题思路是转化为代数运算，其主要转化途径一是利用平面向量平行或垂直的条件，二是利用平面向量的线性运算或数量积的公式及性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在棱长为1的正方体«Skip Record If...»中，异面直线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»所成角的大小是．【答案】«Skip Record If...»【解析】B CD B'D'A'C'A考点：1.正方体的性质；2.异面直线所成的角.14. 若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»知足不等式«Skip Record If...»则«Skip Record If...»的取值范围是．【答案】«Skip Record If...»【解析】试题分析：在直角坐标系内作出不等式组«Skip Record If...»所表示的可行域如下图所示，由图可知目标函数«Skip Record If...»取得最小值时的最优解为点«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，取得最小值的最优解为点«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»的取值范围是«Skip Record If...».考点：线性计划.15. 设数列«Skip Record If...»是首项为1公比为2的等比数列前«Skip Record If...»项和«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．【答案】«Skip Record If...»【解析】考点：1.等比数列的性质与求和公式；2.对数的性质.【名师点睛】本题考查等比数列的性质与求和公式，对数的性质，属基础题；等比数列的求和公式是高考的热点内容，本题直接利用求和公式求和，利用对数性质运算即可，表现命题以考纲为主导，以教材为主线，取之于教材而高于教材.16. 已知函数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．【答案】«Skip Record If...»【解析】试题分析：因为«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».考点：1.函数的对称性；2.倒序相加法求和.【名师点睛】本题考查.函数的对称性与倒序相加法求数列的和，属中档题；数列是特殊的函数，将数列与函数综合是情应当中，倒序相加法是等差数列求和的重要思想，利用函数的对称性特点考查倒序相加法，是本题的亮点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17. （1）等差数列«Skip Record If...»的各项均为正数，«Skip Record If...»，前«Skip Record If...»项和为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»；（2）已知函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»的值域．【答案】（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...»【解析】试题分析：（1）大体量法，即用«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»,列出关于«Skip Record If...»的方程，解出«Skip Record If...»，即可求数列«Skip Record If...»的通项公式；（2）由平方降幂公式及二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式可得«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»可得«Skip Record If...»，由三角函数性质可求出值域.考点：1.等差数列的性质及前«Skip Record If...»项和公式；2.三角恒等变换；3.三角函数的图象与性质.18. 化为推出一款6寸大屏电话，现对500名该电话利用者（200名女性，300名男性）进行调查，对电话进行打分，打分的频数散布表如下： 女性用户：分值区间«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» 频数2040805010男性用户：（1）若是评分不低于70分，就表示该用户对电话“认可”，不然就表示“不认可”，完成下列«Skip Record If...»列联表，并回答是不是有«Skip Record If...»的把握以为性别对电话的“认可”有关：女性用户 男性用户 合计 “认可”手机分值区间«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...» 频数 4575906030“不认可”手机合计附：0.05 0.01«SkipRecordIf...»3.841 6.635«SkipRecordIf...»«Skip Record If...»（2）按照评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率．【答案】（1）列联表女性用户男性用户合计“认可”手机140 180 320“不认可”手机60 120180合计200 300 500有«Skip Record If...»的把握以为性别和对电话的“认可”有关．(2)«Skip Record If...».【解析】试题分析：（1）从频数散布表算出女性用户中“认可”电话人数与“不认可”电话人数，填入表格，同理算出男性用户中“认可”电话人数与“不认可”电话人数，填入表格可得«Skip Record If...»列联表，由公式计算出«Skip Record If...»的值与临界值中数据比较即可；(2) 评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，评分不小于90分的人数为2，记为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»,写出从6人中任取2人的所有大体事件，从中找出两名用户评分都小于90分的大体事件，即可求其概率.考点：1.独立性查验；2.古典概型.【名师点睛】本题考查独立性查验及古典概型，属中档题；独立性查验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以选择题形式出现，命题的主要角度有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部份数据；3.已知«Skip Record If...»的观察值，判断几种命题的正确性.19. 如图，已知四边形«Skip Record If...»和«Skip Record If...»均为直角梯形，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»且«Skip Record If...»，平面«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（1）求证：«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»；（2）求三棱锥«Skip Record If...»的体积．【答案】(1)观点析；（2）«Skip Record If...».【解析】试题分析：（1）由题意可证«Skip Record If...»，所以以«Skip Record If...»为原点，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»轴，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»轴，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»轴，成立空间直角坐标系，求出直线«Skip Record If...»的方向向量«Skip Record If...»与平面«Skip Record If...»的法向量«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»证之即可；（2）应用等体积转换求体积即可，即«Skip Record If...»求之.∵«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»．（2）«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»，面«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，而面«Skip Record If...»面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»平面«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.20. 设椭圆«Skip Record If...»：«Skip Record If...»的离心率为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»上一点«Skip Record If...»到右核心距离的最小值为1．（1）求椭圆«Skip Record If...»的方程；（2）过点«Skip Record If...»且倾斜角为«Skip Record If...»的直线交椭圆«Skip Record If...»于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»两点，求«Skip Record If...»的面积．【答案】(1) «Skip Record If...»；(2)«Skip Record If...».【解析】试题分析：(1) 由题意«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，解出«Skip Recor d If...»及«Skip Record If...»的值即可；(2)先求出直线的方程«Skip Record If...»，代入椭圆方程得«Skip Record If...»，由弦长公式求出弦长«Skip Record If...»，再求出点«Skip Record If...»到直线的距离即可求«Skip Record If...»的面积.由点«Skip Record If...»到直线«Skip Record If...»的距离«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．考点：1.椭圆的概念与标准方程、几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系,属中档题.求椭圆标准方程的方式一般为待定系数法：按照条件肯定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系成立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常常利用“点差法”解决，往往会更简单．21. 设«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»．（1）若«Skip Record If...»，求曲线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处的切线方程；（2）若«Skip Record If...»无零点，求实数«Skip Record If...»的取值范围．【答案】(1) «Skip Record If...»；(2) «Skip Record If...».【解析】试题分析：(1)求函数«Skip Record If...»的导数得«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，由点斜式写出切线方程即可；(2)当«Skip Record If...»时，由«Skip Record If...»可知函数有零点，不符合题意；当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»有唯一零点«Skip Record If...»有唯一零点，不符合题意；当«Skip Record If...»时，由单调性可知函数有最大值，由函数的最大值小于零列出不等式，解之即可.在区间«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»是增函数；在区间«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»是减函数；故在区间«Skip Record If...»上，«Skip Record If...»的极大值为«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»无零点，须使«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»，故所求实数«Skip Record If...»的取值范围是«Skip Record If...»．考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与方程.请考生在2二、23题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系«Skip Record If...»中，曲线«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数），以原点«Skip Record If...»为极点，«Skip RecordIf...»轴正半轴为极轴（两坐标系取区间的长度单位）的极坐标系中，曲线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»．（1）求曲线«Skip Record If...»的普通方程与曲线«Skip Record If...»的直角坐标方程；（2）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»别离是曲线«Skip Record If...»和曲线«Skip Record If...»上的动点，求«Skip Record If...»最小值．【答案】（1）«Skip Record If...»的普通方程为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»直角坐标方程：«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».【解析】试题解析：（1）«Skip Record If...»：«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»，整理得«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»的普通方程为«Skip Record If...»，曲线«Skip Record If...»：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，整理得«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»直角坐标方程：«Skip Record If...»．（2）如图，圆心«Skip Record If...»到直线«Skip Record If...»的距离为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∴«Skip Record If...»．考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直角坐标与极坐标的互化；3.直线与圆的位置关系.23. 选修4-5:不等式选讲已知函数«Skip Record If...»．（1）若不等式«Skip Record If...»的解集为空集，求实数«Skip Record If...»的取值范围；（2）若方程«Skip Record If...»有三个不同的解，求实数«Skip Record If...»的取值范围．【答案】（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».【解析】试题分析：（1）（2）（2）在同一坐标系内作出函数«Skip Record If...»图象和«Skip Record If...»的图象如下图所示，由题意可知，把函数«Skip Record If...»的图象向下平移1个单位之内（不包括1个单位）与«Skip Record If...»的图象始终有3个交点，从而«Skip Record If...»．考点：1.绝对值的意义；2.分段函数的表示；3.函数与方程、不等式.。

2022年秋期一般高中三班级第一次诊断测试数 学（理工农医类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）留意事项：必需使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A(A){}73<≤x x (B) {}73<<x x (C) {}72<≤x x (D) {}102<≤x x2.函数)2sin(1π-+=x y 的图象 (A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2π=x 对称3．二项式52)1x x +（的开放式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20(D) 254.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ，则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件.③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35．执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 166.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A)x y -=2(B) y x 82-=(C) x y 82-=或y x -=2(D) x y -=2或y x 82-=7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必需站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种(B) 120种(C) 96种 (D) 48种8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A)30(B) 60 (C) 120 (D)1509.双曲线)0,012222>>=-b a b y a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为(A)45(B)3 (C)332 (D)3510.设函数⎩⎨⎧>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是(A) 2 (B) 12(C) 14 (D) 18第Ⅱ卷（非选择题，共100分）留意事项：必需使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知i 是虚数单位，则21ii =+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲. 是k=0,S=1开头 k<3? S=S .2kk=k+1 输出S结束否13.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲. 14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运动，则异面直线BQ与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论：①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立； ③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式2()f x x ≤恒成立．则其中全部正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）在2022年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门猜测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种状况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．18.（本题满分12分）如图，一简洁几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. （I ）证明:GH //平面ACD ；（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.19. （本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)21,12-=n （b ,满足条件b a λ=,R ∈λ且0≠λ. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设函数xx f )21()(=，数列{}nb 满足条件21=b ，)(,)3(1)(1*+∈--=N n b f b f n n(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设n nn a b c =，求数列{}n c 的前n 和n T .20. （本题满分13分）已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之积是14-（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）过点O 作两条相互垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试推断点O 到直线AB 的距离是否为定值.若是恳求出这个定值，若不是请说明理由.21. （本题满分14分）已知函数c bx ax x x f +++=234)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，上单调递增，在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得微小值.（I ）求函数)(x f 的解析式；（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(22-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为12,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.高中2022级一诊测试数学（理工类）试题参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步消灭错误时，假如后继部分的解答未转变该题的内容和难度，可视影响的程度打算后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A B A C C D A C D B二、填空题（每小题5分，共25分）11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π14. 66 15. ①③④三、解答题（共75分）16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分）∵π=T 且0ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分）(2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分）∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y 取得最大值为2............................................（12分）17.解：（I ）由已知得1231223135P P P P P P P ++=⎧⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，解得：123122,,.............4555P P P ===（分）（II ）ξ的可能取值为200，250，300，350，400 ...........................5（分）11(200),55124(250)2,552512228(300)2,555525228(350)2,5525224(400)..............................................................105525P P P P P ξξξξξ==⨯==⨯⨯===⨯⨯+⨯===⨯⨯===⨯=（分）随机变量ξ的分布列为所求的数学期望为14884200250300350400320()............122525252525E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=瓶（分）18.解： (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分）∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ...............................................................（.4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分） (2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)平面BCE 的法向量)0,1,0(=m ，设平面OCE 的法向量),,(000z y x n =.......................（8分）)0,1,1(),2,0,2(==CO CE∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00CO n CE n 则⎩⎨⎧=+=+00220000y x z x ，故⎩⎨⎧-=-=0000x y x z令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10分）∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则33311,cos cos =⨯=⋅⋅=⋅><=nm n m n m θ................................................................（12分） 法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE ..........................................................................................（8分） ∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分）由,~CBE Rt CMH Rt ∆∆且CE=22. ∴2212=⇒=HMCECH BEHM∴22=HM 又OH=121=AC 在2622122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∆OH OHM Rt 中，. .................................................................（11分） ∴332622cos ===∠OH HM OMH ......................................................................................（12分） 19.（Ⅰ）由于a=λb 所以22,12211-=-=+n n n n S S .当2≥n 时，nn n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）当1=n 时，2221111=-==+S a ，满足上式所以nn a 2= ..................................................................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）)3(1)(,)21()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--nn b b --=∴+3)21(1)21(1 nn b b +=∴+321211 ∴31+=+n n b b3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列∴13-=n b n ................................................................（8分）（ⅱ） n n n n n a b c 213-==n n n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（n n n n T 21323-321--+=-nn n T 253-5+= ................................................................（12分） 20.（Ⅰ）解：,)Mx y （，由题可得1.224y y x x =-+- ..............................（4分） 2214x y +=所以点M 的轨迹方程为2214x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分 ）（Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值 ，设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ............................（8分）② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2212)4x y x +=≠±（联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+ ............................（9分）由于OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分 ） 所以点O 到直线AB 的距离21m d k =+255=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552........................（13分 ） 21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)又32()432f x x ax bx '=++由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分) 令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=由(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)（Ⅱ）若()f x 关于直线x t =对称（明显0t ≠），则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，即(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分)又0t ≠1t ∴= ……………………(7分)验证，满足(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)（也可直接证明()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；）（Ⅲ）由（1）知，432224455xx x x λ-+-=-，即4322244x x x x λ-+= 又0x=为其一根，得224(4)0x x λ-+-=22164(4)40λλ∴∆=--=>且21240x x λ=-≠故{|022}A R λλλλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分)又1221244x x x x λ+=⎧⎨=-⎩，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=，12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ∀∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分) 2[3,3],,22||t A m tm λλ∴∀∈-∈++≤对使恒成立’即只需[3,3],t ∀∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分) 设2()2,[3,3]g t mt m t =++∈- (3)012(3)021g m g m ≤≤≤⎧⎧∴⇒⇒⎨⎨-≤-≤≤-⎩⎩无解即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)。