第27讲(椭圆中两直线斜率之和为定值的问题)(原卷版)

椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题例1、已知A，B，P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB 的斜率乘积k PA·k PB＝－2 3，则该椭圆离心率为________.变式训练已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝12，A，B是椭圆的左，右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则cos（α＋β）cos（α－β）＝________．例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的右焦点为(1 0)F，，离心率为2．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE EF=．（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．例3：过椭圆C：x24＋y2＝1的上顶点A分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标．变式：已知椭圆C：x28＋y24＝1.M(0，2)是椭圆的一个顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝8，求出直线AB恒过定点的坐标．例4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右准线的方程为4x =，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点，A,B 分别为椭圆C 的左右顶点。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l 交椭圆C 与M,N 两点（点M 在点N 的左侧），且12//.F M F N 设直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值。

变式训练：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM →＝cos θOA →＋sin θOB →.(1) 求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2) 求OA 2＋OB 2的值．。

椭圆中的斜率和与定点问题由于椭圆是良好的轴对称和中心对称图象，在命题时经常讲与椭圆相交的直线也进行对称处理，由此产生一些定点定值问题。

例如在处理2018年全国一卷理科第19题时发现并不能一眼看出所给的点F 和点M 的关系，但深入研究，美妙自在其中。

本文以2018年理科19题和2017年理科卷20题为背景，进一步研究椭圆中的一些一般化结论。

【例1】设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =或y =.（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线MB MA ,的斜率之和为121222MA MB y y k k x x +=+--. 由11y kx k =-，22y kx k =-得12121223()4(2)(2)MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以22121222422,2121k k x x x x k k -+==++.则3331212244128423()4021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MB MA ,的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.一般化结论探究【探究】设椭圆方程为)0(1:2222>>=+b a by a x C ，过点))(0,(a t t M >做直线l 交椭圆于B A ,两点，设点A 关于x 轴对称的点为A '，探究直线B A '是否过定点？ 【分析】设),(),,(2211y x B y x A '，直线B A '的方程为m kx y +=联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222，消去y 得0)(2)(22222222=-+++b m a x kma x b k a所以22222221222221)(,2bk a b m a x x b k a kma x x +-=+-=+ （*） 由于直线A M MB ',关于x 轴对称，则0=+'MB A M k k 即02211=-+-tx yt x y ， 代入直线方程化简得02))((22121=-+-+mt x x tk m x kx将（*）式代入得0)(2)(2)(22222222=+----b k a mt tk m kma b m ka 整理得02=+mt ka ，即2amt k -= 所以直线B A '的方程为m x a mty +-=2，恒过定点)0,(2t a【思考】上述的定点问题本质是两直线斜率和为产生的。

第27讲（椭圆中两直线斜率之和为定值的问题）【目标导航】圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 【例题导读】例1、已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:143x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆则22OA OB+的值是（ ）A ．4B ．7C ．3D ．不能确定【答案】B【解析】由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则=,解则227OA OB +=k 存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，y kx m,=+ 与椭圆22:143x y C +=联立得()()()()222222121222438348430,4843,,3434m km k x kmx m k m x x x x k k--+++-==+-+==++n ,AB =，点O 到直线l 的距离12AOBS n ∴===得22342k m +=，即22234m k -=① 又222211221,1,4343x y x y +=+=()()()222222222121212221186182462664434k m m k OA OB x x x x x x k -++⎡⎤+=++=+-+=+⎣⎦+=2222486182464mk m m k -+++ 将①代入得227OA OB +=故选B例2、已知A ，B 分别是双曲线C ：22y x 12-=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1+k 2取得最小值时，△PAB 的重心坐标为（ ） A ．()1,1 B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】设A （1-，0），B （1，0），P （x ，y ） 由题意，11y k x =+，21yk x =-，∴21221y k k x ==-2，21k +2k =4，当且仅当2k 1＝2k 时取等号，此时1k ＝1，P A 的方程为y ＝x +1，22k =，PB 的方程为y ＝2()1x -联立方程：()121y x y x =+⎧⎨-⎩＝，解得P ()3,4∴重心坐标为11300441,333-++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选B例3、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A 为椭圆C 的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若△AEF 的面积为10，求直线l 的方程；(3) 已知直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为k(k ≠0)，k ′，求证：k·k′为定值．【解析】(1)由长轴长2a ＝4，两准线间距离2a 2c＝42，解得a ＝2，c ＝2，(2分)则b 2＝a 2－c 2＝2，即椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2) 当直线l 的斜率不存在时，此时EF ＝6，△AEF 的面积S ＝12AD ·EF ＝326，不合题意；(5分)故直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k(x －1)，代入椭圆方程得， (1＋2k 2)x －4k 2x ＋2k 2－4＝0.因为D(1，0)在椭圆内，所以Δ>0恒成立．设E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.(6分)故EF ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2223k 2＋21＋2k 2.(7分)又点A 到直线l 的距离d ＝3|k|1＋k 2，(8分) 则△AEF 的面积S ＝12d ·EF ＝12·3|k|1＋k 2·1＋k 2·223k 2＋21＋2k 2＝323k 4＋2k 21＋2k 2＝10，则k ＝±1.(9分)综上，直线l 的方程为x －y －1＝0和x ＋y －1＝0.(10分) (3) 证法1 设点E(x 1，y 1)，F(x 2，y 2)，则直线AE ：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎫3，5y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，5y 2x 2＋2，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，52y 1x 1＋2＋52y 2x 2＋2.(12分)直线QD 的斜率为k′＝5y 12（x 1＋2）＋5y 22（x 2＋2）3－1＝54⎝⎛⎭⎫y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2，(13分)而y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k （x 1－1）x 1＋2＋k （x 2－1）x 2＋2＝k·2x 1x 2＋x 1＋x 2－4x 1x 2＋2（x 1＋x 2）＋4.(14分) 由(2)知x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，代入上式得，(15分)y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝k·4k 2－8＋4k 2－4（1＋2k 2）2k 2－4＋8k 2＋4＋8k 2＝－12k 18k 2＝－23k . 则有k′＝－56k ，所以k·k′＝－56，为定值．(16分)(3) 证法2 设点M(3，m)，N(3，n)，且m ≠n ，则Q ⎝⎛⎭⎫3，m ＋n 2，从而k′＝m ＋n23－1＝m ＋n 4.直线AM 的方程为y ＝m 5(x ＋2)，与椭圆方程联立得(x ＋2)(x －2)＋2m 225(x ＋2)2＝0，可知x ＝－2或x ＝50－4m 225＋2m 2，即点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫50－4m 225＋2m 2，20m 25＋2m 2.故k DE ＝20m25＋2m 250－4m 225＋2m 2－1＝20m 25－6m 2. 同理可得k DF ＝20n 25－6n 2.又D ，E ，F 三点共线，则有k ＝k DE ＝k DF＝20m 25－6m 2＝20n25－6n 2＝20m －20n 6n 2－6m 2＝20（m －n ）－6（m ＋n ）（m －n ）＝－103（m ＋n ）.从而有k·k′＝－56.例4、已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，焦点到相应准线的距离为33.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 已知P(t ，0)为椭圆E 外一动点，过点P 分别作直线l 1和l 2，直线l 1和l 2分别交椭圆E 于点A ，B 和点C ，D ，且l 1和l 2的斜率分别为定值k 1和k 2，求证：PA ·PBPC ·PD为定值．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c ，由已知得，c a ＝32，则a 2c －c ＝33，c 2＝a 2－b 2，(3分) 解得a ＝2，b ＝1，c ＝3，(5分) 所以椭圆E 的标准方程是x 24＋y 2＝1.(6分)(2) 解法1 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，因为PA ＝1＋k 21|x 1－t|，PB ＝1＋k 21|x 2－t|，(10分) 所以PA·PB ＝(1＋k 21)|x 1－t||x 2－t|＝(1＋k 21)|t 2－(x 1＋x 2)t ＋x 1x 2| ＝(1＋k 21)|t 2－8k 21t21＋4k 21＋4k 21t 2－41＋4k 21|＝（1＋k 21）|t 2－4|1＋4k 21，(12分) 同理，PC ·PD ＝（1＋k 22）|t 2－4|1＋4k 22，(14分)所以PA·PB PC·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分) 解法2 由题意，设直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，直线l 2的方程为y ＝k 2(x －t)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．直线l 1的方程为y ＝k 1(x －t)，代入椭圆E 的方程中，并化简得(1＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－4＝0，(8分) 则x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，同理则x 3＋x 4＝8k 22t1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，PA →·PB →＝(x 1－t ，y 1)(x 2－t ，y 2)＝(x 1－t)(x 2－t)＋k 21(x 1－t)(x 2－t)＝(x 1－t)(x 2－t)(1＋k 21)， PC →·PD →＝(x 3－t ，y 3)(x 4－t ，y 4)＝(x 3－t)(x 4－t)＋k 22(x 3－t)(x 4－t)＝(x 3－t)(x 4－t)(1＋k 22)．(12分) 因为P ，A ，B 三点共线，所以PA →·PB →＝PA·PB ，同理，PC →·PD →＝PC ·PD.PA ·PB PC ·PD ＝PA →·PB →PC →·PD→＝（x 1－t ）（x 2－t ）（1＋k 21）（x 3－t ）（x 4－t ）（1＋k 22）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·（x 1－t ）（x 2－t ）（x 3－t ）（x 4－t ）＝（1＋k 21）（1＋k 22）·x 1x 2－t （x 1＋x 2）＋t 2x 3x 4－t （x 3＋x 4）＋t2. 代入x 1＋x 2＝8k 21t 1＋4k 21，x 1x 2＝4k 21t 2－41＋4k 21，x 3＋x 4＝8k 22t 1＋4k 22，x 3x 4＝4k 22t 2－41＋4k 22，化简得PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21），(14分) 因为是定值，所以PA ·PB PC ·PD ＝（1＋k 21）（1＋4k 22）（1＋k 22）（1＋4k 21）为定值．(16分)例5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，C 2与C 1的长轴长之比为2∶1，离心率相同．(1) 求椭圆C 2的标准方程； (2) 设点P 为椭圆C 2上的一点．①射线PO 与椭圆C 1依次交于点A ，B ，求证：PAPB为定值；②过点P 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2与椭圆C 1均有且只有一个公共点，求证k 1·k 2为定值．【解析】 (1) 设椭圆C 2的焦距为2c ，由题意，a ＝22，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，因此椭圆C 2的标准方程为x 28＋y 22＝1.(3分)(2)①1°当直线OP 斜率不存在时，PA ＝2－1，PB ＝2＋1，则PAPB ＝2－12＋1＝3－2 2.(4分)2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y ＝kx ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＝4，所以x 2A ＝44k 2＋1，同理x 2P＝84k 2＋1.(6分) 所以x 2P ＝2x 2A ，由题意，x P 与x A 同号，所以x P ＝2x A ，从而PA PB ＝|x P －x A ||x P －x B |＝|x P －x A ||x P ＋x A |＝2－12＋1＝3－2 2.所以PAPB＝3－22为定值．(8分)②设P(x 0，y 0)，所以直线l 1的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，即y ＝k 1x －k 1x 0＋y 0， 记t ＝－k 1x 0＋y 0，则l 1的方程为y ＝k 1x ＋t ，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得(4k 21＋1)x 2＋8k 1tx ＋4t 2－4＝0，因为直线l 1与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以Δ＝(8k 1t)2－4(4k 21＋1)(4t 2－4)＝0，即4k 21－t 2＋1＝0，将t ＝－k 1x 0＋y 0代入上式，整理得，(x 20－4)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－1＝0，(12分) 同理可得，(x 20－4)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－1＝0， 所以k 1，k 2为关于k 的方程(x 20－4)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－1＝0的两根，从而k 1·k 2＝y 20－1x 20－4.(14分)又点在P(x 0，y 0)椭圆C 2：x 28＋y 22＝1上，所以y 20＝2－14x 20，所以k 1·k 2＝2－14x 20－1x 20－4＝－14为定值．(16分)例6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，左焦点F(－2，0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 若M(－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程； (3) 设直线MA ，MB 与y 轴分别相交于点C ，D ，证明：OC·OD 为定值．【解析】 (1) 因为e ＝c a ＝22，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2.(2分)所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(4分)(2)设A(s ，t)，则B(－s ，t)，且s 2＋2t 2＝8 ①.因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ，所以MA →·MB →＝0，(5分) 又MA →＝(s ＋6，t ＋1)，MB →＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2＝0 ②.(6分) 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M(－6，－1)，所以t>0)，所以s 2＝709.(7分)又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t)，半径为AB2＝|s|，(8分)所以圆P 的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －132＝709.(9分) (3)设M(x 0，y 0)，则l MA 的方程为y －y 0＝t －y 0s －x 0(x －x 0)，若k 不存在，显然不符合条件． 令x ＝0得y C ＝－tx 0＋sy 0s －x 0；同理y D ＝－tx 0－sy 0－s －x 0，(11分)所以OC·OD ＝|y C ·y D |＝|－tx 0＋sy 0s －x 0·－tx 0－sy 0－s －x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2.(13分)因为s 2＋2t 2＝8，x 20＋2y 20＝8，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2x 20－s 2y 20x 20－s 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2（8－2y 20）－（8－2t 2）y 208－2y 20－（8－2t 2）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8t 2－8y 202t 2－2y 20＝4为定值．(16分)例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值．【解析】 设P(x 0，y 0)，Q(x 1，y 1)．(1) 在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.(2分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋（x ＋3）29＝1.所以x 0＝－6a 29＋a 2.(4分)因为PB 1＝x 20＋（y 0－3）2＝2|x 0|，所以42＝2·6a 29＋a2，解得a 2＝18. 所以椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 证法1(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理，QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3.(8分) 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.(10分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以x 1＝－x 02.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.(14分)证法2(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得(2k 2＋1)x 2＋12kx ＝0.因为P 是椭圆上异于点B 1，B 2的点，所以x 0≠0， 从而x 0＝－12k2k 2＋1.(8分)因为P(x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202.所以k·k′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k′＝－12k.(10分)由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，则x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.(12分)所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2.(14分) 例8、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求1OP 2＋1OQ2的值．【解析】(1) 由题意得，c a ＝22，a 2c－c ＝1, (2分)解得a ＝2，c ＝1，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2，所以1OP 2＋1OQ 2＝1.(6分)当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y ＝kx .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ，得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2＝22k 2＋1，所以y 2＝2k 22k 2＋1，所以OP 2＝2k 2＋22k 2＋1.(9分)因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－1k x得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2＋2.(12分) 所以1OP 2＋1OQ 2＝2k 2＋12k 2＋2＋12k 2＋2＝1.综上，可知1OP 2＋1OQ2＝1.(14分)例9、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．．【解析】(1) 由e ＝c a ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3，椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.(2分)把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 22＝1.(5分)(2) 由已知得P A ，PB 的斜率存在，且互为相反数．(6分) 设直线P A 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8， 即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0.(8分)因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1.(10分)把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1.(12分)计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k＝－12，是定值．(14分)解后反思 利用直线P A 与椭圆C 已经有一个交点P (2，－1)，可使得解答更简单．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，4(y 2－1)＝4－x 2， 当(x ，y )≠(2，－1)时，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，4k (y －1)＝－x －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝8k 2＋8k －24k 2＋1，y A＝4k 2－4k －14k 2＋1.以下同解答．下面介绍一个更优雅的解法．由A ，B 在椭圆C ：x 2＋4y 2＝8上，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2. 同理k P A ＝y 1＋1x 1－2＝－14·x 1＋2y 1－1，k PB ＝y 2＋1x 2－2＝－14·x 2＋2y 2－1.由已知，得k P A ＝－k PB ，所以y 1＋1x 1－2＝－y 2＋1x 2－2，且x 1＋2y 1－1＝－x 2＋2y 2－1，即x 1y 2＋x 2y 1＝2(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4.从而可得x 1＋x 2＝2(y 1＋y 2)．所以k AB ＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，是定值．【反馈练习】1、如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD⋅值的说法正确的是（ ）A ．等于4B ．大于4C ．小于4D ．不确定【答案】A【解析】据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282y x my x ⎧=⎨=-⎩，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()22AC BD AF BF ⋅=-⋅-()()121222224x x x x =+-⋅+-==.2、已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A ，B 两点，交l 于D ，过A ，B 分别作x 轴的平行线，分别交l 于M ，N 两点.若4AB FB =u u u v u u u v，AND ∆的面积等于323，则C 的方程为（ ）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =【答案】D【解析】结合抛物线的性质可知,3FB BN AF BF ==，所以2AG BF =结合11323223AND S BN ND BG NB =⋅⋅+⋅⋅=V 12839NB GB ⋅=对于三角形AGB ，该三角形为直角三角形，所以23GB BN =，代入，得到83NB = 故030GBA ∠=，所以直线AB 3，设直线AB 方程为32p y x ⎫=-⎪⎭，代入抛物线方程，得到2233504x px p -+=，而B 点横坐标为832p -，A 点横坐标为82p- 故8583223p p p -+-=，计算4p =，所以抛物线方程为28y x =，故选D ．3、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22143x y +=，左右焦点分别为1F ，2F ，设Q 为椭圆C 上位于x轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11MQF NQF ∠=∠，设直线MN 与y 轴交于点(0,)D d ，则d 的取值范围为____．【答案】(2,1)-【解析】设直线QM 的斜率为k ，因为11MQF NQF ∠=∠，所以QM ，QN 关于直线1QF 对称， 所以直线QN 的斜率为k -，因为Q 为椭圆C 上位于x 轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，所以易得()11,0F -，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线QM 的方程是()312y k x -=+， 设()33,M x y ，()44,N x y由()2231,2143y k x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得，()()()2223412841230k x k kx k k +++++-=， 所以2324123134k k x k +--⋅=+，所以232412334k k x k --+=+ 将上式中的k 换成k -得，242412334k k x k-++=+， 所以()343434342MNk x x y y k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦==-- 22286234124234k k k k k⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭==--+ 所以直线MN 的方程是12y x d =-+， 代入椭圆方程22143x y +=得，2230x dx d -+-=，所以()()22430d d ∆=--->，所以22d -<<，又因为MN 在Q 点下方，所以()31122d >-⨯-+，所以d 的取值范围为()2,1-. 故答案为()2,1-4、已知P 为双曲线221x y -=右支上任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，12,F F 为双曲线的左、右焦点，则12F P F Q ⋅=u u u v u u u u v__________．【答案】1-【解析】由题双曲线的焦点12F ,F 为（0），0）设P (00,x y ),则Q (00,x y -)， 12F P F Q ⋅=u u u v u u u u v（00x y ）⋅（00x y -）=22002x y --=-1故答案为-15、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122= 同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12212MN x x k=-==+，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=u u u u r u u u r u u u r，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， Q 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为2122212OMDN OMNS S MN d k ∆==⨯⨯=+()222121k k +====+故四边形OMDN .6、设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2221(15)x y a a+=<<上，该椭圆的左顶点A 到直线50x y-+=． ()1求椭圆C 的标准方程；()2若线段MN 平行于y 轴，满足()20ON OM MN -⋅=u u u r u u u u r u uu u r ，动点P 在直线x = 2.ON NP ⋅=u u u r u u u r证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F ．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析【解析】(1)由题意： ()A a,0-2︱︱-=， 1a 5<<Q a 2∴= ∴椭圆C 的标准方程为： 22x y 14+=(2)设()M m,n ， ()P t ，则22m 4n 4+=， (ON 2OM)MN 0-⋅=u u u u v u u u u v u u u u vQ ，即()()110y 2n 0,y n 0--=n ，,解1y 2n =∴ ()N m,2n ， ON NP 2u u u v u Q u u v⋅=，()ON OP ON 2∴⋅-=u u u v u u u v u u u v ，即：()()m,2n m,t 2n -，得222nt (m 4n )2+-+= ,nt 30+-=Q 直线OP 的方程为： tx 0-=， 设过点N 且垂直于OP 直线为l ，∴直线l 的方程：ty 2tn 0+-+= ，即ty 60+-=∴直线l 过定点)，即直线l 恒过椭圆的右焦点F7、已知抛物线21:2(0)C y px p =>与椭圆222:143x y C +=有一个相同的焦点，过点(2,0)A 且与x 轴不垂直的直线l 与抛物线1C 交于P ，Q 两点，P 关于x 轴的对称点为M . （1）求抛物线1C 的方程；（2）试问直线MQ 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）(2,0)-【解析】（1）由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为()1,0，所以2p =，所以抛物线的方程为24y x =；（2）【解法一】因为点P 与点M 关于x 轴对称 所以设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,M x y -， 设直线PQ 的方程为()2y k x =-，代入24y x =得：()22224140k x k x k -++=，所以124x x =，设直线MQ 的方程为y mx n =+，代入24y x =得：()222240m x mn x n +-+=，所以21224n x x m==，因为10x >，20x >，所以2nm=，即2n m =， 所以直线MQ 的方程为()2y m x =+，必过定点()2,0-. 【解法二】设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ， 因为点P 与点M 关于x 轴对称，所以31y y =-， 设直线PQ 的方程为2x ty =+，代入24y x =得：2480y ty --=，所以128y y =-，设直线MQ 的方程为x my n =+，代入24y x =得：2440y my n --=，所以234y y n =-，因为31y y =-，所以()211248y y y y n -=-=-=，即2n =-， 所以直线MQ 的方程为2x my =-，必过定点()2,0-.8、已知O 为坐标原点，点1(F ，2F ，S ，动点N 满足1NF NS +=P为线段1NF 的中点，抛物线C ：22(0)x my m =>上点A ，OA OS ⋅=u u u v u u u v. （1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断2211||||OP OQ +是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）曲线W 的标准方程为2213x y +=.抛物线C 的标准方程为2x =.（2）见解析【解析】（1）由题知22NS PF =，112NF PF =，所以12122NF NF PF PF ++=12F F =>，因此动点P 的轨迹W 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，又知2a =，2c =，所以曲线W 的标准方程为2213x y +=.又由题知(A A x ，所以(()A OA OS x ⋅=⋅u u u v u u u vA ==，所以A x =又因为点(A 在抛物线C上，所以m =所以抛物线C的标准方程为2x =.（2）设(),P P P x y，,Q Q x ⎛ ⎝⎭， 由题知OP OQ ⊥，所以02Pp Q x x -=，即)0Q P P x x =≠， 所以222222111133||||22P P P P y OP OQ x y x +=+++ ()222323P P P x x y +=+， 又因为2213P P x y +=，2213P P x y =-，所以()222222323213313P PP P PP x x x x y x ++==⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 所以2211||||OP OQ +为定值，且定值为1.。

微专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。

探究椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质1. 引言1.1 椭圆的定义椭圆是平面上所有点到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数2a称为长轴长度。

椭圆还有一个重要的属性是其离心率，定义为焦距长度与长轴长度的比值。

在平面几何中，斜率是描述直线的一个重要概念。

斜率代表了直线上的两点之间的纵向变化量与横向变化量的比值。

斜率为定值的两条直线是指这两条直线的斜率相等。

通过这篇文章，我们将探讨斜率和为定值的两条直线与椭圆的关系，以及这种直线在椭圆中的性质。

希望通过对这一问题的深入探讨，我们能够更好地理解椭圆和直线之间的相互作用，以及斜率和为定值的直线在椭圆中的重要性。

1.2 斜率和为定值的两条直线椭圆是一个几何图形，其定义为平面上所有到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

椭圆通常由两个焦点和一个不等于两者距离和的实数称为常数的总长度来确定。

斜率和为定值的两条直线是指两条直线的斜率之和为一个固定的数。

在平面几何中，两条直线的斜率和为定值的情况会经常出现，并且有着重要的几何性质。

斜率和为定值的两条直线与椭圆之间存在着密切的联系。

在椭圆中，当两条直线的斜率和为定值时，它们与椭圆的位置和性质有着一定的规律。

斜率和为定值的两条直线的性质可以分为多个方面来探究。

这两条直线与椭圆的交点的性质值得研究。

这两条直线在椭圆内部的走向和关系也是一个重要的问题。

这两条直线与椭圆的切线和法线的关系也会牵扯到斜率的问题。

斜率和为定值的两条直线在椭圆中的性质和关系具有很大的研究价值。

通过深入探讨这一问题，我们可以更好地理解椭圆的几何特性和直线的性质，进一步推动相关数学理论的发展。

2. 正文2.1 斜率和为定值的两条直线与椭圆的关系椭圆是平面上到两个固定点F1、F2的距离之和等于常数2a(a>0)的动点P的轨迹。

斜率和为定值的两条直线是指在平面直角坐标系中，两条直线的斜率之和为一个固定值k。

椭圆中两直线斜率积(和)为定值与定点问题（作业）1.过椭圆C：x24＋y2＝1的上顶点A作斜率分别为1和－1的直线分别交椭圆于M，N 两点．则直线MN与y轴交点的坐标是________．2．已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.则直线OM的斜率与l的斜率的乘积为________．3．如图，已知椭圆C：x24＋y2＝1的上、下顶点分别为A，B，点P在椭圆上，且异于点A，B的直线AP，BP与直线l：y＝－2分别交于点M，N.当点P运动时，以MN为直径的圆经过的定点是________．4.已知椭圆x236＋y24＝1上一点M(32，2)，过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A，B，∠AMB的平分线与y轴平行，则直线AB的斜率为定值________．5．如图，已知椭圆E 1方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b＞0)，圆E 2方程为x 2＋y 2＝a 2，过椭圆的左顶点A 作斜率为k 1的直线的l 1与椭圆E 1和圆E 2分别相交于B ，C.设D 为圆E 2上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为k 2，当k 1k 2＝b 2a2时，直线BD 过定点________．6.已知椭圆C：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A ，B 为动直线y ＝k(x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，直线l ：12y x =与椭圆E 相交于A ，B 两点，25AB =C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N.（1）求,a b 的值；（2）求证：直线MN 的斜率为定值。

探究椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质本文将探讨椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质。

椭圆是一种常见的数学图形，具有许多特殊性质。

斜率是描述直线倾斜程度的量，它表示了直线在平面上的倾斜程度。

本文将通过数学证明和举例说明，来探究椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质。

我们来研究椭圆的数学性质。

椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆的长轴长度，b为椭圆的短轴长度。

椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是与长轴垂直的线段。

我们来研究直线的斜率性质。

直线的斜率用k表示，即k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两个点。

斜率为定值表示直线上任意两点的斜率都相等，即k为常数。

斜率为定值的直线可以是水平线、垂直线或斜率为非零实数的线。

我们现在来探讨椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质。

假设直线1和直线2的斜率和为k，即k=k₁+k₂，其中k₁为直线1的斜率，k₂为直线2的斜率。

我们来考虑直线1和直线2分别与椭圆的交点。

为了便于讨论，我们将直线1和直线2分别定义为y₁=k₁x+b₁和y₂=k₂x+b₂，其中b₁和b₂为直线的截距。

如果直线1和直线2与椭圆的交点分别为A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则可以通过代入椭圆的标准方程解得交点坐标。

我们来考虑直线1和直线2的性质。

由于直线1和直线2的斜率和为k，我们可以得出直线1和直线2的斜率和的公式为k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)=(k₂x+b₂-k₁x-b₁)/(x₂-x₁)=(k₂-k₁)x/(x₂-x₁)。

根据斜率和的公式可知，如果直线1和直线2的斜率和为定值k，则直线1和直线2的斜率差也是一个常数。

这意味着直线1和直线2的斜率相对于直线上的任意两点来说始终保持一定的差距。

我们通过数学证明和具体例子探讨了椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质。

专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。

专题35 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，本专题在上节课的基础上，让学生继续体会其中蕴含着动、静依存的辩证关系，并以椭圆中的斜率之和为条件，从具体问题入手，继续通过对解决方法进行总结辨析，希望能使学生根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并进一步引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.如图35-1所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32.图35-1(1)求椭圆C 的方程；(2)过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中存在两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线方程可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，任意不经过短轴端点的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (0，b )，若直线P A 与直线PB的斜率的和为s (s ≠0)，证明：l 过定点Q (－2b s ，－b )．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，任意不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．点P (4,0)，若直线P A 与直线PB 的斜率的和为0 ，则l 过定点坐标为_________．已知左焦点为F (－1,0)的椭圆过点E (1，233)．过点P (1,1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1＋k 2＝1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．如图35-2所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点M (2,0)，且右焦点为F (1,0)，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点P (4,3)，记P A 、PB 的斜率分别为k 1和k 2.图35-2(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线l 的斜率等于－1，求出k 1·k 2的值；(3)探讨k 1＋k 2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k 1＋k 2的取值范围．(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .(本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．(1)x 24＋y 2＝1；(2)略．(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点．又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.…………………………………………………………………………………………2分(判断点P 1不在C 上)因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝11a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.…………………………………………………………………………………………4分(求出椭圆方程)(2)证明：设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B的坐标分别为(t ，4－t 22)，(t ，－4－t 22)．则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)．将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0………………………………………………………………………………………………………………6分(考察l ⊥x 轴时情形)由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1. ………………………………………………………………8分(设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理)而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)x 1x 2. ………………………………10分(用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2) 由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km 4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12.……………………12分(由k 1＋k 2＝－1求得k ＝－m ＋12) 当且仅当m >－1时，Δ>0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)，所以l 过定点(2，－1). ………………14分(将k ＝－m ＋12代入l 方程化成点斜式并得出结论)答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上；第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ；第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题；第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并写出韦达定理；第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2；第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12； 第七步：将k ＝－m ＋12代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价已知椭圆x 236＋y 24＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，F 2()1，0，设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线F 2P 、F 2Q 的倾斜角分别为α，β且α＋β＝π，则直线l 恒过定点坐标为________．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设M 是椭圆C 的左顶点，过点M分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐标为____．已知椭圆a 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M (0,2)是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝8，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 已知椭圆C 过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)、(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，点P (2，－1)满足P A 1→·P A 2→＝1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3(1)求椭圆的方程；(2)已知P 为直角坐标平面内一定点，动直线l ：y ＝12x ＋t 与椭圆交于A 、B 两点，当直线P A 与直线PB 的斜率均存在时，若直线P A 与PB 的斜率之和为与t 无关的常数，求出所有满足条件的定点P 的坐标．。