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龙源期刊网 齐次化思想在解题中的应用探索作者：蓝云波张刚来源：《教育实践与研究·中学课程版》2018年第01期摘要：齐次化是数学解题的重要方法，通过在教学中对齐次化方法的深入探究，引导学生挖掘出齐次化的本质其实就是化两元为一元，减少代数字母数量，从而使齐次化方法上升为一类解题思路。
这种转化思路在解决三角函数问题、求取值范围问题、解析几何问题、证明不等式、证明数列不等式、函数综合问题等方面都可以得到广泛的应用。
教师应当通过设置不同角度的问题引领学生自主探究，促进学生理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向，将数学运算这个学科素养的发展落到实处。
关键词：齐次化；优化解题；解题思想；学科素养中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2018）02-0009-05齐次式各项的次数相同，因而具有对称美和结构美的特征，这使得运算的处理往往会更容易、更简洁、更容易发现规律。
同时，对于一些涉及非齐次式的数学问题，如果学生能够结合题设条件，将其转化为齐次式问题来处理，则往往能化繁为简，优化解题过程，起到事半功倍的效果。
齐次化方法的本质是消参思想，齐次化运算步骤是各类考试中普遍热点，是对学生数学运算这个学科素养的具体考察——要求学生“理解运算对象”，合理构造满足题干条件的算式；“掌握运算法则”，能够正确运用所学的数学概念、公式、定理；“探究运算方向”——消除待求算式中与题干无关的参数。
笔者以近年来的各类试题为例，包括三角函数、代数式取值范围、解析几何、证明代数不等式、证明数列不等式、函数与导数等方面的齐次化解法，供广大一线数学教师作为授课参考。
一、三角函数问题考点是源于教材，如人教A版必修④第一章《三角函数》中的一道习题：已tanα=2知，求的值.解题思路是将该分式转化为只关于tanα的式子。
以下这道高考试题就可以看作本例题的一个变式。
【例1】（2015年高考广东卷）已知tanα=2.（1）求tanα+的值；（2）求的值.【解析】（1）tanα+=-3（略）；。
“齐次化”思想在求解数学问题中的应用
作者：***
来源：《中学生理科应试》2022年第06期
在许多问题解决的过程中，经常利用一些定理、公式等本身有“比值”这一基本特征来构造相关数学元素的“齐次”结构解答问题，这就是数学解题中的“齐次化思想”，运用“齐次化”思想，可以较快地寻找到解决问题的思路或使问题得到较好地解答，
点评由题意化简所给的三角函数式，然后利用关于sinθ，cosθ的“齐二次”式后，利用同角的“商数关系”分子、分母同時除以cos2θ转化为tanθ的式子代人求值.齐次化思想在求解本题中得到了很好地体现.
点评本题（ I）首先利用正弦定理将条件3csinB= 4asinC化为关于边长a、b的“齐一次”式，进而得到a，b，c的比例关系，然后利用余弦定理得到关于a，b，c的“齐二次”式，代入求得cosB的值，充分体现了“齐次化”思想的应用.
点评本题（I）直接利用余弦定理的“齐二次”结构建立边c的方程求解;（Ⅱ）利用正弦定理的“齐一次”结构变形后，利用三角恒等变换和诱导
点评该解法首先进行“1”的代换：1 =2a +b.化为关于a，b的二次齐次分式后变形为基本不等式的结构形式，利用基本不等式求得最值.
通过以上几个方面的应用可以看到，这些可以借助“齐次化”解决的问题的一个共同背景是：某个目标值的取值并不依赖于哪个变量，而是依赖于这些变量的“比值”，这样，构造齐次式以后，可以让这些比值“显现”出来，从而解决问题.
（收稿日期：2022 -03 -03）。
齐次化联立解决定点定值问题广东省英德中学（513000）陈国宗一、概述 圆锥曲线是历年高考命题的重点与难点，而定点定值问题又始终在圆锥曲线的问题中占有一席之地，该问题对学生分析问题能力，知识综合运用能力，数学运算能力与技巧要求较高.学生普遍存在计算不完或者计算不对的现象.为此，本文将介绍齐次化联立的方法解决一类定点定值问题，以提高运算的效率与准确率. 二、例题分析例1.已知,A B 为抛物线24x y =上异于原点O 的两点，设,OA OB k k 分别为直线,OA OB 的斜率且2OA OB k k +=.证明：直线AB 的斜率为定值. 解：设直线AB 与抛物线的交点11(,)A x y ，22(,)B x y 设直线AB 的方程为1mx ny +=.由241x y mx ny ⎧=⎨+=⎩ 联立得：24()x y mx ny =+ 即22440ny mxy x +-= 变形得：24410y y n m x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭又2OA OB k k +=，即12122y y x x +=424m n ∴-=即2m n-= ∴直线AB 的斜率2mk n=-=. 点评：①上述解法的巧妙之处在于将条件中11OA y k x =与22OB y k x =的关系转化为关于y x（视为整体）的一元二次方程的两根关系.②将直线AB 的方程设为1mx ny +=是为了联立抛物线方程后方便将方程中的各项补齐为二次式，进而转化为关于yx的一元二次方程.例 2.如图1所示，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，点,A B 及点(2,1)P -都在椭圆C 上，若直线PA 与直线PB 的倾斜角互补.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）证明：直线AB 的斜率为定值.解：（1）依题意22411a b c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得4211240a a -+= 解得28a =或23a =（舍去）∴2222b a c =-=故椭圆C 的标准方程为22182x y +=. （2）分别平移,x y 轴，建立以(2,1)P -为原点的直角坐标系x Py ''，如图2所示在直角坐标系x Py ''下：已知(0,0)P ，设()1122,,(,)A x y B x y '''' 设直线AB 方程为1mx ny ''+=易知椭圆C 的方程为()()2221182x y ''-++=变形得：224480x y x y ''''+-+=由2244801x y x y mx ny ''''⎧+-+=⎨''+=⎩ 联立得：()()224480x y x mx ny y mx ny ''''''''+-+++=化简变形得：()()24884140y y n m n m x x ''⎛⎫++-+-= ⎪''⎝⎭直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，故0PA PB k k +=即12120y y x x ''+=''84048m n n -∴-=+ ∴12m n -=-∴直线AB 的斜率为12k =-.易知直线在平移前后斜率不变，综上所述：直线AB 的斜率为定值12-. 点评：1.上述解法的核心在于对坐标轴进行平移，联立直线与椭圆方程齐次化，最后转化为关于yx的一元二次方程的两根关系问题.故我们称上述方法为平移齐次化. 2.一般地，设000(,)(0)P x y x ≠为圆锥曲线:(,)0C f x y =上一点，由点P引倾斜角互补的两弦,PA PB ，利用平移齐次化方法证明直线AB 斜率为定值的基本步骤为： ①平移坐标轴，建立以000(,)(0)P x y x ≠为原点的新平面直角坐标系x Py ''.②在直角坐标系x Py ''下，求得圆锥曲线C 的方程为00(,)0f x x y y ''++=，并将直线AB 方程设为1mx ny ''+=.③联立直线与椭圆方程齐次化，将问题转化为关于yx 的一元二次方程两根关系问题.3.解题过程中应注意到圆锥曲线C ：00(,)0f x x y y ''++=的常数项为0，以及直线平移前后斜率不变的一般规律.事实上，利用平移齐次化方法我们还可以得到一个更为的结论：设000(,)(0)P x y x ≠为有心二次曲线（圆、椭圆、双曲线）221x y m n+=上一点，由点P 引倾斜角互补的两弦,PA PB ，则直线AB 的斜率为定值nx my ，证明留给读者. 例3（2017全国I 卷理科20题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点12(1,1),(0,1),P P34(1,(1,)22P P -中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点. 解：（1）因为34(P P -关于y 轴对称，所以34,P P 两点在椭圆C 上. 故221314a b +=又2222111314a b a b +>+= ∴1P 不在椭圆上，2P 在椭圆上. ∴222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）平移x 轴，建立以2(0,1)P 为原点的直角坐标系2x P y ''，如图3所示在直角坐标系x Py ''下：已知2(0,0)P ，设()1122,,(,)A x y B x y '''' 设直线AB 方程为1mx ny ''+=易知椭圆C 的方程为()22114x y ''++= 变形得：22480x y y '''++=由224801x y y mx ny '''⎧++=⎨''+=⎩ 联立得：()22480x y y mx ny '''''+++=化简变形得：()248810y y n m x x ''⎛⎫+++= ⎪''⎝⎭又221P A P B k k +=-，即12121y y x x ''+=-''. 8148m n ∴-=-+即212n m +=. ∴直线AB 的方程为2()20n x y x '''++-=，∴直线AB 过定点(2,2)-故在原坐标系xoy 下直线AB 过定点(2,1)-.点评：利用平移齐次化方法证明定点问题时应注意平移前后定点坐标的关系.事实上，利用平移齐次化的方法我们还可以得到一个更为一般的结论：设00(,)P x y 为有心二次曲线221x y m n+=上一点，若动弦AB 相对点P 张角为直角时，则弦AB 所在的直线经过定点220022,22e x e y e e ⎛⎫⎪--⎝⎭，其中e 有心二次曲线的离心率.证明留给读者. 三、结束语 以上是本人对平移齐次化方法在定点定值问题中的一些见解，通过文中的几则实例，我们可以感受到该方法摒弃常规、独辟蹊径、解法高效.这也启发我们学习数学应该要有敢于创新、勇于突破的精神，而非墨守成规、千篇一律.。
例谈齐次化思想方法在高中数学解题中的应用作者：严天珍李平来源：《理科考试研究·高中》2019年第10期摘;要：齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，而且在解题过程中若能把非齐次式转化为齐次式就可以达到化繁为简，事半功倍的效果.因此，在高中数学解题中，应用已知条件将代数式转化为齐次式以达到化简求解、推导证明是解决一些数学问题的重要方法.关键词：齐次式;方法;解题;应用1;问题提出突出数学主线，凸显数学的内在联系和思想方法，优化课程结构，是高中数学课程的基本理念之一;同时，倡导基于数学核心素养、以思想方法为线索的方法类教学设计，亦将成为中学教师研修的重要方向.回顾现行高中数学教材体例及近年高考试题发现，除“函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论”等重要数学思想方法之外，“齐次化思想方法”在高中数学内容编排及考试评价中也多有呈现;但缘于该思想方法在高中数学内容中分布的零散性和知识本身的边缘性，致使学生不能以整体的视野去整合与该思想相关的内容，更难将该思想方法顺利迁移到相关的解题中去.为此，笔者拟在简析齐次化思想方法的基础上，以齐次化思想方法为线索，在整体思维的指导下对高中数学中与齐次化思想方法有内在关联性的内容进行示例分析，以期抛砖引玉.2;思想概述数学思想方法是思考数学问题和从数学角度思考问题的思想和方法，是长期的数学发展所积累的文化灵魂;它不仅是人们对数学理论和内容的本质认识，而且也是数学思想具体化、程序化、可操作的具体表现形式.为深入了解齐次化思想方法，我们先了解一个基本概念：若多项式函数p（x，y，…，z）=A1xk1yl1…zq1+A2xk2yl2…zq2+…+Atxktylt…zqt的所有项有相同的次数n，即k1+l1+q1=k2+l2+q2=…=kt+lt+…+qt=n，则这个函数称为n次齐次多项式.若上述函数p（x，y，…，z）=0，则这样的方程称为关于x，y，…，z的n次齐次方程;若上述函数p（x，y，…，z）>0，则这样的不等式称为关于x，y，…，z的n次齐次不等式.现将齐次多项式、齐次方程、齐次不等式统称为齐次式.齐次式不仅能体现数学的对称美与和谐美，并且在解题过程中，若能把非齐次式转化为齐次式就可以达到化繁为简、事半功倍的效果.因此，在高中数学解题中，应用已知条件将代数式转化为齐次式以达到化简求解、推导证明的具体化、程序化、可操作的过程，我们称为齐次化思想方法.3;应用举例研究发现，有关齐次式的问题经常出现在三角求值、解三角形、不等式证明、圆锥曲线综合、二元函数求值、数列综合等章节里，掌握齐次化思想方法对处理这些常见的齐次问题非常重要.3.1;齐次化思想方法在三角函数中的应用例1;已知tanθ=-13，计算：（1）（人教A版数学必修④71页第4（2）题）12sinθcosθ+cos2θ;（2）（2016年全國Ⅲ卷文科第6题）cos2θ.解;（1）因为tanθ=-13，所以12sinθcosθ+cos2θ=sin2θ+cos2θ2sinθcosθ+cos2θ=tan2θ+12tanθ+1=（-13）2+12×（-13）+1=103.（2）cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θsin2θ+cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-（-13）21+（-13）2=45.评析;利用同角三角函数关系sin2θ+cos2θ=1构造关于sinθ与cosθ的二次齐次式是解答本题的突破口.3.2;齐次化思想方法在解三角形中的应用例2;（2017年全国Ⅰ卷文科第11题）ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，a=2，c=2，求C.解;因为sinB+sinA·（sinC-cosC）=0，所以sinB+sinAsinC-sinAcosC=0.构造关于sinA，cosA，sinC，cosC的二次齐次式得.sin（A+C）+sinAsinC-sinAcosC=0.则sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0.即tanA=-1，故A=3π4.再由正弦定理得sinC=csinAa=2×222=12.所以C=π6.评析;三角恒等变换是解三角形问题中的核心步骤，齐次化思想无疑能为解决此类问题提供思想方法上的指引.3.3;齐次化思想方法在不等式证明中的应用例3;（第5个优美不等式）设x，y，z为正实数，且满足x+y+z=1，求证：xx+yz+yy+xz+zz+xy≤94.证明;因为x+y+z=1，故xx+yz分母齐次化xx（x+y+z）+yz=x（x+y）（x+z）;同理yy+xz=y（x+y）（y+z）;zz+xy=z（x+z）（y+z）.于是xx+yz+yy+xz+zz+xy=x（x+y）（x+z）+y（x+y）（y+z）+z（x+z）（y+z）=x（y+z）+y（x+z）+z（x+y）（x+y）（x+z）（y+z）=2（xy+xz+yz）（x+y）（x+z）（y+z）分式齐次化2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）.从而原不等式2（xy+xz+yz）（x+y+z）（x+y）（x+z）（y+z）≤94.9（x+y）（x+z）（y+z）≥8（xy+xz+yz）（x+y+z）y2z+x2z+yz2+x2y+xz2+xy2≥6xyzxy+yx+zx+xz+zy+yz≥6.（*）由基本不等式及不等式的同向可加性知（*）式显然成立，即原式得证.评析;根据题设对不等式中的各项局部齐次化或整体齐次化，再辅以分析法做恒等变形，即可证得上式.3.4;齐次化思想方法在圆锥曲线中的应用例4;（2017年全国Ⅰ卷理科第20题）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程;（2）设直线l不经过点P2且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.解;（1）x24+y2=1（过程略）;（2）作平移变换φ：x′=x，y′=y-1.则在平移变换φ：x′=xy′=y-1 下，点P2（0，1）变成点P′2（0，0），椭圆x24+y2=1变成椭圆x′24+（y′+1）2=1，直线AB变成A′B′.设lA′B′：mx′+ny′=1，联立mx′+ny′=1，x′24+（y′+1）2=1，齐次化得x′24+（y′+mx′+ny′）2=（mx′+ny′）2.即有x′2+8mx′y′+4（2n+1）y′2=0.两边同时除以x′2得，4（2n+1）（y′x′）2+8m·y′x′+1=0.根据韦达定理有，kP2 A ;+ kP2 B ;= kP′2A′ + kP′2B′=-8m4（2n + 1） =-1，即m=n+12.所以lA′B′：（n+12）x′+ny′=1.显然直线A′B′过定点（2，-2）.所以直线AB过定点（2，-1）.评析;用解析法研究圆锥曲线问题，解题思路看似简单，但运算过程对学生无疑是一种挑战.巧构二次齐次式不仅能简化运算过程，而且能为解决此类问题提供新的解题视角.3.5;齐次化思想方法在求函数值域中的应用例5;（2006年安徽省竞赛题）若x，y为实数，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值.解;令t=x2-xy+y2，则x2-xy+y2t=1.因为x2+xy+y2=3，所以可得关于x，y的齐次式x2-xy+y2t=x2+xy+y23.即（t-3）y2+（t+3）xy+（t-3）x2=0.①當x=0时，则有y2=3，t=3;②当x≠0时，则有（t-3）（yx）2+（t+3）yx+（t-3）=0.因为yx∈R，所以Δ=（t+3）2-4（t-3）2≥0，即1≤t≤9.综上，tmin=1，tmax=9.评析;二元函数条件最值问题是高中数学中的常见问题，也是各类竞赛中的热点问题.在形如“已知实数x，y满足ax2+bxy+cz2=d（d≠0）条件下，求二元函数f（x，y）=ux2+vxy+wy2的值域”问题，我们首先可以构造关于x，y的二次齐次式，再恒等变形为关于yx的一元二次方程，进而根据判别式法求得此类二元函数的值域.3.6;齐次化思想方法在数列综合中的应用例6;（2012年全国Ⅱ卷理科第22题）函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2且2≤xn解;由题意可得0-5=f（xn）-5xn-4（xn+1-4）.即有xn+1xn=-2xn+1+4xn+3.作变换xn=an+3使上式局部齐次化得，an+1an=-5an+1+an.两边同除以an+1an得，1an+1-5·1an=1，即有1an+1+14=5（1an+14）.所以数列1an+14是首项为-34，公比为5的等比数列.因此1an+14=-34·5n-1，即an=-43·5n-1+1.从而解得xn=3-43·5n-1+1.评析;此题作为当年高考的压轴题不可谓不难，初看确实让考生难以入手.若能将递推公式xn+1xn=p1xn+1+p2xn+q局部齐次化为an+1an=pan+1+qan，则此题自然迎刃而解.通过思想方法引领，定能使解题做到水到渠成，深入浅出.4;一点思考数学思想方法既是数学教学的灵魂，也是数学教学的精髓.因此，在高三复习备考中，凸显数学的思想方法与特定知识的内在联系，设计以思想方法为线索的方法类教学设计，把一些看似无关处于“游离”状态的零散知识点通过思想方法有机地串联在了一起，既构建了相关知识间的结构体系，也拓宽了学生的解题视野，从而让数学思想方法有效推动具体知识内容的教学，切实助推数学核心素养的落实.参考文献：[1]马子奇.活跃在圆锥曲线的齐次化方法[J].数理化学习（高中版），2018（07）：24-25.[2]安振平.二十六个优美不等式[J].中学数学教学参考，2010（1-2）：136+143.。
齐次化解决圆锥曲线题目
圆锥曲线是高中数学中常见的一类曲线，其中包括了直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等多种类型。
在解题过程中，齐次化是一种常用的技巧，能够有效地简化计算和推导。
齐次化的基本思想是将曲线上的点表示为一个有理数向量$(x,y,z)^T$，其中 $T$ 表示转置。
对于曲线上的同一点，其坐标不唯一，但是向量 $(x,y,z)^T$ 的比例是唯一的。
因此，我们可以将向量 $(x,y,z)^T$ 乘以一个非零数 $k$，得到 $(kx,ky,kz)^T$，这两个向量代表的是同一点，因此称为等价向量。
利用齐次化，我们可以将曲线上的点表示成一个齐次坐标$(x,y,z,w)^T$，其中 $w$ 表示一个非零的参数。
这样，我们就可以将曲线上的每个点表示为一个等价的向量 $(x/w,y/w,z/w)^T$，并且可以将 $w$ 消掉，得到 $x,y,z$ 的关系式，从而得到曲线的方程。
以圆为例，设圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$，则圆的方程可以表示成 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
我们将其齐次化，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2z^2$，再将 $z$ 消掉，得到
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，即圆的方程。
同样地，我们可以将其他类型的圆锥曲线进行齐次化，从而得到其方程。
在解题过程中，利用齐次化可以简化计算，推导过程也更加清晰和简单。
因此，掌握齐次化技巧对于解决圆锥曲线题目非常有帮助。
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例谈解析几何中齐次化技巧一．基本原理在解析几何计算与二次曲线“半径”（曲线上一点到坐标原点的连线）斜率有关的问题时，我们可以进行“1”代换的齐次化计算，即一般计算步骤为：22222)(1b kx y ny mx ny mx b kx y -=+⇒⎩⎨⎧=++=，整理可得：0(2=+⋅+C xy B x y A 0(2=+⋅+C x y B x y A 中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即,OA OB 的斜率，设为12,k k ，由韦达定理知12B k k A +=-，12C k k A=，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出,OA OB 的性质，倒过来，我们也可以通过,OA OB 的性质与二次曲线得出AB 的性质．下面通过例题予以分析.二．典例分析例1．已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--.（2）由题意知直线113k x k y AB =-：，与双曲线方程联立得2121229)(45k x k y y x -=-，同除以2x ，令x y k =得0454929141(1221=--+k k k k ，因此498914192211211+=+=+k k k k k k OB OA .同理将直线223:k x k y CD -=-与双曲线方程联立可得498222+=+k k k k OD OC ，所以0498498222211=+++=+++k k k k k k k k OD OC OB OA ，即0)49)((2121=++k k k k .由（1）知21k k -≠，令点)98,(00x x P -，所以94398398000021-=--⋅+-=x x x x k k ，所以解得590±=x ，∴存在98(,55P -或98(,)55P -满足题意．例2.如图，已知椭圆12222=+b y a x (a b 0)>>过点（1，22），离心率为22，左右焦点分别为12F F ．点P 为直线l ：2x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B 、和,C D O 、为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 斜率分别为1k 2k 、．()i 证明：12132k k -=（ⅱ）问直线l 上是否存在一点P ，使直线OA OB OC OD 、、、的斜率OA OB OC OD k k k k 、、、满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）椭圆方程为2212x y +=．（2）设B A ,的坐标为),(),,(2211y x y x ，AB 方程为)1(1+=x k y ，022)11(12)1(21221221=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=x xy k y k y x x k y 即021(2)(11(1221=-+-x y k x y k 故12211--=+k k k k OB OA .同理，设D C ,坐标为),)(,(4433y x y x ，CD 方程：)1(2-=x k y ，则12222--=+k k k k OD OC ，故：0))(1(012122121222211=+-⇒=--+--k k k k k k k k .则⎪⎩⎪⎨⎧=-=23112121k k k k ，解得：P 的坐标为)43,45(或⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23102121k k k k ，解得：P 的坐标为)2,0(三．习题演练已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M ，N 两点，若OM ，ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值.答案：（1）椭圆方程为22154x y +=；（2）MON S =△为定值.。
齐次化的技巧
齐次化作为一种实用的分析技巧，其本质是鼓励思维，可以帮助人们更加清晰地把握问题，并有效地解决问题。
它是一种有效的思维方式，可以让人们更加有效地处理复杂的问题，帮助他们逐步推理，准确把握问题，解决问题。
本文介绍齐次化技巧，以及如何运用它来解决实际问题。
首先，齐次化技巧基于一种抽象的模型，称为“齐次基本方程”，并通过改变参数，构建出一系列可用的解决方案。
它是一种以“一齐次”准则进行思维，将复杂的问题简化成“一齐次”模型以解决问题。
“一齐次”准则要求，一个问题必须有一个特定的“一齐次”模型，或者由一组“一齐次”方程来表示。
其次，齐次化的关键是构建一个解决方案的算法，可以把复杂的问题简单化，把握关键解决耦合问题的路径。
一个有效的构建解决方案的算法的关键步骤是：首先明确问题，然后推断结果，然后分析问题，建立模型，构建解决方案。
在构建解决方案的过程中，以最优解和满足客观准则为目标，使得最终可以得出最合理的解决方案。
最后，齐次化技巧在很多领域都有很广泛的应用，其中包括：统计学、工程技术、计算机科学、社会科学、生物学等等，它可以用来分析、计算和解决复杂的实际问题。
例如，在统计学中，利用齐次化技巧可以研究某个实际问题，运用它的分析结果，提出最佳的解决方案和结果；在工程技术中，可以使用齐次化技巧来设计更快更安全的机器；在生物学中，可以利用齐次化技巧来研究生物体内部细胞结构，
以及在不同条件下进行评价和分析等。
总之，只要采用“齐次化”技巧，就可以更加有效地处理复杂的问题，帮助人们精确把握问题，有效地解决问题。
它能够有效地分析和解决多种不同领域的问题，是一种重要的思维技巧和实用方法。
大招一 齐次化妙解圆锥曲线斜率问题“齐次”，即次数相等的意思，例如22()f x ax bxy cy =++称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为()f x 中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是 “左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在y 同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为1mx ny +=（为什么这样设？因为这样齐次化更加方便），与圆锥联立，一次项乘以mx ny +，常数项乘以2mx ny +（），构造220ay bxy cx ++=，然后等式两边同时除以2x （前面注明x 不等于0），得到2()0y y a b c x x++=，化简为20ak bk c ++=，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。
总结方法为：1平移，2联立并齐次化，3同除x 2，4韦达定理，证明完毕，如果过定点，还需要还原。
优点是：大大减小了计算量，提高准确率！如果你掌握这个方法，你会知道以前的方法有多么的low ！缺点：1mx ny +=不能表示过圆点的直线。
例1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上一点A （2，a ）到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点（4，0）的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：∠POQ=90°．例2、(2015年陕西文科卷)如图，椭圆经过点，且离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A-2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ例3、（2017年全国卷文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.例4、（2017年全国卷理）已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
高考数学复习----《齐次化》典型例题讲解【典型例题】例1、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于P ，Q 两点，为坐标原点．证明：．【解析】直线 由，得 则由，得：， 整理得：，即：． 所以， 则，即：．例2、如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q （均异于点，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．【解析】设直线 则．由， 得：． 则， 故． 2:4C y x =(4,0)C O 90POQ ︒∠=()()1122:4,,,,PQ x my P x y Q x y =+4x my =+14x my −=244x my y x =+⎧⎨=⎩244x my y x −=⋅210y y m x x ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭12121y y x x ⋅=−12121OP OQ y y k k x x ⋅==−OP OQ ⊥90POQ ︒∠=22:12x E y +=(1,1)M k E (0,1)A −()()1122:(1)1,,,,PQ mx n y P x y Q x y ++=21m n +=22(1)112mx n y x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩22[(1)1]12x y ++−=22(1)2(1)[(1)]02x y y mx n y ++−+++=2111(12)202y y n m x x ++⎛⎫⎛⎫−−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以． 即． 例2、已知椭圆，设直线不经过点且与相交于A ，B 两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：直线过定点．【解析】设直线．．．．．．（1）由，得 即：．．．．．．（2） 由（1）（2）得： 整理得： 则， 则，代入直线，得： 显然，直线过定点．1212112221y y m x x n +++==−1212112AP AQ y y k k x x +++=+=22:14x C y +=l 2(0,1)P C 2P A 2P B 1−l :(1)1l mx n y +−=22:14x C y +=22[(1)1]14x y +−+=22(1)2(1)04x y y +−+−=22(1)2(1)[(1)]04x y y mx n y +−+−+−=2111(12)204y y n m x x −−⎛⎫++⋅+= ⎪⎝⎭221212112112P A P B y y m k k x x n −−+=+=−=−+221m n =+:(1)1l mx n y +−=:(21)2(1)2l n x n y ++−=(2,1)−。
２０２３年９月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀齐次化策略,数学巧思维◉安徽省芜湖市田家炳实验中学㊀陶㊀萍㊀㊀摘要:齐次化思维是解决数学中一些相关代数式的变形与转化的一种特殊技巧与方法,是解决数学问题的基本策略．结合实例,就齐次化思维在处理不等式㊁三角函数或解三角形㊁函数与导数以及解析几何等相关问题中的应用,归纳总结技巧与方法,为相关问题的解决提供思路．关键词:齐次化思维;不等式;三角函数;解三角形;导数;解析几何㊀㊀在解决一些涉及函数与方程㊁分式代数式或不等式等相关问题中,所含各项的次数一样,或通过恒等变形转化为各项的次数一样,进而利用相关知识来综合与应用,这就是解决数学问题中一种比较常见的齐次化策略,也是破解一些相关数学问题的一种非常有效的技巧与方法．１不等式中的齐次化策略例１㊀ ２０２２年安徽省江南十校高考数学一模试卷(理科)数学试题 已知实数a,b满足２a２－b２＝１,则|２a－b|的最小值为(㊀㊀)．A．０㊀㊀㊀B．１２㊀㊀㊀C．１㊀㊀㊀D．２分析:根据题目条件与所求结论之间关系式的对比与分析,合理配凑与转化,利用完全平方法的配方处理㊁整体换元后转化为二次方程处理㊁同除 １ 后的构造齐次化思维处理等,综合利用平方关系式㊁二次方程有根的条件以及二次函数的图象与性质等来分析与处理．解析:令２－b a＝x,则xɪ(２－２,２＋２)．由２a２－b２＝１,得|２a－b|２＝(２a－b)２２a２－b２＝(２－b a)２２－b２a２＝x２２－(２－x)２＝x２－２＋４x－x２＝１－２x２＋４x－１＝１－２(１x－１)２＋１ȡ１．于是|２a－b|ȡ１,当且仅当a＝b＝１,或a＝b＝－１时,等号成立．所以|２a－b|的最小值为１．故选择答案:C．点评:解决一些相关的不等式问题时,经常通过回归不等式对应的函数与方程的本质,借助齐次化思维,合理转化相关代数式,结合不等式所对应的问题实质,巧妙利用与之相关的函数与方程的相关知识来解决代数式的最值问题．这是破解此类问题中的一种基本技巧与方法．２三角函数或解三角形中的齐次化策略例２㊀(２０２３届浙江省台州市高三数学一模)设әA B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若AʂB,且s i n A c o s(２B－A)＝s i n B c o s(２A－B),则t a n A t a n B的值为．分析:根据题设条件,利用三角恒等变换公式进行全方位㊁全层次的展开与变形,结合三角关系式的结构特征进行齐次化处理,化弦为切,构建与所求问题对应的三角函数式,利用恒等变形与转化来求解．解析:由s i n A c o s(２B－A)＝s i n B c o s(２A－B), s i n A c o s(２B－A)＝s i n A(c o s２B c o s A＋s i n２B s i n A)＝s i n A[(c o s２B－s i n２B)c o s A＋２s i n B c o s B s i n A],s i n B c o s(２A－B)＝s i n B(c o s２A c o s B＋s i n２A s i n B)＝s i n B[(c o s２A－s i n２A)c o s B＋２s i n A c o s A s i n B],可得s i n A[(c o s２B－s i n２B)c o s A＋２s i n B c o s B s i n A]＝s i n B[(c o s２A－s i n２A)c o s B＋２s i n A c o s A s i n B]．上式两边同时除以c o s２A c o s２B,可得t a n A (１－t a n２B＋２t a n B t a n A)＝t a n B(１－t a n２A＋２t a n A t a n B),整理得t a n A－t a n B＋３t a n２A t a n B－３t a n A t a n２B＝０,即(t a n A－t a n B)(１＋３t a n A t a n B)＝０．在әA B C中,由AʂB,可知t a n Aʂt a n B,所以可得t a n A t a n B＝－１３．故填答案:－１３．点评:利用齐次化思维处理此类三角函数或解三角形问题中的三角函数关系式,往往三角函数等式左右两边是对称的,或三角函数分式上下两边是对称的等特殊结构形式,可以借助齐次化思维来进行三角函数式的变形与转化,主要是 化弦为切 等．９６Copyright©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀３函数与导数中的齐次化策略例３㊀ 陕西省渭南市２０２２年高三教学质量检测(Ⅱ)数学试卷(理科) 若对"x ,y ＞０都有x ＋y ＋２x y ɤa (２x ＋３y )成立,则实数a 的最小值是(㊀㊀)．A．４５B ．５６C ．６３D．５＋２６１２分析:根据不等式恒成立分离参数,利用齐次化法加以变形,借助换元处理,构建对应的函数,通过导数法确定函数的单调性,进而确定函数的最值,求解参数的最值问题．解析:对不等式x ＋y ＋２x y ɤa (２x ＋３y )进行齐次化处理,得a ȡx ＋y ＋２x y２x ＋３y,则有a ȡ１＋y x ＋２y x２＋３y x．令t ＝y x ＞０,则有a ȡ１＋t ２＋２t２＋３t２恒成立．于是,原问题可转化为a ȡ(１＋t ２＋２t２＋３t２)m a x ．构建函数f (t )＝１＋t ２＋２t ２＋３t ２＝(t ＋１)２２＋３t２,t ＞０,求导得f ᶄ(t )＝(t ＋１)(４－６t )(２＋３t ２)２．由f ᶄ(t )＝０,得t ＝２３．于是当x ɪ(０,２３)时,fᶄ(x )＞０,函数f (x )在(０,２３)上单调递增;当x ɪ(２３,＋ɕ)时,fᶄ(x )＜０,函数f (x )在(２３,＋ɕ)上单调递减．所以f (x )m a x ＝f (２３)＝５６,则a ȡ５６,即实数a 的最小值是５６．故选择答案:B ．点评:利用齐次化思维处理此类涉及函数与导数的问题,关键是构建对应的齐次化关系式,合理构建对应的函数或方程．利用齐次化思维解决此类含参不等式恒成立背景下参数的最值问题是最常用的一种技巧方法,借助构建对应的函数并通过导数法的应用,利用函数的基本性质来转化．４解析几何中的齐次化策略例４㊀已知椭圆C :x２a２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０),点P (１,３２)在椭圆上,且离心率e ＝１２．(１)求椭圆C 的方程;(２)若椭圆C 的右焦点为F ,过B (４,０)的直线l 与椭圆C 交于D ,E 两点,求证:直线F D 与直线F E 斜率之和为定值．分析:在解得椭圆C 的方程的基础上,设出直线l 的方程,联立方程组,通过消参转化为方程问题,结合韦达定理的应用,利用直线的斜率公式,通过齐次化思维来综合与求解,进而化简与转化对应的关系式．解析:(１)易求得椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１．(２)设直线l 的方程为y ＝k (x －４),D (x １,y １),E (x ２,y ２)．联立y ＝k (x －４),x ２４＋y ２３＝１,{可得(３＋４k ２)x ２－３２k ２x ＋６４k ２－１２＝０．由Δ＞０,解得k ２＜１４,则有x １＋x ２＝３２k２３＋４k２,x １x ２＝６４k ２－１２３＋４k２．易知F (１,０),所以k F D ＋k F E ＝y １x １－１＋y ２x ２－１＝k [２x １x ２－５(x １＋x ２)＋８](x １－１)(x ２－１)＝k (２ˑ６４k ２－１２３＋４k ２－５ˑ３２k ２３＋４k ２＋８)(x １－１)(x ２－１)＝k ˑ１２８k ２－２４－１６０k ２＋２４＋３２k ２３＋４k ２(x １－１)(x ２－１)＝０．故直线F D 与直线F E 斜率之和为０．点评:齐次化思维在处理解析几何的综合与应用问题时,特别在解决涉及直线与圆锥曲线的位置关系时,利用直线与圆锥曲线方程的联立与转化,结合直线的斜率公式,通过代数式的齐次化处理,合理变形,巧妙转化,实现代数式的化简与应用,合理破解解析几何中的相关综合应用问题．齐次化思维在处理一些具有特殊结构特征的函数与方程㊁分式代数式或不等式等相关问题时,关键是将整式㊁分式中对应各项的次数转化为一样,方便进一步恒等变形与转化,为相关问题的解决提供更加广阔的空间,优化数学运算,方便逻辑推理,开拓数学思维,提升数学能力．Z０７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
今天，我将为您详细解析2023年乙卷中的几何齐次化解法。
几何齐次化解法是数学中一个重要的概念，通过这种方法，我们可以将题目中的几何图形进行简化，使得问题更易于理解和解决。
1. 了解几何齐次化解法几何齐次化解法是指在解决几何问题时，通过一定的方法将题目中的几何图形进行简化，常用的方法包括坐标平移、相似变换和比例变换等。
通过这些变换，我们可以将原本复杂的几何问题转化为简单的几何形状，从而更容易解决问题。
2. 几何齐次化解法的应用在解题过程中，我们可以根据具体题目的要求选择合适的几何齐次化解方法，比如若题目中涉及到直线和圆，我们可以通过坐标平移将圆移到坐标原点，从而简化问题的处理。
若题目中含有相似三角形，我们可以通过相似变换将图形进行简化，化繁为简，便于进行推导和计算。
3. 解析2023年乙卷中的几何齐次化解法在2023年的乙卷中，几何齐次化解法被广泛运用在各种几何题目中。
以解析一道具体题目为例，我们可以通过几何齐次化解法将题目中的复杂图形进行简化，从而更容易进行推导和计算。
该方法不仅能够帮助我们更好地理解题目，也能够提高解题效率，使得解题过程更加清晰和流畅。
4. 个人观点和理解在解决几何问题时，几何齐次化解法是一种非常实用的工具，它能够帮助我们更好地理解和解决复杂的几何问题。
通过几何齐次化解法，我们可以将原本复杂的几何图形进行简化，从而更容易进行推导和计算。
在解析2023年乙卷中的几何题目时，几何齐次化解法的应用更是必不可少，它能够帮助我们更好地理解和解决题目中的几何问题。
总结回顾通过本文的解析，我希望能够帮助您更好地理解2023年乙卷中的几何齐次化解法。
几何齐次化解法是一种非常实用的工具，它能够帮助我们更好地理解和解决复杂的几何问题。
通过适当的几何齐次化解方法，我们可以将原本复杂的几何图形进行简化，从而更容易进行推导和计算。
这种方法不仅能够帮助我们更好地理解和解决题目，也能够提高解题效率，使得解题过程更加清晰和流畅。
齐次式在中学阶段的一些运用重庆南开中学 吴剑 q ：一 三 六 一 五 三 五 七摘要：“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思，通俗理解即是式子中变量的次数全都相同，是微积分中一个比较常用的概念。
例如22=++f ax bxy cy 是关于,x y 的二次齐次式，对于齐次式的常见处理方法即是通过除以某个变量的最高次项，得到关于变量商的式子，比如在220++=ax bxy cy 中，同时除以2y 可得2()()0++=x x a b c y y，即可将xy看成一个变量，进而达到减少变量，为寻求新的解题思路及简化运算创造条件。
本文将通过实例分析，在“识”与“用”上提出一些看法，让学生能够具备一定的齐次式的辨析能力及运用齐次式的意识。
并对杨克昌教授命名的权方和不等式给出新证。
Ⅰ、对齐次式的辨识。
例一、椭圆22222221(0,)+=>>=+x y a b a b c a b，且有2220--=a ac c ，求椭圆离心率。
解析：注意到该式为关于,a c 的齐次二次方程，两边同时除以2a 整理有2210+-=e e 解得12=e例二、（南开中学高三12月考）已知∆ABC中，2,2===a b c ，求cos cos +++a b cb Cc B的值。
解析：sin sin sin sin sin sin 2cos cos sin sin sin cos sin ++++++++====+++a b c A B C A B C a b cb Cc B B C C B A a评注：如果在等式或分式中，出现边的齐次式或者是正弦值的齐次式，可直接利用正弦定理进行边角互换，这是在解斜三角形中常见操作，也是高考热点内容。
例三、（2012年江苏卷改编题）已知正数a b c ，，满足：534-≤≤-c a b c a 求ba的取值范围。
解析：在534-≤≤-c a b c a 两边同时除以c 可得，534-≤≤-a b a c c c ，令,==a bx y c c则=b y a x ，则问题可转化为3540,0+≥⎧⎪+≤⎨⎪>>⎩x y x y x y 求y x取值范围，是学生非常熟悉的线性规划类型问题，做出可行域可得yx的取值范围是(0,7] 评注：此题学生受阻主要原因是变量过多，并且对题目表象比较陌生，但是注意到不等式两边是关于,,a b c 的1次齐次式，则可以考虑两边同时除以一个字母，将3个变量减少成2个变量，字母替换后转化为熟悉的问题，打开了思路。
一道高考题引发的关于齐次化应用的思考作者：董双双杨倩
来源：《中学数学杂志(高中版)》2022年第06期
【摘要】齐次化方法解题在高中数学中是一个很常见的解题技巧，它充分体现了高中数学的对称美. 对某些多元问题进行降维消元，能够把某些复杂问题简单化. 齐次化应用范围相当广阔，在三角函数问题、解三角形问题、求最值问题、数列、导数、圆锥曲线等方面都有涉及，并在近几年的高考真题和模拟题中多次出现，因此将此类题型进行总结归纳尤为必要. 本篇整理总结了齐次化在高中数学中几个方面的重要运用，供读者参考研究.
【關键词】齐次式；归纳；高考题；一般方法。
