平方根和立方根专题(难易结合)

《算术平方根、平方根、立方根》易错题训练算术平方根、平方根、立方根易错题训练1. 算术平方根的定义和计算方法在数学中，算术平方根指的是一个数的平方等于给定数的平方根。

如果我们要计算16的算术平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于16。

在这个例子中，16的算术平方根是4，因为4的平方等于16。

在实际计算中，我们可以使用开方符号√来表示算术平方根，即√16=4。

但在实际运用中，很多学生容易将算术平方根和平方根搞混，导致错题。

掌握算术平方根的定义和计算方法非常重要。

2. 平方根的概念和应用与算术平方根类似，平方根也是一个数的平方等于给定数的根。

但与算术平方根不同的是，平方根更常用于几何和物理问题中。

在计算一个矩形的对角线长度时，我们就需要使用平方根来计算。

平方根通常用来求解两边边长已知的等腰三角形的高、直角三角形斜边等问题。

然而，很多学生在高中数学学习中，由于对平方根的概念和应用理解不够深入，容易在相关题目中出错。

理解平方根的概念及其应用也是十分重要的。

3. 立方根的特点和求解方法立方根是一个数的立方等于给定数的根。

27的立方根是3，因为3的立方等于27。

立方根在几何和物理问题中同样有广泛的应用，如求解立方体的体积、长方体的对角线长度等。

虽然立方根的概念和求解方法比较直观，但在实际运用时，一些立方根的运算和问题求解可能会让学生感到困惑，容易出错。

熟练掌握立方根的特点和求解方法对于学生来说也是必不可少的。

4. 总结和回顾通过本篇文章的训练，我们可以得出结论：学生需要深入理解算术平方根、平方根、立方根的定义和计算方法，避免混淆和错题。

学生需要在实际问题中灵活应用平方根和立方根的知识，加深对概念和应用的理解。

学生可以通过练习题目加深对这些数学概念的掌握，并避免在考试中出现低级错误。

5. 个人观点和理解在我看来，数学中的算术平方根、平方根、立方根是非常基础但又非常重要的知识点。

它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且还是建立数学思维和逻辑推理能力的重要基础。

专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

数学习题册运算能力 专项提升训练(七年级上册——八年级上册)目录：1、平方根、立方根2、二元一次方程3、不等式4、整式的加减乘除5、乘法公式6、因式分解注：请认真完成每道习题，若碰到不会做的题请在题目旁边注明不 会的原因， 课堂未讲完的习题作为课后作业， 试题讲解完后请认真总 结好该知识点。

掌握情况：) ) ) ) ) )、平方根、立方根课堂习题1．9 的算术平方根是（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81A ． 4=±2B ． ( 9)281=9C ．30.064 =0.4 D． 16 的平方根是±2- 1的平方的立方根是（81A ．4B ． 1C8A ． 9 的算术平方根是2． 列计算不正确的是（3． 列说法中不正确的是（ 4． C ． 27 的立方根是± ．立方根等于 -1 的实数是 -1 3 64 的平方根是（ ）A ．± 8B ．±4 ±2 ．± 2 5． 6． 1861的平方根是；9 的立方根是7．用计算器计算：41 ≈___ ．32006 ≈ __ （保留 4个有效数字）8．求下列各数的平方根．9 15（1）100；（2）0；（3）9；（4）1；（5）115；（6）0．09．25 499．计算：（1）- 9；（2）38；（3）1；（4）± 0.25．10．一个自然数的算术平方根是 x，则它后面一个数的算术平方根是（）A ．x+1B ．x2+1C ．x+1D ．x2 111．若 2m-4与 3m-1是同一个数的平方根，则 m的值是（）A ．-3B ．1C ．-3 或 1D ．-112．已知 x，y 是实数，且3x 4 +（ y-3 ）2=0，则 xy 的值是（）99A ．4B ．-4C ．9D ．- 94413．若一个偶数的立方根比 2 大，算术平方根比 4小，则这个数是 14．将半径为 12cm的铁球熔化，重新铸造出 8 个半径相同的小铁球，不计损耗， ?小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为 V=34 R3）15．利用平方根、立方根来解下列方程．4）1 （x+3）3 4 5 6 7=4．2B ． x 是实数，且 x 2a ，则 a 0D ．0.1 的平方根是 0.014．若一个数的平方根是 8，则这个数的立方根是（ ）． A ． 2 B ． 2 C ．4 D ． 45．若 a 2 （ 5）2，b 3 （ 5）3，则 a b 的所有可能值为（ ）．1）（2x-1 ）* 2-169=0；2）4（3x+1）2-1=0；3） 27 x 3-2=0；3．下列说法中正确的是（A ．若a 0，则 a 2C ． 有意义时， x 0A ．06．若 1 m 0，且 n m，则 m、 n的大小关系是（ ）． A ． mn B ． m n C ． m n D ．不能确定 7． 设 a 76，则下列关于 a 的取值范围正确的是（ ）． A ． 8.0 a 8.2B ．8.2 a 8.5 C ． 8.5 a 8.8 D ．8.8 a 9.1 8． 27 的立方根与 81的平方根之和是（ ）． A ． B ．6 C ．－12或6D ．0 或－6 9． 若a ， b 满足| 3 a 1| (b 2)2 0，则ab 等于(）． A ．1B ．2C ． 210．若一个数的一个平方根是 8，则这个数的立方根是（ ）． A ． C ．2 D ．11． 列各式中无论 x为任何数都没有意义的是（ ）． A ． 7x B ．1999x 3 C ．0.1x 21 D ． 3 6x2 5 12． 列结论中，正确的是（）． A ．0.0027 的立方根是0.03 B ． 0.009 的平方根是 0.3C ．0.09的平方根是0.3 D ． 一个数的立方根等于这个数的立方，那么这个数为1、0、 1 13． （ 4）2的平方根是 的平方根． 25 ( 1)32( )2 214．在下列各数中 0， 4 ，a 2 1， 3 ， ( 5)2 ，x 2 2x 2，|a1| ，|a| 1， 16有平方根的个数是 个．S 1gt2215．自由落体公式：2 ( g是重力加速度，它的值约为9.8m/ s2)，若物体降落的高度S 300m，用计算器算出降落的时间Ts(精确到0.1s )．16．代数式 3 a b的最大值为，这是a,b的关系是．3x317．若x 5 ，则x ，若3|x| 6，则x18．若3 (4 k) k 4，则k的值为．19．若n 10 n 1，m 8 m 1，其中m、n为整数，则m n ．20．若m的平方根是5a 1和a 19，则m= 21．求下列各数的平方根31⑴( 3) 1 ⑵316⑶022．求下列各数的立方根：210 271⑵64⑶0 ⑷8错题总结：讲解后是否理解：23．解下列方程：2⑵(4x 1)22251 ⑶2(x 1)3 80⑷125(x 2)334324．计算：25272⑶3( 1)2 38 |1 3|371 2 1.75⑸8、二元一次方程组要点：消元法，加减法。

第六章实数算术平方根、平方根、立方根的难点突破一、求算术平方根、平方根、立方根1. 一个自然数的算术平方根是a，则与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是2. 一个非负数的两个平方根分别是2a－1和a－5，则这个非负数是多少？3. 若x2＝4，y2＝9，且x＞y，求x－y的平方根4. 已知x－2的平方根是±1，2x＋y＋17的立方根是3，求x2＋y2的平方根和立方根．5. 已知M＝m－1m＋6是m＋6的算术平方根，N＝2m－3n＋3n＋6是n＋6的立方根，试求M－N的值．二、算术平方根的非负性6. 若x －3有意义，则x 的取值范围是___________ __．7. 已知y ＝x －8＋8－x ＋5，求x ＋y 的值8. 若y ＝x －12＋12－x －6，求xy 的值．9. 已知实数x ，y ，z 满足|4x －4y ＋1|＋132y ＋z ＋(z －12)2＝0，求(y ＋z)·x 2的值．三、利用算术平方根、立方根解决实际问题10. 如图，将两个边长为3的正方形对角线剪开，将所得的四个三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长是__________．11. 一种集装箱是正方体，它的体积是343 m3，则这种正方体集装箱的棱长是____________．12. 国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间．某地新建了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用于国际比赛吗？并说明理由．13. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，溢出水的体积为40 cm3；小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6 cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.01 cm)14. 全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35 cm，问冰川约是在多少年前消失的？15. 将一个体积为0.216 m3的大立方体铝块改铸成8个一样大的小立方体铝块，求每个小立方体铝块的表面积．四、探究算术平方根、平方根、立方根的变化规律16. 观察分析下列数据：0，－3，6，－3，12，－15，18，…，根据以上数据排列的规律，第n个数据应是_______________________.(n为正整数) 17. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：(1)2＝1.414，200＝14.14，20 000＝141.4，…0.03＝0.173 2，3＝1.732，300＝17.32，…由此可见，被开方数的小数点每向右移动_______位，其算术平方根的小数点向_______ __移动______ __位；(2)已知5＝2.236，50＝7.071，则0.5＝_____________，500＝___________； (3)31＝1，31 000＝10，31 000 000＝100，…小数点变化的规律是：(4)已知310＝2.154，3100＝4.642，则310 000＝__________，－30.1＝______________．18. 先观察，再解决问题 3227＝2327； 33326＝33326； 34463＝43463；…(1)请再写出一个类似的式子；(2)请用含n 的式子表示上述规律．19. 不用计算器，探究解决下列问题：(1)已知x 3＝10 648，则x 的个位数字一定是____；∵8 000＝203＜10 648＜303＝27 000，∴x 的十位数字一定是____，∴x ＝________；(2)已知x 3＝59 319，则x 的个位数字一定是____；∵27 000＝303＜59 319＜403＝64 000，∴x的十位数字一定是____，∴x＝_________；(3)已知x3＝148 877，则x的个位数字一定是____；∵125 000＝503＜148 877＜603＝216 000，∴x的十位数字一定是____，∴x＝______；(4)按照以上思考方法，直接写出x的值．①若x2＝857 375，则x＝______；②若x3＝373 248，则x＝______．答案：一、1. a2＋12. 解：根据题意，有(2a－1)＋(a－5)＝0，解得a＝2.∴这个非负数为(2a－1)2＝(2×2－1)2＝9.3. 解：∵x2＝4，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3.∵x＞y，∴x＝±2，y＝－3.当x＝2，y＝－3时，x－y的平方根是±5；当x＝－2，y＝－3时，x－y的平方根是±1.4. 解：∵x－2的平方根是±1，∴x－2＝1，则x＝3.∵2x＋y＋17的立方根是3，∴2x＋y＋17＝27.把x＝3代入2x＋y＋17＝27中，得y＝4.∴x2＋y2＝32＋42＝25，∴x2＋y2的平方根是±5，立方根是3 25.5. 解：由题意可知m－1＝2，2m－3n＋3＝3，解得m＝3，n＝2.∴M＝9＝3，N＝38＝2，∴M－N＝3－2＝1.二、6. x≥37. 由题意可得x －8≥0，且8－x ≥0，∴x ＝8.当x ＝8时，y ＝5，∴x ＋y ＝13.8. 由题意可得x －12≥0，且12－x ≥0，∴x ＝12.当x ＝12时，y ＝－6，∴xy ＝12×(－6)＝－3.9. 解：根据题意可得4x －4y ＋1＝0，2y ＋z ＝0，z －12＝0， ∴x ＝－12，y ＝－14，z ＝12，∴(y ＋z)·x 2＝116. 三、 10. 611. 7m12. 解：这个足球场能用于国际比赛，理由：设足球场的宽为x m ，则长为1.5x m ，由题意得1.5x 2＝7 560，∴x 2＝5 040.∵x ＞0，∴x ＝ 5 040.又∵702＝4 900，712＝5 041，∴70＜ 5 040＜71，∴70＜x ＜71，∴105＜1.5x ＜106.5，符合要求，∴这个足球场能用于国际比赛．13. 解：设铁块的棱长为a cm ，根据题意，得a 3＝40，解得a≈3.42.设烧杯内部的底面半径为r cm ，根据题意，得πr 2×0.6＝40，解得r≈4.61(舍去负值)，则烧杯内部的底面半径约是4.61 cm ，铁块的棱长约是3.42 cm.14. 解：(1)当t ＝16时，d ＝7×t －12＝7×2＝14(cm )，则冰川消失16年后苔藓的直径为14 cm .(2)当d ＝35时，t －12＝5，即t －12＝25，解得t ＝37，则冰川约是在37年前消失的．15. 解：设每个小立方体铝块的棱长为x cm，则8x3＝0.216.∴x3＝0.027.∴x＝0.3.∴6×0.32＝0.54(m2)，即每个小立方体铝块的表面积为0.54 m2.16. (－1)n＋13（n－1）17. (1) 两右一(2) 0.7071 22.36(3) 被开方数的小数点向右(左)移动三位，其立方根的小数点向右(左)移动一位．(4) 21.54 －0.464218. (1) 解：355124＝535124.(2) 解：3n＋nn3－1＝n3nn3－1(n≠1，且n为正整数)．19. (1) 2 2 22(2) 9 3 39(3) 3 5 53(4) ① 95② 72。

平方根与立方根压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一 利用算术平方根的非负性解题】 (1)【类型二 利用数轴化简根式】 (2)【类型三 求算术平方根的整数部分和小数部分】 (4)【类型四 与算术平方根有关的规律探索题】 (5)【类型五 算术平方根和立方根的综合应用】 (8)【过关检测】 (11)【典型例题】【类型一【答案】1【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求得,x y 的值，进而即可求解．【详解】解：∵|1|0x +=，∴10x +=，20y −=，∴=1x −，2y =，∴121x y +=−+=， 故答案为：1．【点睛】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值与算术平方根的非负性是解题的关键．【变式训练】【答案】1−【分析】根据平方和算术平方根的非负性求出x ，y ，代入求值即可．【详解】解：∵()220x −=，∴20x −=，30y +=，∴2x =，=3y −，∴()()()2023202320232311x y −==+=−−，故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了代数式求值，准确利用算术平方根和平方的非负性是解题的关键．【答案】4【分析】由非负数的性质得出a 和b 的值，代入再求算术平方根即可．【详解】解：∵|1|0a −=，∴1070a b −=+=，， 解得：17a b ==−，， 则2221416a b −=+=，∴22a b −的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和算术平方根，正确求出a 和b 的值是解答本题的关键．【类型二 利用数轴化简根式】【答案】b【分析】根据数轴可知0a b c <<<，则可知0b c +>，0a b c −−<，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．【详解】根据数轴可知0a b c <<<，则可知0b c +>，0a b c −−<，b c + ()()=b a b c a b c +−+−−− b a b c a b c =+−−−++b =故答案为：b ．【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键．【变式训练】【答案】b a c −+【分析】由数轴上右边的数总比左边的数大，且离原点的距离大小即为绝对值的大小，判断出a b +的正负，利用绝对值的代数意义、算术平方根及立方根的性质化简所求式子，合并同类项即可得到结果．【详解】由数轴可知：0a b c <<<，∴0a b +<，a b +()()a a b a c b a c −++−−=−+，故答案为：b a c −+．【点睛】本题考查数轴、整数的运算、绝对值的性质、算术平方根及立方根的性质,掌握运算法则是解题的关键．【答案】2c −【分析】先判断a b +和c b −的正负，然后根据绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义化简，再合并同类项即可．【详解】解：∵0b a c <<<，∴0a b +<，0c b −>，∴b a +()()()c b a c a b +−−+−−= a b c b a c =−−−++−2c =−．故答案为：2c −．【点睛】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．【类型三 求算术平方根的整数部分和小数部分】【答案】 3 3【分析】根据34首先确定a 的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：3104<<， 3a ∴=，则3b =．故答案是：33．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．【变式训练】【答案】 3 3【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可．<<，【详解】解：∵91116<，∴343，3；故答案为33．【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键．【答案】9【分析】即可求出它的整数部分，数部分，再代入即可.【详解】∵9＜13＜16，∴34，∴a=3，3，∴2a﹣b=2×33）=69故答案为9【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.【类型四与算术平方根有关的规律探索题】【答案】(1)0.1；10；100(2)①31.6；②10000m(3)01a <<；1a =或0；1a >【分析】（1）由表格得出规律，求出x ，y 和z 的值即可；（2）根据得出的规律确定出所求即可；（3）根据表格中的数据，分类讨论a 的范围，比较大小即可．【详解】（1）0.1x ==，10y ==，100z ==． 故答案为：0.1；10，100；（2）① 3.16≈，31.8≈．②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，∴10000b m =．故答案为：31.6；10000m ；（3）由表格中数据可知：当01a <<a >；当1a =或0a =；当1a >a ，故答案为：01a <<；1a =或0；1a >．【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．【变式训练】1．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）观察表格回答下列问题：【答案】(1)0.1；10 (2)①31.6；②25600【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．【详解】（1）解：∵220.10.0110100==，，∴0.1x ==，10y ==．故答案为：0.1；10．（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，3.16≈=31.6，故答案为：31.6；②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，1.6=160，160=，∴25600a =．故答案为：25600．【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．【答案】（1）12，12，30，30；（2）①12，4；（3=【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解；（2）根据（1）的规律即可求解；（3）根据（1）的规律即可求解．【详解】解：（13412⨯===56=30⨯， 故答案为：12，12，30，30（2）12===，4==；（3）∵a b =∴ab【点睛】本题考查了求一个数是算术平方根，算术平方根规律题，找到规律是解题的关键．【类型五 算术平方根和立方根的综合应用】【答案】(1)5a =，2b =(2)3【分析】（1）根据算术平方根，立方根的定义，求得a 和b 的值；（2）根据（1）的结果，代入代数式，然后求得算术平方根即可求解．【详解】（1）解：∵21a −的平方根是3±，39a b +−的立方根是2，∴219a −=，398a b +−=，即5a =，2b =；（2）解：∴23<∵c∴2c =，由（1）知5a =，2b =，所以22522229a b c +−+=+⨯−+=，那么9的算术平方根是3，即22a b c +−+的算术平方根是3．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根、无理数的估算等知识内容，难度较小，注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．【变式训练】【答案】(1)5±(2)4−【分析】（1）根据平方根和立方根的意义求出字母的值，再求43m n +的平方根即可；（2）求出p 的值，再求1093m n p −−+的立方根即可．【详解】（1）解：∵54m −的两个平方根分别是4±，4n m −的立方根为2．∴254(4)16m −=±=，3428n m −==， 解得，4m =，3n =，43443325m n +=⨯+⨯=，∵2(5)25±=，∴43m n +的平方根是5±．（2）解：∵2p m +的算术平方根是3，∴2239p m +==， ∵4m =，∴1p =，109310493364m n p −−+=−⨯−⨯+=−，∵3(4)64−=−， ∴1093m n p −−+的立方根是4−．【点睛】本题考查了平方根和立方根，解题关键是根据平方根和立方根的意义求出字母的值，会熟练求一个数的平方根和立方根．【答案】(1)1【分析】（1）根据立方根与算术平方根，平方根的含义可得：32127+=a ，414−−=a b ，0c =，从而可得答案；（2）由23<，34<，可得m ，n 的值，从而可得答案.【详解】（1）解：由题得：32127+=a ，414−−=a b ，0c =，解得2a =，3b =，∴2437a b c ++=+=．则2a b c ++的平方根为：（2）由（1=∵23<<，34<，∴2m =，3n ，则1m n +.【点睛】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分，熟记基本概念是解本题的关键.【过关检测】一、单选题A ．0B ．1C ．1−D ．1± 【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，可得,a b 的值，进而即可求解．【详解】解：∵10a +=，∴10a +=，10b −=，解得：1a =−，1b =，∴()()2023202311ab =−=−．故选：C ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，根据题意得出,a b 的值是解题的关键．A ．2021B ．2020C ．4041D ．1【答案】D2020与2021a ，b 的值，即可求解．【详解】解：∵91316<<，∴34<，∴202020242023<<，202020172016<<，∴3a =，4b =∴341a b ++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分和小数部分．A ．a ﹣bB ．a +bC ．a ﹣3bD ．a +3b【答案】A【分析】根据实数a ，b a ，b ，a+b 的符号，再根据平方根、立方根以及绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：实数a ，b 在数轴上对应的点的位置可知：a ＞0，b ＜0，且|a|＞|b|，因此，a+b ＞0，||a b +b+a+b ﹣b ＝a ﹣b ．， 故选：A ．【点睛】本题考查了实数与数轴、平方根、立方根以及绝对值的性质等知识，正确判断符号是正确化简的前提．A ．179B ．109C ．210D ．104【答案】B【分析】分析数据可得：2222233+=⨯，有2321=−；2333388+=⨯，有2831=−；⋯若21010b b a a +=⨯，必有21a b =−；且10b =，则99a =；则109a b +=． 【详解】解：2222233+=⨯，可得2321=−； 2333388+=⨯，可得2831=−；⋯21010b b a a ∴+=⨯，则21a b =−，10b =， 则99a =，109a b ∴+=．故选：B ．【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键．二、填空题【答案】9【分析】即可求出它的整数部分，数部分，再代入即可.【详解】∵9＜13＜16，∴34，∴a=3，3，∴2a ﹣b=2×33）=69故答案为9【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键.【答案】3−【分析】根据两个非负数的和是0，因而两个非负数同时是0，即可求解．【详解】解：|1|0−=b 0≥，|1|0−≥b ，∴2010a b +=−=，，解得21a b =−=，，∴213a b −=−−=−．故答案为：3−．【点睛】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．【答案】0【分析】先根据数轴得出a<0<b ，然后化简绝对值、立方根及算术平方根，最后进行化简即可．【详解】解：根据数轴可得：a<0<b ，∴a -b<0a b =， ∴原式=-（a -b ）+a -b=-a+b+a -b=0，故答案为：0．【点睛】题目主要考查根据数轴判断式子的正负，包括绝对值，立方根及算术平方根，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【分析】先找出前面四个式子的规律，得出第n个式子即可。

专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。

平方根和立方根专题(比较难) 平方根和立方根知识归纳】1.平方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术平方根，记为$\sqrt{x}$。

规定，$\sqrt{1}=1$。

2）一个正数的平方根有2个，它们互为相反数；只有1个平方根，它是本身；负数没有实数平方根。

3）两个公式：a）$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；b）$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。

2.立方根：1）若$x=a$（$a>0$），那么$a$叫做$x$的算术立方根，记为$\sqrt[3]{x}$。

2）一个正数的立方根有1个，负数有1个立方根。

3）立方根的性质：a）$\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$；b）$a^3=(\sqrt[3]{a})^3$。

4.已知某数有两个平方根分别是$a+3$与$2a-15$，求这个数。

设这个数为$x$，则有$(a+3)^2=x$，$2a-15$也是$x$的平方根，因此$(2a-15)^2=x$。

解得$a=7$，$x=64$。

5.已知：$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+2n$的值。

由题意可列出方程组：begin{cases}sqrt{2m+2}=4\\sqrt{3m+n+1}=5end{cases}$解得$m=6$，$n=13$，因此$m+2n=32$。

6.已知$a<0$，$b<0$，求$4a^2+12ab+9b^2$的算术平方根。

4a^2+12ab+9b^2=(2a+3b)^2$，因此算术平方根为$|2a+3b|$。

7.甲乙二人计算$a+1-2a+a^2$的值，当$a=3$的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：$a+1-2a+a^2=a+(1-a)^2=a+1-a=1$。

乙的解答：$a+1-2a+a^2=a+(a-1)^2=a+a-1=2a-1=5$。

哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？乙的解答是正确的。

中考真题解析：平方根与立方根1.）A、3B、-3C、±3D、考点：算术平方根．分析：此题考查的是9的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数．，故选A．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．2.（南通）计算的结果是（）A.±3B. 3C. ±3D. 3考点：立方根．分析：根据立方根的定义进行解答即可．解答：∵33=27，∴=3．故选D．点评：本题考查的是立方根的定义，即如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．3.（山东日照）（-2）2的算术平方根是（）A．2 B．±2 C．-2 D．2考点：算术平方根；有理数的乘方．分析：首先求得（-2）2的值，然后由4的算术平方根为2，即可求得答案．解答：∵（-2）2=4，4的算术平方根为2，∴（-2）2的算术平方根是2．故选A．点评：此题考查了平方与算术平方根的定义．题目比较简单，解题要细心．4.（贵州毕节）的算术平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±2考点：算术平方根．专题：计算题．分析：根据算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为解答：∵（±2）2=4=，∴的算术平方根是2．故选C．点评：本题考查了算术平方根，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．5. （黔南）9的平方根是（ ）A 、3B 、±3C 、3D 、±3考点：算术平方根；平方根． 分析：首先根据平方根概念求出9=3，然后求3的平方根即可． 解答：∵9=3， ∴9的平方根是±3．故选D ．点评：本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x 2=a （a≥0），则x 是a 的平方根．若a ＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a 的算术平方根；若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．6. （黔南）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=64时，输出的y 等于（ ）A 、2B 、8C 、23D 、22考点：算术平方根．专题：图表型．分析：根据图中的步骤，把64输入，可得其算术平方根为8，8再输入得其算术平方根是22，是无理数则输出．解答：解：由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是22；故选D ．点评：本题考查了算术平方根的定义，看懂图表的原理是正确解答的关键．7. （杭州）下列各式中，正确的是（ ）解答：选B ．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．8. 2210b b ++=，则221a b a +-= ． 考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根． 专题：计算题；整体思想． 分析：根据非负数的性质先求出221a a+、b 的值，再代入计算即可．2210b b ++=，2(1)0b +=+（b +1）2=0，∴a 2-3a +1=0，b +1=0，∴1a a +=3，221a a+=7； b =-1． ∴221a b a +-=7-1=6． 故答案为：6．点评：本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出221a a +的值．解答：∵|6-3m|+（n-5）2=3m-6-2(3)m n ，∴6-3m ＜0，∴m ＞2，∴n-5=0，n=5，∴m-3=0，m=3，则m-n=3-5=-2．故答案为：-2．点评：此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，根据题意得出n ，m 的值是解决问题的关键．10. （广东茂名）已知：一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4，则a 的值是 ．考点：平方根．专题：计算题．分析：正数有两个平方根，它们互为相反数．解答：解：∵一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4，∴2a -2+a -4=0，解得a =2．故答案为：2．点评：本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．11. （浙江宁波）实数27的立方根是 ．如果点P （4，-5）和点Q （a ，b ）关于原点对称，则a 的值为 ．考点：关于原点对称的点的坐标；立方根．专题：计算题；数形结合．分析：找到立方等于27的数即为27的立方根，根据两点关于原点对称，横纵坐标均为相反数即可得出结果．解答：解：∵33＝27，∴27的立方根是3，∵点P （4，-5）和点Q （a ，b ）关于原点对称，∴a ＝-4，b ＝5，故答案为：3，-4．点评：本题考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算，以及在平面直角坐标系中，两点关于原点对称，横纵坐标均为相反数，难度适中． 12.（湖南张家界）我们可以利用计数器求一个正数a 的算术平方根，其操作方法是按顺序进行按键输入：．小明按键输入显示结果为4，则他按键输入显示结果应为．考点：计算器—数的开方．专题：计算题；规律型．分析：根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，直接解答即可．16，160016100=⨯．故答案为40．点评：本题主要考查数的开方，根据题意找出规律是解答本题的关键．。

“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作”。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作”（a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0有意义的条件是a ≥0。

4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）；（2）； （3）； ⑷ 642)3(-4915121(3)-例2 求下列各式的值（1）； （2）； （3）； （4）.81±16-2592)4(-（5），（6），（7）（8）44.136-4925±2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ ； ⑶ 0.72910227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±，即a 是非负数.a 例4、若求y x 的立方根.,622=----y x x 练习：已知求的值.,21221+-+-=x x y y x 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±，而a .0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若和是数的平方根，求的值.32+a 12-a m m 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零.0≥a a 例4、已知：y=,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.)1(32++-b a ，求xyz 的值。

专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。

其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。

记作√a =x 。

注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。

负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。

求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。

注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。

且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。

重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。

专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.=.=0.25=25=， 2.5250【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【变式训练】平方差公式和完全平方公式，下，【经典例题二求一个数的算术平方根】【变式训练】A．3B．3±C．3【答案】A【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【变式训练】【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【变式训练】8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【经典例题五与算术平方根有关的规律探索题】【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，故选B．【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．【变式训练】【经典例题六求一个数的平方根】n 【变式训练】∴x y+的平方根是2±，±．故答案为：2【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【变式训练】的值，再找出关系即可．【详解】（1）解：由题意得，6290a a ++-=，解得1a =，21649m +∴==（）；（2）当1a =时，2160x -=，216x ∴=，4x ∴=±．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【变式训练】1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为2400cm 的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm ，且长宽之比为3：2的长方形纸片(不拼接)，能裁出吗？对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为【经典例题九平方根的应用】【变式训练】1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足2=，其中Q为产生的热量Q I Rt为通电时间（单位：，则乙的面积为【拓展培优】A．2B．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则±【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．则3757.69的算术平方根为．【答案】61.3【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．；，由于10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠）折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为【答案】7123或8【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图可；（2）设小正方形的面积为x，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，②∵3,2a b ==-，∴a b >，∴()()33228a b ⊕=⊕-=-=-，∵83-<，∴()()()8328313a b a ⊕⊕=-⊕=⨯-+=-．13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A 、B 、C 、D 四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A B C D →→→顺序的运算，可列式为：2[(52)3]4⨯-+，8经过运算顺序B D A C →→→运算，可列式为2{[(83)4]2}-+⨯(1)请计算2[(52)3]4⨯-+；(2)列式计算2-经过C D A B →→→顺序的运算结果；(3)若数x 经过B C A D →→→顺序的运算，结果是12．则求初始数字x 是多少？【答案】(1)53(2)13(3)初始数字x 是5或1【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；（2）根据题意可以列出算式2[(2)4]23-+⨯-，计算即可；（3）根据题意可以得到()223412x -+=，即可求解．【详解】（1）解：2[(52)3]4⨯-+()21034=-+274=+53=；（2）解：由题意得：2[(2)4]23-+⨯-(44)23=+⨯-2。

专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3，∴选项D 正确． 故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末） ） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根 故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是5-C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数 【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确． 故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________． 【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5． 故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ） A ．非负数才有平方根B ．非负数的算术平方根是非负数C ．任何数都有两个平方根D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确． 故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______． 【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1． 故答案为：-1．【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为364m ，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m ，则它的棱长需要增加__________m ． 【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a ， ∵体积为64m 3，∴=4m ；设体积达到125m 3的棱长为b ，则=5m ， ∴b-a=5-4=1（m ）． 故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a +b ＝0时，a 3+b 3＝0也成立．若将a 看成a 3的立方根，b 看成是b 3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1- 【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.0=， 8与﹣8互为相反数； （2）由已知，得（3﹣2x ）+（x +5）＝0， 解得x ＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求2+a b 的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b-1的平方根是±4， ∴3a+b-1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（ ） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a-15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得： 2n +1+4﹣3n ＝0， ∴n ＝5， ∴2n +1＝11， ∴m ＝112＝121；（2）∵|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0， ∴a ＝3，b ＝0，c ＝n ＝5， ∴a +b +c ＝3+0+5＝8， ∴a +b +c 的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a 的两个不同平方根分别是22x -和63x -，则a =______．【答案】36.【解析】解：由题意得： 2x-2+6-3x=0， 解得x=4，a=62=36 故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x ，y 为实数，且20x +=，则2021x y ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B.【解析】解：由题意得： x+2=0，y-2=0 ∴x=-2，y=2∴2021202122x y ⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x ﹣1＝0，则x ＝_____． 【答案】0或﹣1或﹣12.﹣2x ﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12． 故答案为：0或﹣1或﹣12． 知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值 （1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4（2）（2x-1）3=-27 2x-1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3(2)（x-2）2=8116 x-2=94或x-2=-94x=174或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值． （2）已知a =5，b 2=9，（c-1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab-bc-ca 的值． 【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2， 由n 2=9，得n=±3， 由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5， 由b 2=9得：b=±3， 由（c-1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39． 【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根． 【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x-18=0， 解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x-18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521； （2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0， 解得：d=±6，c=±3． 当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根）， 当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3． 【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品． 下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A ，B ，C ，D 的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B ，C ，A ，D 的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a 经过D ，C ，A ，B 的顺序运算后，结果是55，a 是多少？ 【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11． 【解析】解：（1）①()23256-⨯--+⎡⎤⎣⎦ =(-6+5)2+6=1+7 =7②()25526--⨯+⎡⎤⎣⎦， =(5+5)2×2+6 =100×2+6 =206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55， 整理得：（a+6）2=25， a+6=5或a+6=-5 ∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x +1的算术平方根是0=4，z 是﹣27的立方根，求2x +y +z 的值． 【答案】12.【解析】解：∵2x +1的算术平方根是0， ∴2x +1＝0， ∴2x ＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ）A ．4BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（ ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C.1.3331013.33==≈⨯=． 故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈≈______． 【答案】0.07746.7.746=0.0774*******≈ 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：①31000100==，又1000593191000000<<，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________．④195112的立方根是________．（2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．==，1000＜195112＜1000000【解析】解：（1100∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数，故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512，∴能确定195112的个位数字是8，故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，<<，∴56<<，可得5060由此能确定195112的立方根的十位数是5，故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58，故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.===，则【变式5－1】（2020·0.5325______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，===⨯=1.1471011.47故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．10）C．D【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：≈≈≈，2.714=_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.2714≈，0.5848∴1001000.584858.48≈⨯=，≈，58.48≈=100∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如==-=-，现对85进行如下操作：[5]5,1,[ 3.5]4第1次第2次第3次，这样对85只需3次操作后−−−→=−−−→=−−−→=85931就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.=，x为正整数，则1≤，【解析】解：设1∴1≤y<4，即最大正整数是3；=，y为正整数，则3≤，设3∴9≤y<16，即最大正整数是15；=，z为正整数，则15≤，设15∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以-1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =_________， 若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________； （2）在（1）的条件下，求代数式x -4y 算术平方根． 【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2， 故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9， 代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）.【解析】解：(1)14−141+=1120，=1120(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图． (1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t=19.6340=0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a为阴影正方形边长的小数部分，b的整数部分，求+a b的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=，∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<，∴3a =，∵34<< ∴b=3∴33+=【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简a b a ++-的结果为（ ）A ．2a -B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0， 原式=-a-b+（-a ）+b =-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c ， ∴a-c<0，a+b<0， 原式=-b-（c-a ）+(a+b) =-b-c+a+a+b =2a-c.。

(完整版)平方根与立方根典型题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质2=），那么这个数x就叫做a的平方根（或二如果一个数x的平方等于a（即x a=±，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即a≥0；例次方根），记作：x a如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为()a a≥0，例如16的算术平方=，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a≥0；②根是164a≥0。

2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。

联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质3=），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次如果一个数x的立方等于a（即x a=3。

方根），记作：x a立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析例1.求()-32的平方根。

2错解：()-=39()∴-32的平方根是-32是一个正数，故它的剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-=39平方根应有两个即±3。

例2. 求9的算术平方根。

2=错解： 39∴9的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。

93=，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。

专题05 平方根和立方根的求值问题（解析版）第一部分典例剖析+针对练习类型一利用开方求值典例1（2022春•青羊区校级月考）求下列各式的值：（1）±（2）（3（4思路引领：根据开方运算，可得平方根、算术平方根．解：（1）±±13；（2）−8；（37 12；（44．总结提升：本题考查了算术平方根，熟记定义是解题的关键．典例2求下列各式的值：（1（2（3（4）思路引领：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．解：（1＝4；（2＝0.1；（3＝﹣2；（4）=＝10．总结提升：本题考查了立方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．针对训练：1．（2022春•灵宝市期中）求下列各式的值：（1（2）（3）±（4思路引领：分别根据立方根，算术平方根，平方根的定义求出即可．解：（1）原式＝4；（2）原式＝﹣3；（3）原式＝±0.7；（4）原式＝﹣1．总结提升：本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，能熟记定义是解此题的关键．类型二利用开方求未知数的值典例3 （2022春•岳麓区校级月考）求下列各式中x的值．（1）169x2＝100；（2）（x+1）2＝81．思路引领：（1）两边都除以169，再根据平方根的定义求解可得；（2）先根据平方根的定义得出x+1的值，再解方程可得．解：（1）169x2＝100，x2=100 169，x=±∴x=±10 13；（2）（x+1）2＝81，x+1x+1＝±9，总结提升：本题主要考查的是平方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．典例4（2022秋•南京期末）求下列各式中x的值：（1）13（x+2）3＝﹣9（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．思路引领：根据立方根的定义即可求解．（2）两边都乘以3得，（x+2）3＝﹣27，由立方根的定义可得，x+2＝﹣3，解得x＝﹣5．（2）（2x﹣1）3﹣27＝0，（2x﹣1）3＝27，2x﹣1＝3，2x＝4，x＝2．总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．针对训练1．（2022秋•江阴市校级月考）求下列各式中x的值：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0．（2）27（x+1）3+1＝0．思路引领：（1）根据平方根的定义即可求解；（2）根据立方根的定义即可求解．解：（1）48﹣3（x﹣2）2＝0，﹣3（x﹣2）2＝﹣48，（x﹣2）2＝16，x﹣2＝±4，x＝6或﹣2；（2）27（x+1）3+1＝0，27（x+1）3＝﹣1，（x+1）3=−1 27，x+1=−1 3，x=−4 3．总结提升：本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．类型三利用开方的定义解题典例5 （2022秋•宁德期末）已知：2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，求a﹣b的值．思路引领：首先根据算术平方根和立方根的定义可得：2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，两式相减可得结论．解：∵2a+b的算术平方根是4，4a﹣b的立方根是2，∴2a+b＝16①，4a﹣b＝8②，②﹣①得：2a﹣2b＝﹣8，∴a﹣b＝﹣4．总结提升：此题主要考查了立方根的含义和求法，算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．典例6（2022秋•永年区期中）已知一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，4a+2b﹣1的立方根是3．（1）求a，b的值；（2）求a+b的算术平方根．思路引领：（1）先求出a的值，再根据4a+2b﹣1的立方根是3求出b的值即可；（2）先求出a+b的值，再求出其算术平方根即可．解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是1﹣2a和a+4，∴1﹣2a＝﹣a﹣4，解得a＝5；∴4a+2b﹣1可化为19+2b，∵4a+2b﹣1的立方根是3，∴19+2b＝27，解得b＝4．（2）∵a＝5，b＝4，∴a+b＝5+4＝9，∴a+b的算术平方根是3．总结提升：本题考查的是平方根，立方根及算术平方根，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．典例7（2022春•东莞市期中）已知实数x 、y |x−2y +2|=0．（1）求x +y 的值．（2）求x +85y 的平方根．（3思路引领：（1）根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值；（2）求出x +85y 的值，根据平方根的概念解答即可；（3解：（1）由题意得，2x ﹣3y ﹣1＝0，x ﹣2y +2＝0，解得x ＝8，y ＝5，∴x +y ＝8+5＝13；（2）x +85y =8+85×5＝16，16的平方根是±4；（3==4，4总结提升：本题考查的是非负数的性质、平方根和立方根的概念，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．例8 互为相反数，求2a+b 的立方根．分析：根据两个数互为相反数，可得它们的立方也互为相反数，据此列方程求出a 、b 的关系，进而求出2a+b 的立方根即可∴8154170a b +++=，∴8432a b +=-，∴28a b +=-，∴2a+b 2=-．针对训练1．（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a 的平方根是±7，2a ﹣b +2的立方根是3，求a ﹣b 的值．思路引领：根据题意可求出a＝16，根据题意得2a﹣b+2＝27，再将a＝16代入可求出b＝7，代入代数式进行计算即可．解：根据题意，可得1+3a＝49，解得，a＝16，∵2a﹣b+2的立方根是3，∴2a﹣b+2＝27，将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27，解得b＝7，∴a﹣b＝9．总结提升：本题考查了平方根，立方根，代数式求值，解题的关键是掌握平方根，立方根的概念．2．（2021秋•宝塔区校级期末）一个正数的平方根分别是2a+5和2a﹣1，b﹣10的立方根是﹣2．（1）求a，b的值；（2）求a+b的算术平方根．思路引领：（1）根据平方根的性质即可求出a、b的值；（2）将a与b的值代入a+b中即可求出它的算术平方根．解：（1）由题意可知：2a+5+2a﹣1＝0，合并同类项得：4a+4＝0，移项得：4a＝﹣4，解得a＝﹣1．由题意可知：b﹣10＝（﹣2）3＝﹣8，解得：b＝2．（2）∵a+b＝﹣1+2＝1，∴a+b的算术平方根是1．总结提升：本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型．3．（2022秋•商河县期中）已知﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一个平方根，求m+n的值．思路引领：根据平方根与立方根的意义可得m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，从而可得m＝9，n＝7，然后代入式子中进行计算即可解答．解：∵﹣27的立方根是m﹣12，2是n﹣3的一个平方根，∴m﹣12＝﹣3，n﹣3＝4，∴m＝9，n＝7，∴m+n＝9+7＝16，∴m+n的值为16．总结提升：本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根与立方根的意义是解题的关键．4．（2022秋•锦江区校级月考）（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，求a+2b的值．（2y2﹣4y+4＝0，求y的平方根．思路引领：（1）由题意可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解出a，b的值再代入a+2b中即可求解；（2y2﹣4y+4＝0(y−2)2=0，解出x，y的值即可求解．解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是4，∴2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝64，解得：a＝5，b＝58，∴a+2b＝5+2×58＝121；（2y2﹣4y+4＝0，(y−2)2=0，0，(y−2)2≥0，∴3﹣x＝0，y﹣2＝0，∴x＝3，y＝2，∴y的平方根是±总结提升：本题主要考查了平方根，立方根及平方和平方根的非负性，掌握平方根的定义，立方根的定义及平方和平方根的非负性是解题的关键．5．（2022秋•杭州期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．（1）若a＜b，求a+b的值；（2）若abc＞0，求a﹣3b﹣2c的值．思路引领：（1）利用绝对值的定义求出a的值，利用平方根的定义求出b的值，利用立方根的定义求c 的值，代入即可求出a+b的值；（2）根据ab小于0，得到ab异号，求出a与b的值，代入所求式子中计算即可求出值．解：（1）∵|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．∴a＝±5，b＝±2，c＝﹣2，∵a＜b，∴a＝﹣5，b＝±2，∴a+b＝﹣5+2＝﹣3或a+b＝﹣5﹣2＝﹣7，即a+b的值为﹣3或﹣7；（2）∵abc＞0，c＝﹣2，∴ab＜0，∴a＝5，b＝﹣2 或a＝﹣5，b＝2，∴当a＝5，b＝﹣2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝5﹣3×（﹣2）﹣2×（﹣2）＝15，当a＝﹣5，b＝2，c＝﹣2时，a﹣3b﹣2c＝﹣5﹣3×2﹣2×（﹣2）＝﹣7，∴a﹣3b﹣2c＝15 或﹣7．总结提升：本题考查了代数式求值，涉及的知识有：绝对值及平方根、立方根的定义，求出a与b的值是解本题的关键第二部分专题提优训练1．（2021秋•任丘市期末）求下列各式的值．（1）（2）±（3）（4思路引领：（1）根据立方根的性质计算；（2）根据平方根的性质计算；（3）根据立方根的性质计算；（4）根据算术平方根的性质计算．解：（1）=−0.6；（2）±2 3；（3）−(−85)=85；（4=9 4．总结提升：本题主要考查了平方根、立方根，熟练应用平方根、立方根的定义进行计算是解题关键．2．求x 值：（1）4x 2＝121（2）（x +2）2＝125思路引领：两方程整理后，利用平方根定义计算即可求出解．解：（1）方程整理得：x 2＝，开方得：x ＝±，解得：x 1＝，x 2＝﹣；（2）开方得：x +2＝±5，解得：x 1＝﹣2+5，x 2＝﹣2﹣5．3．求下列各式中x 的值：（1）30.008x =； （2）3338x -=； （3）3(1)64x -=．思路引领：本题直接根据立方根的定义解方程即可（1）解：0.2x =；（2）解：移项，合并得 3278x =解得32x =（3）解： 14x -= 移项，合并得5x =4．求下列代数式的值（1）如果a 2＝4，b 的算术平方根为3，求a +b 的值．（2）已知x 是25的平方根，y 是16的算术平方根，且x ＜y ，求x ﹣y 的值．思路引领：（1）首先依据平方根和算术平方根的定义求出a 、b ，再代入计算即可求解；（2）首先依据平方根和算术平方根的定义求出x 、y ，再代入计算即可求解．解：（1）∵a 2＝4，∴a ＝±2，∵b 的算术平方根为3，∴b ＝9，∴a +b ＝﹣2+9＝7或a +b ＝2+9＝11．（2）∵x 是25的平方根，∴x＝±5，∵y是16的算术平方根，∴y＝4，∵x＜y，∴x＝﹣5，∴x﹣y＝﹣5﹣4＝﹣9．5．（2022秋•蒲江县校级期中）已知3a+2b+44是7a+1的立方根．（1）求a，b的值；（2）求4a﹣3b+5的算术平方根．思路引领：（1）根据平方根和立方根的定义即可求解；（2）先将（1）中的a，b代入4a﹣3b+5中，再求它的算术平方根．解：（1）∵3a+2b+44是7a+1的立方根，∴3a+2b+4＝5，7a+1＝64，解得：a＝9，b＝﹣13；（2）将a＝9，b＝﹣13代入4a﹣3b+5中得：4a﹣3b+5＝4×9﹣3×（﹣13）+5＝80，∴80=∴4a﹣3b+5的算术平方根总结提升：本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键．6．（2022春•台江区校级期中）已知：x的平方根是a+3与2a﹣153（1）求a，b的值：（2）求x的值；（3）求a+b﹣1的立方根．思路引领：（1）根据一个正数的平方根有两个它们互为相反数，列出方程求得a，根据算术平方根的定义求得b；（2）根据平方与平方根的互逆关系进行解答；（3）根据立方根的定义进行计算．解：（1）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，解得a＝4，=3，∴b＝5；（2）∵x的平方根是a+3与2a﹣15，∴x＝（a+3）2＝（4+3）2＝49；（3==2．总结提升：本题主要考查了平方根与立方根，算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键．7．（2022春•东莞市期中）已知一个正数m的两个平方根分别是3a+2与a﹣10．（1）求a的值；（2）求m的立方根．思路引领：（1）根据平方根的意义，可得3a+2+a﹣10＝0，然后进行计算即可解答；（2）根据平方运算先求出m的值，再根据立方根的意义，即可解答．解：（1）由题意得：3a+2+a﹣10＝0，解得：a＝2，∴a的值为2；（2）当a＝2时，m＝（3a+2）2＝（6+2）2＝64，∴m的立方根是4．总结提升：本题考查了立方根，平方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关键．8．（2022春•天门校级月考）已知A=9的算术平方根，B=（1）求A，B的值；（2）求A+2B的立方根．思路引领：分别根据A=9的算术平方根，B=a、b的值，再求出A+2B 的值，求出其立方根即可．解：（1）∵A=9的算术平方根，∴2a﹣2＝2，2a+5b＝9，解得a＝2，b＝1，∴A=3，B==−2；（2）∵A＝3，B＝﹣2，∴A+2B＝3+2×（﹣2）＝﹣1，A+2B的立方根为﹣1．总结提升：本题考查的是立方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于a、b的方程，求出a、b的值是解答此题的关键．。

完整版)平方根与立方根典型题大全平方根与立方根典型题大全一、填空题1.如果$x=9$，那么$x=$ 3；如果$x^2=9$，那么$x=$ 3 或$-3$。

2.若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是1.3.算术平方根等于它本身的数有 1，立方根等于本身的数有 1.4.若$x=3\sqrt{x}$，则$x=0$ 或 $x=9$；若$x^2=-x$，则$x=0$ 或 $x=-1$。

5.当$m3$时，$3m-3$有意义。

6.若一个正数的平方根是$2a-1$和$-a+2$，则$a=2$，这个正数是 3.7.$a+1+2$的最小值是 2，此时$a$的取值是 $-1$。

二、选择题8.若$x^2=a$，则 $|x|\geq 0$，即$x$可以是正数或零，选项B。

8.$(-3)^2=9$，选项D。

9.$y=4+5-x+x-5=-1$，$x-y=x+1$，选项A。

10.当$3x-5>0$时，$x>\frac{5}{3}$，最小整数为2，选项C。

11.一个等腰三角形的周长是 $2\times 5+3\sqrt{2}$，选项D。

12.若$x-5$能开偶次方，则$x\geq 5$，选项C。

13.$2n+1-1=2n$，选项D。

14.正数$a$的算术平方根比它本身大，即$\sqrt{a}>a$，移项得$\sqrt{a}-a>0$，两边平方得$a>1$，选项D。

三、解方程12.$(2x-1)=-8$，解得$x=-\frac{7}{2}$。

13.$4(x+1)^2=8$，解得$x=\pm\sqrt{2}-1$。

14.$(2x-3)^2=25$，解得$x=2$ 或 $x=-\frac{1}{2}$。

四、解答题15.已知：实数$a$、$b$满足条件$a-1+(ab-2)^2=$试求$$\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{ab(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{ 1}{ab(a+2004)(b+2004)}$$解：将$a-1$移到等式右边，得$$(ab-2)^2=-a+1+(ab-2)^2$$两边同时除以$(ab-2)^2$，得$$1=\frac{-a+1}{(ab-2)^2}+1$$移项得$$\frac{1}{ab-2}=\frac{-a+1}{(ab-2)^2}$$两边同时乘以$\frac{1}{ab}$，得$$\frac{1}{ab(ab-2)}=\frac{-1}{ab-2}+\frac{1}{ab}$$移项得$$\frac{1}{ab}=\frac{1}{ab-2}+\frac{1}{ab(ab-2)}$$将右边的式子通分，得$$\frac{1}{ab}=\frac{ab-2+1}{ab(ab-2)}+\frac{1}{ab(ab-2)}$$化简得$$\frac{1}{ab}=\frac{ab-1}{ab(ab-2)}$$两边同时乘以$\frac{1}{a+1}$，得$$\frac{1}{ab(a+1)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(ab-2)}$$将右边的式子通分，得$$\frac{1}{ab(a+1)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+2)(ab-2)}$$化简得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b(ab-1)}{ab(a+2)(ab-2)(a+1)}$$同理，将左边的式子乘以$\frac{1}{a+2}$，得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b}{a+2}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+1)(ab-2)}$$将两个式子相加，得$$\frac{2}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{b}{a+1}\cdot\frac{ab-1}{ab(ab-2)(a+2)}+\frac{b}{a+2}\cdot\frac{ab-1}{ab(a+1)(ab-2)}$$通分并化简得$$\frac{2}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{ab(a+1)(a+2)(ab-2)}$$移项得$$\frac{1}{ab(a+1)(a+2)}=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{2ab(a+1)(a+2)(ab-2)}$$所以$$\frac{1}{ab(a+1)(b+1)}+\frac{1}{ab(a+2)(b+2)}+\cdots+\frac{ 1}{ab(a+2004)(b+2004)}=\frac{1}{ab}\left(\frac{1}{a+1}+\frac{ 1}{a+2}+\cdots+\frac{1}{a+2004}\right)\left(\frac{1}{b+1}+\frac {1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+2004}\right)$$$$=\frac{1}{ab(a+1) (a+2)}\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+200 4}\right)$$$$=\frac{(ab-1)(a+b+3)}{2ab(a+1)(a+2)(ab-2)}\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b+2}+\cdots+\frac{1}{b+2004}\r ight)$$。

平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。

规定，0的算术平方根为 。

（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。

（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。

3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ .4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？【巩固练习】：1、16的算术平方根是_______，平方根是_______；2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 .6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少？10、已知120a ab -+-=，1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 B.1 C. 32+ D.512、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________13、求下列各式中的x(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=2514、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。