(完整版)平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解

平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。

规定，0的算术平方根为 。

（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。

（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。

3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ . 【典型例题】求平方根（1）100 （2）25121（3）0.25 求值（1）4 （2）2516-（3）±16 （4）()27±【课堂练习】一、填空题 1．1的平方根是 ， 的平方根是02．=36 ；=-2)9( ；=--2)3( 。

3． 当0≥a 时，a ±表示的意义是 ，其中被开方数是 . 225的算术平方根用符号表示为 ，它的结果是 。

4． -7的平方的算术平方根是 ，3的平方的平方根是 。

二求下列各数的平方根1． 0.64 2．94 3．2500 4．2)3(- 5. 8164 6．2.56 7．2)3(- 11.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.12.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.13.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.14.要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少？15.甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1.乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5.哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？立方根一、填空题1． 数a 的立方根，记作 ，其中被开方数是 ，根指数是 。

专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A．B．C．D．12±12-12116练习1_____．练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

例3．（·_________的算术平方根是_________.练习1．（·安徽初一月考）若2a-1和5-a是一个正数m的两个平方根，则m=_______练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.二. 立方根1．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．3x a=2．立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．3．求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．备注：①符号中的根指数“3”不能省略；②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．例1．（·安徽初一期中）64的立方根是（ ）A ．4B ．±4C ．8D ．±8练习1．（·淮南初一期中）下列说法中，不正确的是（ ）A ．8的立方根是2B ．﹣8的立方根是﹣2C ．0的立方根是0D ．64的立方根是±4练习2．（·北京市昌平区阳坊中学初二期中）的立方根是__________．8-例2．（合肥市第四十五中学初一期中）已知a +3和2a ﹣15是某正数的两个平方根，b 的立方根是﹣2，c 算术平方根是其本身，求2a +b ﹣3c 的值．练习1．（·淮南初一期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c 5a 2+3a b 1+-分．（1（求a ，b ，c 的值；（2）求的平方根．3a b c -+练习2．（郑州市初二期中）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n 的值.例3．（安徽初一期中）求下列各式中x 的值：（1）2x 2＝4； （2）64x 3 + 27＝0专题01 平方根及立方根知识框架重难突破一. 平方根1.平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．备注：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．（3）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2. 算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根本身是非负数．a≥0，≥0．备注：||00a aa aa a>⎧⎪===⎨⎪-<⎩（3）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0，利用此性质列方程解决求值问题．例1．（·安徽初一期中）下列说法正确的是( )A．－5是25的平方根B．25的平方根是5C．－5是（－5）2的算术平方根D．±5是（－5）2的算术平方根A试题分析：A、B、C、D都可以根据平方根和算术平方根的定义判断即可．解：A、﹣5是25的平方根，故选项正确；B、25的平方根是±5，故选项错误；C、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误；D、5是（﹣5）2的算术平方根，﹣5是（﹣5）2的平方根，故选项错误．故选A．练习1的平方根为（ ）A．B．C．4D．4±2±B，又∵(±2)2=4，∴4的平方根是±2±2，故选B．练习2．（·辽宁初二期中）9的平方根是( )A．B．C．D．3813±81±C解：9的平方根是.3±故选：C.例2．（2017·阜阳市第九中学初一期中）的算术平方根是( )14A ．B ．C ．D ．12±12-12116C 本题解析: ∵ ，211()24=∴的算术平方根为，1412+故选C.练习1 _____．2，的算术平方根是2，4 2.练习2．（·北京初二期中）16的算术平方根是。

专题09 算术平方根与立方根的综合运用【例题讲解】已知4是32a -的算术平方根，215a b --的立方根为5-．(1)求a 和b 的值；(2)求24b a --的平方根．【详解】（1）解：∵4是32a -的算术平方根，∴3216a -＝，∴6a =，∵215a b --的立方根为5-，∴215125a b --=-，∴2156125b -´-=-，∴37b =．（2）解：242376464b a --=´--=，64的平方根为8±，∴24b a --的平方根为8±．【综合解答】1270-=，那么6()a b +的立方根是( )A ．-1B ．1C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】根据非负数的性质，得出a ，b 的值，再代入计算即可．【详解】：270-=，0=，3270b -=∴3640a +=，3270b -=，∴a=-4，b=3，∴6()a b +=1，∴6()a b +的立方根为1，故答案为：B ．【点睛】本题考查了非负数的性质和立方根，掌握非负数的性质是解题的关键．2的值为( )A ．114-B ．114±C ．154D ．134【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的意义分别进行计算，然后根据有实数的运算法则求解即可.【详解】原式1300.52=---++11300.524=---++324=-；故答案为：A.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握据算术平方根和立方根的意义.3 1.442=0.6694=等于（ ）A ．57.68B ．115.36C ．26.776D ．53.552【答案】C【解析】【分析】根据立方根的运算法则即可．【详解】440.669410426.776===´´=，故答案为：C ．【点睛】进行正确的拆分．4．下列计算正确的是（ ）．A 3B 8=±C 7=-D 13=-【答案】D【解析】【分析】根据立方根、算术平方根、绝对值等知识逐项进行计算即可求解．【详解】，故原选项计算错误，不合题意；B.8=，故原选项计算错误，不合题意；C. 7=，故原选项计算错误，不合题意；D. 13=-，故原选项计算正确，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识，理解立方根、算术平方根的意义并正确计算化简是解题关键．5．一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A.42=16Q 4(2)=16-，\16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232=Q ，5(2)32-=-，\32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y ==则155153232,28,x y ====1515,x y \> 且1,1,x y >>,x y \>\当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．6．已知a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，则x 和y 分别是（ ）A ．,1001000a x y b ==B ．1000,1000b x a y ==-C ．,1000100a x y b ==-D ．,1000100a x yb ==【答案】C【解析】【分析】根据题意，x 的算术平方根和-b 的立方根，然后根据x 的算术平方根和a 的算术平方根即可求出x 与a 的关系，根据-b 的立方根和y 的立方根关系即可求出y 与b 的关系．【详解】解：∵a 的算术平方根是12.3，b 的立方根是45.6-，x 的平方根是 1.23±，y 的立方根是456，∴x 的算术平方根是1.23，-b 的立方根是45.6∵1.23=110×12.3，456=10×45.6∴x =2110a æöç÷èø，y=103（-b ）即,1000100a x yb ==-故选C ．【点睛】此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．7．实数a ___________．【答案】8【解析】【分析】先根据数轴的定义可得48a <<，从而可得20,100a a -<->，再计算算术平方根和立方根即可得．【详解】由数轴的定义得：48a <<，则20,100a a -<->，2108a a =-+-=，故答案为：8．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．8．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求1＝_____．【答案】0．【解析】【分析】根据a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数求出ab ＝1，c +d ＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a 、b 互为倒数，∴ab ＝1，∵c 、d 互为相反数，∴c +d ＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．9．已知21a -的平方根是±3，b +2 的立方根是2，则b a -的算术平方根是___________【答案】1【解析】【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a 、b 的方程，求出a 、b 后再代入进行计算求出b a -的值，然后根据算术平方根的定义求解．【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,∴a=5,b=6,∴b-a=1，∴b a-的算术平方根是1，故答案是：1.【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【解析】【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c的整数部分，则a+2b+c的算术平方根为_____．【答案】4【解析】【分析】由题意首先根据平方根与立方根的概念可得2a-1与3a+b-9的值，进而可得a 、b 的大小，可得c 的值，进而可得a+2b+c ，根据算术平方根的求法可得答案．【详解】解：根据题意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；解得：a=5，b=2；又有7＜8，可得c=7；则a+2b+c=16；则16的算术平方根为4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法是解题的关键．12A B ，则A ＋B ＝________．【答案】【解析】【详解】===A+B=三、解答题13．()20151-．(2)已知∶2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值．(3)已知a b -3是400．【答案】(1)114；(2)m +2n =13；=6【解析】【分析】(1)首先进行开方和乘方运算，再进行有理数的加减运算，即可求得；(2)根据平方根的定义得出方程，解方程即可分别求得m 、n 的值，据此即可解答；(3) 根据无理数的估算和算术平方根的定义，即可求得a 、b 的值，据此即可解答．【详解】解：(1) ()20151+-52314=+-- 114=(2)Q 2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，2216m \+=，3m +n +1=25，解得m =7，n =3，272313m n \+=+´=；(3)\，13，13a \=，又Q b -3是400的算术平方根，400的算术平方根是20，320b \-=，解得b =23，6==．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，平方根和算术平方根的定义，无理数的估算，代数式求值问题，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．14．已知4是32a -的算术平方根，2+a b 的立方根是2．C 的整数部分．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求2a b c -+的平方根．【答案】(1)6a =，1b =， 5c =(2)3±【解析】【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义列出式子，解出a ，b ，c 的值即可．（2）将（1）中所求数值代入，并计算平方根即可．(1)解：由题有2324a -=，322a b +=解得： 6a =；1b =．<∴5< ，∴5c =，即：6a =，1b =，5c =；(2)（2）解：把6a =，1b =，5c =，代入2a b c -+得26215a b c -+=-´+，29a b c -+=，∴2a b c -+的平方根是3±．【点睛】本题考查算术平方根，平方根，立方根的定义，无理数的整数部分，熟练理解平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．15．（1）计算：①②（2）求方程中的x 的值①()242160x +-=②()32621127x -+=【答案】（1）①12；②142）①0x =或4x =-；②23x =【解析】【分析】（1）根据算术平方根以及立方根进行计算即可；（2）根据算术平方根以及立方根解方程即可．【详解】（1）①解：原式＝()442-´-48=+12=②解：原式＝()())563114-----+-563114=-+++14=（2）①()242160x +-=()224x +=22x +=±解得0x =或4x =-②()32621127x -+=()312127x -=1213x -=解得23x =【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根，掌握算术平方根以及立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．16．（1）一个正数m 的两个平方根分别为3a -和21a +，求这个正数m ．（2）已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求3a b c -+的平方根．（3）3a =，求a b +的立方根．【答案】（1）49；（2）4±；（3）－1【解析】【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数列式子求解即可；（2）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于a 、b 、c 的式子求值，再计算平方根即可；（3）先根据二次根式有意义的条件求出b 的值，从而得出a 的值，再计算两数的和，从而得出立方根．【详解】解：（1）解：依题意：3210a a -++=，解得4a =-，37a -=，2m 749==．（2）解依题意：3523a +=，2314a b +-=，34<<解得5a =，2b =，3c =316a b c -+=，16的平方根是4±（3）解：依题意2020b b -³ìí-³î，得2b =，代入3a =，得3a =-1ab +=-，a b +的立方根是－1．【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握含义列出式子是解题的关键．17．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1=1.414=14.14==0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；（2=2.236=7.071= ，= ；（3=1=10=100…小数点变化的规律是： ．（4=2.154=4.642= ，= ．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（1=1.414=14=141.4…=0.1732=1.732=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，（2=2.236=7.071=0.7071=22.36，（3=1=10=100…小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）=2.154=4.642，=21.54，=-0.4642．故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．18．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．（2 3.873» 1.225»»_____»______．（31=10=100=，……小数点的变化规律是_______________________．（4 2.154»0.2154»-，则y =______．【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01【解析】【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】解：（1 1.414»14.14»141.4»，……0.1732» 1.732»17.32»，……由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．故答案为：两；右；一；（2 3.873» 1.225»12.25»0.3873»；故答案为：12.25；0.3873；（31=10=100=，……小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4） 2.154»0.2154»-，0.2154»，0.2154»-，∴y=-0.01．【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．。

专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。

9.6平方根基础知识点1.平方根和算术平方根的概念2.正确理解√a，-√a，±√a3.无限不循环小数利用平方根与算术平方根的概念1.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a, x2.√16的平方根是利用平方根的定义解简单方程1.若x的平方根/算术平方根是它本身，则x2.√1-x = 2 的解为利用算术平方根的双重非负性解题1.√(a-2) + (b+5)²= 02.√(2a+6) + |b-√2|= 0 ，解关于x的方程(a+2)x+ b²= a-1利用平方法估计算术平方根的范围1.估计20的算术平方根大小2.已知x为整数，且满足-√2≦x≦√3，则x练习：1.一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数相邻的下一个自然数为2.√(-3)²3.√a²= 34.若m (m大于等于0) ,n满足3√m + 5|n|= 7, x=2√m -3|n|, 试求x的取值范围5.√(5x+2y-9) 与|2x-6y-7|互为相反数，则x+1/y =6.3√(a-b) + 4√c=16且x=4√(a-b) -3√c, 试求x的取值范围7.√(2-x)+√(x-2)-y=6, 试求y的x次方的平方根立方根基础知识点1.立方根概念2.平方根与立方根的比较先变形被开方式再直接运算解三次方程估值法比较数的大小实数基础知识点1.无理数的概念及其常见类型（Π类，开方开不尽的数、有规律但又无限不循环的数）2.正确区分无理数和有理数3.实数及其数轴上点的对应关系4.实数的运算法则和运算性质。

6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。

专题03 平方根与立方根6种题型梳理基础知识点知识点1-1 算术平方根的概念1）算术平方根概念：一个正数的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根。

其中，a 叫作被开方数，规定0的算术平方根为0。

记作√a =x 。

注：①“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分）②a ≥0，x ≥0。

负数没有算术平方根（因为x 2≥0） 2）常见算术平方根表：知识点1-2 平方根1）平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫作a 的平方根或者二次方根。

求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方。

注：①“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“±”②正数的平方根有两个，它们互为相反数。

且正数根即为算术平方根； ③0的平方根和算术平方根都为0；④负数没有平方根和算术平方根。

重难点题型题型1 运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系：A3 B ．12-是14的平方根 C ．带根号的数不一定是无理数 D ．a 2的算术平方根是a 【答案】D【解析】±3，故A 正确；211()24-=，则12-是14的平方根，故B 正确；2=是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C 正确；∵a 2的算术平方根是|a|，∴当a≥0，算术平方根为a ，当a ＜0时，算术平方是﹣a ， 故a 2的算术平方根是a 不正确．故D 不一定正确；故选：D ．2．（2019·河南洛宁初二期中）算术平方根和立方根都等于本身的数有_________．【解析】1的算术平方根是1，立方根是1，0的算术平方根和立方根都是0，所以算术平方根和立方根都等于本身的数有0和1.3．（2019·全国初二课时练习）填空：(1)1的平方根为____，立方根为_____，算术平方根为_____；(2) 27的立方根是____；(3)___；(4)____．【解析】解：（1）1的平方根为1=±1=，算术平方根为1=，故答案为：±1，1，1；（2）273=，故答案为：3；（3）8=-2=-，故答案为：2-；（44==的平方根为2=±，故答案为：±2． 4．（2019·全国初二课时练习）下列说法中，正确的个数是( )①512的立方根是8，记做8=；②49的平方根是－7；③8是16的算术平方根；④ ±2；⑤如果一个数有立方根，那么它一定有平方根． A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：①512的立方根是8，记做35128=，正确；②不正确，49的平方根是±7；③不正确，16的算术平方根是4±2，正确；⑤不正确，如－8的立方根，是－2，但－8没有平方根．综上所述，正确的有①④．故选：B ．A ±6B ±2C ．|﹣8|的立方根是﹣2D 4【解析】解：A 6=，6的平方根是，故该选项错误；B 4=，4的平方根是±2，故该选项正确；C 、|−8|＝8，8的立方根2，故该选项错误；D 4=，4的算术平方根是2，故该选项错误，故选：B ．6．（2020·河南省初二期中）按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．【解析】82，2．题型2利用平方根和立方根解方程解题技巧：（1）先将方程化简为（x +a ）2=ℎ的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。

平方根和立方根知识点总结和练习一、平方根、算数平方根和立方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是,在等式a x =2 (x≥0)中,规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

一般来说,被开放数扩大（或缩小）a 倍,算术平方根扩大（或缩小）a 倍,例如=5,=50。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2(x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x（6）正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

专题02平方根重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）【题型目录】题型一平方根与算术平方根概念理解题型二求一个数的算术平方根题型三利用算术平方根的非负性解题题型四求算术平方根的整数部分与小数部分题型五与算术平方根有关的规律探索题题型六求一个数的平方根题型七已知一个数的平方根，求这个数题型八利用平方根解方程题型九平方根的应用【知识梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.特别说明：有意义时，aa ≥0.2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.a (a≥0)的平方根的符号表达为0)a ≥是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a a =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.=.=0.25=25=， 2.5250【经典例题一平方根与算术平方根概念理解】【变式训练】平方差公式和完全平方公式，下，【经典例题二求一个数的算术平方根】【变式训练】A．3B．3±C．3【答案】A【分析】本题主要考查了有理数和无理数的识别，根据程序图及算术平方根的计算方法，依次计算即可，理解算术平方根是解题的关键．【点睛】本题主要考查了同类项、代数式求值、算术平方根等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．七年级统考期末）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为【经典例题三利用算术平方根的非负性解题】【变式训练】【经典例题四求算术平方根的整数部分与小数部分】【变式训练】8．（2022下·广东珠海·七年级统考期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【经典例题五与算术平方根有关的规律探索题】【答案】B【分析】根据算术平方根的定义解决此题．【详解】解：由题意得：从0.0625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，从0.625开始，小数点每向右移动两位，对应算术平方根扩大10倍，∴可得：6.25的算术平方根为2.5,62.5的算术平方根约为7.91，故选B．【点睛】本题主要考查数字类规律探索，算术平方根，熟练掌握原数和平方根的变化规律是解决本题的关键．【变式训练】【经典例题六求一个数的平方根】n 【变式训练】∴x y+的平方根是2±，±．故答案为：2【点睛】本题考查根式的非负性，以及计算一个数的平方根，能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键．【经典例题七已知一个数的平方根，求这个数】【变式训练】的值，再找出关系即可．【详解】（1）解：由题意得，6290a a ++-=，解得1a =，21649m +∴==（）；（2）当1a =时，2160x -=，216x ∴=，4x ∴=±．【点睛】本题考查平方根的意义及求平方根，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数．【经典例题八利用平方根解方程】【变式训练】1．（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）问题：在一块面积为2400cm 的正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为2300cm ，且长宽之比为3：2的长方形纸片(不拼接)，能裁出吗？对于上述问题的解决，嘉嘉和琪琪进行如下对话：嘉嘉：可是不符合实际情况啊正方形纸片的面积为【经典例题九平方根的应用】【变式训练】1．（2023下·河南郑州·八年级统考期末）电流通过导线时会产生热量，满足2=，其中Q为产生的热量Q I Rt为通电时间（单位：，则乙的面积为【拓展培优】A．2B．【答案】C【分析】本题主要考查算术平方根的定义，准确求出阴影部分的面积是解题的关键．根据割补法求出阴影部分的面积即可得到答案．①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则±【答案】2【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平方根，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．则3757.69的算术平方根为．【答案】61.3【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题目所给的方法进行解答即可．；，由于10．（2023上·浙江丽水·七年级统考期中）如图角形和一个阴影小正方形（无缝隙、不重叠）折后得到图2所示的大正方形．（1）若阴影小正方形的边长为1，则图2中大正方形的面积为（2）若图2中大正方形的边长为正整数，则阴影小正方形的边长为【答案】7123或8【分析】（1）根据图1求出四个直角三角形的面积，根据翻折的性质，从而得到图可；（2）设小正方形的面积为x，从而得到图2大正方形的面积，再根据大正方形的边长为正整数，即可得到x的值．【详解】解：（1）∵一个边长为6的正方形被分割成四个完全相同的直角三角形和一个阴影小正方形，阴影小正方形的边长为1，②∵3,2a b ==-，∴a b >，∴()()33228a b ⊕=⊕-=-=-，∵83-<，∴()()()8328313a b a ⊕⊕=-⊕=⨯-+=-．13．（2023上·湖北黄冈·七年级武穴市实验中学校考期中）如图，A 、B 、C 、D 四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过A B C D →→→顺序的运算，可列式为：2[(52)3]4⨯-+，8经过运算顺序B D A C →→→运算，可列式为2{[(83)4]2}-+⨯(1)请计算2[(52)3]4⨯-+；(2)列式计算2-经过C D A B →→→顺序的运算结果；(3)若数x 经过B C A D →→→顺序的运算，结果是12．则求初始数字x 是多少？【答案】(1)53(2)13(3)初始数字x 是5或1【分析】（1）根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可；（2）根据题意可以列出算式2[(2)4]23-+⨯-，计算即可；（3）根据题意可以得到()223412x -+=，即可求解．【详解】（1）解：2[(52)3]4⨯-+()21034=-+274=+53=；（2）解：由题意得：2[(2)4]23-+⨯-(44)23=+⨯-2。

专题06 平方根、立方根知识讲解知识点一：算术平方根、平方根、立方根概念【例1－1】（2020·广东东莞月考）在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3=【答案】D.3， ∴选项A 错误；∵±2， ∴选项B 错误；4， ∴选项C 错误；3， ∴选项D 正确． 故答案为：D ．【例1－2】（2021·河北邯郸期末） ） A ．0.2的平方根 B ．0.2-的算术平方根 C ．0.2的负的平方根 D ．0.2-的平方根【答案】C.【解析】解：由平方根的定义可得0.2的平方根为：，其中为0.2的负的平方根 故答案为：C ．【例1－3】（2020·四川通江县月考）下列说法中，正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．25-的平方根是C ．任何一个非负数的平方根都是非负数D ．一个正数的平方根有2个，它们互为相反数 【答案】D.【解析】解：A 、9的平方根是±3，错误； B 、−25的没有平方根，错误；C 、任何一个非负数的算术平方根都是非负数，错误；D 、一个正数的平方根有2个，它们互为相反数，正确． 故答案为：D ．【例1－4】（2020·鹿邑县期末）若3109,b a =-且b 的算术平方根为4，则a =__________． 【答案】5.【解析】解：∵b 的算术平方根为4， ∴b=16， ∴16=a 3-109 ∴a =5． 故答案为：5．【变式1－1】（2020·福建永春月考）下列说法中，不正确的是（ ） A ．非负数才有平方根 B ．非负数的算术平方根是非负数 C ．任何数都有两个平方根 D ．负数没有平方根【答案】C.【解析】解：A. 非负数才有平方根，正确； B. 非负数的算术平方根是非负数，正确； C. 0只有1个平方根，错误； D. 负数没有平方根，正确． 故答案为：C ．【变式1－2】（2020·山东济南期中）若30a ++=，则+a b 的立方根是______． 【答案】－1.【解析】解：∵30a ++=， ∴3+a=0， 2-b=0， ∴a=-3，b=2 ∴a+b=-1∴a+b 的立方根-1． 故答案为：-1．64m，现准备将其【变式1－3】（2019·河北邢台期末）有一个正方体的集装箱，原体积为3扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m，则它的棱长需要增加__________m．【答案】1.【解析】解：设正方体集装箱的棱长为a，∵体积为64m3，∴=4m；设体积达到125m3的棱长为b，则=5m，∴b-a=5-4=1（m）．故答案为：1．【变式1－4】对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”．（1）试举一个例子来判断上述结论的猜测是否成立？（2与的值互为相反数，求1-【答案】见解析.【解析】解：（1）答案不唯一.=，8与﹣8互为相反数；（2）由已知，得（3﹣2x）+（x+5）＝0，解得x＝8，∴1=1﹣4＝﹣3．【变式1－5】（2020·________，2________．【答案】32．，9的算术平方根为33.22，故答案为：32．【变式1－6】（2019·海南海口月考）已知a 的整数，31a b +-的平方根是4±， (1)求,a b 的值； (2)求的平方根．【答案】（1）a=5；b=2；（2）±3.<<，且a 的整数， ∴a=5∵3a+b -1的平方根是±4， ∴3a+b -1=16 ∴b=2（2）当a=5，b=2时，a+2b=9 ∴a+2b 的平方根为：±3．知识点二：算术平方根、平方根、立方根性质【例2－1】（2020·海伦市期中）某数x 的两个不同的平方根是23a +与15a -，则x 的值是（ ） A ．11 B ．121C ．4D ．11±【答案】B.【解析】解：由题意得：2a+3+a -15=0 解得：a=4当a=4时，2a+3=11 则x=112=121. 故答案为：B ．【变式2－1】已知一个正数m 的平方根为2n +1和4﹣3n ． （1）求m 的值；（2）|a ﹣3|（c ﹣n ）2＝0，a +b +c 的立方根是多少？ 【答案】（1）121；（2）2.【解析】解：（1）由正数m 的平方根互为相反数，得：2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝112＝121；（2）∵|a﹣3|（c﹣n）2＝0，∴a＝3，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝3+0+5＝8，∴a+b+c的立方根是2．【变式2－2】（2021·河北唐山期末）如果一个正数a的两个不同平方根分别是22x-和63x-，则a=______．【答案】36.【解析】解：由题意得：2x-2+6-3x=0，解得x=4，2x-2=6，a=62=36故答案为：36.【例2－2】（2020·江苏南通月考）若x，y为实数，且20x+=，则的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】B.【解析】解：由题意得：x+2=0，y-2=0∴x=-2，y=2∴ =-1故答案为：B.【例2－3】﹣2x﹣1＝0，则x＝_____．【答案】0或﹣1或﹣1 2 .﹣2x﹣1＝0，＝2x+1，∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x ＝0或x ＝﹣1或x ＝﹣12． 故答案为：0或﹣1或﹣12． 知识点三：综合题型【例3－1】（渠县月考）求下列各式中的x 的值 （1）21(1)82x +=；（2）3(21)270x -+= 【答案】（1）x=3或x=5；（2）x=-1．【解析】解：（1）两边乘以2得，（x+1）2=16， x+1=4或x+1=-4 x=3或x=-5 （2）（2x -1）3=-27 2x -1=-3 x=-1【变式3－1】（2020·江苏苏州月考）求下列各式中的x ． (1)24120x -= (2)()216281x -= 【答案】见解析. 【解析】解：(1)4x 2=12 x 2=3x= (2)（x -2）2=8116x -2=94或x -2=-94x=或x=-14【变式3－2】（2020·剑阁县月考）（1）已知：m 3=8，n 2=9，且mn ＜0，求m 2-2mn+n 2的值． （2）已知=5，b 2=9，（c -1）2=4，且ab ＞0，bc ＜0，求式子ab -bc -ca 的值． 【答案】（1）25；（2）23或39. 【解析】解：（1）由m 3=8，得m=2， 由n 2=9，得n=±3， 由mn ＜0，得：m=2，n=-3 当m=2，n=-3时， m 2-2mn+n 2=4+12+9=25 （2）由题意知a=±5， 由b 2=9得：b=±3， 由（c -1）2=4，得：c=3或-1 ∵ab ＞0，bc ＜0 ∴a 、b 同号，b 、c 异号当a=5，b=3，c=-1时，原式=15+3+5=23 当a=-5，b=-3，c=3时，原式=15+9+15=39． 【例4－1】（2020·浙江杭州期中）解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -+=，求d +c 的平方根． 【答案】（1）x =5，169或x=-21，1521；（2）±3. 【解析】解：（1）解：①由题意得：2x+3+x -18=0， 解得：x=5这个数是（2×5+3）2=169. ②2x+3=x -18，解得x=-21 这个数是（-21-18）2=1521； （2）由题意得：2c -d =0，d 2-36=0， 解得：d=±6，c=±3．当d =-6，c =-3时，d +c =-9（没有平方根）， 当d=6，c=3时，d+c=9，平方根为±3．【例4－2】（2020·河南周口期中）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：（1）列式，并计算：①﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？②5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？（2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是55，a是多少？【答案】（1）①7；②206；（2）-1或-11．【解析】解：（1）①=(-6+5)2+6=1+7=7②，=(5+5)2×2+6=100×2+6=206（2）由题意得：2（a+6）2-（-5）=55，整理得：（a+6）2=25，a+6=5或a+6=-5∴a=-1或a=-11.【变式4－1】已知2x+1的算术平方根是0=4，z是﹣27的立方根，求2x+y+z的值．【答案】12.【解析】解：∵2x+1的算术平方根是0，∴2x+1＝0，∴2x＝﹣1，=4，∴y ＝16，∵z 是﹣27的立方根， ∴z ＝﹣3，∴2x +y +z ＝﹣1+16﹣3＝12.【变式4－2】（2020·乐清市月考）有一个数值转换器，流程如下：当输入的x 值为64时，输出的y 值是（ ）A ．4 BC ．2D 【答案】B.，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2 故答案为：B ．【例5－1】（2020·浙江期中），（ ） A ．287.2 B ．28.72 C ．13.33 D ．133.3【答案】C. 【解析】解：． 故答案为：C ．【例5－2】（2020· 2.449≈7.746≈，则______． 【答案】0.07746. 【解析】解： 故答案为：0.07746．【例5－3】（2020·余干县月考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试： ①，又，10100∴<，∴能确定59319的立方根是个两位数．②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．③如果划去59319后面的三位319得到数59，<34<<，可得3040<<， 由此能确定59319的立方根的十位数是3 因此59319的立方根是39．（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是_______位数． ②它的立方根的个位数是_______． ③它的立方根的十位数是__________． ④195112的立方根是________． （2）请直接填写．．．．结果：=________．=________．【答案】（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56． 【解析】解：（1）①∵，1000＜195112＜1000000∴<100，∴能确定195112的立方根是一个两位数， 故答案为：两；②∵195112的个位数字是2，83=512， ∴能确定195112的个位数字是8， 故答案为：8；③如果划去195112后面三位112得到数195，<，∴56<<，可得5060<<，由此能确定195112的立方根的十位数是5， 故答案为：5；④根据②③可得：195112的立方根是58， 故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，∴13824的立方根是24，故答案为：24；②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，∴175616的立方根是56，故答案为：56.【变式5－1】（2020·的值是______________________．【答案】11.47【解析】解：=1.147，∴故答案为: 11.47．【变式5－2】（2019· 1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（）A．B．101）C．D1【答案】B.1之后，扩大10倍即可实现，故答案为：B.【变式5－3】（2020·山西大同月考）观察下表，回答问题：（1）表格中x=_________________，y=_________________；（2）用一句话描述你发现的规律：_________________；（3）根据你发现的规律填空：已知：，_________________；②58.48≈，则a=_________________．【答案】（1）0.1，10；（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；（3）①0.2714；②200000.【解析】解：（1）根据题意，立方根的被开方数扩大1000倍，立方根扩大10倍；∴x=0.1，y=10；故答案为：0.1；10．（2）在开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位；==≈；（30.271410≈，0.5848∴，≈，58.48∴，∴a=200000；故答案为：①0.2714；②200000．【例6－1】（2020·成都双流月考）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[＝﹣2，按此规定，[1﹣＝_____．【答案】-4．∴4＜5，∴﹣4＞﹣5，∴﹣3＞1﹣4，故，[1﹣＝﹣4．故答案为：﹣4．【例6－2】（2020·x的所有整数x的和是_____．【答案】2.【解析】解：∵﹣21，2＜3，x的所有整数有﹣1，0，1，2，∴﹣1+0+1+2＝2，故答案为：2．【例6－3】（2020·太原市月考）比较大小：______0.5 ．（填“>”，“<”或“= ”）【答案】＞.1>1∴>0.5故答案为：＞．【例6－4】对于实数x，我们规定[]x表示不大于x的最大整数，如，现对85进行如下操作：，这样对85只需3次操作后就变为1．类似地，按照以上操作只需进行3次操作后变为1的所有整数中，最大的正整数是________．【答案】255.【解析】解：设，x为正整数，则1≤，∴1≤y<4，即最大正整数是3；设，y为正整数，则3≤，∴9≤y<16，即最大正整数是15；设，z为正整数，则15≤，∴225≤z<256，即最大正整数是255．∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为：255．【例7－1】（2020·舟山普陀区期中）我们规定，对数轴上的任意点P进行如下操作：先将点P表示的数乘以1，再把所得数对应的点向右平移2个单位，得到点P的对应点P′，现对数轴上的点A，B进行以上操作，分别得到点A′，B′．（1）若点A对应的数是1，则点A′对应的数x=_________，若点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =_________；（2）在（1）的条件下，求代数式x 4y 算术平方根．【答案】（1）x=1，y=-2；（2）3.【解析】解：(1) 设P 点表示的数为x ，P′表示的数为-x+2，点A 对应的数是1，则点A ′对应的数x =-1+2=1，点B ′对应的数是4，则点B 对应的数y =4×(-1)+2=-4+2=-2，故答案为：x=1；y=-2，(2)由(1)求出，x=1,y=-2，代数式x －4y 的值为=1-4×（-2）=9，代数式x －4y 算术平方根为3．【例7－2】（2019·河北保定期中）先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+ (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；(2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1) (2)（n 为正整数）.【解析】解：(1)=1+14−141+=，验证：(2)=1+1 n−1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数). 【变式7－1】（2019·北京昌平期中）如图，是一个无理数筛选器的工作流程图．(1)当x 为16时，y 值为_____；(2)是否存在输入有意义的x 值后，却始终输不出y 值？如果存在，写出所有满足要求的x 值；如果不存在，请说明理由；(3)如果输入x 值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x 值可能是什么情况；(4)当输出的y x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【答案】（1）（2）存在，当x=0，1时，始终输不出y值；（3）x＜0；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【解析】解：（1）当x=16，则（2）当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）当x＜0时，导致开平方运算无法进行；（4）x的值不唯一．x=3或x=9．【例8－1】（2020·湖北黄冈期末）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系2t=0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）【答案】1.3.【解析】解：把l=0.4m代入关系式2t=得，∴12=0.45tπππ=⨯≈1.3（秒）．【变式8－1】（2020·陕西宝鸡月考）自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t2.有一学生不慎让一个足球从19.6m高的楼上自由落下，刚好另有一学生站在与下落的足球在同一直线的地面上，在足球下落的同时，楼上的学生惊叫一声，若楼下的学生听到惊叫后开始躲．问：这时楼下的学生听到惊叫后能躲开下落的足球吗？(声音的速度为340m/s)【答案】能躲开．【解析】解：足球下落的时间：，学生的声音传播到楼下的时间：t==0.06s由2>0.06所以楼下的学生能躲开．【变式8－2】（汉中南郑区期中）如图，每个小正方形的边长均为1，阴影部分是一个正方形．（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；（3）a 为阴影正方形边长的小数部分，b 的整数部分，求+a b 的值．【答案】（1）13（2）1，2，3；（3【解析】解：（1）阴影部分面积为：1554232512132⨯-⨯⨯⨯=-=， ∵阴影部分是一个正方形，故答案为：13（21，2，3．（3）∵34<<，∴3a =，∵34<<∴b=3∴33+= 【例9－1】（2020·四川月考）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果为（ ）A ．B ．22b a -C ．0D ．2b【答案】A.【解析】解：由图可知：a<0<b ，a+b<0，原式=-a -b+（-a ）+b=-2a故答案为：A ．【变式9－1】（2020·江苏徐州月考）如图，数轴上点A ，B ，C 所对应的实数分别为a ，b ，c |-|a c【答案】2a-c.【解析】解：由数轴得a<b<0<c，∴a-c<0，a+b<0，原式=-b-（c-a）+(a+b)=-b-c+a+a+b=2a-c.。

(完整版)平方根与立方根典型题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质2=），那么这个数x就叫做a的平方根（或二如果一个数x的平方等于a（即x a=±，这里a是x的平方数，故a必是一个非负数即a≥0；例次方根），记作：x a如16的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0的平方根只有一个0，即为它本身。

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，表示为()a a≥0，例如16的算术平方=，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a≥0；②根是164a≥0。

2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。

联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0的平方根以及算术平方根均为0。

3. 立方根的定义与性质3=），那么这个数x就叫做a的立方根（或三次如果一个数x的立方等于a（即x a=3。

方根），记作：x a立方根的性质：正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

二、解题中常见的错误剖析例1.求()-32的平方根。

2错解：()-=39()∴-32的平方根是-32是一个正数，故它的剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而()-=39平方根应有两个即±3。

例2. 求9的算术平方根。

2=错解： 39∴9的算术平方根是3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9的算术平方根，因而导致误解，事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。

93=，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。

平方根立方根知识点总结归纳及常见题型“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点1、平方根:⑴、定义:如果x 2=a ,则x 叫做a 的平方根,记作“a ±”(a 称为被开方数)。

⑵、性质:正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。

⑶、算术平方根:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根,记作“a ”。

2、立方根:⑴、定义:如果x 3=a ,则x 叫做a 的立方根,记作“3a ”(a 称为被开方数)。

⑵、性质:正数有一个正的立方根;0的立方根是0;负数有一个负的立方根。

3、开平方(开立方):求一个数的平方根(立方根)的运算叫开平方(开立方)。

二、规律总结:1、平方根是其本身的数是0;算术平方根是其本身的数是0和1;立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根,其正的那个是算术平方根;任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。

3、a 本身为非负数,即a ≥0;a 有意义的条件是a ≥0。

4、公式:⑴(a )2=a (a ≥0);⑵3a -=3a -(a 取任何数)。

5、非负数的重要性质:若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为0例1 求下列各数的平方根和算术平方根(1)64;(2)2)3(-; (3)49151; ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值(1)81±; (2)16-; (3)259; (4)2)4(-.(5)44.1,(6)36-,(7)4925±(8)2)25(-例3、求下列各数的立方根:⑴ 343; ⑵10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.当a ≥0时,a 的平方根是±a ,即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习:已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.当a ≥0时,a 的平方根是±a ,而.0)()(=-++a a例5、已知:一个正数的平方根是2a-1与2-a ,求a 的平方的相反数的立方根.练习:若32+a 和12-a 是数m 的平方根,求m 的值.四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知:y=)1(32++-b a ,当 a 、b 取不同的值时,y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=,求xyz 的值。

平方根与立方根二、知识点+例题+练习知识点一：平方根与算术平方根1．平方根2．算术平方根3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a 的平方根表示为a （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】（1）求下列各数的平方根和算术平方根：①4964；②0.0001；③5；④2(3)-（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．（3）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________．【例2】求下列各式的值（1）（2（3（4（5（6（1）2612=⨯=；（27512+=；（30.30.80.5=-=-；（429 0.91365 =⨯=；（520==；（6110.8250.25 5.2 45=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【变式训练1-1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【变式训练1-2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【变式训练1-3】25的平方根是A．5 B．-5 C．D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．【变式训练1-4】设a-3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a0≥． 【变式训练1-5】下列说法正确的是是2的一个平方根②–4的算术平方根是2 的平方根是±2 ④0没有平方根 A．①②③ B ．①④C ．①③D ．②③④【答案】C是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； 的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ． 【变式训练1-6】求下列各式的值：（12）3）；（4 【解析】（1． （2）=-0.9． （3）=1114±． （4．二、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解． 【例1】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0．【解析】（1）因为2(17=，所以x =． （2）2121049x -=， 212149x =， x =117±． 【例2】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0； （2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0， 4（x -1）2=16， （x -1）2=4， x -1=±2， x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0， 8（2x +1）2=1， （2x +1）2=18，2x +1=±4，2x =-1±4，x =-128-或x =-12+8．【变式训练2--1】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______． 【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【变式训练2-2】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．三、对定义和性质的考察【例1】判断下列各题，并说明理由（19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数．（ ）（3 （ ） （4）2a -没有算术平方根． （ ）（53=±． （ ）（6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ）（105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ）【解析】（6）（7）（12）正确． 【变式训练3-1】判断题：（1 ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( )（36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±．( )（58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( ) 【解析】 （1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【例2】x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2（3（4）；（5）；（6；【解析】略【答案】（1）0x≥；（2）x=0；（3）2x≤；（4）x为任意数；（5）x>1；（6）112x-≤≤．【变式训练3-2】若A=A的算术平方根是_________．【解析】A22(16)a+，故A的算术平方根为216a+．【答案】216a+【变式训练3-3】设a a的值是________．【解析】a48a必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a为3．【答案】3四、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例1】a的取值为A．0 B．−12C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥02a+1=0，∴a的取值为–12．故选B．【例2】若实数x，y20（y+-=，则xy的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：20xy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=【例3】x、y0，则xy=__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．【变式训练4-1】如果3a b-+【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a ba b-+=⎧⎨+-=⎩解得4353ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【变式训练4-2】已知2b=，求11a b+的平方根．【解析】由题可知940490aa-≥⎧⎨-≥⎩，49a∴=，b=2，==【答案】【变式训练4-3】已知x，y，z满足21441()02x y z-+-=，求()x z y-的值．【解析】由题可知44102012x yy zz⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412xyz⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y-1111()()22416=--⨯-=．【答案】1 161．立方根的概念和性质2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；=③3==a ．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a 是非负数，即a ≥0中，被开方数a 是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是 A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2 A ．－1B ．0C ．1D ．±1【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【变式训练1-1】下列计算中，错误的是AB 34=-C 112= D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D D ． 【变式训练1-2】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-， 所以-343的立方根是-7． （2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【变式训练1-3】求下列各式的值：（123）【解析】（1（2（3【例3】求下列各式的值（1（2（3） （4）3（5（6（7【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【变式训练1-4】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；① 7.696=，= ．【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ①0.7696．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例1】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例2】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-， 所以33x +=-，所以6x =-．【变式训练2-1】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2． 三、对立方根定义和性质的考察【例1】（1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ． a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个（4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；① 负数都有平方根，① 正数都有立方根；① 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对（6）下列运算中不正确的是（ ）A ． =B ． 3=C 1-D ．4【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【变式训练3-1】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40+则x 与y 的关系是______．（54=那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8） 四、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例1】64的平方根和立方根分别是A ．8，4B ．8，±4C ．±8，±4D ．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D ．【例9】已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是4，求a +b 的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a -1=9，根据立方根求出3a +b -1=64，转化为解方程得问题解决．【例2】已知x +122x +y -6的立方根是2．（1）求x ，y 的值；（2）求3xy 的平方根．【解析】（1）∵x +12的算术平方根是，2x +y -6的立方根是2．∴x +12=2=13，2x +y -6=23=8，∴x =1，y =12．（2）当x =1，y =12时，3xy =3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy 的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．【变式训练4-1】2(27)b +的立方根．【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+= 【答案】1【变式训练4-2】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【解析】2(2)=±，6x ∴=；3=，8y ∴=，10==±．【答案】101.在，，0，-2这四个数中，是无理数的为（）A．0 B． C． D．-22. 下列无理数中，与最接近的是（）A． B． C． D．3. ±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根答案与解析1.【答案】 C.【解析】根据无理数的概念: 无限不循环的小数,就是无理数;无理数主要有三类: ①开方开不尽的, ②π及含π的倍分等, ③如:0.1010010001…这类的无规律的数．2.【答案】C.【解析】根据算数平方根的意义,4=16, 再根据算术平方根的性质,被开方数越大, 其算术根越大,通过观察发现17的被开方数最接近16的被开方数,从而得出答案.3.【答案】A.【解析】解: ∵ 9)3(2=±, 3±∴是9的平方根. 故选A.1. 若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）A. 1000000B. 1000C. 10D. 100002. 若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= .3. 下列语句正确是（ ）A ．无限小数是无理数B ．无理数是无限小数C ．实数分为正实数和负实数D ．两个无理数的和还是无理数答案与解析1.【答案】B.【解析】 被开方数扩大2n 10倍，开方后结果扩大10n 倍；根据开方与乘法互逆运算可得.2.【答案】 -7. 【解析】2,3==b a a 3, 4.b ∴=±= 又0<ab ，a 3, 4.b ∴=-=则a-b = -7.3.【答案】B.【解析】 解: A.无限不循环小数是无理数, 故A 不符合题意;B.无理数是无限小数, 符合题意. C.实数分为正实数、负实数和0, 故C 不符合题意 D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数, 故D 不符合题意. 故答案为:B.1. 已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，求A －B 的平方根.2. 已知4+11的小数部分为a ，411-的小数部分为b ．求：（1）a+b 的值；（2）a-b 的值．1.【答案】A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，∴x-y=2; 又B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，∴x-2y+3=3，得方程组x y 2x 2y 33-=⎧⎨-+=⎩，解得：x 42y =⎧⎨=⎩，∴A=3，B=2 ∴A-B=1.【解析】根据算术平方根的概念和立方根的概念解题.2.【答案】3114<<，∴411+的小数部分a=4+11-7=11-3411-的小数部分b=4-11；（1）a+b=11-3+4-11=1；（2）a-b=11-3-（4-11）=-7．【解析】首先估算出11的取值范围：3＜11＜4，进一步确定a 、b 的数值，代入求得（1）（2）即可．基础1. 下列说法不正确的是( )A ．8的立方根是2B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±5四、课后作业2. 所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数3. 若2m-1没有平方根，则m 的取值范围是________.答案与解析1.【答案】D.【解析】 125的立方根是5,D 选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.2.【答案】D.【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.3.【答案】21≥m 【解析】 解: 负数没有平方根. 012≥-∴m , 21≥m . 故答案为:21≥m .1. 估计38的值在( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2. 化简式子 )4(2-结果正确的是（ ）A ．±4B ．4C ．-4D ．±23. 一个正数x 的平方根是3a －4和1－6a ，求a 及x 的值．答案与解析1.【答案】C ．【分析】因为6的平方是36, 7的平方是49.而38在36和49 的中间，所以38的值在6和7之间. 故选：C ．2.【答案】B.【分析】应先算16)4(2=- , 再将求16的算数平方根即可.3.【答案】 解: 由题意得3a-4+1-6a=0, 解得a=-1则3a-4=-7, 4972==x .答:a 的值是-1,x 的值是49.1. 如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．3B ．8C ．5D ．2.52. 已知x+12平方根是±13，2x+y ﹣6的立方根是2，求3xy 的算术平方根．3. 已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣1的立方根是4，求a+b 的平方根．答案与解析1.【答案】C ．【分析】解答：2＜5＜2.5＜，2与离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．2.【答案】解: 由题意可知: X+12=13,2X+y-6=8,∴ x=1,y=13×y=3×1×12=36. 36的算术平方根为6.3.【答案】∵ 2a﹣1的平方根是±3，∴ 2a﹣1=9，∴ a=5，∵ 3a+b﹣1的立方根是4，∴ 3a+b﹣1=64，∴ b=50，∴ a+b=55，．∴ a+b的平方根是55。

平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。

规定，0的算术平方根为 。

（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。

（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。

3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ .4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？【巩固练习】：1、16的算术平方根是_______，平方根是_______；2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 .6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少？10、已知120a ab -+-=，1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 B.1 C. 32+ D.512、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________13、求下列各式中的x(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=2514、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。

平方根和立方根【知识归纳】1.平方根：（1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。

规定，0的算术平方根为 。

（2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。

（3）两个公式：（a ）2＝ （ ）；=2a 2.立方根：1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ；2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。

3）立方根的性质：（1）()33a ＝ ，（2）33a ＝ . &4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数.5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值.6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根.7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案：甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的错误的解答错在哪里为什么【巩固练习】：1、16的算术平方根是_______，平方根是_______；2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ；3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ；4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ；;5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 .6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值】7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值 8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少10、已知120a ab -+-=，1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998)ab a b a b a b +++++++++求的值*11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 C. 32+12、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则2()a b c +-=______________,2()a b c --=________________13、求下列各式中的x(1)(x-2)2-4=0 (2)(x+3)3 +27=0 (3) 271253+x =0 (4) (2x-1)2=2514、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 110x y --（）的平方根。

实数的三大概念目标一理解算术平方根、平方根、立方根的概念目标二掌握开平方、开立方的计算方法表三表二（2）计算下列各式___=__=__=___=___=___=___=___=__=（3）求下列各数的算术平方根和平方根：练_____= 的平方根为__________= __=___= 2(5)-的算术平方根为_______2=____=______例2 (1)一个非负数的平方根是21a -和5a -，则这个非负数是多少？（2）已知21a -与2a -+是m 的平方根，求m 的值。

练（1）一个正数a 的平方根是34x -与22x -，则这个正数a 是______ （2）已知x 1-与2x 4-+是k 的平方根，求k 的值。

竞赛链接已知,a b是正整数，且满足2是整数，则这样的有序数对(a,b)共有______ 对例3 （1=（2）已知321x y --=，求63x y +的平方根 练若2(x 2y 2)++x y +的算术平方根例4 (1)x 应满足______ 有意义，则x 应满足______有意义，则x 应满足______ x 应满足______(2)已知5y =，求52x y ++的平方根(3)若2y x =+，则2x y +的平方根为______练（1）若2()x y +=x y -的值（2）已知16y x =例5（1）已知2015a a -=，求22015a - 的值（2）已知24242a b a -++=，求a b +的值 练已知54x x -=-拓的算术平方根模块二立方根正方体体积1 27 64 2160.001 25正方体边长根式 概念表示 举例性质立 方 根如果一个数x 的立方根等于a ，即3x a =，那么这个数x 叫做a 的立方根。

记为3x a =。

求一个数的立方根的运算叫开立方。

a 的立方根记为3a ，读作“三次根号a ”，a 是被开方数，3是根指数。

因为3327=，所以3273=正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0. （1）求下列各数的立方根被开方数0 729 8125- 3(3)- 23(2)-226-213-0.1立方根（2）计算下列各式:3_125___=327_____64-=327___-=327___=30.0008__=3512__-=327-的立方根等于 ______ 3310-的立方根等于______33__a = 33__a -=练332__=33(2)__-=364的立方根为______ 38-______364-______38-______例7(1)求一个数的立方根，有些可以直接求，如382=，有些数则不能直接求得，如39，但可以利用计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：n0.008 8 8000 8000000 (3)n0.2220200……….已知3332.16 1.293,21.6 2.785,2166≈≈=，运用你发现的规律，求321600000 =（2__0._36___=___36___= __36_00___=102.0110.1=1______.0201= 1.477 1.215,=14.77 3.843,=0.01477______=练观察下列计算过程，猜想立方根333333311,28,327,464,5125,6216,7343,=======338512,9729==。