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初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型OD ECABAED DOECBABOC ECAEDD图2图 2、手拉手模型 - 旋转型全等D E③OE 平分∠ AED图 2图 1 OABD OAO ②∠ AEB=∠AOB ； 且∠ COD=∠AOB1）等边三角形3）顶角相等的两任意等腰三角形 2）等腰直角三角形图 1图 1C结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；C条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等边三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰直角三角形条件】：△ OAB 和△ OCD 均为等腰三角形 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=60°；③ OE 平分∠ 结论】：①△ OAC ≌△ OBD ；②∠ AEB=90°；③ OE 平分∠、模型二：手拉手模型 -- 旋转型相似（1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△ OCD 旋转至右图的位置 O OD EA A结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA2）特殊情况 条件】：CD ∥ AB ，∠ AOB=90°将△ OCD 旋转至右图的位置 A 结论】：①右图中△ OCD ∽△ OAB →→→△ OAC ∽△ OBD ； ②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠ BEC=∠ BOA ； ③ A BD C O O C D O O A B tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接 AD 、BC ，必有 AD 2 BC 2 AB 2三、模型三、对角互补模型1）全等型 -90 ° 条件】：①∠ AOB=∠ DCE=90°；② OC 平分∠ AOB结论】：① CD=CE ；② OD+OE= 2 OC ；③ S △DCE CD ；⑥S△BCD证明提示： ①作垂直，如图 2，证明△ CDM ≌△ CEN ②过点 C 作 CF ⊥ OC ， 如图 3，证明△ ODC ≌△ FEC ※当∠ DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）： S△OCDS以上三个结论：① CD=CE ；② OE-OD= 2 OC ； ③ S △ OCE S △ OCD2）全等型 -120 °条件】：①∠ AOB=2∠ DCE=120°；② OC 平分∠ AOB32 结论】：① CD=CE ；② OD+OE=O ；C ③ S △DCES △OCDS △OCEOC 2 4证明提示：①可参考“全等型 -90 °”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△ OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型一、手拉手模型—-——旋转型全等（1）等边三角形【条件】:△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】:①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD;②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形OAB C DE图 1OABCD E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OCDEOD E【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型--——旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD; ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA;OAB COABCDEOB CDEOA CD③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC; ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+;⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型—90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE;②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2,证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3,证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时(如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE —OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型—120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE;②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4证明提示:①可参考“全等型—90°”证法一;②如右下图:在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中几何九大模型汇总1. 点（Point）：点是几何中最基本的对象，它没有长度、宽度或高度，只有位置。
点通常用大写字母标记，例如A、B、C等。
2. 线段（Line Segment）：线段是由两个点确定的，它是一条有限长度的直线。
线段通常用两个字母标记，如AB。
线段具有长度和方向。
3. 直线（Line）：直线是无限延伸的线段，它由无数个点组成，没有起点和终点。
直线通常用一条小箭头标记，如AB。
直线上的任意两点可以确定一条直线。
4. 角（Angle）：角是由两条射线共享一个起点而形成的，它是两边之间的夹角。
角可以分为锐角、直角和钝角。
角通常用大写字母标记，如∠ABC。
5. 三角形（Triangle）：三角形是由三条线段组成的一个闭合图形。
三角形的内部有三个顶点和三条边。
三角形可以根据边长和角度分为不同的类型，如等边三角形、等腰三角形等。
6. 四边形（Quadrilateral）：四边形是由四条线段组成的一个闭合图形。
四边形的内部有四个顶点和四条边。
四边形可以根据边长和角度分为不同的类型，如矩形、正方形、菱形等。
7. 五边形（Pentagon）：五边形是由五条线段组成的一个闭合图形。
五边形的内部有五个顶点和五条边。
五边形可以分为凹五边形和凸五边形。
8. 六边形（Hexagon）：六边形是由六条线段组成一个闭合图形。
六边形的内部有六个顶点和六条边。
六边形可以分为凹六边形和凸六边形。
9. 圆形（Circle）：圆形是由一个中心点和一个半径确定的，它由无数个点组成的闭合曲线。
圆形的内部为圆的内部，外部为圆的外部。
通过研究这九大基本模型，我们可以深入了解几何形状的特征和性质。
学生们可通过观察和比较不同形状的特点，理解几何变换、相似性、对称性等概念。
此外，还可以通过实际生活中的例子，将几何知识应用于实际问题中，提高学生的应用能力。
总之，初中几何九大模型是学习几何必不可少的基础，通过对它们的认识和掌握，可以帮助学生更好地理解和应用几何知识。
初三数学几何模型大全
1. 平面图形，包括三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三
角形等）、四边形（矩形、正方形、菱形、梯形等）、多边形（五
边形、六边形等）等。
2. 立体图形，包括立方体、正方体、棱柱（三棱柱、四棱柱）、棱锥（三棱锥、四棱锥）、圆柱、圆锥等。
3. 几何变换，包括平移、旋转、镜像、相似等几何变换的模型。
4. 圆的相关模型，包括圆的性质、圆的面积、圆的周长等相关
模型。
5. 空间几何，包括点、直线、平面、空间中的位置关系、投影
等相关模型。
在初三数学几何模型大全中，以上列举的只是一部分常见的内容。
学生在学习几何模型时，除了掌握这些基本的几何形状和概念外，还需要理解它们的性质、计算方法以及在实际问题中的应用等。
希望以上内容能够帮助到你，如果你有其他问题，欢迎继续提问。
初中数学九大几何模型模型一：手拉手模型----旋转型全等1、等边三角形【条件】△OAB和△OCD均为等边三角形；【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=60°；△ OE平分△AED2、等腰直角三角形【条件】△OAB和△OCD均为等腰直角三角形；【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=90°；△OE平分△AED3、顶角相等的两任意等腰三角形【条件】△OAB和△OCD均为等腰三角形；且△COD=△AOB【结论】△△OAC△△OBD；△△AEB=△AOB；△OE平分△AED模型二：手拉手模型----旋转型相似1、一般情况【条件】 CD△AB ，将△OCD 旋转至右图的位置【结论】 △右图中△OCD△△OAB→→→△OAC△△OBD ；△延长AC 交BD 于点E ，必有△BEC=△BOA2、特殊情况【条件】 CD△AB ，△AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】 △右图中△OCD△△OAB→→→△OAC△△OBD ； △延长AC 交BD 于点E ，必有△BEC =△BOA ； △BD AC=OD OC=OB OA=tan∠OCD ；△BD△AC ；△连接AD 、BC ，必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2 ； △BD AC S ABCD •=21模型三：对角互补模型1、全等型-90°【条件】 △△AOB=△DCE=90°；△OC 平分△AOB【结论】 △CD=CE ；△OD+OE=2OC ；△2ODCE OCD OCE 12S S S OC ∆∆=+= 证明提示：△作垂直，如图2，证明△CDM△△CEN△过点C 作CF△OC ，如图3，证明△ODC△△FEC ※当△DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：△CD=CE ；△OE -OD=2OC ；△2△OCD △OCE OC 21S S =-2、全等型-120°【条件】 △△AOB=2△FCE=120°；△OC 平分△AOB【结论】 △CF=CE ；△OF+OE=OC ；△2OFCE OCF OCE 4S S S ∆∆=+=证明提示：△可参考“全等型-90°”证法一；△如图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CO ACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ；O ABCDE 图 1OABC D E图 2OABCDE 图 1O ABCDE图 2OABCDEOCD E图 1图 2OAB CDO BCDEO BCDEOC D③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）：以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD△OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察。
掌握几何模型能够为考试节省不少时间。
下面是常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型通过翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
C OEOCE OECDOE C初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等D（1）等边三角形OCDEA图 1BA图 2B【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AEDD（2）等腰直角三角形DA图BA图B【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC≌△OBD； OCD②∠AEB=∠AOB；E③OE 平分∠AEDA图 1BA图 2B12 2 ECOEAM CDONEO O二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 D【条件】：CD∥AB， AB将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；D②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠BEA=∠BOAO（2）特殊情况C【条件】：CD∥AB，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置A B【结论】：①右图中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；②延长 AC 交 BD 于点 E ，必有∠BE=∠BOA；③BD = OD AC OC = OBOA=tan∠OCD；④BD⊥AC；⑤连接 AD 、BC ，必有AD 2+ BC 2= AB 2+ CD 2；⑥ S△BCD= 1AC ⨯ BD 2A三、模型三、对角互补模型CD（1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB OE B图 1【结论】：①CD=CE；②OD+OE= OC ；③ S△DCE= S △OCD+ S △OCE= 1OC 2 2证明提示：①作垂直，如图 2，证明△CDM≌△CEN②过点 C 作 CF⊥OC，如图 3，证明△ODC≌△FEC B※当∠DCE 的一边交 AO 的延长线于 D 时（如图 4）：A图 2C以上三个结论：①CD=CE；②OE -OD= OC ；D③ S △OCE - S △OCD= 1OC 2 2OE F B图 3A MCO BN ECDOE BF（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③ S△DCE= S △OCD + S △OCE = 3OC 2 4证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中数学九大几何模型一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90°将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB COACDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OABCDE图 2OABC DEOCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB BC AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CDO BCDEOAB CDEOC DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
1/9初中数学九大几何模型（一）一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED（2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED（3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形；且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 O ABC DE图 1 OABCD E图 2OABC DE图 1OABC DE图 2OABCDEOABCD E图 1图 2OCO C DEO B CDEOA BCD2/9【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB→→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE -OD=2OC ；③2△OCD △OCE OC 21S S =-（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=AOBCDE 图 1A OBCDEM N图 2A O BCDEF 图 3A O BCDEMN 图 43/9证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
（3）全等型-任意角ɑ【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ；【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC·cosɑ；③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③注意OC 平分∠AOB 时，∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导？ 四、模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°---1【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；AOBCEF AOBCEF F A O B E DCAO B ECD A O BC DE4/9【结论】：①EF=DF+BE ；②△CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半； 也可以这样：【条件】：①正方形ABCD ；②EF=DF+BE ；【结论】：①∠EAF=45°； （2）角含半角模型90°---2【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：①EF=DF -BE ；（3）角含半角模型90°---3【条件】：①Rt △ABC ；②∠DAE=45°；【结论】：222DE CE BD =+（如图1）若∠DAE 旋转到△ABC 外部时，结论222DE CE BD =+仍然成立（如图2）（4）角含半角模型90°变形【条件】：①正方形ABCD ；②∠EAF=45°；【结论】：△AHE 为等腰直角三角形；证明：连接AC （方法不唯一） ∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE ，又∵∠ACB=∠ADB=45°； ∴△DAH ∽△CAE ，∴AEACAH DA =AB DE F AB DEFG ABC D E FAB CD E FABCDEFAB C D EAB CD E FABC DEA B C DE FABCDGHFEABCD GHFE5/9∴△AHE ∽△ADC ，∴△AHE 为等腰直角三角形 模型五：倍长中线类模型 （1）倍长中线类模型---1【条件】：①矩形ABCD ；②BD=BE ；③DF=EF ； 【结论】：AF ⊥CF模型提取：①有平行线AD ∥BE ；②平行线间线段有中点DF=EF ； 可以构造“8”字全等△ADF ≌△HEF 。
（2）倍长中线类模型---2【条件】：①平行四边形ABCD ；②BC=2AB ；③AM=DM ；④CE ⊥AB ； 【结论】：∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB ∥CD ，有中点AM=DM ，延长EM ，构造△AME ≌△DMF ，连接CM 构造 等腰△EMC ，等腰△MCF 。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化） 模型六：相似三角形360°旋转模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---倍长中线法【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ；【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF辅助线：延长DF 到点G ，使FG=DF ，连接CG 、BG 、BD ，证明△BDG 为等腰直角三角形；突破点：△ABD ≌△CBG ； 难点：证明∠BAO=∠BCG（2）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型---补全法 ABCEF DH ABEFDHAB C DME AB CDME FC DFCGAEBD FCABDFCG【条件】：①△ADE 、△ABC 均为等腰直角三角形；②EF=CF ； 【结论】：①DF=BF ；②DF ⊥BF 辅助线：构造等腰直角△AEG 、△AHC ； 辅助线思路：将DF 与BF 转化到CG 与EF 。
（3）任意相似直角三角形360°旋转模型---补全法【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ； 【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长BA 到G ，使AG=AB ，延长CD 到点H 使DH=CD ，补全△OGB 、△OCH 构造旋转模型。
转化AE 与DE 到CG 与BH ，难点在转化∠AED 。
（4）任意相似直角三角形360°旋转模型---倍长法【条件】：①△OAB ∽△ODC ；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE ； 【结论】：①AE=DE ；②∠AED=2∠ABO辅助线：延长DE 至M ，使，将结论的两个条件转化为证明△AMD ∽△ABO ，此为难点，将△AMD ∽△ABC 继续转化为证明△ABM ∽△AOD ，使用两边成比例且夹角相等，此处难点在证明∠ABM=∠AOD 模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（将饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到：“两点之间，线段最短：解决； 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定O ABDC EOABDC EG HOABDCEl 2AA'BlAl 1l 27/9（2）最短路程模型二（点到直线类1）【条件】：①OC 平分∠AOB ；②M 为OB 上一定点；③P 为OC 上一动点；④Q 为OB 上一动点；【问题】：求MP+PQ 最小时，P 、Q 的位置？辅助线：将作Q 关于OC 对称点Q’，转化PQ’=PQ ，过点M 作MH ⊥OA ，则MP+PQ=MP+PQ’≥MH(垂线段最短） （3）最短路程模型二（点到直线类2） 【条件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n ）【问题】：n 为何值时，PA 55PB +最小？ 求解方法：①x 轴上取C(2,0),使sin ∠OAC=55；②过B 作BD ⊥AC ，交y轴于点E ，即为所求；③tan ∠EBO=tan ∠OAC=21，即E （0，1） （4【条件】：①线段OA=4，OB=2；【问题】：AB【结论】：以点O 为圆心，OB “三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
最大值：OA+OB ；最小值：OA-OB【条件】：①线段OA=4，OB=2；②以点O 为圆心，OB ，OC 为半径作圆； ③点P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；【结论】：若PA 的最大值为10，则OC= 6 ；若PA 的最小值为1，则OC=3 ； APOQ MBQ'HPAOA最小值位置最大值位置8/9若PA 的最小值为2，则PC 的取值范围是 0<PC<2 【条件】：①Rt △OBC ，∠OBC=30°；②OC=2；③OA=1；④点P 为BC 上动点（可与端点重合）； ⑤△OBC 绕点O 旋转【结论】：PA 最大值为OA+OB=321+；PA 的最小值为13OA OB 21-==如下图，圆的最小半径为O 到BC 垂线段长。
模型八：二倍角模型【条件】：在△ABC辅助线：以BC A 的对称点A’，连接AA’、BA’、CA’、则BA=AA’=CA’(注意这个结论）此种辅助线作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之一，不是唯一作法。
模型九：相似三角形模型 （1）相似三角形模型--基本型 平行类：DE ∥BC ；A 字型 8字型 A 字型 结论：BCDEAC AE AB AD ==(注意对应边要对应）（2）相似三角形模型---斜交型 【条件】：如右图，∠AED=∠ACB=90°；BCABCABCA'ADEAD EB C AD EB CAB CDEABCDE斜交型斜交型9/9【结论】：AE×AB=AC×AD【条件】：如右图，∠ACE=∠ABC ； 【结论】：AC2=AE×AB第四个图还存在射影定理：AE×EC=BC×AC ；BC2=BE×BA ；CE2=AE×BE ；（3）相似三角形模型---一线三等角型 【条件】：（1）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°； （2）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；（3）图：∠ABC=∠ACE=∠CDE=45°； 【结论】：①△ABC ∽△CDE ；②AB×DE=BC×CD ；一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系。
