初中数学九大几何模型-初中几何九大模型-初中九大几何模型
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初中数学九大几何模型
一、手拉手模型----旋转型全等
(1)等边三角形
【条件】:△OAB 和△OCD 均为等边三角形;
【结论】:①△OAC ≌△OBD ;②∠AEB=60°;③OE 平分∠AED
(2)等腰直角三角形
【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形;
O
A
B C D
E
图 1
O
A
B
C
D E
图 2
O
A
B
C
D
E
图 1
O
A
C
D
E
图 2
【结论】:①△OAC ≌△OBD ;②∠AEB=90°;③OE 平分∠AED
(3)顶角相等的两任意等腰三角形
O
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D E
图 1
图 2
【条件】:△OAB 和△OCD 均为等腰三角形; 且∠COD=∠AOB
【结论】:①△OAC ≌△OBD ; ②∠AEB=∠AOB ; ③OE 平分∠AED
二、模型二:手拉手模型----旋转型相似 (1)一般情况
【条件】:CD ∥AB , 将△OCD 旋转至右图的位置
【结论】:①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ; ②延长AC 交BD 于点E ,必有∠BEC=∠
BOA (2)特殊情况
【条件】:CD ∥AB ,∠AOB=90
° 将△OCD 旋转至右图的位置
【结论】:①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ; ②延长AC 交BD 于点E ,必有∠BEC=∠BOA ;
O
B C
D
O
B
C
D
E
O
B C
D
E
O
A B
C
D
③
===OA
OB
OC OD AC BD tan ∠OCD ;④BD ⊥AC ; ⑤连接AD 、BC ,必有22
22CD AB BC AD +=+;⑥BD AC 21
S △BCD ⨯=
三、模型三、对角互补模型 (1)全等型-90°
【条件】:①∠AOB=∠DCE=90°;②OC 平分∠AOB
【结论】:①CD=CE ;②OD+OE=2OC ;③2△OCE △OCD △DCE OC 2
1
S S S =+= 证明提示:
①作垂直,如图2,证明△CDM ≌△CEN
②过点C 作CF ⊥OC ,如图3,证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时(如图4): 以上三个结论:①CD=CE ;②OE-OD=2OC ;
③2△OCD △OCE OC 21
S S =-
(2)全等型-120°
【条件】:①∠AOB=2∠DCE=120°;②OC 平分∠AOB
A
O
B
C
D
E 图 1
A O
B
C
D
E
M N
图 2
A O
B
C
D
E
F
图 3
A O B
C
D
E
M
N 图 4
【结论】:①CD=CE ;②OD+OE=OC ;③2△OCE △OCD △DCE OC 4
3
S S S =
+=
证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一;
②如右下图:在OB 上取一点F ,使OF=OC ,证明△OCF 为等边三角形。
(3)全等型-任意角ɑ
【条件】:①∠AOB=2ɑ,∠DCE=180-2ɑ;②CD=CE ;
【结论】:①OC 平分∠AOB ;②OD+OE=2OC ·cos ɑ; ③αcos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ⋅⋅=+=
※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时(如右下图):
原结论变成:① ; ② ; ③ 。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
A
O
B
C
E
F
A
O
B
C
E
F
F A
O
B
E
D
C
A
C
对角互补模型总结:
①常见初始条件:四边形对角互补,注意两点:四点共圆有直角三角形斜边中线;
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别;
③注意OC 平分∠AOB 时,
∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB 如何引导?
四、模型四:角含半角模型90° (1)角含半角模型90°---1
【条件】:①正方形ABCD ;②∠EAF=45°;
【结论】:①EF=DF+BE ;②△CEF 的周长为正方形ABCD 周长的一半; 也可以这样:
【条件】:①正方形ABCD ;②EF=DF+BE ;
【结论】:①∠EAF=45°;
A
O B
C
D
E A
D
F A
D
F