2011年其他高校自主招生模拟试卷(数学)

2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试数学注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z 满足|z|<1且15|z+|2z=，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 12解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2z =整理得22221174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |=12=（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A13 B 16 C 18 D 112解析：设2AB =,容易算出2PB =,以底面中心为原点建立空间坐标系，1111(1,1,0),(1,1,0),(,,(,,222222D A M N ------，由1cos 6|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu ruuuu r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）A 2B 1C 1-D 2-解析：32221(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-（4）若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A.312-， B.1322，C.11D.112， 解析：2222211cos cos cos cos ()1cos(2)323A B A A A ππ+=+-=++，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ） A cos sin02αβ+= B sin cos02αβ-=C sin 2sin 0βα+=D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。

2011年普通高校单独招生模拟考试试卷数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填充题.解答题）．两卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共48分）注意事项：将第Ⅰ卷每小题的答案序号写在答题纸上一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．已知集合}0,{a M =，{}2,1=N ，若Φ≠N M ，则a 等于 （ ） A..1 B. 2 C. 1或2 D. 1或2.5 2．已知复数iiz 21-=，则|z |=（ ） A ．55B ． 35C ．25 D ．5 3．已知命题50:〈〈x p ， 52:<-x q ,那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数在指区间内为单调减函数的是 （ ）A. x y 5.0log = ),0(+∞∈xB. y x=１－ )0,(-∞∈xC. xy 2= ),(+∞-∞∈x D. 32+=x y ),(+∞-∞∈x5．若甲、乙中靶概率分别为21,P P ，则甲、乙两人独立打靶，目标被击中的概率为（ ） A. 21P P + B. 21P P ⋅ C. 211P P ⋅- D. )1()1(121P P -⋅--6．已知向量)2,0(),4,3(==b a ，则a 和b夹角的余弦值为（ ）A .54 B. 53 C. 54- D. 53- 7. 若ααcos 2sin =，则α2tan 的值为 （ ）A.34-B. 54C. 4-D. 32-8．设函数)1,0)((log )(≠〉+=a a b x x f a 的图像过点（2,1），其反函数的图像过点（2,8），则b a +=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 9．8)1(xx -的展开式中5x 的系数为（ ）A ．56B ．-56C ．28D ．-28510．设椭圆14922=+y x 的焦点21,F F ，直线l 过点1F ，且与椭圆相交于B A ,两点， 则2ABF ∆的周长为 （ ）A ． 6 B. 9 C. 12 D. 13 11．1cos sin 22=+ααy x 表示双曲线，则α所在的象限是 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第二或第四象限D. 第三或第四象限 12．设随机变量的概率分布为 则ξ的数学期望的最小值是（ ） A ． 0 B ．21C ．2D ．随p 的变化而变化 Ⅰ卷的答题纸第Ⅱ卷（共102分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中的横线上） 13．若函数))(1(a x x y -+=为偶函数，则=a14．函数x x x x x f cos sin 2sin cos )(22+-=的最大值是 .15．若直线043=++k y x 与圆4)3(22=+-y x 相切，则k 的值是 ． 16．函数2322-+-=x x y 的单调递增区间是____ ______．17. 圆柱的一个底面积是s ，侧面展开图是一个正方形，则该圆柱的侧面积是____ _____18．ABC 的两个顶点A,C 是2212516x y +=的左，右焦点，点B 在椭圆上，则sin sin sin A CB+_____ ．三、解答题：（本大题共7题，共78分）19．（本题满分8分）已知函数)6(log )(22++-=x x x f ， （1）求函数的定义域；（2）解不等式02)(≤-x f ．20．（本题满分10分）已知ABC ∆是锐角三角形，c b a ,,分别是内角C B A ,,所对边长，并且B B B A 22sin )3sin()3sin(sin +-⋅+=ππ.（1）求角A 的值； （2）若32sin sin =C B ，72=a ，求c b ,.21．（本题满分10分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为80004852+-=x x y ，已知此生产线年产量最大为210吨。

2011届六中自主招生数学试题一．选择题：（本题满分48分）1．下列因式分解中，结果正确的是：（ ）A .2322()x y y y x y -=- B.424(2)(x x x x -=++C ．211(1)x x x x x--=-- D .21(2)(1)(3)a a a --=--2．把(1a - ） ABC .D .3.用大小和形状相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（ ）A ．22个B ．19个C ．16个D ．13个（主视图） （俯视图） （5题图） （7题图） 4．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A .直线y x =-上 B .抛物线2y x = C .直线y ＝x 上。

D .双曲线1y x=上 5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ,∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ,则∠CDE ＝（ ） A .20° B .10° C .30° D .15°6．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片都平均剪成三段，然后将上、中、下三段分别混合洗匀。

从三堆图片中随机地各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率是（ ） A .31B .32 C .271 D .91 7．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°到△ABF ，连接EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）.A AE AF ⊥ B.:EF AF = C .2AF FH FE =• D .::FB FC HB EC =8. △ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形ADFE 的面积为（ ） A .22 B .24 C .36 D .449.若一直角三角形斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比为（） A .2rc rπ+ B .rc rπ+ C .2rc rπ+ D .22r c r π+10. 已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像上，有三个点（－1，y 1）、(1，y 2)、(3，y 3)， 若y 1＝ y 3，则（ ）A . y 2＞c ＞y 1 B . y 2＜c ＜y 1 C . c ＞y 1 ＞y 2 D . c ＜y 1 ＜y 2H F E D C B A E DC B A11.2008年4月15日武汉机场第二航站楼正式投入运营，预计全年旅客吞吐量达1300万人次，成为华中第一大机场，下面两图反映了近几年武汉机场旅客吞吐量及各航空公司所占吞吐量的比例。

第十八讲 2011年自主招生数学试卷1.设*n N ∈，15n ≥. 集合A 、B 都是{}1,2,,I n =⋅⋅⋅的真子集，A B =∅，A B I =.证明：集合A 或B 中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数.2.设()2(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两个根是1x 和2x ，且10x >，211x x a->，又10t x <<.试比较()f t 与1x 的大小.3.求函数(){}2max 1,5f x x x =+-的最小值，并求出相应的x 的值.4.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b R ∈，有()()()f ab af b bf a =+.(1)求()0f ，()1f 的值；(2)判定函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()22f =，()2n n f u n -=()*n N ∈，求数列{}n u 的前n 项和n S .F E D CB A 5.已知关于x 的方程()()22211ax a x +=-，1a >. 证明方程的正根比1小，负根比1-大.6.设a ，b 是两个正数，且a b <. 当[],x a b ∈时，246y x x =-+的最小值为a ，最大值为b ，求a ，b 值.7.某生产队想筑一面积为1442m 的长方形围栏，围栏一边靠墙. 现有铁丝网50m ，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？8.在正方形ABCD 中，过一个顶点D 作对角线CA 的平行线DE ，若CE CA =，且CE 交边DA 于点F . 求证：AE AF =.9.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长比为3:1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n S n n N n ∈均在函数32y x =-的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=⋅，n T 数列{}n b 的前n 项和，求最小正整数m ，使得20n m T <对所有*n N ∈都成立.11.已知函数()24f x x =-+，12()()()n n S f f f n n n=++⋅⋅⋅+， 1,2,n =⋅⋅⋅. 若不等式11n n n n a a S S ++<恒成立，求实数a 的取值范围.。

《2011年武汉外国语学校数学招生试题(模拟一)答案》摘要：2011年武汉外国语学校数学招生试题，\o\ac(○,2)：0=0+0+0，3=2+1+0，4=2+2+0，5=2+2+1 此情况只出现1次平局，的最小值为1+2+3+4=10，此时S=11，的最大值为6+7+8+9=30，此时S=15，一共5种可能填法2011年武汉外国语学校数学招生试题（模拟一参考答案）计算【考点】复杂的四则混合运算——细心【答案】（1）、4；（2）、183（3）、（4）、2、【考点】找规律——常考题型【简析】由图可知，每两层，白球比黑球多2个，因此，把两层看做一个周期白球比黑球多2003颗，，所以此情况在第1002个周期内发生，即层又在1002周期内，白珠比黑珠多1，即在第2004层得倒数第二列；由等差数列，第2004层有白珠，倒数第二列为4006列。

【答案】2004,40063、【考点】涉及分数的简单应用题【简析】设去年参加兴趣小组的有a人，则今年有人；去年有女生人，今年有女生所以今年参加的女生比去年多了【答案】50%4、【考点】周期问题【简析】不妨设正方形边长为3米，甲的速度为1米/秒，则乙的速度为5米/秒，由图可知，甲乙相聚六次一个轮回，因此周期为6转化为周期问题：，整除，即2010次相遇在AB上。

【答案】 AB5、【考点】工程问题【简析】第一种情况：甲乙丙的顺序，若干个轮次最后一天甲做；乙丙甲的顺序，若干个轮次乙做一天，丙做半天；丙甲乙的顺序，若干个轮次丙做一天，甲做天。

甲每天做，所以三人若干个轮次做。

而甲天能做，所以丙每天做。

又丙半天可以做，所以乙的效率是。

这样三人一轮次共做，若干轮次共做，不是整数天，不符合题意。

第二种情况：甲乙丙的顺序，若干个轮次最后甲乙各做一天；乙丙甲的顺序，若干个轮次乙丙做一天，甲做半天；丙甲乙的顺序，若干个轮次丙甲做一天，乙做天从前两种情况中得出丙相当于甲做半天，即丙效率为。

从第一和第三两种情况中得出，丙一天，乙做天，所以乙效率为。

2011年漳州一中高中自主招生考试数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！ 答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分）1.下列运算正确的是…………………………………………………………（ ） A. B. C. D.2.如图，点在数轴上表示的实数为，则等于…………………（ ）A. B. C. D.3.甲、乙两名运动员在次的百米跑练习中，平均成绩分别为秒，秒，方差分别为S ，S ，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的是……………………………（ ）A.甲运动员B.乙运动员C.甲、乙两人一样稳定D.无法确定4.如图，、、、是直线上顺次四点，、分别是、的中点，且cm ，cm ，则的长等于……………………（ ）A.cmB.cmC.cmD.cm5.已知等腰三角形的一个外角等于，则这个三角形的三个内角的度数分别是……………………………………………………………………………（ ） A.、、 B.、、 C.、、 D.、、或、、 6.如图，点在函数的图象上，过点 A 作垂直轴，垂足为，过点作垂直轴，垂足为，则矩形的面积是……（ ） A. B.C. D.不能确定7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为………………（ ） A.个 B.个C.个D.个8.用半径为、圆心角为的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.cm B.cm C.cm D.cm 9.若为整数，则能使也为整数的的个数有……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知为实数，则代数式的最小值为………………（ ）． A –1 0 1 2 3 ． ． ． ．． （第2题图） A M B C NDl． ． ． ． ． ． （第4题图）（正视图） （俯视图） （第7题图）12.分解因式：．13.把个边长为的正方形排成如右图所示的 图形，则这个图形的周长是 ． 14.如图，正方形的边长为cm ，正方形 的边长为cm ．如果正方形绕点旋转，那么 、两点之间的最小距离为cm ．15.若规定：①表示大于的最小整数，例如：，；②表示不大于的最大整数，例如：，.则使等式成立的整数．．． 16.如图，、分别是的点，与相交于点，与相交于 点，若△APD ，△BQC ， 则阴影部分的面积为 ．三、解答题（本大题共有7小题，共86分．其中第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，第21题14分，第22、23题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上） 17.计算：.18.先化简，再求值：÷ ，其中.19.将背面相同，正面分别标有数字、、、的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排人，则还剩人；若每处安排人，则有一处的人数不足人，但不少于人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数. EABCDG F（第14题图）（第16题图）21.如图，四边形是正方形，点是的中点，是边上不同于点、的点，若，求证:.22.如图，抛物线的顶点坐标是，且经过点.(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点（点在点的左边），试求点、、的坐标；(3)设点是轴上的任意一点，分别连结、．试判断：与的大小关系，并说明理由.(第21题图)N(第22题图)23.如图，是⊙O 的直径，过点作⊙O 的切线，点在右半圆上移动点与点、不重合），过点作⊥，垂足为；点在射线 上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持∥. (1)若、的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在⊙O 上？ 若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；(2)连结交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论．2011年浙江省象山中学提前招生数学试题一、选择题(每小题5分，共30分)1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )． A 、1 B 、9/4 C 、4 D 、36/253、已知：，x 2+3x 为( )A 、1B 、-3和1C 、3D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( ) A 、最小值12 B 、最大值12 C 、．最小值25 D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样 二、填空(：每小题5分，共30分、}1、姚明在一次“N BA”常规赛中，22投144中得28分，除了3个3分球全中外，他还投中了一个两分球和个罚球。

2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1．设复数z满足|z|<1且15||2zz+=则|z| =（）A．45B．34C．23D．12【答案】D【解析】由15||2zz+=得25||1||2z z+=，已经转化为一个实数的方程．解得|z| ＝2（舍去），12．2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为P A、PB．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（）A．13B．16C．18D．112【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．解法一：如图1，设底面边长为2．如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0），则1111(,(,2222M N-，312132(,,),(,,)222222DM AN =-=-．设所成的角为θ，则1cos 6DM AN DM ANθ==．3．已知1223+--=x x x y ，过点（－1, 1）的直线l 与该函数图象相切，且（－1, 1）不是切点，则直线l 的斜率为 （ ） A ．2B ．1C ．-1D ．-2【答案】C【解析】显然（－1, 1）在1223+--=x x x y 的图象上．设切点为)12,(020300+--x x x x ， 2232--='x x y ，所以223020--=x x k ．另一方面，)1(1)12(002030---+--=x x x x k )2(00-=x x 223020--=x x ．所以x 0＝1,所以1-=k ．选C ． 4．若222cos cos 3A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 （ ） A ．321-，32B ．12 ，32C ．321-，321+D ．12 ，221+【答案】B【解析】首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个． 解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2A B A B A B =++-=--，可见答案是B【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔO O 1 O 2边O 1 O 2上一点C ，OO 1、OO 2延长线上分别一点A 、B ，使得O 1A =O 1C ，O 2B =O 2C ． 解法一：连接12O O ，C 在12O O 上，则1221OO O OO O πα∠+∠=-，111212O AC O CA OO O ∠=∠=∠，222112O BC O CB OO O ∠=∠=∠，故1212211()22O CA O CB OO O OO O πα-∠+∠=∠+∠=， 12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos 2αβ=． 解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则12212OO O OO O πα-∠=∠=，1212124O CA O CB OO O πα-∠=∠=∠=，12()2O CA O CB παβπ+=-∠+∠=，sin cos2αβ=．6．已知异面直线a ，b 成60°角．A 为空间一点则过A 与a ，b 都成45°角的平面 （ ） A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个【答案】D【解析】已知平面过A ，再知道它的方向，就可以确定该平面了．因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a ，b 为相交直线也没关系．于是原题简化为：已知两条相交直线a ，b 成60°角，求空间中过交点与a ，b 都成45°角的直线．答案是4个． 7．已知向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=则222x y z ++的最小值为（ ） A ．1B ．43C ．32D ．2【答案】B【解析】由(1,1)xa yb zc ++=得1)111222y z y z y z y z x x ⎧⎧+=-=⎪⎪⎪⎪⎨⎨+⎪⎪--=-=⎪⎪⎩⎩， 由于222222()()2y z y z x y z x ++-++=+，可以用换元法的思想，看成关于x ，y + z ，y －z三个变量，变形2(1)y z y z x ⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩，代入222222()()2y z y z x y z x ++-++=+222228242(1)343()3333x x x x x =+-+=-+=-+，答案B 8．AB 为过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠=，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 （ ） A．B．5C．3D．3【答案】A【解析】解法一：焦点F （1，0），C （－1，0），AB 方程y ＝ x – 1，与抛物线方程y 2 ＝ 4x联立，解得A B (3+2+ (3-2- ，，于是22CA CB k k ==，tan 1CA CB CA CBk k ACB k k -∠==+ A 解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中，∠BAD ＝ 45°，EF ∥DA ，EF ＝ 2，AF ＝ AD ，BF ＝ BC ，求∠AEB ．tan tan 2DE GF AEF EAD AD AF ∠=∠===．类似的，有tan tan BEF EBC ∠=∠=2AEB AEF BEF AEF ∠=∠+∠=∠，tan tan 2AEB AEF ∠=∠= A【答案】DA ．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B ．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C ．存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D ．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 【答案】D【解析】我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形．如图，假设ΔABC 是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF （不妨设在AC 的另一边）的（其中的边EF 有可能与AC 重合）的∠D 一定是钝角．事实上，∠D ≥ ∠ADC ，而四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠ADC ＝ 180°－∠B ，所以∠D 为钝角．这样就排除了B ，C ．下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形．假设ΔABC 中∠B 是钝角，在AC 的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC 的另一侧的相邻（指有FEDBCA DBCA公共边AC ） ΔACD ，则∠D ＝ 180°－∠B 是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形．所以答案是D ． 二、解答题解：（I ）tan tan tan tan()tan tan 1A BC A B A B +=-+=-，整理得tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++（II ）由已知3tan tan tan tan A C A B C =++，与（I ）比较知tan 33B B π=，=．又11222sin 2sin 2sin 23sin 3A C B π+===，sin 2sin 2sin 2sin 23A C A C +=sin()cos()cos 2()cos 2()3A C A C A C A C +-=--+而3sin()sin 2A C B +==，1cos 2()cos 22A C B +==-，代入得2cos 2()13cos()A C A C -+=-，24cos ()3cos()10A C A C ----=，1cos()14A C -=-，，6cos 12A C -=，12．已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）．质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． （I ）若b ＝ 3a ，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （II ）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？ 解：不妨设水杯高为1．（I ）这时，水杯质量：水的质量=2 ：3．水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）为12，水的重心位置为14，所以装入半杯水的水杯的重心位置为11237242320+=+（II）当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上．设装x克水．这时，水杯质量：水的质量＝a：x．水杯的重心位置为12，水的重心位置为2xb，水面位置为xb，于是122xa x xba x b+=+，解得x a=-13．已知函数21()(1)1()2xf x f fax b===+2，，3．令111()2n nx x f x+==，．（I）求数列{}nx的通项公式；（II ）证明12112nx x xe+>．解：由12(1)1()1()21xf f a b f xx=====+2，得，3（I）方法一：先求出123412482359x x x x====，，，，猜想11221nn nx--=+．用数学归纳法证明．当n = 1显然成立；假设n = k成立，即11221kk kx--=+，则122()121kkk k kkxx f xx+===++，得证．方法二：121+=+nnn xxx取倒数后整理得)11(21111-=-+nnxx，所以)11()21(1111-=--xxnn所以12111+=-nx（II）方法一：证明12112nex x x+>．事实上，12111112(1)(1)(1)242nnx x x+=+++．我们注意到2212(1)12(1)nna a a a+<++<+，，，（贝努利（Bernoulli）不等式的一般形式：nxx n+≥+1)1(，x),1(+∞-∈）于是122121212111112(1)2(1)2(1)2222n n nn n nnex x x-+++-+<+=+<+<方法二：原不等式en<+++⇔)211()211)(211(21)]211()211)(211ln[(2<+++⇔n1)211ln()211ln()211ln(2<++++++⇔n构造函数)0()1ln()(>-+=x xx x g01111)(<+-=-+='xxx x g ，所以0)0()(=<g x g 所以)0()1ln(><+x x x令n x 21=则n n 21)211ln(<+ 1211212121)211ln()211ln()211ln(22<-=+++<++++++n n n14．已知双曲线221222:1(0,0),,x y C a b F F a b -=>>分别为C 的左右焦点．P 为C右支上一点，且使21212=,3F PF F PF π∠∆又的面积为．（I ）求C 的离心率e ；（II ）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得22QF A QAF λ∠=∠恒成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：（I ）如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔP F 1 F 2中，21212=3F PF F PF π∠∆，的面积为，E 为PF 1上一点，PE ＝ PF 2，E F 1 ＝2a ，F 1 F 2 ＝ 2c ，求ca．设PE =PF 2=EF 2=x ，F F 2x ，1221211(222F PF S PF FF x a ∆==+=， 224120x ax a +-=，2x a =．ΔE F 1F 2为等腰三角形，1223EF F π∠=，于是2c =，ce a==． （II ） 21=λ此解法可能有误15．将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以p n 表示未出现连续3次正面的概率． （I ）求p 1，p 2，p 3，p 4；（II ）探究数列{ p n }的递推公式，并给出证明；（III ）讨论数列{ p n }的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．解析：（I ）显然p 1＝p 2＝1，878113=-=p ；又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：正正正正或正正正反或反正正正，故161316314=-=p ．（II ）共分三种情况：①如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面的概率121-⨯n P ；②如果第n 次出现正面，第n －1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －2次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是241-⨯n P ；③如果第n 次出现正面，第n －1次出现正面，第n －2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n －3次不出现连续三次正面是相同的，所以这个时候不出现连续三次正面的概率是381-⨯n P ．综上，=n P +⨯-121n P +⨯-241n P 381-⨯n P ．（4≥n ），④ （III ）由（II ）知=-1n P +⨯-221n P +⨯-341n P 481-⨯n P ，（5≥n ）⑤，④－12×⑤，有=n P --1n P 4161-⨯n P （5≥n ） 所以5≥n 时，p n 的单调递减，又易见p 1＝p 2＞p 3＞p 4＞…．3≥n 时，p n 的单调递减，且显然有下界0，所以p n 的极限存在．对=n P --1n P 4161-⨯n P 两边同时取极限可得0lim =-∞→n n p ．其统计意义：当投掷的次数足够多时，不出现连续三次正面向上的次数非常少，两者比值趋近于零．。

2011年提前招生考试数学模拟试题参考答案部分答案提示：2．第一分钟老师与一位学生通话，可通知到一位学生；第二分钟第一位学生与另一位学生通话，这时老师也可与第三位学生通话，可知又能通知到两位学生；以此类推，可知第三分钟可通知到四位学生，第四分钟可通知到八位学生，第五分钟可通知到十六位学生，第六分钟可通知到三十二位学生，故最少用六分钟就可通知到所有的学生。

3．设23x x y+=，则原方程可化为32yy-=，解得31y y=-=或.当3y=-时，方程233x x+=-无实数解，故舍去；当1y=时，方程231x x+=有解.因此，选A.4.由题意可知，可分为两种情况：|x y|1||0x y⋅=⎧⎨+=⎩或|x y|0||1x y⋅=⎧⎨+=⎩.(1)当|x y|1||0x y⋅=⎧⎨+=⎩成立时，又可分为x y1x y⋅=⎧⎨+=⎩①和x y1x y⋅=-⎧⎨+=⎩②，易知方程组①无解，方程组②的解为x11y=⎧⎨=-⎩,x11y=-⎧⎨=⎩；(2)当|x y|0||1x y⋅=⎧⎨+=⎩成立时，又可分为x y01x y⋅=⎧⎨+=⎩③和x y01x y⋅=⎧⎨+=-⎩④，易得每个方程组都有两个解.综上所述，共有六个解，故选B.5．如图1，过点A作AE⊥BC于E点，设AB=m，则，进而，易知∠ABE=45°，所以.图1因此，tan ADB ∠=12m AECE==. 6．当点P 为AD 的中点时，则∠BPC=90°；当AP ＝998，则PD ＝1001，由△AB P 和△DC P 都为等腰三角形，可推知∠B PC ＝90°，注意到以BC 为直径的圆与AD 至多有两个交点，可知所求点的个数为2。

7．利用二次函数图象的对称性进行分析.易知此抛物线的对称轴为直线x=-1，而当x=m 时，函数值y 1<0，由图象可知|m|<2，故m+2>0，因此当x= m+2时，函数值y 2>0. 8．解法一：如图2，过点分别作OM ⊥AC 于M 点，作ON ⊥BA 于N 点，则四边形AMON 为矩形，可知AM=ON ，AN=OM.由∠BAC=∠BOC=90°，可知A 、B 、C 、O 四点共圆，所以∠NAO=∠OCB=45°，又∵AO =22，∴AN=ON=2，即AM=ON=AN=OM=2，∴BN=6.又可证△BON ≌△COM ，∴CM=BN=6，∴AC=8.故选B解法二：由解法一可知，A 、B 、C 、O 四点共圆，由托勒密定理，得 AO ·BC+AB ·OC=AC ·BO ，其中，AB =4，AO =22，∴22·OC= AC ·OC ，化简得，AC=8.10a=0，b=c=1，∴101a +1001b +10001c =11002.11．由题意可知，Δ=a 2-4b ，将b=a+97代入得，Δ=a 2-4(a+97)= a 2-4a-388= (a-2)2-392，已知方程有正整数解，∴Δ必为完全平方数，经检验当a-2取最小值21时，满足题意，故a=23.12．如图3，连结IB 、IA ’，则IB=IA ’，又∵I 和A ’关于BC 对称，∴IB=A ’B ，∴IB=IA ’= A ’B ，∴△BIA ’为等边三角形，故∠BIA ’=60°，∴∠IBC=30°，进而可得∠ABC=60°. 14．当n=2时，有序分斥个数为1，即21-1；当n=3时，有序分斥个数为3，即22-1；当n=4时，有序分斥个数为7，即23-1；当n=5时，有序分斥个数为15，即24-1；由此可得，当n=2011时，有序分斥个数为22010-1. 15.解：(1)共有18个三位数.理由是：百位上的数有三种可能，十位上的数有三种可能，个位上的数有两种可能，因此3×3×2=18(个). ……………（3分）注：若是画树状图或列表，正确的，也得分.个位数是“0”的三位数有：120，130，210，230，310，320. …………（9分）(2)末两位数字恰好是“01”三位数有两个：201,301，所以三位数中末两位数字恰好是“01”的概率为21189=.…………（12分）16．证明：（1）如图，分别作AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足为D 、E ， 再作AM ⊥BE 于M 点，则∠ADE=∠DEM=∠AME=90° ∴四边形ADEM 为矩形. …………………（3分） ∴AM=DE ，AD=ME.∴BM=b-a.∵AB=a+b ，∴22222()()4.AM AB BM a b b a ab =-=+--= 即，24d ab =. …………………（7分） (2)正确结论是②.…………………（8分）理由是：由(1)可知，DE =设⊙C 与直线l 相切的切点为F ，同理可得，DF =FE =10分）∴=.两边同除以b a c 111+=，得证.…………………（12分）17．解： (1)当x=2时，得4≤4a+2b+c ≤4，故4a+2b+c=4. ……………（4分） (2)把点(-1,1)的坐标代入二次函数解析式，得a-b+c=1.由4a+2b+c=4，a-b+c=1，可得a=1-b ，c =2b ，代入已知关系式，得(1-b)x 2+bx+c ≤2x 2-4x+4，化简得 (1+b)x 2-(4+b)x+4-2b ≥0，由于此式恒成立， 故Δ=(4+b)2-4(1+b) (4-2b) ≤0，即9b 2≤0，所以b=0，进而a=1，c=0， 因此抛物线的解析式为y=x 2. …………………（9分）(3)由(2)可知，点M 的坐标为(x,x 2)，∴=12分）∴当x 2=32，即x=2±时，MB有最小值，且最小值为2.…………………（14分）DEM。

xy AC BO 2011年温州中学自主招生数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1.若1<a <3，则2|3|12a a a -+-+=A ．2a －4B ．4－2aC ．2D ．a －4 2.方程222xx x的实数解的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3.如图，抛物线2y x ax b =++交 x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点， ∠OBC ＝30°，则下列各式成立的是A ．3310b a +-=B ．3310a b -=C ．3310b a ++=D ．3310a b ++= 4.已知0<⋅n m 且1101m n n m ->->>++，那么n ，m ，1n ，1n m+的大小关系是 A ．11m n n n m <<+< B ．11m n n m n <+<< C ．11n m n m n +<<< D ．11m n n m n<+<<5.如图，已知等边三角形的一条边长和与它一边相切的圆的周长相等， 当这个圆按箭头方向从某一位置沿该三角形做无滑动旋转，直至回到 出发位置时，该圆自转了n 圈，则n ＝A ．2B ．3C ．4D ．56.已知实数x y ，满足85x x-=，4225y y +=，则44y x +的值为 A ．421 B ．1414 C ．4114 D ．2147.如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE ∥BC ．已知AE ＝22，AC ＝32，BC ＝6， 则⊙O 的半径是A ．3B ．4C ．4 3D ．2 38.在数学活动课上，小明做了一个梯形纸模板，测得其一底边长为40cm ，高为8cm ，两腰22A B长分别为10cm 和17cm ，那么该梯形纸模板的面积不可能．．．是 A ．404cm 2 B ．365cm 2 C ．284cm 2 D ．236cm 29.对于正整数n ，符号n !＝1×2×3×…×n ，例如：3！＝1×2×3＝6，5！＝1×2×3×4×5＝120，如果20！＝2432902008y 7664x 000，那么x －y ＝A ．－1B ．1C ．－2D ．2 10.把数字1，2，3，… ，9分别填入右图的9个圈内， 要求∆ABC 和∆DEF 的每条边上三个圈内数之和等于18， 共有n 种不同填法，则n ＝A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题卷的相应位置．11.已知25x =-+3241x x x +-+= ▲ ．12.如图，等腰直角△ABC 的腰长为2．将△ABC 绕C 点逆时针旋转90︒，则线段AB 扫过的面积是 ▲ ． 13.若x =（1＋3）（1＋32）（1＋34）（1＋38）…（1＋3256），则x ＋3的个位数字是 ▲ ． 14.定义一种新的运算“F”：①当n 为奇数时结果为3n ＋5，②当n 为偶数时结果为2kn（其中k 是使2k n为正奇数），反复运算。

2011年龙海市高中自主招生试卷数学试卷（满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,请将正确的代号填写在答题卷中相应的括号内,答对得4分,答错、不答或答案超过一个的得零分）1．计算：x ⋅2.(-x)3 （ ）A. x 6B. - x 6C. x 5D. - x 52.已知：3a-b=0(b ≠0).则代数式b a b a 3263-+的值是 （ ） A. 23B. 5C. - 3D. 31 3. 若x ⋅2+2x+y 2-6y+10=0,则x y 等于 （ ）A. 1B. -1C. 3D. -34．下列图形中能够说明∠1﹥∠2的是 （ ）A. B. C. D.5．设2=x ，3=y,用含x 、y 的式子表示54.0，则下列表示正确的是（ ）A. 0.1 x y 2B. 0.1 x y 3C. 3 x yD. 0.3 x y6．若关于x 的方程x ⋅2+（2m - 4）x+m-1=0的两个实数根互为相反数，则 m 为（ ）A. ±2B. 2C. -2D. 17.二次函数+=2ax y bx+c 的图象如图1所示，则下列 结论正确的是 （ ）A. a+b+c ＞0B. a+b+c ＜0C. a+b+c ≥0D. a+b+c=08. 如图2,直线L 上有三个正方形a 、b 、c ，若a ，c 的面积分别为3和7，则b 的面积为（ ）9．正方形ABCD 的边长是2cm,以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的侧面积为（ ）A. 8π cm 2B. 4πcm 2C. 4 cm 2D. 16πcm 210.将一个大的矩形用剪刀裁成四个全等的小矩形，然后再将其中的一个小矩形裁成四个全等的小矩形，如此循环下去，如果现在要得到31个矩形，则要剪裁次数为 （ ）A. 8次B. 9次C. 10次D. 11次二、填空题(本大题共有8小题，每小题4分，共32分.请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上)11.在函数中，自变量xx y -=1x 的取值范围是______________ 12. 已知方格纸中是4个相同的正方形如图3所示，则∠1+∠2+∠3=_______13.将一张长为25cm 的矩形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图4的形状，若折叠后，AB 与CD 的距离为22cm ，则原纸片的宽AB 是_______ cm14. 如图5,A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠ABC=40°，则∠OAC 的度数为_____2x-3y=a-115．已知关于x 、y 的方程组 ｛ 的解x 、y 都是正数，则a 的x+2y=a取值范围是______________16．将两块三角板如图6放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°， AB=DE=6，则重叠部分四边形DBCF 的面积为________________17. 如图7, ∠AOB=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=6，E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则△PEF 的周长的最小值为_______________18.平面直角坐标系上有一点在（0，0），（2，0），（2，3），（0，3）所围成的矩形内随机运动，它的横坐标小于纵坐标的概率等于___________三、解答题(本大题共有8小题，共78分.其中第19、20题各6分, 第21、22题各8分,第23、24和25题各12分,第26题14分.请将解答过程写在答题卷的相应的位置上)19．计算： 01)12(12122118--++÷--20．先化简，再请你选择一个你喜欢的数值代入并求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x21．在科技馆里，小明看见一台名为帕斯卡三角的仪器，如图所示，当一实心小球从入口落下，它在依次碰到每层菱形挡块时，会等可能地向左或向右落下。