高考湖北理科数学试题及答案word解析版

绝密★启用前2024年湖北省高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∨−5<x3<5}，B={−3,−1,0,2,3}，则A∩B=¿( )A. {−1,0}B. {2,3}C. {−3,−1,0}D. {−1,0,2}2.若zz−1=1+i，则z=¿( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量⃗a=(0,1)，⃗b=(2,x)，若b⃗⊥(b⃗−4a⃗)，则x=¿( )A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m，t a nαt a nβ=2，则cos(α−β)=¿( )A. −3mB. −m3C.m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√3，则圆锥的体积为( )A. 2√3πB. 3√3πC. 6√3πD. 9√3π6.已知函数为f(x)={−x2−2a x−a,x<0,e x+ln(x+1),x≥0在R上单调递增，则a取值的范围是( )A. ¿B. [−1,0]C. [−1,1]D. ¿7.当x∈[0,2π]时，曲线y=si nx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为( )A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x−1)+f (x −2)，且当x <3时，f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是( )A. f (10)>100B. f (20)>1000C. f (10)<1000D. f (20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。

一、选择题1、在复平面内，复数z2i （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【分析与答案】 z2i 1i ， z 1 i 。

应选 D 【有关知识点】复数的运算1 i1x2、已知全集为 R ，会合 Ax1 ，Bx | x 2 6x 8 0 ，则AI C R B （）2A. A. x | x 0B. x 2 x 4B.C.x | 0 x 2或 x 4D. x | 0 x2或 x 4【分析与答案】 A0,， B 2,4 ，AI C R B 0,2 U 4,。

应选 C【有关知识点】不等式的求解，会合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲下降在指定范围” ， q 是“乙下降在指定范围” ，则命题“起码有一位学员没有下降在指定范围”可表示为（ ）A.p q B. p qC.p q D. p q【分析与答案】“ 起码有一位学员没有下降在指定范围” 即：“ 甲或乙没有下降在指定范围内” 。

应选 A 。

【有关知识点】命题及逻辑连结词4、将函数 y3 cosx sin x x R 的图像向左平移 m m0 个长度单位后， 所获得的图像对于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ）A.B.C.56D.1236【分析与答案】 y 2cos x的图像向左平移 m m 0 个长度单位后变为6y 2cosxm ，因此 m 的最小值是 。

应选 B 。

【有关知识点】三角函数图象及其变换 6 6x 2 y 2 y 2x 25、已知 04 ，则双曲线 C 1 : cos 2sin 21与C2:sin 2sin 2tan 21的（ ）A. 实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等C 1 的离心率是 e 11【分析与答案】双曲线 ，双曲线 C 2 的离心率是cose 2sin 2 1 tan 21sin，应选 D 【有关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形cosuuur uuur6、已知点 A 1,1 、B 1,2 、C 2, 1 、 D3,4 ，则向量 AB 在 CD 方向上的投影为（）3 2 3 15 3 2 3 15 A.B.C.2D.222uuuruuuruuur uuur 15 3 2 【分析与答案】5,5 ，ABgCDAB2,1 ， CDuuur5 22 ，应选 A 。

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程26130x x ++=的一个根是 A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：★解析：根据复数求根公式：6x 322i -==-±，所以方程的一个根为32i -+ 答案为A.2．命题“0x ∃∈R Q ð，30x ∈Q ”的否定是A ．0x ∃∉R Q ð，30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ð，30x ∉QC ．x ∀∉R Q ð，3x ∈QD ．x ∀∈R Q ð，3x ∉Q考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度：★解析：D3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x A ．2π5B ．43 C ．32D ．π2考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：★解析：根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几俯视图侧视图正视图第4题图何体的体积为 A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 5．设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = A ．0B ．1C ．11D ．12考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D. 6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++A ．14B ．13C ．12D ．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 难易度：★★解析：由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x c b a z y x c b a z c y b x a 所以，答案选C.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函 数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算. 难易度：★解析：等比数列性质，212++=n n n a a a ，①()()()()122212222++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；②()()()12221222222+++=≠==+++n a a a a an n a f a f a f n n n n n ；③()()()122122++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；④()()()()122122ln ln ln ++++=≠=n n n n n n a f a a a a f a f .选C8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法. 难易度：★解析：令1=OA ，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A ．1- B. 1 C. i - D. i2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D.423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存有集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,”是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件4.根据如下样本数据x 3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0,0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0）， （1,2,1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和② 6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==其中为区间]1,1[-上的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x 确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式h L V 2361≈.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么,近似公式h L V 2752≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.355113 9.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.3B.3C.3D.2 10.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)32(21)(222a a x a x x f --+-=.若R x ∈∀,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为 A ．[61,61-] B ．[66,66-] C ．[31,31-] D ．[33,33-] 二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.12.直线1l ：y=x+a 和2l ：y=x+b 将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相对应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.第13题图14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点))(,()),(,(b f b a f a -的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（Ⅰ）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （Ⅱ）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB .16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分11分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h ）的变化近似满足函数关系：（Ⅰ）求实验室这个天的最大温差； （Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存有正整数n ，使得80060+>n S n ?若存有，求n 的最小值；若不存有，说明理由.19.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在棱1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .（Ⅰ）当1=λ时，证明：直线1BC ∥平面EFPQ ;（Ⅱ）是否存有λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存有，求出λ的值；若不存有，说明理由.20.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入．．流量．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相对应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. （Ⅰ）求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1. 记点M 的轨迹为C.（Ⅰ）求轨迹为C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -.求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相对应取值范围.22.（本小题满分14分）π为圆周率，e=2.718 28…为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数xxx f ln )(=的单调区间； （Ⅱ）求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.（Ⅲ）将e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.C7.D8.B9.A 10.B 二、填空题11.3± 12.2 13.49514.(Ⅰ)x ； (Ⅱ)x （或填(Ⅰ)x k 1 ； (Ⅱ)x k 2，其中21,k k 为正常数均可） 15.4 16.)1,3( 三、解答题17. （Ⅰ）因为)12sin 2112cos 23(210)(t t t f ππ+-==)312sin(210ππ+-t ， 由0≤t ＜24，所以373123ππππ<+≤t ，1)312sin(1≤+≤-ππt . 当t=2时，1)312sin(=+ππt ；当t=14时，1)312sin(-=+ππt . 于是f(t)在[0，24）上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这个天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃. （Ⅱ）依题意，当f(t)＞11时，实验室需要降温.由（Ⅰ）得)312sin(210)(ππ+-=t t f ，故有)312sin(210ππ+-t ＞11， 即)312sin(ππ+t ＜21-. 又0≤t ＜24，所以61131267ππππ<+<t ，即10＜t ＜18. 在10时至18时实验室需要降温.18. （Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存有正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存有正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存有满足题意的n ；当42n a n =-时，存有满足题意的n ，其最小值为41.19. 几何方法（Ⅰ）证明：如图1，连接AD 1，由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ=1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1 所以BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ, 且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ.（Ⅱ）如图2，连接BD. 因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF=21BD. 又DP=BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ=BD ， 从而EF ∥PQ ，且EF=21PQ. 在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ=DP=λ，BE=DF=1， 于是EQ=FP=21λ+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形.分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO=O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存有λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH=90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF=MN ，知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH=ME=2. 在△GOH 中，GH 2=4，OH 2=21)22(1222+=-+λλ, OG 2=21)2()22()2(1222+-=--+λλ, 由OG 2+OH 2=GH 2，得42121222=+++-λλ）（，解得221±=λ， 故存有221±=λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.向量方法：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间 直角坐标系D —xyz. 由已知得B(2，2，0)，C 1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)1BC =(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)（Ⅰ）证明：当λ=1时，FP =(-1，0，1)，因为1BC =(-2，0，2)，所以1BC =2FP ，即BC 1∥FP. 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ. （Ⅱ）设平面EFPQ 的一个法向量为n=(x ，y ，z)，则由⎩⎨⎧=⋅=⋅,0,0n n FE 可得⎩⎨⎧=+-=+.0,0z x y x λ于是可取n=(λ，-λ，1).同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m=(λ-2，2-λ，1)若存有λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0，即λ(λ-2)- λ(2-λ)+1=0， 解得221±=λ. 故存有221±=λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 20. （Ⅰ）依题意，2.05010)8040(1==<<=X P p ,7.05035)12080(2==≤≤=X P p , 1.0505)120(3==>=X P p . 由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：9477.0)101()109(4)109()1()1(3433144304=⨯⨯+=-+-=p C p C p .（Ⅱ）记水电站年总利润为Y （单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.因为水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000. （2）安装2台发电机的情形.依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200， 所以P(Y=4200)=P(40＜X ＜80)=p 1=0.2；当X ≥80时，两台发电机运行， 此时Y=5000×2=10000，所以P(Y=10000)=P(X ≥80)=p 2+p 3=0.8； 由此得Y 的分布列如下所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. （3）安装3台发电机的情形.依题意，当40＜X ＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，所以 P(Y=15000)=P(X ＞120)=p 3=0.1，由此得Y 的分布列如下综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.21.（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.22.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，πππ333<<<ee，33e e <.又有（Ⅱ）知，ee ln ln <ππ，得ππe e <. 故只需比较3e 与e π和πe 与3π的大小. 由（Ⅰ）知，当0＜x ＜e 时，e e f x f 1)()(=<，即e x x 1ln <. 在上式中，令π2e x =，又e e <π2，则ππee <2ln，从而ππe<-ln 2，即得ππe->2ln .①由①得，3024.3)88.02(7.2)1.372.22(7.2)2(ln >=-⨯>-⨯>->ππee e ， 即e ㏑π＞3,亦即3ln ln e e>π，所以ee π<3. 又由①得，πππ>->->e e636ln 3，即3㏑π＞π，所以3ππ<e .综上可得，ππππ3333<<<<<e e e e，即6个数从小到大的顺序为ππππ3333，，，，，e e e e .。

高考数学试卷(理科) 答案普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是 A 3+2i B 3+2i C 2 + 3i D 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C.103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖北卷，解析版）本试题卷共4页，三大题21小题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 为虚数单位，则=⎪⎭⎫⎝⎛-+201111i iA.i -B.1-C.iD.1【答案】A解析：因为()i i i i i =-+=-+221111，所以i i i i i i -====⎪⎭⎫⎝⎛-++⨯3350242011201111，故选A.2.已知{}1,log 2>==x x y y U ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>==2,1x x y y P ，则=P C U A. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 C.()+∞,0 D. ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∞-,210, 【答案】A解析：由已知()+∞=,0U .⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,0P ，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞=,21P C U ,故选A.3.已知函数()x x x f cos sin 3-=，R x ∈，若()1≥x f ，则x 的取值范围为A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,3ππππ B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,232ππππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,656ππππ D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ 【答案】B解析：由条件1cos sin 3≥-x x 得216sin ≥⎪⎭⎫⎝⎛-πx ，则 652662πππππ+≤-≤+k x k ，解得ππππ+≤≤+k x k 232，Z k ∈，所以选B. 4.将两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则A. 0=nB. 1=nC. 2=nD. 3≥n 【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个 顶点一定关于x 轴对称，且过焦点的两条直线 倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形 的个数记为n ，2=n ，所以选C.5.已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则()=<<20ξPA. 6.0B. 4.0C. 3.0D. 2.0 【答案】C 解析：如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线2=x 对称，所以()5.02=<ξP ，并且()()4220<<=<<ξξP P则()()()2420<-<=<<ξξξP P P3.05.08.0=-=所以选C.6.已知定义在R 上的奇函数()x f 和偶函数()x g 满足()()2+-=+-xxaa x g x f()1,0≠>a a 且，若()a g =2，则()=2fA. 2B. 415C. 417 D. 2a 【答案】B解析：由条件()()22222+-=+-aa g f ，()()22222+-=-+--a a g f ，即()()22222+-=+--a a g f ，由此解得()22=g ，()222--=a a f ，所以2=a ，()41522222=-=-f ，所以选B. 7.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0B. 864.0C. 720.0D. 576.0 【答案】B解析：21AA 、至少有一个正常工作的概率为()()211A P A P -()()94.004.018.018.011=-=-⨯--=，系统正常工作概率为()()()()864.096.09.0121=⨯=-A P A P K P ，所以选B.8.已知向量a ()3,z x +=，b ()z y -=,2，且a ⊥b .若y x ,满足不等式1≤+y x ，则z 的取值范围为A. []2,2-B. []3,2-C. []2,3-D. []3,3- 【答案】D解析：因为a ⊥b ，()()032=-++z y z x ， 则y x z 32+=，y x ,满足不等式1≤+y x ，则点()y x ,的可行域如图所示,当y x z 32+=经过点()1,0A 时，y x z 32+=当y x z 32+=经过点()1,0-C 时，y x z 32+=取得最小值-3 所以选D.9.若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则称a 与b 互补，记()b a b a b a --+=22,ϕ，那么()0,=b a ϕ是a 与b 互补A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件 【答案】C解析：若实数b a ,满足0,0≥≥b a ，且0=ab ，则a 与b 至少有一个为0，不妨设0=b ，则K A 1A 2()0,2=-=-=a a a a b a ϕ；反之，若()0,22=--+=b a b a b a ϕ，022≥+=+b a b a两边平方得ab b a b a 22222++=+0=⇔ab ，则a 与b 互补，故选C.10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002t M t M -=，其中0M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率．．．是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M A. 5太贝克 B. 2ln 75太贝克 C. 2ln 150太贝克 D. 150太贝克 【答案】D解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600tt M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11.在1831⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中含15x 的项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】17【解析】二项式展开式的通项公式为rr r r x x C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3118181rr r r x C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--31211818，令2152118=⇒=--r r r ，含15x 的项的系数为17312218=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ，故填17.12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示） 【答案】14528 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B ，则A 与B 是对立事件，因为()291513272302527⨯⨯==C C B P ，所以()()145282915132711=⨯⨯-=-=B P A P ，所以填14528. 12.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.【答案】6667 解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意⎩⎨⎧=++=+++439874321a a a a a a a ，即⎩⎨⎧=+=+421336411d a d a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+6673471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填6667. 14.如图，直角坐标系xOy 所在的平面为α，直角坐标系//Oy x （其中/y 轴与y 轴重合）所在的平面为β，0/45=∠xOx .（Ⅰ）已知平面β内有一点()2,22/P ，则点/P 在平面α内的射影P 的坐标为 ； （Ⅱ）已知平面β内的曲线/C 的方程是()02222/2/=-+-y x，则曲线/C 在平面α内的射影C 的方程是 .【答案】()2,2,()1122=+-y x解析：（Ⅰ）设点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()y x ,，则点P 的纵坐标和()2,22/P 纵坐标相同，所以2=y ，过点/P 作Oy H P ⊥/，垂足为H ，连结PH ，则0/45=∠HP P ，P 横坐标0/45cos H P PH x ==2222245cos 0/=⨯==x ， 所以点/P 在平面α内的射影P 的坐标为()2,2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得2245cos /0/⨯==x x x ，y y =/，所以⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x //2代入曲线/C 的方程()02222/2/=-+-y x，得()⇒=-+-0222222y x ()1122=+-y x ，所以射影C的方程填()1122=+-y x .15.给n 个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当4≤n 时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：由此推断，当6=n 时，黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有 种.（结果用数值表示） 【答案】43,21解析：设n 个正方形时黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案数为n a ，由图可知， 21=a ，32=a ， 213325a a a +=+==， 324538a a a +=+==，由此推断1365435=+=+=a a a ，21138546=+=+=a a a ，故黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有6422222226==⨯⨯⨯⨯⨯种方法，由于黑色正方形互不相邻．．．．着色方案共有21种，所以至少有两个黑色正方形相邻．．着色方案共有432164=-种着色方案，故分别填43,21. 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长； （Ⅱ）求()C A -cos 的值.本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力n=1n=2 n=3 n=4解析：（Ⅰ）∵441441cos 2222=⨯-+=-+=C ab b a c ∴2=c∴ABC ∆的周长为5221=++=++c b a .（Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=C C ，∴8152415sin sin ===cCa A ∵c a <，∴C A <,故A 为锐角，∴878151sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=A A ∴()C A -cos C A C A sin sin cos cos +=16114158154187=⨯+⨯=. 17．（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 18．（本小题满分12分） 如图，已知正三棱柱111C B A ABC -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当1=CF 时，求证C A EF 1⊥；（Ⅱ）设二面角E AF C --的大小为θ，θtan 的最小值． 本题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础 知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力. 解析：ABCEA 1C 1B 119.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.20. （本小题满分14分）平面内与两定点1(,0)A a -，2(,0)A a (0)a >连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上1A 、2A 两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值得关系；（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的(1,0)(0,)m U ∈-+∞，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。

高考数学试卷(理科) 答案普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是 A 3+2i B 3+2i C 2 + 3i D 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C.103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1)【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数(为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）(A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D)第四象限【答案】D【解析】，则，其对应点位于第四象限，故选D．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为，集合，，则（）(A）(B) （C) （D）【答案】C【解析】∵，，∴，故选C．（3)【2013年湖北，理3,5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为（）（A)∨(B）∨（C)∧（D）∨【答案】A【解析】因为p是“甲降落在指定范围"，q是“乙降落在指定范围”，则是“没有降落在指定范围”，是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为∨，故选A．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）(A）（B) （C) (D）【答案】B【解析】因为可化为，将它向左平移个单位得，其图像关于轴对称，故选B．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知,则双曲线：与：的（）(A）实轴长相等(B）虚轴长相等（C）焦距相等（D）离心率相等【答案】D【解析】对于双曲线，有，．对于双曲线，有，．即这两双曲线的离心率相等，故选D．（6）【2013年湖北,理6,5分】已知点、、、，则向量在方向上的投影为（)（A）(B）(C)(D）【答案】A【解析】，,则在方向上的射影为,故选A．(7）【2013年湖北,理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度(的单位：，的单位:m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m）是（）(A）（B）（C）(D）【答案】C【解析】令=0,解得或（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为，故选C．（8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为,，，,上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（)(A）(B）（C）(D）【答案】C【解析】显然,所以B不正确．又，,，，从而，故选C．（9）【2013年湖北，理9，5分】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为，则的均值（）(A）（B）（C）(D）【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为,则它的涂漆面数为的均值,故选B．(10）【2013年湖北，理10，5分】已知为常数，函数有两个极值点，，则（）（A），(B),（C），（D)，【答案】D【解析】，由由两个极值点，得有两个不等的实数解，即有两个实数解，从而直线与曲线有两个交点．过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为．切点在切线上,则，又切点在曲线上,则,即切点为,切线方程为．再由直线与曲线有两个交点，知直线位于两直线和之间，如图所示，其斜率满足:,解得．则这函数的两个极点满足，所以，而，即，所以,故选D．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．答．．．．．．．的位置上错位置，书写不清，模棱两可均不得分．(一）必考题（11-14题）(11)【2013年湖北，理11,5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示（1）直方图中的值为_________；（2）在这些用户中,用电量落在区间内的户数为．【答案】（1）0.0044 （2)70【解析】（1)．（2）用电量落在区间内的户数为．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序，输出的结果．【答案】5【解析】已知初始值，∵，则执行程序,得；因为,则执行程序，得；,则第三次执行程序，得;∵，则第四次执行程序，得；∵,执行输出，．（13）【2013年湖北，理13,5分】设，且满足：,,则．【答案】【解析】由柯西不等式得当且仅当时等号成立，此时,．∵，，∴,,．∴．(14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，，第个三角形数为．记第个边形数为，以下列出了部分k边形数中第个数的表达式:三角形数,正方形数,五边形数，六边形数,…………可以推测的表达式，由此计算________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含项的系数为首项是，公差是的等差数列,含项的系数为首项是,公差是的等差数列，因此．故．(一)选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】(选修4—1：几何证明选讲）如图，圆上一点在直径上的射影为,点在半径上的射影为．若，则的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知，,∴，即，在中，，在中，，即，∴．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数，)．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线与圆的极坐标方程分别为（m为非零常数）与．若直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则椭圆的离心率为．【答案】【解析】椭圆的方程可以化为,圆的方程可化为,直线的方程可化为，因为直线经过椭圆的焦点，且与圆相切，则,，，所以椭圆的离心率．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17,11分】在△中，角，,对应的边分别是，,．已知．(1）求角A的大小；（2）若△的面积，，求的值．解:（1)由，得，即，解得或(舍因为，所以．（2）由得．又，知．由余弦定理故．又由正弦定理得．（18）【2013年湖北,理18，12分】已知等比数列满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设等比数列的公比为q，则由已知可得，解得，或．故,或．（2)若,则，故是首项为，公比为的等比数列，从而．若,则，故是首项为，公比为的等比数列,从而，故．综上，对任何正整数，总有．故不存在正整数，使得成立．（19)【2013年湖北，理19,12分】如图,是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面,，分别是，的中点．（1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆的另一个交点为，且点Q满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．解:（1）直线∥平面,证明如下：连接，因为，分别是，的中点，所以∥．又平面，且平面，所以∥平面．而平面,且平面平面，所以∥．因为平面,平面，所以直线∥平面．(2)解法一：（综合法）如图，连接,由(1）可知交线即为直线，且∥．因为是的直径,所以，于是．已知平面，而平面，所以．而，所以平面．连接，，因为平面，所以．故就是二面角的平面角，即．由，作∥，且．连接，，因为是的中点,，所以，从而四边形是平行四边形，∥．连接，因为平面，所以是在平面内的射影,故就是直线与平面所成的角,即．又平面，有，知为锐角，故为异面直线与所成的角，即,于是在△，△，△中，分别可得，，，从而，即．解法二：（向量法)如图,由，作∥，且．连接,，，，，由（1）可知交线即为直线．以点为原点,向量所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，设，则有，．于是,，，所以，从而．又取平面的一个法向量为,可得,设平面的一个法向量为，所以由，可得．取．于是,从而．故，即．（20）【2013年湖北，理20,12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数是服从正态分布的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为．(1）求的值；（参考数据：若~，有，）；(2）某客运公司用、两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次．、两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求型车不多于型车7辆．若每天要以不小于的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备型车、型车各多少辆?解：（1)由于随机变量服从正态分布，故有，，．由正态分布的对称性，得．（2)设型、型车辆的数量分别为辆，则相应的营运成本为．依题意, 还需满足:．由（1）知，，故等价于．于是问题等价于求满足约束条件，且使目标函数达到最小的．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为．由图可知，当直线经过可行域的点P时，直线在y轴上截距最小,即z取得最小值．故应配备型车5辆、型车12辆．（21）【2013年湖北,理21，14分】如图,已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C，D．记，△和△的面积分别为和．（1）当直线与轴重合时,若，求的值；（2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．解：依题意可设椭圆和的方程分别为:，：．其中，（1）解法一：如图，若直线与轴重合，即直线的方程为,则,，所以．在C1和C2的方程中分别令,可得，，，于是．若，则，化简得．由,可解得．故当直线与轴重合时,若，则．解法二：如图，若直线与轴重合，则,;，．所以．若，则,化简得．由，可解得．故当直线与轴重合时,若，则．(2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l,使得．根据对称性，不妨设直线:，点，到直线的距离分别为，,则因为,,所以．又，，所以,即．由对称性可知,所以，，于是．①将的方程分别与C1，C2的方程联立,可求得，．根据对称性可知，，于是．②从而由①和②式可得．③令，则由,可得，于是由③可解得．因为,所以．于是③式关于有解,当且仅当,等价于．由，可解得,即，由,解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l,使得；当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得．解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l,使得．根据对称性,不妨设直线：,点，到直线的距离分别为，，则,,所以．又,，所以．因为，所以．由点，分别在C1,C2上，可得，，两式相减可得，依题意，所以．所以由上式解得．因为，所以由，可解得．从而，解得，所以当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得（22）【2013年湖北，理22，14分】设是正整数，为正有理数．(1）求函数的最小值；（2）证明：；（3）设，记为不小于．．．的最小整数，例如，，．令,求的值．（参考数据：，,,）解：（1）因为，令，解得．当时，，所以在内是减函数；当时，，所以在内是增函数．故函数在处取得最小值．（2）由(1），当时，有,，且等号当且仅当时成立，故当且时,．①在①中,令(且），．上式两边同乘，得，即②当时，在①中令（这时且），类似可得③且当时，③也成立．综合②，③得．④(3）在④中,令,分别取值81,82，83，…，125，得，，,………．将以上各式相加，并整理得．代入数据计算,可得，．由的定义，得．。

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程26130x x ++=的一个根是A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i + 考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根. 难易度：★解析：根据复数求根公式：6x 322i -==-±，所以方程的一个根为32i -+ 答案为A.2．命题“0x ∃∈R Q ð，30x ∈Q ”的否定是A ．0x ∃∉R Q ð，30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ð，30x ∉QC ．x ∀∉R Q ð，3x ∈QD ．x ∀∈R Q ð，3x ∉Q考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度：★解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。

3．已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与xA ．2π5B ．43C ．32D ．π2考点分析：本题考察利用定积分求面积. 难易度：★解析：根据图像可得： 2()1y f x x ==-+，再由定积分的几何意义，可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．8π3B ．3π俯视图侧视图正视图C ．10π3D ．6π考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.5．设a ∈Z ，且013a ≤<，若201251a +能被13整除，则a = A ．0B ．1C ．11D ．12考点分析：本题考察二项展开式的系数. 难易度：★ 解析：由于51=52-1，152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a ，0≤a<13,所以a=12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且22210a b c ++=，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z++=++A ．14B ．13C ．12D ．34考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度：★★解析：由于222222)())((2cz by ax z y x c b a ++≥++++等号成立当且仅当,t zcy b x a ===则a=t x b=t y c=t z ，10)(2222=++z y x t 所以由题知2/1=t ,又2/1,==++++++++===t zy x cb a z y xc b a z c y b x a 所以，答案选C.7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x = ④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质，212++=n n n a a a ，①()()()()122212222++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；②()()()12221222222+++=≠==+++n a a a a an n a f a f a f n n n n n ；③()()()122122++++===n n n n n n a f a a a a f a f ；④()()()()122122ln ln ln ++++=≠=n n n n n n a f a a a a f a f .选C8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令1=OA ，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2013年湖北，理1，5分】在复平面内，复数2i1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D【解析】2ii(1i)1i 1iz ==-=++，则1i z =-，其对应点()1,1Z -位于第四象限，故选D ．（2）【2013年湖北，理2，5分】已知全集为R ，集合1{()1}2x A x =≤，2{680}B x x x =-+≤，则A B =R ð（ ）（A ）{0}x x ≤ （B ）{24}x x ≤≤ （C ）{024}x x x ≤<>或 （D ）{024}x x x <≤≥或 【答案】C【解析】∵26802,4x x x x -+>⇔<>，1102xx ⎛⎫≤⇔≥ ⎪⎝⎭，∴A B =R ð{024}x x x ≤<>或，故选C ．（3）【2013年湖北，理3，5分】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） （A ）()p ⌝∨()q ⌝ （B ）p ∨()q ⌝ （C ）()p ⌝∧()q ⌝ （D ）p ∨q【答案】A【解析】因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙 没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝，故选A ．（4）【2013年湖北，理4，5分】将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）（A ）π12 （B ）π6 （C ）π3 （D ）5π6【答案】B【解析】因为sin ()y x x x +∈R 可化为()2cos()6y x x R π=-∈，将它向左平移6π个单位得2cos ()2cos 66y x x ππ⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦，其图像关于y 轴对称，故选B ．（5）【2013年湖北，理5，5分】已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221cos sin x y θθ-=与2C ：222221sin sin tan y x θθθ-=的 （ ）（A ）实轴长相等 （B ）虚轴长相等 （C ）焦距相等 （D ）离心率相等 【答案】D【解析】对于双曲线1C ，有1sin cos 222=+=θθc ，θcos 1==a c e ． 对于双曲线2C ，有θθθθθ222222tan sec sin )tan 1(sin =⋅=+=c ，θθθcos 1sin tan ===a c e ．即这两双曲线的离心率相等，故选D ．（6）【2013年湖北，理6，5分】已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）（A （B （C ）（D ）【答案】A【解析】2,1AB =（），5,5CD =（），则AB 在CD 方向上的射影为cos AB CD AB CD θ⋅==故选A ．（7）【2013年湖北，理7，5分】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t =-++（t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）行驶至停止． 在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）（A ）125ln5+ （B ）11825ln 3+ （C ）425ln5+ （D ）450ln 2+【答案】C【解析】令25()731v t t t =-++=0，解得4t =或83t =-（不合题意，舍去），即汽车经过4秒中后停止，在此期间汽车继续行驶的距离为4442000253()d (73)d 725ln(1)425ln 512v t t t t t t t t ⎛⎫=-+==-++=+ ⎪+⎝⎭⎰⎰，故选C ． （8）【2013年湖北，理8，5分】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）（A ）1243V V V V <<< （B ）1324V V V V <<<（C ）2134V V V V <<< （D ）2314V V V V <<< 【答案】C【解析】显然23V V <，所以B 不正确． 又2217(2121)33V ππ=++⨯=，22122V ππ=⋅⋅=，3328V ==，224128(4242)33V =++⨯=，从而2134V V V V <<<，故选C ． （9）【2013年湖北，理9，5分】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值 ()E X =（ ）（A ）126125 （B ）65（C ）168125 （D ）75【答案】B【解析】125个同样大小的小正方体的面数共有125×6=750，涂了油漆的面数有25×6=150．每一个小正方体的一个面涂漆的频率为15017505=，则它的涂漆面数为X 的均值()E X =16655⨯=，故选B ． （10）【2013年湖北，理10，5分】已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）（A ）1()0f x >，21()2f x >- （B ）1()0f x <，21()2f x <-（C ）1()0f x >，21()2f x <- （D ）1()0f x <，21()2f x >-【答案】D【解析】'()ln 12f x x ax =+-，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得'()0f x =有两个不等的实数解，即ln 21x ax =-有两个实数解，从而直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点． 过点()0,1-作ln y x =的切线，设切点为()00,x y ，则切线的斜率01k x =，切线方程为011y x x =-．切点在切线上，则00010x y x =-=，又切点在曲线ln y x =上，则00ln 01x x =⇒=，即切点为()1,0，切线方程为1y x =-． 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，如图所示，其斜率2a 满足：021a <<，解得102a <<． 则这函数的两个极点12,x x 满足1201x x <<<，所以12()(1)()f x f f x <<，而1(1)(,0)2f a =-∈-，即12()()f x a f x <-<，所以121()0,()2f x f x <>-，故选D ． 二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2013年湖北，理11，5分】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示（1）直方图中x 的 值为_________；（2）在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数 为 ． 【答案】（1）0.0044 （2）70【解析】（1）1[150(0.00600.003620.00240.0012)]0.004450x =-++⨯+=．（2）用电量落在区间[100,250)内的户数为(0.00360.00600.0044)5010070++⨯⨯=．（12）【2013年湖北，理12，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = ． 【答案】5 【解析】已知初始值10,1a i ==，∵104a =≠，则执行程序，得5,2a i ==；因为54a =≠，则执行程序，得16,3a i ==；164a =≠，则第三次执行程序，得8,4a i ==；∵84a =≠，则第四次执行程序，得4,5a i ==；∵4a =，执行输出i ，5i =．（13）【2013年湖北，理13，5分】设,,x y z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=则x y z ++= ．【解析】由柯西不等式得2222222()()1(23)32x y z x y z ≥＋＋＋＋＋＋当且仅当1x y z==时等号成立，此时2y x =，3z x =．∵2221x y z ＋＋=，23x y z =++∴x =，y =，z =∴x y z ++= （14）【2013年湖北，理14，5分】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数1，3，6，10，，第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+． 记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式：三角形数 211(,3)22N n n n =+，正方形数 2(,4)N n n =，五边形数231(,5)22N n n n =-，六边形数 2(,6)2N n nn =-，…………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =________．【答案】1000【解析】由题中数据可猜想：含2n 项的系数为首项是12，公差是12的等差数列，含n 项的系数为首项是12，公差是12-的等差数列，因此22111124()33222222N n k k k k n k n n n ⎡⎤--⎡⎤⎛⎫=+(-)++(-)-=+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，． 故()2210,241110111010101000N n n =-=⨯-⨯=．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【2013年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CEEO的值为_______．【答案】8【解析】根据题设，易知3OC AO DO ==，Rt Rt Rt ODE DCE OCD ∆∆∆∽∽，∴31OD CD OC OE DE OD ===，即39CO OD OE ==，在Rt ODE ∆中，22222298DE DO OE OE OE OE =-=-=，在Rt CDE ∆中，2222229864C E C D D E D E D E D E O E =-=-==，即2264CE EO =，∴8CE EO=．（16）【2013年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为πsin()4ρθ+=（m 为非零常数）与b ρ=． 若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ．【解析】椭圆C 的方程可以化为22221x y a b+=，圆O 的方程可化为222x y b +=，直线l 的方程可化为x y m +=，因为直线l 经过椭圆的焦点，且与圆O 相切，则c m =，b =，a ==，所以椭圆的离心率c e a ==三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2013年湖北，理17，11分】在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ． 已知cos23cos()1A B C -+=． （1）求角A 的大小；（2）若△ABC的面积S =5b =，求sin sin B C 的值．解：（1）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍因为0πA <<，所以π3A =．（2）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =．又5b =，知4c =．由余弦定理故a =又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．（18）【2013年湖北，理18，12分】已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数m ，使得121111m a a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125||10a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1533a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或151a q =-⎧⎨=-⎩． 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-．（2）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑．若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21()1502()mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑,N N ，故111m n n a =<∑．综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． （19）【2013年湖北，理19，12分】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =． 记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的 大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．解：（1）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ， 且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF 平面ABC l =，所以EF ∥l ． 因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ． （2）解法一：（综合法）如图，连接BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ．因为AB 是O 的直径， 所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥．已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥．而PC BC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=．由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =，从而四边形DQPF 是平行四边形， PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影，故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=．又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥， 知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=，于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CFBFβ=， 从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=．解法二：（向量法）如图，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12D Q C P =．连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（1）可知交线l 即为直线BD ．以点C 为原点，向量,,CA CB CP 所在直线分别为 ,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===，则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ．于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-，所以||cos||||FE QP FE QP a α⋅==⋅，从而2sin a α==+又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，所以由00FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，可得1020ax by cz⎧=⎪⎨⎪-+=⎩．取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅==⋅m n m n sin β．故sin sin sin αβθ===，即sin sin sin θαβ=．（20）【2013年湖北，理20，12分】假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（1）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）； （2）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆． 公 司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆． 若每天要以不小于0p 的 概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车 各多少辆?解：（1）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=，(700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，得0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=．（2）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +．依题意， , x y 还需满足：021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（1）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件2173660900, 0, x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩，N，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ．作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆． （21）【2013年湖北，理21，14分】如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（1）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（1）解法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =， 可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+． 解法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--． 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=． 由1λ>，可解得1λ=． 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=+．（2）解法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d ==，所以12d d =． 又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=．由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-．① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A xB x = 根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A Bx AD BC x ==1(1)λλλ+=-．③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解 得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >． 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<． 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>所以当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=． 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则1d ==2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11A B x x λλ+=-． 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=，依题意0A Bx x >>，所以22A B x x >．所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<．从而111λλλ+<<-，解得1λ>11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>+l 使得12S S λ=（22）【2013年湖北，理22，14分】设n 是正整数，r 为正有理数．（1）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（2）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（3）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S +，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）解：（1）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =．当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数；当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． （2）由（1），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，1(1)1(1)r x r x ++>++．①在①中，令1x n =（1x >-且0x ≠），111(1)1r r n n +++>+． 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即11(1).1r r rn n n r +++-<+②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+③且当1n =时，③也成立．综合②，③得1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++． ④（3）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44-<-（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<-（）， (4444)333333125124(126125)44-<<-（）．将以上各式相加，并整理得444433333312580(12681)44S -<<-（）．代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥．。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607,选 B . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估量总体.3.已知(1)n x +的开放式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A.122B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和. 4.设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C考点：正态分布密度曲线. 5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（ ）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】A【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ； 对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当0≠n a 时，依据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列， 所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B 【解析】试题分析：由于()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，由于1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为大事“12x y +≥”的概率，2p 为大事“1||2x y -≤”的概率，3p 为大事“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B（1） （2） （3） 考点：几何概型.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：由于集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关学问，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】 B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB •=. 【答案】9 【解析】试题分析：由于OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB •=93||||)(222===•+=+•OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面对量的加法法则，2.向量垂直， 3.向量的模与数量积. 12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的大路上向正西行驶，处处A 时测得大路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC ∆中，由180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，由于600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ， 在BCD Rt ∆中，由于30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m. 考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理. 14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），。

高考数学试卷(理科) 答案普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是 A 3+2i B 3+2i C 2 + 3i D 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C.103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

高考数学试卷(理科) 答案普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是 A 3+2i B 3+2i C 2 + 3i D 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ， 则它与x 轴所围图形的面积为 A.25πB.43C.32D.2π 由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C.103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.定义在（∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。