重庆南开2022级高一下期中数学试卷

重庆市南开中学2 014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知等比数列{a n}中，a2=﹣4，，则公比q=（）A．﹣2 B．C．D．22．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）A．，B．，C．，D．，3．等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b5．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．1326．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.00110≈1.01）（）A．500元B．505元C．510元D．515元7．已知，则（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为（）A．B．C．D．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．669．已知四边形ABCD，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B．C．D．210．各项均为正数的数列{a n}满足：a n+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．[，1）D．[，2]二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知数列2，，，，…，则是该数列中的第项．12．已知向量满足：，，则向量与的夹角为．13．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n﹣2，求a n=．14．已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中t∈R，当取最小值时，t=．15．已知在锐角△AB C中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．17．已知等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n取得最大值？并求此最大值．18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．（Ⅰ）求xy的最小值；（Ⅱ）求x+y的最小值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）记，求．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，设b n=3n﹣1（a n+1）．（Ⅰ）证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．重庆市南开中学2014-2015学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题5分，l0小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知等比数列{a n}中，a2=﹣4，，则公比q=（）A．﹣2 B．C．D．2考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接利用等比数列的通项公式化简求解即可．解答：解：等比数列{a n}中，a2=﹣4，，可得a2q3=a5，即﹣4q3=，解得q=﹣．故选B．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，等比数列的性质的应用，考查计算能力．2．己知向量，非零不共线，则下列各组向量中，可作为平面向量的一组基底的是（）A．，B．，C．，D．，考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：判断向量是否共线，推出结果即可．解答：解：=﹣（），选项B的两个向量共线，不正确；，选项C的两个向量共线，不正确；，选项D的两个向量共线，不正确；故选：A．点评：本题考查平面向量基本定理的应用，基本知识的考查．3．等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据等比数列递增的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若a1＜0，q＞1时，{a n}递减，∴数列{a n}单调递增不成立．若数列{a n}单调递增，当a1＜0，0＜q＜1时，满足{a n}递增，但q＞1不成立．∴“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质是解决本题的关键，比较基础．4．下列说法中，一定成立的是（）A．若a＞b，c＞d，则ab＞cd B．若|a|＜b，则a+b＞0C．若a＞b＞0，则a b＞b a D．若，则a＜b考点：不等关系与不等式．专题：不等式．分析：通过取特殊值，判断A，C，D，通过绝对值的性值得到B一定成立．解答：解：对于A，若a=2，b=1，c=﹣4，d=﹣5，显然ab＜cd，故A不一定成立；对于B，若|a|＜b，则﹣b＜a＜b，故a+b＞0一定成立，对于C，若a=4，b=3时43=64，34=81，不成立，对于D，当a=1，b=﹣2时，不成立，故选：B．点评：本题考查了不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题5．设等差数列{a n}的前n项和S n，若a1+a5+a8=a2+12，则S11=（）A．44 B．66 C．100 D．132考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式，可得a1+a11=12，依据等差数列的前n项和公式即可求解．解答：解：在等差数列中，∵a1+a5+a8=a2+12，∴2a1+10d=12，即a1+a11=12，则S11=（a1+a11）=66．故选：B．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的计算，求出a1+a11=12是解决等差数列的关键．6．某人月初0元购入一部5000元的手机，若采用分期付款的方式每月月底等额还款，分l0个月还清，月利率0.1%按复利计算，则他每月应还款（1.011.00110≈1.01）（）A．500元B．505元C．510元D．515元考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：应用题；等差数列与等比数列．分析：根据条件，结合等比数列的前n项和公式建立方程关系即可得到结论解答：解：把5000元存入银行10个月，月利0.1%，按复利计算，则本利和为5000×（1+0.1）10=5000×（1.001）10=5000×1.01=5050，每月存入银行a元，月利0.1%，按复利计算，则本利和为a+a（1+0.1%）+a（1+0.1%）2+…+a（1+0.1%）9=a•=a•=10a．由题意知10a=5050，解得a=505（元）．即每月还款大约为505元，故选：B点评：本题主要考查函数的应用问题，结合等比数列的前n项和公式是解决本题的关键7．已知，则（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：换元t=4x2∈[0，1），恒等变形得出1﹣2x）x2（1+2x）=×（1﹣t）t利用基本不等式求解即可．解答：解：∵，∴t=4x2∈[0，1），∴（1﹣2x）x2（1+2x）=×（1﹣t）t×=（t=时等号成立），∵t=时，x=，∴当x=时，（1﹣2x）x2（1+2x）的最大值为，故选：C．点评：本题考察了换元法转为基本不等式求解最大值问题，关键是构造条件，等号是否成立，8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．9 B．11 C．55 D．66考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，约分计算即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1×的值，由于S=1×==66．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序框图，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．已知四边形ABCD，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．1 B．C．D．2考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据题意，利用向量加法的平行四边形法则得到四边形ABCD是菱形且∠BAD=135°，因此算出||=||=，即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：因为四边形ABCD，=，所以四边形ABCD是平行四边形，因为+=，所以AC是平行四边形ABCD的角平分线，且∠BAD=135°可得四边形ABCD是菱形，||=||=，因此四边形ABCD的面积S==．故选：B．点评：本题给出四边形ABCD满足的向量等式，求四边形ABCD的面积．着重考查了向量加法的平行四边形法、向量模的公式与平行四边形面积求法等知识，属于中档题．10．各项均为正数的数列{a n}满足：a n+1=，若存在三个不同的首项a1，使得a3=m，则实数m的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，1）C．[，1）D．[，2]考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：分类讨论：当时，a2=2a1≤1，可得a3=4a1=m，解得m范围．同理当时，得a1=，解得m范围．当a1＞1时，解得a1=，解得m范围．由于存在三个不同的首项a1，使得a3=m，求其交集即可．解答：解：当时，a2=2a1≤1，∴a3=2a2=4a1=m，得，解得m≤2．当时，a2=2a1＞1，a3===m，解得a1=，∴，解得．当a1＞1时，＜1，∴a3=2a2==m，解得a1=，∴＞1，解得m＜2．∵存在三个不同的首项a1，使得a3=m，∴，解得．∴实数m的取值范围是．故选：C．点评：本题考查了分类讨论思想方法、不等式的性质、分段函数性质、集合运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）11．已知数列2，，，，…，则是该数列中的第12项．考点：数列的函数特性．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据条件求出数列的通项公式即可得到结论．解答：解：数列的等价条件为，，，，…，则数列的通项公式为a n=，由a n==，解得n=18，即则是该数列中的第18项，故答案为：18点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列项的概率求出数列的通项公式是解决本题的关键．12．已知向量满足：，，则向量与的夹角为120°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：把已知式子平方代入数据可得向量夹角的余弦值，可得向量的夹角．解答：解：∵，，∴=1，∴1+4+2×1×4×cosθ=1，解得cosθ=∴向量与的夹角θ=120°故答案为：120°点评：本题考查平面向量的夹角，属基础题．13．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=3a n﹣2，求a n=3n﹣1+1．考点：数列的概念及简单表示法．专题：探究型；转化思想．分析：题目给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的等比数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项．解答：解：由a n+1=3a n一2得：a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=2﹣1=1≠0，∴数列{a n﹣1}构成以1为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴．故答案为3n﹣1+1．点评：本题考查了给出递推式求数列通项公式的方法，对于a n+1=pa n+q型的递推式，一般能够造成{a n+x}型的等比数列，属常见题．14．已知两个单位向量的夹角为，设向量，其中t∈R，当取最小值时，t=．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得2=（t+）2+，由二次函数的最值可得．解答：解：由题意可得2==+2t+=1+2t×+t2=t2+t+1=（t+）2+，由二次函数可知当t=﹣时，2取最小值，∴当取最小值时，t=故答案为：点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．解答：解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．点评：本题考查了向量的几何意义以及利用坐标法求数量积范围；属于中档题．三、解答题；（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16．已知向量=（1，2），=（1，﹣1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设向量，若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由题意可得2﹣的坐标，由模长公式可得；（Ⅱ）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得＜0，解不等式排除向量反向可得．解答：解：（Ⅰ）∵=（1，2），=（1，﹣1），∴2﹣=（2，4）﹣（1，﹣1）=（1，5），∴==；（Ⅱ）可得=（x+x2，2x﹣x2），由与的夹角为钝角可得=（x+x2）﹣（2x﹣x2）＜0，解方程可得0＜x＜，若向量反向则x+x2+2x﹣x2=0，解得x=0，此时向量为，不满足题意，∴实数x的取值范围为（0，）．点评：本题考查平面向量的夹角，涉及向量的模长公式，属基础题．17．已知等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，当n为何值时，S n取得最大值？并求此最大值．考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等差数列的通项公式建立方程组关系求出首项和公差即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据数列的通项公式，求出a n=23﹣3n≥0得值，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}的公差d＜0，a3a5=112，a4=11．∴（a4﹣d）（a4+d）=112，即（11﹣d）（11+d）=112，则121﹣d2=112，即d2=9，d=﹣3，∵a4=a1+3d=11，∴a1=20，则数列{a n}的通项公式a n=20﹣3（n﹣1）=23﹣3n；（Ⅱ）∵a n=23﹣3n，∴由a n=23﹣3n≥0得n≤；即当1≤n≤7时，a n＞0，当n≥8时，a n＜0，∴当n=7时，S n取得最大值，求此最大值S7==77．点评：本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和的性质，根据方程组求出首项和公差是解决本题的关键．18．已知x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．（Ⅰ）求xy的最小值；（Ⅱ）求x+y的最小值．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）由于x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．变形利用基本不等式的性质即可得出．（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．变形x+y=x+=x﹣2++2，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（I）∵x＞0，y＞0，x+2y﹣xy=0．∴xy=x+2y，化为xy≥8，当且仅当x=2y=4时取等号．∴xy的最小值是8；（II）由x+2y=xy，解得y=＞0，解得x＞2．∴x+y=x+=x﹣2++2≥2+2=2+2，当且仅当x=2+，y=1+时取等号．∴x+y的最小值为2+2．点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于基础题．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）记，求．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用递推式与等比数列的通项公式即可得出；（II）利用“裂项求和”即可得出．解答：解：（I）∵满足，∴当n=1时，a1=2﹣（2+1）a1，解得a1=．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为．∴数列是等比数列，首项为，公比为．∴=．∴．（Ⅱ）=．∴==．∴=++…+=2=3﹣．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，设b n=3n﹣1（a n+1）．（Ⅰ）证明：{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和．考点：数列递推式；数列的求和．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知可得b n﹣b n﹣1=2，即可证明，（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a1=1，a n=，∴3a n=a n﹣1+﹣2（n≥2），∴b n﹣b n﹣1=3n﹣1a n+3n﹣1﹣3n﹣2a n﹣1﹣3n﹣2=3n﹣2（a n﹣1+﹣2﹣a n﹣1）+2•3n﹣2=3n﹣2（a n﹣1+﹣2﹣a n﹣1+2）=2．∴则{b n}是首项为2，公差为2的等差数列．（Ⅱ）∵b n=3n﹣1（a n+1）=2+（n﹣1）2，可解得：a n=，∴s n=1+（）+（﹣1）+（﹣1）+…+（）=+++…++2﹣n，①3s n=2×2+++…++6﹣3n，②∴②﹣①可得：2s n=++…+﹣+8﹣2n，∴s n=++…+﹣+4﹣n=﹣﹣n﹣．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的求和，属于中档题．21．若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数f（x）是等比源函数．（Ⅰ）判断下列函数：①y=x2；②；③y=log2x中，哪些是等比源函数？（不需证明）（Ⅱ）判断函数f（x）=2x+1是否为等比源函数，并证明你的结论；（Ⅲ）证明：∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．考点：等比数列的性质．分析：（Ⅰ）直接举例说明题目给出的三个函数都是“等比源函数”；（Ⅱ）利用反证法思想证明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）首先证明数列{g（n）}为等差数列，然后验证g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]构成等比数列，从而说明结论的正确性．解答：（Ⅰ）解：对于函数y=x2，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，4，16，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=x2是等比源函数；对于函数，分别取x=1，2，4，对应的函数值为1，，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数是等比源函数；对于函数y=log2x，分别取x=2，4，16，对应的函数值为1，2，4，构成等比数列，符合等比源函数定义，∴函数y=log2x是等比源函数．∴①②③都是等比源函数；（Ⅱ）解：函数f（x）=2x+1不是等比源函数．证明如下：假设存在正整数m，n，k且m＜n＜k，使得f（m），f（n），f（k）成等比数列，则（2n+1）2=（2m+1）（2k+1），整理得22n+2n+1=2m+k+2m+2k，等式两边同除以2m，得22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1．∵n﹣m≥1，k﹣m≥2，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴等式22n﹣m+2n﹣m+1=2k+2k﹣m+1不可能成立，∴假设不成立，说明函数f（x）=2x+1不是等比源函数；（Ⅲ）证明：∵∀b，n∈N*，都有g（n+1）﹣g（n）=d，∴∀d，b∈N*，数列{g（n）}都是以g（1）为首项，公差为d的等差数列．∀d，b∈N*，g（1），g（1）（1+d），g（1）（1+d）2成等比数列，∵g（1）（1+d）=g（1）+（g（1）+1﹣1）d=g[g（1）+1]，g（1）（1+d）2=g（1）+（2g（1）+g（1）d+1﹣1）d=g[2g（1）+g（1）d+1]，∴g（1），g[g（1）+1]，g[2g（1）+g（1）d+1]∈{g（n）|n∈N*}，∴∀d，b∈N*，函数g（x）=dx+b都是等比源函数．点评：本题考查了等比数列的性质，是新定义题，解答的关键是通过举例验证证明，是中档题．。

南开中学2022—2023学年度第二学期期中检测高一数学试卷考试时间：100分钟I 卷(共32分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试结束后，将答题卡、答题纸一并交回.一、单项选择题(共8题，每题4分，共32分)1. 下面关于平面向量的描述不正确的有()A ．共线向量是在一条直线上的向量B ．起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量C ．向量CD 与向量DC 长度相等D ．两个非零向量a ，b ，若a +b =a -b ，则a ⊥b 2. 己知复数z 满足i -1 z =2，给出下列四个命题其中正确的是()A ．z =2B ．z 的虚部为-1C ．z =1+iD ．z 2=-2i 3.以下说法正确的是()①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．A ．①②④⑥B ．②③④⑤C ．①②③⑥D ．①②⑤⑥4．在平行四边形ABCD 中，AC =1,2 ，BD =-3,2 ，则AD =()A ．-1,2B ．-2,4C ．1,-2D ．2,-45. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =c 2cos B +1 ,sin C =45，则sin B =()A ．1825B ．-2425C ．-1825D ．24256．在△ABC 中，AB =1,AC =4,∠BAC =π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD ⋅BC 的值为()A ．-163B ．163C ．-4D ．47．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE =45AB ，连接AC 、EF 交于点P ，若AP =411AC ，则点F 在AD 上的位置为()A ．AD 边中点B ．AD 边上靠近点D 的三等分点C ．AD 边上靠近点D 的四等分点D ．AD 边上靠近点D 的五等分点8. 如图，△ABC 是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若AD =2，BD =1，点M 为线段CE 上的动点，则MA ⋅MC 的最小值为()A ．-254B ．2516C ．-2516D ．254II 卷(共68分)二、填空题(共6题，每小题4分，共24分)9. 若i 是虚数单位，复数1+3i 2-i 3=.10.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是侧棱AA 1的中点，则平面B 1CE 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面图形的周长是.11.已知点B (6,5)，若向量AB 与a =(2,3)同向，|AB |=213，则点A 的坐标为.12.已知a ,b ,c 分别为ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边，a =3，且(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C ，则ΔABC 面积的最大值为.13. 三棱锥P -ABC 的顶点都在球O 的球面上，且AB =2AC =12，∠ABC =π6，若三棱锥P -ABC 的体积最大值为108，则球O 的表面积为.14．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：米)，三角高程测量法是珠穆朗玛峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ,B ,C 三点，且A ,B ,C 在同一水平面上的投影A ′,B ′,C ′满足∠A ′C ′B ′=45°,∠A ′B ′C ′=60°, 由点C 测得点B 的仰角为15°,BB ′与CC′的差为100，由点B测得点A的仰角为45°, 则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′为米.三、解答题(共3题，共44分)15．(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A=2sin B，c=7，求△ABC的面积.16．（15分）已知点P为正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=AB=13，M、N分别为PA、BD上的点，且PMMA=BNND=58．(1)求证：MN∥平面PBC；(2)求线段MN的长.17. （15分）如图所示，某市有一块空地△OAB，其中OA=2km，∠OAM=60°，∠AOB=90°．当地政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N，都在边AB上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在△OAN的周围安装防护网．设∠AOM=θ．(1)当AM=1km时，求此时防护网的总长度.(2)若θ=15°，问此时人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的多少倍？(3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？参考答案1-4ABCA5-8DBBC9．1+i10．32+2511. (2，-1)12．94313．192π14．100(3+2)15．(1)2π3(2)32【分析】(1)先将条件中的等式全部变为正弦，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求角即可；(2)先利用正弦定理将sin A=2sin B转化为a,b的关系，再结合(1)中的条件求出a,b，最后利用三角形的面积公式求解即可.【详解】(1)∵sin2A+sin A sin B=cos2B-cos2C=1-sin2B-1-sin2C=sin2C-sin2B,∴由正弦定理得a2+ab=c2-b2，即a2+b2-c2=-ab∴cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，又C∈0,π，∴C=2π3；(2)∵sin A=2sin B，∴由正弦定理得a=2b①，又a2+b2-7=-ab②，由①②得a=2,b=1，∴S△ABC=12ab sin C=12×2×1×sin2π3=32.16.17. 【答案】(1)6km；(2)3倍；(3)当θ=15°时，S△OMN最小值为6-33km2．【分析】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得OM的值，利用勾股定理可得三角形OAM是直角三角形，可求θ的值，求得△OAN是等边三角形，即可得解．(2)由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求MNAM=3，由于以O为顶点时，△OMN和△OAM的高相同，根据三角形的面积公式即可求解．(3)由已知利用正弦定理求出OM，ON，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求△OMN的面积关于θ的函数，利用正弦函数的性质即可求解其最小值．【详解】(1)在三角形OAM中，由余弦定理得，OM=22+12-2×2×1×cos60°=3，所以OM2+AM2=3+1=4=OA2，所以三角形OAM是直角三角形，所以∠OMA=90°，θ=30°．由于∠MON =30°，所以∠AON =∠A =60°，所以△OAN 是等边三角形，周长为2×3=6，也即防护网的总长度为6km ．(2)θ=15°时，在三角形OAM 中，由正弦定理得OM sin60°=AM sin15°⇒OM =AM ⋅sin60°sin15°，在三角形OMN 中，∠ONA =180°-60°-15°-30°=75°，由正弦定理得，MN sin30°=OM sin75°⇒MN =OM ⋅sin30°sin75°=AM ⋅sin60°⋅sin30°sin75°sin15°．所以MN AM =sin60°⋅sin30°sin75°sin15°=sin60°⋅sin30°cos15°sin15°=sin60°⋅sin30°12sin30°=2sin60°=3．以O 为顶点时，△OMN 和△OAM 的高相同，所以S △OMN S △OAM =MN AM=3，S △ONN =3S △OAM ，即人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的3倍．(3)在三角形OAN 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得，ON sin60°=2sin 90°-θ=2cos θ⇒ON =2sin60°cos θ=3cos θ．在三角形OAM 中，∠ONA =180°-60°-30°-θ=90°-θ，由正弦定理得OM sin60°=2sin 180°-60°-θ =2sin θ+60°⇒OM =2⋅sin60°sin θ+60° =3sin θ+60°．所以S △OMN =12⋅OM ⋅ON ⋅sin30°=14⋅3cos θ⋅3sin θ+60° =34⋅1sin θ+60° ⋅cos θ=34⋅1sin θcos60°+cos θsin60° ⋅cos θ=34⋅112sin θcos θ+32cos 2θ=34⋅114sin2θ+32⋅1+cos2θ2=34⋅114sin2θ+34cos2θ+34=32⋅112sin2θ+32cos2θ+32=32⋅1sin 2θ+60° +32=3⋅12sin 2θ+60° +3．由于∠AOM =θ，0°<θ<60°，所以当2θ+60°=90°，θ=15°时，S △OMN 最小值为3⋅12+3=3⋅2-32+3 2-3=(6-33)km 2．。

︒120︒60︒135︒45=−b a Cc 2cos 1ABC −−6,3)(6,3)(−3,6)(−3,6)(=b =b 35︒180=−a 1,2)(b =S 7++=a a a 6138S n a n }{<≠b cbc a a 0)(>a a b c >b c a a log log >b c 22>>a b c 1,∈a b c R ,,=b c ⋅=⋅a b a c b a b a =−a b =a b =a b =a 0=a 0−3,1)(−3,1][−1,3)(−1,3][=C A R =−−≥A x x x 2302}{第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合，则（ ）A ． B. C. D.2. 下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若与方向相反，则；与是相反向量；④若，则.其中正确的命题个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 33. 先后抛掷质地均匀的骰子两次，分别得到两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是（ ）A. 两个点数都是奇数B. 点数的和是奇数C. 点数的和小于13D. 点数的和大于74. 设，且，则（ ）A. B. C. D. 5．已知等差数列的前n 项和为，若，则（ ）A. 7B. 10C. 14D. 216. 若平面向量与向量的夹角是，且，则（ ） A. B. C. D.7. 在中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，则角A 为（ ） A. B. C. D.重庆一中高2022级高一（下）学期5月月考数学试题卷数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须试用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其他答案标号。

2023-2024学年重庆市南开中学高一（下）段考数学试卷（3）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z =3−2i ，则z 的实部与虚部的和为( )A. −1B. 1C. 5D. −52.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“cos2A >cos2B ”是“a <b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知向量a ，b 满足a ⋅b =10，且b =(4,−3)，则a 在b 上的投影向量为( )A. (8,−6)B. (−8,6)C. (−85,65)D. (85,−65)4.在复平面内，复数z =|3+4i|7−i 对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.碧津塔是著名景点，某同学为了测量碧津塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进24.4米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，那么碧津塔高约为( 3≈1.7, 2≈1.4)( )A. 37.54B. 38.23C. 39.53D. 40.526.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ba +c +ca +b ≥1，则角A 的取值范围是( )A. (0,π6]B. [π6,π2)C. (0,π3]D. [π3,π)7.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：e ix =cosx +isinx ，其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是( )A. e πi =1B. |e π2i −e θi |(θ∈R)的最大值为2C. 复数e π4i在复平面内对应的点位于第二象限D. 若z 1=e π3i ，z 2=e θi在复平面内分别对应点Z 1，Z 2，则△OZ 1Z 2面积的最大值为328.在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cosB b +cosC c =23sinA 3sinC，cosB +3sinB =2，则a +c 的取值范围是( )A. (32, 3]B. (32,3]C. [32, 3]D. [32,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

2021-2022学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题一、单选题 1．已知复数52iz =+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．1- B ．2 C ．i - D ．i【答案】A【分析】根据复数的概念及复数的除法即可求解. 【详解】()()()()52i 52i 52i 2i 2i 2i 5z --====-++-， 所以z 的虚部为1-. 故选：A.2．若向量a ，b 满足||2a =，||2b =，2a b ⋅=，则||a b -=（ ） A ．2 B ．2C ．23D ．4【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得a b -的值. 【详解】由题意可得()22222222222a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯+=.故选：B.3．两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由祖暅原理，再结合充分条件，必要条件的定义即可求解． 【详解】解：根据祖暅原理，①由12S S ，得到12V V =，∴必要性成立，②由12V V =，则1S ，2S 不一定相等，例如两个完全相同的棱锥，分别正置和倒置，∴充分性不成立，12V V ∴=是12S S 的必要不充分条件，故选：B ．4．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a =，AC b =，则AE =（ ）A ．1132a b +B ．1142a b +C ．1152a b +D ．1162a b +【答案】D【分析】根据向量的加法法则，即可求解. 【详解】解：由题意得：11111112223262AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+， 故选：D.5．现将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 46x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数相位平移和周期变换特点得到函数解析式.【详解】()sin 2f x x =向右平移6π个单位长度得sin 2sin(2)63y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再将所得图像上所有点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得：sin()3y x π=-，所以()sin()3g x x π=-故答案为：A6． ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，则 ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】C【分析】先利用二倍角公式化简得到化简得222sin sin sin +<B C A ，进而得到2220-+<c a b ，再利用余弦定理判断.【详解】解：因为在 ABC 中，2cos2cos22sin B C A ->，所以()2222cos 12cos 12sin --->C A B ，化简得222sin sin sin +<B C A ， 即2220-+<c a b ，所以222cos 02-=+<a c b A bc， 因为,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以 ABC 的形状为钝角三角形，故选：C7．已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是( )A ．1723,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．75,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据0>ω，[]0,2x π∈，得,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数图像，确定23ππω-的位置范围即可求出ω的范围﹒【详解】∵0>ω，[]0,2x π∈，∴,2333x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,2π上恰有3个零点，则如图，2275363233ππωπωππωπ⎧-⎪⎪⇒<⎨⎪-<⎪⎩﹒故选：D ．8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过1A ，E ，F 三点的平面将正方体分割成两部分，两部分的体积分别为1V ，()212V V V <，则12:V V =（ ）A ．519B ．524C ．717D ．724【答案】C【分析】结合台体体积公式、正方体体积公式求得正确答案. 【详解】由于11////EF AC AC ，所以11,,,E F C A 共面， 111BEFB AC ，所以111BEF B A C -是台体，设正方体的边长为2，111111117111122222322223BEF B A C V -⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以127737172223V V ==⨯⨯-.故选：C二、多选题9．下列关于复数z 的运算结论，正确的有（ ） A ．2z z z ⋅= B ．22z z = C ．1212z z z z ⋅=⋅ D ．1212z z z z +≤+【答案】ACD【分析】设出复数直接计算可得.【详解】记111222i i i z a b z a b z a b =+=+=+，，，则i z a b =- 则222(i)(i)=z z a b a b a b z ⋅=+-+=，A 正确； 因为2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，故B 错误； 因为12112212121221(i)(i)=()i z z a b a b a a b b a b a b ⋅=++-++，所以2222222222121212122112122112()()z z a a b b a b a b a a a b a b b b ⋅=-++=+++ 又22222222222212112212122112()()z z a b a b a a a b a b b b ⋅=++=+++，故C 正确； 222222212121212121212()()22z z a a b b a a b b a a b b +=+++=+++++2222222221211221122()2()()z z a b a b a b a b +=++++++因为2222222222221122121221122()()2a b a b a a a b a b b b ++=+++ 22221212121212122222a a a a b b b b a a b b ≥++=+所以1212z z z z +≤+，D 正确. 故选：ACD10．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12CC =，点E ，F ，G 分别为棱CD ，1DD ，1CC 的中点，则下列结论中正确的有( )A ．11AB 与FG 共面 B ．AE 与11AC 异面C ．1AG ∥平面AEFD ．该正四棱柱外接球的表面积为8π【答案】ABC【分析】证明11//A B FG 即可判断A ；连接11AC A C 、，证明AE 与11A C 分别是两个互相平行的平面里面的不平行直线即可判断B ；取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE ，证明1//A G //CH EI 即可判断C ；根据长方体外接球球心为体对角线中点即可计算长方体外接球半径，从而计算其外接球表面积，从而判断D ．【详解】①1//DD 1CC ，且11,DD CC F =是1DD 中点，G 是1CC 中点， 1//FD ∴1GC ，且11FD GC =，∴四边形11C D FG 是平行四边形，//FG ∴1111,//C D C D 1111,//A B A B ∴11,FG A B ∴与FG 共面，故A 正确；②连接111,//AC AC AA 、111,,CC AA CC =∴四边形11ACC A 为平行四边形， 11//A C ∴AC ，ACAE A =，故AE 与11A C 不平行，而AE ⊂平面11,ABCD AC ⊂平面1111D C B A ，平面//ABCD 面1111D C B A ， 11AC ∴和AE 互为异面直线，故B 正确；③取1AA 的中点为H ，连接,HF HD AF CH AF HD I ⋂=、、、，连接IE . 1//AA 111,,DD AA DD H =是1AA 中点，F 是1DD 中点，//AH ∴DF ，且,AH DF =∴四边形ADFH 是平行四边形， I ∴是DH 的中点，又E 是CD 中点，∴在CDH △中，//EI CH ．1//AA 111,,CC AA CC H =是1AA 中点，G 是1CC 中点， 1//A H ∴1,,CG A H CG =∴四边形1A HCG 是平行四边形，//CH ∴1A G ，/EI /∴1,A G EI ⊂平面1,AEF AG ⊄平面1//,AEF A G ∴平面AEF ，故C 正确．④设该四棱柱外接球半径为R ，则22222(2)11246R R =++⇒=， 故该正四棱柱外接球的表面积为246R ππ=，故D 错误． 故选：ABC.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论正确的有( )A ．若4b =，3sin 4A =，3sin 5B =，则5a = B ．若2bc a =，则3A π≥C ．若4b =，60A =︒，5a =则△ABC 有唯一解 D．若a =23A π≤ 【答案】ACD【分析】根据正弦定理可解A ，根据余弦定理和基本不等式可判断BD ，根据余弦定理解三角形可判断C ．【详解】A 选项：根据正弦定理得，43sin 53sin sin sin 45a b b a A A B B=⇒=⋅=⨯=，故A 正确；B 选项：根据余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，∵2bc a =， ∴22222cos a b c a A =+-，∴222222222221cos 2222b c a bc a a a A a a a +---===， ()0,A π∈，0,3A π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，故B 错误；C 选项：由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即212516242c c =+-⨯⋅⋅，即2490c c --=，方程Δ0>，设方程两根为12c c 、，∵1290c c =-<，124c c =，∴方程只有一个正根，即c 边有唯一取值，故三角形有唯一解，故C 正确； D 选项：根据余弦定理得，2222cos a b cbc A =+-，∵a = ∴2222cos b c bc A =+-⎝⎭， ∴22222222126261()cos 22()2222b c b c b c bc bc bc b c A bc bc b c bc bc bc +-++==--=-++，当且仅当b ＝c 时取等号，∵()0,A π∈，203A π∴<，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知平面向量满足1a =，2b =，22c b a b a --=-，则以下说法正确的是（） A ．2b a = B ．13a b +≤≤C ．若0a b ⋅=，则c a -的最大值是D ．c a ⋅的取值范围是[]4,5- 【答案】BCD【分析】由题意当2b a =时，4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -，判断A;利用绝对值不等式性质可判断B;建立直角坐标系，利用坐标运算表示出42c a -=结合三角函数性质，判断C;作图分析可得向量c 对应的点轨迹为圆，利用圆的性质，结合数量积的几何意义，可判断D.【详解】A 选项：当2b a =时， 22=0c b a b a --=-，即4=0c a -，由已知不能确定4=0c a -是否成立，故A 错误；B 选项：3a b a b ++=≤，||||||||1a b a b +≥-=，B 选项正确： 对于C,因为0a b ⋅=，故以向量a ，b 起点为坐标原点，a 方向为y 轴正方向，b 方向为x 轴正方向，建立坐标系,则()0,1a =，()2,0b =，设(),c x y =， 由()22c a b b a -+=-， 得()()22228x y -+-=，设2x θ=+，2y θ=+，[0,2]θπ∈ ， ()(),12,1c a x y θθ-=-=++，则42c a -=其中2cos ))θθθθθϕ+=+=+，(sin ϕϕ== ，故θθ+≤2πθϕ+=时取等号，故410c a -≤C 选项正确；D 选项：以b ，2a 邻边作平行四边形OADB 为菱形，2,OA a OB b == ， 2AB b a =-，2OD b a =+，设OC c = ，由题目条件，可知点C 的轨迹是以D 为圆心，2r b a AB =-=为半径的圆． 设AOD θ∠=，则4cos OD θ=，4sin AB θ=，所求的cos c c a θ⋅=，即为c 在a 上的投影， 如图所示，延长OA 交点C 的轨迹于F ,作DE AF ⊥ , 当C 为图中两条切线的切点时，取得最大值、最小值，()2maxcos 4cos 4sin c a OE BF OD r θθθ⋅=+=+=+22154sin sin 14(sin )524θθθ⎡⎤⎡⎤=-++=--+≤⎣⎦⎢⎥⎣⎦=，当1sin 2θ=时取等号， 同理，可得()22mincos 4cos 4sin 4sin 44sin c dOD r θθθθθ⋅-=-=-+=-2154(sin )424θ⎡⎤=-++≥-⎢⎥⎣⎦，当sin 1θ= 时取等号，故[]4,5c a ⋅∈-，故D 选项正确， 故选：BCD三、填空题13．在ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边长，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，则cos C ________．【答案】18【分析】由正弦定理得到::4:5:6a b c =，设ABC 的三边分别为4,5,6，结合余弦定理，即可求解.【详解】由sin :sin :sin 4:5:6A B C =，由正弦定理可得::4:5:6a b c =， 可设ABC 的三边分别为4,5,6a b c ===，由余弦定理可得2222224561cos 22458a b c C ab +-+-===⨯⨯， 故答案为：18.14．如图，△ABC 中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边BC 的中点，点N 为边AB 的中点，则AM CN ⋅=_________．【答案】－1【分析】用AB AC 、作为基底表示出AM CN 、即可根据数量积的运算律计算． 【详解】()()()()111224AM CN AB AC CB CA AB AC AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅-- ()()()()()22211112||2|||414444AB AC AB AC AB AC AC =+⋅-=-=⨯-=⨯-=-． 故答案为：－1．15．某同学欲为台灯更换一种环保材料的灯罩，如图所示，该灯罩是一个有上底面无下底面的圆台．经测量，灯罩的上底面直径为18 cm ，下底面直径为34 cm ，灯罩的侧面展开图是一个圆心角为23π的扇环，则新灯罩所需环保材料的面积为_________2cm (结果保置π)．【答案】705π【分析】作出圆台轴截面图像和侧面展开图，找到边长对应关系，根据扇形面积和圆的面积计算公式即可计算． 【详解】如图为圆台轴截面：如图为圆台侧面展开图：圆台上底面半径为19r =，下底面半径为217r =，1112323r l r ππ==，2222323r l r ππ==， 则扇环面积为：()()()222222112211213333179624r l rl r r r r r r ππππππ-=⋅-⋅=-=-=，则新灯罩所需环保材料的面积为：()22162462481705cm r πππππ+=+=．故答案为：705π．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，2AD CD =，若2BD =，则△ABC 的面积的最大值为_________． 33【分析】根据条件结合余弦定理和三角恒等变换得出角A ,在ABD △中由余弦定理求出AD AB ⋅的最大值，从而得出答案.【详解】由()2221cos cos 0A c ac C b a --+-=可得2222cos cos c b a ac C c A +-=+即22cos cos cos bc A ac C c A =+,即22sin sin cos sin sin cos sin cos B C A A C C C A =+ 由0C π<<则sin 0C ≠，所以()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+= 即2sin cos sin B A B =,由0B π<<则sin 0B ≠, 1cos 2A =, 又0A π<<,所以3A π=在ABD △中, 2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅所以22222224233333AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅≥⋅⋅-⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以6AB AC ⋅≤，当且仅当23AB AC =时等号成立. 由13333sin 62442ABCSAB AC A AB AC =⋅=⋅≤⨯=所以△ABC 的面积的最大值为332故答案为：332四、解答题17．已知z 为虚数，z 为z 的共轭复数，满足2i 3z z =⋅-，其中i 为虚数单位． (1)求z z ⋅ (2)若5mz -m 的值． 【答案】(1)5 (2)5m =【分析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，根据2i 3z z =⋅-，利用复数相等求解； （2）先化简5mz 5mz 为纯虚数求解. 【详解】(1)解：设()i ,z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由题意得：()()2i i i 3a b a b +=--，即22i 3i +=-+a b b a ，则232a b b a =-⎧⎨=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩， 所以()()2i 2i 5⋅=---+=z z ；(2)∵()552552i 2i ⎫⎫=--=--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭mz m m m ， 且5mz 为纯虚数， ∴252050m m ⎧-=⎪⎪⎨⎫⎪-≠⎪⎪⎪⎝⎭⎩，∴m =18．已知平面直角坐标系xOy 中，有三个不同的点A ，B ，C ，其中()0,2A ，()3,1B ，(),C x y ． (1)若2AC BC =，求点C 的坐标；(2)若CA CB ⊥，且OC AB =，求OC AB ⋅． 【答案】(1)()6,0； (2)0﹒【分析】(1)根据向量线性运算的坐标表示即可列方程求解；(2)向量垂直，数量积为零，据此求出C 的坐标，再根据向量数量积坐标表示即可求解． 【详解】(1)∵(),2AC x y =-，()3,1BC x y =--，∴()()23622210x x x AC BC y y y ⎧=-=⎧⎪=⇒⇒⎨⎨-=-=⎪⎩⎩，即C 的坐标为()6,0C ．(2)∵(),2CA x y =--，()3,1CB x y =--，由2222·0332010CACBx y x y OC AB x y ⎧=⎧+--+=⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩，又∵A ，B ，C 为三个不同的点，13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3OC =，()3,1AB =-， ∴0OC AB ⋅=．19．已知平面向量()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，设函数()f x a b =⋅．(1)求函数()y f x =图象的对称轴；(2)若方程()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()62k x k Z ππ=+∈ (2)()1,2m ∈【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出26x π+的范围，即可求出函数的单调区间，依题意可得()y f x =与y m =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不同的交点，即可得解；【详解】(1)解：因为()cos sin a x x x =-，()cos sin ,2cos b x x x =+，且()f x a b =⋅，所以()()()cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =⋅=-++22cos sin cos x x x x =-+cos 22x x =12cos 222x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()262x k k Z πππ+=+∈时，解得()62k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴()62k x k Z ππ=+∈． (2)解：当02x π<<时，72666x πππ<+<， 令2662x πππ<+≤，解得06x π<≤，即函数在0,6π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，令72266x πππ<+<，解得62x ππ<<，即函数在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()02sin 16f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，2sin 22666f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22sin 12266f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x m =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个不相等的实数根，即()y f x =与y m =有两个不同的交点， ∴()1,2m ∈．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 20a B A =． (1)求角B 的大小；(2)给出三个条件：①b =②3a c +=+③cos sin c C A =，从中选出两个作为已知条件，求△ABC 的面积． 【答案】(1)6B π=【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数化简可得；（2）选①②利用余弦定理可求出ac ，再由面积公式求解；选①③由余弦定理及正弦定理转化为关于c 的方程求解即可得c ，再得出a ，由三角形面积公式求解；选②③由正弦定理转化为三角形边的方程，再联立已知即可求出ac ，由面积公式求解.【详解】(1)∵sin 2sin 0a B A =，∴2sin cos sin 0a B B A =∴2cos 0ab B =，从而()cos B 0πB =∈， ∴6B π=(2)若选①②：已知b =3a c +=+1）可知6B π=，由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∴()223a c ac +-=，即((2323ac +-=．解得ac =1sin 2ABCSac B ==若选①③：已知b =sin sin c C A =．由余弦定理可得22222cos 32a c b B a c ac +-==⇒+=∵sin sin c C A =，∴2c a =．∴43230c c +-=，即(30c c c +=∴c =∴3a =，∴1sin 2ABCSac B ==若选②③：已知3a c +=sin sin c C A = ∵sin sin c C A =，∴2c a =．23a c c a ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩3c a ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩∴1sin 2ABCSac B ==21．“方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区、技术保障区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块三角形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，2km AB BC AC ===，D 是BC 中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，△CDF 拟建成技术保障区，四边形AEDF 拟建成病房区，△BDE 拟建成医疗功能区，DE 和DF 拟建成专用快速通道，90EDF ∠=︒，记CDF θ∠=(1)若30θ=︒，求病房区所在四边形AEDF 的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E -D -F 的路程最短？最短路程是多少？ 【答案】53(2)45θ=︒，最短路程326【分析】（1）根据已知条件中的几何关系可知，DCF 是直角三角形、BDE 是等边三角形 ，分别求出线段的长，再进行面积求解即可；（2）在△BDE 中和△CDF 中分别表示出DE 、DF ，表示出快速通道E -D -F 的路程，再运用三角恒等变换公式进行化简，最后从函数值域的角度求最值. 【详解】(1)30θ=︒，则Rt DCF △中，1DC =，12CF =，3DF =； BDE 为等边三角形，1BD DE BE ===，DE AC ∥，四边形AEDF 为直角梯形，其面积为：13353122AEDP S ⎛=+= ⎝⎭(2)在△BDE 中，由正弦定理：()()sin60sin 30sin 90DE BD BEθθ==︒︒+︒- 在△CDF 中，由正弦定理；()sin60sin sin 120DF CF CDθθ==︒︒-所以()()sin603sin 30DE θ︒==︒+()()sin603sin 120DF θ︒==- ()()()()33311sin 120sin 30E D F l θθ--⎫==+⎪⎪︒-︒+⎝⎭()()()()()31sin cos sin 120sin 303333sin cos 2sin 30sin 12022332sin cos sin21θθθθθθθθθθθ++⎫︒-+︒+++==⎪⎪︒+︒-⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭sin cos 2sin 1,24t πθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，则22sin cos 1t θθ=- ()23333122331122t l t t tθ++==-⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭在1,2t ⎡⎤∈⎣⎦上单调递减，所以当2t =即45θ=︒时，取最小值326l =-.22．如图，圆柱1OO 的轴截面ABCD 为正方形，2AB =，EF 是圆柱上异于AD ，BC 的母线，P ，Q 分别为线段BF ，ED 上的点．(1)若P ，Q 分别为BF ，ED 的中点，证明：//PQ 平面CDF ； (2)若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC 的体积V 的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值12．【分析】（1）连接CE ，根据圆柱的性质可得四边形BEFC 为平行四边形，即可得到P 为CE 的中点，从而得到//PQ CD ，即可得证；（2）设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sin CF θ=，2cos DF θ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【详解】(1)证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形， 因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ， 因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ， 所以//PQ 平面CDF ，(2)解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤， 所以12sin cos sin 22DCFS CF DF θθθ=⋅==， 1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ， 由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++ 所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭ ∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++ ∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQ x x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令113u x x=++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQ u u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。

2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔A 〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2022·孝感八校]一个单位有职工200人，其中有业务员120人，管理人员50人，后勤效劳人员30人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样本，那么在20人的样本中应抽取管理人员人数为〔 〕 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】在20人的样本中应抽取管理人员人数为502051205030⨯=++，选C ．2．[2022·人大附中]“双色球〞彩票中有33个红色球，每个球的编号分别为01，02，…，33．一位彩民用随机数表法选取6个号码作为6个红色球的编号，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列的数3开始，从左向右读数，那么依次选出来的第3个红色球的编号为〔 〕 A ．21 B ．32C ．09D ．20【答案】C【解析】根据随机数表法的应用得到数据分别为：21，32，09…，故第三个数据为09．故答案为C ．3．[2022·南阳一中]要从已编号〔〕的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号是〔 〕A ．5，10，15，20，25，30，35B ．3，13，23，33，43，53，63C ．1，2，3，4，5，6，7D ．1，8，15，22，29，36，43【答案】B【解析】根据系统抽样的定义那么编号间距为70710÷=，那么满足条件是3，13，23，33，43，53，63；应选B ．4．[2022·张家界联考]如图是某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是〔 〕 A ．62 B ．63C ．64D ．65【答案】C【解析】甲：13，15，23，26，28，34，37，39，41，所以中间的数是28，乙：15，24，25，32，36，37，38，45，47，中间的数是36，所以甲的中位数是28，乙的中位数是36，所以和是283664+=，应选C ．5．[2022·西北工业大学附中]假设关于某设备使用年限x 〔年〕和所支出的维修费用y 〔万元〕有如下统计资料：假设对呈线性相关关系，那么与的线性回归方程必过的点是〔 〕x1 2 4 5 y11.5 5.58A ．()2,2B ．()1,2C ．()4,5D ．()3,4【答案】D 【解析】∵124534x +++==，1 1.5 5.5844y +++==，∴这组数据的样本中心点是()3,4，∵线性回归方程过样本中心点，∴线性回归方程一定过点()3,4，应选D ．6．[2022·聊城一中]执行如下图的程序框图，假设输出的结果为 1.5，那么输入k 的值应为〔 〕 A ．4.5 B ．6C ．7.5D ．9【答案】B【解析】1n =，S k =，判断是，2n =，22k k S k =-=，判断是，3n =，263k k kS =-=，判断是，4n =，3124k k k S =-=，判断否，输出 1.54kS ==，6k =，应选B ． 7．[2022·泉州一中]用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，那么两个小球颜色不同的概率为〔 〕 A ．13B ．12C ．23D ．58【答案】C【解析】三种不同的颜色分别用A ，B ，C 表示，随机事件所包含的根本领件有：(),A A ，(),A B ，(),A C ，(),B A ，(),B B ，(),B C ，(),C A ，(),C B ，(),C C 共9个，其中表示两个小球颜色不同的有6个，那么两个小球颜色不同的概率为6293P ==，应选C ． 8．[2022·淮南一模]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据几何概型的概率公式可得，A 图中奖的概率38P =，B 图中奖的概率2184P ==，C 图中奖的概率2163P ==，D 图中奖的概率13P =，那么概率最大的为A ，应选A 〔考点：几何概型〕．9．[2022·桂林联考]执行如下图的程序框图，假设输出的所有值之和是54，那么判断框的空白处应填〔 〕 A ．8n > B ．9n > C ．10n > D ．12n >【答案】B【解析】模拟程序的运行，可知，程序输出的x 是1，3，5，7，9，11，13，15，17中不是3的倍数的数，因为所有输出值的和157********+++++=．故程序共运行9次．即判断框的空白处应填9n >．应选B ．10．[2022·三明联考]如图是某工厂对一批新产品长度(单位:mm )检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的平均数与中位数分别为〔 〕 A ．22.5 20 B ．22.5 22.75C ．22.75 22.5D ．22.75 25【答案】C【解析】由题意，这批产品的平均数为()50021250041750082250032750033252275x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．，其中位数为()0050020.04520225008x -+⨯=+=....．应选C ．11．[2022·佳木斯一中]如果数据1x ，2x ，，n x 的平均数为x ，方差为2s ，那么143x +，243x +，，43n x +的平均数和方差分别为〔 〕A sB 2sC 216sD 216s【答案】D【解析】 ()()()2222121...n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦， 143x ∴+，243x +，...，43n x +的平均数为 143x +，243x +，...，43n x +的方差为()()()222212143434343...434316n x x x x x x S n ⎡⎤+--++--+++--=⎣⎦，应选D ． 12．[2022·临汾一中]在区间[]2,2-上任取一个数a ，那么函数()243f x x x a a =-+-+在[]0,4x ∈上的最大值是3的概率为〔 〕A ．34B ．14C ．45D ．25【答案】A【解析】由二次函数的性质可得，()243f x x x a =-+-在[]0,4上的最大值()()()(){}max max 024f x f f f =,,，又()max 3f x =，()()04f f =，()()03 23f f ⎧=⎪∴⎨≤⎪⎩或()()2303f f ⎧=≤⎪⎨⎪⎩，即33 113a a a a a -+=⇒≤⎧--+≤⎪⎨⎪⎩或13133a a a a a ⎧--+=⎪⇒=⎨-+≤⎪⎩，综合两种情况及[]22a ∈-，可得21a -≤≤，由几何概型概率公式可得函数()f x 在[]04x ∈，上的最大值是3的概率为()()123224--=--，应选A ． 第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2022·四川诊断]我国古代数学名著?九章算术?有一抽样问题：“今有北乡假设干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面假设干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人〔用分层抽样的方法〕，那么北面共有__________人． 【答案】8100【解析】因为共抽调300人，北面抽掉了108人，所以西面和南面共14400人中抽出了192人，所以抽样比为19214400，所以北面共有144001088100192⨯=人，故填8100．14．[2022·中山一中]如下图的框图运行后，假设输入n 的值为60，那么输出的结果是______．【答案】63 【解析】636420062m ⨯=>，所以输出63n =． 15．[2022·太原模拟]某人在微信群中发了一个7元“拼手气〞红包，被甲、乙、丙三人抢完，假设三人均领到整数元，且每人至少领到1元，那么甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是___________． 【答案】25【解析】由题意得共有()115,,，()151,,，()511,,，()124,,，()142,,，()214,,，()241,,，()412,,，()421,,，()133,,，()313,,，()331,,，()223,,，()232,,，()322,,这15种， 其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有()511,,，()412,,，()421,,，()313,,，()331,,，()322,,这6种，所以概率为62155=．16．[2022·泉州模拟]图①是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，图中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入(单位:元)在[)1000,1500，[)1500,2000，[)2000,2500，[)2500,3000，[)3000,3500，[)3500,4000的人数依次为1A ，2A ，⋯，6A ，图②是统计月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，那么样本的容量n =_____，输出的S =_____．(用数字作答)图①图②【答案】〔1〕10000；〔2〕6000【解析】∵月收入在[)1000,1500的频率为0000850004⨯=..，且有4000人，∴样本的容量4000100000.4n ==． 由图②知输出的2361000040006000S A A A =++⋯+=-=．故填〔1〕10000，〔2〕6000．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2022·哈尔滨六中]从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155,160，第二组[)160,165，⋯，第八组[]190,195，以下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部，第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．〔1〕估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm )的人数；〔2〕求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图〔如需增加刻度请在纵轴上标记出数据，并用直尺作图〕；〔3〕由直方图估计男生身高的中位数． 【答案】〔1〕144；〔2〕详见解析；〔3〕174.5． 【解析】〔1〕由直方图，前五组频率为()000800160040040065082⨯.+.+.+.+.=.， 后三组频率为10.82018-=.；这所学校高三男生身高在180cm 以上(含180cm )的人数为8000.18144⨯=人．···········3分〔2〕由频率分布直方图得第八组频率为0.0085004⨯=.，人数为004502⨯=.人， 设第六组人数为m ，那么第七组人数为0185027m m ⨯--=-.，又()227m m +=-，所以4m =，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．频率除以组距分别等于0.016，0.012，见图．···········7分 〔3〕设中位数为n ，由[]155,170频率为0.32，所以[)170,175n ∈，1700.50.3250.2n --=， 解得174.5n =．···········10分18．[2022·阜城期末]某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，统计后得到频率分布直方图如下图：〔1〕试估计这组样本数据的众数和中位数〔结果精确到0.1〕；〔2〕年级决定在成绩[]70,100中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，那么在[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组分别抽取了多少人？〔3〕现在要从〔2〕中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长的概率．【答案】〔1〕65，73.3；〔2〕3，2，1；〔3〕35． 【解析】〔1〕由频率分布直方图得：众数为：6070652+=．成绩在[)5070,内的频率为：()000500351004+⨯=...， 成绩在[)70,80内的频率为：0031003⨯=..， ∴中位数为：0.1701073.30.3+⨯≈．···········4分 〔2〕成绩为[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组的频率分别为0.3，0.2，0..1， ∴[)70,80，[)80,90，[]90,100这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．·····7分 〔3〕由〔2〕知成绩在[)70,80有3人，分别记为a ，b ，c ；成绩在[)80,90有2人，分别记为d ，e ；成绩在[]90,100有1人，记为f ．∴从〔2〕中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的根本领件有2630A =种，分别为：ab ，ba ，ac ，ca ，ad ，da ，ae ，ea ，af ，fa ，bc ，cb ，bd ，db ，be ，eb ，bf ，fb ，cd ，dc ，ce ，ec ，cf ，fc ，de ，ed ，df ，fd ，ef ，fe ，记“成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长〞为事件Q ， 那么事件Q 包含的根本领件有18种，∴成绩在[)80,90中至少有1人中选为正、副小组长的概率()183305P Q ==．···12分 19．[2022·成都七中]在“新零售〞模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，方案在S 市A 区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到以下表格．记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这x 个分店的年收入之和．〔1〕该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；〔2〕假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位：百万元)与x ，y 之间的关系为200514z y x =--..，请结合〔1〕中的线性回归方程，估算该公司在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-． 【答案】〔1〕08506y x =+..；〔2〕4．【解析】〔1〕由表中数据和参考数据得：4x =，4y =，()()()121ˆ8508510ni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑..，ˆ4408506ˆa y bx =-=-⨯=..． ∴y 关于x 的线性回归方程为08506y x =+..．··········6分 〔2〕220051400508508z y x x x =--=-+-.....，A 区平均每个分店的年利润08800050850015085z t x x x x x ⎛⎫==--+=-++ ⎪⎝⎭.....， ∴4x =时，t 取得最大值．故该公司应在A 区开设4个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大．··········12分20．[2022·河南八市联考]某超市周年庆典，设置了一项互动游戏如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头P 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数〔箭头指向两个区域的边界时重新转动〕，且箭头P 指向每个区域的可能性都是相等的．要求每个家庭派一名儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，记为()a,b ，假设一个家庭总得分a b X =+，假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动，游戏规定：①假设X 8>，那么该家庭可以获得一等奖一份； ②假设X 8=，那么该家庭可以获得二等奖一份；假设()080X ab <<≠，那么该家庭可以获得纪念奖一份． 〔1〕求一个家庭获得纪念奖的概率；〔2〕试比拟同一个家庭获得一等奖和二等奖概率的大小． 【答案】〔1〕一个家庭获得纪念奖的概率为1936；〔2〕见解析． 【解析】〔1〕由题意可知，一个家庭的得分情况共有36种，获得纪念奖的情况为()11,，()12,，()13,，()14,，()15,，()21,，()22,，()23,，()24,，()25,，()31,，()32,，()33,，()34,，()41,，()42,，()43,，()51,，()52,．共有19种． 记事件A =“一个家庭获得纪念奖〞，那么()1936P A =． 故一个家庭获得纪念奖的概率为1936．··········6分 〔2〕记事件B =“一个家庭获得一等奖〞，那么符合获得一等奖条件的得分情况包括：()45,，()54,，()55,共3种，那么()313612P B ==． 记事件C =“一个家庭获得二等奖〞，那么符合获得二等奖条件的得分情况包括：()44,，()53,，()35,共3种，所以()112P C =； 所以同一个家庭获得一等奖和二等奖的概率相等．·········12分21．[2022·成都期末]阅读如下图的程序框图，解答以下问题： 〔1〕求输入的x 的值分别为1-，2时，输出的()f x 的值；〔2〕根据程序框图，写出函数()f x ()x R ∈的解析式；并求当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时，实数k 的取值范围． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕()0,1．【解析】〔1〕当输入的x 的值为1-时，输出的()1122f x -==；··········3分 当输入的x 的值为2时，输出的()222211f x =-⨯+=．··········6分〔2〕根据程序框图，可得()22020 210x x f x x x x x ⎧<⎪==⎨⎪-+>⎩， 当0x <时，()2xf x =，此时()f x 单调递增，且()01f x <<；当0x =时，()2f x =；当0x >时，()()22211f x x x x =-+=-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()0f x ≥．那么可知当关于x 的方程()0f x k -=有三个互不相等的实数解时， 实数k 的取值范围为()0,1．··········12分22．[2022·大同一中]设关于x的一元二次方程20x b ++=．〔1〕假设a 是从0、1、2、3四个数中任取的一个数，b 是从0、1、2三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；〔2〕假设a 是从区间[]03，任取的一个数，b 是从区间[]02，任取的一个数，求上述方程有实数根的概率． 【答案】〔1〕()34P A =；〔2〕23． 【解析】设事件A为“方程20x b ++=有实根〞，方程20x b ++=有实根，那么a b ≥．〔1〕根本领件共12个：()0,0，()0,1，()0,2，()1,0，()1,1，()1,2，()2,0，()2,1，()2,2，- 11 - ()3,0，()3,1，()3,2，其中括号第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个根本领件，()00，，()10，，()11，，()20，，()21，，()22，，()30，，()31，，()32，，事件A 发生的概率为；()93124P A ==．··········6分〔2〕试验的全部结束所构成的区域为(){},|03,02a b a b ≤≤≤≤，构成事件A 的区域为(){},|03,02,a b a b a b ≤≤≤≤≥，··········12分 在Rt PAB △中，PB ==． ∴Rt PBD △中，12BPD S DP PB ∆=⋅⋅=．。

一、选择题1．cos（）的值是（）A．B．C．D．2．已知向量（cosθ，sinθ），（1，），若与的夹角为，则||＝（）A．2B．C．D．13．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝1，b，∠C＝45°，则∠A＝（）A．150°B．60°C．45°D．30°4．已知平面向量，满足||＝||＝1，若|32|，则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．把函数y＝sin（2x）的图象向左平移后，所得函数的解析式是（）A．y＝sin2xB．C．D．y＝﹣sin2x6．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（）的一条对称轴为，一个对称中心为，则ω有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值17．已知向量，满足||＝4，在上的投影的数量为﹣2，则|2|的最小值为（）A．4B．10C．D．88．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1B．C．D．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（）A．B．C．D．10．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点）．则△ABC周长的最小值是（）A．B．C．D．11．函数f（x）＝cos（2x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x B．x C．xπD．x12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量||＝3，||，若（λ）⊥（λ），则实数λ＝．14．已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝．15．cos•cos16．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC，BC＝3，则•的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tanα＝2，（1）求3cos2α+2sin2α的值；（2）求的值．18．已知，，是同一平面内的三个向量，其中（1，2），（﹣2，4），（﹣2，m）．（1）若⊥（），求||；（2）若k与2共线，求k的值．19．已知sin（α）+sinα，cosβ且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA acosB．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的周长．21．已知函数．（1）求的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．22．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上（1）当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1-10题每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，11-12为多选题. 1．cos（）的值是（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．解：cos（）＝cos（﹣8π）＝cos．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．2．已知向量（cosθ，sinθ），（1，），若与的夹角为，则||＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用向量数量积运算性质、模的计算公式即可得出．解：∵向量（cosθ，sinθ），（1，），∴1，．∵与的夹角为，∴2•1+3+2×1cos7，解得||．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝1，b，∠C＝45°，则∠A＝（）A．150°B．60°C．45°D．30°【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，利用等腰三角形的性质可求A的值．解：∵a＝1，b，∠C＝45°，∴由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝1+2﹣2，解得：c＝1，∴A＝C＝45°．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4．已知平面向量，满足||＝||＝1，若|32|，则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】由题意利用两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，求得向量与的夹角的余弦值，可得向量与的夹角．解：∵平面向量，满足||＝||＝1，若|32|，设向量与的夹角为θ，θ∈[0°，180°]，则有7，即912•47，即9+12•1•1•cosθ+4＝7，求得cosθ，∴θ＝120°，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量数量积的定义，求向量的模，属于基础题．5．把函数y＝sin（2x）的图象向左平移后，所得函数的解析式是（）A．y＝sin2xB．C．D．y＝﹣sin2x【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数y＝sin（2x）的图象向左平移后，所得函数的解析式是y＝sin[2（x）]＝sin（2x），故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．6．已知ω＞0，函数f（x）＝cos（）的一条对称轴为，一个对称中心为，则ω有（）A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1【分析】由函数f（x）＝cos（）的﹣条对称轴为，求得φ＝3k﹣1 ①．再由﹣个对称中心为，求得ω＝12n+2 ②．综合①②可得，ω的最小值为2．解：由已知ω＞0，函数f（x）＝cos（）的﹣条对称轴为，可得ωkπ，k∈z，求得φ＝3k﹣1 ①．再由﹣个对称中心为，可得ωnπ，n∈z，解得ω＝12n+2 ②．综合①②可得，ω的最小值为2，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝Acos（ωx+φ）的对称性的应用，属于中档题．7．已知向量，满足||＝4，在上的投影的数量为﹣2，则|2|的最小值为（）A．4B．10C．D．8【分析】由在上的投影的数量为﹣2，可得||cos，2，||，可得﹣1≤cos，0，∴||≥2，利用数量积运算性质展开，即可得出．解：∵在上的投影的数量为﹣2，∴||cos，2，∴||，∴﹣1≤cos，0，∴||≥2，∵4•442﹣4×4×（﹣2）+448+448+4×22＝64．∴|2|的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查了向量的投影、数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则sin2θ﹣cos2θ的值等于（）A．1B．C．D．【分析】求出每个直角三角形的长直角边，短直角边的长，推出小正方形的边长，先利用小正方形的面积求得（cosθ﹣sinθ）2的值，判断出cosθ＞sinθ求得cosθ﹣sinθ的值，然后求得2cosθsinθ利用配方法求得（cosθ+sinθ）2的进而求得cosθ+sinθ，利用平方差公式把sin2θ﹣cos2θ展开后，把cosθ+sinθ和cosθ﹣sinθ的值代入即可求得答案．解：依题意可知拼图中的每个直角三角形的长直角边为cosθ，短直角边为sinθ，小正方形的边长为cosθ﹣sinθ，∵小正方形的面积是，∴（cosθ﹣sinθ）2又θ为直角三角形中较小的锐角，∴cosθ＞sinθ∴cosθ﹣sinθ又∵（cosθ﹣sinθ）2＝1﹣2sinθcosθ∴2cosθsinθ∴1+2sinθcosθ即（cosθ+sinθ）2∴cosθ+sinθ∴sin2θ﹣cos2θ＝（cosθ+sinθ）（sinθ﹣cosθ）故选：B．【点评】本题主要考查了三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系．考查了学生综合分析推理和基本的运算能力．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝（a+b）2﹣c2，则tanC＝（）A．B．C．D．【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC，再由余弦定理，结合2S＝（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣2cosC＝2，然后通过（sinC﹣2cosC）2＝4，求出结果即可．解：△ABC中，∵S△ABC，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC，且2S＝（a+b）2﹣c2，∴absinC＝（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC＝2，∴（sinC﹣2cosC）2＝4．∴4，化简可得3tan2C+4tanC＝0．∵C∈（0，180°），∴tanC，故选：C．【点评】本题考查了余弦定理、三角形面积公式以及三角函数的化简求值，要注意角C的范围，属于中档题．10．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75°的扇形，点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O，P，Q三点）．则△ABC周长的最小值是（）A．B．C．D．【分析】先根据对称性将边BC，边AC转移，再根据三角形三边在一直线时周长最小的思路即可解答．解：作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．则C△ABC＝C1B+BA+AC2≥C1C2．又∵C1C2而∠C1OC2＝∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2＝2（∠QOC+∠POC）＝2∠QOP＝150°∴．∴△ABC的周长的最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查数形结合，余弦定理的运用，解题关键是：三边转成一线时三角形周长最小．11．函数f（x）＝cos（2x）的图象的一条对称轴方程为（）A．x B．x C．xπD．x【分析】由余弦函数的性质，令2x kπ，k∈Z，解得：x，k∈Z，讨论即可求解．解：令2x kπ，k∈Z，则解得：x，k∈Z，当k＝1时，x，当k＝2时，x．故选：BC．【点评】本题主要考查了余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则△ABC不可能为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求得B为钝角，进而可判断．解：由正弦定理可得，cosA，整理可得，sinC＜sinBcosA，所以sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，故sinAcosB＜0，因为sinA＞0，所以cosB＜0即B为钝角，则△ABC为钝角三角形．∴△ABC不可能为直角三角形或等边三角形．故选：BD．【点评】本题主要考查了利用正弦定理及和差角公式判断三角形的形状，属于基础试题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量||＝3，||，若（λ）⊥（λ），则实数λ＝±3 ．【分析】由已知结合向量数量积的性质进行转化即可求解．解：若（λ）⊥（λ），则（λ）•（λ），∴18﹣2λ2＝0，∴λ＝±3，故答案为：±3【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．14．已知函数f（x）sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示，则ω＝ 2 ，φ＝．【分析】由函数f（x）的部分图象，求出最小正周期T得ω；由f （）＝0，结合φ的范围，由正弦函数的图象和性质可求出φ的值．解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，T，∴T＝π，∴ω2；又f（）sin（2φ）＝0，∴由正弦函数的图象和性质可得：φ＝2kπ+π，k∈Z，且0＜φ＜2π，∴φ．故答案为：2，．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题．15．cos•cos【分析】利用三角函数公式化简即可求出结果．解：cos•cos，故答案为：．【点评】本题主要考查了运用三角函数公式化简求值，是基础题．16．△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC，BC＝3，则•的值为．【分析】取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC．可得（），，代入•，化简整理即可得出．解：取BC的中点D，连接AD，OD，则OD⊥BC．（），，∴•（）••••（）（）（）[22]，故答案为：．【点评】本题考查了向量三角形与平行四边形法则、数量积运算性质、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知tanα＝2，（1）求3cos2α+2sin2α的值；（2）求的值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．解：（1）∵tanα＝2，∴3cos2α+2sin2α＝2+cos2α＝222．（2）cotα．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．18．已知，，是同一平面内的三个向量，其中（1，2），（﹣2，4），（﹣2，m）．（1）若⊥（），求||；（2）若k与2共线，求k的值．【分析】（1）先分别求出向量的坐标，然后根据向量数量积的性质的坐标表示可求；（2）根据向量平行的坐标表示即可直接求解．解：（1）因为（﹣2，4），（﹣2，m），所以（﹣4，4+m），若⊥（），则•（）＝﹣4+2（4+m）＝0，解可得，m＝﹣2，（﹣2，﹣2）所以||＝2，（2）由已知可得k（k﹣2，k+4），（4，0），所以0×（k﹣2）＝4（2k+4），所以k＝﹣2．【点评】本题考查了向量平行及垂直的坐标表示，属于基础试题．19．已知sin（α）+sinα，cosβ且α，β∈（0，π），（1）求α的值；（2）求cos（α+2β）的值．【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简已知可得sin（α），求得α的范围，可求α的值，进而可得α的值．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinβ的值，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：，…因为：α∈（0，π），所以：，所以：，所以：．…（2）因为：，所以：，所以：，所以：．…【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．20．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA acosB．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求△ABC的周长．【分析】（1）由题意利用正弦定理求得tanB 的值，可得B的值．（2）由题意利用余弦定理求得a的值，可得c的值，从而求得△ABC的周长a+b+c的值．解：（1）△ABC中，∵bsinA acosB，由正弦定理得sinBsinA sinAcosB，∴tanB，B．（2）∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，又b2＝a2+c2﹣2ac•cosB，B，b＝3，∴9＝a2+4a2﹣2a•2a•cos，∴a，c＝2．∴△ABC的周长为a+b+c＝3+3．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．21．已知函数．（1）求的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平移后得到函数y＝g（x），若时，不等式c＜g（x）＜c+2恒成立，求实数c的取值范围．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）直接利用平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用函数的值域和恒成立问题的应用求出结果．解：（1），所以．（2），由于，所以，则，由c＜g （x）＜c+2在恒成立，所以，整理得，所以实数c的取值范围为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设小型生态园，点M，N分别在边AB，AD上（1）当点M，N分别时边AB中点和AD靠近D的三等分点时，求∠MCN的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，△AMN的周长必须为1.2千米，请研究∠MCN是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由．【分析】（1）根据题意计算tan∠DCN和tan∠MCB的值，求出tan（∠DCN+∠MCB）的值，即得∠MCN，再求cos∠MCN；（2）设AM＝x，AN＝y，利用余弦定理求出xy、再计算tan∠DCN、tan∠MCB，从而求得tan（∠DCN+∠MCB），得出∠MCN为定值．解：（1）当点M，N分别是边AB中点和AD靠近D的三等分点时，tan∠DCN，tan∠MCB，如图所示；所以tan（∠DCN+∠MCB）1，所以∠DCN+∠MCB，所以∠MCN，所以cos∠MCN；（2）设AM＝x，AN＝y，则MN2＝x2+y2＝（1.2﹣x﹣y）2，可得xy＝1.2（x+y）﹣0.72，又tan∠DCN，tan∠MCB，所以tan（∠DCN+∠MCB），将xy＝1.2（x+y）﹣0.72代入上式，计算得tan（∠DCN+MCB）＝1，所以∠DCN+∠MCB，所以∠MCN为定值．【点评】本题考查了三角形中边角关系应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．。

2020-2021学年重庆市南开中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(2x,−3)且a ⃗ //b ⃗ ，则x =( )A. −3B. −34C. 0D. 342. 已知复数z 满足z(1−2i)=3−i ，则复数z 的虚部为( )A. −iB. iC. −1D. 13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“acosB =bcosA ”是“△ABC是等边三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a ⃗ +23b ⃗ B. 13a ⃗ +12b ⃗ C. 12a ⃗ +14b ⃗ D. 14a ⃗ +12b ⃗ 5. 在△ABC 中，面积S =a 2−(b −c)2，则sinA =( )A. 1517B. 817C. 1315D. 13176. a ，b 是空间两条不相交的直线，那么过直线b 且平行于直线a 的平面( )A. 有且仅有一个B. 至少有一个C. 至多有一个D. 有无数个7. 平面向量a ⃗ =(sinθ,2)，b ⃗ =(1,−cosθ)，已知|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ −b⃗ |，则tan2θ=( ) A. 3B. 43C. 34D. −438. 如图所示，在四边形ABCD 中，△ABD 是边长为4的等边三角形，AC =2√13，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−t)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (t >1)，则OD =( )A. 52 B. 2√2 C.3 D. √139. 已知△ABC 面积为12，BC =6，则下列说法正确的是( )A. 若cosB =2√55，则sinA =35 B. sin A 的最大值为1213 C. c b +b c 的值可以为92D. cb +2bc 的值可以为92二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是( )A. 若a >b ，则sinA >sinBB. 若a =4，b =5，c =6，则△ABC 为钝角三角形C. 若a =4，b =10，A =π6，则符合条件的三角形不存在 D. 若bcosC +ccosB =asinA ，则△ABC 为直角三角形11. 已知直线a ，b 和平面β，γ，下列说法中不正确的有( )A. 若a//β，a ⊂γ，β∩γ=b ，则a//bB. 若a//β，b//β，则a//bC. 若a 与b 为异面直线，且a//β，a//γ，b//β，b//γ，则β//γD. 若a//b ，b//γ，则a//γ12. 已知直角三角形ABC 斜边AC =10，直角边AB =6，动点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−24，下列说法正确的是( ) A. |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为10 B. |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为6 C. AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为24 D. 存在D 点满足DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知M(−2,7)、N(10,−2)，点P 是线段MN 上的点，且PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则P 点的坐标为______．14. 多项式x 2+1在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后x 2+1=(x +i)(x −i)，则在复数范围内多项式x 2−4x +5分解成一次因式乘积的结果为______． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，cosB =513，则a+b c=______．16. 如图所示四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，AD ⊥AB ，AB =AD =12CD =1，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，O ∈面ABCD ，PO//平面MBD ，则O 点轨迹长度为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.三棱锥P−ABC，PA=4，BC=6．(1)该棱锥的6条棱中，共有多少对异面直线？请一一列出；(2)若PB中点为M，AC中点为N，MN=4，求异面直线PA与BC所成角的余弦值．18.已知|b⃗ |=2|a⃗|=2，a⃗，b⃗ 夹角为60°，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )．(1)求实数λ的值；(2)求|a⃗+λb⃗ |．19.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别是棱DD1，AB的中点．(1)平面PQC与直线AA1交于R点，求AR的值；A1R(2)M为线段CC1上靠近C点的四等分点，求证：BM//面PQC．20.在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有a=2．在下列条件中选择一个条件完成该题目：①cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0；②2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC．(1)求A的大小；(2)求2b−c的取值范围．21.如图所示，在△ABC中，BD=AC=2AD，CD=2，E为CD中点，直线AE与BC边交于点F．(1)若AC=BC，求AB长度；(2)求AF长度范围．22.有一鱼池，其中有两条边l1，l2成定角120°，现要在距离A点1米处的地方钉一粒钉子D，然后过D拉一条浮漂隔离线BC，使△ABC内无浮漂，便于观赏鱼类．B，C两点分别固定在两边l1，l2上．(1)若∠BAD=60°，求△ABC面积的最小值；(2)若无论怎么拉浮漂隔离线BC，总能使得△ABC的面积不低于2√3，求∠BAD的取3值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了平面向量共线的坐标表示．属于基础题．根据平面向量的共线定理的坐标表示(x1y2−x2y1=0)代入即可求解．【解答】解：∵a⃗=(1,2)，b⃗ =(2x,−3)且a⃗//b⃗ ，∴1×(−3)−2×(2x)=0，∴x=−3，4故选B．2.【答案】D【解析】解：复数z满足z(1−2i)=3−i，∴z(1−2i)(1+2i)=(3−i)(1+2i)，化为5z=5+5i，∴z=1+i，则复数z的虚部为1，故选：D．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出复数z的虚部．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由acosB=bcosA得sinAcosB=sinBcosA，即tanA=tanB，在三角形内A=B，则△ABC是等腰三角形，不一定是等边三角形，即充分性不成立，若“△ABC是等边三角形，则A=B，此时acosB=bcosA成立，即“acosB=bcosA”是“△ABC是等边三角形”的必要不充分条件，故选：B．根据正弦定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用正弦定理进行转化是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查向量的加法和数乘运算，属于基础题．可画出图形，根据条件及向量加法的平行四边形法则和向量数乘的几何意义即可用a ⃗ ,b ⃗ 表示出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】 解：如图，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，M 是AB 的中点，N 是CM 的中点；∴AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14a ⃗ +12b ⃗ ． 故选：D ．5.【答案】B【解析】 【分析】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．根据三角形的面积公式表示出三角形ABC 的面积，由已知的面积利用完全平方公式化简后，利用余弦定理变形，两面积相等利用同角三角间的基本关系即可求出sin A 的值． 【解答】解：根据S =12bcsinA ，又a 2=b 2+c 2−2bccosA ，则S =a 2−(b −c)2=a 2−b 2−c 2+2bc =−2bccosA +2bc ，所以−2bccosA+2bc=12bcsinA，化简得：sinA=−4cosA+4①，又sin2A+cos2A=1②，联立①②，解得：sinA=817．故选：B．6.【答案】B【解析】解：∵a，b是空间两条不相交的直线，∴a，b的位置关系有两种：即平行或异面．若a，b平行，那么过直线b且平行于直线a的平面有无数个；若a，b异面，如图，在b上任取一点O，过O作c//a，则b，c确定平面α，∴a//α，那么过直线b且平行于直线a的平面只有1个．故过直线b且平行于直线a的平面至少有一个．故选：B．空间中两直线不相交，则两直线可能平行，也可能异面，然后分a，b平行和异面讨论．本题考查了直线与平面平行的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．7.【答案】D【解析】解：平面向量a⃗=(sinθ,2)，b⃗ =(1,−cosθ)，已知|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，∴a⃗⋅b⃗ =0，sinθ−2cosθ=0，即tanθ=2，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−43，故选：D．由题意可得a⃗⋅b⃗ =0，求得tanθ=2，再利用二倍角的正切公式，求得tan2θ的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，二倍角的正切公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ =t CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2−t)CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =t(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(2−t)(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵B ，O ，D 三点共线，∴λ(t −2)−λt =1，∴λ=−12，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13， ∴在△AOD 中，∠ADO =60°，AD =4，AO =√13， ∴由余弦定理得：AO 2=AD 2+OD 2−2AD ⋅ODcos60°， ∴13=16+OD 2−4OD ， 解得：OD =1(舍去)或OD =3， 故选：C ．由题意可知CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =1λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(t −2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λt AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由B ，O ，D 三点共线可得λ(t −2)−λt =1，所以λ=−12，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13，在△AOD 中由余弦定理即可求出OD 的长． 本题主要考查了平面向量基本定理，考查了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．9.【答案】A【解析】解：如图所示，过A 点作AD ⊥BC 于D ，S △ABC =12BC ⋅AD =12，BC =6，∴AD =4，又AD =ABsinB =ACsin∠ACD ， 若cosB =2√55，则AB =AD sinB=4√5，BD =ABcosB =8，∴CD =BD −BC =2，∴AC =√AD 2+CD 2=2√5，∴S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12，∴sinA =35， 故选项A 正确；由S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12，得sinA =24AB⋅AC ，当sin A 取最大值时，AB ⋅AC 取最小值，AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，当D 在线段BC 上时，BD +CD =BC =6， ∴AB 2⋅AC 2=(16+BD 2)(16+CD 2)，令BD =t +3，则CD =3−t ，t ∈(−3,3)， AB 2⋅AC 2=[16+(t +3)2][16+(t −3)2]=(t 2−9)2+32(t 2−9)+32×18+162，∴当t 2=0时，AB 2⋅AC min 2=252，即sin A 的最小值为2425>1213，故选项B 错误；假设cb +bc =92，得c b =±√654+94，不妨取c b =√654+94，由选项B ，AB 2=16+(t +3)2，t ∈(−3,3)， ∴c 2b 2=AB 2AC 2=16+(t+3)216+(t−3)2=1+1225t+t−6，其中25t +t ∈(−∞,−343)∪(343,+∞)， ∴c 2b 2≤1+12343−6=134<(√654+94)2，假设不成立， 故选项C 错误； cb +2b c=92时，c b =12或cb =4，由c 2b 2=1+1225t+t−6=14或16，又b 2c 2∈(413,1)∪(1,134)，无解，故选项D 错误． 故选：A ．由已知条件可将选项A 、B 的问题利用面积桥和边的关系进行推导，对于选项C 、D ，可利用反证法进行推导证明．本题考查了解三角形，以及三角函数的灵活运用．10.【答案】ACD【解析】解：对于A ：若a >b ，所以2RsinA >2RsinB ，整理得sinA >sinB ，故A 正确；对于B：根据a=4，b=5，c=6，利用余弦定理cosC=a2+b2−c22ab =18>0，所以最大角C<π2，故△ABC为锐角三角形；故B错误；对于C：由于a=4，b=10，A=π6，利用正弦定理：asinA=bsinB，整理得sinB=54>1，故不存在这样的三角形，故C正确；对于D：若bcosC+ccosB=asinA，整理得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，故sin(B+ C)=sinAsinA，故sinA=1(0舍去)，故△ABC为直角三角形，故D正确．故选：ACD．直接利用三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于A：a//β，a⊂γ，β∩γ=b，由线面平行的性质，则a//b，故A正确；对于B：a//β，b//β，则a//b或a和b相交，或异面，故B错误；对于C：a与b为异面直线，且a//β，a//γ，b//β，b//γ，根据面面平行的判定定理的推论，则β//γ，故C正确；对于D：当a//b，b//γ，则a//γ或a⊂γ内，故D错误；故选：BD．直接利用线面平行的判定和性质的应用，面面平行的判定和性质的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：线面平行的判定和性质的应用，面面平行的判定和性质的应用，主要考查学生对空间问题的应用，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：已知直角三角形ABC斜边AC=10，直角边AB=6，∴由勾股定理可得BC2=AC2−AB2，∴BC=8．以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系，如图：则C(0,8)，A(6,0)，B(0,0)，设D(x,y)，可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −8)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −6,y)，∵动点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−24，∴(x,y −8)(x −6,y)=−24，即x 2−6x +y 2−8y =−24，整理得(x −3)2+(y −4)2=1，所以点D 的轨迹为以(3,4)为圆心，1为半径的圆，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)． |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x −6)2+4y 2=2√(x −6)2+y 2，等价于点D 到点(6,0)的距离， ∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =10，故选项A 正确； BA⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,0)，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −6,y)，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x −6)2+y 2， ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =6，故选项B 正确；AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6(6−x)=36−6x ，当x =2时，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值24，故选项C 正确； 假设存在点D ，使满足DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则D 为△ABC 的重心， ∴D(2,83)，不满足方程(x −3)2+(y −4)2=1，所以假设不成立，故选项D 错误； 故选：ABC ．由题干可得到动点D 的轨迹为圆，再由向量的坐标表示对选项逐一判断即可． 本题考查了向量的坐标表示以及向量的模长公式的应用．13.【答案】(2,4)【解析】解：设P(x,y)，则PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(10−x,−2−y)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,7−y)， ∵PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{10−x =−2(−2−x)−2−y =−2(7−y)， ∴{x =2y =4∴P 点的坐标为(2,4)．故答案为：(2,4)先写出2个向量的坐标，利用2个向量相等，则他们的坐标对应相等．本题考查两个向量相等的条件，两个向量相等时，他们的坐标相等，考查计算能力．14.【答案】(x −2+i)(x −2−i)【解析】解：∵x 2+1=(x +i)(x −i)，∴x 2−4x +5=x 2−4x +4+1=(x −2)2+1=(x −2+i)(x −2−i)． 故答案为：(x −2+i)(x −2−i)．把已知二次三项式配方变形，结合x 2+1=(x +i)(x −i)得答案． 本题考查复数的运算，把已知二次三项式配方变形是关键，是基础题．15.【答案】2【解析】解：因为cosA =35，cosB =513，所以sinA =√1−cos 2A =45，sinB =√1−cos 2B =1213，可得sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =45×513+35×1213=5665， 由正弦定理可得a+b c=sinA+sinB sinC=45+12135665=2．故答案为：2．利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，sin B 的值，利用两角和的正弦公式可求sin C 的值，进而根据正弦定理，即可计算得解．本题主要正弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数的化简和求值，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】3√24【解析】解：延长AB 至E ，使得AE =DC ，且AE//DC ，连接EC取BE 的中点F ，作BD//FG ，交BC 于点H ，DC 于G ，连接PG ，因为AB=AD=12CD，所以AB=BE，此时在△AFP中，有AM=2MP，AB=2BF，所以PF//MB，又面PFG//平面MBD，所以O的轨迹为GH，因为BF//DG，BD//GF，所以四边形BFGD是平行四边形，所以DG=BF=12AB=12，所以∠HFB=∠DBA=45°，在△BEC中，BE=CE，CE⊥BE，所以∠HBF=45°，在△BHF中，∠BHF=180°−∠HFB−∠HBF=90°，又BF=12，所以HF=√24，所以GH=GF−HF=BD−HF=√2−√24=3√24．故答案为：3√24．延长AB至E，使得AE=DC，且AE//DC，连接EC，取BE的中点F，作BD//FG，交BC于点H，DC于G，连接PG，由线面平行的判定定理可得面PFG//平面MBD，进而可得O的轨迹为GH，在计算，即可得出答案．本题考查立体几何中的轨迹问题，解题中需要熟悉几何体的特征，属于中档题．17.【答案】解：(1)该棱锥的6条棱中，共有3对异面直线，分别是PA与BC，PB与AC，PC与AB．(2)如图，取AB中点O，连接OM，ON，因为PB中点为M，AC中点为N，所以OM//PA，ON//BC，所以异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，PA=4，BC=6．所以OM=2，ON=3，又MN=4，在△MON中，由余弦定理可得cos∠MON=OM2+ON2−MN22OM⋅ON =4+9−162×2×3=−14，所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为14．【解析】(1)由异面直线的定义即可求解；(2)取AB中点O，连接OM，ON，可得异面直线PA与BC所成的角为∠MON或其补角，利用余弦定理即可求得异面直线PA与BC所成角的余弦值．本题主要考查异面直线及其所成的角，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵|b⃗ |=2|a⃗|=2，a⃗，b⃗ 夹角为60°，(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗+λb⃗ )．∴(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗+λb⃗ )=a⃗2+(λ+1)a⃗⋅b⃗ +λb⃗ 2=1+(λ+1)⋅1⋅2⋅cos60°+4λ=0，求得λ=−25．(2)|a⃗+λb⃗ |=√(a⃗+λb⃗ )2=√a⃗2+2λa⃗⋅b⃗ +λ2b⃗ 2=√1+2λ⋅1⋅2⋅cos60°+λ222=√1+2λ+4λ2=√215．【解析】(1)由题意利用两个向量垂直的性质，求得λ的值．(2)由题意利用求向量的模的方法，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于中档题．19.【答案】(1)解：延长CQ和DA交于E，连接PE，交A1A于R，即平面PQC与直线AA1交于R点，因为Q为AB中点，AQ//DC，所以A为ED中点，于是AR=12⋅PD=12⋅12⋅D1D=14⋅D1D=14⋅A1A，所以ARA1R =13；(2)证明：取PC中点N，DC中点G，连接NG，NM，因为MN//CG，且MN=CG，CG//BQ，且CG=BQ，所以MN//BQ，且MN=BQ，所以四边形MNQB为平行四边形，所以BM//NQ，又因为BM⊄平面PQC，NQ⊂平面PQC，所以BM//面PQC．【解析】(1)延展平面PQC，确定AR14⋅A1A即可；(2)只须证明BM平行于平面PQC内直线NQ即可．本题考查了正方体截面问题，考查了直线与平面的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：(1)若选①，cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0，整理可得cosC+ cosAcosB=√3sinBcosA，所以−cos(A+B)+cosAcosB=√3sinBcosA，可得sinAsinB−cosAcosB+ cosAcosSB=√3sinBcosA，可得sinAsinB=√3sinBcosA，由于sinB≠0，可得tanA=√3，又0<A<π，∴A=π3．若选②，2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC，根据正弦定理化简得：2a2=b(2b−c)+c(2c−b)，即a2=b2+c2−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =12，又0<A<π，∴A=π3．(2)因为A=π3，a=2，由正弦定理bsinB =csinC=√32=4√33，可得b=4√33sinB，c=4√33sinC，可得2b−c=4√33(2sinB−sinC)=4√33[2sin(A+C)−sinC]=4√33(2sinAcosC+2cosAsinC−sinC)=4cosC，又B+C=2π3，在锐角△ABC中，可得π6<C<π2，可得0<cosC<√32，所以2b −c ∈(0,2√3).【解析】(1)若选①，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA =√3，结合范围0<A <π，可得A 的值；若选②，利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a ，b 及c 的关系式，再利用余弦定理表示出cos A ，把得到的关系式代入求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数； (2)由正弦定理可得b =4√33sinB ，c =4√33sinC ，利用三角函数恒等变换的应用可求2b −c =4cosC ，根据C 的范围，利用余弦函数的性质即可求解．此题考查了正弦、余弦定理以及三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．21.【答案】解：(1)设AD =x ，所以BD =AC =BC =2AD =2x ，AB =3x ， 所以cos∠ACB =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC=(2x)2+(2x)2−(3x)22⋅2x⋅2x=−18，又CD =2，BD =2AD ，所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=49 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+49 CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +19CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，可得4=49⋅4x 2+49⋅4x 2⋅(−18)+19⋅4x 2， 所以x =√2，可得AB =3√2．(2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CAB =θ，AD =x ， 因为E 为CD 中点，AD =13AB ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为B 、F 、C 三点共线， 所以12λ+16λ=1，可得λ=32，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+2⋅34⋅14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=94x 2+94x 2cosθ+94x 2=4516x 2+94x 2cosθ，因为cosθ=AD 2+AC 2−CD 22AD⋅AC=5x 2−44x 2，所以AF =√4516x 2+94x 2⋅5x 2−44x 2=√458x 2−94， 又{ x +2x >22x −x <2， 所以23<x <2， 所以AF ∈(12,92).【解析】(1)设AD =x ，可得BD =AC =BC =2AD =2x ，AB =3x ，由余弦定理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方利用平面向量数量积的运算可求AB 的值． (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠CAB =θ，AD =x ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE⃗⃗⃗⃗⃗ =12λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于B 、F 、C 三点共线，可得λ=32，利用余弦定理可得AF =√458x 2−94，又{ x +2x >22x −x <2，即可得解AF 的取值范围． 本题主要考查了余弦定理，平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和方程思想，属于中档题．22.【答案】解：(1)设AB =c ，AC =b ，因为∠BAD =π3，所以∠CAD =π3， 所以S △ABC =S △ABD +S △ACD ，可得12bcsin2π3=12csin π3+12bsin π3， 所以bc =b +c ≥2√bc ，可得bc ≥4， 所以S △ABC =12bcsin2π3=√34bc ≥√3，当b =c =2时等号成立．(2)设∠BAD =θ，所以∠CAD =2π3−θ，因为S △ABC =S △ABD +S △ACD ， 所以12bcsin2π3=12csinθ+12bsin(2π3−θ)≥12⋅2√sinθ⋅sin(2π3−θ)⋅bc ，所以bc ≥163sinθsin(2π3−θ)=83[cos(2π3−θ)−cos2π3]=43(−cos2θ+√3sin2θ+1)， 所以S △ABC =12bcsin2π3≥√34⋅43(−cos2θ+√3sin2θ+1)≥2√33， 所以−cos2θ+√3sin2θ≥1，所以√32sin2θ−12cos2θ=sin(2θ−π6)≥12，所以2θ−π6∈[π6,5π6]，即θ∈[π6,π2]，所以∠BAD取值范围为[π6,π2 ].【解析】(1)设AB=c，AC=b，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．(2)由题意可得∠CAD=2π3−θ，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，利用三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换可得sin(2θ−π6)≥12，利用正弦函数的性质即可求解∠BAD取值范围．本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．。

重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔B 〕考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．[2022·张家口月考]x ，y 是两个变量，以下四个散点图中，x ，y 呈正相关趋势的是〔 〕A ．B ．C ．D ．2．[2022·钦州期末]甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，两人下成平局的概率是0.5，那么甲胜的概率是〔 〕 A ．0.3B ．0.5C ．0.6D ．0.73．[2022·辽宁模拟]某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行平安检测，假设果蔬类抽此卷只装订不密封 级 姓名 准考证号 考场号 座位号取4种，那么n 为〔 〕 A ．3B ．2C ．5D ．94．[2022·怀化模拟]总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字，那么选出来的第5个个体的编号为〔 〕 A ．01B ．02C ．14D ．195．[2022·桂林调研]AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，说明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量“优良〞．如图是某市3月1日到12日的AQI 指数值．那么以下表达不正确的选项是〔 〕 A ．这12天的AQI 指数值的中位数是90 B ．12天中超过7天空气质量“优良〞 C ．从3月4日到9日空气质量越来越好D ．这12天的AQI 指数值的平均值为1006．[2022·四川诊断]执行如下图的程序框图，那么输出的S =〔 〕 A ．2B ．1C ．0D ．-17．[2022·百校联盟]x 与y 的取值如表所示，假设x 与y 线性相关，且回归直线方程为1.2ˆ3ˆyx a =+，那么6x =时，y 的预测值为〔保存到小数点后一位数字〕〔 〕A ．7.4B ．7.5C ．7.6D ．8.58．[2022·厦门质检]甲乙两名同学分别从“象棋〞、“文学〞、“摄影〞三个社团中随机选取一个社团参加，那么这两名同学参加同一个社团的概率是〔 〕 A ．14B ．13C ．12D ．239．[2022·南安月考]一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，假设蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体六个外表的距离均大于1，称其为“平安飞行〞，那么蜜蜂“平安飞行〞的概率为〔 〕 A ．18B ．116C ．127D ．276410．[2022·南宁二中]2022年5月，国家统计局公布了?2022年农民工监测调查报告?，报告显示：我国农民工收入持续快速增长．某地区农民工人均月收入增长率如图1，并将人均月收入绘制成如图2的不完整的条形统计图．根据以上统计图来判断以下说法错误的选项是〔 〕 A ．2022年农民工人均月收入的增长率是10% B ．2022年农民工人均月收入是2205元C ．小明看了统计图后说：“农民工2022年的人均月收入比2022年的少了〞D ．2022年到2022年这五年中2022年农民工人均月收入最高11．[2022·武汉蔡甸区实验中学]下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是〔 〕 A ．6B ．10C ．91D ．9212．[2022·南阳一中]样本()12,,...,n x x x 的平均数为x ，样本()12,,...,m y y y 的平均数为()y x y ≠，假设样本()1212,,...,,,,...,n m x x x y y y 的平均数()11,02z ax a y a =+-<<，那么,n m 的大小关系为〔 〕 A ．n m <B ．n m >C ．n m =D ．不能确定第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13．[2022·保山统测]甲同学在“附中好声音〞歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，那么甲同学得分的方差为__________．14．[2022·奉新县一中]秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值得一个实例，假设输入n ，x 的值分别为3，4，那么输出v 的值为__________．15．[2022·石室中学]从某小学随机抽取名同学，将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．假设要从身高在[)120,130、[)130,140、[]140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取人参加一项活动，那么从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为_______．16．[2022·武邑中学]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚刚想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a 、{}0,1,2,,9b ∈．假设1a b -≤，那么称甲乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么二人“心有灵犀〞的概率为__________． 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．[2022·哈尔滨六中]某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100． 〔1〕求图中a 的值；〔2〕根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；〔3〕假设成绩在[)50,60的学生中男生比女生多一人，且从成绩在[)50,60的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率．18．[2022·寻乌中学]如下图，有两个独立的转盘〔A 〕、〔B 〕．两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60︒、120︒、180︒．用这两个转盘进行玩游戏，规那么是：依次随机转动两个转盘再随机停下〔指针固定不会动，当指针恰好落在分界线时，那么这次结果无效，重新开始〕，记转盘〔A 〕指针所对的数为x ，转盘〔B 〕指针所对的数为y ，〔x 、{}1,2,3y ∈〕，求以下概率：〔1〕(2)P x <；〔2〕(1)P y >．19．[2022·朝阳一模]某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．假设一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，那么称该学生的选考方案确定；否那么，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物〞三个选考科目，那么学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物〞为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生选考方案确定的有6人66312选考方案待确定的有8人 5 4 0 1 2 1 女生选考方案确定的有10人8 9 6 3 3 1 选考方案待确定的有6人5411〔1〕试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人．〔2〕写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理〞的人数．〔直接写出结果〕； 〔3〕从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率． 20．[2022·烟台诊断]某服装批发市场1-5月份的服装销售量x 与利润y 的统计数据如下表:月份 1 2 3 4 5 销售量x (万件) 3 6 4 7 8 利润y (万元)1934264146〔1〕从这五个月的利润中任选2个，分别记为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于30〞的概率； 〔2〕销售量x 与利润y 大致满足线性相关关系，请根据前4个月的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+；〔3〕假设由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，那么认为得到的利润的估计数据是理想的．请用表格中第5个月的数据检验由〔2〕中回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想．参考公式:1221,ni ii nii x y nxyb a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑．21．[2022·景德镇期中]阅读程序框图，并完成以下问题： 〔1〕假设输入x ＝0，求输出的结果； 〔2〕请将该程序框图改成分段函数解析式；〔3〕假设输出的函数值在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，求输入的实数x 的取值范围．22．[2022·南沙区一中]关于x 的一元二次函数()21f x ax bx =-+，分别从集合P 和Q 中随机取一个数a 和b 得到数对(),a b ．〔1〕假设{}13,P x x x =∈Z ≤≤，{|14,}Q x x x =-≤≤∈Z ，求函数()y f x =在x ∈R 内是偶函数的概率；〔2〕假设{|13,}P x x x =≤≤∈Z ，{|14,}Q x x x =-≤≤∈Z ，求函数()y f x =有零点的概率；〔3〕假设{}13,P x x x =∈R ≤≤，{|14,}Q x x x =-≤≤∈R ，求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率．2022-2022学年下学期高一年级期中考试仿真测试卷数学〔B 〕答案第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】x ，y 呈正相关趋势时，散点图应该是从左下到右上趋势，由图可知选项A 中的散点图是从左下到右上趋势，描述了y 随着x 的增加而增加的变化趋势，应选A ． 2．【答案】A【解析】设甲胜的概率为p ，甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.8，那么由互斥事件至少有一个发生的概率公式得0.50.8p +=，0.3p ∴=，应选A ． 3．【答案】D【解析】超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，其比例为4:3:2，采用分层抽样的方法抽取样本进行平安检测，假设果蔬类抽取4种，那么奶制品类应抽取的种数为9494⨯=，应选D ． 4．【答案】A【解析】从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的和编号依次为08，02，14，19，14，01，其中第三个和第五个都是14，重复，可知对应的数值为08，02，14，19，01，那么第五个个体的编号为01．应选A ． 5．【答案】C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+=，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；从4日到9日，空气质量越来越好，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确．应选C ． 6．【答案】B【解析】第一次执行性程序后，313S ==，2i =，第二次执行程序后0S =，3i =，第三次执行程序后1S =，4i =，满足条件4i ≥，跳出循环，输出1S =，应选B ． 7．【答案】B 【解析】回归方程 1.2ˆ3ˆyx a =+，经过样本中心点()2,2.6， 2.6 1.2ˆ32a ∴=⨯+，解得ˆ0.14a=，∴回归直线方程为 1.2304ˆ.1y x =+，当6x =时， 1.2360.4.ˆ175y =⨯+≈， 应选B ． 8．【答案】B【解析】由题意，甲乙两名同学各自等可能地从“象棋〞、“文学〞、“摄影〞三个社团中选取一个社团参加，共有339⨯=种不同的结果，这两名同学参加同一个社团的有3种情况，那么这两名同学参加同一个社团的概率是3193=；应选B ． 9．【答案】A【解析】本试验所有结果对应的几何区域为棱长是4的正方体．“平安飞行〞对应的区域为棱长是2的正方体．由几何概型概率公式得P=332814648==，故答案为：A ． 10．【答案】C【解析】A ．由折现统计图可得出：2022年农民工人均月收入的增长率是：10%，故正确；B ．由条形统计图可得出：2022年农民工人均月收入是：2205元，故正确；C ．因为2022年农民工人均月收入是：()2205120%2646⨯+=(元)，大于2205元；所以农民工2022年的人均月收入比2022年的少了，是错误的；D ．由条形统计图可得出，2022年到2022年这五年中2022年农民工人均月收入最高．应选C ． 11．【答案】B【解析】由程序框图可得，该算法的功能是统计这16个同学中数学考试成绩在90分〔包括90分〕以上的人数．结合茎叶图可知，成绩在90以上的人数为10人，所以选B ． 12．【答案】A【解析】所以()()() 1n m n m m n αα=⎧⎪⎩+=⎪⎨＋－，于是有()()()()+121n m m n m n ααα-=--⎡⎣=⎤⎦+-．210α-<，所以0n m -<，即n m <．应选A ． 第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分． 13．【答案】52【解析】22222298359525s ++++==，故答案为：52． 14．【答案】100【解析】()1424140100v ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+=⎣⎦． 15．【答案】3【解析】0.0350.020.010.0050.1a ++++=，解得0.03a =， 三组的比值为0.03:0.02:0.013:2:1=，故[]140,150内取11836⨯=人． 16．【答案】725【解析】试验发生的所有事件是从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数中任取两个共有10×10种不同的结果，那么1a b -≤的情况有0，0；1，1；2，2；3，3；4，4；5，5；6，6；7，7；8，8；9，9；0，1；1，0；1，2；2，1；2，3；3，2；3，4；4，3；4，5；5，4；5，6；6，5；6，7；7，6；7，8；8，7；8，9；9，8共28种情况，甲乙出现的结果共有10×10=100， ∴他们“心有灵犀〞的概率为28710025P ==，故答案为：725． 三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】〔1〕0.005；〔2〕73；〔3〕310． 【解析】〔1〕()0.020.030.04101a a ++++⨯=，0.005a =．〔2〕平均分的估计值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．〔3〕[)50,60共有1000.00510=5⨯⨯人，其中男生3人，女生2人，分别记为1，2，3，4，5，选出两人，根本领件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5共10种，其中都是男生的有()1,2，()1,3，()2,3共3种，故概率为310． 18．【答案】〔1〕16；〔2〕23． 【解析】〔1〕“2x <〞表示“指针所对的数为1〞，由几何概型概率公式可得()601(2)13606P x P x <====，即()126P x <=．··········5分 〔2〕由题意得“1y >〞包含“2y =〞和“3y =〞两种情况， 由几何概型概率公式可得()()180602(1)233603603P y P y P y >==+==+=． 故2(1)3P y >=．··········10分19．【答案】〔1〕126；〔2〕2；〔3 【解析】〔1〕设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x ，所以选择生物的概率约为，所以选择生物的人数约为3420=12610x =⨯人．··········4分 〔2〕2人．··········6分〔3〕设选择物理、生物、化学的学生分别为1A ，2A ，3A ，选择物理、化学、历史的学生为1B ，选择物理、化学、地理的学生分别为1C ，所以任取2名男生的根本领件有()12,A A ，()23,A A ，()31,A B ，()11,B C ，()12,C C ，()13,A A ，()32,A C ，()12,B C ，()21,A B ，()11,A B ，()21,A C ，()31,A C ，()11,A C ，()22,A C ，()12,A C 所以两名男生所学科目相同的根本领件共有四个，分别为()12,A A ，()23,A A ，()12,C C ，()13,A A··········12分 20．【答案】〔1〕310；〔2〕 5.24ˆy x =+；〔3〕见解析．【解析】〔1〕所有的根本领件为(19，34)，(19，26)，(19，41)，(19，46)，(34，26)，(34，41)，(34，46)，(26，41)，(26，46)，(41，46)共10个．记“m ，n 均不小于30〞为事件A ，那么事件A 包含的根本领件为(34，41)，(34，46)，(41，46)，共3个，所以()310P A =．····5分〔2〕由前430y =，41652i ii x y==∑，421110i i x ==∑．30 5.25ˆ4a=-⨯=，所以线性回归方程为 5.24ˆy x =+．··········10分 〔3〕由题意得，当8x =时，ˆ45.6y=，45.6460.42-=<，所以利用〔2〕中的回归 方程所得的第5个月的利润估计数据是理想的．21．【答案】〔1〕1；〔2〕()[]()()2,2,22,,22,x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩；〔3〕[]2,1--．【解析】〔1〕输入x ＝0，[]02,2∈-，所以输出结果为()0021f ==；··········2分〔2〕()[]()()2,2,2 2,,22,xx f x x ⎧∈-⎪=⎨∈-∞-+∞⎪⎩；··········7分 〔3··········12分- 11 - 22．【答案】〔1〕16；〔2〕13；〔3〕910． 【解析】〔1〕由得，{}1,2,3P =，{}1,0,1,2,3,4Q =-，所有的有序数列有()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,0，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有18对，要使()f x 是偶函数，须有0b =，满足条件的有序数对有()1,0，()2,0，()3,0共有3对，31186P ==．··········4分 〔2〕由得，{}1,2,3P =，{}1,0,1,2,3,4Q =-，所有的有序数列有()1,1-，()1,0，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,0，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,0，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有18对，要使()f x 有零点，240b a ∴-≥， 满足条件的有序数对有()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共有6对， 61183P ==．··········8分 〔3〕要使()y f x =单调递增，12b a -∴-≤，即2a b ≥，(),a b 可看成是平面区域(){},|13,14a b a b Ω=≤≤-≤≤中的所有点，而满足条件是在平面区域(){},|2,13,14A a b a b a b =≥≤≤-≤≤中的所有点，12521922510A S P S Ω⨯-⨯⨯∴===⨯．··········12分。

重庆市南开2022届高一各科半期卷语文：一、现代文阅读（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

中华文明源远流长，从诗书礼乐到钟鼎彝器，博大精深的古典文化，素来为国人所津津乐道。

然而一到谈及传统建筑，多数人不是一脸茫然，便是心怀遗憾。

保存下来的古建筑本就不多，往往还被岁月剥去了光彩，有几分“土里土气”，相形之下，欧洲古建筑遍地开花，如风光片里古堡的坚固伟岸、教堂的华丽炫酷，让人如何与之一较高下？此言差矣。

以中西古建筑最显著的对比，即材料上的土木和砖石为例。

乍看之下，木质建筑简朴，易朽，扁平，似乎很难与巍峨高耸的石头教堂一争高下。

有人把这归咎于古人的技术不行，或材料短缺。

但事实上，中华大地并不缺石材，古代冶金技术的世界领先，石料开采加工的器具也更先进。

同时，老祖宗们并非完全不用石料修筑，譬如陵墓，在他们看来，才是该用石头堆砌的。

而从秦汉陵墓的空间布局、工程结构之精妙来看，早在那个时代，我们的砖石建筑就已经达到了相当高的水准。

因此，对于砖石建筑，古人“非不能也，乃不为也”。

就像中国传统绘画对散点透视的情有独钟一个样，形式和质料上的偏好，其实是一种文化选择。

追根溯源，审美偏好的出发点，还取决于人与环境的相处方式。

欧洲建筑多以石砌，呈竖向耸立之势，以求“飞升天国”的不朽。

而中国建筑的外部形态，基本是横平舒展，寄寓着华夏先民对土地的依恋。

在中国古人心中，石头冰冷坚硬，缺乏生气，太过疏离自然，至于寻常起居，则一定要置身于“生生之气”的土木之中，以求“天人合一”的居住理想。

中西建筑在文化体系中的“地位”也不尽相同。

在西方，建筑是主要的文化载体，法国作家雨果就曾说过，“建筑是石头的史书”，一切艺术门类都须为建筑服务，绘画之，雕刻之，咏叹之，摹写之，以图将其打造为“高大上”的永恒纪念碑。

而古老的东方中国就不这么看了：文字才是千古之承载，不朽之盛事。

相比于文字上的“理想主义”，中国人在对待建筑上体现出了充分的“实用主义”态度。

重庆市高2022级高一(下)期中考试数学测试题一､选择题1.已知a 、b 为非零实数，且a b <，则下列不等式成立的是（ ）A. 22a b <B. 11a b <C. 33a b <D. ac bc <2.在等差数列{}n a 中，3118a a +=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b ⋅的值为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 163.在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，则AD =u u u r( ) A. 12AB CB +u u u r u u u r B. 12AB BC +u u u r u u u r C. AB AC +u u u r u u u r D. 12AB AC +u u u r u u u r 4.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题:“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米180石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分36石，那么三人各分得多少白米？”.请问：丙应该分得（ ）白米A. 96石B. 78石C. 60石D. 42石5.已知A 、B 、C 是ABC ∆的三内角，且sin 2sin cos A B C =，则此三角形的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形6.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r A. 2 B. 2 C. 1 D. 227.数列{}n a 首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈，令()3log 1n n b a =+，则数列{}n b 的前10项和10S =（ ）A. 55B. 110C. 2046D. 20488.如图，ABC V 中，AD AB ⊥，3BC BD =u u u r u u u r ，||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅=u u u r u u u r （ ）A.B.C.D. 9.数列{}n a 满足12a =，122n n a a n +=++，则1220111a a a +++=L （ ） A. 1910 B. 1920 C. 1021 D. 2021 10.数列{}n a 中sin3n n a π=，则2019S =( )A. 2B. C. 0D. 11.已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L （ ） A. 114n - B. 121134n +⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 121134n -⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 21134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 12.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，1000<成立的n 的最大值为( )A. 7B. 8C. 9D. 10二､填空题 13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，S 表示ABC ∆的面积，90C =o ∠，()22214S b c a =+-，则B ∠=________. 14.数列{}n a 的前n 项和为()2*1n S n n n N=+-∈，则数列{}n a 的通项公式n a =_________. 15.在等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，180S >，190S <，则当n S 最大时，n 的值为__________.16.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 的动点，则BF AE ⋅u u u r u u u r的最大值为__________.三､解答题17.已知向量(1,2)a =r ，(2,)b λ=r ，(3,2)b =-r .（1）若a b r r P ，求实数λ的值； （2）若ka c +r r 与2a c -r r 垂直，求实数k 的值.18.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若ABC ∆的面积4ABC S ∆=，求b 、c 的值.19.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.20.在ABC ∆中，若2b =，且2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆周长的最大值.21.数列{}n a 满足13221(2),23n n n a a n a -=++=≥.（1）设12n n n a b +=，求证：{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S22.对于正项数列{}n a ，定义12323n n a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值. (1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n n b n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.。

2022-2023学年重庆市高一下册期中数学模拟试题（含解析）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数3i z =+，则复数4(1i)z ⋅+在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2,30b c C === ，则此三角形有（）A.一个解B.2个解C.无解D.解的个数不确定3.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A.()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B.()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C.()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===4.已知向量a ，b 满足()2a b b +⋅= ，且1b = ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.1B.1- C.bD.b -5.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为1V 、2V 和3V ，则（）A.123V V V << B.213<<V V V C.312V V V << D.321V V V <<6.如图，直角梯形ABCD 中，3AB CD =，30ABC ∠= ，4BC =，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（）A.112π3B.48πC.128πD.208π7.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A.2πB.4πC.6πD.8π8.ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，()12ABCS c a b =-，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则()()1sin 1sin A B +-=（）A.1B.56C.34D.23二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设l 为直线，α，β为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A.若//,//l l αβ，则//αβB.若//,//l αβα，则//l βC.若,l l αβ⊥⊥，则//αβD 若//,l αβα⊥，则l β⊥10.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且函数()y f x =图像关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 的图像关于2π3x =对称C.将()f x 的图像向右平移π3个单位后对应函数为偶函数D.函数()910y f x =-在[]0,π上有2个零点11.ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，22b a ac =+，则（）A.若π2B =，则π4A =B.若,2π6A a ==，则ABC 的面积为C.若,2π6A a ==，则角B 的角平分线BD =D.若ABC 为锐角三角形，2a =，则边长(b ∈12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 分别为面11BB C C ，11CC D D 的中心，点G 是11A B 的中点，则（）A.DE BG ⊥B.AF ∥面1BC GC.直线AB 与平面1BC G 所成角的余弦值为33D.过点F 且与直线DE 垂直的平面α+三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正A B C '''为水平放置的ABC 的直观图，若2A B ''=，则ABC 的面积为__________.14.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =__________.15.ABC 中π3A =，D 为边BC 上一点，若2CD AD BD ==，则sin C =__________.16.已知平面向量,,a b c满足2,1a a b a c =-=-= ，则b c ⋅ 的最大值为__________.四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知向量()()2,2,1,a b k ==-.（1）若()2a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若a 与b的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥.（1）证明：AC ⊥平面PBC ：（2）若,PB BC PB ⊥=D 到平面PBC 的距离.19.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===的外接圆O 面积为S .（1）求S 的值；（2）若点D 在AC 上，且直线BD 平分角ABC ∠，求线段BD 的长度.20.如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ADEF 都是矩形.平面ABCD ⊥平面,333,,ADEF AD AF AB M N ===分别是对角线,BD AE 上异于端点的动点，且BM AN =.（1）求证：直线MN 平面CDE ；（2）当12AN NE =时，用向量法求平面AMN 与平面DMN 夹角的余弦值.21.如图，在三棱台111ABC A B C -中侧面11BCC B 为等腰梯形，1118,4,BC B C CC M ===为11B C 中点.底面ABC 为等腰三角形，5,AB AC O ==为BC 的中点.（1）证明：平面ABC ⊥平面AOM ；（2）记二面角1A BC B --的大小为θ.①当π6θ=时，求直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦值.②当ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦的最大值.22.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为,,a b c ，)2222sin sin sin 3sin sin sin A B C B C A =+-（1）求A ；（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若2,a P =是ABC 内一点，过P 作,,AB BC AC 垂线，垂足分别为,,D E F ，借助于三维分式型柯西不等式：()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当312123x x x y y y ==时等号成立.求4AB BC AC T PD PE PF=++的最小值.答案解析一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数3i z =+，则复数4(1i)z ⋅+在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】C【分析】由复数代数形式的四则运算化简，再由复数的几何意义得结果.【详解】由3i z =+，则有()()()()24223i 3i 3i (412i (1i)(1i)2i)4z ⎡⎤=+=+=+⨯-=⎣+⎦+-⋅-，所以复数4(1i)z ⋅+在复平面内对应的点的坐标为()12,4--，在第三象限.故选：C.2.ABC 中，,,a b c 是角,,A B C的对边，2,30b c C === ，则此三角形有（）A.一个解B.2个解C.无解D.解的个数不确定【正确答案】B【分析】利用正弦定理得sin sin b CB c=，进而利用三角形内角和进行判断即可．【详解】∵ABC中，2,30b c C === ，∴根据正弦定理sin sin b c B C=，得1sin 32sin 22b C Bc ===，∵B 为三角形的内角，b c >，则有60B = 或120B = ，∴三角形的解有两个．故选：B ．3.下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A.()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B.()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C.()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【正确答案】D【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A ，设()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+，无解，即,,a b c 不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B 错误；对于C ，设()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C 错误；对于D ，设()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+，解得12λμ==，所以,,a b c共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D 正确.故选：D4.已知向量a ，b 满足()2a b b +⋅= ，且1b = ，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.1B.1- C.bD.b- 【正确答案】C【分析】由已知可求得1a b ⋅=，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.【详解】因为1b = ，()22a b b a b b +⋅=⋅+= ，所以1a b ⋅=，所以，向量a在向量b 上的投影向量为111a b b b b bb ⋅⋅=⋅= .故选：C ．5.设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为1V 、2V 和3V ，则（）A.123V V V << B.213<<V V V C.312V V V << D.321V V V <<【正确答案】B【分析】设正方体棱长为a ，正四面体棱长为b ，球的半径为R ，面积为S .表示出3个几何体的表面积，得出,,a b R ，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案.【详解】设正方体棱长为a ，正四面体棱长为b ，球的半径为R ，面积为S .正方体表面积为26S a =，所以26S a =，所以，()()3232321216S V aa ===；如图，正四面体-P ABC ，D 为AC 的中点，O 为ABC 的中心，则PO 是-P ABC 底面ABC 上的高.则BD AC ⊥，12AD b =，所以32BD b ==，所以211332224ABCSAC BD b b b =⨯⨯=⨯⨯=，所以，正四面体-P ABC 的表面积为24ABCS S ==，所以233b S =.又O为ABC的中心，所以233BO BD b==.又根据正四面体的性质，可知PO BO⊥，所以3PO==，所以，22213ABCV S PO⎛⎫=⨯⨯⎪⎝⎭221343b⎛⎫=⨯⨯⎪⎪⎝⎭3631172723648b S S⎛⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭；球的表面积为24πS R=，所以24πSR=，所以，2233341π336πV R S⎛⎫==⎪⎝⎭.因为3333311136π144216648S S S S>>>=，所以，222312V V V>>，所以，213<<V V V.故选：B.6.如图，直角梯形ABCD中，3AB CD=，30ABC∠= ，4BC=，梯形ABCD绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（）A.112π3 B.48π C.128π D.208π【正确答案】D【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段AD或AD的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半径，即可得出答案.【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.取圆台的轴截面由题意知，球心O 一定在线段AD 或AD 的延长线上如图1，当球心O 在线段AD 上时.过点C 作CE AB ⊥于E 点，则sin 302CE BC == ，cos30BE BC == ，所以CD =，AB =设球的半径为R ，()02OA x x =≤≤，2OD x =-，则由勾股定理可得，222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩，即()22222327R x R x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，整理可得50x +=，解得5x =-（舍去）；如图2，当球心O 在DA 的延长线上时.过点C 作CE AB ⊥于E 点，则sin 302CE BC == ，cos30BE BC == ，所以CD =，AB =设球的半径为R ，()0OA x x =>，则2OD x =+，则由勾股定理可得，222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩，即()22222327R x R x ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩，整理可得50x -=，解得5x =.所以，227352R =+=，所以，圆台外接球的表面积为24π208πR =.故选：D.7.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）A.2πB.4πC.6πD.8π【正确答案】B【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为π，该正面体共6个顶点，因此，该正八面体的总曲率为62π8π4π⨯-=.故选：B.8.ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，()12ABCSc a b =-，其外接圆半径2R =，且())224sin sin sin A B b B -=-，则()()1sin 1sin A B +-=（）A.1B.56C.34D.23【正确答案】A【分析】由已知可得a =，4()ab a b =-，进而可得a ，b ，可求(1sin )(1sin )A B +-．【详解】由正弦定理得24sin sin sin a b cR A B C====，即4sin a A =，4sin b B =，4sin c C =，又224(sin sin ))sin A B b B -=-，则2216sin 16sin )4sin A B b B -=-，则22)a b b b -=-，即2a =，得a =①，因为1()2ABCSc a b =-，则11sin ()22ab C c a b =-，则1()4abc c a b =-，即4()ab a b =-②，结合①②解得b =，1)a =，则1sin 1114a A +=+=+-=，331sin 111433b B -=-=-+=，所以(1sin )(1sin )1A B +-=．故选：A ．本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设l 为直线，α，β为两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A.若//,//l l αβ，则//αβB.若//,//l αβα，则//l βC.若,l l αβ⊥⊥，则//αβD.若//,l αβα⊥，则l β⊥【正确答案】CD【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.【详解】若//,//l l αβ，则α与β可能平行，可能相交，A 选项错误；若//,//l αβα，则//l β或l β⊂，B 选项错误；若,l l αβ⊥⊥，根据垂直于同一直线的两个平面平行，则//αβ，C 选项正确；若//,l αβα⊥，一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则一定垂直与另一个，则l β⊥，D 选项正确.故选：CD.10.已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且函数()y f x =图像关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则（）A.2π是()f x 的一个周期B.()f x 的图像关于2π3x =对称C.将()f x 的图像向右平移π3个单位后对应函数为偶函数D.函数()910y f x =-在[]0,π上有2个零点【正确答案】BD【分析】由题意，利用正弦函数的图像和性质，先求出函数的解析式为()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而可判断其周期、轴对称、变换后的解析式，即可判断A ，B ，C ；依题意求得函数()y f x =在[]0,π上与910y =有两个交点，进而即可判断D ．【详解】由函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则12πππ22ω⨯≥+，得203ω<≤．又函数()y f x =图像关于点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则πππ36k ω-+=，k ∈Ζ，得132k ω=-+．所以12ω=，即()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故有()f x 的最小正周期为2π4π12=，故A 错误；又2ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值，可得()f x 的图像关于2π3x =对称，故B 正确；将()f x 的图像向右平移π3个单位后对应函数为sin 2xy =，是一个奇函数，故C 错误；由[]0,πx ∈，则ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()π1sin ,1262x f x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π1sin62=，2π3sin 32=，且391210<<，所以函数()y f x =在[]0,π上与910y =有两个交点，即函数9()10y f x =-在[]0,π上有2个零点，故D 正确．故选：BD ．11.ABC 中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，22b a ac =+，则（）A.若π2B =，则π4A =B.若,2π6A a ==，则ABC 的面积为C.若,2π6A a ==，则角B 的角平分线BD =D.若ABC 为锐角三角形，2a =，则边长(b ∈【正确答案】ABD【分析】根据题意并结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得2cos a c a B =-，由正弦定理以及三角恒等变换可得2B A =，即可判断AB 正确；由等面积ABC ABD BCD S S S =+△△△可知3BD =，即C 错误；根据三角形形状可得ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可确定()28,12b ∈，可解得(b ∈，所以D 正确.【详解】根据题意由22b a ac =+，结合余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，22cos ac c ac B =-，又因为0c ≠，所以2cos a c a B =-；利用正弦定理可得sin sin 2sin cos A C A B =-，再由()sin sin C A B =+可得，()sin sin 2sin cos A A B A B =+-，即sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B A B =+-，所以()sin sin A B A =-；又因为(),0,πA B ∈，所以A B A =-，即2B A =；对于A ，若π2B =，则4π2B A ==，故A 正确；对于B ，若,2π6A a ==，则3π2B A ==，由2cos a c a B =-可得4c =，所以ABC的面积为1sin 2ABC S ac B ==△，即B 正确；对于C，如下图所示：由等面积可知ABC ABD BCD S S S =+△△△，由选项B 可得3π4,c B ==，所以π6ABD CBD ∠=∠=，即1π1πsin sin 2626ABCSc BD a BD =⋅⋅+⋅⋅=，解得433BD =，所以C 错误；对于D ，若ABC 为锐角三角形，2a =，则可得2cos 24cos c a a B B =+=+，且π0,2π0,2π0,2A B C ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，即π022π02π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩，解得ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又2288cos b a ac B =+=+，所以()28,12b ∈，因此(b ∈，即D 正确.故选：ABD12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 分别为面11BB C C ，11CC D D 的中心，点G 是11A B 的中点，则（）A.DE BG ⊥B.AF ∥面1BC GC.直线AB 与平面1BC G 所成角的余弦值为33D.过点F 且与直线DE 垂直的平面α+【正确答案】ACD【分析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，利用DE BG ⋅uuu r uuu r是否等于零，即可判断A ；求出平面1BC G 的法向量，与AF是否垂直，即可判断B ；根据直线AB 与平面1BC G 所成的角的余弦值可先求出AB与平面1BC G 的法向量的余弦值，再根据角的关系求出所要求的结果，即可判断C ；做出过点F 且与直线DE 垂直的平面α的截面图，根据几何关系即可求出其周长，即可计算出D ．【详解】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，如图所示，则()0,0,0D ，()1,2,1E ，()2,2,0B ，()2,1,2G ，()2,0,0A ，()0,1,1F ，()10,2,2C ，()2,1,2G ，对于A ，由(1,2,1)DE =，(0,1,2)BG =-uu u r，则102(1)120DE BG ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以DE BG ⊥，故A 正确；对于B ，设平面1BC G 的法向量为111(,,)n x y z =，由1(2,0,2)BC =-uuu r ，(0,1,2)BG =-uu u r ，(2,1,1)AF =-uu u r，则100BC n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111122020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，令11z =，则11x =，12y =，则(1,2,1)n = ，又(2)1121110AF n ⋅=-⨯+⨯+⨯=≠，所以AF 与平面1BC G 不平行，故B 错误；对于C ，设直线AB 与平面1BC G 所成的角为α，又(0,2,0)AB =，结合选项B得πsin cos()23AB n AB n αα⋅=-==⋅，所以cos 3α==，故C 正确；对于D ，结合C 选项得n DE = ，则DE ⊥平面1BC G ，取11A D ，1AA 的中点为X ，T ，112WD CV AU ===，由几何关系可知，WX U ∥V ，WV TU ∥，则WXTUV 组成一个平面，由BG TU ∥，1BC TX ∥，TU ，TX 均在平面WXTUV 内，则DE ⊥平面WXTUV ，即过点F 且与直线DE 垂直的平面α，截该正方体所得截面如图所示平面WXTUV ，则截面WXTUV的周长为WX XT TU UV VW ++++=+=+，故D 正确．故选：ACD ．本题考查了立体几何的综合应用，属于难题．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知正A B C '''为水平放置的ABC 的直观图，若2A B ''=，则ABC 的面积为__________.【正确答案】【分析】求出正A B C '''的面积，再利用直观图与原图形面积间的关系计算作答.【详解】依题意，正A B C '''的面积221πsin 2234A B C SA B '''''==⨯=，因为直观图与原图形的面积比为24，所以ABC的面积A ABCB C S'''==故14.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =__________.【正确答案】34i--【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，∵24i z z +=+，i 24i a b ++=+，即24a b ==⎪⎩，解得34a b =-⎧⎨=⎩，则有34i z =-+，34z i =--.故答案为.34i --15.ABC 中π3A =，D 为边BC 上一点，若2CD AD BD ==，则sin C =__________.【正确答案】1【分析】设π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，有π3DAC θ∠=-，2π3ACD θ∠=-，在ACD 中，由正弦定理求出θ，得到C ∠，可求sin C .【详解】如图所示，设π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由AD BD =，则ABD θ∠=，所以2ADC θ∠=，π3DAC θ∠=-，2π3ACD θ∠=-，在ACD 中，由正弦定理可得2ππsin sin 33AD DC θθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2AD CD =，所以2ππsin 2sin 33θθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31sin cos sin 22θθθθ-=+，整理得tan 3θ=，即π6θ=，2π2πππ3362C θ∠=-=-=，sin 1C =.故116.已知平面向量,,a b c满足2,1a a b a c =-=-= ，则b c ⋅ 的最大值为__________.【正确答案】12【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察b 和c以及两个向量夹角的变化，判断b c ⋅取最大值的位置.【详解】设,,OA a OB b OC c ===，则,BA a b CA a c=-=- 由2,1a a b a c =-=-=，则2OA = ，B 点在以A 为圆心2为半径的圆周上，C 点在以A 为圆心1为半径的圆周上，如图所示，cos b c OB OC OB OC ⋅=，，由图可知，当,,A B C 三点共线，在如图所示的位置，OB有最大值4，OC 有最大值3，此时cos ,OB OC 取最大值1，所以b c ⋅的最大值为12.故12.四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知向量()()2,2,1,a b k ==- .（1）若()2a a b ⊥+，求实数k 的值；（2）若a与b的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.【正确答案】（1）1-（2）(,1)(1,1)-∞-⋃-【分析】（1）根据题意求得22a b k ⋅=-+，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，即可求解；（2）根据题意，利用0a b ⋅< 且a 与b不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即可求解.【小问1详解】解：由向量()()2,2,1,a b k ==- ，可得22a b k ⋅=-+，因为()2a a b ⊥+ ，可得()2228440a a b a a b k ⋅+=+⋅=-+= ，解得1k =-.【小问2详解】解：由（1）知，220a b k ⋅=-+<，解得1k <，又由向量a 与b不共线，可得22(1)k ⨯≠⨯-，解得1k ≠-，所以实数k 的取值范围是(,1)(1,1)-∞-⋃-18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥.（1）证明：AC ⊥平面PBC ：（2）若,PB BC PB ⊥=D 到平面PBC 的距离.【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由勾股定理证明所以AC BC ⊥，又AC PC ⊥，可证AC ⊥平面PBC .（2）由D PBC P BCD V V --=，利用体积法求点D 到平面PBC 的距离.【小问1详解】四边形ABCD 为等腰梯形，//,2,4AB CD AD CD AB ===，过点C 作CE AB ⊥于E ，如图所示，则1BE =，可知60ABC ∠= ，由余弦定理知2222cos 164812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-=，则222AC BC AB +=，所以ACBC ⊥，又AC PC ⊥，,PC BC ⊂平面PBC ，PC BC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BD ，如图所示,由（1）可知AC ⊥平面PBC ，AC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PBC ，平面ABCD ⋂平面PBC BC =，PB ⊂平面PBC ，PB BC ⊥，PB ⊥平面ABCD ，又2sin 603CE == ，132BCDSCE CD =⋅=，所以11343433P BCD BCDV S PB -=⨯⋅==，在PBC 中，由PB BC ⊥，得1432PBC S PB BC =⋅=设点D 到平面PBC 的距离为d ，则133D PBC V d -=⨯，D PBC P BCD V V --=，解得3d =D 到平面PBC 319.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===的外接圆O 面积为S .（1）求S 的值；（2）若点D 在AC 上，且直线BD 平分角ABC ∠，求线段BD 的长度.【正确答案】（1）49π3S =（2）372BD =【分析】（1）由余弦定理可求得7a =，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为3R =，即可求出49π3S =；（2）利用角平分线定理可得32AD =，再由余弦定理计算可得372BD =.【小问1详解】由2π,5,33A b c ===，利用余弦定理可得22212cos 259253492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7a =；因此ABC 的外接圆O的半径为112sin 232a R A =⨯=⨯，所以ABC 的外接圆O 的面积249ππ3S R ==【小问2详解】如下图所示：由直线BD 平分角ABC ∠，利用角平分线定理可得37AD AB DC BC ==，又5b AC ==，所以33102AD AC ==，因此在ABD △中，由余弦定理可得222931632cos 9234224BD AB AD AB AD A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以372BD =，即线段BD的长度为220.如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ADEF 都是矩形.平面ABCD ⊥平面,333,,ADEF AD AF AB M N ===分别是对角线,BD AE 上异于端点的动点，且BM AN =.（1）求证：直线MN 平面CDE ；（2）当12AN NE =时，用向量法求平面AMN 与平面DMN 夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）4346322【分析】（1）利用线面平行的性质与判定定理结合条件直接证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解二面角夹角余弦值.【小问1详解】过N 作NGDE 与AD 交于G 点，连接MG ，因为NG ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以NG平面CDE ，因为NGDE ，所以AN NG AGAE DE AD==，因为BM NA =，AE BD =，所以AG BMGD MD=，所以MG AB CD ，因为MG ⊄平面CDE ，DC ⊂平面CDE ，所以MG平面CDE ，因为⋂=MG NG G ，MG ⊂平面MNG ，NG ⊂平面MNG ，所以平面MNG 平面CDE ，因为MN ⊂平面MNG ，所以直线MN平面CDE ；【小问2详解】因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ⋂平面ADEF AD =，又AF ⊂平面ADEF ，AF AD ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ，则以A 为原点，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标，如图，可得(0,0,0)A ，(0,3,0)D ，2(,1,0)3M ，1(0,1,3N，所以1(0,1,3AN = ，2(,1,0)3AM = ，设平面AMN 的法向量为(,,)n x y z = ，则00AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以203103x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令3x =，可得，(3,2,6)n =-，设平面MND 的法向量为(,,)m a b c = ，1(0,2,3DN =- ，2(,2,0)3DM =- ，则00DM m DN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以22031203a b b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令3a =，可得(3,1,6)m = ，所以cos ,m n ==，所以平面AMN 与平面DMN 夹角的余弦值.cos ,322m n ==.21.如图，在三棱台111ABC A B C -中侧面11BCC B 为等腰梯形，1118,4,BC B C CC M ===为11B C 中点.底面ABC 为等腰三角形，5,AB AC O ==为BC 的中点.（1）证明：平面ABC ⊥平面AOM ；（2）记二面角1A BC B --的大小为θ.①当π6θ=时，求直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦值.②当ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，求直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦的最大值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）①33737，②最大值为35【分析】（1）由三棱台111ABC A B C -性质及其边长即可证明BC ⊥平面AOM ，利用面面垂直的判定定理即可证明平面ABC⊥平面AOM ；（2）①由题意可知AOM ∠即为二面角1A BC B --的平面角，=AOM θ∠，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得()12,3,3BB θθ=-，平面11AA C C 的一个法向量为34cos 3,4,sin n θθ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，把π6θ=代入可得直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦值为33737；②当ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，23sin 34cos 25sin αθθ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用θ的范围即可求得直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦的最大值为5.【小问1详解】因为ABC 为等腰三角形，O 为BC 的中点，所以BC AO ⊥，又因为侧面11BCC B 为等腰梯形，M 为11B C 的中点，所以BC MO ⊥，又,,AO MO O MO AO ⋂=⊂平面AOM ，因此BC ⊥平面AOM ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面AOM【小问2详解】在平面AOM 内，作ON OA ⊥，由（1）中平面ABC⊥平面AOM ，且平面ABC ⋂平面AOM OA =，ON ⊂平面AOM ，可得ON ⊥平面ABC ；以,,OB OA ON 分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：又因为BC MO ⊥，BC AO ⊥，所以AOM ∠即为二面角1A BC B --的平面角，所以=AOM θ∠，在ABC 中，8,5BC AB AC ===，易知4,3OB OA ==，又1114,O B B C CC C M =⊥=，可得OM =；所以()()()()()10,3,0,4,0,0,4,0,0,0,,,2,2,A B C M B θθθθ-，()12,,C θθ-；即()12,,BB θθ=- ，()()14,3,0,2,,CA CC θθ==设平面11AA C C 的一个法向量为(),,n x y z =，所以143020n CA x y n CC x y z θθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+⋅+⋅=⎪⎩，可令3x =-，则4cos 4,sin y z θθ==，即4cos 3,4,sin n θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭；①当π6θ=时，(1BB =-，(3,4,n =-- ，设直线1BB 与平面11AA C C 所成角的为α，所以111337sin cos ,37BB n BB n BB n α⋅==== ，即π6θ=时，直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦值为33737.②当ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，111sin cos ,BB n BB n BB nα⋅==，设4cos ππ(),,sin 42f θθθθ-⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则243cos ()0sin f θθθ'-=>在ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦恒成立，所以()f θ在ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，()f θ∈，即34cos sin θθ-∈，易知4-[]234cos 0,3sin θθ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭；易知当4cos 0sin θθ=时，()max3sin 5α=，所以当ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线1BB 与平面11AA C C 所成角的正弦的最大值为35.22.在ABC 中，,,A B C ∠∠∠对应的边分别为,,a b c，)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求A ；（2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若2,a P =是ABC 内一点，过P 作,,AB BC AC 垂线，垂足分别为,,D E F ，借助于三维分式型柯西不等式：()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当312123x x x y y y ==时等号成立.求4AB BC AC T PD PE PF=++的最小值.【正确答案】（1）3π（2）3【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出A .（2）将T 构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.【小问1详解】由正弦定理得)2222sin bc A b c a =+-即sin A =由余弦定理有sin A A =，若cos 0A =，等式不成立，则cos 0A ≠，所以tan A =.因为()0,πA ∈，所以π=3A .【小问2详解】222444=AB BC ACa a T PD PE PF PD P c E PF c PD a PEb b P b Fc =++++=+.又111,,,222PABPBCPACPABPBCPACABCSc PD S a PE S b PF S SSS===++=，.2ABC c PD a PE b PF S∴++=由三维分式型柯西不等式有()222224422ABC b c b c T c PD a PE b PF S ++++⨯=++≥=.当且仅当112PD PE PF==即=2=2PE PD PF 时等号成立.由余弦定理222=2cos a b c bc A +-得224=c b b c +-，所以()243b c bc +-=即()24=3b c bc +-，则)()22244b c T b c ++++≥+-.令4t b c =++，则()2222323.128441T t t t≥=---+因为()224=322b c b c bc b c a ⎧+-+⎛⎫≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+>=⎩解得2+4b c <≤，当且仅当b c =时等号成立.所以68t <≤.则11186t ≤<.令2212811111233y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，则21111233y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在,86111t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上递减，当118t =即=2b c =时，y 有最大值316，此时T 有最小值3.要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解，属于难题.。

2023-2024学年重庆市江津高一下册期中数学试题一、单选题1．设i 为虚数单位，且512i 1ia =++，则1i a -的虚部为（）A ．2-B ．2C ．2iD ．2i-【正确答案】B【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出2a =-，即可求出1i a -的虚部.【详解】由512i 1ia =++可得：()()()512i 1i 2i 21a a a =++=+-+，则202215a a a +=⎧⇒=-⎨-+=⎩，所以1i=1+2i a -的虚部为2.故选：B.2．已知向量,a b满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ，∴1a b ⋅= 故选：C.3．若cos 0α<，且sin 20α>，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】根据角的象限与正余弦函数的函数值正负的关系判断．【详解】因为cos 0α<，且sin 22sin cos 0ααα=>，即有cos 0α<且sin 0α<，所以角α的终边在第三象限，故选：C ．4．在边长为1的等边△ABC 中，设BC a = ，CA b = ，AB c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= （）A ．32-B ．0C ．32D ．3【正确答案】A【分析】根据等边三角形的性质，得到,120a b = ，,120a c = ，,120b c =，再根据向量的数量积运算，可得答案.【详解】根据等边三角形的性质，,120a b = ，,120a c = ，,120b c = ，得，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=13cos120cos120cos120322a b b c c a ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=-⨯=-故选：A 5．已知2sin 3α=，则()cos 2α-＝（）A ．19B ．19-C D ．【正确答案】A【分析】根据诱导公式和二倍角公式求出答案.【详解】()241cos 2cos 212sin 1299ααα-==-=-⨯=.故选：A6．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，且直线1y =与函数()f x 的图象的两个交点之间的最短距离为π，则下列四个结论中错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递减区间是7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z C ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称D ．()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数【正确答案】C【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线1y =与函数()f x 的交点之间的最短距离为π，所以πT =，故A 正确；所以2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，因为()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以2ππ,3k k ϕ+=∈Z ，即2ππ3k ϕ=-，k ∈Z ，又因为π02ϕ<<，所以当1k =时，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故B 正确；因为πππ1sin 2sin 112362⎡⎤⎛⎫⨯-+==≠± ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数()ππsin 2sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 正确．故选:C ．7．已知在非Rt ABC △中，AB =2AC =，且sin 22cos 22A A -=，则△ABC 的面积为（）A ．1B C ．2D ．3【正确答案】C【分析】首先由sin 22cos 22A A -=及ABC 不是直角三角形得出1cos sin 2A A =，再结合同角三角函数的平方关系求出sin A ，代入面积计算公式即可．【详解】sin 22cos 22A A -= ，22sin cos 2(1cos 2)4cos A A A A ∴=+=，又 ABC 不是直角三角形，cos 0A ∴≠，sin 2cos 0A A ∴-=，即1cos sin 2A A =，又22sin cos 1A A += ，221sin sin 14A A ∴+=，解得sin A =，()0,πA ∈ ，即sin 0A >，sin 5A ∴=，112sin 22225ABC S A AB AC ∴=⋅⋅=⨯⨯= ，故选：C ．8．将函数()cos 2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，总有12x x -的最小值等于π6，则ϕ=（）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12【正确答案】C【分析】根据函数图象平移规律可得函数()g x 的图象，由()()122f x g x -=、12minπ6x x -=设10x =，则2π6=±x ，分别利用πcos 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭、πcos 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出ϕ可得答案.【详解】函数()cos 2f x x =的周期为π，将函数的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()cos(22)g x x ϕ=-，由()()122f x g x -=可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且12minπ6x x -=，不妨设10x =，则2π6=±x ，即()g x 在2π6=±x 时取得最小值，由于πcos 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时ππ,3ϕ=--∈k k Z ，不合题意；πcos 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时2ππ,3ϕ=--∈k k Z ，当1k =-时，π3ϕ=满足题意.故选：C.二、多选题9．若复数z 为纯虚数，则（）A ．z z +为实数B ．z z -为实数C ．2z 为实数D ．i z ⋅为实数【正确答案】ACD【分析】根据题意，设i(R z m m =∈且0)m ≠，得到i z m =-，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为z 为纯虚数，设i(R z m m =∈且0)m ≠，则i z m =-，由0z z +=，所以A 正确；由2i z z m -=，所以B 错误；由22z m =-为实数，所以C 正确；由i i i z m m =⋅=-⨯=为实数，所以D 正确.故选：ACD.10．已知()2,3A ，()4,3B -，点P 在直线AB 上，且2AP PB =，求点P 的坐标（）A ．()6,9-B ．10,13⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()8,15-D ．()5,6-【正确答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设(),P x y ，因为()2,3A ，()4,3B -，且点P 在直线AB 上，故由2AP PB =可得以下两种情况：2AP PB = ，此时有()()23243x ,y x,y --=---，解得1013x ,y ==-；或2AP PB =-，此时有()()23243x ,y x,y --=----，解得6,9x y ==-；故选：AB11．在ABC 中，下列命题正确的是（）A ．若AB >，则sin sin A B>B ．若sin 2sin 2A B =则ABC 定为等腰三角形或直角三角形C ．在等边ABC 中，边长为2D ．若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为钝角【正确答案】ABCD【分析】A ，根据大角对大边及正弦定理可得结论；B ，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C ，根据三角形面积公式求解即可；D ，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角.【详解】对于A 选项，在ABC ∆中，由A B >，得a b >，由正弦定理sin sin a bA B=得sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由于sin 2sin 2sin(2)A B B π==-，由于A ，B 是三角形的内角，所以22A B =或2π2A B =-，即A B =或π2A B +=，因此ABC 可能为等腰三角形或直角三角形，故B 选项正确；对于C 选项，在等边ABC 中，边长为2，则11sin 22222ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 故C 选项正确；对于D 选项，因为ABC 的三边之比为3:5:7，所以设三边长依次为3t ，5t ，7t ，其中0t >，设最大角是C ∠，由余弦定理知22249925235cos t t t t t C =+-⨯⨯∠，所以1cos 2C ∠=-，因为0πC <∠<，所以2π3C ∠=，即此三角形的最大角为钝角，故D 选项正确.故选：ABCD .12．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在 CD上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧 AB于点Q ，且OQ xOC yOD =+，则下列说法正确的是（）A ．若y x =，则23x y +=B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=C ．2AB PQ ⋅≥-D ．112PA PB ⋅≥【正确答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得(3cos ,3sin )P θθ，由OQ xOC yOD =+，结合题中条件可判断A ，B ，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C ，D.【详解】如图，作OE OC ⊥,分别以,OC OE 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则13(1,0),(3,0),(,(,22A C B D --，设()2πcos ,sin ,0,3Q θθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则(3cos ,3sin )P θθ，由OQ xOC yOD =+ 可得3cos 3,sin 22x y y θθ=-=，且0,0x y >>，若y x =，则22223cos sin (3)()122x x x θθ+=-+=，解得13x y ==，（负值舍去），故23x y +=，A 正确；若2y x =，则3cos 302x y θ=-=，sin 1θ=，所以(0,3)OP = ，所以(1,0)(0,3)0OA OP ⋅=⋅=，故B 正确；3()(2cos ,2sin )3cos 22AB PQ θθθθ⋅=-⋅--=+ π3θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由于2π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故πππ,333θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故π333θ⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，故C 错误；由于1(13cos ,3sin ),(3cos 3sin )2PA PB θθθθ=--=-- ，故1(13cos ,3sin )(3cos 3sin )2PA PB θθθθ⋅=--⋅-- 17π3sin 26θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，而ππ5π,666θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin ,162θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以17π17113sin 32622PA PB θ⎛⎫⋅=-+≥-= ⎪⎝⎭ ，故D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知复数113i z =+，23i z =+，则12z z -在复平面内对应的点位于第__________象限．【正确答案】二【分析】利用复数的减法化简复数12z z -，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为复数113i z =+，23i z =+，则()()1213i 3i 22i z z -=+-+=-+，因此，12z z -在复平面内对应的点的坐标为()2,2-，即12z z -在复平面内对应的点位于第而象限.故二.14．已知()1,1a = ，()1,b λ=- ，若a b ⊥，则λ=___________．【正确答案】1【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为a b ⊥ ，(1,1)a =，()1,b λ=- ，所以10a b λ⋅=-+=，解得1λ=.故答案为.115．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，点3(0,)2-，π(,0)3，7π(,0)3在图象上，求(π)f =_______【分析】根据图象可得函数周期，据此求出12ω=，再代入点π(,0)3可得π6ϕ=-，再代入点3(0,)2-求出A ，得到函数解析式进而求解即可.【详解】由函数图像可知2A =.设函数()f x 的最小正周期为T ，则7ππ24π33T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，又因为0ω>，由2π4πT ω==，解得12ω=，又由图可知函数()f x 经过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则1πsin 023ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以1π2π,Z 23k k ϕ⨯+=∈，解得π2π,Z 6k k ϕ=-∈，又因为π2ϕ<，所以当0k =时，π6ϕ=-，所以1()sin()26f x A x π=-，又函数图象过点3(0,2-，所以π3sin()62A -=-，解得3A =，所以1()3sin()26f x x π=-，故1ππ(π)3sin π3sin 263f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭故216．已知对任意角α，β均有公式()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ+=+-．设ABC 的内角A ，B ，C 满足()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+．面积S 满足12S ≤≤．记a ，b ，c分别为A ，B ，C 所对的边，则abc 的取值范围为______．【正确答案】⎡⎣【分析】根据条件变形化简可得sin sin sin A B C 的值，根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC 外接圆半径R 的范围，再结合△ABC 外接圆半径R 即可求abc 的范围.【详解】∵△ABC 的内角A 、B 、C 满足()()sin 2si 1n s n 2i A A B C C A B +-+=--+，∴()()1sin 2sin π2sin π2A B C C +-=-++，即1sin 2sin 2sin 22A B C +=-+，∴1sin 2sin 2sin 22A B C ++=，由题可知，()()sin 2sin 22sin cos αβαβαβ+=+-，∴()()12sin cos sin 22A B A B C +-+=，∴()12sin cos 2sin cos 2C A B C C -+=∴()()12sin [cos cos ]2C A B A B --+=，∴有1sin sin sin 8A B C =，设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin sin sin a b cR A B C===，∴[]2211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 1,2224R S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅==∈，∴2,R ⎡∈⎣，所以38sin sin sin abc R A B C ⎡=∈⎣．故⎡⎣．四、解答题17．已知复数12(7)i,5(31)i()=+-=++∈R z a a z a a ．(1)若2z 的实部与1z 的模相等，求a 的值；(2)若复数12z z +在复平面上的对应点在第四象限，求a 的取值范围．【正确答案】(1)3a =或4a =(2)(5,4)--【分析】（15=，解方程可求出a 的值；（2）先求出12z z +，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得50,280,a a +>⎧⎨+<⎩从而可求出a 的取值范围【详解】（1）依题意，1==z 因为2z 的实部与1z 的模相等，5=，整理得27120a a -+=，解得3a =或4a =，所以3a =或4a =．（2）因为12(5)(28)i +=+++z z a a ，又12z z +在复平面上的对应点在第四象限，所以50,280,a a +>⎧⎨+<⎩解得54a -<<-，所以a 的取值范围是(5,4)--．18．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)A B C -.(1)若AB CD = ，求D 点的坐标；(2)设向量,== a AB b BC ，若向量k a b - 与3a b + 平行，求实数k 的值.【正确答案】(1)4(5,)D -；(2)13-.【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出,a b 的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）设(,)D x y ，因为AB CD = ，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)x y --=-，整理得(1,5)(4,1)x y -=--，即有4115x y -=⎧⎨-=-⎩，解得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -.（2）因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)a AB b BC ==-==--=r uu u r r uu u r，所以(1,5)(2,3)(2,53)ka b k k k -=--=---r r ，3(1,5)3(2,3)(7,4)a b +=-+=r r ，因为向量k a b - 与3a b + 平行，因此7(53)4(2)0k k ----=，解得13k =-，所以实数k 的值为13-.19．已知αβ，为锐角，4sin ,cos()55ααβ=+=-.（1）求cos 2α的值；（2）求sin β的值．【正确答案】（1）725-；（2.【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出3cos 5α=，sin()αβ+==，根据()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为4sin 5α=，所以2327cos 212sin 12525αα=-=-=-；（2）因为αβ，为锐角，所以0αβ<+<π，02πα<<，又4sin ,cos()5ααβ=+=3cos 5α=，sin()αβ+==所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦3455555=+=.本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.20．如右图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在北偏东120°，求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．【正确答案】（1）24；（2）8【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD 的长．（2）在△ADC 中由余弦定理可求得CD ，答案可得．【详解】(1)在△ABD 中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得24ABsinB AD sinADB ==(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2=AD 2+AC 2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=83．所以A 处与D 处之间的距离为24nmile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83nmile ．点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.21．在①3sin cos a c A a C =-，②(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的角A B C ，，对边分别为,,,3a b c c =_____．（I ）求C ∠；（Ⅱ）求ABC 面积的最大值．【正确答案】（I ）3π；（Ⅱ334【分析】（I ）选①，先利用正弦定理化简可得3sinA sinAcosC -，进而得到31sinC cosC -=，结合C 的范围即可求得3C π=；选②，先利用正弦定理可得（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，再利用余弦定理可得12cosC =，结合C 的范围即可求得3C π=；（Ⅱ）由余弦定理可得223a b ab +-=，再利用基本不等式可得3ab ≤，进而求得△ABC 面积的最大值．【详解】解：（I ）选①，∵a 3csinA acosc =-，∴3sinA sinAcosC =-，∵sin A ≠0，1cosC -=，即162sin C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0＜C ＜π，∴5666C πππ--＜＜，故66C ππ-=，即3C π=；选②，∵（2a ﹣b ）sin A +（2b ﹣a ）sin B ＝2c sin C ，∴（2a ﹣b ）a +（2b ﹣a ）b ＝2c 2，即a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴222122a b c cosC ab +-==，∵0＜C ＜π，∴3C π=；（Ⅱ）由（I ）可知，3C π=，在△ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，∴2232a b ab ab+=+≥∴3ab ≤，当且仅当那个a ＝b 时取等号，∴11sin 32224ABC S ab C =≤⨯=△，即△ABC 面积的最大值为4．22．已知函数()2()2sin 1(0,0 )2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为 2π.(1)求()f x 的解析式与单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移 6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求方程()22()30g x x -=的所有根的和.【正确答案】(1)()2sin 2f x x =，递减区间为3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z (2)43π【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g (x )的函数表达式，解方程求得g (x )的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【详解】（1）由题意，2())2sin 1)cos()2x f x x x x ωϕωϕωϕωϕ+⎛⎫++-=+-+ ⎪⎝⎭2sin 6x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为2π，∴()f x 的最小正周期为T π=，即可得2ω=，又()f x 为奇函数，则6k πϕπ-=，k ∈Z ，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，故()2sin 2f x x =，令3222,22k x k k ππππ++∈Z ，得3,44k x k k ππππ++∈Z ∴函数()f x 的递减区间为3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，可得2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图象，又()22()30g x x -=，则()g x =()2g x =，即sin 432x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 434x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.令43z x π=-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，54,333z x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，画出sin y z =的图象如图所示：sin z =12,z z ,关于2z π=对称，即12z z π+=,sin 2z =有345π45,,333z z z ππ=-==,sin 43x π⎛⎫- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两个不同的根12,x x ，124433x x πππ-+-=,12512x x π∴+=；又sin 43x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭50,,122ππ，所以方程()22()30g x x -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内所有根的和为43π.。

2022-2023学年重庆市南岸高一下册期中数学模拟试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据复数定义，()2i 1±=-求得命题逻辑关系.【详解】i 是虚数单位，则2i 1=-，“i a =”是“21a =-”的充分条件；由21a =-，得i a =±，故“i a =”是“21a =-”的不必要条件；故“i a =”是“21a =-”的充分不必要条件，故选：A2.,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题，其中错误的是A.若m n ⊥，m α⊥，n ∥β，则αβ⊥B.若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥C.若α∥β，m α⊆，则m ∥βD.若m ∥n ，α∥β，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【正确答案】A【分析】依据空间中位置关系的判定定理和性质定理逐个判断各选项中命题的真假后可得正确的选项.【详解】对于A ，平面,αβ可能平行，故A 错；对于B ，存在平面β使得n β⊂且l αβ= ，因为n ∥α，n ⊂平面β，故//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，故m l ⊥，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，根据面面平行的性质可知m ∥β，故C 正确；对于D ，根据线面角定义可知m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.故选：A.本题考查空间中与线面位置关系有关的命题的真假判断，这类问题需根据位置关系的定义、判定定理、性质定理等来判断真假，必要时还要动态地考虑它们的位置关系，本题属于中档题.3.复数z 满足||1z =，则|1i |z --的最大值为（）A.1- B.1C.D.1+【正确答案】D【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】复数z 满足||1z =，其对应的点是以原点为圆心，1为半径的圆上的点，复数|1|z i --几何意义是复数z 对应的点到点(11)B ，的距离，所以|1i |z --的最大值为+1=OB 1，故选：D.4.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b === ，则AE =（）A.1292525a b +B.16122525a b +C.4355a b +D.3455a b + 【正确答案】A【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意333339()()4444416A A B A F B ED E E F A B AB D==+=+=+39399()41641616AD AE AD AE AB AB =+-=+-,即25393916416416AE AD a b AB =+=+，所以1292525AE a b =+故选：A.5.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =，锯道2AB =，则图中ACB 与弦AB 围成的弓形的面积为（）A.322π- B.23πC.332π- D.333π-【正确答案】B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算【详解】解：设圆的半径为r，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此22132222343MBBAOB S S S ππ=-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形.故选：B6.已知等边ABC ∆的边长为2，M 为BC 的中点，若2AB t AM -≥，则实数t 的取值范围为（）A.[]1,2 B.[]0,2 C.(][),02,-∞+∞ D.(][),12,-∞-⋃+∞【正确答案】C【分析】直接利用向量的模的运算法则列出不等式解得即可.【详解】在ABC ∆中，M 为BC 的中点，则()12AM AB AC =+uuu r uu u r uuu r，2AB AC == ，2AB AC ⋅=，所以()1111222AB t AM AB t AB AC t AB t AC ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭，所以11122AB t AM t AB t AC ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由2AB t AM -≥ ，得111222t AB t AC ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，即22114121422t t t t ⎛⎫⎛⎫---+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得220t t -≥，解得2t ≥或0t ≤，所以实数t 的取值范围为(][),02,-∞+∞ .本题考查两个向量的加减法的法则、其几何意义、两个向量的数量积的定义以及向量的数量积的定义，属于基础题.7.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -的体积为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积的最小值为（）A.4π3B.82π3C.32π3D.642π3【正确答案】B【分析】设AC x =，BC y =，由阳马11B ACC A -的体积为8求得2xy =，把堑堵111ABC A B C -补形为长方体，求其对角线长的最小值，可得堑堵111ABC A B C -的外接球的半径的最小值，代入球的体积公式即得答案．【详解】根据题意，把堑堵111ABC A B C -补形为长方体，则长方体的对角线即为堑堵111ABC A B C -的外接球的直径，设AC x =，BC y =，则阳马11B ACC A -体积14233V xy =⨯=，2xy ∴=，把堑堵111ABC A B C -补形为长方体，则长方体的对角线长L =≥=，当且仅当x y ===”．即堑堵111ABC A B C -，∴堑堵111ABC A B C -的外接球的体积的最小值为34π3S =⨯=，故选：B ．8.在锐角ABC 中，2BC =，sin sin 3sin B C A +=，点D 是BC 边的中点，则AD 的长度的取值范围是（）A.[)8,9B.)⎡⎣C.738,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3⎡⎢⎣⎭【正确答案】D【分析】根据题意由正弦定理可得6b c +=，结合锐角三角形解得81033b <<，再根据()12AD AB AC =+ 结合向量的运算律、余弦定理整理得()2238AD b =-+uuu r ，根据二次函数的性质运算求解即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2a BC ==，∵sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理可得36b c a +==，即6c b =-，若ABC 为锐角三角形，则()()()222222222222222640460460b c a b b a c b b b a b c b b ⎧+-=+-->⎪⎪+-=+-->⎨⎪+-=+-->⎪⎩，解得81033b <<，又∵点D 是BC 边的中点，则()12AD AB AC =+，可得()()()22222211122cos 444AD AB AC AB AB AC AC b c bc A =+=+⋅+=++uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ()()222222222211122222644244b c a b c bc b c a b b bc ⎛⎫+-⎡⎤=++⨯=+-=+-- ⎪⎣⎦⎝⎭()2261738b b b =-+=-+，注意到()()238f b b =-+开口向上，对称轴3b =，且()8107338,339f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2738,9AD ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭uuu r ，即AD的长度的取值范围是⎡⎢⎣⎭.故选：D.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中不止一项符合题目要求．全选对得5分，没选全得2分，选错得0分）9.下列有关复数的说法中（其中i 为虚数单位），正确的是（）A.9i i= B.复数32i z =-的虚部为2i C.对任意复数z 都有22z z = D.复数z 为实数的充要条件是z z=【正确答案】AD【分析】根据复数的乘方判断A ，根据复数的定义判断B ，根据复数的平方运算和复数模的计算判断C ，根据充要条件的定义判断D.【详解】对于A ：2941i i i ⨯+==，故A 正确；对于B ：复数32i z =-的虚部为2-，故B 错误；对于C ：设1i z =-，则()22221i 12i i 2i z =-=-+=-，则()222112z =+-=，所以C 错误；对于D ：若复数z 为实数，则z z =，设i z a b =+，(),R a b ∈，若z z =，即i i a b a b =+-，所以0b =，则复数z 为实数，故复数z 为实数的充要条件是z z =，故D 正确；故选：AD.10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中OA =2，则下列结论正确的是（）A.2OA OD ⋅=-B.2OB OH OE+=-C.222AH FH -=+D.OE在OB上的投影向量为22OB -【正确答案】ACD【分析】根据数量积的定义、向量的线性运算法则，向量模的定义以及投影向量的概念计算判断各选项．【详解】3cos 22cos 224OA OD OA OD AOD π⋅=∠=⨯⨯=- ，A 正确；由向量加法的平行四边形法则知OB OH +是以,OB OH 为邻边的平行四边形的对角线对应的向量，起点是O ，易知该平行四边形的对角线长不等于OA 的二倍，即2OB OH OA +≠，而OA OE =-，因此B 错误；22322222cos 2224AH FH AH HF AF π-=+==+-⨯⨯⨯=+ ，C 正确；322cos 224OE OB π⋅=⨯⨯=- ，OE 在OB 上的投影为2222OE OB OB⋅-==2BO = ，∴OE 在OB 上的投影向量为12222OB OB -=-，D 正确．故选：ACD ．11.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::2:3:4a b c =，则下列结论正确的是（）A.sin :sin :sin 2:3:4A B C =B.ABC 是锐角三角形C.若8c =，则ABC 内切圆半径为3D.若8c =，则ABC 外接圆半径为81515【正确答案】AC【分析】利用正弦定理判定选项A 正确；利用边角关系和余弦定理判定选项B 错误；利用三角形的面积公式进而求出内切圆半径判定选项C 正确；利用2sin cR C=进行求解判定选项D 错误.【详解】因为::2:3:4a b c =，所以设2a t =，3b t =，4c t =，且0t >，对于A ：由正弦定理，得sin sin sin ::234A B C a b c ==::::，即选项A 正确；对于选项B ：因为::2:3:4a b c =，所以角C 最大，则22222249161cos 22234a b c t t t C ab t t +-+-===-⨯⨯，即C 为钝角，即ABC 是钝角三角形，即选项B 错误；对于C ：若8c =，则4a =，6b =，因为1cos 4C =-，所以sin 4C =，则11=sin 46224ABC S ab C =⨯⨯⨯=△，设ABC 的内切圆半径为r ，则1(468)2r ⨯++=153r =，即选项C 正确；对于D ：若8c =，由正弦定理，得32152sin 15c R C ==，即161515R =，即选项D 错误.故选：AC .12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是1AA ，1CC ，11C D 的中点，Q 是线段11D A 上的动点，则（）A.存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面B.存在点Q ，使PQ ∥平面MBNC.三棱锥P -MBN 的体积为13D.经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为92π【正确答案】ABC【分析】对于A ，连接1A B ，1CD ，可证得1A B PN ∥，从而可得结论，对于B ，连接PQ ，11AC ，当Q 是11D A 的中点时，由线面平行的判定可证得，对于C,利用11P MBN M PBN D PBN B D PN V V V V ----===三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥求解，对于D ，分别取1BB ，1DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF -EBCN ，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1A B ，1CD ，因为N ，P 分别是1CC ，11C D 的中点，所以1CD PN ∥，又因为11CD A B ∥，所以1A B PN ∥，所以1A ，B ，N ，P 四点共面，即当Q 与1A 重合时，B ，N ，P ，Q 四点共面，故选项A 正确；连接PQ ，11AC ，当Q 是11D A 的中点时，因为11PQ A C ∥，11AC MN ∥，所以P Q M N ∥，因为PQ ⊂/平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN ，故选项B 正确；连接1D M ，1D N ，1D B ，因为1D M BN ∥，所以1113P MBN M PBN D PBN B D PN V V V V ----====⨯三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥1111223⨯⨯⨯=，故选项C 正确；分别取1BB ，1DD 的中点E ，F ，构造长方体MADF -EBCN ，则经过C ，M ，B ，N 四点的球即为长方体MADF -EBCN 的外接球，设所求外接球的直径为2R ，则长方体MADF -EBCN 的体对角线即为所求的球的直径，即()222224419R AB BC CN =++=++=，所以经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为249R ππ=，故选项D 错误.故选：ABC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a ，b 满足1a = ，2b = ，1a b ⋅=-，则a b -=r r ________．【分析】直接平方进行运算即可得到答案.【详解】()()222222212127a b a b a a b b -=-=-⋅+=-⨯-+=r r r r r r r r ，则a b -=14.已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC xOA yOB =+，则x ＋y 的值是________.【正确答案】5【分析】由题可知A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，利用向量关系可求出,x y .【详解】由已知得A (－1,2)，B (1，－1)，C (3，－2)，OC xOA yOB =+ ，∴(3，－2)＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y ,2x －y )，322x y x y -+=⎧∴⎨-=-⎩，解得1,4x y ==，故x ＋y ＝5.故5.本题考查向量的运算，以及复数的坐标表示，属于基础题.15.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积S 满足()()228b c S a +=++，则角A 的值为______．【正确答案】π6【分析】根据余弦定理和三角形面积公式化简已知条件，得cos 12)sin A A +=求解cos A 可得角A 的值.【详解】由已知得()22228b c a bc S +-+=，根据余弦定理和三角形面积公式，得2cos 22)2sin bc A bc bc A +=+⋅，化简为cos 12)sin A A +=，由于()0,πA ∈，所以cos 1A +=+，化简得((24cos cos 30A A ++-+=，即((()4cos 3cos 10A A ⎡⎤+-++=⎣⎦，解得cos 2A =，或cos 1A =-（舍），由于()0,πA ∈，所以π6A =.故π616.已知等边ABC 的边长为2，将其绕着BC 边旋转角度θ，使点A 旋转到A '位置．记四面体A ABC '的内切球半径和外接球半径依次为r ，R ，当四面体A ABC '的表面积最大时，A A '=______，rR=______．【正确答案】①.②.2##2+【分析】先判断出当2A BA π'∠=时四面体A ABC '的表面积最大，即可求得A A '=；先求出表面积，再得到A A '的中点O 为四面体A ABC '的外接球球心，即可求得R ，再求出四面体的体积，由(143Vr =⋅+⋅即可求得r ，即可求解.【详解】易得,ABC A BC '的面积为定值，又ABA ACA ''≅，显然当2A BA π'∠=时，此时,ABA ACA ''面积最大，即四面体A ABC '的表面积最大，此时A A '=；当四面体A ABC '的表面积最大时，易知四面体A ABC '的表面积最大值为211222222224⨯⨯+⨯=+⨯⨯，设A A '的中点为O ，易知12OB OCAA '==，∴OB OC OA OA '====，即O 为四面体A ABC '的外接球球心，∴四面体A ABC '的外接球半径R =，∵OB OC ==2BC =，∴222BC OB OC =+，∴2BOC π∠=，由,OC OB OC AA '⊥⊥，,OB AA '⊂平面A AB '，OB AA O '⋂=，可得OC ⊥平面A AB '，∴四面体A ABC '的体积为12233A AB V S OC '=⋅⋅=△，又(11111433333D ABC D A BC D AA B D AA C V S r S r S r S r r '''----=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅，∴4232233r +=，解得r =∴2r R ==.故2．四、解答题（本大题共6个小题，第17题10分，其余各题12分，共70分）17.已知ABC 中角、、A B C 所对的边分别为,,a b c 满足cos cos 2A aC b c=-+.（1）求角A ；（2）若7,3a c ==，求角A 的平分线AM 的长.【正确答案】（1）23π（2）158【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到2cos sin sin A B B =-，求得1cos 2A =-，即可求解；（2）根据余弦定理列出方程求得5b =，结合ABCABMCAMS SS=+，即可求得角A 的平分线AM 的长.【小问1详解】解：因为cos cos 2A a c b c =-+，由正弦定理得cos sin cos 2sin sin A AC B C=-+，整理得2cos sin cos sin sin cos A B A C A C +=-，即2cos sin sin cos cos sin A B A C A C=--又由sin cos cos sin sin()sin()sin A C A C A C B B π+=+=-=，所以2cos sin sin A B B =-，又因为(0,)B π∈，可得sin 0B >，所以1cos 2A =-，又由(0,)A π∈，所以23A π=【小问2详解】解：由（1）知，23A π=且7,3a c ==，根据余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，可得24993b b =++，即23400b b +-=，解得5b =或8b =-（舍去），设角A 的平分线AM 的长为x ，因为ABCABMCAMSSS=+，即1211sin sin sin 232323bc cx bx πππ=+，即1313135335222222x x ⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，解得158x =，即角A 的平分线AM 的长为158.18.如图，保定市某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD ），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学数学活动小组在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB 向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°．已知山坡AB 的坡度为1:3,8m i AB AE ===．（1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求宣传牌CD 的高度．（结果保留根号）【正确答案】（1）2m（2）(16m-【分析】（1）根据坡度比以及勾股定理即可求解，（2）根据锐角三角形的边角关系即可结合图形关系进行求解.【小问1详解】由于1:3,i =所以:1:3BH AH =,设,3BH a AH a =∴=，则2AB a ===⇒=，所以2m,BH =【小问2详解】过点B 作BF CE ⊥，垂足为F ,则2,6814BH EF BF AH AE ===+=+=,在ADE V 中，tan 60DE AE =⋅=又14,14216BF CF CD CF EF DE ==∴=+-=+-=-故宣传牌CD 的高度为(16m -，19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ∥，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．（1）若2DM MP =，求证：直线//MN 平面PAB ；（2）已知点M 满足13PM PD =，求异面直线MN 与AD 所成角．【正确答案】（1）证明见解析（2）90°．【分析】（1）取PA 的一个靠近点P 的三等分点Q ，连接MQ ，QB ，由题意可证得//MN BQ ，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）过点M 作//MK PA ，交AD 于K ，连接KN ，由线面垂直的判定定理证明AD ⊥面MNK ，即可得出MN AD ⊥，即可得出答案.【小问1详解】取PA 的一个靠近点P 的三等分点Q ，连接MQ ，QB ，因为2DM MP =，所以//MQ AD 且113QM AD ==，又因为//AD BC ，且2BC =，点N 为BC 中点，所以//BN MQ 且BN MQ =，则四边形MQBN 为平行四边形，所以//MN BQ ，MN ⊄平面PAB ，QB ⊂平面PAB ，所以直线//MN 平面PAB ．【小问2详解】过点M 作//MK PA ，交AD 于K ，连接KN ，可知MK ⊥面ABCD ，因为AD ⊂面ABCD ，所以MK AD ⊥，又因为13PM PD =，所以23MK DK PA DA==．∵3PA AD ==∴1AK =，∴//AK BN ，AK BN =，所以四边形AKNB 为平行四边形，//KN AB ，又因为AB AD ⊥，所以KN AD ⊥，又MK NK K ⋂=，∴AD ⊥面MNK ，因为MN ⊂面MNK ，∴MN AD ⊥，所以异面直线MN 与AD 成角为90°．20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）1010.【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F ⊥平面1A AMN ，只需证明EF ⊥平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP =，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1） ,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴，又11//AA BB ，1//MN AA ∴，在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥，又 侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC⊥平面1A AMN ，又 11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ，又 11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F ⋂平面ABC EF=11//B C EF ∴，//EF BC ∴，又BC ⊥ 平面1A AMN ，∴EF⊥平面1A AMN ，EF ⊂ 平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN .(2)[方法一]：几何法如图，过O 作11B C 的平行线分别交1111,A B A C 于点11,E F ，联结11,,,AE AO AF NP ，由于//AO 平面11EB C F ，11//E F 平面11EB C F ，11= AO E F O ，AO ⊂平面11AE F ，11E F ⊂平面11AE F ，所以平面11//AE F 平面11EB C F ．又因平面11 AE F 平面111=AA B B AE ，平面11EB C F ⋂平面111=AA B B EB ，所以11∥EB AE ．因为111B C A N ⊥，11B C MN ⊥，1A N MN N = ，所以11B C ⊥面1AA NM．又因1111∥E F B C ，所以11⊥E F 面1AA NM ，所以1AE 与平面1AA NM 所成的角为1∠E AO ．令2AB =，则11=NB ，由于O 为111A B C △的中心，故112233==OE NB ．在1Rt AE O 中，122,3===AO AB OE ，由勾股定理得13==AE ．所以111sin 10∠==E O E AO AE ．由于11∥EB AE ，直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值也为1010．[方法二]【最优解】：几何法因为//AO 平面11EFC B ，平面11 EFC B 平面1=AMNA NP ，所以∥AO NP ．因为//ON AP ，所以四边形OAPN 为平行四边形．由（Ⅰ）知EF ⊥平面1AMNA ，则EF 为平面1AMNA 的垂线．所以1B E 在平面1AMNA 的射影为NP ．从而1B E 与NP 所成角的正弦值即为所求．在梯形11EFC B 中，设1EF =，过E 作11EG B C ⊥，垂足为G ，则3==PN EG ．在直角三角形1B EG中，1sin 10∠==B EG ．[方法三]：向量法由（Ⅰ）知，11B C ⊥平面1A AMN ，则11B C为平面1A AMN 的法向量．因为∥AO 平面11EB C F ，AO ⊆平面1A AMN ，且平面1A AMN ⋂平面11EB C F PN =，所以//AO PN ．由（Ⅰ）知11,=∥AA MN AA MN ，即四边形APNO 为平行四边形，则==AO NP AB ．因为O 为正111A B C △的中心，故13==AP ON AM ．由面面平行的性质得111111,33=∥EF B C EF B C ，所以四边形11EFC B 为等腰梯形．由P ，N 为等腰梯形两底的中点，得11PN B C ⊥，则11110,⋅==++= PN B C EB EP PN NB 111111111623+-=-B C PN B C PN B C ．设直线1B E 与平面1A AMN 所成角为θ，AB a =，则211111113sin θ⋅=== aEB B C EB B C 所以直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值1010．[方法四]：基底法不妨设2===AO AB AC ，以向量1,,AA AB AC为基底，从而11,,AA AB AA AC = ，,3π= AB AC ．1111123=++=+ EB EA AA A B AB AA ，BC AC AB =-，则1= EB ||2BC = ．所以112()3⎛⎫⋅=+⋅-= ⎪⎝⎭EB BC AB AA AC AB 2224333⋅-=- AB AC AB ．由（Ⅰ）知BC ⊥平面1A AMN ，所以向量BC为平面1A AMN 的法向量．设直线1B E 与平面1A AMN 所成角θ，则111sin cos ,||θ⋅===EB BC EB BC EB BC 故直线1B E 与平面1A AMN所成角的正弦值为sin 10θ=．[方法五]：坐标法过O 过底面ABC 的垂线，垂足为Q ，以Q 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设OAM θ∠=，AO =AB =2，则()()11,,2sin ,0,2cos ,0,2cos ,03B A B θθθ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11313,,0,,2cos ,033333AE AB E θ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12,2cos ,2sin ,3B E θθ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 易得()1,0,0n =r为平面A 1AMN 的一个法向量，则直线B 1E 与平面A 1AMN所成角的正弦值为1112103cos ,10n B E n B En B E⋅===⋅ 【整体点评】(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向量和直线的方向向量.方法五：空间坐标系法是立体几何的重要方法，它是平面向量的延伸，其关键之处在于利用空间坐标系确定位置，找到平面的法向量和直线的方向向量.21.在ABC中，b =cos sin B b C =；条件②22cos a c b C -=，两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.（1）若2a =，求ABC 的面积；（2）若ABC 为锐角三角形，求a c +的取值范围.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）面积为（2）【分析】（1）由所选条件，应用正弦边角关系、三角形内角性质及三角恒等变换求得π3 B=，再应用正弦定理求角A，最后求出三角形的面积；（2）由题设及（1）得2π4[sin sin()]3a c A A+=+-，应用三角恒等变换化简，注意求A的范围，根据正弦型函数性质求范围即可.【小问1详解】cos sin sin=C B B C，又sin0C>，则tan B=，由(0,π)B∈，故π3B=，根据4sin sin32a bA B===，而2a=，故1sin2A=，(0,π)A∈，所以π6A=或5π6A=（舍），综上，π2C=，则ABC的面积为12ab=；选②：2sin sin2sin()sin2sin cosA CBC C B C-=+-=，所以2sin cos2cos sin sin2sin cosB C B C C B C+-=，则2cos sin sinB C C=，由sin0C>，则1cos2B=，(0,π)B∈，可得π3B=，根据4sin sina bA B===，而2a=，故1sin2A=，(0,π)A∈，所以π6A=或5π6A=（舍），综上，π2C=，则ABC的面积为12ab=；【小问2详解】由（1），4sin sin sin2a c bA C B====，则4sin,4sina A c C==，且2π3A C+=，所以2π14(sin sin)4[sin sin()](sin cos)322a c A C A A A A+=+=+-=+πsin()6A=+，又ABC为锐角三角形，π22ππ32AA⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A<<，故ππ2π(,)633A+∈，所以πsin((,1]62A+∈，则a c+∈.22.如图，圆柱1OO的轴截面ABCD为正方形，2AB=，EF是圆柱上异于AD，BC的母线，P，Q分别为线段BF，ED上的点．（1）若P，Q分别为BF，ED的中点，证明：//PQ平面CDF；（2）若1BP DQ CFPF QE DF==≤，求图中所示多面体FDQPC的体积V的最大值．【正确答案】（1）证明见解析（2）最大值12．【分析】（1）连接CE，根据圆柱的性质可得四边形BEFC为平行四边形，即可得到P为CE的中点，从而得到//PQ CD，即可得证；（2）设CDFθ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即可得到2sinCFθ=，2cosDFθ=，再根据比例关系，表示出DCF S △，PCF S △，表示出三棱锥Q CFD -与三棱锥Q PCF -的高，根据锥体的体积公式得到22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭，令tan ,01x x θ=<≤，则1141132CDFPQx x V x x x x ++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再令113u x x =++≥，根据函数的性质求出最大值；【小问1详解】证明：如图连接CE ，根据圆柱的性质可得//BC EF 且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，因为P 为BF 的中点，所以P 为CE 的中点，又Q 为ED 的中点，所以//PQ CD ，因为PQ ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，所以//PQ 平面CDF ，【小问2详解】解：Rt CDF 中，设CDF θ∠=，0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2sin CF θ=，2cos DF θ=，所以2sin tan 12cos BP DQ CF PF QE DF θθθ====≤，所以12sin cos sin 22DCFSCF DF θθθ=⋅==，1112sin 2sin 2tan 12tan 1tan 1PCFBCF SSθθθθθ=⋅=⨯⨯⨯=+++设三棱锥Q CFD -高为h ，设三棱锥Q PCF -高为s ，由比例关系，可知tan 2tan tan 1tan 1h EF θθθθ=⋅=++，21ta 1co n 1tan s s DF θθθ=⋅=++所以，12sin 2tan 33tan 1Q CFDCFD V S h θθθ-=⋅=+，()212sin 233tan 1Q PCF PCF V S s θθ-=⋅=+22tan 1sin 23tan 1(tan 1)CDFPQ Q CFD Q DCF V V V θθθθ--⎛⎫=+=+ ⎪++⎝⎭∵22tan sin 2tan 1θθθ=+∴()()222tan tan tan 1431tan (tan 1)CDFPQV θθθθθ++=++∵设tan ,01x x θ=<≤∴()()()222111441133112CDFPQx x x x x V x x x x x x ++++==⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令113u x x =++≥，当且仅当1x =时取等号，则()()244411311313CDFPQu u V u u u u u===-+--又CDFPQ V 关于u 在[)3,+∞上单调递减，∴当3u =，即1x =，即45θ=︒时，CDFPQ V 取到最大值12．。