七年级数学上册 3.4 二元一次方程组的应用课件 (新版)沪科版

= .
即 a ， b 的值分别为－4，1.
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应用5
已知二元一次方程组的错解，求字母的值
＋ = ，
7. 在解方程组ቊ
时，由于粗心，甲看错了方程
− =

＝ ，

组中的 a ，得解为ቐ
＝ − ；
乙看错了方程组中的 b ，得
= ，
解为ቊ
＝ − .
ቊ
可化为ቊ
＋ = ，
(＋)＋( − ) =
− = ，
= ，
因为ቊ
的解是ቊ
所以
= ，
＋ =
＋ = ，①
ቊ
− = ，②
1

①＋②，得2 a ＝3，所以 a ＝ .

2
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把 a ＝ 代入①，得 b ＝－ .
已知二元一次方程组的解之间的关系，求字母的值
4. [2024·重庆一中月考]已知关于 x ， y 的二元一次方程组
− = ，
ቊ
的解满足 x － y ＝10，则 a 的值
− = −
11
为
.
⁠
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【点拨】
− = ，①
൝
− = − ，②
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应用2
的值
已知二元一次方程组与二元一次方程共解，求字母

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——《名师测控》助您成功
用二元一次方程组解决问题的简单步骤和方 法：
１．理解题意，找出表示实际问题意义的两 个相等关系；
２．设两个未知数，再根据相等关系列 出方程组；
３．解这个方程组，并写出答案．
【例3】 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长
石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉 中含二氧化硅67%.试问在3.2t原料中，石英 砂和长石粉各多少吨？
二元一次方程组的应用（
1、说一说： 用二元一次方程组解决问题的简单步骤和方法：
＿＿＿＿＿。 2、做一做 （1）一杯糖水200千克，浓度为5%，则含糖量为＿ ＿＿＿， （2）一杯糖水300千克，浓度为20%，则含糖量为＿ ＿＿＿， （3） 把这两杯糖水混合起来，一共含糖量为＿＿ ＿＿。
3、讨论讨论： （1）溶液浓度、 溶液量、溶质量的关系公式是＿ ＿＿＿＿＿＿＿ （2）混合前后，溶液浓度 溶液量溶质量分别发生 了怎样的变化？
——— 高尔基
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022

代入 消元
70 2y 4y 94,
2y 24,
y 12.
把y=12代入①，得x=23. 答：有鸡23只，有兔12只.
解：设鸡为x 只,兔为y 只.则
x+y=35，
①
2x+4y=94.
②
①×2 得： 2x+2y=70， ③ ②-③ 得： 2y=24，
y=12. 把 y=12 代入①，得：x=23. 原方程组的解是 x=23,
此题用的数学计算公式：路程÷速度=时间
解：可设自行车路段长为xm，长跑路段的长度为ym
自行车
跑步
总计
各 路段长 x
时间
x÷10
y y÷5
5×1000 15×60
题目中的等量关系是：
自行车路段长+跑步路段长= 5×1000
骑自x+行y=车5时00间0 +跑步的时间= 15×60
x/10+y/5=900
依题意得
x+y=10 2x+y=18
x=8 解得: y=2
答：２米的应取８段，1米的应取２段。
“一切问题都可以转化为数学问题， 一切数学问题都可以转化为代数问题，而 一切代数问题又都可以转化为方程问题， 因此，一旦解决了方程问题，一切问题将 迎刃而解!”
——法国数学家 笛卡儿[Descartes, 1596-1650 ]
x+y=5000 ①
依题意得
x/10+y/5=900 ②
解得: x=1000 m
y=4000 m
答：自行车路段的长度为1km，长跑 路段的长度为4km。
列二元一次方程组解应 用题的步骤是什么？
（1）审题（重点语句的理解）； （2）设两个未知数，找出两个等量关系； （3）根据等量关系列方程，联立方程组； （4）解方程组得出未知数的值； （5）检验并作答.

y=3
所以
x5 y3
答：甲的速度是5km/h，乙的速度是3km/h.
1.完成“鸡兔同笼”问题3 在我国古代有个著名的“鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四 足，问鸡兔各几何？” （用二元一次方程组解答）
2.某班课外活动小组买了9副象棋和7副跳棋， 共计70元.已知2副象棋的价格比1副跳棋的价格 高1元5角，问1副象棋和1副跳棋的价格各是多少 元？
在我国古代有个 著名的“鸡兔同笼” 问题：“今有鸡兔同 笼，上有三十五头， 下有九十四足，问鸡 兔各几何？”
在我国古代有个著名的“鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足， 问鸡兔各几何？”(用算术方法求解）
解：兔子的只数= （94－35×2）÷2
=12（只） 鸡的只数=35－12=23（只）
（1）同时出发，同向而行
甲出发地
4km
甲2h行程
乙出发地
乙2h行程
（2）同时出发，相向而行
相遇地
甲0.5h行程
乙 0.5h
甲出发点
行程乙出发点
4km
甲追上乙
解：设甲、乙的速度分别是x km/h,y km/h.
根据题意，得
2x 2 y 4
1 2
x
1 2

4
②×4＋①,得
4 x=20
x=5
将x=5代入①，得
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
【例1】 ：某市举办中学生足球比赛，规定胜一 场得3分，平一场得1分，市第二中学足球队比赛 11场，没有输过一场，共得27分。试问该队胜几 场，平几场？

3.3 二元一次方程组（1）
一切问题都可以转化为
数学问题，一切数学问题都
可以转化为代数问题，而一
切代数问题又都可以转化为
方程问题。因此，一旦掌握
了方程问题，一切问题便迎
刃而解。
法国著名的数学家·笛卡尔
—笛卡尔
动手操作 画一个周长为20cm的长方形，并标出它的
长与宽各是多少.
3.5cm 6.5cm
(4) 6x- 1 y=1；是； 2
(5) xy+y=7 ； 不是，最高项的次数为2；
1
(6) 2x+ y
=3 ；不是，方程左边的式子不是整式.
问题5：你能仿照一元一次方程的解给二元一次 方程的解下个定义吗？
使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的 值，叫做二元一次方程的解。
问题6：如何解二元一次方程？以x+y=10为例说明.
y
3z
5
不是
x 2
(3)
y
1
是
(4)
x
1 y
2
不是
x y 0
问题10：什么叫二元一次方程组的解呢？
使二元一次方程组中每个方程都成立的两 个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 这 个解就是它们的公共解。
练一练
的1解.判？断下列各对值是不是二元一次方程组2xx1
y

y
7
x 1
x 2
x 6 y 4 是x+y=10的一个yc解m。
xcm
问题7：你能说说一元一次方程和二元一次方程的 区别与联系吗?
区别
一元一次方程 含有一个未知
数，有唯一解
二元一次方程 含有两个未知
数,有无数个解
联系

知1－讲
知1－练
例1 下列方程：① 4x－y=8；② xy=2；③ x+ 3y=3；
④ 3－2y=z；⑤ x2+y=6.
其中二元一次方程有( )
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
解题秘方：紧扣二元一次方程的定义去识别．
知1－练
解：②中含未知数的项 xy 的次数是 2；③不是整 式方程；⑤含未知数的项 x2， y 中， x2 的次数不 是 1. ① 4x－y=8，④ 3－2y=z 符合二元一次方程 的定义 . 所以二元一次方程共有 2 个． 答案：B
A. ቊ5x2+x2+y5=y1=08，
B. ቊ2x5+x5+y2=y1=08，
C. ቊ5x2+x5+y5=y1=08，
D. ቊ5x2+x2+y2=y1=08，
ቐ1 x
+y=1；
③
2x+z=0，
ቐ3x－y=
1 5
；
④
൝x 2
x=5，
+
y 3
=7；
⑤
ቊxx有
()
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
知3－练
解题秘方：紧扣二元一次方程组的定义进行识别 . 解：方程组①中第一个方程含有未知数的项 xy 的 次数不是1；方程组②中第二个方程不是整式方程； 方程组③中共有 3 个未知数 . 只有方程组④⑤满 足，其中方程组⑤中的 π 是常数 .
③
x+2y=4，
ቐ1 x
+y=2；
④
ቊ2xx2+－y=y=3，5.
知3－练
例4 [母题 教材 P109 练习 T1(3) ]某中学组织七年级学生春 游，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座 位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆，且 其余客车恰好坐满 . 试问七年级学生人数是多少？原 计划租用 45 座客车多少辆？ (只列方程组)

(2)用加减法时，一般选择系数比较简单(同一未知数 的系数的绝对值相等或成倍数关系)的未知数作为 消元对象．
例2
解方程组：
4 8
x x
+y 14, 3 y 30.
① ②
知1－讲
分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减， 都不能消去未知数x或y,怎么办？我们可以对其 中一个（或两个）方程进行变形,使得这个方程 组中x或y的系数相等或互为相反数,再来求解.
未知数的系数互为相反数或相等； (2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未
知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； (4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意
一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的 两个未知数的值用符号“{”联立起来，就得到原 方程组的解．
(1) 3 x 7 y 1, ① 导引：数两3，个x 这方7样程y 可中1以x3的. 把②系两数个相方同程，相y的加系消数去互y，为或相者反把
两个方程相减消去x.
解：方法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2. 知1－讲
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1.
所以原方程组的解为
解：①＋②，得27x＋27y＝81， 化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
知2－讲
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 3,


x
+
y


1,
所以原方程组的解是
x 2,

y

1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲

【解】小明发现的结论正确.
= + ，
理由：把ቊ
代入方程3 x －5 y ＋4＝0的左
= +
边，得15 m ＋6－15 m －10＋4＝0，而方程右边＝0，
所以左边＝右边，即小明发现的结论正确.
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15. [新考法 创设情境法]某城市出租车的收费标准：行程不
【解】由题意，得 m2－4＝0， m ＋2≠0且 m ＋1≠0，
解得 m ＝2，故当 m ＝2时，方程为二元一次方程.
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13. 某学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数
的比是3∶2，求两种球各多少个.(只需列出二元一次方程
组，不必求解)
【解】设排球有 x 个，篮球有 y 个，由题意，得
超过3 km收起步价，超过部分每千米收费若干元(不足
1 km的按1 km计算).某天，林老师第一次乘出租车的行程
为8 km，花了12元；第二次乘出租车的行程为11 km，
花了15.6元.请你编写适当的问题，并列出相应的二元一
次方程组.
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【解】答案不唯一，如：起步价是多少？超过3 km后每
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值
，叫做二元一次方程组的解.
两个未知数的
代入消元法
【归纳总结】从一个方程中求出
式
某一个未知数的表达
，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做
代入消元法，简称
代入法 .
代入消元法的一般步骤为:(1)求表达式；(2)代入消元；(3)
回代求解.
1.在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即



[变式演练]若方程2xm＋1－3yn－3＋3＝0是关于x、y的二元一
次方程，则m＝
0 ，n＝
4 .
方法归纳交流 二元一次方程要含有 两个
未知数的系数
未知数，且
不等于 0，且等号两边都是 整式
.
二元一次方程组的概念
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是( C )
= + ,
A.
− =
通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，这个
过程体现的数学思想是( B )
A.类比思想
B.转化思想
C.分类讨论思想
D.数形结合思想
2.方程3x－5y＝9，用含x的代数式表示y为( D )
−
A.y＝

−
B.x＝

+
C.x＝

−
D.y＝

根据二元一次方程用其中一个未知数
− = ,
A.
− =
= ,
B.
+=
− = ,
C.
−=
+ = ,
D.
=
2.若(a＋1)x|a|＋3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝
1 .

满足大单元项目化教学要求；教材内容按照逻辑联系，全面推敲，
调整顺序，使得内容呈现更自然、更合理
03
严格遵循学生的认知规律和思维特点，注重内容的情境化、应用
性、探究性和开放性，根据最新形式与科技成果，更换内容素材
与练习题
第二部分 整体重要变化 教材修订的总体原则
04
内容呈现注重与学生小学所学知识、已有生活经验相联系.思维由 感性到理性，拾级而上，提高学生的抽象概括能力
目录
第一部分 《数学新教材（2024沪科版）》目录结构比对 第二部分 《数学新教材（2024沪科版）》整体重要变化 第三部分 《数学新教材（2024沪科版）》变化要点解读 第四部分 《数学新教材（2024沪科版）》各章节具体变化 第五部分 《数学新教材（2024沪科版）》各章节教学安排
第一部分 目录结构比对
进而
借助于数轴，利用数形结合的思想讲解绝对值、相
反数和有理数的大小比较等相关知识.
第三部分 变化要点解读
第二部分 有理数的运算
利用数 学思想
分类讨论
依次探究
数形结合
转化
第1章 有理数
有理数的加 有理数的减 有理数的乘 有理数的除 有理数的乘方
运算法则 运算律
作为乘方运算的应用， 教科书结合10的正整 数次幂的认识介绍了 科学记数法.
在有理数运算中，教科书 重点探究加与乘.教科书利用 分类讨论的思想，通过对实际 问题的探索求解，提炼总结出 有理数加法、乘法的运算法则.
有理数的减法、除 法，则是利用逆运算， 根据转化的思想，分别 把减法与除法转化为加 法与乘法运算.
第三部分 变化要点解读 第1章 有理数
几点
对于加法和乘法的运算律，教科书分别安排在加减法混