结构力学第九章 薄壁杆件扭转

上式写成通用形式为：
绕第i室的 周线积分
ds ds qi qk 2GA2 t k i k t i
沿第i与第k 室的公共 壁积分 （9-13）
式中，i=1,2,3,…,n；
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
令
qi qi G
（9-14）
qi 第i室的扭转常数,式（9-13）可写为：
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工 程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船 舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船 体梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转 开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截 面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计 算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计 算公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
求扭转惯性矩及 剪流
300
Байду номын сангаас400
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
作业2、3、5
考试
考试题型： （1）选择填空 （2）判断题（不要解释理由，只要判断对错） 以上两项共54分，可能会增加题量，减小每题的分值 （3）计算题（基本运算）46分 计算题比作业题目简单，运算量小 重点在后面章节，与材料力学重复率低的章节 试验报告＋作业＝平时分 考试时计算题先把关键公式写下
M s 2 Ai qi
i 1
n
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。 仅由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还 必须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。 刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例如 对于第2室，有
ds ds qi qk 2A2 （9-15） t k i k t i
式中，i=1,2,3,…,n；式(9-15)是关于未知数qi 的n元一次方程组，当薄壁截面的形状、尺寸以及材料 q 已定时， i 的所有系数以及方程式等号右边的常数项 均为已知。因此，由式（9-15）可解出 qi （i=1、2、 3、…）,代入式（9-14），得
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi G qi
将上式代入（9-12），可得杆件得扭率 Ms （9-16） n 2G Ai qi
i 1
比较式(9-16)和式（9-2），即得多闭室薄壁截面 得扭转常数计算公式 n （9-17） I t 2 Ai qi
i 1
将上式代入式(9-16) 得
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭 转常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
4A It ds t
2
（9-10）
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
上式称为环流方程式。 3.多闭室薄壁杆件的自有扭转 对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭 矩Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并 规定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室 公共壁上的剪流为该两室剪流之差。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从 而沿截面的剪流为：
Ms q t 2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆 件中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭 角为dφ,则扭矩所做的功为：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
ds ds ds ds q2 q2 q3 q2 q4 q2 q1 2GA2 t t t t a b c d
b c d a
或写成
ds ds ds ds q2 q1 q3 q4 2GA2 t 21 t t t 2 2 3 2 4
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其 三个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
b t 10 l t 10
（9-1）
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄 壁截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f） 两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室 （图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。 材料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后， 杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种 现象称为翘曲。 薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。 如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并 不受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就 称为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横 截面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横 截面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的 直线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上 没有正应力而只有扭转引起的剪应力。
或
q b tb a ta
（9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。 下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
ds所对的扇形面积为：
dMs hqds
1 dA hds 2
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其 他约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束 扭转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是 不相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改 变，于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外， 还有因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截 面上分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴 随产生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截 面上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形 成一个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上 的扭矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可 见，薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
1 dW M s d 2
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
1 Ms dV dx tds dx tds 2G 2G 2 At M s ds dx 2 t 8GA
2

2
由dW=dV，可得扭率：
M s ds d 2 dx 4GA t
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
M st s It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t— 壁厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁 厚最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转 可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪 应力τ沿壁厚是均匀分布的。记
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下： Ms （9-2） GI t 式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）； Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转 常数）。 1 （9-3） I t hi t i3 3 i 式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长 边）和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲 1 s1 3 线，则 （9-4） I t t ds 3 0 式中，si—壁厚中心线的总长
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图 9-3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面 上无正应力，即轴向力为零，所以有： y a (图9-3) a b ta ds h a b qds tb dA o x b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
btb a ta dx 0
Ms G It
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi G qi
再将上式代入（9-14），最终得出各室剪流的计 算公式： Ms qi qi （9-18） It 式中，i=1,2,3,…,n。
10 8 12 10 800 (图9-5) 16 10 600
三闭室截面如图 所示，两端受扭 矩M s 400kN m
ds q 2GA t
（9-11）
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4 d q1 q2 c q3 qn
a
b图9-4) (
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩： （9-12） M s 2 Ai qi 式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即