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弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转

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薄圆筒、柱 弹塑性力学详解

薄圆筒、柱 弹塑性力学详解


(6 11)
(6 12)
du i d u i ;
vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 du i (b)应力连续条件
(E)
ni du i ni ;
( p)
( p)
(6 13)
(6 14)
d ij ni d ij ni ;
无量纲化后得到：
(6-19)
d d d , d d 20)
消去 d 得：
(6 21)
简单的弹塑性问题
2 由（6-18）式知 1 及 d d 0,
故
d d d / 1 2
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1
弹塑性边值问题的提法
§6.2 “薄壁筒”的拉、扭联合变形
§6.5 “柱体”的弹塑性自由扭转
§6.6 受内压的“厚壁圆筒”
简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
一、弹塑性全量理论边值问题
设在物体V内给定体力 Fi ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 边界Su 上给定位移 u i ，要求应力 ij ，应变 ij ，位移 ui ，它们满足 以下方程和边条件：
(E)
上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。
简单的弹塑性问题
§6.2 “薄壁筒” 的 拉、扭变形
考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐 标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力 为：
z P / 2Rh , z T / 2R 2 h,
（6-10）
1 2v d kk d kk , E d d ij 0, 0, ij d hd , d d 0, ij ij
弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答

弹塑性力学 第07章平面问题的极坐标解答


ϕ 改变，即与 ϕ 无关。由此可见，凡是轴
对称问题，总是使自变称的 物理量不能存在。
考擦应力函数 U 与 ϕ 无关的一种特殊情况，即轴对称， 此时极坐标形式的双调和方程变成常微分方程 ⎛ ∂2 1 ∂ 1 ∂ 2 ⎞⎛ ∂ 2U 1 ∂U 1 ∂ 2U ⎞ ⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟⎜ ⎜ ∂ρ 2 + ρ ∂ρ + ρ 2 ∂ϕ 2 ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ d2 1 d ⎞⎛ d 2U 1 dU ⎞ ⎜ ⎜ d ρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟⎜ ⎜ dρ 2 + ρ dρ ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠⎝ ⎠
τ ρϕ = τ ϕρ
∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ 1 ∂ 2U 1 ∂U ⎜ ⎟ =− + 2 =− ⎜ ∂ρ ⎝ ρ ∂ϕ ⎟ ρ ∂ρ∂ϕ ρ ∂ϕ ⎠
¾极坐标系中边界条件的处理： ①、对于由径向线和环向线所围成的弹性体，其边界面通常 均为坐标面，即ρ 面（ρ 为常数）和 ϕ 面（ϕ 为常数），使 边界的表示变得十分简单，所以边界条件也十分简单。 ②、对于应力边界条件，通常给定径向和切向面力值，可直 接与对应的应力分量建立等式（注意符号规定） 应力边界条件：
¾平面问题极坐标形式的几何方程
ερ =
∂u ρ
∂ρ u ρ 1 ∂uϕ εϕ = + ρ ρ ∂ϕ 1 ∂u ρ ∂uϕ uϕ + − γ ρϕ = ρ ∂ϕ ∂ρ ρ
平 面 应 变 问 题
⎧ 1 ⎪ε ρ = (σ ρ −ν 1σ ϕ ) E1 ⎪ ⎪ 1 ⎨ε ϕ = (σ ϕ −ν 1σ ρ ) E1 ⎪ ⎪ 2(1 +ν 1 ) γ τ ρϕ = ⎪ ρϕ E1 ⎩
¾平面问题极坐标形式的物理方程 平 面 应 力 问 题
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件

塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件


一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性_塑性力学基本方程和解法


在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转

弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转

第七章柱体的弹塑性扭转第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。

所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 z 的方向相重合。

扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。

因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。

即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。

但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。

在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。

即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。

由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。

7.1弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 x, y, z ，且柱体的轴线为z方向，z方向的位移为w，即w(x, y, z) 0。

这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。

非圆形截面柱体的情况要复杂得多。

由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即w(x, y, z)0 。

函数w(x, y, z) 称为翘曲函数。

下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。

设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 M T作用，如图7.1所示。

1.边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为第七章柱体的弹塑性扭转x lxymxy l y m0(7.1-1)zx l zy m0式中 l cos( n, x), m cos( y, n) 。

弹塑性力学第8章—柱体扭转问题

弹塑性力学第8章—柱体扭转问题


8.2 基本方程
8.2.3 应力法方程
（1）基本方程 平衡方程
⎫ ∂τ zx =0 ⎪ ∂z ⎪ ∂τ zy ⎪ =0 ⎬ ∂z ⎪ ⎪ ∂τ zx ∂τ zy + = 0⎪ ∂x ∂y ⎭
应力表示的应变协调方程 可以由 τ zx 表达式对y微分，减去τ zy 的 表达式对x微分，得到
∂τ zx ∂τ zy − = −2Gθ ∂y ∂x
− y⎟l + ⎜ + x⎟m = 0 ⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
将应力表达式代入端部边界条件，3～5式自动成立，第1式
⎧ ⎞⎤ ⎫ ⎪ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ ⎪ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎞ ⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ τ θ θ dA G y dxdy G x y x x = − = − + + ⎨ ⎢ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ⎥ ⎬ dxdy ⎟ ∫∫ zx ∫∫A ⎝ ∫∫ A ∂x ⎠ ⎠ ⎦ ∂y ⎣ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ∂x ⎣ ⎝ ∂x ⎭
A A
⎝ ∂x
∂y
⎠
对于柱体横截面是单连通域情况，利用斯托克斯公式，可得
⎛ ∂ψ ∂ψ ⎞ M T = −Gθ ∫∫ ⎜ x+ y ⎟ dxdy A ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −Gθ ∫∫ ⎢ ( xψ ) + ( yψ ) ⎥ dxdy + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy A ∂x A ∂y ⎣ ⎦ = −Gθ v ∫ ψ ( xl + ym ) ds + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy
i =1 Γi
ki 为Γi边界上的应力函数值。由斯托克斯
公式，有
∫ ?
Γi
ki ( xl + ym ) ds = −> ∫ ki ( xl + ym ) ds = −2 ∫∫ dxdy = −2 Ai
弹塑性力学PPT课件

弹塑性力学PPT课件

可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
07轴的扭转 弹塑性力学讲义

07轴的扭转 弹塑性力学讲义


M

Fx t zx
, Fy t zy , Fz 0 y x
x
B y B A y dxdy dx y dy dx B B A dx A A
A
Fx dA 0
y dxdy 0 A

x
1 x y z E 1 y y z x E 1 z z x y E
t zy
Mx Ip
t zx
My Ip



y 0 0 z xy 0 zy t zy Mx G GI p t My zx zx G GI p
2w 1 2 xy G y 2 2w 1 2 xy G x 2 2 2 2G 2 2 x y
2 2G
u v 0 过原点沿 z 向的线段在 xoz、zoy 面内不转动： z z 过原点沿 x 向的线段在 xoy面内不转动： v 0 x 刚体位移为零。
位移分量： u
M v GI p zx w 0
M GI p
yz
M GI p
单位长度的 相对扭转角
0
t zx t zx ( x, y) 存在 ( x, y)
y
t xz t yz z 0 x y z
t zy t zy ( x, y) t zx
t zx ( t zy ) x y

y
( x , y )： 扭 转 应 力
函数（ Prandtl ）
Fx
Fy
F dA 0
y A
( yF
弹塑性力学第七章屈服条件

弹塑性力学第七章屈服条件


其他领域中的屈服条件应用
生物医学
在生物医学领域，如人体骨骼、牙齿等组织 的力学性能分析中，需要考虑材料的屈服条 件。
能源工程
在核能、太阳能等能源工程领域，相关设备的材料 选择和设计需要考虑其屈服条件。
环境工程
在环境工程领域，如土压力、岩石压力等问 题的分析中，需要利用屈服条件来评估结构 的稳定性和安全性。
20世纪初，德国科学家R.Von Mises 提出Von Mises屈服条件，成为弹塑 性力学中最为广泛应用的屈服条件之 一。
现代屈服条件的进展
随着计算机技术和数值计算方法的不 断发展，现代屈服条件的研究更加深 入和广泛。
目前，研究者们正在探索更加精确和 实用的屈服条件，以适应各种复杂材 料和工程应用的需求。
弹塑性力学的重要性在于，许多工程结构和材料在承受外力 时，其变形行为既不是完全弹性也不是完全塑性，而是介于 两者之间。因此，理解弹塑性行为对于准确预测结构的响应 和保证工程安全至关重要。
屈服条件的概述
屈服条件是弹塑性力学中的一个基本概念，它描述了材料在应力达到某一特定值时开始发生屈服（即 塑性变形）的条件。
07 总结与展望
总结
屈服条件的定义与分类
总结了屈服条件的定义，以及按不同标准分类的屈服条件类型， 如按材料性质、应力状态等。
屈服条件的物理意义
解释了屈服条件在材料力学行为中的物理意义，包括材料内部的微 观结构变化、应力分布等。
屈服条件的应用场景
列举了屈服条件在不同工程领域中的应用，如结构稳定性分析、材 料强度设计等。
混合阶段中，应力-应变关系表现为非线性，材料同时具有弹性和 塑性行为。
加载和卸载路径的影响
在混合阶段，材料的响应不仅取决于当前的应力状态，还受到之前 加载和卸载路径的影响。
弹塑性力学讲义 第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答

弹塑性力学讲义 第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答



d dr
( r

)

dur dr
r
或
d r
dr
r
4. 物理方程(两个)
5
平面应力问题
r

1 E
(
r
) ，
或
r

E 1
2
( r
)
，
平面应变问题时弹性系数替换。


1 E
(

r )

E 1 2
(
r )
5. 按位移法求解

——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0 B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
r

A r2
2C ，

A r2
2C ，
r
0
ur

1 E

(1


)
A r

2Cr (1

)
，
u 0
A、C 由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
(rur )
(1 2 ) E
fr

0
相应边界条件：轴对称问题边界 r=r0（常数）
位移边界条件：
ur ur
在 su 上
力的边界条件：
r Fr
在 s 上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
1 2
E
( dur dr

ur r
)

Fr
在 s 上
当 ur 由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均
但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移
弹塑性力学 第七章 屈服条件

弹塑性力学 第七章 屈服条件

2 f( ) J k 0 i j 2 2
1 2 2 2 2 2 2 J ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 2 x y y z z x x y y z z x 6 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 1 6
§3 两种常用屈服条件
一、Tresca屈服条件 最大剪应力屈服假设：当最大剪应力达到某个极限值时 材料发生屈服。
设 1 2 3 1 3 屈 服 条 件f ( ) k i j 1 0 2 如不规定 1, 2 ,3 的大小顺序，则屈服条件为
1 2 k1 1 3 k1 2 3 k1
s • 屈服条件： ) 0 • 用应力函数表示： f( s
3、对复杂应力状态，物体内一点的应力状态由6个 应力分量确定。可认为当6个应力分量满足某种函 数关系时，这一点进入屈服。即： 屈服函数 f ( ij ) 0
复杂应力状态，有6个应力分量各种不同的应 力组合和应力路径，不可能对每种应力组合和应 力路径都进行实验，这就需要给出一种适用于复 杂应力的屈服条件，即屈服函数的数学描述，且 可以通过有限的实验确定屈服函数中的力学参量。
主应力排序为 r 最大剪应力为 1 m a x r 2 代入Tresca和Mises条件发 现它们有一样的屈服条件:
x



r
r s


§4 后继屈服条件及加,卸载准则 1. 后继屈服条件的概念 • 从单向应力谈起, 如图所示我 们曾经提到过初始屈服点和后 继屈服点的概念. • 对应于复杂应力,就有初始屈 服面(比如我们前面提到的屈服 条件)和后继屈服面. 如右图所示, 一点应力状态O, 随加载达到初始屈服面 0 A 点,再加载到达后继屈服面 1 B点, 此时卸载再加载再到 达 后继屈服面 1 C点,然后 再加载到达后继屈服面 2 D 点.

李同林 弹塑性力学 第七章 柱体的扭转

第七章 柱体的扭转§7—1 任意等截面直杆的自由扭转所谓柱体的扭转，是指任意形状等截面直杆只在端部横截面上作用着大小相等指向相反的力偶矩矢时的变形。

力偶矩矢（即扭矩矢）与柱体的轴线 z 相重合； 若杆件横截面的变形不受约束，则称为自由扭转。

通常约束扭转对于实体杆件影响不大，而对于开口或闭口薄壁杆件，将伴随有纵向弯曲。

本章讨论自由扭转问题。

圆形截面柱体的自由扭转，在材料力学课程中已经进行过讨论。

非圆形截面柱体的情况则要复杂得多。

由于截面的非对称形式，在扭转过程中，截面将不再保持为平面，横截面上各点产生轴向位移，而发生截面的翘曲变形，即：0),,( z y x w上述函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数，翘曲函数在一些弹性力学教科书中亦称为扭转函数 。

翘曲函数（扭转函数）在自由扭转问题中可进一步证明，仅是x 、y 的函数。

下面我们在讨论柱体的扭转问题中采用应力解法应力函数解法求解。

设有一任意截面柱体，受扭矩M T 作用，如图7—1所示，在计算中为简便起见，可假定杆的右端不能转动，但可以自由翘曲。

这样就限制了柱体的刚性位移。

选取右手坐标系，坐标原点o 为右端横截面的形心，z 轴与杆轴重合，x 、y 轴为左端面内相互垂直的一对形心轴。

根据截面的翘曲变形与z 无关，即各截面的翘曲都一样，可以取z 为任意值处的横截面mn 研究，这就是说，翘曲函数w 仅为x ，y 的函数，即：),(y x w w = （7—1）此外，假设：柱体发生变形后截面只有绕z 轴的刚周边的刚性转动。

单位长度的（相对）扭转角 θ 是一个常数。

因而，截面的总扭转角与该截面到右端固定端坐标原点o的距离z 成正比（固定端没有转动但有翘曲），即 z 处截面的扭转角为 z θ 。

显然：总扭转角包括有累积的刚性转动位移；而所引起的角应变 γ与柱体截面的位置坐标z 无关；在图7—2中表示了 z θγ与 的关系。

现在考察离固定端为z 的截面上离形心o '为r 的任一点M (x , y , z ) ，扭转后位移到 M '点，沿x , y 方向的位移分量（图7—3）有：z y z r u θαθ-=-=sin )( ；z x z r v θαθ==cos )( （7—2）式中α为 o ' M 与x 轴正方向所成的角。

弹塑性力学作业(含答案)(1)

第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值应作何修正。

解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定）代入材力有关公式得：3030cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()2x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=+----+=++=--⨯+=----+=⋅+=⋅-=--⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 607322226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x yx yxy x yxy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+=----+=-⋅+=-⋅+=⨯+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。

2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。

材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。

试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。

解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：c 截面的内力：N z =γ·A ·z ；c 截面上的应力：z z N A zz A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：题图1-3zz zE Eσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22z z z z z z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆===　；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。

《柱体的弹塑性扭转》课件

《柱体的弹塑性扭转》 PPT课件
# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
桥梁工程设计
探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
汽车工程
讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
解析计算
探讨使用解析方法进行弹塑性扭 转计算的理论和应用。
实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
试验结果分析
分析柱体弹塑性扭转试验中的结果，并与理论进行对比。
3
参数敏感性分析
讨论柱体弹塑性扭转模型中参数的敏感性和误差分析。
应用案例
高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程，解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。

弹塑性力学习题集_很全有答案_


σ y = cx + dy − γy , τ xy = − dx − ay ，其它应力分量为零。试根据
直边及斜边上的边界条件，确定常数 a、b、c、d。 2—16* 已知矩形截面高为 h， 宽为 b 的梁受弯曲时的正 My 12 M 应力 σ z = = y， 试求当非纯弯时横截面上的剪应力公 J bh 3 式。 （利用弹塑性力学平衡微分方程）
题 2—15 图
12 6 0 2—17 已知一点处的应力张量为： σ ij = 6 10 0 MPa ，试求该点的最大主应力及 0 0 0 其主方向。 2—18* 在物体中某一点 σ x = σ y = σ z = τ xy = 0 ，试以 τ yz 和 τ zx 表示主应力。
3—1
为 ε 1 = 1.7 × 10 −4 ， ε 2 = 0.4 × 10 −4 。已知ν = 0.3，试求主应变 ε 3 。
3—9 如题 4—9 图示尺寸为 1×1×1cm 的铝方块，无间隙地嵌入——有槽的钢块中。 设钢块不变形，试求：在压力 P = 6KN 的作用下铝块内一点应力状态的三个主应力及主应 变，铝的弹性常数 E=70Gpa，ν = 0.33。 3—10* 直径 D = 40mm 的铝圆柱体， 无间隙地放入厚度为 δ = 2mm 的钢套中， 圆柱受
v = b0 + b1 x + b2 y + b3 z w = c 0 + c1 x + c 2 y + c3 z
式中 a 0 L , a1 L , a 2 L 为常数，试证各点的应变分量为常数。 2—29 设已知下列位移，试求指定点的应变状态。
(1) u = (3x 2 + 20) × 10 −2 , v = (4 yx) × 10 −2 ，在（0，2）点处。 (2) u = (6 x 2 + 15) × 10 −2 , v = (8 zy ) × 10 −2 , w = (3z 2 − 2 xy) × 10 −2 ，在（1，3，4）点处。 2—30 试证在平面问题中下式成立： εx + εy =ε′ x + ε′ y

疲劳与断裂第七章弹塑性断裂力学简介1


xy sx
(5区-1)域2a的r
dx

x
则 形状与
尺寸
s
这里仅简单讨论沿裂纹线上屈服区域的大小。
在裂纹线上(=0)，注意到 K = s p a ，有；
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy = 0
5
sx =s y =s
a 2r
=
K1
2p r
； xy = 0
对于平面问题，还有： yz=zx=0；
sys
B A
s受ol。uti为on了. W承h受en这y些iel力din，g塑oc性cu区rs,
D K
s尺tr寸ess必m需us增t r大ed。istribute in order
o rp
x
to satisfy equilibrium.
a
T上h述e r简eg单ion分A析BH是以rep裂re纹se尖nt端s fo弹rc性es解th为at基w础ou的ld，be故 present in an elastic material but cannot be carried i并n t非he严el格as正tic确-p的las。tic屈m服at发er生ial后be，ca应us力e t必he需st重re分ss 布， c以an满no足t e平xc衡ee条d 件yie。ld. The plastic zone must increase in size in order to carry these forces.
9
为满足静力平衡条件，由于AB部分材料屈服而少 承担的应力需转移到附近的弹性材料部分，其结果将 使更多材料进入屈服。因此，塑性区尺寸需要修正。
设修正后的屈服区尺寸为R；

弹塑性力学习题集（有图）

弹塑性⼒学习题集（有图）·弹塑性⼒学习题集$殷绥域李同林编!…中国地质⼤学·⼒学教研室⼆○○三年九⽉⽬录—弹塑性⼒学习题 (1)第⼆章应⼒理论.应变理论 (1)第三章弹性变形.塑性变形.本构⽅程 (6)第四章弹塑性⼒学基础理论的建⽴及基本解法 (8)第五章平⾯问题的直⾓坐标解答 (9)第六章平⾯问题的极坐标解答 (11)第七章柱体的扭转 (13)(第⼋章弹性⼒学问题⼀般解.空间轴对称问题 (14)第九章* 加载曲⾯.材料稳定性假设.塑性势能理论 (15)第⼗章弹性⼒学变分法及近似解法 (16)第⼗⼀章* 塑性⼒学极限分析定理与塑性分析 (18)第⼗⼆章* 平⾯应变问题的滑移线场理论解 (19)附录⼀张量概念及其基本运算.下标记号法.求和约定 (21)习题参考答案及解题提⽰ (22){前⾔弹塑性⼒学是⼀门理论性较强的技术基础课程，它与许多⼯程技术问题都有着⼗分密切地联系。

应⽤这门课程的知识，能较真实地反映出物体受载时其内部的应⼒和应变的分布规律，能为⼯程结构和构件的设计提供可靠的理论依据，因⽽受到⼯程类各专业的重视。

《弹塑性⼒学习题集》是专为《弹塑性⼒学》（中国地质⼤学李同林、殷绥域编，研究⽣教学⽤书。

）教材的教学使⽤⽽编写的配套教材。

本习题集紧扣教材内容，选编了170余道习题。

作者期望通过不同类型习题的训练能有助于读者理解和掌握弹塑性⼒学的基本概念、基础理论和基本技能，并培养和提⾼其分析问题和解决问题的能⼒。

鉴于弹塑性⼒学课程理论性强、内容抽象、解题困难等特点，本书对所编习题均给出了参考答案，并对难度较⼤的习题给出了解题提⽰或解答。

…编者2003年9⽉%弹塑性⼒学习题第⼆章应⼒理论·应变理论~2—1 试⽤材料⼒学公式计算：直径为1cm 的圆杆，在轴向拉⼒P = 10KN 的作⽤下杆横截⾯上的正应⼒σ及与横截⾯夹⾓?=30α的斜截⾯上的总应⼒αP 、正应⼒ασ和剪应⼒ατ，并按弹塑性⼒学应⼒符号规则说明其不同点。

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第七章 等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。

所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线z 的方向相重合。

扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。

因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。

即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。

但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。

在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。

即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。

由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。

7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为z y x ,,，且柱体的轴线为z 方向，z 方向的位移为w ，即0),,(=z y x w 。

这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。

非圆形截面柱体的情况要复杂得多。

由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即0),,(≠z y x w 。

函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数。

下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。

设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩T M 作用，如图7.1所示。

1. 边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为⎪⎭⎪⎬⎫=+=+=+000m l m l m l zy zx y xy xy x ττσττσ (7.1-1)式中),cos(),,cos(n y m x n l ==。

图7.1 棱柱体的扭转在端部边界条件为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰00,0)(0,0ydA xdA dA M dA y x dA dA z zz T zx zy zy zx σσσττττ (7.1-2) 2.柱体扭转时的位移与应变对于柱体扭转问题，圣维南半逆解法假设：(1)认为截面的翘曲变形与z 轴无关，即各截面们翘曲程度相同。

(2)柱体发生扭转变形时，截面仅仅产生绕z 轴的刚体转动，且间矩为单位长度的两截面的相对扭转角(扭率)θ为常数。

因此，由假设(1)可知，翘曲函数w 仅为y x ,的函数；又由假设(2) 可知，翘曲函数必与祟函数戏正比，即),(y x w θψ= (7.1-3) 再由假设(2)，如果令距坐标原点为z 处截面相对0=z 截面的扭转角为z θ，则该截面上距扭转中心A 为r 的任一点扭转后移至),,('z v y u x P +-(图7.2)，由于0=z 处截面没有转动，只有翘曲，因此P 点在y x ,方向的),,.(z y x P 位移分量为⎭⎬⎫==-=-=z x z r v z y z r u θαθθαθcos )(sin )( (7.1-4) 式中α为AP 与x 轴之间的夹角。

由于截面总扭转角 图7.2扭转变形的位移 与该截面至坐标原点的距离成正比，故AP 的转角为z θ。

将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入应变位移关系，可得一点的应变为⎪⎭⎪⎬⎫+∂∂=-∂∂=====)()(00x y ，y x ，zyzx xy z y x ψθγψθγγεεε (7.1-5) 3.广义虎克定律对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂==-∂∂======)()(0x y G G y x G G zy zy zx zx xy z y x ψθγτψθγττσσσ (7.1-6) 由式(7.1-5)和(7.1-6)可见，根据圣维南原理得到：截面上任诃一点都没有正应力，因此各纵向纤维之间和沿各纵向纤维方向均无压了应力；在各截面内(xoy 平面)没有应变，即截面在xoy 坐标面上的投影形状不变。

此外，在截面每一点只有由zx τ和zy τ所确定的纯剪切。

4.平衡方程当不计体力时，平衡方程可由(2.2-2)式化为 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂000y x z z zy zx zy zx ττττ (7.1-7) 5.应变协调方程将式(7.1-6)中的第二式对y 微分，第三式对x 微分，然后相减，可得用应力表示的两种不同形式的应变协调方程为 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂θττψψG x y y x zy zx 202222 (7.1-8) 由上式可知，翘曲函数ψ是调和函数，通常称ψ为圣维南调和函数。

于是，任意截面形状的柱体扭转时的应力，归结为根据边界条件求解(7.1-7)，(7.1-8)两式。

6.柱体扭转的应力函数法由于从(7.1-8)式求解翘曲函数ψ通常比较困难，为此，借助应力函数法。

当不计体力时，设应力函数ϕ与应力分量zx τ和zy τ之间的关系为 x y zy zx ∂∂-=∂∂=ϕτϕτ, (7.1-9) 称ϕ为普朗特应力函数。

将式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7)，显然满足。

将它代入应变协调方程(7.1-8)第二式后，得 θϕϕϕG y x 222222-=∂∂+∂∂=∇ (7.1-10) 由此可知，应力函数ϕ应满足上述偏微分方程式(7.1-10)。

这种类型的方程称为泊松方程。

当柱体侧面无面力作用时，则边界条件式(7.1-1)简化为0=+m l zy zx ττ (a)注意到在边界上，)(),(s y y s x x ==，由图7.1可知，当s 增加时，y 增加，而x 减少。

因此，其方向余弦为 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-====ds dx y n m dsdy x n l ),cos(),cos( (b) 将式(7.1- 9)和式(b)代入式(a)后，有0=∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂ss x x s y y ϕϕϕ (c) 由式(c)可知 =ϕ常数上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数),(y x ϕ为一任意常数。

对于实心柱体，也即截面为单连通域，由式(7.1-9)知，因剪应力是应力函数的一阶偏导数，所以将常数取为零并不失一般性，即0),(=y x ϕ (沿柱体周边0C ) (7.1-11) 而截面上任一点的合剪应力的为 ngrad x y zy zx ∂∂==∂∂+∂∂=+=ϕϕϕϕτττ2222)()( (7.1-12) 式中n 为沿ϕ等值线的法线方向，τ的方向为沿ϕ等值线的切线方向，因此称ϕ等值线为剪应力线。

由于边界上的剪应力方向必须与边界的切线一致，故周界线0C 本身也是一条剪应力线。

由以上可见，对于给定的θ值，不难由方程(7.1-10)和(a)唯—地确定应力函数),(y x ϕ，从而由式(7.1-9)求出应力，由(7.1-5)求出应变，以及翘曲函数w 。

但我们注意到，由式(7.1-6)和(7.1-9)有x G y z v ，y G x z u zy zx ∂∂-=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=ϕψγϕψγ11 从上式可见，当通过积分求位移函数v u ,和翘曲函数w ，则在所得结果中包含有表示刚体位移的积分常数，因此位移函数和翘曲函数可准确到一个附加常数的范围内。

根据上面所述方法求得的应力分布还应满足柱体端部条伴，即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂-=-=A A A zx zy T dxdy yy dxdy x x dxdy y x M ϕϕττ)( (d) 其中积分限A 为截面面积。

对上式做第二个积分利用分部积分，可得dx dy y dy dy y dx dxdy y y A x x y y x x y y y y ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂=∂∂2121212121ϕϕϕϕ 注意到在边界侧面上的点21,y y 等0),(=y x ϕ，因此上式的最终结果为 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂=∂∂A A x x y y x x y y dxdy dx dy dy dyy dx dxdy y y ϕϕκϕ21212121 (e) 同理，第一个积分也可写为 ⎰⎰⎰⎰-=∂∂A A dxdy dxdy xx ϕϕ (f) 将式(e)、(f)代入式(d)，最后得⎰⎰=AT dxdy M ϕ2 (7.1-13) 上式表示，如在截面上每一点有一个),(y x ϕ值，则扭矩T M 为ϕ曲面下所包体积的二倍。

由以上讨论得出，如能找到一个函数),(y x ϕ，其在边界上的值为零，在截面内满足方程(7.1-10)，则截面的剪应力分布及扭矩T M 就都可求得。

7.2 常见截面形状柱体的扭转本节采用应力函数法讨论椭圆形截面和矩形截面两种柱体的扭转。

2.1椭圆形截面柱体的扭转1.应力函数与应力分量截面形状如图7.2所示椭圆柱体，在两端受到扭矩T M ，截面边界方程为 012222=-+by a x (a) 选用应力函数为图7.2 椭圆截面柱体 )1(2222-+=by a x c ϕ (b) 显然，它满足边界条件式(7.1-2)和式(7.1-11)。

式中c 为常数。

将(b)式代入(7.1-2)式得 F b a b a c )(22222+= (c) 于是 )1()(222222222-++=by a x b a F b a ϕ (d) 为了确定常数F ，将式(d)代入式(7.1-13)，得 )11()(222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=A A AT dxdy dxdy y b dxdy x a b a F b a M (e) 由于⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰A A x A y ab dxdy ab I dxdy y ba I dxdy x πππ443232所以，由(e)式有)(22233b a F b a M T +-=π故可得 332)(2ba b a M F T π+-= (f) 将式(f)代入式(d)，应力函数为 )1(2222-+-=by a x ab M T πϕ (7.2-1) 将式(7.2-1)代入式(7.1-9)，得剪应力分量 ba x M x ，ab y M y T zy T zx 3322πϕτπϕτ=∂∂-=-=∂∂= (7.2-2) 由(7.1-12)得合剪应力为 4242222b y a x ab M T zy zx +=+=πτττ (7.2-3) 由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点：(1)在每一点，应力比值)/)(/(/22x y b a zy zx -=ττ，即沿任意半径方向各点具有相同的比值。