2020-2021学年浙江省宁波市九校高二上学期期末联考 数学 PDF版

2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷2024.01注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合2{|210}A x x x =--≤，{}ln B x y x ==∣，则()R A B ⋂=ð（）A．[]0,1B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．(],1-∞D．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知复数252ii i z +=+，则z 的虚部为（）A．12-B．1-C．32-D．323．与双曲线2219y x -=有共同的渐近线，且经过点)的双曲线方程为（）A．223126x y -=B．223162y x -=C．221218x y -=D．221182y x -=4．若数列{}n a 为等比数列，则“31a ≥”是“152a a +≥”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）A．60B．70C．80D．906．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b 上的投影向量为（）A．12b - B．13b - C．23b D．23b -7．已知tan 12A =，则cos44cos23cos44cos23A A A A -+=++（）A．116B．18C．14D．128．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B．若随机变量()()2~2,10.68X N P x σ>=，，则()230.18P x ≤<=C．设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P B A P B =∣，则事件A 与事件B 相互独立D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712=χ，依据0.05α=的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．已知()()()()()726701267211111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A．01a =B．7123731a a a a ++++=- C．5672a =-D．61237237143a a a a ++++=⨯ 11．抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设B 关于y 轴的对称点为B '，则下列说法一定正确的是（）A．sin FA p FA θ+=B．22sin pAB θ=C．22cos AOBp S θ= D．2tan AFB S p θ'= 12．已知0a b >>，0c d >>， 1.1ln 1ln 1a ba b ==++，()()1ln 1ln 0.9c cd d -=-=，则（）A．2a b +>B．2c d +>C．11a bd c ->-D．1ad >第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为13，小王每一局获胜的概率为23，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为.14．若点P 直线30x y ++=上的动点，过P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α的最大值为.15．将函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GHGM +的最小值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*532323N n n S S a a n ==+∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n n b +=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在三棱锥-P ABC 中，1PA BC ==，AB =PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ，M 是PC 的中点.(1)求证：AB BC ⊥;(2)求平面PAB 与平面MAB 的夹角.19．某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：月份x123456净利润y （万元）510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dxy c =与y a bx =+（a b c d ，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程；(3)已知该企业的产品合格率为90%，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？参考数据：xyω()6211i x x =-∑()621ii ωω=-∑()()61iii x x ωω=--∑()()61iii x x y y =--∑3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中lny ω=.参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.20．在ABC 中，已知sin 1,tan 2cos AAC B A ==-.(1)求AB 的长；(2)若BAC ∠的平分线AD 交BC 点D ，求AD BC ⋅的最大值.21．已知点(F 和直线l :y =，动点P 与定点F 的距离和P 到定直线l 的距离的比是常数22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知()1,1M ，过点M 作直线l '交C 于A ，B 两点，若2AM MB =，求l '的斜率k 的值.22．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>≠，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数xy x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ''''⎡⎤====+⎢⎥⎣⎦.(1)已知()1x xf x x x -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ≠，0x >.研究()112xxm g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2ts s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2st t a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭大小关系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题设1{|(21)(1)0}{|1}2A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|0}B x x =>，所以R {|0}B x x =≤ð，故()R 1{|0}2A B x x ⋂=-≤≤ð，即为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D2．C【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.【详解】252i 2i (2i)(1i)13i i i 1i (1i)(1i)22z +++--====--+-+-+--，故虚部为32-.故选：C 3．D【分析】设所求双曲线方程为229y x k-=，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为229y x k-=，又双曲线过点，∴2629k-=，即2k =-，∴双曲线方程为2229y x -=-，即221182y x -=，故选：D．4．C【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.【详解】若数列{}n a 的公比为q ，由2311a a q =≥，故10a >，则4510a a q =>，所以15322a a a +≥=≥，当且仅当15a a =，即21q =时取等号，故充分性成立；由152a a +≥，故23322a a q q +≥，若212q =，则345a ≥，故必要性不成立；故选：C5．B【分析】只需确定从8人中任抽4人放在第一排的方法数即可得答案.【详解】从8人中任抽4人放在第一排有48C 70=种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种.故选：B 6．D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=- ，由a 在b上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D7．A【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．【详解】1tan 2A =，则2244224cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4sin 1tan cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4cos 16A A A A A A A A A A A A A-+--+-=====++-+++．故选：A．8．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.9．BCD【分析】根据百分位数的定义可判定A，利用正态分布的对称性可判定B，利用条件概率及相互独立事件的定义可判定C，利用独立性检验的意义可判定D.【详解】对于A，因为1070%7⨯=，又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，所以第70百分位数为7.5，故A 错误；对于B，根据正态分布的性质可知为()20.5P x ≥=，()()()()2312120.18P x P x P x P x ∴≤<=<≤=>-≥=，故B 正确；对于C，根据条件概率可知()()()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A ==⇒=∣，由相互独立事件的判定可知C 正确；对于D，根据独立性检验的意义可知20.054.712x χ=>，故可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D 正确.故选：BCD.10．ABD【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.【详解】A：在已知等式中，令1x =，则有()7002111a a ⨯-=⇒=，所以本选项正确；B：在已知等式中，令2x =，则有()77012712722131a a a a a a a ⨯-=++++⇒+++=- ，所以本选项正确；C：因为()()7721211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，所以()51x -项的系数55257C 21672a =⨯⨯=，D：对已知等式，两边同时求导，得()()()6612772122171x a a x a x -⨯=+-++- ，在该式中，令2x =，则有612714327a a a ⨯=+++ ，所以本选项正确，故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得.【详解】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，准线方程为2p y =-，设11221(,),(,),0A x y B x y x >，过A 作AD x ⊥轴于D ，过F 作FM AD ⊥于M ，显然AFM θ∠=，由抛物线定义得1||2p FA y =+，1||||||||2pAM AD OF y FA p =-=-=-，而||||sin AM FA θ=，则||sin ||FA FA p θ=-，因此||sin ||FA p FA θ+=，A 正确；显然||1sin p FA θ=-，同理||1sin p FB θ=+，则22||||||1sin 1sin cos p p p AB FB FA θθθ=+=+=+-，B 错误；又π2OFB θ∠=-，则点O 到直线AB 的距离π||sin()cos 22pd OF θθ=-=，因此22112||cos 22cos 22cos AOBp p p S AB d θθθ=⋅=⋅⋅= ，C 正确；显然π2OFB OFB θ'∠=∠=-，则2AFB θ'∠=，又||||1sin pFB FB θ'==+，因此211||||sin 2sin 2tan 221sin 1sin AFB p p S FA FB p θθθθθ''==⋅⋅⋅=-+ ，D 正确.故选：ACD12．ABC【分析】构造函数()ln 1x f x x =+，则有()() 1.1f a f b ==、111 1.10.9ff c d ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得C、D，构造函数()213ln 122x F x x x x =-+-+，结合函数性质可得2a b +>，构造函数()()1ln g x x x =-及()()()2G x g x g x =--，可得2c d +>.【详解】令()ln 1x f x x =+，则()()2ln ln 1x f x x '=+，当110,,1e e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()111ln11f ==+，有()() 1.1f a f b ==，故11e b a <<<，又()11111ln ln 1c f c c c c ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，()11111ln ln 1d f d d d d ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，故11110 1.10.99f f c d ⎛⎫⎛⎫===> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有1111e b a cd <<<<<，故11a b d c ->-，即C 正确，11a d <<，即1ad <，故D 错误，令()213ln 122x F x x x x =-+-+，则()()2ln 1ln 1x F x x x =-++'，令()()2ln 1ln 1xx x x μ=-++，则()()()()()24311ln 12ln ln 11ln 11ln 1ln 1x x x x x x x x x x μ+-+-=-=-++'，当11e x <<时，()()31ln 11ln 1ln 0ln 1xx x x x x μ-=->--=-'>+，当1x >时，()()31ln 10ln 1x x x x μ-=-<+'，故()x μ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()()2ln11110ln11μ=-+=+，故()0x μ≤恒成立，即()0F x '≤恒成立，故()F x 在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()113110ln1122F =-+-=+，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，当()1,x ∞∈+，()0F x <，即当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，213ln 122x x x x >-++，当()1,x ∞∈+时，213ln 122x x x x <-++，令2131.122x x -+=，即220.80x x -+=，此时4 3.20.80∆=-=>，故该方程有两个不相等的实根，设两根为1x 、2x ，且121x x <<，则有122x x +=，由 1.111a b lna lnb ==++，且11e b a <<<，故有11x b x a <<<，由122x x +=，故122a b x x +>+=，即2a b +>，故A 正确；令()()1ln g x x x =-，有()()0.9g c g d ==，则()1ln 1ln g x x x -'=-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∞∈+，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()11g =，又0c d >>，故1d c <<，令()()()()()()21ln 21ln 2G x g x g x x x x x ⎡⎤=--=-----⎣⎦，则()()()()()22ln ln 2ln 2G x g x g x x x x x =+-=---=-'-''，由01x <<，故()222111x x x -=--+<，即()0G x '>，故()G x 在()0,1上单调递增，又()10G =，故()0G x <恒成立，即()()2g x g x <-，由1d c <<，即有()()2g d g d <-，又()()g d g c =，即有()()2g c g d <-，有21d ->，1c >，又()g x在()1,∞+上单调递减，故2c d>-，即2c d+>，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数()ln1xf xx=+，结合函数性质，从而得到a、b、1c、1d的大小关系，即可得C、D，构造函数()213ln122xF x x xx=-+-+与函数()()()2G x g x g x=--，从而得到a b+、+c d与2的关系.13．20 27【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求小王在比赛中获胜的概率.【详解】由题设，小王在比赛中获胜情况：小王在前2局都胜，小王在前2局胜一局且第3局胜，所以小王在比赛中获胜的概率为222122023333327⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：20 2714．5【分析】根据题设可得直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，有π(0,)22APCα∠=∈，结合点线距离求得52||2PC≥，再由22||||sin||AC APPCα==，即可求其最大值.【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，如下图，1π(0,)222APC APBα∠=∠=∈，且||PC≥=，所以22||||sin2sin cos22||AC APPCααα===，令212(0,||25tPC=∈，则sinα=所以max(sin)5α=.故答案为：15．10,3⎛⎤⎝⎦【分析】根据图象平移得()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，将问题化为siny t=在πππ(,π)266ωω++上递增，结合正弦函数性质求参数ω的取值范围.【详解】由题设()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，又π2π,63x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ(,π36266t xωωωω=++∈++，即siny t=在πππ(,π266ωω++上递增，又0ω>，所以ππ026πππ62ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩或ππ3π2π262π5ππ2π62kkωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩且Nk∈，故13ω<≤或843723kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且Nk∈，则1(0,]3ω∈.故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦16．24612【分析】根据给定条件，确定点H的位置，再把111,AA C ABC展开放置于同一平面内，借助三点共线，结合余弦定理求解即得.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C EF H'=，连接11B D，由1AA ⊥平面1111D C B A ，EF ⊂平面1111D C B A ，得1AA EF⊥，由,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，得11//EF B D ，而1111AC B D ⊥，则11A C EF⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C ，于是EF ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C，连接GH '，显然GH '⊂平面11AA C ，因此GH EF '⊥，则有GH GH '≥，当且仅当点H 与H '重合，即H 为线段EF 的中点时取等号，又MG ⊂平面1ABC ，把111,AA C ABC 展开放置于同一平面内，连接1MH AC G= ，于是GH GM +的最小值，即为线段MH 长，连接AH ，依题意，1A H =，在1Rt AA H 中，344AH =，11sin A AH A AH ∠=∠=1111sin A AC A AC ∠=∠=111sin sin 22A AB A AC ∠=∠=，21111cos cos 2123A AB A AC ∠=∠=-⨯=-，则111cos cos()33MAH A AB A AH ∠=∠-∠=-+在MAH 中，由余弦定理得MH =，GH GM +的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.17．(1)43n a n =-；(2)552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.【分析】（1）根据等差数列前n 项和、通项公式列方程求基本量，即可得通项公式；（2）写出n n nc a b =的通项公式，应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设有112115103(33)23a d a d a a d a +=+⎧⎨=+=+⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，即43n a n =-；（2）由（1）及已知得()1433n n n n c a b n -==-⋅，则()0111353433n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ①，()()12131353473433n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①，得()()121214333433n nn T n -=--++++-⨯ ()()13131443313n nn --=--⨯+-⨯-()5453nn =+-⨯，所以552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析；(2)π4.【分析】（1）作AH PB ⊥，垂足为H ，根据面面垂直性质得AH ⊥平面PBC ，再由线面垂直性质得AH BC ⊥、PA BC ⊥，最后由线面垂直的判定及性质证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小；法二：取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME ，由面面角的定义找到其平面角，再根据已知条件求平面角的大小.【详解】（1）作AH PB ⊥，垂足为H，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AH ⊂平面PAB ，所以AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AH A ⋂=，,PA AH ⊂面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，由AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.（2）（向量法）如图，以B 为原点，,BC BA 及垂直面ABC 向上为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系.所以()()()11,1,0,0,,,222A C P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()BA =，1122BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，易知平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则011022BA n BM n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1x =，所以(1,0,1)n =-，则||2|cos ,|2||||m n m n m n ⋅===，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.（几何法）取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又//DE PA ，所以DE AB ⊥，由（1）知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，在直角PBC 和直角PAC △中PC ===，12AM PC BM ===，所以MAB △是等腰三角形，所以ME AB ⊥，综上，DEM ∠即为二面角P AB M --的平面角，12DE =，12DM =，2EM ==，则222DE DM EM +=，所以DEM △为等腰直角三角形，故π4DEM ∠=，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.19．(1)e dx y c =(2)0.740.90ˆe x y +=(3)8件或9件【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值.【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择e dxy c =（2）两边取对数，得ln ln y dx c =+，设ln y ω=，ln c e =，建立ω关于x 的回归方程ˆˆˆwdx e =+，则()()()6126112.950.7417.50ˆi i i i i x x dx x ωω==∑--===∑-，3.490.74 3.500.90ˆˆe dx ω=-=-⨯=，所以ω关于x 的回归方程为0.74.0ˆ09x ω=+，所以0.740.90ˆe x y +=.（3）设抽到的产品中有X 件合格品，则()~9,0.9X B ，所以()()99C 0.90.101210k k k P X k k -==⋅⋅= ，，，，，()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即91189********C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，()()()()()()91891109!9!0.90.10.90.1!9!1!8!9!9!0.90.10.90.1!9!1!10!k k k kk k k kk k k k k k k k -+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪---⎩，解得89k ≤≤，所以最有可能是8件或9件.20．(1)2(2)2【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到2sin sin B C =，再利用正弦定理即可求出结果；（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，利用ABC ABD ACD S S S =+ 及条件得出4cos 3AD θ=，再利用余弦定理得BC =AD BC ⋅=【详解】（1）由题意得，sin sin cos 2cos B AB A =-，得到2sin sin cos sin cos B B A A B -=，所以()2sin sin cos sin cos sin sin B A B B A A B C=+=+=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得到2AB AC =，又1AC =，所以2AB =.（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin2sin sin 222bc AD c AD b θθθ=⋅+⋅，又2,1c b ==，所以4cos 3AD θ=，由余弦定理，BC ===所以AD BC ⋅=当3cos 4θ=时，AD BC ⋅取到最大值.21．(1)22142y x +=(2)k 【分析】（1）设(),P x y ，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线方程为(1)1y k x =-+代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x+，再由向量运算的坐标表示得出12,x x 的关系，结合越来可求得k 值．【详解】（1）设(),P x y=，化简得C :22142y x +=.（2）设l '：()()()()1122111,,y k x kx k A x y B x y =-+=+-，，，与C 联立得，()()2222222230kx k kx k k ++-+--=，因为221131424+=<，则定点()1,1在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以21222122222232k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩①②因为2AM MB = ，所以()2OM OA OB OM-=-，即1233OM OA OB =+ ，所以1223x x +=③，由①③得212222462262k k x k k k x k ⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩④⑤，将④⑤代入②，得222222462623222k k k k k k k k k --++--⋅=+++，化简得2732300k k ++=，，解得k .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出212222462262k kxkk kxk⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，最后得到关于k的方程，解出即可.22．(1)1y=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数()()()()ln1ln11ln2 t t t t t tϕ=-++++，即可求解，（3）根据()g x的单调性，即可令bma=求解.【详解】（1）()11lne x xx xxf x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，则()1ln2211e1ln1x xxf x xx x⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，所以()10f'=，又因为()11f=，所以切线方程为1y=.（2）()()1ln1ln21e2xmx xxmg x+-⎛⎫+==⎪⎝⎭，0x>，()()()()()()ln 1ln 22ln 1ln 11ln2e1x m x x x x x xxm m m m m g x x m +--++++=⋅+'，0x >令0x m t =>，令()()()()ln 1ln 11ln2t t t t t t ϕ=-++++，()()2ln ln 1ln2ln 1tt t t t ϕ=-++=+'，令()2ln01tt t ϕ'=>+，解得1t >，所以()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.（3）由（2）知，令b m a =，得()111122xxx x x b a b ag x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由（2）知()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()12xxxa b h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，当s t ≥时，1122ssttsta b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22tss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当s t <时，22t ss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．。

2020-2021宁波市高二数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．在如图所示的算法框图中，若()321a x dx =-⎰，程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ）A ．3K <B ．3K >C ．2K <D ．2K >2．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？4．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A．1180sin,242S nn=⨯⨯B．1180sin,182S nn=⨯⨯C．1360sin,542S nn=⨯⨯D．1360sin,182S nn=⨯⨯5．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．136．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度D．三星销量最小的是第四季度7．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．38．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．129．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．4510．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.511．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．1512．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．已知实数]9[1x ∈，，执行如图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为________．14．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．15．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

高二化学试题本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分100分，考试时间90分钟。

可能用到的相对原子质量：H1 Li7 C12 N14 O16 Na23 Mg24 A127 Si28 S32 Cl35.5 K39 Ca40 Fe56 Cu64 Zn65 Br80 Ag108 Ba137选择题部分一、选择题(本大题共25小题，每小题2分，共50分。

每个小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1. 下列属于盐的是A. MgOB. HNO3C. Fe2O3·nH2OD. CH3COONa【答案】D2. 下列属于弱电解质的是A. NaHCO3B. NH3∙H2OC. AlCI3D. CCl4【答案】B3. 据报道，科学家开发出了利用太阳能分解水的新型催化剂。

下列有关水分解过程的能量变化示意图正确的是A. B.C. D.【答案】B4. 下列模型表示的烃或烃的衍生物中，可以发生酯化反应的是A. B. C. D.【答案】D5. 下列物质的名称与其化学式对应的是A. 碳铵：(NH4)2CO3B. 硬脂酸：C17H33COOHC. 肥田粉：(NH4)2SO4D. 氯仿：CH2Cl2【答案】C6. 下列物质的水溶液因水解而呈酸性的是A. NaHCO3B. FeSO4C. Ca(ClO)2D. NaHSO4【答案】B7. 下列说法不正确的是A. 用浸泡过高锰酸钾溶液的硅藻土可以保鲜水果B. 铁的表面镀锡防止铁生锈是牺牲阳极的阴极保护法C. 金属材料电镀时，通常以待镀金属制品为明极，以镀层金属为阳极D. 将纯碱溶于热水可以增强其去污效果【答案】B2CO g+4H g C H OH l+H O lΔH=-1709.2 kJ?mol。

下列说法正8. 煤的液化可获得乙醇：()()()()-l2252确的是A. 反应物的总能量小于生成物的总能量B. 在绝热密闭容器中进行时，平衡常数不再改变则说明已达平衡状态C. 使用合适的催化剂、增大压强均有利于提高原料的平衡转化率D. 升高温度可增大活化分子的数目及有效碰撞频率，因而温度越高乙醇平衡产率越高【答案】B9. 下列说法正确的是A. 新戊烷与2，2-二甲基丙烷互为同分异构体B. H 3COOCH 和CH 3COOCH 3互为同系物C. 35Cl 2和37Cl 2互为同素异形体D. 碳纳米管和金刚石互为同位素【答案】B10. 下列说法正确的是A. 1mol 乙烯最多能与5 molCl 2发生反应B. 苯与溴水的混合液在光照条件下能发生取代反应C. 乙炔与乙烯混合物可通过溴的四氯化碳溶液分离D. 1，3-丁二烯能在较高温度与溴单质发生1，2-加成反应 【答案】A11. 技术在推动化学学科发展、提高人类生活水平等方面发挥了重要作用。