北京市东城区2019-2020学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学(理科)

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】∵集合表示到0的所有实数，集合表示5个整数的集合，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了交集的概念及其运算，是基础题．2.下列复数为纯虚数的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用复数的运算对每个选项逐一求解即可得答案.【详解】∵，，，，∴为纯虚数的是，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及基本概念，是基础题3.下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；对于选项C：为偶函数，与题意不符；对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．4.执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的等于（ ）A. 3B. 12C. 60D. 360【答案】C【解析】【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【详解】模拟执行程序，可得，，，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为60．故选C．【点睛】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.“”是“函数的图像关于直线对称”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的对称性求出函数的对称轴为，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】若函数的图象关于直线，则，得，当时，，即“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件，故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出的取值范围是解决本题的关键．6.某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）A. 2B.C.D. 3【答案】D【解析】【分析】由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥，其中底面，，，，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．【详解】由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥，其中底面，，，，∴，∴在该三棱锥中，最长的棱长为，故选D．【点睛】本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．7.在极坐标系中，下列方程为圆的切线方程的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出圆的直角坐标方程为，圆心为，半径，将每个选项分别利用直角坐标表示，根据直线与圆的位置关系能求出结果．【详解】圆，即，∴圆的直角坐标方程为，即，圆心为，半径，在A中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故A错误；在B中，是圆，不是直线，故B错误；在C中，即，圆心到的距离，故是圆的切线，故C正确；在D中，即，圆心到的距离，故不是圆的切线，故D错误．故选C．【点睛】本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，，，∴，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若满足，则的最小值为______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．【详解】作出，满足对应的平面区域，由，得，平移直线，由，解得由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，此时，故答案为4．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10.已知双曲线-=1的一个焦点为，则m=______．【答案】3【解析】【分析】由双曲线的焦点坐标可得的值，列出关于的方程，解出即可．【详解】双曲线的一个焦点为，即，解得，故答案为3．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，注意分析、的关系，属于基础题.11.若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．【答案】(1). -n(2). 2【解析】【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得，，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．【详解】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，，，，可得，即为，可取，可得，则，，故答案为，2．【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.在菱形ABCD中，若，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，则，结合平面向量的数量积公式计算即可．【详解】菱形中，，由可得则，故答案为．【点睛】本题考查了平面向量的数量积计算问题，由菱形的性质得到是解题的关键，属于基础题．13.函数在区间上的最大值为______．【答案】【解析】【分析】利用两角差的正弦与余弦公式化简，根据在上，结合三角函数的性质可得最大值．【详解】函数；∵，∴当时，取得最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查了两角和与差公式的应用和计算能力，得到是解题的关键，属于基础题．14.已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．【答案】(1). (2).【解析】【分析】①通过的范围，可得，代入可得所求值；②由题意可得恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得的范围．【详解】①若，由，可得，成立，即有，则；②若，且对任意，，可得恒成立，即为，即有，可得，即，由的最小值为，则，故答案为，．【点睛】本题主要考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，将问题转化为恒成立是解决②的关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，．（1）求∠B的大小；（2）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，结合范围，可求的值；（2）利用三角形的面积公式可求的值，根据余弦定理可求的值，进而可求的值．【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得：，所以：，又，．（2）因为△ABC的面积为，∴2，由余弦定理，，所以．．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的x的值；（2）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（3）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．【答案】（1）0.15；（2）150；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解；（2）利用分布直方图求解即可；（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．【详解】（1）由，可得0.15（2），即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．（3）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；　；；．所以X的分布列为：X0123P故的期望【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力，属于中档题.17.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（1）证明：AC⊥EG；（2）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（3）求二面角D-AC-F的大小．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）推导出，，，从而平面，进而，四边形为正方形，，由此能证明平面，从而；（2）由，，两两垂直，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出在线段上存在一点，使得平面，并能求出的值；（3）求出平面的法向理和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大小．【详解】证明：（1）在图1中，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG（2）由（1）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，．因此点．由（1）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为平面ABFE，所以平面，当且仅当，即，解得．．（3）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（1）可得，是平面的法向量，．，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以．所以二面角D-AC-F的大小为90°【点睛】本题主要考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（2）根据题意，原问题可以转化为恒成立，设，求出的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．【详解】（1）当时，，其导数，．又因为，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；（2）根据题意，当时，“曲线y=f（x）在直线的上方”等价于“恒成立”，又由x＞0，则，则原问题等价于恒成立；设，则，又由，则，则函数在区间上递减，又由，则有，若恒成立，必有，即的取值范围为．【点睛】本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解，属于中档题.19.已知椭圆过点P（2，1）．（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.【详解】（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得．所以，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线，，设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得，∴，∴同理，所以，由，有，因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．∴，又，故，所以直线与直线平行．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（1）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（3）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数列中的项；（3）由，得：，从而，由此利用累加法得，从而，同理，由此能证明．【详解】（1）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．证明：（2）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项（3）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n =-，同理B n =-，当时，有，∵d ∈N *，∴≤，∴≤-，∴【点睛】本题考查数列的第项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2020年高三一模数学（理）北京东城区试题Word版带解析数学〔理科〕2019．4第一部分〔选择题 共40分〕【一】选择题共8小题，每题3分，共40分，在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． 集合()(){|120}A x x x =+-≥，那么R A =ð〔 〕．A 、{}|12x x x <->，或B 、{|1x x -≤或}2x ≥C 、{}|12x x -<<D 、{}|12x x -≤≤解析：()(){|120}A x x x =+-≥={2A x x =≥≤或x -1}，所以R A =ð{}|12x x -<<2． 复数i1i=-〔 〕． A 、11i 22+B 、11i 22-C 、11i 22-+D 、11i 22--解析：(1)11(1)(1)2ii i i i i i +-+==--+，答案C. 3． 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象〔 〕．A 、向左平移π3个单位长度B 、向右平移π3个单位长度C 、向左平移π6个单位长度D 、向右平移π6个单位长度解析：函数平移满足左加右减，但是要在x 的基础上变换，所以答案为D 。

4． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设39S =，530S =，那么789a a a ++=〔 〕．A 、27B 、36C 、42D 、63解析：因为数列是等差数列，利用等差中项的性质3229,393S a a ==∴=，53330,5306S a a ==∴=，d=3，789a a a ++=83a ，83521a a d =+=，789a a a ++=83a =63.5．在极坐标系中，点π4⎫⎪⎭，到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于〔 〕．ABCD 、2解析：把极坐标方程转化为标准方程cos ,sin x y ρθρθ==，所以点π4⎫⎪⎭，对应平面直角坐标系的点为〔1,1〕，c o s s i n 10ρθρθ--=，直线方程为x-y-1=0，利用点到直线的距离答案为A 。

2019北京市东城区高三一模数学（理）2019.4本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项．1．（5分）已知集合A＝{x|2x2+x＞0}，B＝{x|2x+1＞0}，则A∩B＝（）A．B．C．{x|x＞0}D．R2．（5分）在复平⼀面内，若复数（2﹣i）z对应的点在第⼀象限，则z可以为（）A．2B．﹣1C．i D．2+i3．（5分）在平面直角坐标系XOY中，角α以OX为始边，终边经过点P（﹣1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（）A．sinα+cosαB．sinα﹣cosαC．sinαcosαD．4．（5分）正方体被一个平面截去⼀一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．梯形5．（5分）若x，y满足，则|x﹣y|的最大值为（）A．0B．1C．2D．46．（5分）已知直线l过抛物线y2＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC 中点，则线段BC的长为（）A．B．3C．D．67．（5分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平⼀面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝a，，则下列关于{a n}的判断正确的是（）A．∀a＞0，∃n≥2，使得B．∃a＞0，∃n≥2，使得a n＜a n+1C．∀a＞0，∃m∈N*，总有a m＜a nD．∃a＞0，∃m∈N*，总有a m+n＝a n二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在的展开式中，x2的系数是．（用数字作答）10．（5分）在△ABC中，若b cos C+c sin B＝0，则∠C＝．11．（5分）若曲线（θ为参数）关于直线（t为参数）对称，则a＝；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为．12．（5分）已知向量＝，向量为单位向量，且•＝1，则2﹣与2夹角为．13．（5分）已知函数f（x）＝4x﹣x3，若∀x1，x2∈[a，b]，x1≠x2都有2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）成立，则满足条件的一个区间是．14．（5分）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝；②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为．三、解答题共6⼀小题，共80分．解答应写出⼀文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数，且．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上单调递增，求m的最大值．16．（13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求的值．18．（13分）设函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx的极小值点为x0．（Ⅰ）若x0＝1，求a的值f（x）的单调区间；（Ⅱ）若0＜x0＜1，在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明理由．19．（13分）已知椭圆与x轴交于两点A1，A2，与y轴的一个交点为B，△BA1A2的面积为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P．以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），求|PM|﹣|PN|的值．20．（14分）已知L∈N+，数列A：a1，a2，…a n中的项均为不大于L的正整数．c k表示a1，a2，…a n中k的个数（k＝1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：t（a1），t（a2），…t（a n）其中t（k）＝L •．（Ⅰ）若L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出c i（1≤i≤4）的值；（Ⅱ）已知对任意的k（k＝1，2，…，n），存在A中的项a m，使得a m＝k．求证：t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）；（Ⅲ）若l＝n，对于数列A：a1，a2，…a n，令T（T（A）：b1，b2，…b n，求证：b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．2019北京市东城区高三一模数学（理）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的⼀一项．1．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：；∴A∩B＝{x|x＞0}．故选：C．【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．【分析】分别取z为四个选项中的数逐一分析得答案．【解答】解：当z＝2时，（2﹣i）z＝4﹣2i，对应的点在第四象限，不合题意；当z＝﹣1时，（2﹣i）z＝﹣2+i，对应的点在第二象限，符合题意；当z＝i时，（2﹣i）z＝1+2i，对应的点在第一象限，不合题意；当z＝2+i时，（2﹣i）z＝5，对应的点在实轴上，不合题意．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】由任意角的三角函数的定义结合三角函数的象限符号求解．【解答】解：由已知得r＝|OP|＝，则sinα＝，cos＜0，tanα＝﹣m．∴＜0．故一定为负值的是D．故选：D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查三角函数的象限符号，是基础题．4．【分析】根据三视图知该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形．【解答】解：由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，截面是等腰三角形，如图所示；故选：A．【点评】本题考查了利用三视图判断几何体形状的应用问题，是基础题．5．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可推出结果．【解答】解：x，y满足，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点A时，z取得最小值，0，当直线z＝x﹣y过点，B时，z取得最大值，4，则|x﹣y|的最大值为：4．故选：D．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．【分析】由题意画出图形，利用抛物线定义结合已知求得A的坐标，得到直线AF的方程，与抛物线联立求得B的坐标，再由抛物线焦半径公式求解．【解答】解：如图，A在准线上的射影为E，B在准线上的射影为H，由抛物线y2＝8x，得焦点F（2，0），∵点F是的AC中点，∴AE＝2p＝8，则AF＝8，∴A点横坐标为6，代入抛物线方程，可得A（6，4），∴，则AF所在直线方程为y＝．联立，得3x2﹣20x+12＝0．∴6x B＝4，得，则BF＝BH＝．故BC＝CF﹣BF＝AF﹣BF＝8﹣＝．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．7．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可．【解答】解：由祖暅原理知，若S1，S2总相等，则V1，V2相等成立，即必要性成立，若V1，V2相等，则只需要底面积和高相等即可，则S1，S2不一定相等，即充分性不成立，即“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合祖暅原理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．8．【分析】A．∀a1＝a＞0，，由a n＞0．利用基本不等式的性质即可得出a n+1≥，即可判断出正误．B．由A可得：n≥2时，a n，即a n+1＜a n，即可判断出正误．C．令f（x）＝+（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．D：由a1＝a＞0，，a2＝+，令+＝a，解得a，即可判断出正误．【解答】解：A．∀a1＝a＞0，，∴a n＞0．∴a n+1≥2＝，因此A不正确．B．∵＝，由A可得：n≥2时，a n，∴＜1，即a n+1＜a n，因此B不正确．C．令f（x）＝+（x），则f′（x）＝≥0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有a m＜a n，不正确．D：由a1＝a＞0，，a2＝+，令+＝a，解得a＝，则a n＝，因此结论成立．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：在的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r••x r，令r＝2，求得x2的系数是•＝60，故答案为：60．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．【分析】直接利用正弦定理对函数的关系式进行变换，进一步求出C的值．【解答】解：∵b cos C+c sin B＝0∴由正弦定理知，sin B cos C+sin C sin B＝0，∵0＜B＜π，∴sin B＞0，于是cos C+sin C＝0，即tan C＝﹣1，∵0＜C＜π，∴C＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．11．【分析】把曲线C和直线l换成直角坐标方程后利用圆心在直线上可得a＝3，所求最大值等于原点O到圆心的距离加上半径1．【解答】解：曲线C的直角坐标方程为（x﹣a）2+（y﹣2）2＝1，表示圆心为（a，2），半径为1 的圆，直线l 的直角坐标方程为：2x﹣y﹣4＝0，因为圆关于直线 2x﹣y﹣4＝0对称，所以圆心（a，2）在直线2x﹣y﹣4＝0上，即2a﹣2﹣4＝0，解得a＝3，此时圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，原点O到圆心（3，2）的距离为＝，所以原点O到圆C上的点的最大值为+1．故答案为：3，+1．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．12．【分析】由题意求出的坐标，再求出（2﹣）•2的值、2﹣和2的坐标，再利用两个向量的数量积的定义求得2﹣与2夹角．【解答】解：∵向量＝，向量为单位向量，且•＝1，设＝（cosθ，sinθ），∴•＝cosθ+sinθ＝2cos（θ﹣）＝1，∴可令θ＝，即＝（﹣，）．∵（2﹣）•2＝4﹣2•＝4﹣2＝2，2﹣＝（﹣2，0），2＝（﹣1，）设2﹣与2夹角为α，α∈[0°，60°]，则cosα＝＝＝，∴α＝60°，故答案为：60°．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．13．【分析】将不等式2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）转化为f（）＞，即函数f （x）满足在区间[a，b]上是凸函数即可，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，利用数形结合进行判断求解即可．【解答】解：由2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）得f（）＞，即函数f（x）满足在区间[2a，2b]上是凸函数即可，函数的f′（x）＝4﹣3x2，由f′（x）＞0得4﹣3x2＞0得﹣＜x＜，此时函数f（x）为增函数，由f′（x）＞0得4﹣3x2＜0得x＜﹣或x＞，此时函数f（x）为减函数，即当x＝﹣函数取得极小值，在x＝时，函数f（x）取得极大值，由f（x）＝4x﹣x3＝0得x（4﹣x2）＝0，得x＝0或x＝2或x＝﹣2，则函数f（x）对应的图象如图：则函数在[0，+∞）上为凸函数，∵x1，x2∈[a，b]，∴2x1，2x2∈[2a，2b]，则[2a，2b]⊆[0，+∞），则只要a≥0，即可，则当a＝0，b＝1时，满足条件，即满足条件的一个区间为（0，1）或[0，1]，故答案为：（0，1）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．14．【分析】①由A⊆B．由x∉A时，m＝0，可得m（1﹣n）．x∈A时，必有x∈B，可得m＝n＝1．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，即可得出A，B的关系．【解答】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m＝0，m（1﹣n）＝0．x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，m（1﹣n）＝0．综上可得：m（1﹣n）＝0．②对任意x∈R，m+n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，∴A，B的关系为A＝∁R B．故答案为：0，A＝∁R B．【点评】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6⼀小题，共80分．解答应写出⼀文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简结合三角函数的周期公式进行求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，解得a＝1.＝4cos x（sin x﹣cos x）＝2sin x cos x﹣2cos2x＝sin2x﹣cos2x﹣1＝2sin（2x﹣）﹣1，所以的最小正周期为π．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．当x∈[0，m]时，，若f（x）在区间[0，m]上单调递增，则有，即．所以m的最大值为．【点评】本题主要考查三角函数的性质，结合两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．16．【分析】（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，由此能求出所求的概率．（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上”．由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求，故…（4分）（Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，且，，，．所以X的分布列为：X0123P故X的期望…（10分）（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大…（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望、方差的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（I）根据勾股定理即可证明OA＝OB，从而可得对角线相等，得出结论；（II）建立空间坐标系，求出平面A1ACC1的法向量，则线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设D点坐标为（0，y0，0），求出平面A1CD的法向量，令＝0求出y0即可得出的值．【解答】解：（Ⅰ）连结CO．∵C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，∴CO⊥平面A1ABB1．∴CO⊥OB，OC⊥OA，由已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均相等，所以AC＝BC，且A1ABB1为菱形．由勾股定理得OB＝，OA＝，∴OA＝OB，即AB1＝A1B．∴四边形A1ABB1为正方形．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥平面A1ABB1，CO⊥OA，CO⊥OA1．在正方形A1ABB1中，OA1⊥OA．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，．所以．设平面A1ACC1的法向量为＝（x，y，z），则，即令x＝1，则y＝1，z＝1，于是＝（1，1，1）．又因为，设直线EF与平面A1ACC1所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．所以直线EF与平面A1AC所成角的正弦值为．（Ⅲ）直线EF与平面A1CD没有公共点，即EF∥平面A1CD．设D点坐标为（0，y0，0），D与O重合时不合题意，所以y0≠0．因为，．设＝（x1，y1，z1）为平面A1CD的法向量，则，即令x1＝1，则，z1＝1，于是＝（1，，1）．若EF∥平面A1CD，．又，所以，解得．此时EF⊄平面A1CD，所以，．所以．【点评】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由f'（1）＝0，得a＝1．当a＝1时，，由此能求出f（x）的单调区间和f'（x）的极小值点为1时a的值．（II）当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．由，根据a≤0，a＞0分类讨论，推导出当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上所有的点均位于x轴的上方．当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．【解答】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞）.．由已知，得f'（1）＝0，解得a＝1．当a＝1时，，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．所以a＝1时函数f（x）在x＝1处取得极小值．即f'（x）的极小值点为1时a的值为1…（6分）（II）当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方，理由如下：由（I）知，当a≤0时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）单调递减，f（x）不存在极小值点；当a＞0时，令，得．当时，f'（x）＜0，f（x）在区间上单调递减；当时，f'（x）＞0，f（x）在区间上单调递增．所以是f（x）在（0，+∞）上的最小值．由已知，若0＜x0＜1，则有，即a＞1．当a＞1时，lna＞0，且，．所以．当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上所有的点均位于x轴的上方．故当0＜x0＜1时，曲线y＝f（x）上不存在点P位于x轴的下方．…（13分）【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的点是否的判断与求法，考查导数性质、函数极值、单调区间等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）由椭圆方程知：，从而，求出m＝1．由此能求出椭圆C的方程，从而能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，﹣y0）（x0＞0），A1（﹣2，0），A2（2，0），设，，由得从而．由A1（﹣2，0），B（0，1），求出点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，由此能求出|PM|﹣|PN|的值．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为m＞0，由椭圆方程知：，，所以m＝1．所以椭圆C的方程为．由a＝2，b＝1，a2＝b2+c2，得，所以椭圆C的离心率为．…（5分）（Ⅱ）设点P（x P，y P），P1（x0，y0），P2（x0，﹣y0）（x0＞0），不妨设A1（﹣2，0），A2（2，0），设，，由得即又，得，化简得．因为A1（﹣2，0），B（0，1），所以，即．所以点P的轨迹为双曲线的右支，M，N两点恰为其焦点，A1，A2为双曲线的顶点，且|A1A2|＝4，所以|PM|﹣|PN|＝4．…（13分）【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线的简单性质，还考查了韦达定理及中点坐标公式、弦长公式，考查了方程思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆、双曲线的位置关系及转化思想，属于难题．20．【分析】（Ⅰ）由L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，能写出写出c i（1≤i≤4）的值．（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m＝k．所以c1，c2，…，c L均不为零．先证必要性，再证充分性，由此能证明t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）．（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．设，由L＝n，根据变换T得到T（T（A））：，，，由此能证明b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）∵L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，∴c1＝2，c2＝1，c3＝2，c4＝1．…（3分）证明：（Ⅱ）由于对任意的正整数k（1≤k≤L），存在A中的项a m，使得a m＝k．所以c1，c2，…，c L均不为零．必要性：若t（a i）＝a i（1≤i≤n），由于，∴；；；…；．通过解此方程组，可得c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）成立．充分性：若c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）成立，不妨设h＝c i＝c j（i，j＝1，2，…，L），可以得到h•L＝n．∴；；；…；．∴t（a i）＝a i（1≤i≤n）成立．故t（a i）＝a i（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为c i＝c j（i，j＝1，2，…，L）．…（9分）证明：（Ⅲ）设A：a1，a2，…，a n的所有不同取值为u1，u2，…，u m，且满足：u1＜u2＜…＜u m．不妨设，其中；；…；．又∵L＝n，根据变换T有：；；…；；∴T（A）：，，，即T（A）：，，，∴T（T（A））：，，，∵r1＜r1+r2＜…＜r1+r2+…+r m，∴t（r1）＝r1，t（r1+r2）＝r1+r2，…，t（r1+r2+…+r m）＝L．∴，即T（T（A））：：，，，从而b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．故b i＝t（a i）（i＝1，2，…，n）．…（14分）【点评】本题考查数列的求法，考查充要条件的证明，考查数列等式的证明，考查数性质性质、充要条件等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B = （）A.{}|12x x -<< B.{}|11x x -≤<C.{}|12x x ≤< D.{}|11x x -<≤【答案】D 【解析】【分析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<，所以A B = {}|11x x -<≤.故选：D .【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】1i z =--，对应点为(1,1)--，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（）A.1y x=B.ln ||y x = C.2xy = D.1||y x =-【答案】B 【解析】【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2x y =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意，故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立，所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5.设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n⊥C.若//n α，m n ⊥，则m α⊥ D.若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B 【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确；对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确；对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立，故选：B .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6.从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A.7B.9C.10D.13【答案】C 【解析】【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个.故选：C .【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（）A 若2παβ+<，则sin sin αβ+< B.若2παβ+<，则cos cos αβ+<C.若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D.若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A 【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos 2sin cos 22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<是正确的；对于B 中，例如,66ππαβ==，此时cos cos 66ππ+=>，所以cos cos αβ+<不一定成立，所以不正确；对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sin sin 2124ππ-+=+<，所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 1622ππ+=-+<，所以cos cos 1αβ+>不正确，故选：A .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =2；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C【解析】【分析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解.【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=，在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，即222OC b a +=，所以222OCa b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =，即R =在直角1O OC ∆中，22222121OCOO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====，所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10.已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________.【答案】(1).12(2).454【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案.【详解】由题意，在数列{}n a 是各项均为正的等比数列，因为16a =，2326a a +=，可得221126126a q a q q q +=+=，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-（舍去），又由等比数列的前n 项和公式，可得4416[1()]4521412S ⋅-==-.故答案为：12，454.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前n 项和公式的应用，其中解答中熟练等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.能说明“直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为______.【答案】0【解析】【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，<，求得m的取值范围，即可求解.【详解】由题意，圆22420x y x y ++-=的圆心坐标为(2,1)-，半径为r =，若直线0x y m -+=与圆22420x y x y ++-=有两个不同的交点，<33m <<+所以命题为真命题的一个m 的值为0.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ⋅=⋅，||4AC = ，||2BD = ，则四边形ABCD 的面积是_______.【答案】4【解析】【分析】由AB AC AC AD ⋅=⋅ ，根据向量的线性运算，得到AC BD ⊥uuu r uu u r ，进而得到四边形ABCD 是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中，AB AC AC AD ⋅=⋅，可得()0AB AC AC AD AB AC BD ⋅=⋅-=⋅= ，所以AC BD⊥uuu r uu u r 所以四边形ABCD 是菱形，又由||4AC = ，||2BD = ，所以面积为14242S =⨯⨯=.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.13.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为6π，则ω的所有可能值为__________．【答案】2或10【解析】【分析】令2sin()x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，根据存在相邻两个交点间的距离为6π，得到2136x x w ππ-==或21536x x w ππ-==，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，曲线()y f x =与直线y =令2sin()x ωϕ+=，即sin()2x ωϕ+=，解得2,3x k k Z πωϕπ+=+∈或22,3x k k Z πωϕπ+=+∈，由题意存在相邻两个交点间的距离为6π，结合正弦函数的图象与性质，可得2122(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得2136x x w ππ-==，解得2w =.或21722(),33k w x x k Z πππ-+=-∈，令0k =，可得21536x x w ππ-==，解得10w =.故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题.14.将初始温度为0C ︒的物体放在室温恒定为30C ︒的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，已知10t C =︒.已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为__________：（填写模型对应的序号）①130n n n kt t t +-=-；②()130n n n t t k t +-=-；③()130n n t k t +=-.在上述模型下，设物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min C ，那么a b 与bc的大小关系是________（用“>”，“=”或“<”号填空）【答案】(1).②(2).>【解析】【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到()130n n n t t k t +-=-，再根据函数模型，分别求得k 的值，结合作差比较，即可得到答案.【详解】由题意，将第n 次测量得到的物体温度记为n t ，则两次的体温变化为1n n t t +-，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），所以()130n n n t t k t +-=-，当物体温度从5C ︒升到10C ︒所需时间为min a ，可得()105305k -=-，可得51255k ==，当物体温度从10C ︒上升到15C ︒所需时间为min b ，可得()15103010k -=-，可得14k =，当物体温度从15C ︒上升到20C ︒所需时间为min c ，可得()20153015k -=-，可得13k =，可是111,,,0543a mb mc m m ===>，又由222221111111()5341516151601111431212b c m m m m m a ac b b bc m m m ⨯-----====>⨯，即a b 与b c 的大小关系是a b >b c.故答案为：②，>【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC ∆中，已知sin cos 0c A C +=.（1）求C ∠的大小；（2）若2b =，c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π∠=（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，求得sin 0C C =，即可求解C ∠的大小；（2）由正弦定理，可得1sin 2B =，得到6B π∠=，进而得到6A B C ππ∠=-∠-∠=，结合三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为sin cos 0c A C +=，由正弦定理可得sin sin sin 0C A C A +=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin 0C C +=，即tan C =又因为0C π<<，所以23C π∠=.（2）由正弦定理，可得32sin 12sin 2b C B c ⨯===，又因为03B π<<，所以6B π∠=，所以6A B C ππ∠=-∠-∠=.所以ABC ∆的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.2019年6月，国内的5G 运营牌照开始发放.从2G 到5G ，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G 的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到5G 的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至202l 年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级5G 时间的早晚与大学生愿意为5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G 套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%）.（1）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G 的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，P D，即可得到结论.得到七概率为()【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.81000+=.（2）由题意X 的所有可能值为0,1,2，记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件A ，B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X P AB ===--=，(1)()()()P X P AB AB P AB P AB ==+=+()(1())(1()()P A P B P A P B =-+-0.6(10.55)(10.6)0.55=⨯-+-⨯0.49=，(2)()0.60.550.33P X P AB ===⨯=，所以X 的分布列为X012P0.180.490.33故X 的数学期望()00.1810.4920.33 1.15E X =⨯+⨯+⨯=.（3）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02C P D C =≈.回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，12AA AB BC ===.（1）求证：1BC ⊥平面11A B C ；（2）求异面直线1B C 与1A B 所成角的大小；（3）点M 在线段1B C 上，且11((0,1))B MB Cλλ=∈，点N 在线段1A B 上，若MN ∥平面11A ACC ，求11A NA B的值（用含λ的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）1λ-【解析】【分析】（1）根据三棱柱111ABC A B C -的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得11A B ⊥平面11B BCC ，得到111A B BC ⊥，再利用线面垂直的判定定理，即可证得1BC ⊥平面11A B C ；（2）由（1）得到AB BC ⊥，建立空间直角坐标系B xyz -，求得向量11,B C A B，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）由11B M B C λ=，得(2,0,22)M λλ-，设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，求得向量MN 的坐标，结合//MN 平面11A ACC ，利用0MN n ⋅=，即可求解.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，由1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ，又因为1BB ⊂平面11B BCC ，所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C .又因为AB BC ⊥，所以1111A B B C ⊥，所以11A B ⊥平面11B BCC .因为1BC ⊂平面11B BCC ，所以111A B BC ⊥又因为12BB BC ==，所以11B C BC ⊥，又1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C.（2）由（1）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，如图建立空间直角坐标系B xyz -，由题意得()0,0,0B ，()2,0,0C ，()10,2,2A ，()10,0,2B .所以()12,0,2B C =- ，()10,2,2A B =--.所以()1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅==.故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π.（3）易知平面11A ACC 的一个法向量()1,1,0n =，由11B MB Cλ=，得(2,0,22)M λλ-.设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--，则(2,22,22)MN λμλμ=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN n ⋅=，即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=，解得1μλ=-，所以111A NA Bλ=-.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R .（1）若()f x 在1x =-时，有极值，求a 的值；（2）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）1a =-（2）不存在，详见解析【解析】【分析】（1）求得2()23f x x x a '=-+，根据函数()f x 在1x =-取得极值，即可求解；（2）不妨设点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，求得切线方程，根据直线l 过()1,P b ，转化为()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，设函数322()2233g x x x x a b =-+-+，转化为()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数321()33f x x x ax =-+，则2()23f x x x a '=-+，由()f x 在1x =-时，有极值，可得(1)1230f a '-=++=，解得1a =-.经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上可得1a =-.（2）不妨设在直线1x =上存在一点()1,P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为()00,x y ，则切线l 方程为()()32200000013233y x x x x x a x x α-+-=-+-，又直线l 过()1,P b ，有()()322000000132313b x x ax x x a x -+-=-+-，即32000222303x x x a b -+-+=，设322()2233g x x x x a b =-+-+，则22()2422(1)0g x x x x '=-+=-≥，所以()g x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()0g x =至多有一个解，过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条，故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．19.已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是2.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，过2F 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于,A B 两点，直线1F A ，1F B 分别交y 轴于不同的两点,M N .如果1MF N ∠为锐角，求k 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=（2）,0,,7447⎛⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意，列出方程组，求得22a =，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为()1y k x =-，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量【详解】（1）由题意，椭圆222:1(1)x C y a a +=>的离心率是22，可得222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()1y k x =-，直线l 与椭圆C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y .由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式>0∆恒成立，且2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+.①直线1F A 的方程为11(1)1y y x x =++，令0x =，则110,1y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.同理可得220,1y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++()()()()222212121212121212121111111k x x k x x k k x x x x x x x x x x x x ++-+++⎡⎤-++⎣⎦=+=++++++将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=- .依题意，角1MF N ∠为锐角，所以110F M F N ⋅> ，即211271081k F M F N k -⋅=>- .解得217k >或218k <.综上，直线l 的斜率的取值范围是7227,0,,7447⎛⎫⎛⎫⎛⎛⎫-∞-⋃-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.20.已知数列{}n a ，记集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N .（1）对于数列{}:1,2,3,4n a ，写出集合T ；（2）若2n a n =，是否存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由.（3）若22n a n =-，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,n B b b b ，若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{3,5,6,7,9,10}T =（2）不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.(3)详见解析【解析】【分析】（1）根据集合的定义{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，即可求解；（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，得到1024(1)()j i i j =-++，根据i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进而得到结论.（3）若*,i j N ∃∈，使得(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，得到1(1)()2t j i i j +-++=不成立，结合数学归纳法，把数列22n a n =-，转化为数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足1010n b ≤有多少项，即可得到结论.【详解】（1）由题意，集合{}*1(,)|(,),1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++<∈N ，可得{3,5,6,7,9,10}T =.（2）假设存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =，则有1102422(1)2(1)()i i j a a a i i j j i i j -=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j N ∈，使得(),1024S i j =成立.（3）首先证明n a n =时，对任意的*m N ∈都有2t m b ≠，*t N ∈.若*,i j N ∃∈，使得：(1)()(1)22t j i i j i i j -++++++== ，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所有1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除()2tt N ∈形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.若正整数()221th k =+，其中t N ∈，*t N ∈.当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：()()()()(21)(21)(21)2212212t t t t t h k k k k k =++++++=-++-++++++ 此时结论成立.当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：(21)(21)(21)h k k k =++++++ ()()21(1)(1)(2)2t t k k k k k k =-+++-++++++++ ，此时结论成立.对于数列22n a n =-，此问题等价于数列0,1,2,3,,,n ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合T 中的项，所以n 的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.。

东城区2019-2020学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 2020.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）C （3）B （4）A （5）B （6）C （7） A （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）4（10）14524（11）0（答案不唯一） （12）4（13）2或10（14）② >三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin sin =0C A C A +.因为sin 0A >，所以tan C =又因为0C <∠<π, 所以2π=3C ∠. ..................................................................................................7分 （Ⅱ）由正弦定理得2sin 1sin =2b C B c ==, 又因为03B π<∠<， 所以ππ,66B A BC ∠=∠=π-∠-∠=. 所以△ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=. ...............................................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即2705300.810001000+=. .............................3分 （II ）由题意X 的所有可能值为0,1,2.记事件A 为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级5G 多支付10元或10元以上”， 由题意可知，事件，A B 相互独立，且()140%0.6P A =-=，()145%0.55P B =-=，所以(0)()(10.6)(10.55)0.18P X=P AB ==--=，(1)()()()()(1())(1()()0.610.5510.6)0.550.49P X P AB+AB P AB P AB P A P B P A P B ===+=-+-=⨯-+-⨯=（）（，()()0.60.550.33.P X=2P AB ==⨯=所以X 的分布列为故X 的数学期望00.1810.4920.33 1.15（）E X =⨯+⨯+⨯=. ……………10分 （III ）设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G 套餐”，那么327031000()0.02.C P D C =≈回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，由于1BB ⊥平面ABC ，所以1BB ⊥平面111A B C ．又1BB ⊂平面11B BCC ， 所以平面11B BCC ⊥平面111A B C ，交线为11B C . 又因为AB BC ⊥， 所以1111A B B C ⊥． 所以11A B ⊥平面11B BCC ． 因为1BC ⊂平面11B BCC ， 所以111.A B BC ⊥ 又因为12BB BC ==， 所以11B C BC ⊥． 又11A B 11B C B =,所以1BC ⊥平面11A B C ． …………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥．如图建立空间直角坐标系B xyz -．由题意得(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，1(0,0,2)B ．所以1(2,0,2)B C =-uuu r，1(0,2,2)A B =--uuu r ．所以1111111cos ,2||||A B B C A B B C BA B C ⋅〈〉==uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ．故异面直线1B C 与1A B 所成角的大小为3π． …………9分（Ⅲ）易知平面11A ACC 的一个法向量为(1,1,0)=n ，由11B MB Cλ=，得(2,0,22).M λλ- 设11A NA Bμ=，得(0,22,22)N μμ--， 则(2,22,22)MN λμλμ−−→=---因为//MN 平面11A ACC ，所以0MN −−→⋅=n ， 即(2,22,22)(1,1,0)0λμλμ---⋅=， 解得1μλ=-． 所以111A NA Bλ=-． …………14分（18）（共13分） 解：(Ⅰ) 因为 321()33f x x x ax =-+， 所以 ()223f x x x a '=-+.由()f x 在1x =-时，有极值得 ()11230f a '-=++= ， 解得 1a =- .经检验，1a =-时，()f x 有极值.综上，1a =-. ……………4分（Ⅱ）不妨设在直线1x =上存在一点(1,)P b ，设过点P 与()y f x =相切的直线为l ，切点为00(,)x y ， 则切线l 方程为32200000013(23)()3y x x ax x x a x x -+-=-+-.又直线l 过(1,)P b ，有32200000013(23)(1)3b x x ax x x a x -+-=-+-，即3200022+2303x x x a b --+=. 设322()2233g x x x x a b =-+-+， 22'()2422(1)0g x x x x =-+=-≥.所以()g x 在区间(,)-∞+∞上单调递增， 所以()0g x =至多有一个解.过点P 与()y f x =相切的直线至多有一条.故在直线1x =上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切. ………………13分（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意222221c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得22a =.所以椭圆C 的方程为22 1.2x y +=…………4分 （Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0.设直线l 方程为()1y k x =-.直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,,A x y B x y .由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222214220k x k x k +-+-=.由已知，判别式0∆>恒成立，且22121222422,.2121k k x x x x k k -+==++① 直线1F A 的方程为()1111y y x x =++，令0x =，则11(0,)1yM x +. 同理可得22(0,)1y N x +. 所以()()()()()()2121211121211111111k x x y y F M F N x x x x --⋅=+=+++++uuu u r uuu r()()()()222212121212121212121111111k x x k x x kk x x x x x x x x x x x x ++-+++-++⎡⎤⎣⎦=+=++++++.将①代入并化简，得21127181k F M F N k -⋅=-uuu u r uuu r . 依题意，1MF N ∠我锐角，所以110F M F N ⋅>，即211271081k F M F N k -⋅=>-uuu u r uuu r . 解得217k >或218k <. 综上，直线l斜率的取值范围是(,(,0)(0,(,)7447-∞--+∞U U U . ....................14分 （20）（共13分）解：（Ⅰ）{}=3567910T ，，，，，. …………………………………………………………………3分（Ⅱ）假设存在i j *∈N ，，使得()=1024S i j ，，则有 1102422(1)2(1)()L L i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++，由于i j +与j i -奇偶性相同， 所以i j +与1j i -+奇偶性不同.又因为3i j +≥，12j i -+≥， 所以1024必有大于等于3的奇数因子， 这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在i j *∈N ，，使得()=1024S i j ，成立. …………………………8分 （Ⅲ）首先证明n a n =时，对任意的m *∈N 都有2tm b t *≠∈N ，.若,i j *∃∈N ，使得：(1)()(1)22L t j i i j i i j -++++++==，由于1j i -+与j i -均大于2且奇偶性不同，所以1(1)()2t j i i j +-++=不成立.其次证明除2()tt ∈N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和. 若正整数2(21)t h k =+，其中t ∈N ，k *∈N . 当1221t k +>+时，由等差数列的性质有：(21)222=(2)(21)2(21)(2)t t t t t t t tk h k k +=+++-++-+++++个L L L 144444424444443此时结论成立. 当1221t k +<+时，由等差数列的性质有：2(21)(21)(21)=(21)(1)(1)(2)(2),t t t h k k k k k k k k k =++++++-+++-++++++++个L 14444444444444244444444444443L L此时结论成立.对于数列22n a n =-. 此问题等价于数列0123n ，，，，，，L L ，其相应集合T 中满足：1010n b ≤有多少项.由前面的证明可知正整数248163264128256512，，，，，，，，不是集合T 中的项， 所以n 的最大值为1001. .............................13分。

北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市东城区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试题第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中.1.符号“U A ð”可表示为 A ．}{x x U x A∈∈且B ．}{x x U x A∈∉且C ．}{x x U∈ D ．}{x x A ∉2.sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于 A ．12B ．3 C．2 D．23.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x = 4.已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是A.15B.13C.35D. 15.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是A ．b c a << B.c b a << C.b a c << D.a c b << 6.函数2ln y x =的图象可能是7.函数()e 2xf x x =+-的零点所在的区间是A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将x y 2sin =的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度9.汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10.设函数31(),0,()2,0.xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 若)(a f >1，则a 的取值范围是A ．(－1,1)B ．),1(+∞-C ． (,2)(0,)-∞-+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中横线上.11.已知集合{1,1,2,4},{1,0,2}A B =-=-,则A B =___________．12.若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ． 13.求值：12311(2)log 427--= ．14.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，则(1)=f - ．15.设当x q =时，函数()sin f x x x =-取得最大值，则cos θ= .16．给定k +∈N ，设函数:f ++→N N 满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-． （1）设1k =，则(2014)=f ；（2）设3k =，且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．已知：函数()lg(39)xf x =-的定义域为A ，集合}{20,B x x a a R =-<∈.（Ⅰ）求集合A ； （Ⅱ）求A B I .18．（本题满分10分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递增区间．19．（本题满分10分） 已知函数()1xf x x =-. （Ⅰ）求(1)(1)f x f x ++-的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1,)+∞上是减函数.已知函数()2sin(2+)+13f x x π=.（I ）当43x π=时，求()f x 值； （II ）若存在区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)，使得()y f x =在[,]a b 上至少含有6个零 点，在满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.21.（本题满分8分）已知函数()f x 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保 值区间.（I ）求函数()2f x x =形如[)(),n n R +∞∈的保值区间；（II ）函数()()110g x x x=->是否存在形如[](),a b a b <的保值区间？若存在，求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由.北京市东城区2019-2020学年上学期期末教学统一检测高一数学试题参考答案第一部分（选择题 共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在表格中.1.符号“U A ð”可表示为 A ．}{x x U x A∈∈且B ．}{x x U x A∈∉且C ．}{x x U∈ D ．}{x x A ∉2.sin 43cos13cos43sin13︒︒-︒︒的值等于A ．12B ． 3C ．2D ．23.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为 A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x=D ．||y x x =4.已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是A.15B.13C.35D. 15.三个数23.0=a ，3.022,3.0log ==c b 之间的大小关系是A ．b c a << B.c b a << C.b a c << D.a c b <<6.函数2ln y x =的图象可能是7.函数()e 2xf x x =+-的零点所在的区间是A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,28.要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将x y 2sin =的图象A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移6π个单位长度 C. 向右平移3π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度【解析】9.汽车的油箱是长方体形状容器，它的长是a cm ，宽是b cm ，高是c cm ，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车的耗油量是n cm 3/km ，汽车行驶的路程y （km ）与油箱剩余油量的液面高度x (cm)的函数关系式为A. ()(0)ab y c x x c n =-≤≤ B. ()(0)ny c x x c ab =-≤≤ C. ()(0)c y n x x c ab =-≤≤ D. ()(0)aby n x x c c=-≤≤10.设函数31(),0,()2,0.xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩ 若)(a f >1，则a 的取值范围是A ．(－1,1)B ．),1(+∞-C ． (,2)(0,)-∞-+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞第二部分（非选择题 共70分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在题中横线上.11.已知集合{1,1,2,4},{1,0,2}A B =-=-,则AB =___________．12.若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ．13.求值：12311(2)log 427--= ．14.已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，则(1)=f - ．15.设当x q =时，函数()sin f x x x =-取得最大值，则cos θ= .16．给定k +∈N ，设函数:f ++→N N 满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-． （1）设1k =，则(2014)=f ；（2）设3k =，且当3n ≤时，()23f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 ．三、解答题：本大题共4个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分9分）已知：函数()lg(39)x f x =-的定义域为A ，集合}{20,B x x a a R=-<∈.（Ⅰ）求集合A ；（Ⅱ）求A B I .18．（本题满分10分）已知函数2()sin 22sin f x x x =-．（Ⅱ） 求函数()f x 的单调递增区间．19．（本题满分10分） 已知函数()1x f x x =-. （Ⅰ）求(1)(1)f x f x ++-的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(1,)+∞上是减函数.20．（本题满分9分） 已知函数()2sin(2+)+13f x x π=. （I ）当43x π=时，求()f x 值； （II ）若存在区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)，使得()y f x =在[,]a b 上至少含有6个零 点，在满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值.21.（本题满分8分）已知函数()f x 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为()f x 的保 值区间.（I ）求函数()2f x x =形如[)(),n n R +∞∈的保值区间； （II ）函数()()110g x x x=->是否存在形如[](),a b a b <的保值区间？若存在，求出实数,a b 的值，若不存在，请说明理由.。

2019-2020学年度北京市东城区高三第一学期试卷以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本题包括9小题，每小题2分，共18分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各组中互为同位素的是A.O2和O3B. H2和D2C. CH4和C3H8D. 2He和3He2. 下列关于胶体的叙述正确的是A．电泳现象可证明胶体属于电解质溶液 B．胶体可以透过半透膜C．利用丁达尔效应可以区分溶液和胶体 D．直径介于1～20200 nm之间的微粒称为胶体3．下列各组物质气化或熔化时，所克服的粒子间的作用力属于同种类型的是A．二氧化硅和生石灰的熔化 B．氯化钠和铁的熔化C．碘和干冰的升华 D．氯化铵受热气化和苯的气化4．下列关于电解的叙述中不正确的是A．电解池的阳极发生氧化反应，阴极发生还原反应B．电解饱和食盐水时，阳极得到氢氧化钠溶液和氢气C．电解法精炼粗铜，用纯铜作阴极D．在镀件上电镀锌时，用锌作阳极5．CH4的燃烧热为890kJ·mol-1。

下列热化学方程式正确的是A. CH4(g) + 2O2(g) = 2H2O(g) + CO2(g); △H=+890kJ·mol-1B. CH4 + 2O2 = 2H2O + CO2; △H= -890kJ·mol-1C. CH4(g) + 2O2(g) = 2H2O(l) + CO2(g); △H= -890kJ·mol-1D. CH4(g) + 2O2(g) = 2H2O(g) + CO2(g); △H= -890kJ·mol-16. （NH4）2PtCl6晶体受热分解，生成氮气、氯化氢、氯化铵和金属铂。

在此分解反应中，氧化产物与还原产物的物质的量之比是A．2∶3 B．3∶2 C．4∶3 D．1∶37. 某有机物的结构简式为。