4.4(4)对数概念及其运算

对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。

在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。

首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。

对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。

3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。

对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。

2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。

3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。

4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。

5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。

4.4.3换底公式【教学目标】1、知识与技能：初步掌握换底公式及其在化简和计算中的应用；2、过程与方法：经历换底公式的发现与推导过程，在指对数互化的过程中感悟转化思想。

让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习，培养学生分析、综合解决问题的能力.在换底公式的应用的过程中,引导学生自己思考发现规律,提高学生的探索发现并总结问题的能力.；3、情感态度价值观：让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性。

培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度.【教学重点】换底公式及其应用【教学难点】正确使用换底公式解决问题【教学过程】一、复习回顾（一）对数的概念，对数是同底指数运算的“指数”。

（二）对数的运算性质我们已经学习了同底对数的加减运算，那么对数能否进行乘除运算呢？a b =N Ûlog b N =b 1()log a MN =log a M +log a N 2()log a M N =log a M -log a N 3()log a M n =n log a M二、引入这就是我们今天要研究的换底公式。

三、新课上面的引入是对换底公式的一种证明，再引导学生共同阅读教材上对换底公式的证明。

公式剖析：1、公式成立的条件：2、公式的意义：不同底问题转化为同底问题,为使用运算法则创造条件,更方便化简求值.3、公式特例：4、公式变形：5、公式推广：练习：教材P12第2题。

换底公式可以将一个对数表示成两个常用对数之比的形式，为老式计算器计算非以10为底和以e 为底的对数提供了方法，也是在计算机出现之前利用对数表计算对数的方法。

a >0,a ¹1,b >0,b ¹1,N >0log b a =1log a b log a N =log a b ·log b N四、例题讲解例1、求证更一般的结论：例2、求的值。

浦江高级中学高1年级数学作业班级__________姓名_______________学号__________成绩__________________ 课题：4.4（4）对数概念及其运算 ______年______月_____日1、 试用换底公式证明：log log m n a a n b b m=（其中已知,0a b >，且1,0a m ≠≠）.2、计算：①2lg 2lg 4lg83lg 64lg16+-- ②2311log 5log 2292+- ③2666(log 2)log 3log 12+3、已知3log 2a =，把2log 96写成a 的代数式.4、若8log 9a =，3log 5b =，用,a b 表示lg 2.5、log c x a b abc 已知a,b,c 均大于1，若log x=2,log x=3，log x=12，求.6、20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-. 其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.4.4（4）对数概念及其运算参考答案1、略；2、（1）712- （2）4- （3）1； 3、15aa +；4、232ab +5、43-6、（1）4.3 （2）398。

对数的概念与性质对数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍对数的概念及其性质，帮助读者更好地理解并应用对数。

一、对数的概念对数是指数运算的逆运算。

在数学中，对于任意正实数a和正实数b，如果a^x = b，则称x为以a为底b的对数，记作x=logₐ b。

这里的a 称为对数的底数，b称为真数。

对数运算可以理解为将指数运算的结果转化为一个数值。

二、对数的性质1. 对数的底数不能为0或1：因为0的任何正数次幂都等于0，而1的任何实数次幂都等于1，这样就无法满足对数的逆运算的要求。

2. 对数的底数不能为负数：因为负数的幂在实数范围内没有定义，无法满足对数的逆运算的要求。

3. 对数的底数必须大于0且不等于1：只有在底数大于0且不等于1的情况下，才能保证对数的逆运算存在，这样才有意义。

4. 对数的特殊形式：a) logₐ a = 1：任何数以自身为底的对数都等于1。

b) logₐ 1 = 0：任何底数的对数等于1的幂都等于1，因此对数的真数为1时，对数等于0。

c) logₐ (a×b) = logₐ a + logₐ b：对数运算的运算律之一，在求两个数的乘积的对数时，可以拆分为两个对数的和。

d) logₐ (a/b) = logₐ a - logₐ b：对数运算的运算律之二，在求两个数的商的对数时，可以拆分为两个对数的差。

e) logₐ (a^k) = k × logₐ a：对数运算的运算律之三，在求一个数的幂的对数时，可以将指数提到对数的前面。

三、对数的应用对数在数学和其它领域中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用：1. 指数运算转化：对数的一个重要应用是将指数运算转化为简单的加减运算，方便计算和处理复杂的指数关系。

2. 代数方程求解：对数可以用于求解各种类型的代数方程，特别是指数方程和对数方程。

3. 数据缩放：在数据处理和统计学中，对数可以用于将大范围的数值转化为比较小的范围，方便分析和比较。

对数及其对数运算知识梳理1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．常用对数和自然对数(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log 10N 记为lg N . (2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e ＝2.718 28…为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把log e N 记为ln N . 3．对数与指数的关系当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . 4．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)． (3)log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1). 4．对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M ，(n ∈R )． （4）＝nm log a b（5）log a b ＝1log ba5．换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b >0)．类型一、指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化： (1)2－2＝14； (2)102＝100；(3)e a ＝16；(4)6431＝14；(5)log 39＝2； (6)log x y ＝z . 例2 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)12＋1＝x . 练习1、下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．831＝2与log 82＝13C ．log 24＝2与421＝2 D ．log 33＝1与31＝32、2－3＝18化为对数式为( )A ．log 812＝－3 B ．log 81(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183、已知log 5（log 2x ）＝1，则x ＝（ ） A ．4B ．16C ．32D ．644、有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以10为底的对数叫做常用对数； ④以e 为底的对数叫做自然对数． 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．45、方程2x3log ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9 6、已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m＋n等于( )A ．5B ．7C ．10D ．12 7、若log x 7y ＝z ，则( )A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x 8、求下列各式中的x . (1)log x 27＝32； (2）log 5(log 2x )＝0； (3)x ＝log 2719.类型二、对数的运算例3、（1）求值：2﹣（）﹣2+lg +（）ln 1＝ ．（2）计算lg﹣ln+2的结果是 例4、（1）已知2x ＝5y ＝m ，且，则m 的值为（ ） A ．2B ．C ．D ．（2）已知a ＝log 25，4b ＝9，则2a +b ＝ ，log 53＝ （3）已知：5a ＝3，log 54＝b ，用a ，b 表示log 12536＝答案：例3、-3 例4、（1）B （2）15（3（b +2a ）练习9、2log 6+3log 6＝（ ） A ．1B ．0C ．6D ．log 610、下列等式成立的是（ ）A．log2（8﹣4）＝log28﹣log24B．＝C．log223＝3log22D．log2（8+4）＝log28+log2411、若m＞0，n＞0，a＞0且a≠1，b＞0，则下列等式正确的是（）A．a﹣n＝B．log a m•log a n＝log a（m+n）C．＝mD．（）m＝12、已知3m＝2n＝k且，则k的值为（）A．15B．C．D．6 13、已知，则a+b＝（）A．4B．5C．6D．7 14、若log43＝a，log25＝b，则的值为（）A．B．2a﹣b C．D．15、已知log236＝a，log210＝b，则log215＝．（结果用a，b表示）16、（1）计算3lg2﹣+lg125的结果是．＝．（2）求值：2﹣（）﹣2+lg+（）ln1＝（3）类型三、换底公式的应用例5、若3a＝4b＝12c，且abc≠0，则等于（）A．4B．3C．2D．1例6、已知log43＝p，log325＝q，则lg5＝（）A．B．C．D．答案：D D练习17、已知log23＝a，log38＝b，则ab＝（）A．4B．3C．2D．118、已知log23＝a，试用a表示log912＝．19、若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于_______20、已知b＞a＞1，若log a b﹣log b a＝，a b＝b a，则a﹣b＝．答案：1、C 2、C 3、C 4、C 5、A 6、D 7、B 8、（1）9 （2）2 （3）32-9、A 10、C 11、D 12、C 13、B 14、B 15、22-+b a16、（1）-6 （2）2 17、B 18、a 121+19、a ab -+12 20、-2。

对数的运算法则及公式是什么对数是数学中比较重要的知识点之一，那么对数都有哪些公式呢?下面是由编辑为大家整理的“对数的运算法则及公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN；(n,M,N∈R)；如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。

定义：若an=b(a>0，a≠1)则n=logab。

换底公式logMN=logaM/logaN；换底公式导出：logMN=-logNM。

推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)；loga(b)*logb(a)=1；loge(x)=ln(x)；lg(x)=log10(x)。

拓展阅读：学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

“兴趣是最好的老师”。

做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。

但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。

有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。

如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。

建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。

2、要有端正的学习态度。

首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。

因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。

其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

3、要有“持之以恒”的精神。

要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。

即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。