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北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
八年级不等关系知识点总结关于八年级不等关系的知识点总结
八年级是初中学习中一个重要的环节，也是学生初步接触不等关系的年级。
不等关系能够培养学生善于观察与思考的能力，同时也能够提升学生的逻辑思维和数学技巧。
因此，对于八年级的学生来说，掌握不等关系的知识点是至关重要的。
下面就来总结一下八年级不等关系的重点知识。
一、不等式的基本性质
1.1 传递性质
不等式的传递性是指，若a<b,b<c，则a<c。
1.2 对称性质
不等式的对称性是指，若a<b，则b>a。
1.3 反称性质
不等式的反称性是指，若a<b，则不可能有b<=a。
二、不等式的解法
2.1 联立法
联立法是指，将不等关系联立到一起，通过消元的方法求出不
等式的解。
2.2 分类讨论法
分类讨论法是指，将不等式中的未知数按照大小关系分成几类，分别讨论每一类的解法，最后将结果合并起来。
2.3 取绝对值法
取绝对值法是指，将不等式中的未知数都取绝对值，通过比较
绝对值之间的大小关系来判断不等式的解。
三、不等式的应用
3.1 引理
引理是指，通过不等关系的性质，推导出一些结论，可以用来
简化不等式的求解。
3.2 应用
在生活中，不等关系也有着广泛的应用，如货币兑换、失业率、贷款等方面。
综上所述，不等关系的知识点对于八年级学生来说是至关重要的。
通过深入理解不等关系的基本性质、掌握不等式的解法和应用，可以提升学生的数学思维和问题解决能力。
第01讲不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集(5类热点题型讲练)1.了解不等式的概念；将自然语言转化为符号语言．2.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同.3.掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x>a”或“x<a”的形式.4.理解不等式的解与解集的意义.知识点01不等式的概念一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．特别说明：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：符号读法意义“≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小“＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小“＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大“≤”读作“小于或等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量“≥”读作“大于或等即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量于”(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x ＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．知识点02不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或a b c c<)．特别说明：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．知识点03不等式的解与解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．注意：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中题型01不等式的定义【例题】（2023下·辽宁抚顺·七年级统考期末）下列数学式子：①30-<；②230x y +≥；③1x =；④222x xy y -+；⑤13x +≠；其中是不等式的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】C【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．【详解】解：①30-<，是不等式，符合题意；②230x y +≥，是不等式，符合题意；③1x =，是等式，不符合题意；④222x xy y -+，是多项式，不符合题意；⑤13x +≠，是不等式，符合题意；综上：是不等式的有①②⑤，共3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．【变式训练】1．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列式子：①30-<；②350+>x ；③26x -；④2x =-；⑤0y ≠；⑥220x +≥．其中不等式的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】略2．（2023下·河北保定·八年级统考阶段练习）下列各式：①8x -；②523x -≤；③3x >；④3210x x -+=，不等式的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】运用不等式的定义进行判断．【详解】解：①8x -没有不等号，不是不等式；②523x -≤是不等式；③3x >是不等式；④3210x x -+=是等式；∴不等式的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：>、<、≤、≥、≠．题型02列不等式【详解】解：根据题意得，326x +≥，故答案为：326x +≥．【点睛】本题主要考查运用字母表示数（或数量关系），不等式的概念，掌握其书写规程，数量关系，不等式的概念的知识是解题的关键．【变式训练】题型03不等式的基本性质【例题】（2023上·湖南永州·八年级校考阶段练习）下列判断不正确的是（）A ．若a b >，则44a b -<-B ．若23a a >，则0a <C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b>【答案】C【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．【详解】解：若a b >，则44a b -<-，故选项A 正确；若23a a >，则0a <，故选项B 正确；若a b >，则22(0)ac bc c >≠，故选项C 不正确；若22ac bc >，则a b >，故选项D 正确．故选C ．【变式训练】题型04利用不等式的基本性质解不等式【例题】（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（）A ．不等式28x <-的解集是4x <B ．5x =是不等式28x <-的一个解C ．不等式28x <-的整数解有无数个D ．不等式28x <-的正整数解有4个【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．【详解】解：A 、该不等式的解集为4x <-，故错误，不符合题意；B 、∵258⨯>-，故错误，不符合题意；C 、正确，符合题意；D 、因为该不等式的解集为4x <-，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．【变式训练】1．（2023下·八年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．5是不等式26+>x 的解B ．2是不等式350x ->的解C ．284x -<的解集是6x <D ．3x <的解集就是1、2、3【答案】D【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】解：A 选项，5是不等式26+>x 的解，把5x =代入不等式，不等式成立，故正确；B 选项，2是不等式350x ->的解，把2x =代入不等式，不等式成立，故正确；C 选项，284x -<的解集是6x <，解不等式284x -<得6x <，故正确；D 选项，3x <的解集就是1、2、3，3x =不是不等式的解，故错误．故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．2．（2023下·七年级课时练习）下列说法错误的是（）A ．不等式5100x ->的解是3B ．3是不等式5100x ->的解C ．不等式5100x ->的解集是2x >D ．2x >是不等式5100x ->的解集【答案】A【分析】使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，结合各选项进行判断即可．【详解】解∶A 、3是不等式5100x ->的解，但是不等式5100x ->的解集不是3，故本选项错误，符合题意；B 、3是不等式5100x ->的解，说法正确，故本选项不符合题意；C 、不等式5100x ->的解集是2x >，说法正确，故本选项不符合题意；D 、2x >是不等式5100x ->的解集，说法正确，故本选项不符合题意．故选∶A ．【点睛】本题考查了不等式的解及解集，注意区分不等式的解与解集是解题的关键．题型05不等式的解集【例题】（2023下·河南周口·八年级校联考阶段练习）将下列不等式化成“x a >”或“x a <”的形式：(1)541x x >-；(2)27x --<．【答案】(1)1x >-(2)9x >-【分析】（1）利用不等式的性质求解即可；（2）利用不等式的性质求解即可．【详解】（1）解：两边同时减去4x ，，得54414x x x x ->--，即1x >-；（2）解：两边同时加上2，得9x -<，两边同时乘1-，得9x >-．【点睛】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．【变式训练】一、单选题1．（2023下·山东淄博·七年级统考期末）在下列数学表达式中，不等式的个数是（）①30-<；②430x y +>；③3x =；④5x ≠；⑤23x y +>+．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】由不等号（>，<，≥，≤，≠）连接的式子叫不等式，据此进行判断．【详解】不等式有：①30-<；②430x y +>；④5x ≠；⑤23x y +>+．所以共有4个故选择：C ．【点睛】本题考查来了不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．2．（2021下·全国·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（）A ．x ＝3是不等式2x ＞1的解B ．x ＝3是不等式2x ＞1的唯一解C ．x ＝3不是不等式2x ＞1的解D ．x ＝3是不等式2x ＞1的解集【答案】A【分析】对A 、B 、C 、D 选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．【详解】解：A 、当x ＝3时，2×3＞1，成立，故A 符合题意；B 、当x ＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x ＝4也是不等式的解，故B 不符合题意；C 、当x ＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C 不符合题意；D 、当x ＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x ＞12，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】此题着重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．3．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）下列表示的不等关系中，正确的是（）A ．a 不是负数，表示为0a >B ．m 比3至少多1，表示为31m -≥C ．x 与1的和是非负数，表示为10x +>D ．x 不大于3，表示为3x <【答案】B【分析】由不是负数即为正数或0可判断A ，由至少表示大于或等于可判断B ，由非负数表示正数或0可判断C ，由不大于即小于或等于可判断D ，从而可得答案．【详解】解：a 不是负数，表示为0a ≥，故A 不符合题意；m 比3至少多1，表示为31m -≥，表示正确，故B 符合题意；x 与1的和是非负数，表示为10x +≥，故C 不符合题意；x 不大于3，表示为3x ≤，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查的是根据语句的描述列不等式，理解语句的含义是解本题的关键．4．（2023上·浙江·八年级校考期中）下列不等式的变形正确的是（）A ．由a b <，得ac bc <B ．由ac bc <，得a b <C ．由a b <，得22ac bc <D ．由22ac bc <，得a b<【答案】D【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质，“不等式的性质1：把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变”．【详解】解：A .当0c >时，a b < ，ac bc ∴<，故选项错误，不符合题意；B .当0c >，ac bc < ，a b ∴<，故选项错误，不符合题意；C .当20c >，由a b <，得22ac bc <，故选项错误，不符合题意；D .由22ac bc <，得a b <，故选项正确，符合题意．故选：D ．二、填空题三、解答题9．（2023下·全国·七年级假期作业）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？(1)x=1．(2)x=3．(3)x=10．(4)x=12．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)是【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解．（2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解．解：因为a b >，①所以2017>2017a b --，②所以20171>20171a b -+-+．③问：(1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误；(2)错误的原因是什么？(3)请写出正确的解题过程．【答案】(1)②；(2)错误地运用了不等式的基本性质3(3)见解析【分析】（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误；（2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；（3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；（2）错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；（3）∵a b >，∴20172017a b -<-，∴2017120171a b -+<-+；【点睛】本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键．14．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）（1）如果0a b -<，那么a ______b ；如果0a b -=，那么a ______b ；如果0a b ->，那么a ______b ．（填“<”、“>”或“=”）（2）试用（1）提供的方法比较2327x x -+与2427x x -+的大小．【答案】（1）<，=，>（2）22327427x x x x -+≤-+【分析】（1）分别将b -移项，即可求解；（2）作差：()()22327427x x x x -+--+，判断结果，即可求解．【详解】解：（1） 0a b -<，∴a b <，0a b -=，∴a b =，0a b ->，∴a b >，故答案：<，=，>；（2）由题意得()()22327427x x x x -+--+22327427x x x x =-+-+-2x =-，20Q，x≥20∴-≤，x()()22∴-+--+≤，3274270x x x x22-+≤-+∴．x x x x327427【点睛】本题考查了作差法比较大小，整式加减，掌握比较方法是解题的关键．。
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。
本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。
用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。
1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。
1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。
这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。
2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。
通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。
2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。
等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。
三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。
例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。
3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。
3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。
学生做题前请先回答以下问题问题1：遇到高次不等式求解集的处理方法是什么？问题2：如何把一元二次不等式转化成一元一次不等式（组）？不等关系综合应用（含参不等式、高次不等式）一、单选题(共6道，每道16分)1.若关于的不等式组有解，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）2.若关于的不等式恰好只有三个正整数解，则的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：含参不等式（组）3.已知，为实数，则解集可以为的不等式组是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：不等式的基本性质4.王老师给学生示范了一道题的过程，让学生按照这个思路解决同类型的问题．请你也来参与一下．例题：解一元二次不等式．解：把因式分解，得，又∵，∴，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”得，①或②解不等式组①得，解不等式组②得，∴的解集为或，∴原不等式的解集为或．按照上述解法，则的解集是( )A. B.无解C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：高次不等式5.解一元二次不等式的思路是把一元二次不等式转化为一元一次不等式来解决，那么的解集是( )A.或B.无解C.或D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：高次不等式6.（上接第5题）那么的解集是( )A. B.无解C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：高次不等式学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：高次不等式求范围的题目的本质是什么？。
