高考数学二轮复习 专题限时集训(二十二)分类与整合和化归与转化思想(解析版)

分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的根本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n}的前n项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1.假设一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上截距相等，那么这条直线的方程为()x＋y－7＝0x－5y＝0＋y－7＝0或2x－5y＝0D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0答案C解析设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为2y＝x，即2x－5y5＝0；当a≠0时，设直线方程为x＋y＝1，求得a＝7，那么直线方程为x＋y－7＝0.aa2.Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，那么S5－S4的值为()答案D解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，解得a1＝2.因为S n＝2a n－2，n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，两式相减得a n＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1，那么数列{an}为首项为2，公比为2的等比数列，S5－S4＝a5＝25＝32.3.集合A＝－1，1，B＝{x|mx－1＝0，m∈R}，假设A∩B＝B，那么所有符合条件的实数m组成的集合是()2A.{0，－1，2}B.－1，0，12C.{－1，2}D.－1，0，12答案A解析因为A∩B＝B，所以B?A.假设B为?，那么m＝0；假设B≠?，那么－m－1＝0或1m－1＝0，解得m＝－1或2.综上，m∈{0，－1，2}.应选A.21sinπx2，－1<x<0，4.设函数f(x)＝x－1假设f(1)＋f(a)＝2，那么实数a的所有可能取值的集合是________.e，x≥0.答案2－2，1解析f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1.f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.a≥0时，f(a)＝1＝e a－1，所以a＝1.2当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa)＝1，π所以πa2＝2kπ＋(k∈Z)，2211所以a＝2k＋(k∈Z)，k只能取0，此时a＝.22因为－1<a<0，所以a＝－22.那么实数a的取值集合为－2，1.2二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系.5.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，那么它的体积为()832383A.33 C.93或3答案D解析当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3×1×4＝43；2当长、宽分别为4和6时，体积V＝4×23×1×6＝833323.x≥0，6.变量x，y 满足的不等式组y≥2x，表示的是一个直角三角形围成的平面区域，那么实数k等于kx－y＋1≥0()11或－1A.－2B.22答案Dx≥0，解析不等式组y≥2x，表示的可行域如图阴影局部所示(含边界)，由图可知，假设要使不等式组kx－y＋1≥0 2x≥0，y≥2x，表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足. kx－y＋1≥0结合图形可知斜率k的值为0或－1.27.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，假设曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，那么曲线C的离心率为________.答案1或322解析不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t>0.假设该曲线为椭圆，那么有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，c2c 3t1|F1F2|＝3t＝2c，e＝a＝2a＝6t＝2；假设该曲线为双曲线，那么有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，c2c＝3t3|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝2t ＝.a2a2综上，曲线C的离心率为13或. 228.抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，假设△OPF为等腰三角形，那么这样的点P的个数为________.答案 4解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在.事实上，F(p，0)，假设设P(x，y)，那么|FO|＝p，|FP|＝x －p2＋y2，x－p2＋y2＝p，那么有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，当x＝0时，不构成三角形.当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P有4个.三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等.解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.9.实数a，x，a>0且a≠1，那么“a x>1〞的充要条件为( )A.0<a<1，x<0B.a>1，x>0C.(a－1)x>0D.x≠0答案C3解析x x0由a>1知，a>a，当0<a<1时，x<0；当a>1时，x>0.故“a x>1〞的充要条件为“(a－1)x>0〞.10.假设函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2)，那么实数a的取值范围为()A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.(－∞，0)D.(0，＋∞)答案B解析当a＝0时，f(x)＝4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.22242当a≠0时，函数f(x)＝ax＋4x－3＝ax＋a－3－a，其对称轴为x＝－a.当a>0时，f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.22当a<0时，只有当－a≥2，即－1≤a<0时，f(x)＝ax＋4x－3在[0，2]上为增函数，最大值为f(2)，满足题意.综上，当a≥－1时，函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0，2]上有最大值f(2).应选B.2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，假设存在x0∈R，使得f(x00a的11.设函数f(x)＝x)<0和g(x)<0同时成立，那么实数取值范围为()A.(7，＋∞)B.(－∞，－2)∪(6，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案A解析由f(x)＝x2－ax＋a＋3知，f(0)＝a＋3，f(1)＝4.又存在x0∈R，使得f(x0)<0，所以＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过点(2，0)，故当a>6时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f(x)和g(x)的图象如图2所示.由函数的图象知，当a>6时，假设g(x0)<0，那么x0<2，∴要使f(x0)<0，那么需a>6，解得a>7. f2<0，当a<－2时，假设g(x0)<0，那么x0>2，此时函数f(x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝a<－1，2a，＋∞上为增函数，故函数f(x)在区间2f(1)＝4，∴f(x0)<0不成立.综上，实数 a的取值范围为(7，＋∞).4一、特殊与一般的化一般特殊化，使理得直接、，也可以通一般的特殊情形找到一般思路；特殊一般化，可以使我从宏整体的高度把握的一般律，从而到达成批理的效果；于某些、填空，可以把中化的量用特殊代替，得到答案或者思路 .1.据某超市两种蔬菜A，Bn天价格分a1，a2，a3，⋯，a n和b1，b2，b3，⋯，b n，令M＝{m|a m＜b，m＝1，2，⋯，n}，假设M中元素个数大于3B的价格，作：m n，称蔬菜A在n天的价格低于蔬菜4A＜B，有三种蔬菜A，B，C，以下法正确的选项是()A.假设A＜B，B＜C，A＜CB.假设A＜B，B＜C同不成立，A＜C不成立＜B，B＜A可同不成立D.A＜B，B＜A可同成立答案C解析特例法：例如蔬菜A10天价格分1，2，3，4，⋯，10，蔬菜B10天价格分10，9，⋯，1，A＜B，B＜A同不成立，故C.212.抛物y＝ax(a>0)的焦点F，作一直交抛物于P，Q两点.假设段PF与FQ的度分p，q，p＋1等于()qa1D.4B.2a a答案C2211解析抛物y＝ax(a>0)的准方程x＝a y(a>0)，焦点F0，4a.焦点F作直垂直于y，|PF|＝|QF|＝1，∴1＋1＝4a.2a p q3.函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小－3，数a的取范是()A.(－∞，－1]B.[12，＋∞)C.[－1，12] D.－3，122答案D解析当a＝0，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，然足条件，故排除A，B；a＝－32，函数f(x)＝32x3－92x，929 9 2f′(x)＝x－＝(x－1)，2 2 2当－1≤x≤1，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上减函数，5所以f(x)min＝f(1)＝3－9＝－3，满足条件，故排除 C.22综上，选D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设a，b，c成等差数列，那么cosA＋cosC＝________.1＋cosAcosC答案45解析令a＝b＝c，那么△ABC为等边三角形，且cosA＝cosC＝1，211代入所求式子，得cosA＋cosC＝2＋2＝4.1＋cosAcosC1151＋×22二、命题的等价转化将题目条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化.5.由命题“存在x0∈R，使e|x01|－m≤0〞是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，那么实数a的值是() A.(－∞，1) B.(－∞，2)答案C解析命题“存在x0∈R，使e|x01|－m≤0〞是假命题，|x－1|可知它的否认形式“任意x∈R，e－m>0〞是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.6.如下列图，三棱锥P－ABC，PA＝BC＝2 34，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2 41，那么三棱锥P－ABC的体积为( )答案 C解析因为三棱锥P－ABC的三组对棱两两相等，那么可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如下列图)，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，可知三棱锥 P－ABC的各棱分别是此长方体的面对角线.6不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，x2＋y2＝100，x＝6，那么由，可得x2＋z2＝136，解得y＝8，y2＋z2＝164，z＝10.从而知V P－ABC＝V AEBG－FPDC－V P－AEB－V C－ABG－V B－PDC－V A－FPC＝V AEBG－FPDC－4V P－AEB＝6×8×10－4×166×8×10＝160.7.对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是________________.答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析设f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，那么当x＝1时，f(p)＝0，所以x≠1.f0>0，f(p)在[0，4]上恒为正等价于f4>0，即x－3x－1>0，解得x>3或x<－1.x2－1>0，8.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝1，那么y＋3的取值范围是________.x－14答案3，＋∞解析设k＝y＋3，那么y表示点P(1，－3)和圆(x－2)2＋y2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过Px－1的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB和k PA，其中k PB不存在.由圆心C(2，0)到直线y＝kx－(k＋3)的距离|2k－k＋3|＝r＝1，解得k＝4，所以y＋3的取值范围是4，＋∞.k2＋13x－13三、函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟〞，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.9.函数f(x)＝lgx＋a－2，假设对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0，那么实数a的取值范围是________.x答案(2，＋∞)a2解析根据题意，得x＋x－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a>－x＋3x在[2，＋∞)上恒成立，又当x＝2时，(－x2＋3x)max＝2，所以a>2. 710.(2021江·苏)在平面直角坐标系22→→xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x＋y＝50上，假设PA·PB≤20，那么点P的横坐标的取值范围是________.答案[－52，1]解析方法一因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，所以设P点坐标为(x，±50－x2)(－52≤x≤52).因为A(－12，0)，B(0，6)，→2→2所以PA＝(－12－x，－50－x)或PA＝(－12－x，50－x)，→2→2PB＝(－x，6－50－x)或PB＝(－x，6＋50－x).→→2因为PA·PB≤20，先取P(x，50－x)进行计算，所以(－12－x)·(－x)＋(－50－x2)(6－50－x2)≤20，即2x＋5≤50－x2.2x＋5<0，即x<－52时，上式恒成立.2x＋5≥0，即x≥－5时，(2x＋5)2≤50－x2，2解得－52≤x≤1，故x≤1.同理可得P(x，－ 50－x2)时，x≤－5.又－5 2≤x≤5 2，所以－5 2≤x≤1.故点P的横坐标的取值范围为[－5 2，1].方法二设P(x，y)，→→那么PA＝(－12－x，－y)，PB＝(－x，6－y).→→2∵PA·PB≤20，(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在EDF上.2x＋y＝50，由得F点的横坐标为1，2x－y＋5＝0又D点的横坐标为－52，8∴P点的横坐的取范[－52，1].11.函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的函数.足－1≤a≤1的一切a的，都有g(x)<0，数x的取范________.答案－2，13解析由意知，g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5(－1≤a≤1).－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，3x2－x－2<0，解得－2<x<1.∴23x＋x－8<0，3故当x∈－2，1，足－1≤a≤1的一切a的，都有g(x)<0.31，e2都成立，数a的取范12.函数f(x)＝lnx.假设不等式mf(x)≥a＋x所有m∈[0，1]，x∈e________.答案(－∞，－e2]12解析由意得，a≤mlnx－x所有的m∈[0，1]，x∈e，e都成立，H(m)＝lnx·m－x，m∈[0，1]，x∈1，e2是关于m的一次函数，e 因x∈1e，e2，所以－1≤lnx≤2，lnx·0－x≥a，a≤－x，a≤－e2，所以所以所以令lnx·1－x≥a，a≤lnx－x，a≤lnx－xmin.g(x)＝lnx－x1≤x≤e2，所以g′(x)＝1－x，ex所以函数 g(x)在1，1上是增函数，在[1，e2]上是减函数，e所以g(x)min＝g(e2)＝2－e2，所以a≤2－e2.2上知a≤－e.1.如果a1，a2，⋯，A.a1a8>a4a51＋a8>a4＋a5a8各都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )1a8<a4a51a8＝a4a5答案 B解析取特殊数列 1，2，3，4，5，6，7，8，然只有1×8<4×5成立，即a1a8<a4a5. 92.设函数f(x)＝3x－1，x<1，x那么满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()2，x≥1，22A.3，1B.[0，1]C.3，＋∞D.[1，＋∞)答案C解析由f(f(a))＝2f(a)得f(a)≥1.a<1时，有3a－1≥1，a≥23，∴23≤a<1；当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥23，应选C.22y3.过双曲线x－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，假设|AB|＝4，那么这样的直线l 有( )条条条条答案C解析因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求；2当直线l与实轴垂直时，由3－y＝1，解得y＝2或y＝－2，2所以此时线段AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条.综上可知，有3条直线满足|AB|＝4.n n＝p n－1(p是常数)，那么数列{an)4.数列{a}的前n项和S}是(A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案D解析∵S n＝p n－1，a1＝p－1，a n＝S n－S n－1＝(p－1)p n－1(n≥2)，当p≠1且p≠0时，{a n}是等比数列；当p＝1时，{an}是等差数列；当p＝0时，a1＝－1，a n＝0(n≥2)，此时{a n}既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，那么四面体PQEF的体积()10D.是变量且有最大值是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值是常数答案解析可得棱D点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值.由C1D1∥EF，C1D1?平面EFQ，EF?平面EFQ，C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体 PQEF的体积为常数.x＋y－3≤0，x－y＋1≥0，6.设点P(x，y)满足约束条件x≥1，y≥1，那么y－x的取值范围是( ) x y3，＋∞B.－3，3C.－3，1D.[－1，1]A.2222答案Bx＋y－3≤0，x－y＋1≥0，解析作出不等式组所表示的可行域，如图阴影局部所示(包括边界)，其中A(2，1)，B(1，x≥1，y≥1y，f(t)＝t－1，根据t的几何意义可知，t为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA，OB，2)，令t＝x t显然OA的斜率1最小，OB的斜率2最大，即1≤t≤2.由于函数f(t)＝t－1在1，2上单调递增，故－3≤f(t)≤3，22t222即y－x的取值范围是－3，3 xy22.lnx，x＞0，7.函数f(x)＝m，x<0假设f(x)－f(－x)＝0有四个不同的实根，那么m的取值范围是()x，A.(0，2e)B.(0，e)C.(0，1)D.0，1 e答案D解析假设m≤0，那么f(x)＝f(－x)只可能有2个实根，所以m＞0，若f(x)＝f(－x)有四个实根，根据对称性可知当x＞0时，lnx＝－m有两个实根，即－m＝xlnx有两个实根，设x11y＝xlnx，那么y′＝lnx＋1，令lnx＋1＝0，解得x＝1，当x∈1时，y′<0，函数单调递减，当x＞1时，y′>0，函数单调递增，所e0，e e1时，y＝xlnx有最小值－111以当x＝，即－<－m<0，即0<m<，应选D.e e e e8.函数f(x)＝x(e x－e－x)－cosx的定义域为[－3，3]，那么不等式f(x2＋1)>f(－2)的解集为()A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案C解析因为f(－x)＝－x(e－x－e x)－cos(－x)＝x(e x－e－x)－cosx＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，令g(x)＝x1f(x)＝x(e x xe－e x，易知g(x)在[0，3]上为增函数，令h(x)＝－cosx，易知h(x)在[0，3]上为增函数，故函数－e－x)－cosx在[0，3]上为增函数，所以f(x2＋1)>f(－2)可变形为f(x2＋1)>f(2)，所以2<x2＋1≤3，解得－2≤x< 1或1<x≤2，故不等式f(x2＋1)>f(－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，那么a＋b＝________.答案－32解析当a>1时，函数f(x)＝a x＋b在[－1，0]上为增函数，由题意得a－1＋b＝－1，a0＋b＝0，无解.当0<a<1时，函a－1＋b＝0，13 xa＝，数f(x)＝a＋b在[－1，0]上为减函数，由题意得解得2所以a＋b＝－.a＋b＝－1，b＝－2，210.设F1，F2为椭圆x2＋y2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点.P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，94且|PF1|>|PF2|，那么|PF1|的值为________.|PF2|答案7或22解析假设∠PF2F1＝90°，|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，所以|PF1|＝144，所以|PF1|73，|PF2|＝|PF2|＝.32假设∠F1PF2＝90°，那么|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，22所以|PF1|＋(6－|PF1|)＝20，且|PF1|>|PF2|，|PF1|所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.|PF1|7综上知，＝或2.11.(2021浙·江)向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，那么|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.12答案 4 2 5解析设a，b的夹角为θ，|a|＝1，|b|＝2，∴|a＋b|＋|a－b|＝a＋b2＋a－b2＝5＋4cosθ＋5－4cosθ.y＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，那么y2＝10＋225－16cos2θ.∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0，1]，y2∈[16，20]，y∈[4，25]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4，25].|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是25.22x yF1，F2，假设椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，那么椭圆12.椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的两个焦点分别为C离心率的取值范围是______________.答案3，12解析当点P在短轴端点时，∠F1PF2到达最大值，即∠F1BF2≥120°时，椭圆上存在点P使得∠F1PF2＝120°，当∠F1BF2＝120°时，e＝c＝sin60＝°3，a2而椭圆越扁，∠F1BF2才可能越大，椭圆越扁，那么其离心率越接近1，所以椭圆C离心率的取值范围是3，1.213。

分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一 分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3，则数列{a n }的通项a n ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1， 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ， 解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高 由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等. [应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)已知m ∈R ，则函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________.解析(1)原不等式可转化为⎩⎨⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2，或⎩⎨⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞).(2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数f (x )＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，f (x )是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，f (x )max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，f (x )max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数f (x )的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m＜0，所以函数f (x )在[0，1]上是减函数，于是f (x )max ＝f (0)＝m . 由①，②可知，这个函数的最大值为f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)(2)f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高 由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. [应用3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想[应用1] 换元法【例2－1】已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝|a|2≤1－a2，解得a2≤23，所以a的最大值为63.答案6 3探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.[应用2] 特殊与一般的转化【例2－2】已知f(x)＝33x＋3，则f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.解析f(x)＋f(1－x)＝33x＋3＋331－x＋3＝33x＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x＋3＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，…，∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝2 016.答案 2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.[应用3] 常量与变量的转化【例2－3】 对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.解析 对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎨⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12， 即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 探究提高 在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高 否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________.解析 当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________. 解析 求k ＝－sin 2x －cos x 的值域. k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，14.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －15.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，则a的最大值为________.解析 原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4， 故a 的最大值是4. 答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________. 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ， ∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →，∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3. 答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析 若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72.答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________.解析 依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ， f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎨⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎨⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎨⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， 所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列， 设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ， 所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n ＞5时，a n ＜0； 当n ＝5时，a n ＝0； 当n ＜5时，a n ＞0. 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 则T n ＝n （8＋10－2n ）2＝9n －n 2.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40， 当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）.10.已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R)，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ).(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a（x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0， 故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎨⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减； 由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)， 所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形， 所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ， 则l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)， 所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时， 不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。

第24讲 分类与整合思想、转化与化归思想思想诠释分类与整合思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的答案．实质上分类与整合就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想． 思想应用应用一 由概念、性质、运算引起的分类与整合[典例1] 已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32数学概念运算公式中常见的分类1．由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类讨论；2．由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；3．由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论． [应用体验]1．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________．解析：当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1（1－q 3）1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎨⎧a 1q 2＝32，①a 1（1＋q ＋q 2）＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.答案：32或6应用二 由图形位置或形状引起的分类与整合[典例2] 若双曲线x 23－m ＋y 2m －1＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，则m 的值为( )A ．－1B ．13C.113D ．－1或13解析：选B.根据题意可分以下两种情况讨论：①当焦点在x 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＞0，m －1＜0，解得m ＜1，此时渐近线方程为y ＝±1－m3－mx ， 由题意1－m 3－m＝12，解得m ＝13. ②当焦点在y 轴上时，则有⎩⎪⎨⎪⎧3－m ＜0，m －1＞0，解得m ＞3，此时渐近线方程为y ＝±m －1m －3x ， 由题意m －1m －3＝12，解得：m ＝13；与m ＞3矛盾(舍去)． 综合以上可知m ＝13.故选B.图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论． [应用体验]2．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋2y ≤4，x －2y ≤2，如果目标函数z ＝x ＋ay 的最大值为163，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．143C ．3或143D ．3或－113解析：选D.先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为y ＝－1a x ＋1a z ，目标函数z＝x ＋ay 的最大值只需直线的截距最大，当a ＞0时，－1a＜0，①若－12＜－1a ＜0，即a ＞2，最优解为A ⎝⎛⎭⎫43，43， z ＝43＋43a ＝163，a ＝3，符合题意； ②若－1a ＜－12，即0＜a ＜2，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；当a ＜0时，－1a＞0，③若0＜－1a ＜1，即a ＜－1，最优解为C (－2，－2)，z ＝－2－2a ＝163，a ＝－113，符合题意；④若－1a ＞1，即－1＜a ＜0，最优解为B ⎝⎛⎭⎫3，12， z ＝3＋12a ＝163，a ＝143，不符合题意舍去；综上可知实数a 的值为3或－113.故选D.应用三 由变量或参数引起的分类与整合[典例3] 设函数f (x )＝x 3－ax －b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R .求f (x )的单调区间． 解：由f (x )＝x 3－ax －b ，可得f ′(x )＝3x 2－a . 下面分两种情况：①当a ≤0时，f ′(x )＝3x 2－a ≥0恒成立． 所以f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝3a 3或x ＝－3a 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：几种常见的由参数变化引起的分类与整合1．含有参数的不等式的求解． 2．含有参数的方程的求解．3．对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问题． 4．二元二次方程表示曲线类型的判定等． 5．直线与圆锥曲线位置关系的分类． [应用体验]3．函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝0时，f (x )＝4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a⎝⎛⎭⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a.当a ＞0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意． 当a ＜0时，只有当－2a ≥2，即－1≤a ＜0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在x ∈[0，2]上有最大值f (2)． 答案：[－1，＋∞)思想诠释转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题． 思想应用应用四 特殊与一般的转化[典例4] 已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[12，＋∞)C ．[－1，12]D ．⎣⎡⎦⎤－32，12 解析：当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1，1]，显然满足条件，故排除选项A ，B ； 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.答案：D常用的“特殊元素”有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，在题设条件都成立的情况下，用特殊值探求正确选项，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律；对于填空题，当结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以用特殊值代替变化的不定量． [应用体验]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________．解析：令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形， 且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.答案：45应用五 正与反的转化[典例5] 若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________． 解析：g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数， 则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立， 或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立，∴m ＋4≥2t －3t ，t ∈[1，2]恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x －3x ，当x ∈(t ，3)时恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－373，－5. 答案：⎝⎛⎭⎫－373，－51．本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．2．题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中． [应用体验]5．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．1D ．2解析：选C.命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m ＞0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.应用六 主与次的转化[典例6] 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________． 解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化) 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ（1）＜0，φ（－1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0. 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就象“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围． [应用体验]6．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．解析：设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒为正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，f （4）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）（x －1）＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)限时规范训练(二十四)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共6小题，每题5分，共30分)． 1．“(m －1)(a －1)＞0”是“log a m ＞0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B.(m －1)(a －1)＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，a ＜1，而log a m ＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，0＜a ＜1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m ＞0.2．若关于x 的不等式(a －2)x 2＋2(a －2)·x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2，2] C ．(－2，2]D ．(－∞，－2)解析：选C.当a －2＝0即a ＝2时，不等式为－4＜0，恒成立，所以a ＝2；当a －2≠0时，则a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＜0，解得－2＜a ＜2，所以a 的取值范围是{a |－2＜a ≤2}．3．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则该双曲线的离心率为( ) A.54 B ．53C.54或53D ．35或45解析：选C.当焦点在x 轴上时，b a ＝34，此时离心率e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，a b ＝34，此时离心率e ＝c a ＝53，故选C.4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B ．2 23C.33D ．2 33解析：选B.由x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x ， 所以x ＋y ＝x ＋13⎝⎛⎭⎫1x －x ＝2x 3＋13x ≥2 23⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．过抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点．若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a解析：选C.抛物线y ＝ax 2(a ＞0)的标准方程为x 2＝1a y (a ＞0)，焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14a . 过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a， ∴1p ＋1q＝4a . 6．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值为( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．2 2 解析：选A.由P A →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝PO →2＋PO →·(OA →＋OB →)＋OA →·OB →＝PO →2－r 2，即为d 2－r 2，其中d 为点P 与圆心O 之间的距离，r 为圆的半径，因此当d 取最小值时，P A →·PB →取值最小，可知d 的最小值为|1－0＋1|2＝2，故P A →·PB →的最小值为1，故选A.二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1.当a ≥0时，f (a )＝1＝e a －1，所以a ＝1. 当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )． 所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1＜a ＜0，所以a ＝－22.故a ＝1或－22. 答案：1或－228．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝________．解析：当k ＝0时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图①(阴影部分)所示，由图②可知，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x＝0或y ＝2x 垂直时平面区域才是直角三角形．结合图形可知斜率k 的值为0或－12.答案：0或－12三、解答题(本题共2小题，每小题12分，共24分)9．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)因为c ＝2，C ＝π3，所以由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝ 3，所以ab ＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)因为sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， 所以sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝2 33，b ＝4 33，所以b 2＝a 2＋c 2，因为C ＝π3，所以A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.10．设a ＞0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )．(1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)由已知，得x ＞0， f ′(x )＝x －(a ＋1)＋ax，又因为y ＝f (x )在(2，f (2))处切线的斜率为1， 所以f ′(2)＝1，即2－(a ＋1)＋a2＝1，所以a ＝0，此时f (2)＝2－2＝0， 故所求的切线方程为y ＝x －2.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－（a ＋1）x ＋ax＝（x －1）（x －a ）x.①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(a ，1)，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (a )＝－12a 2＋a ln a ，极小值是f (1)＝－12.②当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x ≥0，所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．③当a ＞1时，若x ∈(0，1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－12a 2＋a ln a .综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－12a 2＋a ln a ，极小值是－12；当a ＝1时，f (x )没有极值；当a ＞1时，f (x )的极大值是－12，极小值是－12a 2＋a ln a .。

专题限时集训二十[第20讲分类与整合思想和化归与转化思想]时间：45分钟1．若函数f＝错误!的定义域为R，则实数m的取值范围是A．－∞，＋∞2．抛物线2＝4上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为A．2 B．3C．4 D．53．已知平面内的向量错误!错误a错误0时，分母为3，定义域为R；当m≠0时，由题意m2＋4m＋3≠0对任意∈R恒成立，∴Δ<0，∴0<m<错误!，综上0≤m<错误!，故正确选项为D2．D [解析] 点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，即4－－1＝53．B[解析] 如图，以O为原点，错误!错误!错误!a2a2a2a2a22a a＝L9＝54－9a②当错误!≤a≤5时，9≤6＋错误!a<11，此时L ma＝L错误!＝4错误!错误!所以，当3≤a<错误!时，每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Qa＝54－9a；当错误!≤a≤5时，每件售价为6＋错误!a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Qa ＝4错误!错误!14．解：1由|a＋b|＝|a－b|知a⊥b，所以a·b＝，－2·，＋2＝0，得2＋2－4＝0，即2＋2＝4当＝0时，方程表示两条与轴平行的直线；当＝1时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；当0＜＜1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当＞1时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当＜0时，方程表示焦点在轴上的双曲线．2由1知，轨迹T是椭圆错误!＋错误!＝1，则F1，F2为椭圆的两焦点．由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝4，联立|PF1|－|PF2|＝1，解得|PF1|＝错误!，|PF2|＝错误!，又|F1F2|＝2，有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，∴PF2⊥F1F2，∴P的纵坐标为1，把＝1代入错误!＋错误!＝1，得＝错误!或＝－错误!舍去，∴P错误!设存在满足条件的圆，则PF2⊥QF2，设Q，t，则错误!＝错误!，错误!＝－，1－t，∴错误!·错误!＝0，即错误!＋0×错误!＝0，∴＝＋错误!＝1，∴t＝±2，∴Q0，2或Q0，－2．∴存在满足条件的圆G，其方程为错误!错误!＋错误!错误!＝错误!或错误!错误!＋错误! \u122＝错误!。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 分类与整合思想、化归与转化思想一、选择题1．过点P (2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．3x －2y ＝0 B ．x ＋y －5＝0C ．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0D ．不能确定【解析】 当截距为零时，得直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为零时，设直线方程为x ＋y ＝a ，代入P (2,3)，得a ＝5，故其方程为x ＋y －5＝0，故选C.【答案】 C2．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.89 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 【解析】 当6为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为43，所以V ＝6×34⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝83 3.当4为正三棱柱的侧棱时，则底面边长为2，所以V ＝4×34×22＝43，故选D. 【答案】 D3．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞]上是增函数，则a 的值为( )A.13B.14C.23D ．1 【解析】 g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则1－4m >0，所以m <14.若a >1，则函数f (x )＝a x 单调递增，此时有a 2＝4，a ＝2，m ＝a －1＝1a ＝12，此时不成立，所以a ＝2不成立．若0<a <1，则函数y ＝a x 单调递减，此时有a －1＝4，a ＝14，m ＝a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝116，此时成立，所以a ＝14.【答案】 B4．(2014·安徽高考)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1【解析】 结合图象及目标函数最优解不唯一可知，直线y ＝ax ＋z ，一定和直线x ＋y －2＝0或直线2x －y ＋2＝0平行，故a ＝－1或a ＝2.【答案】 D5．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5.点D 是边BC 上的动点，AD →＝xAB →＋yAC →，当xy 取最大值时，|AD →|的值为( )A ．4B ．3 C.52 D.125【解析】 ∵|AB |＝3，|AC |＝4，|BC |＝5，∴△ABC 为直角三角形．如图建立平面直角坐标系，A (0,0)，B (3,0)，C (4,4)， 设D (a ，b )， 由AD →＝xAB →＋yAC →， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3x ，b ＝4y ， ∴xy ＝ab12.又∵D 在直线l BC ：x 3＋y4＝1上，∴a 3＋b 4＝1，则a 3＋b 4≥2 ab12. ∴ab 12≤14，即xy ≤14， 此时a ＝32，b ＝2，|AD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 【答案】 C二、填空题6．(2014·辽宁高考)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为________．【解析】 要使|2a ＋b |最大，则必须a ，b 同号，因为4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋6ab ＝(2a ＋b )2≤c＋3(2a ＋b 2)2，故有(2a ＋b )2≤4c ，c ≥2a ＋b 24，当且仅当2a ＝b 时取等号，此时c ＝b 2，所以1a ＋2b ＋4c ＝4b ＋4b 2＝4(1b ＋12)2－1≥－1，故1a ＋2b ＋4c 的最小值为－1. 【答案】 －17．(2014·北京东城区质检)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.【解析】 圆C 2的圆心到直线l 的距离为|0－－4|12＋－12＝22>2，此时直线l 与圆C 2相离．根据新定义可知，曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为22－2＝2，对函数y ＝x 2＋a 求导得y ′＝2x ，令y ′＝1⇒2x ＝1⇒x ＝12，故曲线C 1在x ＝12处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋a ＝x －12，即x －y ＋a －14＝0，∴2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －142，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＝2，∴a ＝94或－74(舍去)．【答案】 948．(2014·福建厦门质检)已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x2－2ax －3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g (x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0a ≥2，或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a ∈∅或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13三、解答题9．(2014·安徽江南十校)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)试比较T n 与nS n 的大小．【解】 (1)证明 由a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12，由S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n 得S n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1(n ≥2)，于是a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －1＋1a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1a n(n ≥2)，整理得a n n ＝12×a n －1n －1(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项及公比均为12的等比数列．(2)由(1)知a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即a n ＝n 2n ，代入已知得S n ＝2－n ＋22n ，令数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋22n 的前n 项和为A n ，则A n ＝32＋422＋523＋…＋n ＋22n ，由错位相减法得A n ＝4－n ＋42n ，所以数列{S n }的前n 项和T n ＝2n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋42n ＝2n ＋n ＋42n －4.(3)由S n ＝2－n ＋22n 得S n ＋1－S n ＝n ＋22n －n ＋32n ＋1＝n ＋12n ＋1>0知数列{S n }为递增数列，所以当n ＝1时，T 1＝S 1；当n ≥2时，T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋S n ＋…＋S n ＝nS n .10．(2014·天津高考)已知函数f (x )＝x 2－23ax 3(a ＞0)，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1.求a 的取值范围．【解】 (1)由已知，有f ′(x )＝2x －2ax 2(a ＞0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0，1a)1a(1a，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )↘13a2所以，f (x )的单调递增区间是(0，a )；单调递区间是(－∞，0)，(a，＋∞)．当x ＝0时，f (x )有极小值，且极小值f (0)＝0；当x ＝1a 时，f (x )有极大值，且极大值f (1a)＝13a2. (2)由f (0)＝f (32a )＝0及(1)知，当x ∈(0，32a)时，f (x )＞0；当x ∈(32a，＋∞)时，f (x )＜0.设集合A ＝{f (x )|x ∈(2，＋∞)}，集合B ＝{1f x|x ∈(1，＋∞)，f (x )≠0}．则“对于任意的x 1∈(2，＋∞)，都存在x 2∈(1，＋∞)，使得f (x 1)·f (x 2)＝1”等价于A ⊆B .显然，0∉B .下面分三种情况讨论：①当32a ＞2，即0＜a ＜34时，由f (32a)＝0可知，0∈A ，而0∉B ，所以A 不是B 的子集．②当1≤32a ≤2，即34≤a ≤32时，有f (2)≤0，且此时f (x )在(2，＋∞)上单调递减，故A＝(－∞，f (2))，因而A ⊆(－∞，0)；由f (1)≥0，有f (x )在(1，＋∞)上的取值范围包含(－∞，0)，则(－∞，0)⊆B .所以A ⊆B .③当32a ＜1，即a ＞32时，有f (1)＜0，且此时f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故B ＝(1f 1，0)，A ＝(－∞，f (2))， 所以A 不是B 的子集．综上，a 的取值范围是[34，32]．。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅． 【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，4a －2，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。

【专题十】化归思想【考情分析】化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.【知识交汇】化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。

从而求得原问题的解决。

化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。

它的基本形式有：①化未知为已知；②化难为易，化繁为简；③化高维为低维；④化抽象为具体；⑤化非规范性问题为规范性问题；⑥化数为形，化形为数；；⑦化曲为直；⑧化实际问题为数学问题；⑨化综合为单一；⑩化一般为特殊等。

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。

有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。

”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。

”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。

化归思想是指问题之间的相互转化。

前苏联著名数学家C.A.雅诺夫斯卡娅，有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了《什么叫解题》的演讲，她的答案显得惊人地简单，完全出乎人的意料：“解题就是把题归结为已经解决过的问题”，这句话实际上就是体现了化归思想。

专题限时集训二十二[第22讲分类与整合和化归与转化思想]时间：45分钟1．已知in错误!＝错误!，则co错误!＝C．－错误! D．－错误!2．已知tan错误!＝3，则tanα的值为B．－错误! D．－错误!3．若偶函数f在－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是A．f错误!错误的的取值范围是A．－∞，0 B．0，＋∞C．og a2，0 D．og a2，＋∞9．设，满足约束条件错误!则错误!的最大值为________．图22－110．如图22－1，圆台上底面半径为1，下底面半径为4，母线AB＝18；从AB的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，则绳子的最短长度为________．11．已知函数f＝n－a＋错误!00恒成立，只要解不等式t2－3t＋3错误!当0错误!－1时，f′的单调递减区间是0，1，错误!－1，＋∞，单调递增区间是1，错误!－12若a＝错误!，则1＝2，此时f′≤0恒成立，且仅在＝1处等于零，故此时函数f在0，＋∞上单调递减．3若错误!1时，f′的单调递减区间是0，错误!－1，1，＋∞，单调递增区间是错误!－1，1综上所述：当0<a<错误!时，函数f的单调递减区间是0，1，错误!－1，＋∞，单调递增区间是1，错误!－1；当a＝错误!时，函数f的单调递减区间是0，＋∞；当错误!<a<1时，函数f的单调递减区间是0，错误!－1，1，＋∞，单调递增区间是错误!－1，1 12．解：1甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元．都付2元的概率为2a a②当错误!<a≤5时，9<6＋错误!a<11，此时L ma＝L错误!＝4错误!错误!所以，当3≤a≤错误!时，每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，当错误!<a≤5时，每件售价为6＋错误!a元时，分公司一年的利润L最大，最大值为Qa＝错误!。