第六章 数学中蕴涵的美学思想

关于数学美学观点的思考
数学美学是一种利用数学原理，并结合现代艺术理念来表达艺术美的一种艺术形式。

它的出现是为了让主流艺术表现得更加优雅，同时更加贴近其本质，实现艺术的完美体现。

从数学的角度来解读数学美学会给人的感受则是非常的舒适和有序，这也恰恰是艺术形式
的最终要求。

数学是一种自然的物理规律，以流线型的视觉美学来反映这种普遍性。

数学美学就是
利用这种特质来表现物体在空间上的位置，这种表达方式更加直观容易理解。

比如一幅
抽象绘画，它以抽象的形式进行描绘，但看过之后第一反应就是一种深层的注重美的感受，我们就是通过它这种直观的数学表达来把一个空间映射到另一个空间，也就是说我们通过
它来进行精确的表达，而不是仅仅把形状放大小。

数学美学可以说是一种原则性思维方式。

它克服了传统抽象艺术的枯燥晦涩，它以一
种规律性视觉体系来表述，在抽象艺术中起到统一它们的作用，给出了一种基本的思维方向。

此外，这种表达方式也为艺术家提供了一种新的创作思路，因此也在很大程度上提高
了艺术的创作水平。

最后，我想指出的是数学美学是一种表达艺术的新形式，通过它，我们可以挖掘出新
的艺术价值，从而提高艺术的审美标准。

数学美学也将艺术与科学融合在一起，使艺术充
满了活力，给人们带去了无穷的想象空间。

论数学中的美学意味摘要：数学是一门既美又真的科学，发现数学之美，势必为数学研究和数学教学提供一条切实可行的捷径。

数学美作为科学美的重要方面，就是对自然界中客观存在的秩序与规律从数与形的角度给予反映和揭示。

数学蕴涵着丰富的美，在研究和教学实践中，不断地寻找数学美，是做好研究和教学工作的一条重要而有效的路径。

关键词：数学美；对称性；简洁性；奇特性中图分类号：o1-0文献标识码：a 文章编号：1009-0118（2011）-01-0-02“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美”。

“数学能促进人们对美的特性——数值、比例、秩序等的认识”。

数学知识的审美教育主要是通过教学使学生感受数学知识的内在美，培养和提高学生的审美能力，培养学生对数学知识美的认识，通过学生的”内化”，逐步迁移为对数学知识的热爱和追求，从而激发学生对数学的学习兴趣，开发学生的智力，从而达到育人的目的。

一、数学美的对称性“对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连”。

对称是数学们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。

数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。

数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。

数学形式和结构的对称性、数学命题关系中的对偶性、数学方法中的对偶原理方法都是对称美的自然表现。

毕达哥拉斯说：“一切立体图形中，最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形”因为这两种形体在各个方向上都是对称的。

此外，有轴对称美，如等腰三角形、矩形；中心对称美，如平行四边形、圆等；形式上对称美，如正（+）与负（-）、加法与减法、乘法与除法、正比与反比等；梯形的面积公式：ｓ＝，等差数列的前ｎ项和公式：，其中ａ是上底边长，ｂ是下底边长，其中ａ１是首项，ａｎ是第ｎ项，这两个等式中，ａ与ａ１是对称的，ｂ与ａｎ是对称的，h与n是对称的。

数学美学知识点总结数学美学是一门关于数学和美学之间关系的学科，它研究数学的美感和审美价值。

数学美学不仅涉及数学的美感和美学，也涉及到数学在其他学科领域的美感和审美属性。

数学美学的研究对象不仅仅是数学本身，而是数学的各个分支以及数学与其他学科之间的联系。

1. 数学与美学的关系数学与美学有着密切的关系，数学本身就具有一定的美感和审美价值。

数学中的公式、图形、定理等都体现了一定的美感和优美性。

例如，黄金分割比、费马大定理等都展现了数学的美感和优美性。

而且，数学在自然界和人类社会中的广泛应用，也使得它的美学价值更为突出。

比如，黄金分割比在建筑、艺术中的应用，都展现了数学的美感和美学。

2. 数学中的美学元素数学中的美学元素主要包括对称、规律、简洁、优美等。

对称在数学中有着重要的地位，它体现了数学的美感和美学。

例如，对称图形、对称函数等都展现了数学中的美感。

规律也是数学美学的重要元素，数学中的各种规律和定律都体现了数学的美学。

简洁和优美也是数学中的美学元素，数学中的一些定理和公式因其简洁和优美而被人们所喜爱。

3. 数学与自然之美数学与自然之间也存在着密切的关系，数学可以描述自然界中的各种现象和规律。

自然界中的各种美丽景观和规律也都可以用数学来解释和描述。

例如，菲波那契数列描述了许多植物的生长规律，黄金分割比在自然界中也有着广泛的应用。

数学可以帮助人们更好地理解自然界中的美丽规律，同时也能够帮助人们更好地欣赏自然之美。

4. 数学的应用美学数学在各个领域的应用中也展现了其美学价值。

数学在建筑、艺术、音乐等领域中的应用，都突显了数学的美感和审美价值。

建筑中的对称美、黄金分割比等都体现了数学的美学价值。

音乐中的和谐音程、音乐结构等也体现了数学的美学价值。

数学在艺术中的应用更是发挥了其美学价值，数学家们通过数学的手段创作出了许多美妙的作品。

5. 数学与教育美学数学在教育中也有着重要的美学价值。

数学教育不仅仅是为了传授数学知识，更重要的是培养学生的数学美感和审美能力。

数学像的数学美学在数学的世界里，有一种美，它并非来自外在的事物，而是内在的结构和规律。

这种美被称为数学美学，它是一门独特的学科，旨在研究数学中的美感和美学价值。

数学美学探索着数学中的对称、比例、形状、色彩和其他美学元素，将它们与人类的审美价值联系起来。

数学美学的历史可以追溯到古希腊时代的毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派认为世界的一切都是以数字和比例为基础的，他们将这种美学应用于音乐和几何学中。

例如，在音乐中，毕达哥拉斯学派发现音符之间的比例关系可以产生和谐的声音。

在几何学中，他们研究了黄金分割和五角星的比例关系，发现它们具有美学上的吸引力。

数学美学的核心概念是对称。

对称是指物体或图形的一部分可以通过一个中心或轴对称的方式与另一部分相对应。

例如，蝴蝶的翅膀具有完美的对称性，乌鸦的羽毛也具有镜像对称性。

在数学中，对称被广泛应用于几何学和代数学中，用来研究各种图形和方程的结构。

另一个重要的美学概念是比例。

比例是指物体或图形的各个部分之间的大小和数量的关系。

在艺术中，艺术家经常使用比例来创造出具有平衡美感的作品。

在数学中，比例在黄金分割和斐波那契数列等方面起着重要作用。

黄金分割是一个无限不循环的小数，它的近似值为1.618，这个比例在艺术和建筑中被广泛应用。

形状也是数学美学的一个重要组成部分。

不同形状的组合可以创造出各种各样的美学效果。

例如，正方形和圆形被认为是最具吸引力的形状之一，它们的简洁和对称性使它们成为艺术和设计中常见的元素。

数学家通过研究图形和拓扑学来探索各种形状之间的关系，从而揭示出数学中的美学价值。

色彩也是数学美学中的一个重要元素。

色彩可以通过光的频率和波长来表示，它们与数学中的函数和曲线密切相关。

数学家使用函数图像和曲线来表示不同颜色的变化和分布，这使得数学美学与色彩的研究紧密相连。

总的来说，数学美学是一门独特而有趣的学科，它探索数学中的美感和美学价值。

通过对对称、比例、形状和色彩等美学元素的研究，数学美学将数学与艺术、设计和其他领域的美学价值联系起来。

数学的美学与艺术从一到无穷大的数学美学数学是一门既具有冷静理性又蕴含着无限美感的学科。

它是一种思维方式，通过逻辑推理和抽象思维来揭示自然界中的规律和秘密。

在数学的世界里，我们可以探索到无穷大的数学美学。

本文将从数学的美学和艺术的角度出发，探讨从一到无穷大的数学之美。

一、数学的美学在日常生活中，数学被认为是一门枯燥无味的学科，但实际上，数学是一门充满美感的学科。

数学的美学表现在它那无可比拟的逻辑思维和严密的推理过程中。

数学家们用独特的语言和符号来交流和表达，这种简洁而精确的表达方式使得数学犹如一门优美的语言艺术。

另外，数学中的一些定理和公式也体现了数学的美感。

比如，欧拉公式e^πi+1=0，集合论中的康托定理和康托集合等。

这些定理和公式虽然看上去很抽象，但它们却具有深邃的美感，让人们感受到数学的博大精深和美妙独特。

二、从一到无穷大的数学美学数学中有很多涉及从一到无穷大的概念和问题，这些问题揭示了数学的深厚内涵和无限魅力。

1. 无限的奇偶性首先，我们可以探讨自然数中的奇偶性。

奇数和偶数在数学上具有独特的性质和表达方式。

奇数可以用2n+1来表示，其中n为整数；而偶数可以用2n来表示。

无限的奇数和偶数组成了自然数集，这种无限性让人不禁思考自然数的无穷性和无限的可能性。

2. 无穷的小数其次，我们可以思考无穷的小数。

小数是数学中一种特殊的数字形式，它既可以是有限的，也可以是无限的。

无穷的小数又可以分为循环小数和无理数两种形式。

循环小数如1/3=0.3333...，它的循环部分会无限重复；而无理数如π=3.1415926...，它的小数部分永远不会重复。

无穷的小数让人感受到数学的深远和神秘之处。

3. 无限级数最后，我们可以探索无限级数的美学。

无限级数是一种特殊的数学序列，它通过对无穷多个数进行求和而得到一个结果。

例如，著名的等比级数1+1/2+1/4+1/8+... ，它的和可以通过求导等方法得到一个具体值2。

数学中的美学原理及其应用导言数学是一门既实用又美丽的学科，它不仅包含了众多的定理和公式，还蕴含着一些美学原理。

这些美学原理不仅令数学更加美感十足，还在实际生活中产生着广泛的应用。

本文将介绍数学中的美学原理及其应用。

斐波那契数列及黄金分割•斐波那契数列：斐波那契数列是指从第3项开始，每一项都是前两项的和。

例如，1、1、2、3、5、8、13、21…就是斐波那契数列。

•黄金分割：黄金分割是指将一段线段分割为两部分时，较长部分与整段之和的比等于较短部分与较长部分之比。

斐波那契数列与黄金分割在数学中有着紧密的联系。

斐波那契数列的比值，即后一项与前一项的比，会趋近于黄金分割的值0.618。

这种现象让人感到数学的美与神奇。

正四面体与立方体•正四面体：正四面体是一种四个全等的三角形组成的多面体。

它有着对称美和稳定性，因此被广泛应用于建筑和美术设计中。

•立方体：立方体是一种六个相等的正方形组成的多面体。

它具有对称性和稳定性，因此也被广泛应用于建筑和工程设计中。

正四面体和立方体的美学原理是对称与稳定性。

这两种多面体在建筑设计和艺术创作中被广泛运用，给人们带来视觉上的愉悦和稳定感。

无穷大与无穷小•无穷大：在数学中，无穷大是指一个数比其他所有数都要大，记作∞。

它常常用于表示极限的概念。

•无穷小：无穷小是指一个数比其他所有数都要小，并且趋近于零。

无穷大和无穷小是数学中的重要概念，给数学带来了一种深邃和无限的美感。

无穷大和无穷小的性质在微积分和数理逻辑中有重要的应用。

对称与平衡•对称：对称是指两个部分在某个轴线（对称轴）上彼此镜像对称。

•平衡：平衡是指在某个中心点两侧的物体或力的分布均匀，使整体处于稳定的状态。

对称与平衡是数学中常见的美学原理，它们在几何学和物理学中广泛应用。

对称和平衡使作品更加美观，并且具有稳定性。

拓扑学与形状变化•拓扑学：拓扑学是一门研究空间形状特性的学科，主要关注于形状的不变性质。

•形状变化：形状变化是指通过拉伸、压缩、扭曲等操作改变物体的形状。

数学中的美学思想是指在数学研究和数学教学中，人们对于数学的美感和趣味性的关注。

数学的美学思想认为，数学不仅是一门研究规律和抽象概念的科学，而且也是一门充满美感和趣味性的艺术。

在数学的研究过程中，人们可以体验到解决问题的乐趣，并发现数学中蕴含的美感。

数学的美学思想还认为，数学教学应该注重培养学生对于数学的兴趣和热爱，而不仅仅是传授知识。

在数学教学中，应该让学生体验到数学的趣味性和美感，从而培养学生对于数学的兴趣和热爱。

在实际的数学教学中，可以采用多种方式来培养学生对于数学的兴趣和热爱。

比如，可以通过提供各种有趣的数学游戏和活动，让学生在娱乐的同时，也能够学习数学知识；可以通过让学生参与各种数学竞赛和比赛，让他们在竞争的氛围中体验到数学的乐趣；还可以通过使用多媒体资源，让学生在观看有趣的动画和视频的同时，也能够学习数学知识。

通过这些方式，可以有效地培养学生对于数学的兴趣和热爱。

数学中的美学方法嘿，咱今儿就来聊聊这数学中的美学方法。

你说数学，那可不只是一堆冷冰冰的数字和公式呀，它里面藏着好多让人惊叹的美呢！你看那几何图形，圆圆的、方方的、三角的，多有意思呀！就说那圆吧，完美的曲线，没有一点儿棱角，多顺滑呀！这不就是一种美吗？还有那些对称的图形，两边一模一样，就像照镜子似的，多神奇呀！再说说那些数学规律，哇，一旦你发现了它们，就好像找到了宝藏一样兴奋。

比如说等差数列，后一个数比前一个数就多那么一个固定的值，这多有秩序呀！还有那些函数图像，有的像波浪一样起伏，有的像直线一样笔直，这不就跟咱们生活中的各种场景似的嘛。

就好比音乐，那节奏的变化不也像是一种数学规律嘛。

强拍弱拍的交替，音符时长的不同，组合起来就是美妙的旋律。

数学和音乐，这俩看似不搭边的东西，其实有着千丝万缕的联系呢。

还有建筑呀，那些伟大的建筑可不只是好看，里面也蕴含着好多数学的美学方法呢。

那比例、那结构，都是经过精心计算的呀。

不然怎么能那么稳固，那么让人赏心悦目呢。

想想看，要是没有数学，咱们的世界得变成啥样？乱七八糟的吧！数学就像是一个神奇的魔法师，把一切都变得有条有理，充满美感。

数学中的美学方法还体现在解题的过程中呢。

当你苦苦思索一道难题，突然灵光一闪，找到了解题的方法，那种成就感，哎呀，简直没法形容！就好像在黑暗中突然找到了光明一样。

而且数学的美还在于它的简洁呀。

一个简洁的公式就能概括好多复杂的现象，这多厉害呀！这不就是以最简的方式展现最美的一面嘛。

咱再想想那些数学家们，他们花费毕生的精力去探索数学中的奥秘，不就是为了发现那些隐藏的美吗？他们就像探险家一样，在数学的海洋里遨游，寻找着那些珍贵的宝藏。

数学中的美学方法无处不在呀，它就在我们的生活中，在我们周围的一切里。

我们要学会去发现它，欣赏它，感受它给我们带来的奇妙。

所以呀，可别小瞧了数学，它可不只是那些枯燥的课本和习题。

它里面有着无尽的美等待着我们去挖掘呢！难道不是吗？。

论数学中的美学数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美，婉约的美与奇异的美，独立的美与统一的美，这些美自然而不娇作，高贵而不俗庸，沉稳而不浮躁，冷峻中不失灵动，奇异中又不乏和谐，这些美反映了一种自然的秩序与规律，同时也更加彰显了人的最深层次的本质力量对象化的外部结果。

一组精要的数学符号，一个简单的数学公式，一条言简深邃的数学定理，一种精彩绝伦的数学构想……，无不闪现着这些数学巨人们思想深处那汩汩不息的美感之源所散发出的激情与脉动，其升腾出的美的氤氲，笼罩着一种思维上的灵逸和深远，带给人们一丝迷醉其中的淡淡情愫。

1.数学美的存在性客观世界中处处渗透与体现着数学美，数学美是对客观世界内在规律的反映。

对于数学美与客观世界之间的相互联系，其实早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就开始着手研究。

毕氏学派在研究音乐乐理的谐音与天体运行的轨道时，发现二者在数量关系上都满足整数比，从而就此得出结论“宇宙间万物的总规律，其本质就是数的严整性和和谐性”，“美是和谐与比例”。

溯源于客观世界的数学理论内部也充满着数学美。

这种美本质上间接地表征了客观世界的固有规律。

1811年，数学家高斯在指出制定复分析和函数论这种理论有其自身的必要性时，就说过：“这里的关键不在于实际用处，对我说来，分析倒是一门独立的学科，如果歧视那些虚构的量，分析就会失去大量的美与灵活。

”近代科学家开普勒更是一针见血地指出：“数学是这个世界之美的原型。

”这说明，数学中存在美的因素且历来就为数学家所重视。

2.数学美的独特性——内隐而深邃的理智美与理性精神英国著名哲学家、数学家罗素曾经这样描述过数学的美：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正象雕刻的美，是一种冷而严肃的美、这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。

浅谈数学中所蕴含的美摘要：数学是一门重要的自然科学，在现代化的工业、科技领域占据着很重要的地位。

她不但有智育的功能，也有其美育的功能。

数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。

下面从几个方面来欣赏数学美。

关键词：品味；欣赏；数学之美数学是一门自然科学，同时是一门很精美的学科，数学中所蕴含的美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。

正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。

一、和谐美数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：π4=1-13+15-…，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。

欧拉公式：eiπ=-1，曾获得“最美的数学定理”称号。

欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。

与欧拉公式有关的棣美弗-欧拉公式是cosθ+isinθ=eiθ――（1）。

这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。

对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。

比如，由公式（1）得cosθ=eiθ+e-iθ2 ， sinθ=eiθ-e-i θ2。

由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。

新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。

和谐的美，在数学中多得不可胜数。

如著名的黄金分割比λ=5-12，即0.61803398…。

维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。

黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。

达·芬奇称黄金分割比λ=5-12为“神圣比例”.他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。

二、对称美在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。

引言(数学与美学)社会的进步就是人类对美的追求的结晶。

——马克思数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。

——罗素人类社会历史的发展和自然界的进化告诉人们：一切事物生存和发展所共同遵守的法则是：美战胜丑。

为此，美学家断言：美是一切事物生存和发展的本质特征。

什么是美？美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一(朱光潜语)。

美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明。

真与善、规律性与目的性的统一，就是美的本质和根源(李泽厚语)。

然而人们认识美、探索美的秘密却是一个极为古老的课题。

美的秘密世世代代搅挠着人类的思维。

在历史上，关于美的谈论相当相当多(尽管是只言片语)。

最古老的文明遗留下的古迹中，无不打上古代人们的世界观和审美观。

苏格拉底认为：最有益的即是最美的。

因而古希腊的美学是知识不可分割的一部分，这恰恰由于当时许多学科的幼芽尚未从人类知识大树上长成独立的枝干。

当时的哲人们认为：美和宇宙之美是统一的。

毕达哥拉斯学派(请注意这是一个数学团体)认为世界是严整的宇宙，整个天体就是和谐与数。

正是这个学派在研究音乐时最早使用了数学(他们试图提出一个声调对比关系的数学公式：八度音与基本音调之比为1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4等等)，这也是人们最早用数学方法研究美的实践与创始。

古希腊哲人赫拉克利特认为：和谐不是静止的平衡。

而是运动着的活动状态。

恩培多克勒认为：生物的进化与世界之美的完善，与美、与和谐形成是等过程的。

原子论者德谟克利特认为：生活需要有美的享受。

苏格拉底认为：“美是许多现象所固有的一个唯一的东西，是具有最普遍的具体性”，但“美是难以捉摸的。

”亚里士多德认为：数学能促进人们对美的特性：数值、比例、秩序等的认识。

黑格尔在哲学史稿中说：“美包含在体积和秩序中。

”十八世纪法国启蒙主义者伏尔泰、狄德罗等人认为“美是大自然本身的自然属性。

”德国哲学家黑格尔把美看作是精神的(绝对观念的)整个世界运动的阶段之一，观念得到完善的、相同的表现形式，这就是美。

引言(数学与美学)社会的进步就是人类对美的追求的结晶。

——马克思数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。

——罗素人类社会历史的发展和自然界的进化告诉人们：一切事物生存和发展所共同遵守的法则是：美战胜丑。

为此，美学家断言：美是一切事物生存和发展的本质特征。

什么是美？美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一(朱光潜语)。

美又是自由的形式：完好、和谐、鲜明。

真与善、规律性与目的性的统一，就是美的本质和根源(李泽厚语)。

然而人们认识美、探索美的秘密却是一个极为古老的课题。

美的秘密世世代代搅挠着人类的思维。

在历史上，关于美的谈论相当相当多(尽管是只言片语)。

最古老的文明遗留下的古迹中，无不打上古代人们的世界观和审美观。

苏格拉底认为：最有益的即是最美的。

因而古希腊的美学是知识不可分割的一部分，这恰恰由于当时许多学科的幼芽尚未从人类知识大树上长成独立的枝干。

当时的哲人们认为：美和宇宙之美是统一的。

毕达哥拉斯学派(请注意这是一个数学团体)认为世界是严整的宇宙，整个天体就是和谐与数。

正是这个学派在研究音乐时最早使用了数学(他们试图提出一个声调对比关系的数学公式：八度音与基本音调之比为1∶2，五度音等于2∶3，四度音等于3∶4等等)，这也是人们最早用数学方法研究美的实践与创始。

古希腊哲人赫拉克利特认为：和谐不是静止的平衡。

而是运动着的活动状态。

恩培多克勒认为：生物的进化与世界之美的完善，与美、与和谐形成是等过程的。

原子论者德谟克利特认为：生活需要有美的享受。

苏格拉底认为：“美是许多现象所固有的一个唯一的东西，是具有最普遍的具体性”，但“美是难以捉摸的。

”亚里士多德认为：数学能促进人们对美的特性：数值、比例、秩序等的认识。

黑格尔在哲学史稿中说：“美包含在体积和秩序中。

”十八世纪法国启蒙主义者伏尔泰、狄德罗等人认为“美是大自然本身的自然属性。

”德国哲学家黑格尔把美看作是精神的(绝对观念的)整个世界运动的阶段之一，观念得到完善的、相同的表现形式，这就是美。

数学中的美学思想作者：刘飞来源：《文存阅刊》2017年第01期摘要：数学中存在美。

数学学科中蕴含的美学思想能够推动人类思维的进步与发展，进而诱发其无限的想象力与创造力。

基于此，本文拟从数学的图形美、数学的简洁美以及数学的变换美这三个角度，对数学中的美学思想进行深入分析与研究，以期为数学中美学思想的相关研究提供有价值的参考与借鉴。

关键词：数学；美学思想；几何图形；代数随着新课改的深入实施与推进，审美教育所涵盖的范围正朝着人类社会的角角落落渗透，人们不但可以通过艺术、音乐领略美，而且可以通过科学美、社会美以及自然美等享受美的熏陶。

数学也不例外，其蕴含的美学思想不但有助于激发人们对数学科学的兴趣与爱好，而且有利于人们的创造能力与创新能力。

一、数学的图形美数学中最突出的美学思想之一就是“图形美”。

令人称奇的是，无比严谨的数学世界中竟然存在着各种各样的优美几何图形，并相互交织而成了一幅不可多得的绚丽图画。

举例如下：譬如，最为常见的图形“圆”，不仅可以透过其周长公式C=2πR看到圆的半径与周长之间的简洁与和谐关系，而且还能通过其流畅柔和的外形，感受到这一图形所蕴藏的深刻意境美——圆满与完美，我国很多建筑物内部的圆形门或窗等就是借用的这一美学内涵；数学中“黄金分割”这一章节的知识，在几何图形中被广泛应用，这是因为其不仅能够解决许许多多的数学问题，而且还具有很高的审美价值，世界上的很多著名建筑物都是应用了“黄金分割”的数学公式与独特美学，如中国故宫、埃及金字塔、法国巴黎圣母院以及希腊帕提农神庙等；[1]还有各种立体图形，这类图形不但是平面上的图形，而且能够给人一种强烈的立体感觉，即看到这些图形就如同看到现实世界中类似的物体一样，这种奇特的现象使得数学充满了想象美与立体美。

数学中的图形数不胜数，而且每种图形都有其别具一格的美，数学所包含的这种图形美大大增加了学习数学的趣味性。

二、数学的简洁美在对函数概念进行定义的过程中，我们不但要认真考虑概念内涵的实际包容程度，而且还要考虑概念的用词简洁程度。

数学中的美学高二20班张锦涛数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。

——罗素在当今的科学分类研究中，许多学者称哲学和数学是普遍科学，且认为二者可应用于任何学科和任何领域，其差别在于刻画现实世界时使用的方法和语言不同：哲学使用的是自然语言，数学使用的是人工语言(数学符号)；哲学使用的是辩证逻辑方法，而数学使用的是形式逻辑与数理逻辑方法。

这样哲学家有时可以“感觉到”思维的和谐，而数学家则有时可以“感觉到”公式与定理的和谐，即美。

数学也是自然科学的语言，故它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。

因而数学美是具体、形象、生动的。

数学美的起源遥远、历史悠久。

我们学过“黄金分割”，即把线段l分成x和l-x两段，使其比满足：x∶l=(l-x)∶x，这样解得x≈0.618l，这种分割称为“黄金分割”。

0.618…这是被中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”的重要数值，它也曾被德国科学家开卜勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一。

无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的他侬神庙；无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金比数，一些著名的艺术佳作也处处体现了黄金比值——许多名画的主题都是在画面的黄金分割点处，不少著名乐章的高潮在全曲的0.618处。

人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点。

：叶子在茎上的排列也遵循黄金比，相邻两张叶片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137°28＇，科学家们经计算表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的。

人们也用黄金比例，创造出很多美的建筑，logo等等：说到黄金比例，不得不提到斐波那契数列。

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

数学中的美学纯数学是一门科学，同时也是一门艺术。

——法国诗人诺瓦利“纯数学是一门科学，同时也是一门艺术”。

如今的数学，已成为研究自然科学和社会科学的基础学科，它已渗透到经济、历史、建筑、音乐、美术、文学等各个领域中。

本文以数学的历史为基础，多角度展现数学美的外在与内涵，提取数学中美的精彩内容和片段，从艺术和思维的角度，来欣赏数学之大真、大善、大美。

以求在美的熏陶下，感受数学别样的美丽，并得到思维的启迪与感情的共鸣，同时，期望对数学教育有所帮助。

马克思说过：“社会的进步就是人类对美的追求的结晶。

”数学，作为一门不断推动社会进步，时代发展的学科，其中当然存在着美。

数学是一种独特的逻辑，是自然科学的语言，在其内容结构方法上，都具有自身的某种美，就是数学美。

正是数学美的存在，数学这门古老的学科，才符合事物生存和发展的原则，生存于久远。

数学家、哲学家罗素赞道：“数学，如果正确地看它，则具有——至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷峻而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那样华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术，才能显示的那种完美的境地。

一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。

”[2]是的，数学是一种精神，它永远选择最简的、最美的，当然也是最好的。

数学通过人们对生活的需要而慢慢发展，它和面包一样重要。

数学是人类对生活经验和对事物的观察中得来的观念，然后对其进行抽象后产生的。

数学是思考、想象甚至可以说是幻想，数学的世界永远充满着神奇。

其思想精巧、惊人、迷人、有趣和美丽，是数学真正的精髓。

1首先数学美在简单数学简化了思维过程并使之更可靠。

——弗赖伊（T.C.Fry）华罗庚教授说过：宇宙之大、微粒之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁……无不可用数学表述。

数学中的美学思想科技信息基础教育数学巾硇美学思想滕州市荆河小学田慧芹[摘要]数学中存在美学思想.数学教学的目的之一,应当是培养学生对数学美的审美能力,这不仅有利于激发他们对数学科学的爱好,也有助于增长他们的创造发明能力.论文分别以数学中美学思想的对称性,和谐性,简单性,秩序性,奇异性,抽象性等为课题分步研究揭示数学中的美学.[关键词]美学对称性和谐性整齐美秩序性奇异性1O个数字,构筑起一个无限真与美的王国,数学就是人造的宇宙.数学中存在美.古代的哲学家,数学家普洛克拉斯断言:"哪里有数,哪里就有美."美育在教育中的地位和作用越来越被人们认识和重视,有越来越多的专家,学者对美育的地位和作用进行研究.对数学美的审美能力,这不仅有利于激发我们对数学科学的爱好,也有助于增长我们的创造发明能力.和任何美感一样,人们对于数学的美感也具有强烈的感情色彩,而且,不同的人关于数学美的标准也是各不相同的.但是,从整体上说,数学美感又不是什么虚无飘渺,忽有忽无的东西,数学美也不是什么纯粹主观,不可捉摸的东西,而是有其确定的客观内容的.由于数学的发展及人类文明的进步,数学美的概念也必然有一定的发展和演变,但是,它的基本内容又是相对稳定的,这就是:对称性,和谐性,简单性,秩序性,奇异性,抽象性等.1.数学的对称与和谐性对称与和谐都是形式美的要求,它给人们一种圆满和匀称的美感.对称是数学美的一种基本形式.毕达哥拉斯曾说过:"一切立体图形中最美的是球形,一切平面图形中最美的是圆."因为,这两种形体在各个方向上都是对称的.数学中对称和和谐处处可见.比例与对称的数量关系,以其天造地设的美感令人叹为观止.把长为c的线段分为a(较长),b (较短)两条线段,使之符合a:b=c:a'得到a:c=0.618.这正是最美,最巧妙的比例,人们称之谓"黄金分割".法国的巴黎圣母院,中国故宫的构图都融人了"黄金分割"的匠心.埃及胡夫金字塔,米洛的维纳斯中的一些长度比值,都用了"0.618".奇妙的数字122=-144,换一下次序,212= 441,同样的数还有:1022=104042012=40401;1122=125442112=-44521;122z=-148842112=48841;1132=127693115=96721;这种蕴藏在大干世界中的"自然美"是何其的对称,和谐.例1.已知x,y,z均为正值,且x2+y%xy=l(1)y%z%yz=3(2)z2+x2+a=4(3)求x+v+z的值.分析:用常规的方法很难求解,考虑数与式的和谐,引人参数,揭示内在联系.解:由(2)一(1),得(z-x)(x+y+z)=2(4)由(3)一(2),得(x—y)(xy+z)=l(5)设xy1(6)将(6)式分别代人(4),(5)式可得z=x+2k,y=x—k.将z,y分别代人(1),(3) 式化简可得3xz-3kx+k2_1(7)3xz+6kx+4kz_4(8)4×(7)一(8)得9x(x-2k)=0.因为x>O,所以x=2k,于是z=4k,y=k.代入(6)式得7k=,因为x,y,z均为正值,所以k=—v_L,即x+y+z:,/.,2.数学的简单性数学的特点决定了数学形式的简单性,简单性是美的特征,也是数学美的一个基本内容.例如,在日常的数学活动中经常可以听到这样的谈论:"这个证明很美."而所说的"美"往往包含了简单性的涵义.许多数学问题,虽然表面形式可能较为复杂,但其本质总存在简单的一面."关于X的方程ax2+2(2a一1)x+4a一7--O(a~N),a为何值时,方程至少有一个整数根?"如果用求根公式解出x,再由a的值来讨论,运算较为复杂,如注意到参数a的最高次数仅为一次,把方程看成关于a的方程,由此再讨论整数根x的存在就简单多了.对于简单美的追求也曾一定程度上促进了数学的发展.例如对数计算法显然就是这方面的一个典型例子.事实上,不仅对数计算法是这样,就是乘法,幂等概念的产生也可看成追求简单美的产物.例2.兔子问题着名数学家斐波那契曾提出这样一个问题:有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对,便筑了一道围墙把一对兔子关在里面.已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子,而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子.假如一年内没有发生死亡,则一对兔子一年内能繁殖成多少对?现在我们寻求兔子繁殖的规律.成熟的一对兔子用记号●表示,未成熟的用O表示.每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟0.未成熟的一对.经过一个月变成成熟的●,不过没有出生新兔,这样便可画出下图.1235813可以看出六个月兔子的对数是1,2,3,5,8,13.很容易发现这个数列的特点:即从第三项起,每一项都等于前两项之和.所以按这个规律写下去,便可得出一年内兔子繁殖的对数:I,2,3,5,8,13,21,34,55,89,14_4,233,377.可见一年内兔子共有377对.即它的通项公式为:all=af卜.+a.这样原本复杂的问题就被简单化了.3.数学的整齐美数学理论的迷人之处还在于它能用最简洁的方式揭示出现实世界中数量及其关系的规律.最简单的例子是代数中乘法与幂的运算.从逻辑关系的简洁性考虑所引出的结果,二进制运算导致了电子计算机的出现.这形成了计算机数学的一场深刻的革命.傅立叶在创立傅立叶级数时,对数学的简洁性进行了深思熟虑.他说每一个数学函数,无论多复杂,总可以表示为某些简单的基本函数.因此,他把他研究的函数展开成最基本的三角函数的形式,许多数学分支都引入了简明的公理化体系,依赖于它们演绎出了深邃而复杂的种种数学学科.周期函数,泰勒公式,傅立叶公式,牛顿插值公式等都是这种数学美的映照,如一元泰勒公式,各项系数均是这种形式,在常数项级数中,最具整齐美的要首推正项级数了.三角函数u(x)V(x)的高阶导数同样也具有整齐美.在数学上被誉为整齐美典范的要数麦克斯伟所创立的麦克斯伟方程组.麦克斯伟以超人的美学气质从整齐性考虑,在缺乏任何实验验证的情况下,以非凡的勇气刻意将其修改,使得电磁场方程具有优美的整齐性.结果被证实这样大胆而富有成效地运用美学标准来构思物理定律是正确的.4.数学的秩序性笛卡尔说:"方法就是对我们应注意的事物进行适当的整理和排列."从特殊到一般,这是归纳法最基本的思想.归(下转第248页) ...——247...——科技信息基础教育一次集傩活动昀产生边程上海奉贤区南中路幼儿园程郁燕活动背景二期课改确立了以幼儿发展为本的理念,突出幼儿发展的自主性和能动性,注重早期幼儿的潜能开发和个性化教育,为每一个幼儿的健康成长提供条件,为每一个幼儿的多元智能的发展创造机会.二期课改的实施,给我们教师带来了挑战,它冲击着我们头脑中已有的教育理念,荡涤着与我们相熟相伴的陈旧的观念,改变了许多传统的教学方式.我们尝试以主题为形式将学科整合,设计活动考虑更多的是如何把孩子置于主体位置,尽可能给他们更多表现表达的机会,更大的表现空间,更多层次的环境刺激.教学中我们更关注孩子的语言行为,从语言中,行为状态中捕捉它们思维的脉络,顺应着不同个体的不同反应,或自然地以一种肯定态度给予动态,启发性的引导,或以一种赞许进一步给予更多发散性的思考,或以一种欣赏给予再思考的快乐和灵感.从孩子们语言中,行为状态中捕捉它们的需要和兴奋点,以一种前所未有的自然的态度,尊重之,追随之.孩子们的需要成了教师关心,思考的焦点,成了课程的一部分.活动产生韵韵从家里拿来一只大苹果,我在其表面装扮上眼睛,嘴巴后放置在自然角中,供宝宝们欣赏,孩子们对新鲜的事物特别感兴趣,一有空便聚集在苹果娃娃那里议论,我也加入到孩子们的活动中聆听.有的孩子说:"我家里也有苹果."有的孩子说:"我们家的苹果跟它一样."我问孩子:"苹果娃娃长什么样呢?"顺顺不假思索地告诉我:"是方方的."孩子的回答使我又气又好笑,那是我所没有料到的.教师的责任和使命感使我决定引导孩子认识图形,形成对图形的初步概念.活动支持活动《什么东西是圆的》就这样产生了.在活动中,我对宝宝说:"老师今天请来了一位小客人,它有一个好听的名字叫圆形,"并出示圆形图片."圆形宝宝要请宝宝帮它找好朋友,它的好朋友也应该是圆的,你们愿意吗?"孩子们高兴的说:"愿意."接着便在教室里寻找起来,不大一会儿,宝宝们找了许多的圆形.于是,我和孩子们一起交流找到的圆形.辰辰拿了一块圆形的积木,屹屹拿了一只桔子,昊昊拿了一只碗,雯雯拿了一盒橡皮泥.我从找到的圆形中,拿了一块方积木,问:"这是不是圆形宝宝的朋友?"孩子们说:"不是."为了证明孩子对圆形是否认识了,我接着问:"为什么呢?"宝宝们想了一会儿,茜茜说:"圆的东西摸上去很滑的,像个皮球一样的."我及时加以肯定宝宝的说法,"对,圆圆的东西是像皮球一样."我接着引导孩子发挥思维,"除了教室的这些东西是圆的,还有什么东西是圆圆的?"迪迪马上说:"老师,太阳公公是圆的,"凡凡说:"灯笼是圆圆的."最后我鼓励孩子们与爸爸妈妈在家里找圆形,找到后拿到幼儿园来,讲给老师和小朋友听.孩子通过活动,不仅发展了口语表达能力,同时也激发了宝宝探索图形的兴趣.活动反思2—3岁的宝宝对方和圆的概念显得十分模糊不清的,也就是说不能从外观上把握它们之间的区别.这是其所处的年龄特点决定的,作为教师有义务有责任引导孩子认识几何图形,区别方和圆,知道哪些东西是圆的,哪些东西是方的.教师要让环境成为孩子的无言教师,通过环境创设,使孩子在活动中不仅丰富幼儿的生活经验,同时促使他们产生问题的意识,激发探索的兴趣,发展与同伴的交往能力,培养口语表达能力.因此教师多参与孩子的活动,做孩子的游戏伙伴,及时把握教育契机.通过与孩子近距离的交往,了解孩子的需求,使得教师与孩子产生亲切感,从而满足孩子种种需求,有的放矢的进行教育,具有针对性, 目的的有效性.同时清醒地认识自己的角色地位,既是参与者又是引导者.教师要以专业化的思想投入幼儿一日生活的各个环节,引导孩子形成良好的生活卫生习惯并激发学习的兴趣,有探索的欲望等与社会对其的要求一致,从而达到教育的目的.(上接第247页)纳法在科学研究中经常被运用,人们对归纳法有了审美感受,有人直接把归纳法体现的美感称为"归纳美",这种归纳美,事实上,就是展现了数学中的有序性,即秩序美.以第一数学归纳法为例.第一数学归纳法可以概括为以下三步:(1)归纳奠基:证明n=l时命题成立;(2)归纳假设:假设n=k时命题成立;(3)归纳递推:由归纳假设推出n=k+l时命题也成立.从而就可断定命题对于所有正整数都成立.例3.已知数列{an}满足a=2,一afl+l=0,(nEN),则此数列的通项aII等于().答案:an-aI+(n—1)d:3一n归纳法在数学研究中被很多数学家所钟爱,以致拉普拉斯认为,归纳法与类比法一样,是数学发现的重要方法.哥德巴赫猜想也是从数学对象中的几个特例归纳出来的着名的数学猜想,是数学归纳法被运用的充分反映,通过他们从中窥视数学内部的秩序性,从中体验数学的秩序美.5.数学的奇异性奇异美是数学美的基本内容.所谓奇异是指得出的结果或有关的发展是如此地出人预料,从而引起了强烈的惊愕和诧异.然而,这种发展有时又赢得了人们的赞赏和叹服.数学中的美学奇异到了极度则更是一种美.一个十分有趣的例子:蒲丰用投针求解圆周率的近似值.1777年的一天,蒲丰突发奇想,把许多宾朋请到家中做了一个让人感到奇怪的试验.他把事先画好的一条条具有等距离平行线的自纸铺在桌子上,然后又拿出一大把质量均匀的长度都是平行线的间距一半的小针,请客人们把这些小针一根一根地随便扔到纸上.而蒲丰则在一旁专注观察并计数,共投2212次.其中与任一平行线相交的有704次.蒲丰又做了简单除法.然后宣布这就是圆周率的近似值.在当时,计算圆周率是十分曲折的,一般都是用计算圆内切或外切正多边形的边长去逼近.而它...——248.—.——竟然和一个表面看来风马牛不相及的投针试验结合在一起,岂不令人惊奇.这样用偶然性方法去作确定性计算,充分显示了数学方法的奇异美.另一个例子就是众所周知的欧拉解决哥尼斯堡七桥问题.欧拉把人们企图一次没有重复地走过七座桥的问题转化为一个一笔画的数学模型.最后得出将七桥化为七条线与两岸和小岛缩成的四个点所构成的图形实际不能一笔画出的图形.从而七桥问题获得解决.欧拉解答的奇异之处在于他出乎意料地借助直观模型.构想奇特,突出了本质,反映了数学的奇异美.这个问题是一个图论问题.从此,拓扑学和现代图论就产生了.数学是人类文明的结晶,数学的结构,图形,布局和形式无不体现数学中美的因素.美育能提高学习兴趣,从而提高学习效率.世界上处处存在着美,随着人类文明的高度发展,人们对美的追求越来越强烈,数学教育有责任承担审美教育的重任,同时审美教育也将给数学教育带来生机.参考文献[1]潘佳庆重视数学教学中的美学教育[J]_教育艺术,1999,(05).[2]胡本荣.从对称性看数学中的美学ly].达县师范高等专科学校,2004,(O2).[3]马兆平浅谈数学的美学意义[J].甘肃广播电视大学,2003,(03).[4]韩泽青.重视数学教学中的美学教育[I].美与时代,2003,(01).[5]吴义伟,徐华秋.数学教学中的情感教育与审美教育[J].美与时代,2004,(O1)[6]杨玉明浅谈数学中的美学思想[J].四川教育学院,2005,(12)[7]朱雁.我看数学教育中的美学原则[J].数学通报,2000,(11).[8]徐素平.中学数学思维中的美学因素[J].数学通报.。