第三章 杆件受力变形及其应力分析
§３－１ 概 述
一、构件正常工作的基本要求
为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。为此，构件必须满足下列基本要求。１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力
。它是构件首先应满足的要求。图３－１ 构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量，
也会使机械不能正常工作。图３－１所示的传动轴，由于变
形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损，
从而引起振动和噪声，影响传动精度。因此，所谓足够的刚
度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。
应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形
能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。
上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。
二、变形固体及其基本假设
自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。
在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的
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一些影响不大的次要性质。为此，就需对变形固体作如下的假设：１畅均匀连续假设认为构成变形固体的物质毫无空隙地充满其整个几何容积，并且各处具有相同的性质。２畅各向同性假设认为材料在各个不同的方向具有相同的力学性能。
实践证明，根据上述假设所建立的理论和计算的精度是符合工程要求的。即使将上述假设用于或有条件地用于某些具有方向性的材料（如轧钢、木材等），也可得到令人满意的结果。
三
、杆件变形的基本形式
图３－２ 杆件在机器或工程结构中，构件的形式是多种多样
的，若构件的长度远大于横截面的尺寸，则该构件称
为杆件或杆。轴线（横截面形心的连线）是直线的杆
称为直杆（图３－２ａ）；轴线是曲线的杆称为曲杆（图３－２ｂ）。各横截面的形状、尺寸完全相同的杆称为
等截面杆（图３－２ａ），否则为变截面杆（图３－２ｂ）。
工程上比较常见的是等截面直杆，简称等直杆，例如
传动轴、销钉、拉紧的钢丝绳、立柱和梁等。本章以
等直杆为主要研究对象。
杆件在不同形式外力作用下将产生不同形式的
变形，其中轴向拉伸（图３－３ａ）或压缩（图３－３ｂ）、
剪切（图３－３ｃ）、扭转（图３－３ｄ）与弯曲（图３－３ｅ）是变形的四种基本形式。其他比较复杂的变
形都是上述几种基本变形的组合。图３－３ 杆件变形的基本形式
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§３－２ 轴向拉伸和压缩
一、轴向拉伸和压缩的概念
机器和结构物中，很多构件受到拉伸或压缩的作用。例如图３－４所示悬臂吊车的拉杆、图３－５所示内燃机的连杆，即是杆件受拉伸或压缩的实例。
图３－４ 悬臂吊车图３－５ 内燃机
这些受力构件的共同特点是：外力（或外力的合力）的作用线与杆的轴线重合。其主要变形为轴向伸长或缩短（图３－３ａ、ｂ），这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，此类杆件称为拉（压）杆。
二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力
１畅内力的概念
对于所研究的构件来说，其他构件或物体作用于其上的力均为外力。
构件在外力作用下而变形时，其内部各质点之间的相互作用力发生了改变。这种因外力作用而引起的构件内各质点之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。
在一定限度内，内力随外力的增大而增加。若内力超过了这一限度，则构件将被破坏。因此，为使构件安全正常地工作，必须研究构件的内力。
２畅截面法和轴力
图３－６所示为一拉杆。为了确定任一横截面m—m上的内力，假想沿该截面将杆截开成两段。若弃去右段，保留左段来研究（图３－６ｂ）。这时，由于左段仍保持平衡，所以在截面m—m 上必然有一个力F（连续分布内力的合力）的作用，它是杆件右段对左段的作用力，是一个内力。由平衡条件可得
FＮ＝F
若取杆件右段来研究（图３－６ｃ），其结果相同。若杆件为压杆，仍可得出上述结论。轴向拉
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伸或压缩时，横截面上的内力F 是一个沿杆件轴线的力，故称为轴力。显然，轴力可以是拉力（图３－６），也可以是压力。为便于区别，规定：拉力以正号表示，压力以负号表示。
图３－６ 截面法求轴力
综上所述，应用截面法求内力的步骤是：１）在欲求内力的截面处，假想地将杆件截成两
段。２）留下任一段，在截面上加上内力，以代替弃去
部分对它的作用。
３）运用平衡条件确定内力的大小和方向。【例3－1】 图３－７ａ所示为一杆沿轴线同时受力F １、F ２、F ３的作用，其作用点分别为A 、C 、B 、求杆各
段的轴力。解 由于杆上有三个外力，因此在AC 段和BC
段
的横截面上将有不同的轴力。图３－７ 轴受力分析
１）在AC 段内任一横截面１—１处将杆截成两段，取左段研究，将右段对左段的作用以内力F Ｎ１代替（图３－７ｂ）。由平衡条件知F Ｎ１必沿杆的轴线，方向与F １的方向相反，为拉力。并由平衡方程
钞X ＝０，F Ｎ１－F １＝０
得 F Ｎ１＝F １＝２ｋＮ
这就是AC 段内任一横截面上的内力。２）在CB 段内任一横截面２—２处将杆截开，仍取左段研究。此时因截面２—２上内力F Ｎ２的方向一时不易确定，可将F Ｎ２先设为拉力，如图３－７ｃ所示，再由平衡方程
钞X ＝０，F Ｎ２－F １＋F ２＝０得
F Ｎ２＝F １－F ２＝（２－３）ｋＮ＝－１ｋＮ结果中的负号说明，该截面上的轴力方向与原设的方向相反，即F Ｎ２为压力，其值为１ｋＮ。此即
CB 段内任一横截面上的内力。以上的计算都是选取左段研究，如果选取右段为研究对象，可得到同样的结果。
三、应力的概念、拉（压）杆横截面上的应力
１畅应力概念
在确定了拉（压）杆的内力后，还无法判断杆件的强度是否足够。例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在同样拉力的作用下，它们的内力相同。但当拉力逐渐增大时，细杆先被拉断。
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这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且还与截面的面积有关。因此，就需要引入应力的概念。应力用来描述杆件截面上的分布内力集度，即内力分布的强弱。如果内力在截面上均匀分布，则单位面积上的内力称为应力。应力的单位为Ｐａ（帕），１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ２
。由于此单位较小，常用ＭＰａ（兆帕）或ＧＰａ（吉帕），１ＭＰａ＝１０６Ｐａ，１ＧＰａ＝１０９Ｐａ。２畅拉（压
）杆横截面上的应力图３－８ 拉伸应力为了研究拉（压）杆横截面上的应力，可先观
察实验现象。现取一等直杆，在其表面画出许多
与轴线平行的纵线和与它垂直的横线（图
３－８ａ）。在两端施加一对轴向拉力F 之后，可以发现所有纵向线的伸长都相等，而横向线仍保持
为直线，并仍与纵向线垂直（图３－８ｂ）。据此现
象可设想杆件由无数纵向纤维所组成，且每根纵
向纤维都受到同样的拉伸。由此可以得知：杆件
在轴向拉伸时横截面仍保持为平面，内力在横截
面上是均匀分布的，它的方向与横截面垂直。即横截面上各点的应力大小相等，方向皆垂直于横截面（图３－８ｃ）。垂直于截面的应力称为正应力，以σ表示。
若拉杆的横截面积为A ，则由以上分析可知，拉杆横截面上的正应力为
σ＝F ＮA （３－１）式中：F Ｎ———横截面的轴力，Ｎ；A ———横截面面积，ｍ２
。对于轴向压缩的杆件，上式同样适用。由于前面规定了轴力的正负号，F Ｎ有正负之别：拉应
力为正，压应力为负。四、材料在拉伸和压缩时的力学性质
由经验可知，两根粗细相同，受同样拉力的钢丝和铜丝，钢丝不易拉断，而铜丝易拉断。这说明不同的材料抵抗破坏的能力是不同的。因此，构件的强度与材料的力学性质有关。所以除了要分析构件受力时的应力外，还应了解材料受力时的力学性质。所谓力学性质，主要是指材料在外力作用下，变形与所受外力之间的关系。它必须通过各种实验来测定。下面介绍材料在常温、静载条件下拉伸和压缩时的力学性质。这里的常温、静载，是指在室温下载荷由零逐渐缓慢地增加。１畅拉伸试验和应力－应变曲线拉伸试验是研究材料力学性质最常用、最基本的试验。为了使不同材料的试验结果便于比较，须将材料按国家标准制成标准试件（图３－９）。试件的两端为装夹部分，标记m 、n 之间的等截面杆段为试验段，其长度L 称为标距，对圆截面试件规定L ＝１０d 或５d 。d 为试件的直径。
试验时缓慢加载，随着轴向载荷F 的增加，试件被逐渐拉长，试验段的伸长量用ΔL 表示，试验进行到试件断裂为止。在试验机上一般都有自动绘图装置，能自动绘出载荷F 与伸长ΔL 间的关系曲线（F －ΔL 曲线），称为试件的拉伸图。低碳钢的拉伸图如图３－１０所示。
拉伸图既与材料的力学性质有关，又与试件的几何尺寸有关。例如，如果试件做得粗一些，产生相同的伸长所需的拉力就大一些；如果试件的标距长一些，则在同样的拉力作用下，伸长也
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会大一些。为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性质，将拉力F 除以试件的原横截面积A ，以应力σ＝F ／A 来衡量材料的受力情况；将标距的伸长ΔL 除以标距的原有长度L ，以单位长度的变形（ΔL ／L ）
来衡量材料的变形情况。
图３－
９ 拉伸试件图３－１０ 低碳钢拉伸图
单位长度的变形称为正应变或线应变，用ε表示，即ε＝ΔL L
（３－２）
正应变是两个长度的比值，为量纲为一的量。这样就将试件的拉伸图改为以正应力和正应变为坐标的曲线，称为应力－应变曲线或σ－ε曲线。低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线如图３－１１所示，
形状与拉伸图（图３－１０）相似。图３－１１ 低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线２畅低碳钢在拉伸时的力学性质（１）拉伸试验过程的几个阶段低碳钢在工程上应用比较广泛，且拉伸试验时表
现出来的力学性质比较典型。图３－１１所示为低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线。从图中可以看出，拉伸过程大致分为四个阶段。
１）弹性阶段 在OA 段内材料的变形是弹性的。在该阶段内若将载荷卸掉，使正应力σ逐渐减小到零，相应的应变ε也随之完全消失。卸掉载荷后能完
全消失的变形称为弹性变形，故称这一阶段为弹性阶段。OA 为一直线，说明在该阶段内正应力和正应变ε成正比。A 点所对应的应力称为材料的比例极限，以σｐ表示。Ｑ２３５钢的比例极限
σｐ≈１９６ＭＰａ。２）屈服阶段 超过比例极限后，在一个极小阶段内，虽然材料的变形仍然是弹性的，但是应力与应变不再保持线性关系。当到达B 点时，图线出现一段接近水平线的小锯齿形线段（BC 段），此时应力几乎不增加，而应变却急剧增大，说明材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象称为屈服。BC 段称为屈服阶段。屈服阶段内的最低应力称为屈服强度，用σｓ表示。Ｑ２３５钢的屈服强度σｓ＝
２３５ＭＰａ。材料屈服时，试件表面出现与试件轴线约成４５°的线纹，称为滑移线，如图３－１２所示。３）强化阶段 经过屈服阶段后，曲线又开始上升，表明使材料继续变形需增大拉力，这种现·26·
象称为强化。强化阶段的最高点D 所对应的应力，称为材料的强度极限，用σｂ表示，它是材料所能承受的最大应力。Ｑ２３５钢的强度极限σｂ＝３８０ＭＰａ。４）局部变形阶段 曲线过了D 点又向下弯曲，这是由于从D 点开始，在试件某一局部范围内，横截面显著收缩，产生所谓颈缩现象（图３－１３），使试件继续伸长所需的拉力逐渐变小，直到E
点试件被拉断。
图３－
１２ 滑移线图３－１３ 颈缩现象
综上所述，在拉伸过程中，材料经过了弹性、屈服、强化和局部变形四个阶段，存在三个特征点，其相应的应力依次为比例极限、
屈服强度和强度极限。
图３－１４ 冷作硬化
如果将试件拉伸使其应力超过比例极限，例如在
强化阶段某一点F 逐渐卸载，此时应力应变关系将沿着与直线OA 近乎平行的直线FO １回到O １（图３－１４）。
这说明材料的变形已不能全部消失，其中一部分变形（弹性变形）消失了，残留下来的变形称为塑性变形。
在应变坐标中O １O ２表示材料的弹性应变，OO １表示材料的塑性应变。如果卸载后再重新加载，则应力和应
变关系将沿着O １FDE 曲线变化直至断裂。与同样材料
但未经卸载的应力－应变曲线相比，材料的比例极限将得到提高（σ′ｐ＞σｐ），而断裂时的残余变形则减小，这种现象称为冷变形强化或冷作硬化。工
程上常利用冷作硬化来提高构件（如钢筋、钢丝绳等）在弹性范围内所能承受的最大载荷。（２）材料的塑性材料能产生塑性变形的性质称为塑性。工程上常用下列两个指标来衡量材料的塑性：
１）伸长率δ 以试件拉断后的相对伸长来表示，即δ＝L １－L L ×１００％（３－３）
式中，L 和L １分别为试件标距的原长和拉断后的长度。２）断面收缩率ψ 以试件拉断后断面面积的相对收缩来表示，即ψ＝A －A １A ×１００％（３－４）式中，A 和A １分别为试件的原横截面积和断面面积。
δ和ψ的数值越大，说明材料的塑性越好。工程上，通常将δ≥５％的材料称为塑性材料，如低合金钢、碳素钢、铜和铝等；将δ＜５％的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。Ｑ２３５钢的δ＝２０％～３０％，ψ＝６０％。３畅其他材料拉伸时的力学性质其他塑性材料拉伸时的σ－ε曲线与低碳钢有类似之处，但也有显著的区别：有些塑性材料·
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（如锰钢、硬铝、退火球墨铸铁等）不像低碳钢有明显的屈服阶段。对这些没有明显屈服阶段的塑性材料，国家标准规定，取对应于试件产生０畅２％的塑性应变时的应力值为其名义屈服强度，以σ０畅２表示。脆性材料如铸铁和玻璃钢，受拉时直到断裂变形都很小，没有屈服阶段和颈缩现象，故没有屈服强度，而只有强度极限。其σ－ε曲线如图３－１５所示。由图中可以看出，铸铁的σ－ε曲线没有直线部分，不过在实用的应力范围内，曲线的曲率很小，常用直线（图中虚线）代替曲线，即应力与应变近似成正比。４畅材料压缩时的力学性质为了避免试验时被压弯，金属材料压缩试件制成短圆柱形。低碳钢压缩时的σ－ε曲线如图３－１６所示。在屈服阶段以前，压缩曲线和拉伸曲线（图中虚线）基本重合，压缩时的屈服强度与拉伸时的屈服强度基本相同。但是，随着载荷的增大，试件越压越扁，产生很大的塑性变形而不破裂，
故测不出压缩时的强度极限。
图３－１５ 灰口铸铁、玻璃钢拉伸时的σ－
ε曲线图３－１６ 低碳钢压缩σ－
ε曲线
图３－１７ 铸铁压缩的σ－ε曲线
铸铁压缩时的σ－ε曲线如图３－１７所示，与拉伸时的σ－ε曲线类似，但是其强度极限远高于拉伸时的强度极限（约３～４倍），所以脆性材料宜用作受压构件。铸铁压缩时的破裂断口与轴线约成４５°。
各种材料在拉伸和压缩时的力学性质可查阅有
关手册。
五、拉（压）杆的强度计算
１畅许用应力和安全系数由前述的试验知道：当应力达到强度极限σｂ时，会引起断裂；当应力达到屈服强度σｓ时，将出现显著
的塑性变形。显然，构件工作时发生断裂或显著的塑性变形一般都是不允许的。所以，σｂ和σｓ统称为材
料的极限应力。对于脆性材料，因没有屈服阶段，断
裂时无明显变形，故以强度极限σｂ为极限应力；对于·46·
塑性材料，因σｓ＜σｂ，则通常以屈服强度σｓ为极限应力。为了保证构件安全可靠地工作，应使其工作应力，即构件工作时由载荷引起的应力低于材料的极限应力，而且还要留有充分的余地。这是因为载荷的估计难以准确，计算公式带有一定的近似性，材料也并不像假设的那样绝对均匀等因素的影响。此外，构件工作时可能遇到意外的超载情况或其他不利的工作条件，要求构件需有必要的强度储备，以保证正常工作。一般将极限应力除以大于１的系数n ，作为构件工作时所允许的最大应力，称为许用应力，以［σ］表示，系数n 称为安全系数。对应于屈服强度σｓ的安全系数用n ｓ表示；对应于强度极限σｂ的安全系数用n ｂ表示。因此，拉（压）杆的许用应力可由下列两式表示：
塑性材料
［σ］＝σｓn ｓ（３－５）脆性材料 ［σ］＝σｂn ｂ
（３－６）应该注意，脆性材料在拉伸和压缩时的强度极限是不相等的，故其许用拉应力和许用压应力也是不相等的。
安全系数取得过小，则构件的强度储备很小，构件工作的安全可靠程度低；若安全系数取得过大，构件工作时安全可靠程度高，但设计出来的构件尺寸过大，这不仅浪费材料，还会造成机器或结构物粗笨。安全系数的确定取决于诸多因素，如构件的工作条件、制造工艺、载荷和应力计算的准确程度、材料的均匀性等。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力值可从有关规范或设计手册中查到。一般取n ｓ＝１畅５～２畅０；n ｂ＝２畅５～３畅０。２畅拉（压）杆的强度条件为了保证拉（压）杆安全可靠地工作，杆内的实际工作应力不得超过材料的许用应力，即
σ＝F ＮA ≤［σ］（３－７）
上式称为拉（压）杆的强度条件。应用此条件，可以进行下述三方面的强度计算。
（１）强度校核已知杆件的材料、截面尺寸及所承受的载荷。应用式（３－７）可校核杆件是否满足强度要求。若σ≤［σ］，则强度足够；若σ＞［σ］，则强度不够。
（２）设计截面尺寸已知杆件承受的载荷及材料的许用应力，把强度条件式（３－７）改写成
A ≥
F Ｎ［σ］由此可确定杆件所需的横截面面积，然后确定截面尺寸。
（３）确定许用载荷已知杆件的截面尺寸和材料的许用应力，可按式（３－７）计算杆件所允许的轴力为
F Ｎ≤A ［σ］从而确定构件或结构的许用载荷。
【例3－2】 图３－１８ａ所示发动机连杆用４０ＭｎＢ制成，［σ］＝２００ＭＰａ，A —A 截面面积最
小，其值为２１８畅９ｍｍ２，F ＝３８ｋＮ，试校核连杆的强度。·
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解 如图３－１８ｂ所示，应用截面法和平衡条件求得A —A 截面上的轴力为
F Ｎ＝F ＝３８ｋＮ（压力）因连杆各横截面上的轴力相同，所以最大应力发生在横截面面积最小的A —A 截面，根据式
（３－１），其值为σ＝F ＮA ＝３８×１０３２１８畅９×１０－６Ｐａ＝１７３畅６×１０６Ｐａ＝１７３畅６ＭＰａ＜［σ］所以连杆强度足够。
【例3－3】 图３－１９ａ所示为一起重用吊环，其侧臂AB 和AC 各由一矩形截面的锻钢杆制
成，截面尺寸h ／b ＝３，材料的许用应力［σ］＝８０ＭＰａ，吊环的最大起重量F ＝１２００ｋＮ。试确定锻钢杆的尺寸h 、b 。
图３－１８ 发动机连杆图３－１９ 起重吊环
解 用截面法沿两侧臂的横截面假想地截开，取上部分研究，其受力如图３－１９ｂ所示。由于对称关系，两侧臂轴力相等，设为F Ｎ，则由平衡方程钞Y ＝０，F －２F Ｎｃｏｓα＝０得F Ｎ＝F ２ｃｏｓα式中
ｃｏｓα＝９６０９６０２＋４２０２＝０畅９１６２故
F Ｎ＝１２００２×０畅９１６２
ｋＮ＝６５５ｋＮ由式（３－７）得A ≥F Ｎ［σ］＝６５５×１０３Ｎ８０×１０６Ｎ／ｍ２＝８１８８×１０－６ｍ２＝８１８８ｍｍ２因A ＝hb ＝３b ２
，故３b ２≥８１８８ｍｍ２。则b ≥５２ｍｍ
·66·
取b ＝５２ｍｍ，则h ＝３b ＝１５６ｍｍ。
【例3－4】 图３－２０ａ所示支架，在节点B 处受铅垂载荷F 作用，试计算F 的最大允许值
［F ］。已知杆AB 、BC 的横截面积均为A ＝１００ｍｍ２，许用拉应力［σ＋］＝２００ＭＰａ，许用压应力［σ－］＝１５０ＭＰａ。解 １）取节点B 为研究对象并画出受力图（图３－２０ｂ
）由平衡方程
图３－２０ 支架受力分析
钞X ＝０，F Ｎ２－F Ｎ１ｃｏｓ４５°＝０钞Y ＝０，F Ｎ１ｓｉｎ４５°－F ＝０解得杆AB 、BC 的轴力为
F Ｎ１＝２F （拉力），F Ｎ２＝F （压力）２）确定F 的最大允许值 根据式（３－７）可知F
Ｎ１≤A ［σ＋］将F Ｎ１代入上式得 ２F ≤A ［σ＋］
故F ≤A ［σ＋］２＝
１００×１０－６×２００×１０－６２Ｎ＝１４畅１４×１０３Ｎ
同理，由式（３－７）可得F ＝F Ｎ２≤A ［σ－］＝１００×１０－６×１５０×１０６Ｎ＝１５×１０３Ｎ在求得的许用载荷的两个值中，应该取较小值，所以支架的许用载荷［F ］＝１４畅１４ｋＮ。
六、拉（压）杆的变形
杆件在轴向拉伸或压缩时，沿轴线方向伸长或缩短，与此同时，横向尺寸还会缩小或增大，前者称为纵向变形，后者称为横向变形。如图３－２１所示，设杆件原长为L ，横向尺寸为b ，轴向受力后，杆长变为L １，横向尺寸变为b １，则杆的纵向绝对变形为
图３－２１ 拉伸变形ΔL ＝L １－L 横向绝对变形为Δb ＝b １－b 下面主要研究纵向变形的规律。
由前面的实验可知：在比例极限内，正应力与正
应变成正比，即
σ∝ε引进比例系数E ，则σ＝E ε（３－８）此关系式称为胡克定律。比例系数E 称为材料的弹性模量，其值随材料而异。因正应变ε是一量纲一的量，所以弹性模量E 与正应力σ有相同的量纲。E 的常用单位为ＧＰａ或ＭＰａ。
式（３－８）同样适用于轴向压缩。由于σ＝F Ｎ／A ，ε＝ΔL ／L ，所以式（３－８）又可写成ΔL ＝F ＮL EA （３－９）
上式为胡克定律的变形形式。
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由上式可以看出，弹性模量E 越大，杆的变形越小。所以，弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。同时还可以看出，对长度相等、受力相同的杆，EA 越大，杆的变形越小，所以EA 代表杆件抵抗拉伸（或压缩）的能力，称为杆件的抗拉（压
）刚度。
图３－２２ 杆件受力分析【例3－5】 如图３－２２所示的杆件，材料的弹性模量
E ＝２００ＧＰａ，已知
F １＝２ｋＮ，F ２＝３ｋＮ，L １＝２畅５ｍ，L ２＝２ｍ，横截面积均为A ＝１０ｃｍ２，求杆的总伸长。解 AB 段和BC 段的轴力分别为
F Ｎ１＝－１ｋＮ，F Ｎ２＝２ｋＮ由于杆两段的轴力不同，为了计算杆件的总伸长，需先
求出每段杆的轴向变形。
根据式（３－９）可知，AB 与BC 段的轴向变形分别为
ΔL AB ＝F Ｎ１L １EA ，ΔL BC ＝F Ｎ２L ２EA 所以，杆AC 的总伸长为ΔL ＝ΔL A B ＋ΔL B C ＝F Ｎ１L １EA ＋F Ｎ２L ２EA ＝F Ｎ１L １＋F Ｎ２L ２EA ＝－１×１０３×２畅５＋２×１０３
×２２００×１０９×１０×１０－４ｍ＝７５×１０－７ｍ＝７畅５×１０－３ｍｍ
§３－３ 剪 切
一、剪切的概念
工程上一些连接件，例如常用的销（图３－２３）、螺栓（图３－２４）、平键等都是主要发生剪切变形的构件，称为剪切构件。这类构件的受力和变形情况可概括为如图３－２５所示的简图。其受力特点是：作用于构件两侧面上的横向外力的合力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。在这样外力作用下，其变形特点是：两力间的横截面发生相对错动，这种变形形式称为剪切。
发生相对错动的截面称为剪切面。
图３－２３ 销的受力情况
二、剪切的实用计算
为了对构件进行剪切强度计算，必须先计算剪切面上的内力。现以图３－２４ａ所示的螺栓为·
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图３－２４ 螺栓受力情况
例进行分析。当两块钢板受拉时，螺栓的受力如图３－２４ｂ所示。若力F 过大，螺栓可能沿剪切面m —m 被剪断。为了求得剪切面上的内力，运用截面法将螺栓沿剪切面假想截开（图３－２４ｃ），并取其中任一部分研究。由于任一部分均保持平衡，故在剪切面内必然有与外力F 大小相等、方向相反的内力存在，这个内力称为剪力，以F Ｑ表示。它是剪切面上分布内力的合力。由平衡方程式钞F ＝
０得
图３－２５ 剪切
F Ｑ＝F 剪力在剪切面上的分布情况是比较复杂的，工程上通常采用以试验、
经验为基础的实用计算法。在实用计算中，假定剪力在剪切面上均匀分
布。前面轴向拉伸和压缩一节中，曾用正应力σ表示单位面积上垂直于截
面的内力。同样，对剪切构件，也可以用单位面积上平行截面的内力来衡
量内力的聚集程度，称为切应力，以τ表示，其单位与正应力一样。按假定
算出的平均切应力称为名义切应力，一般简称切应力，切应力在剪切面上
的分布如图３－２４ｄ所示。所以，剪切构件的切应力可按下式计算：
τ＝F ＱA （３－１０）式中：A ———剪切面面积，ｍ２
。为了保证螺栓安全可靠地工作，要求其工作时的切应力不得超过某一许用值。因此，螺栓的
剪切强度条件为
τ＝F ＱA ≤［τ］（３－１１）式中：［τ］———材料许用切应力，Ｐａ。
式（３－１１）虽然是以螺栓为例得出的，但也适用于其他剪切构件。
实验表明，一般情况下，材料的许用切应力［τ］和许用拉应力［σ］有如下关系：
塑性材料
［τ］＝（０畅６～０畅８）［σ］脆性材料
［τ］＝（０畅８～１畅０）［σ］
三、切应变、剪切胡克定律
在构件的受剪部位，围绕A 点取一直角六面体（图３－２６ａ），将它放大如图３－２６ｂ所示。剪切变形时，直角六面体左、右两侧面发生相对平行错动，直角六面体变成平行六面体，如图３－２６ｂ虚线所示，原来的直角改变了一微小角度γ，这个直角的改变量γ称为切应变，其单位一般为ｒａｄ（弧度）。
·96·
实验证明：当切应力不超过材料的剪切比例极限τｐ时，切应力τ
与切应变γ成正比（图３－２６ｃ），即τ＝G γ（３－１２）
图３－２６ 切应变、剪切胡克定律
这就是剪切胡克定律。式中比例系数G 称为剪切弹性模量，它表示材料抵抗剪切变形的能力，其单位与τ的单位相同。一般钢材的剪切弹性模量G ＝８０ＧＰａ。
四、挤压概念及实用计算
构件在受到剪切作用的同时，往往还伴随着挤压作用。例如图３－２４ａ中的下层钢板孔右侧，由于与螺栓圆柱面的相互压紧，在接触面上产生较大的压力，致使接触处的局部区域产生塑性变形（图３－
２７），这种现象称为挤压。此外，连接件的接触表面上也有类似现象。构件上产生图３－２７ 挤压破坏
挤压变形的接触面称为挤压面；作用于挤压面上的压力称为挤
压力，用F ｊ表示；挤压面上的压强习惯上称为挤压应力，以σｊ
表示。挤压应力只存在于挤压面附近的区域，故其分布比较复
杂。工程上为简化计算，同样也假设挤压应力在挤压面上均匀
分布，于是有
σｊ＝F ｊA ｊ
（３－１３）式中：F ｊ———挤压力，Ｎ；A
ｊ———挤压面积，ｍ
２图３－２８ 挤压面积
对于螺栓、铆钉等连接件，挤压时接触面为半圆柱面（图３－２８ａ）。但在计算挤压应力时，挤·
07·
压面积采用实际接触面在垂直于挤压力方向的平面上的投影面积，如图３－２８ｃ所示的ABCD 面积。这是因为，从理论分析得知，在半圆柱挤压面上挤压应力分布如图３－２８ｂ所示，最大挤压应力在半圆弧的中点处，其值与按正投影面积计算结果相近。
为了保证构件安全正常地工作，则构件的挤压应力σｊ不得超过许用挤压应力［σｊ］，因此挤
压强度条件为σｊ＝F ｊA ｊ≤［σｊ］（３－１４）
许用挤压应力可从有关规范中查得。根据实验，材料的许用挤压应力［σｊ］与许用拉应力［σ］有如下关系：塑性材料
［σｊ］＝（１畅５～２畅０）［σ］脆性材料［σｊ］＝
（０畅９～１畅５）［σ］如果两个接触构件的材料不同，应以抵抗挤压能力弱的构件来进行挤压强度计算。【例3－6】 图３－２３ａ所示为拖车挂钩用的销钉连接。已知挂钩部分钢板厚t ＝８ｍｍ，销钉的材料为２０钢，许用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，许用挤压应力［σｊ］＝
１００ＭＰａ，又知拖车的拉力F ＝１５ｋＮ，试设计销钉的直径。解 １）剪切强度计算 以销钉为研究对象，其受力如图３－２３ｂ所示。销钉上有两个剪切
面，用截面法将销钉沿剪切面假想地截开（图３－２３ｃ），由平衡条件可知，销钉剪切面上的剪力为F Ｑ＝F ／２＝７畅５ｋＮ
剪切面面积为
A ＝πd ２／４将上述二式代入式（３－１１）得
τ＝F ＱA F Ｑπd ２／４
≤［τ］故d ≥
４F Ｑπ［τ］＝４×７５００３畅１４×６０×１０６ｍ＝０畅０１３ｍ２）挤压强度计算 销钉所受的挤压力F ｊ＝
F ／２，挤压面积A ｊ＝dt ，代入式（３－１４）得σｊ＝F ｊA ｊ＝F ／２dt ≤［σｊ］故d ≥
F ｊ２t ［σｊ］＝１５０００２×８×１０－３×１００×１０６ｍ＝０畅００９ｍ综合考虑剪切和挤压强度，并根据标准直径选取销钉直径为１４ｍｍ。
【例3－7】 铸铁带轮用平键与轴连接，如图３－２９ａ所示。传递的力偶矩T ＝３５０Ｎ·ｍ，轴的直径d ＝４０ｍｍ，平键尺寸b ×h ＝１２ｍｍ×８ｍｍ，初步确定键长l ＝３５ｍｍ，键的材料为４５钢，许用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，许用挤压应力［σｊ］＝１００ＭＰａ，铸铁的许用挤压应力［σｊ］＝８０ＭＰａ，试校核键连接的强度。
解 以轴（包括平键）为研究对象，其受力如图３－２９ｂ所示，根据平衡条件可得
钞m O ＝０，T －Fd ／２＝０
故
F ＝２T d ＝２×３５００畅０４Ｎ＝１７畅５×１０３Ｎ·
17·
图３－２９ 键连接受力分析
１）校核键的剪切强度 平键的受力情况如图３－２９ｃ所示，此时剪切面上的剪力（图
３－２９ｄ）为F Ｑ＝F ＝１７畅５×１０３Ｎ剪切面面积为
A ＝b ×l ＝１２ｍｍ×３５ｍｍ＝４２０ｍｍ２
所以，平键的工作切应力为τ＝F ＱA ＝１７畅５×１０３４２０×１０－６＝４１畅７×１０６Ｐａ＝４１畅７ＭＰａ＜［τ］满足剪切强度条件。２）校核挤压强度 由于铸铁的许用挤压应力小，所以取铸铁的许用挤压应力作为核算的依
据。带轮挤压面上的挤压力为F ｊ＝F ＝１７畅５×１０３
Ｎ带轮的挤压面积与键的挤压面积相同，设带轮与键的接触高度为h ／２，则挤压面面积为
A ｊ＝lh ２＝３５×８２ｍｍ２＝１４０ｍｍ２故带轮的挤压应力为
σｊ＝F ｊA ｊ＝１７畅５×１０３１４０×１０－６Ｐａ＝１２５×１０６Ｐａ＝１２５ＭＰａ＞［σｊ］不满足挤压强度条件。现需根据挤压强度条件重新确定键的长度。根据式（３－１４）有
A ｊ≥
F ｊ［σｊ］即h ２l ≥F ｊ［σｊ］
得键的长度为l ≥２F ｊ［σｊ］h ＝２×１７畅５×１０３８０×１０６×０畅００８ｍ＝５４畅７×１０－３ｍ最后确定键的长度l ＝５５ｍｍ。·
27·
§３－４ 扭 转
一、扭转的概念
工程上有许多构件承受扭转变形，如汽车方向盘的转向轴（图３－３０）、丝锥（图３－３１）、传动轴等。把这些构件的受力情况抽象为一个共同的力学模型，如图３－３２所示。从图可以看出，构件扭转时的受力特点是：作用在直杆两端的一对力偶大小相等、转向相反，且力偶作用面垂直于杆的轴线。其变形特点是：杆件的轴线保持不变，各横截面绕轴线作相对转动。工程中常把以扭转变形为主要变形的构件称为轴。圆轴扭转时的变形以横截面间绕轴线相对转过的角度即扭转角来表示。如图３－３２中的矱角即为B 截面相对A
截面的扭转角。
图３－
３０ 转向轴受力图３－３１ 丝锥受力情况
二、外力偶矩
、扭矩和扭矩图图３－３２ 扭转变形１畅外力偶矩的计算工程上作用于轴上的外力偶矩很少直接给出，而往往
给出轴的转速n 和轴所传递的功率P ，通过功率的有关公
式及推导，得出计算外力偶矩（又称转矩）的公式为
T ＝９５５０P n （３－１５）式中：T 的单位为Ｎ·ｍ；P 的单位为ｋＷ；n 的单位为ｒ／ｍｉｎ。
２畅扭矩和扭矩图如同拉压和剪切一样，构件扭转时，也是用截面法求内力，再研究应力的分布和计算，从而推导出强度条件这样的思路进行分析和研究的。现研究扭转时轴横截面上的内力。设一轴在一对大小相等、转向相反的外力偶作用下产生扭转变形，如图３－３３ａ所示。在轴的任意横截面n —n 处将轴假想截开（图３－３３ｂ、ｃ）。由于整个轴是平衡的，所以每一段轴都处于平衡状态，这就使得n —n 截面上的分布内力必然构成一个力偶，并以横截面为其作用面，这个内力偶矩称为扭矩，以M ｎ表示。
根据左段或右段的平衡条件，均可得n —n 截面上的扭矩为
M ｎ＝T
如图３－３３ｄ所示。但由左、右两段所求得扭矩的转向相反，这是因为它们是作用与反作用的关系。
·37·
图３－３３ 截面法求扭矩
为使无论取左段还是取右段所求得的扭矩不但在数值上相等而且符号也一样，对扭矩符号作如下规定：用右手螺旋法则，即以右手四指沿着扭矩的转向，若拇指的指向离开截面，则扭矩为正，反之为负，如图３－３４所示。由图可以看出，无论扭矩为正或为负，截面左、右两段扭转变形
的转向是一致的。按此规定，图３－３４ａ中所示扭矩为正；图３－３４ｂ中扭矩为负。
图３－３４ 扭矩的符号规定
当轴上作用有多个外力偶矩时，需以外力偶作用的截面将轴划分几个自然段，逐段求出其扭
矩。为了确定轴上最大扭矩的位置，找出危险截面，常用一种图形表示各横截面的扭矩随截面位
置变化的规律，这种图形称为扭矩图。作图时，以平行于轴线的坐标表示各横截面的位置，垂直
于轴线的坐标表示扭矩的大小。图３－３３ｄ所示即为AB轴的扭矩图。
【例3－8】 一等圆传动轴如图３－３５ａ所示，其转速n＝３００ｒ／ｍｉｎ，主动轮A的输入功率P＝２２１ｋＷ，从动轮B、C的输出功率分别为P B＝１４８ｋＷ、P C＝７３ｋＷ。试求轴上各截面的扭矩，并画出扭矩图。
解 １）计算外力偶矩 由式（３－１５）可知，作用在A、B、C轮上的外力偶矩分别为
T A＝９５５０P A n＝９５５０２２１３００Ｎ·ｍ＝７０３５Ｎ·ｍ
T B＝９５５０P B n＝９５５０１４８３００Ｎ·ｍ＝４７１１Ｎ·ｍ
T C＝９５５０P C n＝９５５０７３３００Ｎ·ｍ＝２３２４Ｎ·ｍ
其中T A的转向和轴的转向相同，T B、T C的转向和轴的转向相反。
２）计算扭矩 在轴AC段的任意横截面１—１处将轴切开，取左段为研究对象（图３－３５ｂ），以Mｎ１表示截面的扭矩，并假想其转向为正，根据平衡条件得
钞m x＝０，T C－Mｎ１＝０
Mｎ１＝T C＝２３２４Ｎ·ｍ
·47·
图３－３５ 传动轴受力分析同理，在AB 段的任意横截面２—２将轴截开，以M ｎ２表示截面的扭矩，假设其转向为正，取右
段为研究对象（图３－３５ｃ），由平衡条件得钞m x ＝０ T B ＋M ｎ２＝０M ｎ２＝－T B ＝－４７１１Ｎ·ｍ
负号说明截面的扭矩为负。３）画扭矩图 根据所得扭矩作扭矩图（图３－３５ｄ），可见M ｎｍａｘ
＝４７１１Ｎ·ｍ三、圆轴扭转时横截面上的应力
圆轴扭转时，在确定了横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上内力分布的规律，以便
求得横截面上的应力。图３－３６ 圆轴扭转时横
截面上切应力分布实验表明，圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的切应力，而没有正应力。其切应力在横截面上的分布规律为：截面上各点切应力的大小，与该点到圆心的距离成正比。在圆心处的切应力为零；圆周边缘上各点的切应力最大（图３－３６ａ）。空心圆轴横截
面上切应力的分布如图３－３６ｂ所示。
圆轴扭转时横截面上距离圆心为ρ处的切应力τｐ的一般公式为
τｐ＝M ｎI ｐ·ρ式中：M ｎ———扭矩，Ｎ·ｍｍ；
I ｐ———截面的极惯性矩，I ｐ＝∫
A ρ２ｄA ，是只与截面形状和尺寸有关的量，ｍｍ４或ｃｍ４。在距截面圆心最远处（ρ＝ρｍａｘ）有最大的切应力τｍａｘ，可得公式为τｍａｘ＝M ｎ·ρｍａｘI ｐ（３－１６）
为了计算方便，可以将截面的两个几何量I ｐ和ρｍａｘ归并为一个几何
量W ｐ，即W ｐ＝I ｐρｍａｘ因此，式（３－１６）可写成
·
57·
τｍａｘ＝M ｎW ｐ
（３－１７）由式（３－１７）可以看出，W ｐ越大，则最大切应力τｍａｘ越小，它是表示圆轴抵抗扭转破坏能力的
截面几何量，称为抗扭截面模量，其单位为ｍｍ３或ｃｍ３。上述公式只适用于最大切应力τｍａｘ不超过材料剪切比例极限的实心圆轴和空心圆轴。
四
、极惯性矩和抗扭截面横量的计算图３－３７ 圆截面极惯性矩的计算
首先来计算圆形截面的极惯性矩I ｐ和抗扭截面模量W ｐ。在图３－３７所示的直径为d 的圆截面中，在距圆心为ρ处，
取厚为ｄρ的微分圆环，其面积ｄA ＝２πρｄρ，从而可得圆截面的极
惯性矩为
I ｐ＝∫A ρ２
ｄA ＝∫d ２０ρ２２πρｄρ＝πd ４３２≈０畅１d ４（３－１８）
而其抗扭截面模量为W ｐ＝I ｐρｍａｘ＝πd ４／３２d ／２＝πd ３１６≈０畅２d ３（３－１９）
用类似的方法可以计算出内径为d 、外径为D 的空心圆截面
的极惯性矩I ｐ和抗扭截面模量W ｐ分别为
I ｐ＝πD ４３２（１－α４）（３－２０）W ｐ＝πD ３１６（１－α４）（３－２１）
五、圆轴扭转时的强度条件为保证圆轴扭转时具有足够的强度而不破坏，必须限制轴的最大切应力不得超过材料的扭转许用切应力。对于等截面圆轴，其最大切应力发生在扭矩值最大的横截面（称为危险截面）的外缘处，故圆轴扭转的强度条件为
τｍａｘ＝｜M ｎ｜ｍａｘW ｐ
≤［τ］（３－２２）式中，扭转许用切应力［τ］是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的。在静载荷条件下，它与许用拉应力［σ］有如下关系：
塑性材料
［τ］＝（０畅５～０畅６）［σ］脆性材料
［τ］＝（０畅８～１畅０）［σ］与拉压强度问题相似，式（３－２２）可以解决强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷等三类扭转强度问题。【例3－9】 汽车传动轴由４５钢无缝钢管制成，外径D ＝９０ｍｍ，壁厚t ＝２畅５ｍｍ，［τ］＝
６０ＭＰａ，其所承受的最大外力偶矩为１畅５ｋＮ·ｍ，试校核其强度。若在τｍａｘ不变的条件下改用实心轴，试确定圆轴的直径D ，并计算空心轴与实心轴的重量比。
解 １）校核空心轴的扭转强度 轴工作时横截面上的扭矩M ｎ均为１畅５×１０３Ｎ·ｍ，轴的内、外径之比α＝d ／D ＝８５／９０＝０畅９４４，根据式（３－１７）知，轴的最大切应力为
·
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第三章 杆件受力变形及其应力分析 §３－１ 概 述 一、构件正常工作的基本要求 为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。为此，构件必须满足下列基本要求。１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力 。它是构件首先应满足的要求。图３－１ 构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量， 也会使机械不能正常工作。图３－１所示的传动轴，由于变 形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损， 从而引起振动和噪声，影响传动精度。因此，所谓足够的刚 度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。 应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形 能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。 上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。 二、变形固体及其基本假设 自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。 在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的 · 75·
材料力学中的组合变形 过程转备与控制工程梁艳辉201005050219 摘要：材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。材料力学是所有工科学生必修的学科，是设计工业设施必须掌握的知识。而组合变形在生活中普遍存在，基本上一些简单的单一变形在我们身边很少见，都是以组合变形的的形式出现，所以讨论组合变形具有重要意义。 关键字：组合变形，线弹性，载荷，应力，内力，静力等效原则，强度理论，失效形式通过一个学期的学习，对材料力学有了一个基本的理解。整个材料力学主要讨论了各种变形以及如何对各种变形进行强度校核，刚度校核以及稳定性校核。那么材料力学中主要有哪些变形呢？主要分为单一变形和组合变形，单一变形包括：杆的拉伸和压缩变形，杆的扭转变形，杆的弯曲变形和剪切变形。而组合变形包括：弯扭组合变形，拉扭组合变心，以及拉弯扭组合变形等。下面主要来简单的谈一谈我对组合变形的理解。 一．生活中的实例 在工程实际中，杆件的受力变形的情况种类很多，又不少构件同时发生两种或两种以上的基本变形，生活中常见的机械设备的传动轴：传动轮上作用力的既有扭转变形又有弯曲变形。常见的钻杆：钻杆受扭距的作用，同时钻杆的自重沿钻杆的轴向作用，所以钻杆的变形既有轴向的拉伸变形又有扭转变形。这样的例子在生活中还有很多。 二．如何解决组合变形 在线弹性，小形变的条件下，构件的内力，应力和变形均与外力成线性关系。可以认为载荷的作用是独立的，每一个载荷所引起内力，应力，变形都不受其他载荷的影响。几个载荷的同时作用在杆件上所产生的应力，变形，等于各个载荷单独作用时产生的应力，变形之
第6章 应力与变形分析 ..................................................................................... 错误！未定义书签。 6.1拉压杆横截面上的应力 ......................................................................... 错误！未定义书签。 6.2 轴向拉伸或压缩时的变形·胡克定律 ................................................. 错误！未定义书签。 6.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能 ........................................................ 错误！未定义书签。 6.4 轴向拉伸或压缩时的强度计算 .......................................................... 错误！未定义书签。 6.5 应力集中的概念 .................................................................................... 错误！未定义书签。 6.6 剪切和挤压时的应力 ............................................................................ 错误！未定义书签。 6.7 剪切胡克定律 ........................................................................................ 错误！未定义书签。 6.8 圆轴扭转时的应力分布规律和强度条件 ............................................ 错误！未定义书签。 6.9 弯曲时梁横截面上的正应力和强度计算 ............................................ 错误！未定义书签。 6.10 弯曲变形的概念 .................................................................................. 错误！未定义书签。 6.11 提高梁弯曲强度和刚度的措施 .......................................................... 错误！未定义书签。 第6章 应力与变形分析 本章通过对四种基本变形时构件截面上的应力分布规律的分析，介绍研究材料力学的基本方法；讨论其应力和变形的计算问题；重点研究构件的强度计算；介绍常温、静载下材料的机械性质。 6.1拉压杆横截面上的应力 6.1.1 应力的概念 同一种材料制成横截面积不同的两根直杆，在相同轴向 拉力的作用下，其杆内的轴力相同。但随拉力的增大，横 截面小的杆必定先被拉断。这说明单凭轴力F N 并不能判断 拉（压）杆的强度，即杆件的强度不仅与内力的大小有关， 图6-1 而且还与截面面积有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关，为此引入应力的概念。 要了解受力杆件在截面m-m 上的任意一点C 处的分布内力集度，可假想将杆件在m-m 处截开，在截面上围绕C 点取微小面积ΔA ，ΔA 上分布内力的合力为Δp (图6-1a)，将Δp 除以面积ΔA ，即 A p p ??=m （6-1） p m 称为在面积ΔA 上的平均应力，它尚不能精确表示C 点处内力的分布状况。当面积无限趋近于零时比值A p ??的极限，才真实地反映任意一点C 处内力的分布状况，即
组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( ) 图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（）
二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（） 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁的最大拉应力，并在图中指明它的位置。 图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为，试校核挡土墙的强度。 图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。
结构杆件的受力变形 高二（10）班黄钦仪魏萌 指导教师邹樑 摘要 这篇论文通过实验，向我们展示了结构杆件在刚性连接下的受力变形特点以及杆系的不同部位受力对其他部位的影响，并提出了在建筑构筑物时选材的几点建议，为我们设计杆件提供最基本的资料。 研究目的 研究杆件的变形有以下三个目的： 1、使我们了解设计杆件时，除了要满足强度条件以保证安全外，还要满足其刚度条件以保证其正常工作。也就是要求杆件在荷载作用下，弯曲变形不得超过允许范围。 2、是将来我们学习杆件的变形计算的基础。 3、通过实验的分析和对资料的整理，提高了我们分析问题和解决问题的能力。 问题提出 在工程实际中，承受荷载和传递荷载的结构的构件在荷载的作用下，引起周围构件对它们的反作用，同时，构件本身因受内力作用而将产生变形，并且存在发生破坏的可能性。 构件在怎样的受力情况下会产生怎样的变形，构件在受力变形下会不会影响构筑物的正常使用，以及柱子等细长杆件受压时会不会出现屈曲现象致使杆件不能承担荷载，并由此引起整个构筑物的倒坍等都是我们将研究的问题。
研究方法：1收集资料2实验观察3画图分析4访问专业人士 材料：橡胶（型号：HD2803）、胶水 研究结果：在设计房屋、桥梁的楼面时，板和梁是用得最多的结构形式，在横向荷载的作用下，梁将产生弯曲变形，用橡胶做成梁的模型，这种弯曲变形就看得很清楚。 在加载之前，先在杆件的侧面上，划上许多横向直线和纵向直线，然后加载。 1、首先，我们做了一个最简单的杆件受力变形实验。 在一根杆件的两端支两个支点，再在这根杆件上加载（如图） 在加载的过程中可以观察到，杆件受载后弯曲了，但那些纵向直线仍保持直线形式，不过相对旋转了一个角度。 设想梁是由无数纵向纤维所组成，由于弯曲而使截面转动，就使梁凹边纤维缩短，凸边纤维伸长，于是中间必有一层纤维是没有长度改变
10 组合变形 1、斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为 p p o o 22 y z z y 1z y0 i i ++?= 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形? 图10.1 解题范例
[解]（a）AD杆时压缩、弯曲组合变形，BC杆是压缩、弯曲组合变形；AC杆不发生变形。 （b）AB杆是压弯组合变形，BC杆是弯曲变形。 （c）AB是压缩弯曲组合变形，BC是压弯组合变形。 （d）CD是弯曲变形，BD发生压缩变形，AB发生弯伸变形，BC发生拉弯组合变形。 10.2分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 图10.2 [解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形.
(d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中(AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形? 图10.3 [解] AB段发生弯曲变形，BC段发生弯曲、扭转变形；CD段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图10.4 所示，杆AB为18号工字钢（截面面积30.6cm2，Wz=185cm3），其长度为l=2.6m。试求当荷载F=25kN作用在AB的中点处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。 B l/2 F 20kN 300 C D A l 图10.4 [解]取AB为研究对象，对A点取矩可得 NBCY F12.5kN = 则3 2 25 = = NBCX NAB F F
范钦珊教育教学工作宝 促兄"Q 山Sfia* S Edhcatian 或 ^^c/Ung Studio 清华大学范钦珊 工S 力攀(》力*4??力*) 琢宜數供秋件(10) 2013 年9月 IR dNGZUA ivERS ? TY □I 返目总目录
前面几章中，分别讨论了拉伸?压缩.弯曲与扭转时 杆件的强度问题? 工程上还有一些构件在复杂假荷作用下，其横截面上 将同时产生两个或两个以上内力分量的组合作用，例如两 个不同平面内的平面弯曲组合?轴向拉（戎压缩）与平 面弯曲的组合.平面弯曲与扭转的组合?这些情形统称为 组合受力与变形? 组合受力与变形时，杆件的危险截面和危险点的位i 以及危险点的应力状态都与基本受力与变形时有所差别? 工事力拳（静力学与材料力学） 第二篇材料力学 TS-NGZUA UN-vmRS ? TY 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算 第10章组合受力与变形杆件的强度计算 TS-NGZUA UN-vmRS ? TY
对组合受力与变形的杆件进行張度计算，首先需要综 合考虑各种内力分t 的内力图，确定可能的危险截面；进 而根据各个内力分童在横截面上所产生的应力分布确定可 能的危险点以及危险点的应力状态；从而选择合适的强度 理论进行强度计算. 本幸将介绍杆件在斜弯曲、拉伸（压缩）与弯曲组 合、弯 曲与扭转组合以及薄璧容器承受内压时的張度问题. 斜弯曲 □ 拉伸（压缩）与弯曲的组合 □ 弯曲与扭转组合 B 圆柱形薄壁容器应力状态与强度计算S 结论与讨论 B a 返旦总目录 第10章组合受力与变形杆件的强度计算 TS-NGZUA ivmRS ? TY 第10章组合受力与变形杆件的强度计算 TS-NGZUA ivERS ? TY
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) d e =； (B) d e >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值） 分别为1m ax σ、2m ax σ和3m ax σ (A)3max 2max 1max σσσ==； (B)3max 2max 1max σσσ=>； (C)3max 1max 2max σσσ=>； (D)3max 1max σσσ= 4. 铸铁构件受力如图所示， 有四种答案： (A) A 点； (B) B 点； (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为2 h 的缺口，与不开口的拉杆相比， (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C 6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值） 分别为1m ax σ、2m ax σ和3m ax σ (A)max32max 1max σσσ<<； (B)3max 2max max1σσσ=<； (C)2max max3max1σσσ<<； (D)2max 3max 1max σσσ<=。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 作用。当力F 作用点由A 移至B 时，柱内最大压应力的比值max max B A σσ有四种答案： (A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 焊接变形与残余应力的预测 目录 焊接变形和残余应力的基本原理 在焊接由焊接产生的动态应力应变过程及随后出现的残余应力和残余变形是导致焊接裂纹和接头强度和性能下降的重要因素。 焊接应力和焊接变形由焊接过程中的不均匀加热引起,由于其形成原因复杂多变,而且完全不可确定,因此我们只能通过总结焊接应力与变形的产生和存在的一般规律以及大家总结出原来的施工经验,对即将进行的工程构件焊接情况进行分析和预测。 焊接应力与焊接变形存在一定的关系,当焊接应力完全释放的时候焊接变形达到最大值;当焊接结构处于完全刚性的时候,几乎可以完全控制焊接变形,而此时由于无法进行应力释放,焊接残余应力将达到最大值。 如何选择和理的焊接结构、焊接方法、焊接材料和焊接工艺,以取得最佳的焊接残余应力和焊接变形状态时钢结构焊接的重要课题。 焊接变形和残余应力的常用计算方法 焊接应力与变形的形成原因极为复杂,因为直接影响应力与变形的金属材料的力学性能和热物理性能随着温度的变化而变化,而起决定作用的焊接温度场又因焊接接头的形状和尺寸、焊接工艺参数等的变化而变化。因此在计算焊接应力与焊接变形时,常常作出一些假定和简化,从而从最简单焊接的分析入手,并推断出结论。 目前常用的预测焊接变形的方法主要有残余塑变解析法、三维实体单元固有应变有限元法、板壳单元固有应变有限元法,以及热弹性有限元法等。 残余塑变解析法仅适用于简单构件、规则梁,计算过程需要经验及试验数据的累积,分析焊接构件几何参数及焊接规范参数,在本工程中适用于梁柱对接的应力分析。 三维实体单元固有应变有限元法主要适用于实体复杂结构,在本工程中适用于主要节点的焊后构件变形,需要划分网格、加载固有应变后进行三维弹性分析。 板壳单元固有应变有限元法适用于薄壁复杂结构,在本工程中可应用性不大。 对于整体结构的焊接变形预测,需要使用热弹塑性有限元法进行分析,计算步骤为:划分网格、模拟焊接温度场、热弹塑性分析,其计算过程需要跟踪焊接热力学的全部过程,计算量极大、计算时间很长,在目前的短时间内不可能得到准确的结果。 因此本章以后部分仅从理论角度对焊接应力和焊接变形做出基本的计算和预测。 分析焊接应力与变形的主要假定 常规分析假定 1.由于焊接过程十分复杂,因此在焊接应力的分析过程我们依据传统经验作出以下简化假 定 2.金属的热物理性能与温度无关 3.金属的力学性能与温度无关 4.除厚板焊接外,认为沿焊接方向的温度是均匀的;电弧为一个线状热源;温度场稳定并 10 组合变形 1、 斜弯曲，弯扭，拉（压）弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念； 2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为 p p o o 22y z z y 1z y 0i i + + ?= 3、危险点的应力计算，强度计算，变形计算、。 4、截面核心。 10.1、定性分析图10.1 示结构中各构件将发生哪些基本变形? 图 10.1 [解]（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形。 （b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。 （c ）AB 是压缩弯曲组合变形，BC 是压弯组合变形。 （d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。 10.2 分析图10.2中各杆的受力和变形情况。 解题范例 图 10.2 [解] (a)力可分解成水平和竖直方向的分力,为压弯变形。 (b)所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。 (c)该杆受竖向集中荷载,产生弯曲变形. (d)该杆受水平集中荷载,偏心受压,产生压缩和弯曲变形。 (e)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:弯曲。 (f)AB段:受弯,弯曲变形，BC段:压弯组合。 (g)AB段:斜弯曲，BC段:弯纽扭合。 10.3分析图10.3 示构件中 (AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形? 图10.3 [解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。 10.4一悬臂滑车架如图 10.4 所示，杆AB 为18号工字钢（截面面积30.6cm 2 ，Wz=185cm 3 ），其长度为l =2.6m 。试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆的最大正应力。 设工字钢的自重可略去不计。 l /2 F 20kN 300C D A l 图 10.4 [解] 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 32 25 = =NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图: kN l l /2 32 25 Fl kN.m l B l /2 F 20kN 300 C D A F NBC F NBCY NBCX 本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点 本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。理解强度理论的概念，能够 按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。 难点主要有 ① 主平面方位的判断。当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。 ② 最大切应力。无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =α τα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。 本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。 ② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。会计算任意斜截面上的应力分量。 ③ 计算单元体的最大切应力。 ④ 广义胡克定律的应用。 ⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。 本章习题大致可分为四类： ( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。 ( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。 ( 3 ）广义胡克定律的应用在求解应力与应变关系的题目中，不论构件的受力状态，均采用广义胡克定律，即可避免产生不必要的错误，因为广义胡克定律中包含了其他形式的胡克定律。 ( 4 ）强度理论的应用对分析破坏原因的概念题，一般先分析危险点的应力状态，根据应力状态和材料性质，判断可能发生哪种类型的破坏，并选择相应的强度理论加以解释。计算题一般为组合变形构件的强度分析（详见第 8 章）与薄壁容器的强度分析，薄壁容器可利用平衡条件求出横截面与纵向截面上的正应力，由于容器的对称性，两平面上无切应力，故该应力即为主应力，并选择第三或第四强度理论进行强度计算。 Project2 坝体的有限元建模与应力应变分析 计算分析模型如图2-1 所示, 习题文件名: dam 。 图2－1 坝体的计算分析模型 选择单元类型Solid Quad 4node 42 Options… →select K3: Plane Strain 定义材料参数EX:2.1e11, PRXY:0.3 模型施加约束 ? 分别给下底边和竖直的纵边施加x 和y 方向的约束 ? 给斜边施加x 方向的分布载荷： ANSYS 命令菜单栏: Parameters →Functions →Define/Edit →1) 在下方的下拉列表框内选择x ,作为设置的变量；2) 在Result 窗口中出现{X},写入所施加的载荷函数：1000*{X}； 3) File>Save(文件扩展名：func) →返回：Parameters →Functions →Read from file ：将需要的.func 文件打开，任给一个参数名，它表示随之将施加的载荷→OK →ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取斜边；OK →在下拉列表框中，选择：Existing table →OK →选择需要的载荷参数名→OK 单元控制 纵边20等分；上下底边15等分 结果显示 ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape… → select Def + Undeformed →OK (back to Plot Results window)→Contour Plot →Nodal Solu… →select: DOF solution, UX,UY, Def + Undeformed , Stress ,SX,SY,SZ, Def + Undeformed →OK 《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计 剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外 力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。 剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各 截面沿外力作用方向发生相对错动。 剪切面是指两横向力之间的横截面，破坏常在 剪切面上发生。 扭转变形的受力特点：在垂直于杆轴线的平面 内，作用有大小相等、转向相反的一对力偶。 扭转变形的变形特点：各横截面绕杆轴线发生 2．剪切 【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。 3. 扭转 用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。 例如汽车的转向轴（图b）。当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作用，使转向轴发生了扭转变形。 扭转角的概念，如图 3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力内力的概念 轴力的计算 ）轴力 为了显示并计算杆件的内力，通常采用截面法。假设用一个截面m-m （图a ）将杆件“切”成左右两部分，取左边部分为研究对象（图b ），要保持这部分与原来杆件一样处于平衡状态，就必须在被切开处加上，这个内力F N 就是右部分对左部分的作用力。在轴向拉（压）杆中横截面中的内力称为由于直杆整体是平衡的，左部分也是平衡的，对这部分建立平衡方程： =0 0=-N F F 若取右部分为研究对象，则可得 0='-N F F 可以看出，取任一部分为研究对象，都可以得到相同的结果，其实F N 与F ′N 是一对作用力与反作用力，其数值必然相等。 组合变形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到 形心的距离e 和中性轴到形心距离d 之间的关系是（ ）。 A ．e = d B ．e ＞d C ．e 越小，d 越大 D ．e 越大，d 越小 2.三种受压杆件如图所示，设 杆1、杆2和杆3中的最大压应力(绝 对值)分别用1max σ、2max σ、 3max σ表示，则（ ）。 A ．1max σ=2max σ=3max σ B ．1max σ＞2max σ=3max σ C ．2max σ＞1max σ=3max σ D ．2max σ＜1max σ=3max σ 题2图 3.在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的（ ）。 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 题3图 题4图 4. 铸铁杆件受力如图4所示，危险点的位置是（ ）。 A ．①点 B ．②点 C ．⑧点 D ．④点 5. 图示正方形截面直柱，受纵向力P 的压缩作用。则当P 力作用点由A 点移至B 点时柱内最大压应力的比值()max A σ﹕()max B σ为( )。 A ．1﹕2 B ．2﹕5 C ．4﹕7 D ．5﹕2 6. 图示矩形截面偏心受压杆件发生的变形为（ ）。 A ．轴向压缩和平面弯曲组合 B ．轴向压缩，平面弯曲和扭转组合 C ．轴向压缩，斜弯曲和扭转组合 D ．轴向压缩和斜弯曲组合 -41- 题5图 题6图 7. 图所示悬臂梁的横截面为等边角钢，外力P 垂直于梁轴，其作用线与形心轴 y 垂直，那么该梁所发生的变形是（ ）。 A ．平面弯曲 B ．扭转和斜弯曲 C ．斜弯曲 D ．两个相互垂直平面(xoy 平面和xoz 平面)内的平面弯曲 题7图 8. 图示正方形截面杆受弯扭组合变形，在进行强度计算时，其任一截面的危 险点位置有四种答案，正确的是( )。 A ．截面形心 B ．竖边中点A 点 C ．横边中点B 点 D ．横截面的角点D 点 题8图 题9图 9. 图示正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭 矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ和最大剪应力τ，其抗弯截面模量为W 。关于A 点的强度条件是（ ）。 A ．σ≤[σ]，τ≤[τ] B ．W T M 2122)(+≤[σ] C ．W T M 2122)75.0(+≤[σ] D ．122)3(τσ+≤[σ] 10. 折杆危险截面上危险点的应力状态是图中的（ ）。 -42-焊接应力和变形分析
工程力学-组合变形
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图
坝体的有限元建模与应力应变分析1
《杆件的四种基本变形及组合变形、 直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计
材料力学习题组合变形
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