第三章 杆件受力变形及其应力分析§３－１ 概 述一、构件正常工作的基本要求为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。
为此，构件必须满足下列基本要求。
１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。
可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力。
它是构件首先应满足的要求。
图３－１ 构件刚度不够产生的影响２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量，也会使机械不能正常工作。
图３－１所示的传动轴，由于变形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损，从而引起振动和噪声，影响传动精度。
因此，所谓足够的刚度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。
应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。
３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。
这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。
因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。
上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。
所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。
二、变形固体及其基本假设自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。
在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。
而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l （l 为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。
因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。
因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。
在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的·75·一些影响不大的次要性质。
为此，就需对变形固体作如下的假设：１畅均匀连续假设认为构成变形固体的物质毫无空隙地充满其整个几何容积，并且各处具有相同的性质。
２畅各向同性假设认为材料在各个不同的方向具有相同的力学性能。
实践证明，根据上述假设所建立的理论和计算的精度是符合工程要求的。
即使将上述假设用于或有条件地用于某些具有方向性的材料（如轧钢、木材等），也可得到令人满意的结果。
三、杆件变形的基本形式图３－２ 杆件在机器或工程结构中，构件的形式是多种多样的，若构件的长度远大于横截面的尺寸，则该构件称为杆件或杆。
轴线（横截面形心的连线）是直线的杆称为直杆（图３－２ａ）；轴线是曲线的杆称为曲杆（图３－２ｂ）。
各横截面的形状、尺寸完全相同的杆称为等截面杆（图３－２ａ），否则为变截面杆（图３－２ｂ）。
工程上比较常见的是等截面直杆，简称等直杆，例如传动轴、销钉、拉紧的钢丝绳、立柱和梁等。
本章以等直杆为主要研究对象。
杆件在不同形式外力作用下将产生不同形式的变形，其中轴向拉伸（图３－３ａ）或压缩（图３－３ｂ）、剪切（图３－３ｃ）、扭转（图３－３ｄ）与弯曲（图３－３ｅ）是变形的四种基本形式。
其他比较复杂的变形都是上述几种基本变形的组合。
图３－３ 杆件变形的基本形式·85·§３－２ 轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩的概念机器和结构物中，很多构件受到拉伸或压缩的作用。
例如图３－４所示悬臂吊车的拉杆、图３－５所示内燃机的连杆，即是杆件受拉伸或压缩的实例。
图３－４ 悬臂吊车图３－５ 内燃机 这些受力构件的共同特点是：外力（或外力的合力）的作用线与杆的轴线重合。
其主要变形为轴向伸长或缩短（图３－３ａ、ｂ），这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，此类杆件称为拉（压）杆。
二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力１畅内力的概念对于所研究的构件来说，其他构件或物体作用于其上的力均为外力。
构件在外力作用下而变形时，其内部各质点之间的相互作用力发生了改变。
这种因外力作用而引起的构件内各质点之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。
在一定限度内，内力随外力的增大而增加。
若内力超过了这一限度，则构件将被破坏。
因此，为使构件安全正常地工作，必须研究构件的内力。
２畅截面法和轴力图３－６所示为一拉杆。
为了确定任一横截面m—m上的内力，假想沿该截面将杆截开成两段。
若弃去右段，保留左段来研究（图３－６ｂ）。
这时，由于左段仍保持平衡，所以在截面m—m 上必然有一个力F（连续分布内力的合力）的作用，它是杆件右段对左段的作用力，是一个内力。
由平衡条件可得FＮ＝F若取杆件右段来研究（图３－６ｃ），其结果相同。
若杆件为压杆，仍可得出上述结论。
轴向拉·95·伸或压缩时，横截面上的内力F 是一个沿杆件轴线的力，故称为轴力。
显然，轴力可以是拉力（图３－６），也可以是压力。
为便于区别，规定：拉力以正号表示，压力以负号表示。
图３－６ 截面法求轴力综上所述，应用截面法求内力的步骤是：１）在欲求内力的截面处，假想地将杆件截成两段。
２）留下任一段，在截面上加上内力，以代替弃去部分对它的作用。
３）运用平衡条件确定内力的大小和方向。
【例3－1】 图３－７ａ所示为一杆沿轴线同时受力F １、F ２、F ３的作用，其作用点分别为A 、C 、B 、求杆各段的轴力。
解 由于杆上有三个外力，因此在AC 段和BC段的横截面上将有不同的轴力。
图３－７ 轴受力分析１）在AC 段内任一横截面１—１处将杆截成两段，取左段研究，将右段对左段的作用以内力F Ｎ１代替（图３－７ｂ）。
由平衡条件知F Ｎ１必沿杆的轴线，方向与F １的方向相反，为拉力。
并由平衡方程钞X ＝０，F Ｎ１－F １＝０得 F Ｎ１＝F １＝２ｋＮ这就是AC 段内任一横截面上的内力。
２）在CB 段内任一横截面２—２处将杆截开，仍取左段研究。
此时因截面２—２上内力F Ｎ２的方向一时不易确定，可将F Ｎ２先设为拉力，如图３－７ｃ所示，再由平衡方程钞X ＝０，F Ｎ２－F １＋F ２＝０得 F Ｎ２＝F １－F ２＝（２－３）ｋＮ＝－１ｋＮ结果中的负号说明，该截面上的轴力方向与原设的方向相反，即F Ｎ２为压力，其值为１ｋＮ。
此即CB 段内任一横截面上的内力。
以上的计算都是选取左段研究，如果选取右段为研究对象，可得到同样的结果。
三、应力的概念、拉（压）杆横截面上的应力１畅应力概念在确定了拉（压）杆的内力后，还无法判断杆件的强度是否足够。
例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在同样拉力的作用下，它们的内力相同。
但当拉力逐渐增大时，细杆先被拉断。
·06·这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且还与截面的面积有关。
因此，就需要引入应力的概念。
应力用来描述杆件截面上的分布内力集度，即内力分布的强弱。
如果内力在截面上均匀分布，则单位面积上的内力称为应力。
应力的单位为Ｐａ（帕），１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ２。
由于此单位较小，常用ＭＰａ（兆帕）或ＧＰａ（吉帕），１ＭＰａ＝１０６Ｐａ，１ＧＰａ＝１０９Ｐａ。
２畅拉（压）杆横截面上的应力图３－８ 拉伸应力为了研究拉（压）杆横截面上的应力，可先观察实验现象。
现取一等直杆，在其表面画出许多与轴线平行的纵线和与它垂直的横线（图３－８ａ）。
在两端施加一对轴向拉力F 之后，可以发现所有纵向线的伸长都相等，而横向线仍保持为直线，并仍与纵向线垂直（图３－８ｂ）。
据此现象可设想杆件由无数纵向纤维所组成，且每根纵向纤维都受到同样的拉伸。
由此可以得知：杆件在轴向拉伸时横截面仍保持为平面，内力在横截面上是均匀分布的，它的方向与横截面垂直。
即横截面上各点的应力大小相等，方向皆垂直于横截面（图３－８ｃ）。
垂直于截面的应力称为正应力，以σ表示。
若拉杆的横截面积为A ，则由以上分析可知，拉杆横截面上的正应力为σ＝F ＮA （３－１）式中：F Ｎ———横截面的轴力，Ｎ；A ———横截面面积，ｍ２。
对于轴向压缩的杆件，上式同样适用。
由于前面规定了轴力的正负号，F Ｎ有正负之别：拉应力为正，压应力为负。
四、材料在拉伸和压缩时的力学性质由经验可知，两根粗细相同，受同样拉力的钢丝和铜丝，钢丝不易拉断，而铜丝易拉断。
这说明不同的材料抵抗破坏的能力是不同的。
因此，构件的强度与材料的力学性质有关。
所以除了要分析构件受力时的应力外，还应了解材料受力时的力学性质。
所谓力学性质，主要是指材料在外力作用下，变形与所受外力之间的关系。
它必须通过各种实验来测定。
下面介绍材料在常温、静载条件下拉伸和压缩时的力学性质。
这里的常温、静载，是指在室温下载荷由零逐渐缓慢地增加。
１畅拉伸试验和应力－应变曲线拉伸试验是研究材料力学性质最常用、最基本的试验。
为了使不同材料的试验结果便于比较，须将材料按国家标准制成标准试件（图３－９）。
试件的两端为装夹部分，标记m 、n 之间的等截面杆段为试验段，其长度L 称为标距，对圆截面试件规定L ＝１０d 或５d 。
d 为试件的直径。
试验时缓慢加载，随着轴向载荷F 的增加，试件被逐渐拉长，试验段的伸长量用ΔL 表示，试验进行到试件断裂为止。
在试验机上一般都有自动绘图装置，能自动绘出载荷F 与伸长ΔL 间的关系曲线（F －ΔL 曲线），称为试件的拉伸图。
低碳钢的拉伸图如图３－１０所示。
拉伸图既与材料的力学性质有关，又与试件的几何尺寸有关。
例如，如果试件做得粗一些，产生相同的伸长所需的拉力就大一些；如果试件的标距长一些，则在同样的拉力作用下，伸长也·16·会大一些。
为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性质，将拉力F 除以试件的原横截面积A ，以应力σ＝F ／A 来衡量材料的受力情况；将标距的伸长ΔL 除以标距的原有长度L ，以单位长度的变形（ΔL ／L ）来衡量材料的变形情况。
图３－９ 拉伸试件图３－１０ 低碳钢拉伸图 单位长度的变形称为正应变或线应变，用ε表示，即ε＝ΔL L（３－２）正应变是两个长度的比值，为量纲为一的量。
这样就将试件的拉伸图改为以正应力和正应变为坐标的曲线，称为应力－应变曲线或σ－ε曲线。
低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线如图３－１１所示，形状与拉伸图（图３－１０）相似。
图３－１１ 低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线２畅低碳钢在拉伸时的力学性质（１）拉伸试验过程的几个阶段低碳钢在工程上应用比较广泛，且拉伸试验时表现出来的力学性质比较典型。
图３－１１所示为低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线。
从图中可以看出，拉伸过程大致分为四个阶段。
１）弹性阶段 在OA 段内材料的变形是弹性的。
在该阶段内若将载荷卸掉，使正应力σ逐渐减小到零，相应的应变ε也随之完全消失。
