应用首次积分法求非线性薛定谔方程的精确解
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直接微扰方法和非线性薛定谔方程族的近似解的开题报告一、研究背景量子力学中的非线性薛定谔方程是求解一类重要物理问题的基础,如 Bose-Einstein 凝聚和超冷原子气体等。
然而,这些问题往往难以通过解析方法来确定精确的解析解。
因此,我们需要使用一些有效的近似方法来解决这些问题。
在此背景下,直接微扰方法和非线性薛定谔方程族的近似解成为了研究的热门方向。
直接微扰方法是一种利用微小参数来进行求解的方法,可以提供系统的近似解。
非线性薛定谔方程族的近似解则允许我们在更广泛的情况下解决模型,对实际问题具有更强的适用性。
二、研究内容本文拟从以下两个方面进行研究:1.直接微扰方法我们将探索如何使用直接微扰方法来解决非线性薛定谔方程。
我们将介绍直接微扰方法的基本原理和步骤,并将使用实例来说明其有效性。
我们还将研究直接微扰方法的局限性,包括什么情况下该方法不适用以及如何改进它。
2.非线性薛定谔方程族的近似解我们将探讨如何使用非线性薛定谔方程族的近似解来解决一些实际问题。
我们将介绍非线性薛定谔方程族的常用形式,如 Gross-Pitaevskii 方程和 Nonlinear Schrodinger Equation等,并研究它们的近似解的有效性。
我们还将介绍其在物理、化学和工程等领域中的应用,并讨论这些方法的潜在局限性。
三、研究目的本文的研究目的是深入探讨直接微扰方法和非线性薛定谔方程族的近似解。
通过研究这两种方法的基本原理、步骤、局限性和应用,我们将更全面地了解这些方法在解决实际物理问题中的优缺点。
此外,本文将为研究特定问题的理论和实验研究提供有价值的参考。
一类非线性偏微分方程精确解的表达近年来,随着科学技术的发展,人们越来越重视非线性偏微分方程在解决数学、物理和工程问题等方面的应用。
因此,有关非线性偏微分方程的精确解的研究也受到了广泛的关注。
一般来说,由于非线性偏微分方程本身的复杂性,很难求解出精确解。
幸运的是,研究人员发展了各种推导一类非线性偏微分方程精确解的方法,提出了有效的数学算法,大大简化了解非线性偏微分方程的过程。
首先,要求出一类非线性偏微分方程的精确解,需要建立起正确的方程模型。
可以通过多种方法获得正确的方程模型,其中最常见的就是参数估计法,它能够根据实际观测数据来估计适当的参数值。
一旦确定一类非线性偏微分方程的精确解,就可以采用替代求解方法,如拉格朗日法等,根据不同情况使用不同拉格朗日多项式把方程化为某种可以求解的形式,从而得到精确解。
此外,研究人员还提出了一种新的求解方法展开式求解方法,它能够通过把非线性微分方程表达为一系列无穷级数,来求解出精确解。
这种方法使用级数展开把原始方程表达为展开后的连续微分方程,再对连续微分方程进行复分,最后根据分析关系和条件得出精确解。
最后,可以采用迭代法来求解一类非线性偏微分方程的精确解。
迭代法的基本思想是:设定一个初始猜想值,然后不断迭代,每次迭代后,就可以得到越来越接近正确解的新猜想值,最终可以求得精确的解。
总之,本文从理论上讨论了求解一类非线性偏微分方程精确解的方法,介绍了参数估计法、拉格朗日方法、展开式求解方法以及迭代法作为求解一类非线性偏微分方程精确解的主要方法。
这些方法是由研究人员为了进一步研究非线性偏微分方程而提出的,能够有效应对一类非线性偏微分方程的求解,为更复杂的问题的分析与解决提供了有效的数学方法支持。
综上所述,我们可以看出,求解一类非线性偏微分方程的精确解需要在正确的方程模型基础上,使用参数估计法、拉格朗日方法、展开式求解方法以及迭代法等方法,以提高求解准确性和可靠性,为数学、物理和工程等问题的求解提供关键支持。
SCIENCE &TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯直接拟解法求Boussinesq 方程组的精确解李伟李丽(渤海大学数学科学学院辽宁锦州121013)摘要:微分方程包含常微分方程和偏微分方程。
由于非线性偏微分方程是偏微分方程的重要内容,求微分方程的解是微分方程研究的重要内容,从而求非线性偏微分方程的解是微分方程研究内容中的重中之重。
很多重大的物理科学问题和信息技术问题都与非线性偏微分方程的研究紧密相关。
一般来说,求非线性偏微分方程的解是不容易的。
经过科研工作者不断努力已经找到了大量的求解方法。
该文借助于行波变换法,直接拟解法和齐次法解得了Boussinesq 的新解。
这种方法也具有一定的普遍性,可以求一些非线性偏微分方程的解。
关键词:行波变换精确解拟解齐次平衡法中图分类号:O175.2文献标识码:A文章编号:1672-3791(2021)10(c)-0166-03Exact Solution for Solving Boussinesq Equations by Using DirectQuasi SolutionLI WeiLI Li(College of Mathematics and Physics,Bohai University,Jinzhou,Liaoning Province,121013China)Abstract:Differential equations include ordinary differential equations and partial differential equations.Because nonlinear partial differential equation is an important content of partial differential equation,the solution of differ‐ential equation is the important content of differential equation research,so the solution of nonlinear partial differ‐ential equation is the most important content of differential equation research.Many important physical science and information technology problems are closely related to the study of nonlinear partial differential equations.Generally speaking,it is not easy to find the solution of nonlinear partial differential equations.Through the continuous efforts of scientific researchers,a large number of solutions have been found.In this paper,a new solution of Boussinesq is obtained by means of Traveling Wave Transformation method,Direct Quasi solution and Homogeneous solution.This method also has certain universality,and can find the solutions of some nonlinear partial differential equations.Key Words:Travelling wave transform;Exact solution;Quasi solution;Homogeneous Balance method通过科研工作者对非线性偏微分方程求解的深入研究,获得了许多求解的方法,如齐次平衡法[1-3]、有理函数变换法[4]、行波变换法[5-6]、辅助函数法、Riccati 方程法[7-8]、同伦分析法[9]。
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式,简称NLSE,是一类众多物理模型和理论框架
的基础之一,它提供了连续的描述与研究特定物理系统的方法。
它的
发展源于19世纪末罗素以及拉普拉斯的探究,主要用来研究电子在复
杂结构中的行为。
NLSE的几何形式如下:i*(∂/∂z)ψ(z,t)+ (1/2)*(∂^2/∂t^2)ψ(z,t) + f(|ψ(z,t)|^2)ψ(z,t)= 0。
其中,ψ(z,t)
是时间和空间变量之和,z是空间变量,t是时间变量,f(|ψ(z,t)|^2)表示非线性因素,它使得研究者无法解决NLSE,即找到其固定的解决方案。
因此,研究者只能求出NLSE的近似解决方案。
NLSE可以应用于许多研究领域,如电磁场理论、光子学、激光技术、
量子力学、量子电动力学以及凝聚态物理学等。
许多物理学家认为,NLSE提供了一种统一的研究框架,可以帮助我们理解许多复杂的物理
系统。
NLSE也可以用于解决量子物理学中许多热力学问题,如量子热力学、
量子统计力学、量子热力学、量子流体力学等。
它可以用来解释由原
子和分子的行为引起的复杂的热力学行为,也可以用来研究量子系统
中的质量和能量的流动。
NLSE的最新发展,如超几何光学,还提供了一种新的模型来描述复杂
的光学系统,能够准确预测复杂的介质中的光学响应,并提供新的计
算技术。
总之,NLSE是一种综合框架,它提供了一种可以描述物理系统和量子
热力学行为的方法,并可以用来解决许多复杂的物理问题。
它是许多
研究领域的基础,有助于我们更加深入地理解物理系统和量子热力学。
数值计算方法实验报告实验名称:非线性方程近似解的求法实验室:数学实验室专业班级:学号:姓名:一:实验目的进一步了解二分法、牛顿迭代法、弦割法、艾特肯迭代加速等计算非线性方程近似解的方法,提高解决实际问题的能力,熟悉matlab的简单操作.二:实验内容:1、用二分法估计方程在特定区间内的近似值,并显示出在特定误差范围内所需的二分次数。
例:习题二的第2题MATLAB程序源代码:function efenfa(tolerance)a=1;b=2;counter=0;while (abs(b-a)>tolerance)c=(a+b)/2;fa=a^3+4*a^2-10;fc=c^3+4*c^2-10;fb=b^3+4*b^2-10;if (fa==0)|(fc==0)disp(counter);elseif(fa*fc<0)b=c;counter=counter+1;elseif(fc*fb<0)a=c;counter=counter+1;elseif(fb==0)disp(counter)endendsolution=(a+b)/2;disp(solution);disp(counter);实验结果:2. 用newton迭代、弦割法和Aitken加速算法估计方程在特定区间内的近似值(1)newton迭代例:习题二第六题MATLAB源代码:function newton(tolerance)n=1;x0=1.5;a=x0^3+4*x0^2-10;b=3*x0^2+8*x0;x1=x0-a/b;while (abs(x1-x0)>tolerance)x0=x1;a=x0^3+4*x0^2-10;b=3*x0^2+8*x0;x1=x0-a/b;n=n+1;endsolution=x1;counter=n;disp(solution);disp(counter)(2)弦割法习题二第八题:MATLAB源代码:function xuange(tolerate)x0=-2;x1=-1;n=0;while(abs(x1-x0)>tolerate)y0=x0^3-3*x0^2-x0+9;y1=x1^3-3*x1^2-x1+9;x2=x1;x1=x1-y1*(x1-x0)/(y1-y0);x0=x2;n=n+1;enddisp(x1);disp(n)(3)aitken加速迭代例:习题二第九题MATLAB源代码:function aitken(tolarance)x0=1.5;y=g(x0);z=g(y);x1=x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0);k=1;while abs(x1-x0)>tolarance;x0=x1;y=g(x0);z=g(y);x1=x0-(y-x0)^2/(z-2*y+x0);k=k+1;enddisp(x1);disp(k);function f=g(x)f=sqrt(10/(x+4));三、实验结果分析通过对同一个方程进行二分法、牛顿迭代、艾特肯加速迭代、弦割法迭代发现,二分法适用范围广,但是划分区间特别多,牛顿迭代适用面广,可用于求重根和代数方程的复根,具有较快的收敛速度,但是对初始值要求高,计算过程中需要求函数的导数,不利于在计算机上实现,弦割法克服了牛顿迭代要求导数的缺点,但是需要两个初值,收敛速度也不如牛顿迭代,艾特肯可以有效的提高迭代法的收敛速度。
第一类fredholm积分方程最小模解的逼近序列在数学中,Fredholm积分方程是一种常见的函数方程类型,其
中含有一个已知的核函数。
对于第一类Fredholm积分方程,我们可
以通过最小模解的逼近序列来求解其解析解。
首先,我们考虑一个一般形式的第一类Fredholm积分方程:
$$int_a^bK(x,s)u(s)ds=f(x)$$
其中,$K(x,s)$是已知的核函数,$f(x)$是已知的函数,$u(x)$是我们需要求解的未知函数。
为了求解这个方程的解析解,我们需要构造一个最小模解的逼近序列。
具体来说,我们定义序列${u_n(x)}$如下:
$$u_0(x)=0$$
$$u_n(x)=int_a^bK(x,s)u_{n-1}(s)ds$$
然后,我们将这个序列代入原方程中,得到:
$$int_a^bK(x,s)u_n(s)ds=f(x)-sum_{i=0}^{n-1}int_a^bK(x,s)u_
i(s)ds$$
我们发现,随着$n$的增加,${u_n(x)}$逐渐逼近未知函数$u(x)$。
因此,我们可以使用这个序列来逐步求解方程,直到得到最终的解析解。
需要注意的是,这个逼近序列的收敛性需要满足一定的条件。
一般来说,我们需要保证核函数$K(x,s)$是连续的,并且在方程的定义域内有界。
此外,我们还需要保证$f(x)$是连续的。
如果这些条件得
到满足,那么最小模解的逼近序列可以成功地求解第一类Fredholm 积分方程的解析解。
第!期应用首次积分法求非线性薛定谔方程的精确解何晓莹 赵展辉 韩松!广西科技大学理学院"广西柳州!"!##$#摘要 物理$化学$生物$工程技术等自然科学领域中都存在大量的$重要的非线性问题"这些问题的研究最终可用非线性方程这个数学模型来描述"因此非线性方程的精确解一直是研究者关心的问题"本文考虑非线性薛定谔方程的行波解"对方程进行行波变换"把求解偏微分方程转化为求解常微分方程"通过应用首次积分法并借助于符号计算软件"得到了该方程的精确解"关键词 非线性薛定谔方程%首次积分法%行波变换%除法定理%精确解中图分类号 %&'!"()文献标志码 *!"非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域"在研究过程中将会碰到各种各样的非线性方程"这些方程的解析解对于洞察这些问题的物理本质具有很重要的意义"因此非线性方程的求解成为非线性科学研究的关键和难点所在"人们已经建立和发展了许多有效的方法"如反散射变换方法&#'$+,-./012变换法&$'$3456708变换法&%'$经典和非经典李群方法&!'$直接约化法&&'$9展开法&'()'$分离变量法&*'和(三波)法&+'等等"考虑如下的!(:&*维非线性薛定谔方程!+"#$"%*&"''$"()," (*&$!"$*'),它是描写非线性波的调制!即非线性波包*方程"本文利用首次积分法和符号计算软件;4</="得到该方程的精确解"#$%&'()*+考虑下面的!(:&*维非线性偏微分方程,++"""'""%""*""''""%%""**""'%""'*""%*"-*-,"!&*作如下行波变换,"!'"%"**),! *" )-'$.%$/*"可以把非线性偏微分方程!&*转换为常微分方程,0!,", ", ".*-,"!(* 引入新变量1! *-,! *"2! *-.,! *./!>*得到常微分方程组,收稿日期 $,0!(,)(,0基金项目 国家自然科学基金项目1##2'#2$*3002'022%45广西自然科学基金项目!$,006789:;2#*#%)*5广西教育厅科学技术研究项目<$20%=>#)*4%广西科技大学自然科学基金!校科自#%2)##&*资助?作者简介 何晓莹@讲师"研究方向,可积系统与孤子理论"ABCDEFG HIJEDKLEMN,%%0O0'%"PKC",-./0,,!?'!0,!$,0!*,!?,,0+?,!第$&卷第!期广西科技大学学报QKF"$&8K"!$,0!年0$月6R;867S R8SQAT9SU=V:9WSA8WA ;8X UAWY8VZV6=XIP/$2#!广西科技大学学报! !"" #$" ! "!应用除法定理可以得到方程组 ! 的一个首次积分 可以把方程 ! 变成一个可以积分的一阶常微分方程 解这个常微分方程即可得到方程 " 的一个精确解#除法定理 设% & ' 和( & ' 都是复数域上的多项式 % & ' 在复数域上不可约#如果% & ' 的所有零点都是( & ' 的零点 则一定存在复数域上多项式) & ' $使得( & ' !% & ' ) & ' *考虑下面的非线性薛定谔方程+ ,-.,/ 0,11.,2#% 2-3& ,& 14%#作如下行波变换, 1 / - 4' +5 2 1 / - 46 4 17 /. - 481.9/. &8 39 -#方程 # 的第&个方程化为6!&8&8 395&# $代入式 $ 方程 # 的第"个方程化为(8&5%) &3 3 5)&8&8 395*!%# &令! !5 " !+5 +则方程 & 等价于下面的方程组! !"" 4 &3 3 8&!)&8 &8 39!* ' 由首次积分法 设! 和" 是方程组 ' 的非平凡解 则存在复数域上关于变量! "的不可约多项式使得: ! " !8+!%;+ ! "+ !%(其中 ;+ ! +4% " 8 是关于!的多项式且;8 ! %#方程 ( 称为对方程组 ' 的首次积分#由除法定理知 存在一个复数域上的多项式< ! )= ! "使得+:! :+!) :+"! < ! )= ! " 8+!%;+! "+#")一般取作8!&讨论#假设8!& 则方程 ( 变为: ! " 4;% ! );" ! ");& ! "&!%""由方程 "* 可得;%+ ! );"+ ! ");&+ ! "& ") ;" ! )&;& ! " +"!< ! .= ! " ;% ! );" ! ");& ! "& #",将方程组 ' 代入方程 ", 然后比较等式两边的系数"+ +4& " % 可得;& ! != ! ;& !;"+ ! 4< ! ;& ! )= ! ;" !;%+ ! 4< ! ;" ! )= ! ;% ! ,&;& ! &3 3 !)&!*;" ! &3 3 8&!)&8 &8 39!* 4< ! ;% !#"- 因为;+ +4& " % 和= ! 都是多项式 从方程 "- 的第"个方程可以得出;& ! 是常数且= ! !%#为计&%第!期算简便 不妨设!" " #$ 将!" " # " 代入方程 !" 可以得到!" " #$!$# " $% "!%# " $% " !$ " &" "& & "'""(!$ " "& & "'""( $% " !% ")!$ 通过比较方程组 !$ 各方程两边"的次数 可得*+, % " #$ 设% " #)%')$" 其中)$ % 将% " 代入方程组 !$ 可得到!$ " #$)$""')%"'*$!% !% " $ )$"&$ "!'$)%)$"('" +)%"'"&" "+)$*$'"+" ""')%*$"'*") !& 其中 *$和*"是任意常数)把!% " !$ " 和% " 带入方程组 !$ 的最后一个方程 然后合并方程两边", ,#. ! ( " $ % 的系数 并令它们为零可以得到". &)$('")$#%!' "! ( )%'.)%)$"#% !( "( "*$' "' &( &)%")$"&")$ + & " '"&)$"*$"#%!) "" &)%("&" + & " '"&()%)$*$"#% *+ "$ *$ "& & '"&)%"*$&)$*"#% *! "% )%*"#%**解方程 !' /方程 ** 可得到)$#!' "' &()%#% *$#&' "' &( + & " '")*"# "' &(+ & " "*"将解 *" 代入方程 !% 方程 !& 得到!$ " $"'"' &( ""&' "' &( + & " '" *$ !% " $$' "' &( "!& + & "'"""' "' &( + & " "!'() *%再将!% " !$ " 和!" " 代入方程 !! 得到$' "' &( "!& + & "'"""' "' &( + & " "!'('"' "' &(""&' "' &( + & "'"-+-"#%) *&解方程 *& 求出-的解为-#*"#&"'""' "' &( + & " "'' "' &() *'解方程 *' 得到"#&&"' "' &( + & ""'012& '.+(/' "' &( 0+* &" + & ")*(其中*是任意常数)何晓莹等 应用首次积分法求非线性薛定谔方程的精确解"$广西科技大学学报所以得到薛定谔方程 ! 的解! " # $ %!& "' #' $"(#) $) *+ , * $%&'" )"'+#( #) *+ $'- *# ' * # #)"# . " # $ %* , * # %&'#) )",+#( $) *+ $,- *$ , * $*$%!借助符号计算系统&'()*和利用首次积分法 得到了 "+, 维非线性薛定谔方程的精确解*首次积分法是求解非线性偏微分方程的直接而有效的方法 希望能将此方法作进一步推广 使之适用于更广泛的非线性偏微分方程的求解中*参考文献, -.)/0123&4 5)'678/9:-*;/)12/9*</9)19*'6=>/)?21/9=@?'21/98'9A B9>*68*;C'22*619D E6'98F/6G & *5'G.61AD*+5'G.61AD*H91>*:6*88 ,##,*" I/D**685 ;J'A01C7K L *M &C7)?9A E6'98F/6G'21/98 & *<*0N/67+-C'A*G1C :6*88 ,#OP * Q 谷超豪 郭柏林 李翊神 等*孤立子理论及其应用 & *杭州+浙江科技出版社 ,##%*R ,-.S'93* T141.19 T1?T*1*T1*/6/?(0)'881F1C'21/98'9A 1U'C22/)?21/98F/630/4'61.)*VC/*FF1C1*921@?'21/98 4 5-(()5&'2J 55/G(?2 "%%# ",! "#"WV"#Q!5! E'9D X N T194 T/?;N 55/9A121/9');1G1)'612Y 2/)?21/98/F 2J*M/?8819*8@1@?'21/9 4 55/GG?91C'21/9819EJ*/6*21'):JY81C8"%%, Q! Q +Q##VR%R 5Z 韩松 赵展辉 王琦 等55&[:方程及\5&[:"6方程的精确行波解 4 5广西科技大学学报 "%,R "! " +,V!5 W 何晓莹5应用扩展LV 展开法求解非线性薛定谔方程 4 5广西工学院学报 "%," "Q , +O"VO!5O 何晓莹 赵展辉5 "+, 维耗散长水波方程的非行波解 4 5西北师范大学学报 自然科学版 "%,Q R# ! +RQVRZ 5# ]J'/] ^'1] K'9D 55=U2*9A 3J6**V0'>*7*2J/A F/62J* ,+P V 81G*981/9')B2/1@?'21/9 4 5-(()5&'2J 55/G(?2 P%,% P,W ! +PP#!VPQ%%5"#$%&'()&*)$+',-.$)#/0%/'$1,2)(/-3)&/*)/)#$*/*-&*$,'42#'0&*+$'$53,)&/*(S=X1'/VY19D 9]S-_]J'9VJ?1:S-<;/9D5/))*D*/F ;C1*9C*:\?'9DU1H91>*6812Y /F ;C1*9C*'9A E*CJ9/)/DY :T1?3J/?!R!%%Z :5J19'67()',2) EJ*9/9)19*'6*>/)?21/9*@?'21/98 <T==8 19G'9Y 9'2?6')8C1*9C*8F1*)A8)17*(JY81C8:CJ*G1826Y '9A .1/)/DY :*2C 5*UJ1.12'61CJ >'61*2Y /F 9/9)19*'6(J*9/G*9'5K*J'>*.**9>*6Y C/9C*69*A './?22J**U'C28/)?21/98/F 2J*8**@?'21/985K*82?AY 2J*26'>*))19D 0'>*8/)?21/98F/62J*9/9)19*'6;CJ6;A19D*6*@?'21/985K*F1682CJ'9D*2J**@?'21/982/'91A*921C')A1FF*6*921')*@?'21/98.Y ?819D 2J*26'>*)19D 0'>*26'98F/6G'21/95EJ**U'C28/)?21/98'6*/.2'19*A.Y ?819D 2J*F1682192*D6')G*2J/A 012J 2J*J*)(/F 8YG./)C/G(?2'21/98/F20'6*58$9:/'0( 9/9)19*'6;CJ6<A19D*6*@?'21/98=F1682192*D6')G*2J/A =26'>*))19D 0'>*26'98F/6G'21/9=A1>181/92J*/6*G =*U'C28/)?21/9责任编辑 黎娅;;$$。