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第一章矩阵及其初等变换1.2 Gauss消元法与矩阵的初等变换1.2.4初等矩阵四. 初等矩阵例1.112006000013015422A212645230100252100026013045 25230451030125002010126530140 1325141625221,2A 单位阵行左乘互换所得矩阵1,2A 的将行互换25A 单位阵行左乘所得矩阵25A 将的行153A 单位阵行倍乘加到第左行153A 的行倍加到第将行初等矩阵: 对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵i 行j 行三种初等矩阵:1111111001ij P,,j i j i 行互单换位阵的列互换i 行i 行j 行1111ij P c c11i P c c0ci i c c 行单位阵的列i c j j c i 行加到行单位阵的列加到列定理:对A 作一次行(列)初等变换, 相当于在A 的左(右)边乘上相应的初等矩阵.左乘行右乘列应用:1.A 经有限次行初等变换得B , 则存在有限个初等矩阵E 1, …, E k , 使得2.A 经有限次列初等变换得B , 则存在初等矩阵E 1, …, E k , 使得3. A 经有限次初等变换得B , 则存在初等矩阵P 1, …, P k , Q 1, …, Q t 使得12kB AE E E 111k k k B P P AQ Q Q 11k k B E E E A例2.设矩阵则B = ( )111213131211122122232322212231323333323132,,a a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a123110100001010,110,010,001001100P P P23133123A P APB AP PC AP PD AP P 分析:A B 经由列初等变换得到B A 右乘列变换相应的初等矩阵1121,1,3A A A 将的第列加到第列得再将的列互换i P右乘对应列变换12:1P 第列加到第列21:2P 第列加到第列31,3P ：列互换12,A AP 1323B A P AP P。
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
《高等代数》第一章多项式讲稿本章教学目的及要求：1．理解和掌握数域，多项式，整除，最大公因式，互素，不可约多项式，本原多项式，重因式，重根等概念；2．掌握多项式的运算性质，带余除法，辗转相除法，会求最大公因式，会将对称多项式化为初等对称多项式的多项式；3．掌握多项式的重因式和重根的判别；4．理解因式分解及唯一性定理及其应用；实系数多项式因式分解定理，复系数多项式因式分解定理。
5．掌握有理系数多项式因式分解与整系数多项式因式分解的关系，掌握整系数多项式有理根的性质，会用艾森斯坦（Eisenstein）判别法判别整系数多项式的不可约性。
本章基本教学内容：§1 数域［本节的教学目的及要求］1．理解数域的定义；2．会用定义证明给定数集是否是数域。
［本节基本教学内容］1．数域的基本概念数是数学的一个最基本的概念。
我们的讨论就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，大体上看，是自然数到整数、有理数、然后是实数、再到复数。
这个过程反映了人们对客观世界认识的不断深入。
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定所考虑的数的范围。
譬如说，在解决一个实际问题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所允许的取值范围有关。
又如，任意两个整数的商不一定是整数，这就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做的。
因此，在数的不同的范围内同一个问题的回答可能是不同的。
我们经常会遇到的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然具有一些不同的性质，当然，它们也有很多共同的性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一进行讨论。
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质。
代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的。
有时我们还会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当我们把这些数当作一个整体来考虑时，常称它为一个数的集合，简称数集。
在本课程主要讲两个内容:1、知识总结2、例题选讲 分七块选讲：1、多项式 2、行列式 3、线性方程组与矩阵 4、二次型 5、线性空间与线性变换 6、欧式空间 7、λ矩阵例题又涉及单个内容的，也有涉及综合内容的。
一、多项式主要内容：多项式的次数的概念：多项式的加减乘除四种运算在除法运算中，分整除与不整除两种情况。
带余除法会用，最大公式求法、性质、互素的概念、性质、判别，因式分解、重因式、根、实子数、复子数、有理子数多项式的因式分解。
二、例题选讲：1、设1P ，2P ，...， S P ,是S 个互不相同的素数，n>1.证明:作多项式f (x )=n x - 12...S P P P （利用爱森斯坦判别法）它在有理数域上不可解，故f (x )为f (x )的根，故它不是有理数。
用反证法也可以。
2、设f(x)是一个n 次多项式，f '(x)f(x) ⇔f (x )证明有n 重根。
证明： 充分性：设f(x)有n 重根α，则f(x)=n a(x-)α, 则f '(x)=n n-1a(x-)α，显然f '(x)f(x).必要性：设12s ,,..., ααα是f '(x) 的所有互不相同的根，且重数分别为m 1, m 2… m s ,则m 1+m 2+… +m s =n -1 (1)由于f '(x)f(x)，所以12s ,,..., ααα是f(x)的根且重数分别为m 1+1, m 2+1… m s +1，于是（m 1+1）+（m 2+1）+… +（m s +1）=n （2）由（1）（2）得，n-1+s=n ⇒ s=1, 故f '(x)只有一个根，重数为n-1. 故α是f(x)的n 重根。
3、证明：多项式f(x)= 33132mn p xxx++++能被21x x ++整除。
证明：设ε是21x x ++的任一根，则21εε++=0，于是3ε=1331323322()()10mn p n p εεεεεεεεε++++=+=++=4、设f(x)与g(x)不全为0，n 为任意正整数，证明n(f(x),g(x))=nn(f (x),g (x))。
证明：设(f(x),g(x))=d(x)，且1f(x)=d(x)f ()x ,1g(x)=d(x)g ()x且12(f (x),g (x))=1，⇒n n 12(f (x),g (x))=1，又n n 1f (x)=d (x)f ()n x ，n n 1(x)=d (x)g ()ng x故n n d (x)=(f (x),g ())n x5、设21()x f x +22(1)()(1)()(2)()0 (1)(1)()(1)()(2)()0 (2)x h x x f x x g x x k x x f x x g x ⎧+++++=⎪⎨++-+-=⎪⎩证明2(1)()x f x + 2(1)()x g x + 证明：把两式相加：2(1)(()())2(()())0.......(3)x h x k x x f x g x ++++=相减：2(1)(()())2()4()0.......(4)x h x k x f x g x +-++= 由（3）得，2(1)2(()())x x f x g x ++，但2(1,2)1x x += 故2(1)()()x f x g x ++.. (5)由（4） 2(1)2()4()x f x g x ++=2(()())2()f x g x g x ++ 故21()x g x +，再由（5）21()x f x +.6、设f(x)、g(x)、h(x)均为复系数多项式，证明如果222()()()f x xg x xh x =+,则f(x)=g(x)=h(x)=0, 对复系数多项式此结论是否成立？证明：反证，若至少有一个不为0，不妨设()0f x ≠,则2()f x 为偶函数，22()()xg x xh x +为奇函数对复系数多项式，f(x)=0,g(x)=1+i ,h(x)=1-I 满足22()()()f x xg x xh x =+ ，但不全为0. 7、11dnx x -- ⇔ dn证明：⇐dn，则n=dg.于是1nx -=1dgx -=()1d g x -=(1)(2)(1)(...1)d d g d g dx xxx ---++++⇒n=dg+r 0r ≤<d于是1n x -=1dg r x x -=1dg r r r x x x x -+-=(1)(1)r dgrx xx -+-⇒11drx x -- ⇒r=0 即 n=dg8、设()f x =(1)k nx +++12(1)k n x x +-++…+(2)(1)k nx x +,证明11(1)()(1)k k n xx f x x +++-++证明：(1)x -()f x =(1)x -(1)nx +[1(1)2(1)...(2)kk kx x x x ++++++]=(1)n x +[2(1)x x -+][1(1)2(1)...(2)k k k x x x x ++++++] =(1)n x +[11(2)(1)k k x x ++-+]=11(2)(1)(1)k n n k x x x ++++-+ 于是1(1)()(1)k n x f x x ++-++=1(2)(1)k n x x ++ 于是11(1)()(1)k k n x x f x x +++-++.9、用M 表示P[x]中一切形如()()()()u x f x v x g x +的非零多项式组成的集合。
其中()u x ，()v x []P x ∈，证明M 非空且M 中次数最低的多项式都是()f x 与()g x 的最大公因式。
证明：设()((),())d x f x g x =，则11()()()()()d x u x f x v x g x =+，故()d x ∈M.因而M 非空。
设()h x 使M 中次数最低的多项式且非空，则00()()()()()h x u x f x v x g x =+.因为()()d x f x ，()()d x g x ，所以()()d x h x再证()()h x d x . 用()h x 去除()d x ，则()()()()d x h x q x r x =+，其中()r x =0或()()r x h x ∂<∂.于是()()()()r x d x h x q x =-=1100()()()()[()()()()]()u x f x v x g x u x f x v x g x q x +-+ =1010[()()()]()[()()()]()u x u x q x f x v x v x q x g x -+-证r(x)=0. 如果()0r x ≠，则()r x M ∈且()()r x h x ∂<∂。
这与h(x)是M 中次数最低的多项式矛盾，故r(x)=0因而()()h x d x 。
10、求（1m x -，1nx -）.解：设()(1,1)mng x x x =--，现求()g x ，设(,)m n =d ，则d m ，d n 。
从而，11dmx x --，11dnx x --，于是1()dx g x -，因d=(m,n) 所以有整数r ，,s 使rm+sn=d 由上题11mrmx x --，11n snx x--于是()(1)(1)rmsng x x x--，但(1)(1)rmsnx x--=1rm snrmsnxxx+--+=(1)(1)1rm snrmsnxxx+-----=(1)(1)(1)drmsnx xx-----从而，()(1)dg x x -，于是()1dg x x =-11、若()n f x 能被()k x a -除尽，0a ≠，证明()n f x 也能被()n n k x a -除尽 证明：令()()n F x f x =，则()F x 能被()k x a -除尽，即a 是()F x 的k 重根，于是1()()n n F x f x nx -''=有k-1重根a因a 0≠，故()0n F a '=，即a 是()n f x '的n 重根。
按此考虑下去知，a 是()n f x ''的 k-2重根……a 是(1)()k nfx -的单根，因而(1)()()()0n n k nf a f a fa -'===于是n a 是()f x 的k 重根，于是()()()n k f x x a x ϕ=-，因而()()()n n n k n f x x a x ϕ=- 12、设()f x 与()g x 为两个非零多项式，证明()f x 与()g x 不互素⇔存在多项式h(x), k(x),使()()()()0f x h x g x k x +=其中, 0()()h x g x <∂<∂，0()()k x f x <∂<∂。
证明：⇐设()()()()0f x h x g x k x +=，则()()()[()]f x h x g x k x =-，从而，()()()g x f x h x 。
下证()f x 与()g x 不互素。
若((),())1f x g x =，则()()g x h x 。
从而()()g x h x ∂≤∂它与()()h x g x ∂<∂矛盾。
⇒若()f x 与()g x 不互素，则((),())()f x g x d x =，其中()0d x ∂≥令()()()g x h x d x =，()()()f x k x d x =-，则()()()()0f x h xg x k x +=，因()0d x ∂≥故()()h x g x ∂<∂，()()k x f x ∂<∂13、设()f x 与()g x 是两个非零多项式，证明如果对任意多项式h(x)，由()()()f x g x h x 可推出()()f x h x ，则((),())1f x g x =证明：反证。
若((),())1f x g x ≠，令((),())(f x g x d x=，则()0d x ∂>，这时，1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =。
显然1()()f x f x ∂<∂，现在1111()()()()()(()g x f x d x g x f x f g x ==，这说明1()()f x f x ，这与1()/()f x f x 矛盾，故((),())1f x g x = 14、设21()1...n f x x x x-=++++，证明()f x 整除2()(())n ng x f x x x =+-证明1：()(1)1n f x x x -=-，所以2()(())nng x f x x x =+-=22()2()nnnf x f x x x x ++-=()[()2](1)n n n f x f x x x x ++-=()[()2]()(1)n n f x f x x x f x x ++- =1()[()]n n f x f x x x +++，即()()f x g x 。
