高数习题第五章习题黄立宏第4版

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第四版概率论与数理统计答案

P P
点（ a , b）连续，则： g ( X n , Yn ) ⎯ ⎯→ g ( a , b )
P
▲ 定理一的等价叙述：定理一设随机 X 1 , X 2 ,
同的数学期望和方差：
E ( X k ) = μ , D( X k ) = σ 2 , k = 1,2,
1 n Xn = ∑ Xi n i =1
近似服从
X
~
近似服从
N ( nμ , nσ ) 或
2
X − nμ 近似服从 ~ N ( 0,1) nσ
X −μ
近似服从
X
~
N (μ ,σ / n)
2
或
σ/ n
~
N ( 0 ,1)
例1、一加法器同时收到 20 个噪声电压 V k , 设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（ 0，） 10 上服从均匀分布，记 V = 求 P { > 105 } V 的近似值？
解：则该随机变量服从X~b(90000,1/3)，其分布律为
⎛ 90000 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ P{ X = k } = ⎜ ⎜ k ⎟⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
k 90000− k
, k = 0,1,
,90000
所求的概率为
⎛ 90000 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ P {29500 ≤ X ≤ 30500} = ∑ ⎜ ⎜ k ⎟⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎟ k = 29500 ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dt = Φ( x )
证明： η n ( n = 1 , 2 ,
)可分解为 n 个相互独立、服从：
同一（ 0 − 1 ）分布的随机变量之和 + Xn ηn = X1 + X 2 + 其中： EX 由定理四， ⎧ ⎪ lim P ⎨ n→ ∞ ⎪ ⎩ =

《高等数学第五版》(黄立宏)(上)第4章习题详解附答案

习题4-11. 利用定义计算下列定积分：定积分定积分的概念定积分的定义(1) d ();b ax x a b <⎰ 10(2)e d .x x ⎰解：(1)将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=-L 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==L 则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2) 将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-L 记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==L 则和式111()innni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i nn xn n n n n n i n n n nn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰L2. 利用定积分概念求下列极限：定积分定积分的概念定积分的定义111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭L ；21(2)lim n n →+∞+L解：(1)原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n xnn n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰L (2)原式13200122lim ..33n x x n →+∞====⎰L 3. 用定积分的几何意义求下列积分值:定积分定积分的概念定积分的定义10(1)2 d x x ⎰；(2)(0)x R >⎰.解：(1)由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2) 由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 4. 证明下列不等式：定积分定积分的性质定积分的性质2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰； 21(2)1e d e.x x ≤≤⎰证明：(1)当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤由积分的保序性知：222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤ 由积分的保序性知：2111d e d ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.x x ≤≤⎰5. 证明：(1) 12lim 0;nn x →∞=⎰(2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰定积分定积分的性质定积分的性质定积分定积分的性质积分中值定理证明：(1) 当102x ≤≤时，0,n n x ≤≤于是1112200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：12lim 0.nn x →∞=⎰(2) 由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰Q习题4-21. 计算下列定积分：定积分定积分的计算微积分学基本定理3(1)x ⎰； 221(2)d x x x --⎰；π(3)()d f x x ⎰，其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩；222(4)max{1,}d x x -⎰；(5)x .解：(1)原式43238233x ==-(2)原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰01232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= (3)原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰(4)原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5)原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=2. 计算下列导数：定积分定积分积分法复合函数求导法20d (1)d x t x ⎰；32d (2)d x x x ⎰解：(1)原式2=(2)原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰3. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x .定积分定积分积分法复合函数求导法解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 4. 求由方程e d cos d 0yxt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.定积分定积分积分法复合函数求导法解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 cos sin 1xy x '=-.5. 求下列极限：定积分定积分积分法微积分学基本定理2030ln(12)d (1)lim xx t t x →+⎰； 2220020e d (2)lim e d x t xx t t t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰.解： (1)原式21222300ln(12)22lim lim ln(12).333x x x x x x →→+==+=(2)原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰6. a , b , c 取何实数值才能使201lim sin x bx t c x ax →=-⎰ 成立.定积分定积分积分法复合函数求导法解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.习题4-31. 利用基本积分公式及性质求下列积分：不定积分求不定积分的方法基本积分公式2(1)5)d x x -;解：原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰. (2)3e d x x x ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛ +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x +-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰; 解：原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解：原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰解：原式=e d d e 2.xx x x x c x-=-+⎰⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰ 解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x ⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 2. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程. 不定积分求不定积分的方法基本积分公式解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+. 3. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立.不定积分求不定积分的方法基本积分公式(1)()2(1)xdx d x =-；(2)()22x xx dx d e e =；(3)()(35ln )d xx xd -=； (4)()33(1)x x a a dx d =-；(5)()sin3cos3xdx d x=；(6)()2cos5tan5dxxd x =；(7)()221ln1x x ddx x=--；(8)()l2552ndd xxx=--；()(1arcs in)d x-=；(10)()2arcta9n13ddxxx=+；(11)()()2(3)(3)4dx dx x=---；(12)()22(1)x xx de d e--+=. 4.利用换元法求下列积分：不定积分求不定积分的方法基本积分公式2(1)cos()dx x x⎰;解：原式=22211cos d sin.22x x x c=+⎰(2)x;解：原式=12333(sin cos)d(sin cos)(sin cos).2x x x x x x c---=-+⎰2d(3)21xx-⎰;解：原式=1d112x c=+-+⎰.c=+3(4)cos d x x⎰;解：原式=231(1sin)dsin sin sin.3x x x x c-=-+⎰(5)cos cos d2xx x⎰；解：原式=1133d sin sin.cos cos232222xxx x cx⎛⎫=+++⎪⎝⎭⎰(6)sin2cos3dx x x⎰;解：原式=111(sin5sin)d cos cos5.2210x x x x x c-=-+⎰2arccos(7)xx;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10xx x c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解：原式=2.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解：原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解：原式=51e5xc --+.d (12)12xx -⎰; 解：原式=1ln .122c x -+-(13)t;解：原式=.c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=ln .cos c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x ==+⎰⎰2(18)e d x x x -⎰;解：原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++. (20)解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解：原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ; 解：原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰arcsin .xa c a =⋅d (23)e ex x x-+⎰;解：原式=2d(e )arctane .1(e )x x x c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式.c =(27)⎰;d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) d ;x x⎰解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x ===故上式33arccosc x+.(29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t 所以sin t =,故上式c =+.(30)解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② 1t c =+ ② - ① 2 l n sin cos t t c =++ 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰5. 用分部积分法求下列不定积分：不定积分求不定积分的方法分部积分法2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x⎰; 解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故11ln .22x c x =+6. 求下列不定积分：不定积分求不定积分的方法分部积分法221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.习题4-4利用计分表，计算下列不定积分：（1）2sin3d x e x x -⎰；解：由积分表（十三）中公式（128）得()()()222221sin 32sin 33cos32312sin 33cos313x xxe xdx e x x C e x x C ---=--+-+=-++⎰（2）x ；解：令u =，则dx =，由积分表（六）中公式（39）得(9ln 2ln 4u C C⎤==+⎥⎦=++（3）arcsin d 2xx x ⎰；()()2221142arcsin sin 22421arcsin 22x x x x dx acr C x x C⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰由积分表十二中公式得（4）；()()12,,45211ln 221ln 22x u dx du u C x C ==⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=++令则由积分表七中公式得（5）()21d 1x x x -⎰；()()()2261111ln 11111ln xdx C x x x x xCx x--=-++--=--+⎰g 由积分表一中公式得（6）x ； ()()51111arccos arccos 1C Cx x =+=+由积分表七中公式得（7）x x ⎰；()()((256121ln .88x xx x C =-++⎰由积分表七中公式得（8）x ；()()().5961=arcsin .x C ==-+⎰⎰Q 由积分表八中公式和得（9）x ；()()12,3721313ln 32u x dx du C C x=====+令则，由积分表六中公式得（10）4sin d x x ⎰.()()432339513sin sin cos sin 441311sin cos sin cos 4422133sin cos sin cos 488xdx x x xdx x x x x dx x x x x x C=-+⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦=--++⎰⎰⎰由积分表十一中公式得习题4-51. 利用被积函数奇偶性，计算下列积分值（其中a 为正常数）定积分定积分的计算微积分学基本定理(1)sin d ;||aa xx x -⎰解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数，故sin d 0.||a a xx x -=⎰(2)ln(a ax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln3xx+-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰2. 计算下列积分：定积分定积分的计算？？此处更细还需看(1)1x -⎰；2e 1(2)⎰；π40sin (3)d 1sin xx x+⎰；0(4)x ⎰；231(5)ln d x x x ⎰； π220(6)e cos d x x x ⎰；322d (7)2x x x +-⎰；21(8)x ⎰； ππ3π(9)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； 2120(10)e d t t t -⎰；π22π6(11)cos d u u ⎰.解：(1)()()()()111111311122115451415441554541616125542541631616xx xx x----------=-=-+=---=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰g g(2)原式=221e211).(1ln)d(1ln)x x-=++=⎰(3)原式=πππ244422000sin(1sin)sind d tan dcos cosx xx x x xx x-=-⎰⎰⎰π4π12.tan4cosx xx⎛⎫==+-+⎪⎝⎭(4)原式=πππ2π0002d cos d cos dcosx x x x x xx==⎰⎰ππ2π02x x==(5)原式=22243411111151ln d d4ln2.ln44164x x x xx x=-=-⎰⎰(6)ππππ22222222000e cos d e dsin e sin2e sin dx x x xx x x x x x==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π222200e2e d cos e2e cos4e cos dx x xx x x x=+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e2)5-.(7)原式=3322111111d ln ln2ln5.333122xxx x x-⎛⎫==--⎪-++⎝⎭⎰(8)原式11611d6d(1)t1t tt t t⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+(9)原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ (10)原式=2212122ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰(11)原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 22624u u u u ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭⎰3. 证明：2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；定积分定积分的计算换元法证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立.4. 证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算0a⎰(a 为正常数)定积分定积分的计算换元法证明：ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x=++⎰⎰又 πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令5. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.定积分定积分积分法分部积分法解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰习题4-61. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：定积分反常积分反常积分的计算：定积分的计算22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=100e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n xx n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰L(4)(0)aa >⎰;解：原式=000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=1120+⎰22122111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰2. 讨论下列广义积分的敛散性：定积分定积分的计算反常积分的计算:定积分的计算2d (1)(ln )kxx x +∞⎰; 解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x kk +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰.解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b k k b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散. 3. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰，求：定积分定积分的计算反常积分的计算：定积分的计算sin cos (1)d ;x xx x+∞⎰220sin (2) d .x x x +∞⎰ 解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰ (2)222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 定积分反常积分反常积分敛散性定理证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题四1.填空题（1）设40ln sin d I x x π=⎰，40ln cot d J x x π=⎰，40ln cos d K x x π=⎰，则,,I J K 的大小关系是 I K J << . 定积分定积分积分法牛顿莱布尼兹公式（2）设2x e -是函数()f x 的一个原函数，则(2)d f x x =⎰2412x e C -+ .定积分定积分的计算换元法（3）设[]x 表示不超过x 的最大整数，则定积分[]()2012d x x x -⎰的值是多少 1006 .定积分定积分的计算牛顿莱布尼兹公式（4）已知函数()f x ，则1()()d f x f x x '''⎰的值为14.定积分定积分的计算复合函数求导法（5）反常积分220d (1)x x x +?+ò的值为 12.定积分反常积分的计算定积分的计算2.选择题（1）设函数()f x 与()g x 在(,)-∞+∞内皆可导，且()()f x g x <，则必有（ A ）.定积分定积分的性质定积分性质A.0lim ()lim ()x x x x f x g x →→< B.()()f x g x ''< C.d ()dg()f x x < D.()d ()d xxf t tg t t <⎰⎰（2）下列定积分中，积分值不等于零的是（ D ）.定积分定积分的计算A.20ln(sin x x π⎰B. 2cos 0sin(sin )d x e x x π⎰C.cos 2d x x ππ-⎰ D.2222sin cos d cos 2sin x xx x x ππ-++⎰（3）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，“⇔M N ”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（ A ）. （05年全国考研题第（8）题）定积分定积分基本公式原函数定义A.()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数B.()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数 B.()F x 是周期函数()⇔f x 是周期函数 D.()F x 是单调函数()⇔f x 是单调函数（4）设ln xx为()f x 的一个原函数，则()d xf x x '=⎰（ D ）.定积分定积分基本公式原函数定义A.ln x C x + B.2ln 1x C x ++ C.1C x + D.12ln xC x x-+ （5）设函数1()sin()d ,()ln(1)d xf x x t tg x x xt t =-=+⎰⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ C ）.定积分定积分的计算牛顿莱布尼兹公式A.高阶无穷小量B.低阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量 3.利用定积分概念求下列极限：定积分定积分的概念定积分的定义（1）lim n →∞；解：（1）()()11112001=lim 12131333nn n i n x d x →∞=-===++==⎰⎰g原式（2）1lim ln 1ln 1ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎛⎛+++++⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎝⎣⎦L . 解：（2）有定积分的定义可得(101lim ln 1ln 1ln 1ln 1n dx n →∞⎛⎫⎛⎛⎛+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎝⎭⎰L ()120ln 1u du =+⎰（令2x u =）2111200011ln(1)ln 2(1)011u u u du u du du u u =+-=---++⎰⎰⎰11ln 21ln 222=-+-=4*. 已知曲线在点(,)x y 处的斜率为2sin cos x x +，且曲线过点(,0)π，求该曲线的方程. 不定积分不定积分的计算基本积分公式解：由已知2sin cos ,(2sin cos )2cos sin y x x y x x dx x x C '=+=+=-++⎰，由于曲线过(,0)π，则有2C =-，因此所求曲线方程为2cos sin 2y x x =-+-.5*. 设函数()f x 连续，且满足0()()d (2)2xx x t f t t x x e x -=-+⎰.(1)求函数()f x 的表达式；定积分定积分的计算牛顿莱布尼兹公式(2)求函数()f x 的单调区间与极值.微分中值定理函数的单调性与凹凸性函数凹凸性判别法解：（1）00()()()()(2)2xxxx x t f t dt xf t dt tf t dt x x e x -=-=-+⎰⎰⎰，方程两边对x 求导数，则有20()(2)2xx f t dt e x =-+⎰，再对x 求导数得2()(22)x f x e x x =+-.（2）()(4)xf x x x e '=+，令()0f x '=得04x x ==-或.所以，函数()f x 的单调增加区间为(),4(0,)-∞-+∞与；单调减少区间为[]4,0-.函数()f x 的极大值为()446f e --=，极小值为()02f =-.6*.设函数2202(1)d ,0,(),0,x t e t x f x x A x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰问当A 取何值时，()f x 在0x =处可导，并求出(0)f '的值. （国防科大09-10年秋季第三大题第2小题）解：()()()()()()()()()()()22222224222020022020304221214limlimlim 02010lim lim 000110limlim2124limlim 33xt x x x x xt x x xt xt x x x x x e dte xx xxf x x e dtA f x f x x xA A e dt e dt x f xx exx →→→→→→→→→--====---=-==--'==-==⎰⎰⎰⎰Q g 若在处可导，则存在，若，则上述的极限不存在为无穷大，故于是283x =定积分定积分的计算牛顿莱布尼兹公式7*.设函数()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续，且满足2222()cos ()d x f x x xe f t t ππ-=++⎰，求()f x 的表达式.定积分定积分的计算牛顿莱布尼兹公式解：设22()a f x dx ππ-=⎰，则有22()cos x f x x xe a =++，所以有222222(cos )2cos 2x a x xe a dx xdx a a ππππππ-=++=+=+⎰⎰，解得2(1)a ππ=-，因此所求函数的表达式为22()cos 2(1)xf x x xe ππ=++-.8. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1exx+⎰; 不定积分求不定积分的方法基本积分公式解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=+-验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;不定积分求不定积分的方法基本积分公式解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证： 921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x=+==所以，结论正确.(5)sin(ln)dx x⎰;不定积分求不定积分的方法基本积分公式解：1sin(ln)d sin(ln)cos(ln)dx x x x x x xx=-⋅⋅⎰⎰sin(ln)cos(ln)sin(ln)dx x x x x x=--⎰所以，原式=().sin(ln)cos(ln)2xcx x+-验证：()sin(ln)cos(ln)2xcx x'⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln)cos(ln)cos(ln)sin(ln)22sin(ln).xx x x xx xx⎛⎫=+-⋅+⋅⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d(e1)xxxx+⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解：原式=1e1d d de1e1e11ee1xx x x xxx xx x x--⎛⎫-=-+=-+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1e).e1xxxc--=-+++验证：22(e1)e e eln(1e)(e1)1e(e1)e1x x x xxx x xxx xxc---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦.故结论成立.23/2ln(7)d(1)xxx+⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解：原式=1ln d d ln(.x x x cx=-=++⎰验证：ln(x c '⎤-++⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tantan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;不定积分求不定积分的方法分部积分法解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).不定积分求不定积分的方法分部积分法解：1sin d sindcos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x x n n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.9. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.不定积分求不定积分的方法基本积分公式解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰10.计算下列积分：(1)1解：210210211220,1,2,3110422=2111212ln 1112ln 2t x t dx tdt x t x t t tdt dtt t dt t t t ==-=-====-∴=--⎛⎫=+=⎡+-⎤ ⎪⎣⎦-⎝⎭=-⎰⎰⎰则当时,,当时，原式 (2)1定积分定积分的计算基本积分公式解：原式=211112⎛⎫+ ⎪-== (3) ln3ln 2d e ex xx--⎰;定积分定积分的计算基本积分公式解：原式=ln3ln32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x -==-+⎰(4)x ⎰;定积分定积分的计算分部积分法解：原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=(5)120ln(1)d (2)x x x +-⎰;定积分定积分的计算分部积分法解：原式=111000111ln(1)ln(1)d d 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰(6){}230max ,d x x x ⎰.解：{}2123301122401max ,1151724244x x dx xdx x dxxx =+=+=+=⎰⎰⎰11. 计算下列积分（n 为正整数）：（1）1;n x ⎰定积分定积分的计算换元法解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342, 253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰L L为偶数, 为奇数.(2)π240tan d .n x x ⎰定积分定积分的计算分部积分法解：πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tantan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+-L。

高等数学上(修订版)黄立宏(复旦出版社)__习题四答案详解

1. 利用定义计算下列定积分：（1）d ();bax x a b <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b ax n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得22122()(1) d lim ()lim[()]21().2nbi i an i b a n n x x f x a b a n b a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .x x ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==- 记每个小区间长度1,i x n∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ== 则和式111()innni i i i f x enξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i nn xn n n n n n i n n n nn n n n n x n n n nn n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 3. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e eed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.x x ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤由积分的保序性知：2111d ed ed x x x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.x x ≤≤⎰4. 证明：（1） 12lim0;nn x →∞=⎰证明：当12x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是11120110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：12lim 0.nn x →∞=⎰(2) π4limsin d 0.n n x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π4πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰5.计算下列定积分：3(1);x ⎰解：原式43238233x ==-.221(2)d x x x --⎰;解：原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++= π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 解：原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰ 222(4)max{1,}d ;x x -⎰解：原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x x x -----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解：原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=6. 计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=32d (2)d x x x ⎰解：原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰ 7. 求由参数式2020sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x . 解：222d d cos d cot .d d sin d yy t t t x x tt=== 8. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0y y x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 c o s s i n 1xy x '=-.9. 利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭解：原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x n n xnn n →+∞⎛⎫+++ ⎪=⋅===++++ ⎪+⎝⎭⎰21(2)limn n →+∞解：原式13200122lim ..33n x x n →+∞====+⎰ 10. 求下列极限：203ln(12)d (1)lim;xx t tx →+⎰解：原式21222300ln(12)22lim limln(12).333x x x x x x →→+==+=2220020e d (2)lim .e d x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 解：原式2222222002e d e e d 1lim2lim2lim2.12e e xxt xt xxx x x t tx x x →→→⋅====+⎰⎰11. a , b , c 取何实数值才能使201limsin x bx t c x ax →=-⎰ 成立. 解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有220000,1,lim lim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a x x x x a x a a x→→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩ 所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -;解：原式51732222210d 5d 73x x x x x x c =-=-+⎰⎰.(2)3e d x x x ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x⎛ +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x -=-++⎰22(4)d ;1x x x +⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c x x+-=-=-+++⎰⎰⎰ 2(5)sin d 2x x ⎰;解：原式=1cos 1d sin .222x x x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x x c ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)解：原式=25322d 3x x x c --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++ 422331(11)d ;1x x x x +++⎰解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x +=+++⎰⎰ 3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1x xx-⎛ ⎝⎰解：原式=e d e .xx x x c-=-⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解：原式=5222d 5d 2233ln 3x xx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰;解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin xx x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin xx x x⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cos x x x x c xx -=--+⎰⎰ 13. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+. 14. （略）.15. 利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰(2)x ;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰21x -解：原式=1d 112x c =+-+⎰.c =+ 3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )dsin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ;解：原式=2arccos 2arccos 1110d(2arccos )10.22ln10x xx c -=-⋅+⎰ 21ln (8)d (ln )xx x x +⎰; 解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰(9)x ;解：原式=22arctan.c =+⎰ln tan (10)d cos sin xx x x⎰;解：原式=21ln tan d(ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)e d x x -⎰;解：原式=51e5xc --+.12x -解：原式=1ln .122c x -+-(13)t;解：原式=2sin .c =-⎰102(14)tan sec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d(tan )tan .10x x x c =+⎰2d (15)ln xx x⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=ln .c =-+⎰d (17)sin cos xx x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan x xc x x x x==+⎰⎰ 2(18)e d x x x -⎰;解：原式=22211e d()e .22x x x c ----=-+⎰ 10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.(21)x ;解：原式=12222d 1112(94)d(94)arcsin .2823x x x x c -⎛⎫ ⎪+--=+⎰(22)x ; 解：原式=122222d 1()d()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=--⎰⎰arcsin .xa c a=⋅- d (23)e ex xx-+⎰; 解：原式=2d(e )arctane .1(e )x xx c =++⎰ ln (24)d xx x⎰; 解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26);解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tan sin sin x tt t tt t t t t t =-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c t t=-++又cos t t ==故上式23(2.3x c x-=+(27)100d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28) ;x 解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x === 故上式33arccosc x+. (29);解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x ttt t t t c t ===+⎰⎰令,又sec t =所以sin t =,故上式c =+.(30)解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② － ① = ln |sin t +cos t | + c 2 故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22t t t ct t t t x c x =++++=++⎰16. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222d cos cos 2cos d cos 2d sin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰1012cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++ (2)e d x x x -⎰;解：原式=dee e d e e .xx x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x=-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++ (5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：ecos d e d sin e sin e sin d xx x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e d cos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰ 11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;102解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x =----+(10)x ⎰.解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰ 3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =+17. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1xx +⎰; 解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰10332118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x +⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x-=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 2d 1x x x x x x ⎛=+-+⎝⎰⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=+故原式=1)x c -+.18. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：104d (1)1e xx+⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e x x xx x x xx x c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰ 验证：e 1(ln(1e ))1.1e 1ex xx xx c '-++=-=++ 所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c -=+验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=+++-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1x x x x x x x x c x+-=+-+++⎰. 验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c x x'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++ 所以，结论正确.(4)x ;解：原式=9212)arcsin (.232x x x c ++=++验证：921arcsin (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =+== 所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;105解：1sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d x x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2xc x x +- 验证： ()sin(ln )cos(ln )2x c x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭= 故结论成立.2e (6)d (e 1)xx x x +⎰; 解：原式=1e 1d d d e 1e 1e 11e e 1x x x x xx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+ ⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ ln(1e ).e 1x xxc --=-+++ 验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)xx x +⎰; 解：原式=1ln d d ln(.x x x c x =-=++⎰验证：ln(x c '⎤-+⎥⎦2223/223/2(1ln )(1)ln ln .(1)(1)x x x x x x x =++-==++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;106解：原式=2d cos d d tan ln(1cos )1cos 22cos 2x x xx x x x x -=-++⎰⎰⎰tan tan d ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan 2x xx x x xx x x c x x c=--+=++-++=+⎰验证：2221sin sin (tan)tan sec 22221cos 2cos 2cos 22x x x x x x xx c x x x x +'+=+⋅=+=+ 所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d n x x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sind cos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sin d (1)sin d cos sin (1)(1)n n n n n n n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰ 故 1211cos sin .n n n n I x x I n n---=-+ 验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰22222111sin cos (1)sin cos sin 111sin (1sin )sin sin sin .n n n n n n n n x x n x x x n n n n n x x x xn n n x -----=-⋅-⋅+--=--+= 故结论成立.19. 求不定积分max(1,)d x x ⎰.107解： ,1max(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+= 所以 221,121max(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰20. 计算下列积分：4(1)x ⎰;333211221313d .36222t t t t ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e 1(2)⎰;解：原式=221e211).(1ln )d(1ln )x x -=++=⎰1(3);解：原式=211112⎛⎫+ ⎪-== π40sin (4)d 1sin xx x+⎰;108解：原式=πππ244422000sin(1sin )sin d d tan d cos cos x xx x x x xx -=-⎰⎰⎰π40π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ ln3ln 2d (5)e e x xx--⎰;解：原式=ln 3ln 32ln 2ln 2de 113e 1ln ln .(e )1222e 1x x x x -==-+⎰(6)x ⎰;解：原式=πππ2π02d cos d cos d cos x x x x x x x ==⎰⎰ππ2π02xx==(7)x ⎰;解：原式=π33π222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555x x =-=231(8)ln d x x x ⎰;解：原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x =-=-⎰⎰π220(9)e cos d x x x ⎰;解：ππππ222222220e cos d e dsin e sin 2e sin d xx xx x x x xx x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2e cos 4e cos d xxx x xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.109120ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解：原式=111000111ln(1)ln(1)dd 2212x x x x x x x ++=-⋅--+-⎰⎰ 101100111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰322d (11)2xx x +-⎰; 解：原式=3322111111d ln ln 2ln 5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰; 解：原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--+ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 212(14)e d t t t -⎰;解：原式=221212200ed e 12t t t --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解：原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰21. 计算下列积分（n 为正整数）：110（1）1;n x ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2, ππ12200sin cos d sin d cos n n n tx t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知11331π, 24221342,253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数. (2)π240tan d .n x x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)4440π2(1)411tan tan d tansec d tan d 1tan d tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=- 可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 22. 证明下列等式：232001(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立.(2)若()[,]f x c a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.23. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||aa x x x -⎰111解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数，故s i n d 0.||aa xx x -=⎰(2)ln(aax x -⎰;解：因为ln(ln(x x -=-+即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln3xx+-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰24. 利用习题22(2)证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x=++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰112故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令25. 已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰26. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos 1.bbb b b x b x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)aa >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;113解：原式=()e e 011πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰解：原式=110+⎰21212211121202lim 2lim πππlim arcsin lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kxx x +∞⎰;解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x k k +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰ 故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()bkaxb a b x >-⎰. 解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d()1lim 1ln()b kk b a k a b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散, 综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散.28. 已知0sin πd 2x x x +∞=⎰，求： 0sin cos (1)d ;x x x x+∞⎰解：(1)原式=001sin(2)1sin πd(2)d .2224x t x t x t +∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .xx x +∞⎰114解：222002200200020000sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d 2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22xx x xx x x x x x x x x x xx x x x x xx x xx x x +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰29. 已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求c .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰11001arcsin arcsin π1x x c x c xc --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πc =. 30. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.*31. 计算下列广义积分的柯西主值：(1) V.P.x +∞-∞⎰;115解：原式=0lim AA x x -→+∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰lim lim 0.11A A A →+∞→+∞⎤=⎦==+212d (2) V.P.ln xx x⎰; 解：原式=121211001212d d lim lim ln ln ln ln ln ln x x x x x x x x εεεεεε++--+→→+⎡⎤⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰01lim ln ln(1)ln ln ln 2ln ln(1)0.ln 2εεε+→⎡⎤=--+-+=⎢⎥⎣⎦2d (3) V.P.32xx x +∞-+⎰; 解：x =1, x =2是奇点. 故原式1222201200d d d lim323232b n b x x x x x x x x x εηεηε++--++→→→+∞⎡⎤=++⎢⎥-+-+-+⎣⎦⎰⎰⎰ 120000120222lim ln lim ln lim ln 111bb x x x x x x εηεεηεηη++++--→→→++→∞→⎡-⎤⎡-⎤⎡-⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 0000112lim ln ln 2lim ln ln lim ln ln 1111ln 2ln .2b b b εεηηεηεηεηεη++++→→→→∞→⎡⎤⎡⎤+--⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=30d (4) V.P.1xx-⎰. 解：原式=1313010001d d lim lim ln ln 1111xx x xx x εεεεεε++--+→→+⎡⎤⎡⎤=--+--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰ []0lim ln 2ln ln 2ln εεε+→==---+.。

高数习题第一二章习题黄立宏第4版

习题1-11. 下列函数是否相等,为什么?222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须400x x -≥⎧⎨≠⎩即 40x x ≤⎧⎨≠⎩所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).3. 设1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x-解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 4. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩5. 设()2,()ln xf xg x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====6. 求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11xy x-=+解得11y x y -=+,所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为3arccos 1(02)y x x =-≤≤ .7. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.8. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+从而 0cot SBC h hϕ=-.000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h hϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.9. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.习题1-21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21n n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.2. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 3. 根据数列极限的定义，证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.4. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.5. 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +<=.故对所有正整数n 有2n x<,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x+-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)nn n n n n n n n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，从而可推得1n n x x +-与21x x -同号，而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++，解得1122a a +-==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞+=习题1-31. 选择题（1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设()f x x =，则1lim ()x f x →=（） A.1- B.1 C.0 D.不存在（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）函数()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件（5）设1()1x f x x -=-，则1lim ()x f x →=（）A.0B.1-C.1D.不存在 2.证明01lim arctanx x→不存在. 3. 用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x xx x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+.(4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=. 习题1-41. 选择题：（1）设α和β分别是同一变化过程中的无穷小量与无穷大量，则αβ+是同一变化过程中的（）A.无穷小量B.有界变量C.常量D.无穷大量（2）“当0x x →时，()f x A -是一个无穷小量”是“函数()f x 在点0x x =处以A 为极限”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要的条件C.充分必要条件D.无关条件（3）当0x →时，11cos x x是（） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 2.求下列极限：（1）201lim cos x x x →；（2）arctan lim x xx→∞.习题1-51.若对某极限过程，()lim f x 与()lim g x 均不存在，问()()()lim f x g x ±是否一定不存在？举例说明.2.若对某极限过程，()lim f x 存在，()lim g x 不存在，问()()()lim f x g x ±，()()()lim f x g x ⋅是否存在？为什么？3. 求下列极限：2222313242233112131(1)lim ;(2)lim ;1211(3)lim ;(4)lim ;3121131(5)lim ;(6)lim ;111(7)lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→∞→→∞→∞→→→--+---+-++-⎛⎫- ⎪---⎝⎭- ()()33212(8)lim .23x x x x x →∞+--+-解：()()2232233lim 33933(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++. 22223334224241111(2)limlim .1121221111lim (3)lim lim 0.3131311lim 1x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞--==----⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭(4)(5) (6) (7) (8)习题1-61. 选择题：（1）当n →∞时，1sinn n是一个（） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量（2）若x a →时，有0()()f x g x ≤≤，则lim ()0x ag x →=是()f x 在x a →过程中为无穷小量的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 2. 利用夹逼定理求下列数列的极限:1(1)(2)lim[(1)],01;(3);(4)lim(123).n k k n n nn nn n n k →∞→∞+-<<++其中为给定的正常数解: (1)11111n n<+<+ 而1lim10,lim(1)1n n n→∞→∞=+=故 1n =. 1111(2)0(1)(1)1(1)1k k k kk k n n n n n n n -⎡⎤⎡⎤<+-=<=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim0kn n -→∞=lim[(1)]0k k n n n →∞∴+-=.(3)记12max{,,,}m a a a a =则有n<<即 1na m a <<⋅而1lim , lim ,nn n a a m a a →∞→∞=⋅=故n a =即 12lim max{,,,}m n a a a =.(4)111(3)(123)(33)n nn n nn n<++<⋅即 113(123)3n nn nn+<++<而 1lim33,lim33n nn n +→∞→∞==故 1lim(123)3nn nn →∞++=.3.求下列极限:(1)0sin 2lim;sin 5x xx → (2) 0lim cot ;x x x →(3)0arctan lim;x x x → (4) 201lim 1;xx x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5)213lim ;2x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭(6) ()2cot 2lim 13tan ;xx x →+习题1-71. 当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？解：211111(1)limlim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x xx →→-+==-∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.2. 当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.3.利用等价无穷小量，求下列极限：(1)0sin lim;sin x mxnx → 0(2)lim cot ;x x x →01cos 2(3)lim ;sin x xx x→- (4) tan sin 601lim 1x x x e e →--. 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)习题1-81. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续，又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续，综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-32. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,.tan 2x y x x x x x y x k x k k x -===-+===+=±±解：22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+-- 2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.π0π2(2)lim1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==当0k ≠时，πlimtan x k xx →=∞.π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=，可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±);π,0,1,2,x k k k =≠=±±为无穷间断点3. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:tan2(1)()(2)().xf x f xx ==解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.x x x x xf x x x→→→=== ∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 4. 怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？π1,,e ,0,2(1)()(2)()π,0;sin ,.2xax x x f x f x a x x x b x ⎧+<⎪⎧<⎪==⎨⎨+≥⎩⎪+≥⎪⎩解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而0lim ()lim(),x x f x a x a ++→→=+= 0lim ()lim e 1,xx x f x --→→== 且(0)f a =, ∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上连续.(2)()f x 在ππ(,),(,)22-∞+∞内显然连续.而ππ22ππ22lim ()lim (sin )1,πlim ()lim (1)1,2π()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→→→→=+=+=+=+=+ ∴当π112b a +=+，即π2b a =时，()f x 在π2x =处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续.5. 试证：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-=即方程21xx ⋅=有一个小于1的正根. 6. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()11002(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x xxxxx x x xx x a b c x x x x →→→∞→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5) ()23lim cos 2.x x x →解：(1)令1(e )xxy x =+，则1ln ln(e )x y x x=+于是：()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x xxx x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅= 即()lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()120lim e e x x x x →=+. (2)令13xxxxa b c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1ln ln3x x x a b c y x ++= 于是00333303300001lim(ln )lim ln 313lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x xxx x x xx x a b c x x x a b c x xxxxxxa b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=⎡⎤⎛⎫++-=⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦++-⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫---++=⋅++ ⎪+⎝⎭33331(ln ln ln )ln e ln 3x x x a b c a b c ++-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++⋅=即0lim(ln )ln x y →= 即()lim ln x y →=故0lim x y →=即1lim 3x x xxx a b c →⎛⎫++=⎪⎝⎭(3)令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 于是11sin cos 1111sin cos 1111sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11xx x x x x x xx x y x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-→∞→∞+-→∞→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫=⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫- ⎪=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭2111sin 2ln e (10)ln e 1limlim 11x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=⋅=-⋅= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 即limln 1x y →∞= 从而()lim ln 1x y →∞= 故lim e x y →∞= 即 11lim e sin cos xx x x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(4)令211xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则21ln ln 1y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是：22221222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 即 ()lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞→∞== lim 1x y →∞∴= 即21lim 11xx x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.习题一1. 填空题（1）已知当0x →时，1与2x 是等价无穷小，则常数a = -2 .（2）()ln 1lim1cos x x x x→+=- 2 .（3）3332lim 3x x x x →∞⎛⎫+=⎪-⎝⎭5e . （4）若函数22,4,()20,4x c x f x cx x ⎧-<=⎨+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则常数c 的值为 -2 .（5）已知0x =是函数2x e ay x+=的第一类间断点，则常数a 的值为 -1 .2. 选择题（1）设函数f x ()在∞∞(-,+)内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ B ）.A.若{}n x 收敛，则(){}n f x 收敛B.若{}n x 单调，则(){}n f x 收敛 C.若(){}n f x 收敛，则{}n x 收敛 D.若(){}n f x 单调，则{}n x 收敛（2）当0x +→B ）.A. 1-B. 1xC. 1D. 1-（3）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ C ），这里,a b 为常数. A. 1 B. e C. a b e - D. b ae -（4）设函数1112,0,()22,0,x xe xf x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩则0x =是函数()f x 的（ B ）.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点（5）设*n N ∈，则函数21()lim1nn xf x x →∞+=+（ D ）.A. 存在间断点1x =B. 存在间断点1x =-C. 存在间断点0x =D. 不存在间断点3. 求函数⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1sin ,0,0,x y xx 的定义域与值域.4. 判断下列函数的奇偶性:22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -=+=-+解: (1)()()f x f x -==()f x ∴=.(2)222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.5. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.6. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6100.052x ⨯元. 设总费用为,则63100.05102y x x⨯=+.7. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[]2020x x =时,邮资0.802025x x y =⨯=; 当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦.综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x xx x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且其中20x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 8. 证明:11(1)arcsin h ln(h ln ,1121xx x x x x+=+=-<<-证: (1)由e e sinh 2x x y x --==得2e 2e 10x xy --=解方程2e2e 10xx y --=得e x y =因为e 0x >,所以e x y =ln(x y =+所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x xy x ---==+得21e 1xy y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--;又由101yy+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21xy x x x+==-<<-9.设数列{}n x 满足10x π<<，()1sin 1,2,n n x x n +==.证明lim nn x →∞存在，并求该极限.解：当1n =时，10x π<<，1sin n n x x += 则有1sin 1n n x x +=≤所以，数列{}n x 有界.令函数()sin f x x x =-，其中(0,)x π∈ 则 ()cos 10f x x '=-≤ ()(0)f x f ≤sin x x ≤1sin n n n x x x +=≤所以数列{}n x 单调递减根据单调收敛定理知：数列{}n x 极限存在令lim n n x A →∞=在1sin n n x x +=两边去极限得sin A A = 所以 0A = 故lim 0n n x →∞=10.设函数()f x =1()()x f x ϕ=，1()(())n n x f x ϕϕ-=，2,3,n =试计算极限()n n x .解：由题设()()21()x x f x ϕϕ====，依此类推，一般地，有()n xϕ=()1,0,,0,0,0,1,0.0,0n n n x xx x x x x x >⎧⎧≠⎪⎪====⎨⎨⎪⎪-<=⎩⎩=11. 求下列极限：221(1)lim(1)(1)(1)(1);)(1)nx n x x x x x x →∞→+++<-122222(1)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim 111lim .11nnn x x x x x x x x x x x x x x x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--111211211(1)(1)(2)lim (1))(1))(1)11.234!n n x n n n n x n n n n x n x x x x x x x x n n -→--→-→--=++++=++++==⨯⨯⨯⨯12.利用等价无穷小量，计算下列极限：0arctan 3(1)lim;(2)lim 2sin ;2n n x n x xx →→∞()22102320020041arctan (3)lim ;(4)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (5)lim ;(6)lim ,;sin 1cos 4(8)lim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβαβ→→→→→→----- 为常数()222200;tan ln cos ln(sin e )(9)lim ,0;(10)lim .ln cos ln(e )2x x x x x x ax x xa b b bx x x→→++-≠+- 为常数,解：(1)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xx x →→==.sin sin 22(2)lim 2sin lim lim .222n nn n n n n n nx x x x x x x x →∞→∞→∞=⋅== (3)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (4)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(5)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (6)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以220020222sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1().2x x x x xx x x x x xxαβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==- (7)因为当0x →时，~)~,x x --所以00 1.x x x →→→==-=-(8)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (9)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (10)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→ 故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 13.设n N *∈，研究下列函数的连续性，并画出图形：221(1)()lim ;(2)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++(1)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++1,0,()lim0,0,1,0.x xx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=-知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(2)当|x |=1时，221()lim0,1nnn x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+ 当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn nn n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-514. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点?21(1)cos,0;y x x == 1,1,(2) 1.3,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩解：(1)∵当0x →时，21cosx 呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (2)∵11lim lim(1)0x x y x --→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)15. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:11(1)()sin sin ;(2)()(1).x f x x f x x x==+解：01(1)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.10(2)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续16. 试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.17. 设a 为正常数，()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.18. 设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 19. 若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.。

线性代数答案第四版(高等教育出版社)

(1) 1 2 3 4;
(2) 4 1 3 2;
(3) 3 4 2 1;
(4) 2 4 1 3;
(5) 1 3 · · · (2n − 1) 2 4 · · · (2n);
(6) 1 3 · · · (2n − 1) (2n) (2nห้องสมุดไป่ตู้− 2) · · · 2.
解
(1) 逆序数为 0.
(2) 逆序数为 4: 4 1, 4 3, 4 2, 3 2.
(4)
x
y x+y
y x + y x = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx − y3 − (x + y)3 − x3
x+y x
y
= 3xy(x + y) − y3 − 3x2y − 3y2x − x3 − y3 − x3 = −2(x3 + y3).
2 . 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:
70
第一章行列式
课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若您发现有好的解法, 请不吝告知.
1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式:
201 (1) 1 −4 −1 ;
−1 8 3
abc (2) b c a ;
1
2
第一章行列式
(3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)
逆序数为
n(n−1) 2
:
3 2...........................................................................1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个

概率论与数理统计第四版（乐励华段五朵著）.pdf

课
后
P ( B | C1 ) = 0.2 P ( B | C 2 ) = 0.6 P ( B | C 3 ) = 1
答
案
网
ww w.
C i :{有 i 人击中飞机} i = 0 , 1 , 2 , 3
kh
da
w. co
m
P (C 3 ) = P ( A1 A2 A3 ) = ⋯ = 0.14
= 0.09 × 0 + 0.36 × 0.2 + 0.41 × 0.6 + 0.14 × 1 = 0.458
ww w.
kh
da
w. co
m
B . 四. 设 A1 :{抽到甲箱}， A2:{抽到乙箱}，:{取到白球}
∴
由全概率公式有：
课
后
答
案
网
ww w.
1 3 1 2 31 P(B) = P( A1)P(B | A1) + P( A2 )P(B | A2 ) = × + × = ≈ 0.443 2 5 2 7 70
课
后
答
k −1 = C n−1 p k (1 − p ) n− k
案
P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 )
网
练习五参考答案与参考解答
一. 1 1/2 二. 1/12 5/18 三. B、C
当x > 2时，P { X ≤ x } = 1
课
后
x≤1 ⎧ 0, ⎪ ∴ F ( x ) = P{ X ≤ x } = ⎨ x − 1 , 1 < x ≤ 2 ⎪ 1, x>2 ⎩
P ( B | A2 ) = 4%
w. co
则： P ( A1 ) = 25%

概率论与数理统计(第四版)习题答案全

概率论与数理统计习（第四版）题解答第一章随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =⋃，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则},,,{1843ωωω =Ω；},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生．解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A ⋃⋃⋃或CA BC AB ⋃⋃(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ⋃⋃⋃⋃⋃⋃或C B A ⋃⋃或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；（3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品．解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A ⋃⋃⋃ 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121⋃⋃⋃ (4) n A A A ⋃⋃⋃ 21或.21n A A A第二章概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109⨯=C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919⨯⨯⨯⨯⨯=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A P二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7⨯=⨯⨯(亦可理解为)3388P P 设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)(≈=⨯=A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812≈==C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A ⋃=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而0281.0979942347)(5010050950≈⨯⨯⨯==C C A P 1529.09799447255)(501004995151≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416≈⨯⨯⨯⨯==C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194≈⨯⨯⨯⨯==C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426≈⨯⨯⨯⨯=+=C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(======BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的概率．解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ⋃⋃=，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= 75.04341313131==-++=第三章条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ．解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=⨯--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(≈=--+=-+==B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011=+=⋅+=+=C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(31)03.01(32≈-⨯+-⨯=（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ==，得60=k ，从而有4.015060150)(2===k A P ，.3.020060200)(3===k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=⨯-⨯-+⨯-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率．解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则2201)(312330==C C A P 22027)(31219231==C C C A P 220108)(31229132==C C C A P 22084)(31239033==C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则31236312373123831239322084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ⋅+⋅+⋅+⋅==∑=146.0532400776161112208444722010855142202755212201≈=⋅+⋅+⋅+⋅=第四章随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++=)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-+⨯⨯=902.0=．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有504.07.08.09.0)(0=⨯⨯=B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=B P故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率．解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B +=于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+= 328.02.02.03.02.02.03.0=⨯⨯-⨯+=．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)(=A P 31)(=B P 41)(=C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ⋃⋃=，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=⋃⋃= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.0413151415141513151413151=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=．（另解）52)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)(==-=-=D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则飞机必被击落．求飞机被击落的概率．解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1=A P5.0)(2=A P 7.0)(3=A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++=)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=⨯--+-⨯⨯-+--⨯=14.07.05.04.0)()()()()(3213213=⨯⨯===A P A P A P A A A P B P设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则)9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(⋅+⋅⋅+C C+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(9+⋅⋅+0403.01556.02668.02668.01715.0++++=901.0=．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．第五章离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布；（２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164===-x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P xx x从而X 的概率分布为即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）．解：（1）用二项分布计算)01.0(=p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300≈-=-==C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300(=⨯==np λ168031355.0!43)4(34≈==-e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000≈-=δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率．解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=16308.000243.002835.01323.0≈++≈（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=16308.0≈六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)(===k k ak X P kλ；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为∑∞===01)(k k X P ，即∑∞==01!k kk λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=第六章随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．解：（1）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F因为0)(lim =-∞→x F x ，0)(lim =+∞→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F +=，则1)(0<<x F 且0)(lim =-∞→x F x ，1)(lim 0=-→x F x 因为)0( 0)1(2)('22<>+-=x x xx F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增．综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；（2）[]π,0；（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π．解：（1）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=⎰ππx dx x f ，所以当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但12cos )(00≠=-=⎰ππx dx x f ，所以当[]πx ,0∈时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是，X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<≤<≤=3,132,22021921,222110,430,0)(x x x x x x F 其图形见右：四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim =-⋅+=-∞→πB A x F x ，12)(lim =⋅+=-∞→πB A x F x ，解得.1,21πB A ==即)( ,arctan 121)(+∞<<-∞+=x x πx F ． (2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f +='=π．五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)(⎰+∞∞-=dx x f ，得1220⎰⎰+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae xx ，解得21=A ，即有).( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x -=-===<<--⎰⎰(3) 随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-≤===-∞--∞-⎰⎰21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x x xx．第七章均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3===≤≤⎰dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321≈=-==>===-∞+-∞+-⎰e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=⋃⋃=638.0287.0287.03287.0332≈+⨯-⨯=（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800≈=-==>-∞+-∞+-⎰e e dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45≈-=>-=≤-eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率．解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈∀，有xex F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ⊂，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥====≥+≥tst s e e e λλλ--+-=----=]1[1]1[1)(．另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．（２）由题设，知X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+⎰⎰e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布：（1）X Y 211-=；（2）2)3(2X X Y -=．解：X 的分布律为（1）X Y 211-=的分布律为（2）2)3(2X X Y -=的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=.0,0;0,)1(2)(2x x x x f π求随机变量函数X Y ln =的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX yY e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<= 所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为)( )1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f yyyyyyXYY π，即 )( )1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f yyY π．第八章二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布．解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ++=．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度．解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12πA =（2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为 xxxX xdx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰2arctan1)4(2),()(2ππ2arctan 121x π+=yxyY ydy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==⎰⎰⎰3arctan1)9(3),()(2ππ3arctan 121y π+=X 及Y 的边缘概率密度分别为⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++⋅=++==0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ )4(2)3arctan 31()4(1122022x y x +=+⋅=∞+ππ ⎰⎰⎰+∞+∞∞-+∞∞-++=++==022222241)9(12)9)(4(6),()(dx x y dx y x dx y x f y f Y ππ)9(3)2arctan 21()9(122022y x y +=+=∞+ππ三、设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧>>=+-.,00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率．解：（1）由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x f ，有16132==⎰⎰∞+∞+--A dy e dx e A y x ，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x yy x xy⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞--∞+∞-⎰⎰00030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）⎰⎰⎰⎰---==∈x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2---⎰-=-=e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ．解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212==-+=-+==--+-⎰⎰⎰⎰⎰C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92=C ．故有⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(⎰⎰-++=21210)2(92292dx x x xdx481.02713)322(92922132102≈=-++=x x x x ．第九章随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈=)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx e dy e dx dxdy y x f X Y P x xyxy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+-∞+-≥=-===≥1021022102)(21),()(7869.0)1(2221122≈-=-=--e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X ====--证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布．证明: 设j i k +=, 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22110)()()()( ∑=-+=ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C +=-=∑, 有k n n ki in i n C C C21210+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：⎪⎩⎪⎨⎧><≤<-≤≤=.20 0,; 2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或求随机变量Y X Z +=的概率密度．解: X 的概率密度为 ⎩⎨⎧∉∈=]1,0[,0]1,0[,1)(x x y f ξ . 于是),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-≤≤≤≤=. 0, 2 1,10 ,210,10,),(其它当当y x y y x y y x fY X Z +=的联合分布函数为}),{(}{}{)(D y x P z Y X P z Z P z F Z ∈=≤+=≤=，其中D 是zy x ≤+与),(y x f 的定义域的公共部分.故有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<-+-≤≤><=3229321212331023,00)(222z z z z z z z z z z z F Z 从而随机变量Y X Z +=的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤<+-≤≤><=3232132103,00)(z z z z z z z z z f Z三、电子仪器由六个相互独立的部件ij L （3,2,1;2,1==j i ）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ij X 服从相同的指数分布)(λe ，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ij X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1x x e F x X ij λ 先求各个并联组的使用寿命)3,2,1( =i Y i 的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax (21==i Y i i i ξξ从而有)3,2,1( =i Y i 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-==-0,00,)1()(221y y e F F y F y X X Y ii i λ 设Z "仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min (321Y Y Y Z =.从而有Z 的分布函数为⎩⎨⎧≤>---=⎩⎨⎧≤>----=-0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z λ故Z 的概率密度为⎩⎨⎧≤>--=---0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z λλλλ第十章随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即于是有1103322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即3.0004.03041.02205.0175.00≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002≈⨯+⨯+⨯+⨯=EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222≈=-=-=EX EX DX 565.03191.0≈==DX X σ二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差．解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( =i ，则X 的分布为于是有p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(211111=-='-='===∑∑∑∞=∞=-∞=- 2X的分布为于是有p pp p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122-=-=-+='=''==∑∑∑∞=∞=∞=- 进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222-=--=-=三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ ==-=k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=⋅-=-=-==1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以ξ没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=.1, 0;1,11)(2x x xx f π 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112=-⋅==⎰⎰-+∞∞-dx xx dx x xf X E πdx x x dx x x dx x f x X D ⎰⎰⎰-=-⋅==-∞+∞-1022112221211)()(πππ21]arcsin 2112[2102=+--=x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)(+∞<<-∞=-x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：021)(===⎰⎰+∞∞--+∞∞-dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222==Γ====⎰⎰⎰+∞-+∞∞--+∞∞-dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）第十一章随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y -=的数学期望及方差．解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为于是有72.072.0128.00=⨯+⨯=EY72.072.0128.002=⨯+⨯=EY 2016.0)72.0(72.0)(222=-=-=EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为θ，则θ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=]2,2[,0]2,2[,1)(ππθππθπθf ．弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(ππθθθ-∈=R L ，故所有弦的平均长度为⎰⎰-∞+∞-⋅==22cos 21)()()]([ππθθπθθθθd R d L f L EπθπθθπππRR d R4sin 4cos 4202===⎰．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．解：由题设，有⎰⎰---∞--=-===<104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1(-=<-=≥eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141≈-⨯=⨯+-⨯-=---eee EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ．求这些随机变量的算术平均值∑==ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为μ=)(i X E ，2)(σ=i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有μμ=====∑∑∑∑====ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni i n i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(σσ=====∑∑∑∑====．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 =i ). 则i X 服从"10-"分布. 其中⎩⎨⎧=站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是iX 的概率分布为设∑==ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101--⨯+-⨯===∑∑==i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020≈-=即停车次数的数学期望为748.8.第十二章二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为()(). 1,222++=y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由⎰⎰+∞∞-+∞∞-=1),(dxdy y x f . 有()()⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+==+=++1112022222A dr rrd A dxdy y xAπθπ解得, π1=A .(2) ()011),()(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxdy dxdy y x xf X E π.由对称性, 知 0)(=Y E .⎰⎰+∞∞-+∞∞-==-=dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222()⎰⎰∞+∞-∞+∞-++=dx y xx dy 222211π()()+∞=+++=+-+=+=∞+∞+∞+⎰⎰⎰22022220223]11)1ln([1)1(211rr dr rrr r dr rr d πθπ同理, 有 +∞=)(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y X =--= ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(()011),(222⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-=++==dx y xxydy dxdy y x xyf π.二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它．,0;10,,1),(x x y y x f求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 ⎰⎰⎰⎰⎰====-∞+∞-∞+∞-10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X -=--=⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xyf ),(010==⎰⎰-xxydy xdx ．(2) 当)1,0(∈x 时,有 ⎰⎰+∞∞--===x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0(∉x 时, 有0)(=x f X .即⎩⎨⎧∉∈=)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有 ⎩⎨⎧∉+∈-=⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=⎰⎰-)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f y y因为 ),()()(y x f y f x f Y X ≠, 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov(=Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X σ的概率．解：91)3()3(2=≤>-ξξξξξD D D E P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率．解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B ξ且有50005.010000=⨯==np E ξ 2500)5.01(5.010000=-⨯⨯==npq D ξ于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(-=-≥<-=<- 75.025.011=-=-=pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0= n ξD 09.0=要使得9.0)10(=>ξP ，即9.0)10(=≤<n ξP ，因为9.0)10(=≤<n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P -≤-<-=-≤-<-)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P --≈≤-<-=ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0--+nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10>n ，所以53>n ，从而有1)3(1,0≈n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0≈-nn Φ．查表有8997.0)28.1(1,0=Φ，故有28.13.0101.0≈-nn ，解得.146≈n答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．第十三章正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(<-≤-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(<-<--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---=.0402.09973.09625.02=--二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率．解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex f π求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33≈=--=于是有86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．四、设随机变量),(~2σμN X ，求随机变量函数Xe Y =的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(+∞<<-∞=--x ex f x X σμσπ从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．当0>y 时，有dx ey X P y F yx Y ⎰∞---=≤=ln 2)(2221)ln ()(σμσπ．此时亦有222)(ln 21)(σμσπ--='y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=--.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y σμσπ五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z=2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=； 222212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D ++= 212222212221μσμσσσ++=．第十四章二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布中心极限定理一、设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()(==Y E X E ，16)(=X D ，25)(=Y D ，并且12),cov(=Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．。

高数习题第章习七题黄立宏第4版

11.通过点作垂直于两平面和的平面.
解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0
其法向量n={A,B,C}
n1={1,-1,1},n2={2,1,1}
又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0
故所求平面方程为
即2x-y-3z=0
12.求平行于平面，且垂直于向量的单位向量.
解：设此向量的起点A的坐标A(x,y,z)，则
解得x=-2,y=3,z=0
故A的坐标为A(-2, 3, 0).
6.一向量的起点是，终点是，试求:
(1) 在各坐标轴上的投影；(2) 的模；
(3) 的方向余弦；(4) 方向的单位向量.
解：（1）
(2)
(3)
.
(4) .
7.三个力同时作用于一点，求合力的大小和方向余弦.
a+b={2,4,-2}
a-b={-6,10,14}
又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0
故(a+b) (a-b).
7.一平行四边形以向量和为邻边，求其对角线夹角的正弦.
解：
与平行的单位向量
.
8.已知三点，点分别是的中点，证明:
证明：中点M，N，P的坐标分别为
解：由平面的三点式方程知
代入三已知点，有
化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.
5.指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ；
(5) .
解：(1)y=0表示xOz坐标面（如图2）
(2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图3)

高数习题第六章习题黄立宏第4版

习题6-11.指出下列各微分方程的阶数:(1)()220x y yy x '-'+=；一阶 (2) 20y x y y x "-'+=；二阶 (3)220x y y x y '''+"+=；三阶(4)()()76d d 0x y x x y y -++=. 一阶2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:2(1)2,5xy y y x '==;解：由25y x =得10y x '=代入方程得22102510x x x x ⋅=⋅=故是方程的解.(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解.2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;解：2222e e (2)e ,(24)e xxxxy x x x x y x x '''=+=+=++代入方程得 2e 0x≠. 故不是方程的解.12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+解：12122211221122e e ,e e xx x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+代入方程得1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=故是方程的解.3.在下列各题中，验证所给函数（隐函数）为所给微分方程的解:22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=证：方程22x xy y C -+=两端对x 求导：220x y xy yy ''--+=得22x yy x y-'=-代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==证：方程ln()y xy =两端对x 求导：11y y x y''=+ (*) 得(1)yy x y '=-.(*)式两端对x 再求导得22211(1)1y y xx y y ⎡⎤''+=-⎢⎥--⎣⎦ 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.习题6-21.从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线: (1) 220()x x y C C y =-==为常数，5；解：当0x =时，y =5.故C =-25故所求曲线为：2225y x -= (2) =+2e 12()x y C C x (12,C C 为常数)，====，100'x x yy .解： 2212(22)e xy C C C x '=++当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e xy x =. 2.求下列各微分方程的通解:(1)ln 0xy y y '-=;解：分离变量,得d 1d ln y x y y x=积分得11d ln d ln y x y x =⎰⎰ln ln ln ln y x c =+ ln y cx =得 e cxy =.(2)y '=解：分离变量，得=积分得=⎰得通解： .c -=-(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;解：分离变量，得e e d d 1e 1e y yy xy x =-+ 积分得 ln(e 1)ln(e 1)ln yxc --=+- 得通解为 (e 1)(e 1)xy c +-=.(4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;解：分离变量，得cos cos d d 0sin sin x yx y x y+= 积分得 lnsin lnsin ln y x c += 得通解为 sin sin .y x c ⋅=(5)y xy '=;解：分离变量，得d d yx x y=积分得 211ln 2y x c =+ 得通解为 2112e (e )x c y c c ==(6)210x y '++=;解： 21y x '=--积分得 (21)d y x x =--⎰得通解为 2y x x c =--+.32(7)4230x x y y '+-=;解：分离变量，得 233d (42)d y y x x x =+积分得 342y x x c =++ 即为通解.(8)e x y y +'=.解：分离变量，得 e d e d yxy x -=积分得e d e d y x y x -=⎰⎰ 得通解为： ee y x c --=+.3.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:20(1)e ,0x y x y y -='== ;解：分离变量，得 2e d e d yxy x =积分得 21e e 2yxc =+. 以0,0x y ==代入上式得12c =故方程特解为 21e (e 1)2yx =+.π2(2)sin ln ,e x y x y y y ='== .解：分离变量，得d d ln sin y xy y x=积分得 tan2e x c y ⋅=将π,e 2x y ==代入上式得1c = 故所求特解为 tan 2e x y =.4.求下列齐次方程的通解:(1)0xy y '-=;解：d d y y x x =+令 d d d d y y uu u xx x x=⇒=+ 原方程变为d xx= 两端积分得ln(ln ln u x c =+u cxy cx x =+=即通解为：2y cx =d (2)ln d y y xy x x =; 解：d ln d y y y x x x =令y u x =，则d d d d y u u x x x=+原方程变为d d (ln 1)u xu u x=-积分得 ln(ln 1)ln ln u x c -=+ln 1ln1u cx ycx x-=-= 即方程通解为 1ecx y x +=22(3)()d d 0x y x xy x +-=解：2221d d y y x y x y x xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭== 令y u x =，则d d d d y u u x x x=+ 原方程变为 2d 1d u u u x x u++= 即 d 1d ,d d u x x u u x u x== 积分得211ln ln 2u x c =+ 2122ln 2ln y x c x =+ 故方程通解为 22221ln()()y x cx c c ==332(4)()d 3d 0x y x xy y +-=;解： 333221d d 33y y x y x x xy y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭令y u x =, 则d d d d y u u x x x=+ 原方程变为 32d 1d 3u u u x x u ++= 即 233d d 12u x u u x=- 积分得 311ln(21)ln ln 2u x c --=+ 以y x代替u ，并整理得方程通解为 332y x cx -=. d (5)d y x y x x y+=-;解：1d d 1yy x yx x +=- 令y u x =，则d d d d y u u x x x=+原方程变为 d 1d 1u uu x x u ++=- 分离变量,得 211d d 1u u x u x -=+ 积分得 211arctan ln(1)ln ln 2u u x c -+=+以y x 代替u ，并整理得方程通解为到 2arctan 22211e .()yxx y c c c +==(6)y '=解：d d yy x=即d d x x y y =+令x v y =，则d d ,d d x v x yv v y y y==+, 原方程可变为d d vv yv y+=+ 即d d vyy= 分离变量，得d y y= 积分得ln(ln ln v y c =-. 即y v c+=2222121y v v c y yv c c⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-= 以yv x =代入上式，得 222c y c x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即方程通解为 222y cx c =+.5.求下列各齐次方程满足所给初始条件的特解:220(1)(3)d 2d 0,1x y x y xy x y =-+== ;解：22d d 3y y xx y x =-⎛⎫- ⎪⎝⎭令y ux =，则得 2d 2d 3u uu xx u +=-- 分离变量，得 233d d u xu u u x-=- 积分得 3ln ln(1)ln(1)ln u u u cx -+-++=即 231ln ln u c u x-=得方程通解为 223y x cy -= 以x =0，y =1代入上式得c =1. 故所求特解为 223y x y -=.1(2),2x x yy y y x='=+= . 解：设y ux =，则d d d d y u u x x x=+ 原方程可变为 d d xu u x=积分得 21ln ln 2u x c =+.得方程通解为 222(ln ln )y x x c =+以x =1，y =2代入上式得c =e 2.故所求特解为 222(ln 2)y x x =+.6.利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解: 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：(1)(253)d (246)d 0x y x x y y -+-+-=解：设1,1x X y Y =+=+，则原方程化为25d 25d 2424YY X Y X YX X Y X--==++ 令 d 25d 24Y u uu u X X X u-=⇒+=+ 242d d 472Xu Xu u u +⇒-=+- 2222211(87)3ln d 247213d ln(472)224721114ln(472)d 262411141ln(472)ln ln 262u X u u u uu u u u u u uu u u u u c u +-⇒=-+-=-+-++-⎛⎫=-+-+-+ ⎪+-⎝⎭-=-+--++⎰⎰⎰26221623264223233416ln 3ln(472)ln ln ()241(472)2(41)(2)(41)(2),(u X u u c c c u u X u u c u X u u c X u u c c -⇒++-+==+-⇒+-⋅=+⇒-+=⇒-+==代回并整理得2(43)(23),(y x y x c c --+-== .(2)(1)d (41)d 0;x y x y x y --++-=解：d 1d 41y x y x y x --=-+- 作变量替换，令 1,0x X y Y Y =+=+=原方程化为 1d d 414YY X Y X Y X X Y X--=-=-++ 令Y uX =,则得2d 1d 14d 14d 14u u u u u X X X u X u-++=-⇒=-++分离变量，得 214d d 14u Xu u x+-=+ 积分得222211d(14)ln d 1421411arctan 2ln(14)22u X u u u u u c +=--++=-++⎰⎰ 即 22ln ln(14)arctan 2X u u c +++=22ln (14)arctan 2X u u c ⇒++=代回并整理得 222ln[4(1)]arctan.1yy x c x +-+=- (3)()d (334)d 0x y x x y y +++-=;解：作变量替换,v x y =+ 则d d 1d d y v x x =- 原方程化为 d 1d 34v vx v -=-- 11d 2(2)d 3434d d 2(2)31d d d 223ln(2)232ln(2)2,(2)v v x v v v x v v v xv v v x c v v x c c c -⇒=--⇒=-⇒+=-⇒+-=+⇒+-=+=⎰⎰⎰ 代回并整理得 32ln(2).x y x y c +++-=d 1(4)1d y x x y=+-.解：令,u x y =- 则d d 1d d u y x x =- 原方程可化为 d 1d u x u=-分离变量，得 d d u u x =-积分得 2112u x c =-+2122u x c =-+故原方程通解为 21()2.(2)x y x c c c -=-+=7.求下列线性微分方程的通解:(1)e x y y -'+=;解：由通解公式d de e e e d e ()e e d xx x x x x x y x c x c x c -----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==⋅+=+⋅+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2(2)32xy y x x '+=++；解：方程可化为 123y y x x x'+=++ 由通解公式得11d d 22e (3) e d 12(3)d 132.32x x x x y x x c x x x x c x x c x x x-⎡⎤⎰⎰=++⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⋅+⎢⎥⎣⎦=+++⎰⎰ sin (3)cos e ;x y y x -'+=解： cos d cos d sin sin e e ().e e d x xx x x x y x c x c ---⎰⎡⎤⎰==+⋅+⎢⎥⎣⎦⎰(4)44y xy x '=+;解： 22(4)d (4)d 22e e 4e d 4e d x xx x x x y x x c x x c ----⎰⎡⎤⎰⎡⎤==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()222222e e e 1x x x c c -=-+=-.3(5)(2)2(2)x y y x '-=+-;解：方程可化为2d 12()d 2y y x x x x -=--11d d 222ln(2)2ln(2)3e 2(2)e d e 2(2)e d (2)2(2)d (2)(2)xx x x x x y x x c x x c x x x c x c x --------⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=--+⎣⎦=-+-⎰⎰⎰22(6)(1)24.x y xy x '++=解：方程可化为 2222411x x y y x x '+=++ 222222d d 1123ln(1)224e ed 14e 4d 3(1)xxx x x x x x y x c x x c x x c x -++-+⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=+=⎣⎦+⎰⎰8.求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解:πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x=+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -⎡⎤⎰⎰⎡⎤==+=-+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 以π,1x y ==代入上式得π1c =-，故所求特解为 1(π1cos )y x x=--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x='+-== . 解：22323d 3ln x x x x c x--=--+⎰ 22223323d 23+3ln d 3ln ee e d e d x xx x x x x xx xy x c x c -------⎰⎡⎤⎰⎡⎤∴==++⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 2223311e .e e 22x x x x x c c ----⎛⎫⎛⎫=⋅=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以x =1,y =0代入上式，得12ec =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -⎛⎫=-⎪⎝⎭. 9.求下列伯努利方程的通解:2(1)(cos sin );y y y x x '+=-解：令121z yy --==，则有d d (12)(12)(cos sin )sin cos d d z zz x x z x x x x+-=--⇒-=- (1)d (1)d e (sin cos )e d e e (sin cos )d e sin xx x x x z x x x c x x x c c x ----⎰⎡⎤⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+=-⎣⎦⎰⎰1e sin x c x y⇒=- 即为原方程通解.411(2)(12)33y y x y '+=-.解：令3d 21d z z y z x x -=⇒-=-.d de 21e (21)e d x x x z x c x x c -⎰⎡⎤⎰==--+-+⎢⎥⎣⎦⎰ 3(e 21)1x y c x ⇒--=即为原方程通解.习题6-31.求下列各微分方程的通解:(1)sin y x x ''=+;解：方程两边连续积分两次得213121cos 21sin 6y x x c y x x c x c '=-+=-++(2)e x y x '''=;解：积分得 1e d e e x x xy x x x c ''==-+⎰112212123(e e )d e 2e 1(e 2e )d (3)e 2x x x x xxxy x c x x c x c y x c x c x x c x c x c '=-+=-++=-++=--++⎰⎰ (3)y y x '''=+;解：令p y '=,则原方程变为d d 11,,e e 1e d xx x p p x p p x p c x x x c -⎰⎡⎤⎰''=+-===--+⎣⎦故 21121(e 1)d e 2x xy c x x c x x c =--=--+⎰.3(4)()y y y ''''=+;解：设y p '=，则d d p y py''= 原方程可化为 3d d ppp p y=+ 即 2d (1)0d pp p y ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦由p =0知y =c ，这是原方程的一个解. 当0p ≠时，22d d 1d d 1p p p y y p =+⇒=+ 1121arctan d ln sin()tan()p y c yx y c c y c ⇒=-'⇒==---⎰2212arcsin(e )(e )c x y c c c '∴=+=1(5);y x ''=解：11d ln y x c x x''==+⎰ 1121211(ln )d ln ln ((1))y c x x x c x c x x x c x c c c x ''=+=-++'=++=-+⎰(6)y ''=;解：1arcsin y x x c '==+112(arcsin )d arcsin .y x c x x x c x c =+=+⎰ (7)0xy y '''+=;解：令y p '=,则得1d d 00p x p p x p x'+=⇒+= 1ln ln ln p x c ⇒+=得 1c p x =故 112d ln cy x c c x x==+⎰.3(8)10y y ''-=.解：令p y '=，则d d p y py''=. 原方程可化为 33d 10,d d d py pp p y y y--==22221112221211211222d d 221().c p y p y c x xc x c c x c c y c x c --⇒=-+⇒=-+⇒=⇒±=⇒±=+⇒=+⇒-=+⎰2.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:311(1)10,1,0x x y y y y =='''+===;解：令y p '=，则d d py py''=, 原方程可化为 33d 11d d d p y pp p y y y⋅=-⇒=- 2212121112221p y c p c y -⇒=+⇒=+由1,1,0x y y p '====知，11c =-，从而有2d y p y x x c '==⇒=±⇒=±+由1,1x y ==,得21c =故 222x y x += 或y =.211(2)1,0,1x x x y xy y y ==''''+===;解：令y p '=，则y p '''=.原方程可化为 211p p x x'+= 11d d 11211e (ln )e d x x x x p x c x c x x -⎡⎤⎰⎰==++⎢⎥⎣⎦⎰则 11(ln )y x c x'=+ 以1,1x y '==代入上式得11c =则 1(ln 1)y x x'=+ 221ln ln 2y x x c =++当x =1时，y =0代入得20c =故所求特解为 21ln ln 2y x x =+. 2001(3),01x x y y y x =='''===+; 解：1arctan y x c '=+ 当0,0x y '==，得10c =222arctan d arctan d 11arctan ln(1)2x y x x x x x x x x x c ==-+=-++⎰⎰以x =0,y =0代入上式得20c =故所求特解为 21arctan ln(1)2y x x x =-+. 200(4)1,1,0x x y y y y ==''''=+==;解：令p y '=，则p y '''=. 原方程可化为 21p p '=+211d d 1arctan tan()px p p x c y p x c =+=+'==+ 以0,0x y '==代入上式得1πc k =.2tan(π)d ln cos(π)y x k x c x k =+=-++⎰以x =0,y =1代入上式得21c = 故所求特解为ln 1cos(π)y x k =-++200(5)e ,0y x x y y y =='''===;解：令y p '=，则d d p y py''=. 原方程可化为 2d e d y ppy= 即 2d e d yp p y = 积分得221111e 222y p c =+ 221e y p c =+以0,0x y y '===代入上式得11c =-, 则p y '==2d arcsine y xx c -=±=+以x =0,y =0代入得2π2c =，故所求特解为 πarcsin e 2yx -=+即πesin cos 2yx x -⎛⎫==± ⎪⎝⎭. 即lnsec y x =. 00(6)1,2x x y y y =='''===.解：令d ,d py p y py'''== 原方程可化为 12d 3d pp y y= 123221d 3d 122p p y yp y c ==+以0,2,1x y p y '====代入得10c = 故 342y p y'==± 由于0y ''=>. 故342y y '=，即34d 2d y x y=积分得 14242y x c =+ 以x =0,y =1代入得24c =故所求特解为 4112y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.习题6-41. 验证21=x y e 及22=x y xe 都是方程24(42)0'''-+-=y xy x y 的解，并写出该方程的通解. 2.已知函数123sin ,?cos ,===x y x y x y e 都是某二阶线性非齐方程的解，求该方程的通解. *3.用观察法求下列方程的一个非零特解，用刘维尔公式求第二个特解，然后写出通解. （1）2(1)220'''+-+=x y xy y （2）(1)0'''-++=xy x y y 4.求方程221111'''+-=---x y y x x x 的通解.习题6-51.求下列微分方程的通解:(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-= 解得 121,2r r ==-故原方程通解为 212e e .x xy c c -=+(2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r += 解得 1,2r i =± 故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x xx t t-+=;解：特征方程为 2420250r r -+= 解得 1252r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+= 解得 1,22r i =±故原方程通解为 212e (cos sin )xy c x c x =+.(5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++= 解得 122r r ==-故原方程通解为 212e ()xy c c x -=+(6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+= 解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x xy c c =+.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:00(1)430,6,10x x y y y y y ==''''-+===;解：特征方程为 2430r r -+= 解得 121,3r r ==通解为 312e e x xy c c =+312e 3e x x y c c '=+由初始条件得 121122643102c c c c c c +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩ 故方程所求特解为 34e 2e xxy =+.00(2)440,2,0;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24410r r ++= 解得 1212r r ==-通解为 1212()ex y c c x -=+22121e 22xx y c c c -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭由初始条件得 11221221102c c c c c =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 故方程所求特解为 12(2)ex y x -=+.00(3)4290,0,15;x x y y y y y ==''''++===解：特征方程为 24290r r ++= 解得 1,225r i =-±通解为 212e (cos5sin 5)xy c x c x -=+22112e [(52)cos5(52)sin 5]x y c c x c c x -'=-+--由初始条件得 112120052153c c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 故方程所求特解为 23e sin 5xy x -=.00(4)250,2,5x x y y y y =='''+===.解：特征方程为 2250r += 解得 1,25r i =± 通解为 12cos5sin 5y c x c x =+125sin 55cos5y c x c x '=-+由初始条件得 112222551c c c c ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩故方程所求特解为 2cos5sin 5y x x =+. 3.求下列各微分方程的通解:(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=1211,2r r ∴=-=得相应齐次方程的通解为1212e e x xy c c -=+令特解为*e xy A =,代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e xy =,故原方程通解为 212e ee x x xy c c -=++.2(2)25521y y x x '''+=--;解：2250r r +=1250,2r r ==-对应齐次方程通解为 5212ex y c c -=+令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--比较等式两边系数得137,,3525a b c ==-=则 *321373525y x x x =-+故方程所求通解为 532212137e3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭.(3)323e x y y y x -'''++=;解：2320r r ++=121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x xy c c --=+令*()e xy x Ax B -=+代入原方程得(22)e 3e x x Ax B A x --++=解得 3,32A B ==- 则 *23e 32xy x x -⎛⎫=-⎪⎝⎭故所求通解为 22123ee e 32xx xy c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.(4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=1,212r i =±相应齐次方程的通解为12e (cos 2sin 2)x y c x c x =+令*e (cos 2sin 2)xy x A x B x =+，代入原方程并整理得4cos24sin 2sin 2B x A x x -=得 1,04A B =-=则 *1e cos 24x y x x =-故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24xx y c x c x x x =+-.(5)2y y y x '''++=;解：2210r r ++=1,21r =-相应齐次方程通解为 12()e xy c c x -=+令*y Ax B =+代入原方程得2A Ax B x ++=得 1,2A B ==- 则 *2y x =-故所求通解为 12()e 2xy c c x x -=++-2(6)44e x y y y '''-+=.解：2440r r -+=1,22r =对应齐次方程通解为 212()e xy c c x =+令*22e xy Ax =代入原方程得121,2A A ==故原方程通解为 222121()ee 2xx y c c x x =++. 习题6-61.求下列微分方程的通解：（1）(4)13360''-+=y y y（2）460'''''-++=y y y y（3）(4)56480''''''-++-=y y y y y （4）(5)(4)(3)220'''+++++=y y y y y y 2.求下列微分方程的通解：（1）45223''''''-+-=+y y y y x （2）(4)223''-+=-y y y x（3）33''''''+++=x y y y y e（4）cos '''-=y y x习题6-7*求下列欧拉方程的通解:(1)20x y x y y "+'-=； (2)234x y x y y x "+'-=. （3）323220x y x y xy y ''''''+-+=；（4）246x y xy y x '''-+=. （5） 322324x y x y xy x ''''''++=；（6）()24sin ln x y xy y x x '''-+=. 解：（1）作变换e tx =，即t =ln x ,原方程变为 (1)0D D y Dy y -+-=即 22d 0d yy t-= 特征方程为 210r -=121,1r r =-=故 12121e e t ty c c c c x x-=+=+. （2）设e tx =，则原方程化为3(1)4e t D D y Dy y -+-=232d 4e d t yy t-= ① 特征方程为 240r -=122,2r r =-=故①所对应齐次方程的通解为2212e e t t y c c -=+又设*3e ty A =为①的特解，代入①化简得941A A -= 15A =, *31e 5t y =故 223223121211e e e .55t t t y c c c x c x x --=++=++(3)(4)(5)(6)习题六1.填空题（1）微分方程3222(2)'=-x y y x y 满足(1)1=-y 的特解为 . （2）设()f x 为连续函数，且满足方程0()1(1)()d xf x x f t t =+-⎰，则()f x 的表达式为1()2x xe e -+ . （3）已知3222123,,x x x x xy e xe y e xe y xe =-=-=-是某二阶常系数非齐线性微分方程的3个解，则该方程的通解y = 3212x x xC e C e xe +- .（4）微分方程2ln xy y x x '+=满足1(1)9y =-的解为 . (5)二阶常系数非齐次线性微分方程21'''-+=y y y 的通解为y= 12()1xC C x e ++ .2.选择题（1）设曲线L 的方程为()=y y x ，在L 上任一点(,)P x y 处的切线与点P 到原点O 的连线垂直，若C 为任意正数，则L 的方程为（）. A. =xy C B. 22-+=x xy y C C. 22-=x y C D. 22+=x y C（2）设微分方程20'''++=y y y ，则-=xy Cxe （其中C 为任意常数）（）. A.是这个方程的通解 B.是这个方程的特解C.不是这个方程的解D.是这个方程的解，但既非它的通解也非它的特解（3）设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()'''++=y P x y Q x y f x 的解，12,C C 是任意常数则该非齐方程的通解是（）. A. 11223++C y C y y B. 1122123()+-+C y C y C C y C. 1122123(1)+---C y C y C C y D. 1122123(1)++--C y C y C C y （4）微分方程34sin 2''+=+xy y exx x 的一个特解形式是（A ）.A. []3()cos2()sin 2++++xAe x Bx C x Dx E x B. 3()cos 2()sin 2++++xAeBx C x Dx E xC. []3()cos2()sin 2++++xAxe x Bx C x Dx E xD. 3()cos 2()sin 2++++xAxeBx C x Dx E x（5）在下列微分方程中，以1123cos 2sin 2=++xy C e C x C x （123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）.A. 440''''''+--=y y y yB. 440''''''+++=y y y yC. 440''''''--+=y y y yD. 440''''''-+-=y y y y 3.求解初值问题21()2,(1)1,(1) 1.''⎧+=⎨'==-⎩y yy y y4.设()=y y x 是微分方程2(32)6'''+=x y xy 的一个特解，且当0→x 时，()y x 是与1-xe 等价的无穷小量，求此特解. 5.求下列微分方程的通解：（1）coscos 0⎛⎫-+= ⎪⎝⎭y y x y dx x dy x x；（2）(2sin 3)(24sin 3)0-++--=x y dx x y dy ；（3）cos cos sin 2sin '=-yy y y x y；（4）3(1ln )0⎡⎤-++=⎣⎦xdy x xy x dx（5）322xy y y xe '''-+= （6）234ln '''-+=+x y xy y x x x .解：（5）由方程322xy y y xe '''-+=的特征方程2320λλ-+=解得特征根120,2,λλ==所以方程322x y y y xe '''-+=的通解为12.x xy C e C e =+设322xy y y xe '''-+=的特解为()xy x ax b e *=+，则()2(2)x y axax bx b e *'=+++，()2(422)x y ax ax bx a b e *''=++++.代入原方程，解得1,2a b =-=-，故特解为(2)xy x x e *=--，所以原方程的通解为 212(2)xxx y y y C e C ex x e *=+=+-+.6.在研究某种传染病在一孤立环境条件下传播时，把人群分成未感染者（健康人）和已感染者（病人）两类.当健康人与病人有效接触后受感染变成病人；病人治愈成为健康人后，健康人可再次被感染.设该环境下人群总人数为常数N ，假设：（I ）在t 时刻健康人和病人数占总人数的比例分别为()S t 和()I t ；（II ）在单位时间内，健康人受感染成为病人的人数为()()NS t I t λ；（III ）在单位时间内，被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ.称λ为接触率，μ为治愈率，0λ>，0μ>.已知0(0)I I =.（1）试建立函数()I t 的微分方程（将()I t 视为t 的连续可微函数）；（2）当时2μλ=，求解该方程，计算lim ()t I t →+∞，并说明此极限结果的实际意义.解：（1）有题意，在t 时刻，已感染的病人数为()NI t ，未感染者（健康人）人数为()NS t ，则有()()NI t NS t N +=，即()()1I t S t +=.则，[][]()()()()()N I t t I t NS t I t t NI t t λμ+∆-=∆-∆，因此()()()()dI t S t I t I t dtλμ=- 故所求模板为下面的微分方程的初值问题0()()(1())(),(0).dI t I t I t I t dtI I λμ⎧=--⎪⎨⎪=⎩ （2）当2μλ=时，方程为(1)dI I I dt λ=-+，分离变量可得111dI dt I I λ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，故解得000()(1)t I I t I e I λ=+-，并且lim ()0t I t →+∞=.7.某海监船在执行任务中，发现正南方b 海里有一艘可疑船只往正东方向行驶.为探明可疑船只的行动目的，海监船立即开始跟踪可疑船只，在跟踪过程中，海监船航行方向始终指向可疑穿船只并保持二者距离不变．．．．．．．．．，设以可疑船只初始位置为坐标原点建立坐标系. （1）试写出海监船航行轨迹的微分方程及初始条件；（2）当海监船的航行方向与正东方向夹角为6π时，海监船行驶的路程为多少海里？（3）求海监船航行轨迹方程. 解：（1）以可疑船只初始位置为坐标原点，正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴正向建立直角坐标系，则海盗船的起始位置为(0,)b .设(,)x y为海盗船运动轨迹的任意一点，由题意可知dy dx =(0)y b =. （2）当海盗船的运动方向与正东方向夹角为6π时。

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（1）ຫໍສະໝຸດ 函数；（2）计算不定积分 .
解：由题设，两边关于求导数，有，由此得
6.已知某容器内表面形状是由曲线段，（单位：m）绕轴旋转一周所成.
（1）求该容器的容积；
（2）如果容器装满水，问将水全部提升到高出容器顶面1m处时，需做功多少？
解：（1）容器的容积
（2）利用微元法可得将水全部提升到高出容器顶面1m处所做的功为
（2
．
（3）
=4.
(4)
(5)
(6)
2.设星形线的参数方程为x=acos3t，y=asin3t，a>0求
（3）星形线所围面积；
（4）绕x轴旋转所得旋转体的体积；
（5）星形线的全长．
解：(1)
．
(2)
(3)xt′=3acos2tsint
yt′=3asin2tcost
xt′2+yt′2=9a2sin2tcos2t，利用曲线的对称性，
．
3.求对数螺线r=eaθ相应θ=0到θ=φ的一段弧长．
解：
．
4.求半径为R，高为h的球冠的表面积．
解：
=2Rh．
5.求曲线段y=x3(0x1)绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积．
解：
．
习题
1.把长为10m，宽为6m，高为5m的储水池内盛满的水全部抽出，需做多少功？
解：如图19，区间[x，x+dx]上的一个薄层水，有微体积dV=10·6·dx
3.(1)求曲线与坐标轴所围成图形的面积；
(2)曲线与坐标轴围成的图形是否存在有限面积？请说明理由.
4.记为介于曲线与轴之间的无界图形，求的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.
解：的面积为 .
绕轴的旋转体体积为 .
5.设为上的非负连续函数，且对于任何，其曲线于轴、轴及所围成的曲边梯形绕轴旋转所得旋转体的体积为 .
（焦耳）
7.半径为5m，深为2m的圆锥形水池（锥顶朝下）贮满水，要将水全部抽至池面上方5m高处，问至少要做多少功？
8.洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，端面椭圆的长轴长为2m，与水平面平行，短轴长为1.5m，水箱长4m.当水箱里注有一半水时，水箱的一个端面所受的水压力是多少？
9.求铅直放在水中的平面薄板一侧所受的水压力.薄板如图所示.上半部是三角形，下半部是半径为3m的半圆，三角形顶部恰好在水面上.
9题图
10.设星形线，上每一点处的线密度打打小等于该点到原点距离的立方，在原点O处有一单位质点，求星形线在第一象限弧段对这质点的引力.
解：
．
(10)
2．2.求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：
（1）r=a(1+cosθ)及r=2acosθ;
解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a的圆，故D=πa2．
(11)
（2）及．
解：如图12，解方程组
得cosθ=0或 ,
即或．
(12)
．
3．3.已知曲线f(x)=xx2与g(x)=ax围成的图形面积等于，求常数a．
试求最大利润．
解：设利润函数L(x)．
则L(x)=R(x)－C(x)－50
由于L′(x)=R′(x)－C(x)=(100－2x)－(x2－14x+111)=－x2+12x－11
令L′(x)=0得x=1，x=11．
又当x=1时，L″(x)=－2x+12>0．当x=11时L″(x)<0，故当x=11时利润取得最大值．且最大利润为
设水的比重为1，，则将这薄水层吸出池面所作的微功为
dw=x·60gdx=60gxdx．
于是将水全部抽出所作功为
（19）
．
2.有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力．
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
假定银行的年利率为，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求时的值.
习题五
1.填空题
（1）在曲线（）上取（）（）.设是曲线（），直线和围成的面积；是由曲线（），直线和围成的面积，则取_____时，取最小值.
（2）由曲线与两条射线及所围成图形的面积为_____.
（2）由y=x3，x=2，y=0所围图形分别绕x轴及y轴旋转；
解：见图16，
．
（2）星形线绕x轴旋转；(16)
解：见图17，该曲线的参数方程是：
，
由曲线关于x轴及y轴的对称性，所求体积可表示为
(17)
4.求下列立体的体积：
(1)曲线与它在处的切线及直线所围成的图形，绕轴旋转而成的旋转体；
(2)圆片，绕轴旋转而成的旋转体.
习题
1.求下列各曲线所围图形的面积：
（1）与x2+y2=8(两部分都要计算)；
解：如图D1=D2
解方程组得交点A(2，2)
(1)
∴ ,
．
（2）与直线y=x及x=2；
解： .
(2)
（3）y=ex，y=ex与直线x=1；
解：．
(3)
（4）y=lnx，y轴与直线y=lna，y=lnb．(b>a>0)；
过区间[R，R]上任意一点x，且垂直于x轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x对应的圆周上的点为(x，y)，则该等边三角形的边长为2y，故其面积等于
从而该立体的体积为
．
4．3.求下列旋转体的体积：
（1）由y=x2与y2=x3围成的平面图形绕x轴旋转；
解：求两曲线交点得(0，0)，(1，1)
．
解：如图13，解方程组得交点坐标为(0，0)，(1a，a(1a))
∴
依题意得
得a=2．
(13)
习题
1.设有一截锥体，其高为h，上、下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a，2b和2A，2B，求这截锥体的体积。
解：如图14建立直角坐标系，则图中点E，D的坐标分别为：E(a，h)，D(A，0)，于是得到ED所在的直线方程为：
A. B. C. D.
（2）由曲线及三条曲线围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积等于（）.
A. B. C. D.
（3）设无穷长直线的线密度为1，引力常数为，则对距直线为的单位质点的引力为（）.
A. B. C. D.
（4）峰值为，周期为的三角形波的电压平均值为（）.
A. B. C. D.
≈0.385386万元=3853.86元．
5.设某商品从时刻到时刻的销售量为欲在时在将数量为的该商品销售完，试求
(1) 时的商品剩余量，并确定的值；
(2)在时间段上的平均剩余量.
6.设某酒厂有一批新酿好的酒，如果现在（假定 =0）就售出，总收入为（元）.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，年末总收入为
（3）曲线的弧长 .
（4）设有曲线，过原点作其切线，则以曲线、切线、及轴所围成平面图形，绕轴旋转一周所得立体表面积为_____.
（5）已知曲线过点，且其上任一点处的切线斜率为，则函
数在上的平均值为_____.（国防科大10-11年秋季第一大题第5小题）
2.选择题：
（1）曲线与坐标轴所围成图形的面积为（）.
(2)L′(x)=R′(x)－C′(x)=5－2x．
在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为
ΔL(x)= ．
即此时总利润减少1万元.
3.某企业投资800万元，年利率5%，按连续复利计算，求投资后20年中企业均匀收入率为200万元/年的收入总现值及该投资的投资回收期．
解：投资20年中总收入的现值为
5.证明：由平面图形，，绕轴旋转而成的旋转体的体积为
.
习题
1.求下列曲线段的弧长：
(1) ，0≤x≤2；(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)曲线上自至的一段弧；
(5)曲线，上自至的一段弧；
(6)求抛物线被圆所截下的有限部分的弧长.
解：(1)见图18，2yy′=2．
∴ ．从而
(18)
解：．
(4)
（5）抛物线y=x2和y=x22；
解：解方程组得交点(1，1)，(1，1)
．
(5)
（6）y=sinx，y=cosx及直线；
解：．
(6)
（7）抛物线y=x2+4x3及其在(0，3)和(3，0)处的切线；
解：y′=2x+4．∴y′(0)=4，y′(3)=2．
∵抛物线在点(0，3)处切线方程是y=4x3
在(3，0)处的切线是y=2x+6
两切线交点是( ，3)．故所求面积为
(7)
（8）摆线x=a(tsint)，y=a(1cost)的一拱(0t2)与x轴，这里a为正常数；
解：当t=0时，x=0,当t=2时，x=2a．
所以
(8)
（9）极坐标曲线ρ=asin3φ，这里a为正常数；
解：
．
(9)
（10）极坐标曲线ρ=2acosφ，这里a为正常数；
;
解：
(2)
解：
6.求正弦交流电i=I0sinωt经过半波整流后得到电流
的平均值和有效值。
解：
有效值
故有效值为 .
7.已知电压u(t)=3sin2t，求
(1)u(t)在上的平均值；
解：
(2)电压的均方根值.
解：均方根公式为
故
习题
1.设某企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为
C′(x)=x2－14x+111，R′(x)=100－2x．

高数习题第五章习题黄立宏第4版

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