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高中数学「数列」专题——常见的问题类型及解答方法，建议
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在高考试题中，数学数列知识很重要，事实上，许多学生在寻求数列知识的研究及解答，目的是让自己在考试中获得较高的分数，现阶段数列解题方法，过于注重解题形式，但并不解决其中存在的具体解题技巧，所以，从高中生角度看，着重分析高中数学数列常见问题类型及解答方法。
求数列的通项、前n项和等问题是数列的基本问题，虽然近年由于导数考查力度加大，部分省市有些年份对数列要求有所降低，但也有省市的数列问题还是放在压轴题的位置.其主要特点是字母运算进行代数推理，有时要涉及函数、不等式证明、反证法，甚至会用到数的整除知识，对推理能力要求较高.
最后希望大家能牢牢记住我的这句话：学知识不能投机取巧，但考试绝对有规律
其实根据历年高考试题和高考出题规律，高考出题遵循8020法则（即80%基础题，20%难题），也就是把这些题搞懂，120分就来了！虽然想短时间提到140 不那么现实，但是保证基础题不丢分，难题多得分还是能够实现的！
所以老师还给同学们整理了一份包括120个常考、必考核心考点，475道高考数学必考母题，每一道母题都是一个好的模板，碰到类似的题，同学们只需要思考其差异即可。
结束语：好了，今天小编的文章就到此结束了，感谢各位朋友的阅读。
每一篇文章，都是小编用心写的，收集了许多的资料，实属不易！如果各位阅读的朋友觉得小编今天写的文章不错，那么就麻烦各位朋友高抬金手，在文章末尾为小编点一个小小的赞，各位朋友的赞，将会让小编高兴一整天，也会成为小编继续努力的动力！同时如果各位朋友喜欢小编写的文章，可以给小编点点关注，好让小编拥有这份荣幸，继续为各位朋友创作优质的文章！当然在这里小编也祝福各位朋友天天开心，万事如意！。
数列知识点归纳总结及题型
数列是数学中的一个重要概念，它涉及到许多知识点和题型。
以下是数列知识点的归纳总结和常见题型的解答方法。
1. 数列的概念：按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每个数都叫这个数列的项。
数列的一般形式:,,,,,,简记作。
2. 数列的通项公式：如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
3. 数列的分类：按数列项数是有限还是无限分:有穷数列和无穷数列;按数列项与项之间的大小关系分：单调数列 (递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列。
4. 数列的前项和与通项的关系：已知数列的前 n 项和，求数列的通项公式。
5. 数列的常见题型：数列求和、数列求解、数列排序、数列类比等。
6. 数列的函数特征：数列实质上是定义域为正整数集 (或它的有限子集) 的函数当自变量从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值。
7. 数列的图像表示：数列可以用图像来表示，每个图像都是由一组数据点构成的。
数列的图像可以反映数列的性质和规律。
综上所述，数列是数学中的一个重要概念，它在数学解题中有着广泛的应用。
掌握数列的概念、通项公式、分类、前项和与通项的关系、常见题型、函数特征和图像表示等知识点，对于解决数列问题有
很大的帮助。
高考数学中常见的数列问题解答数列作为高考数学中的常见考点之一，经常出现在各类数学试题中。
学好数列的相关知识，不仅能够帮助我们解答问题，还能够提高我们的逻辑推理能力和问题解决能力。
本文将针对高考数学中常见的数列问题，进行详细的解答和分析，帮助同学们更好地应对考试。
一、等差数列问题解答等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
常见的等差数列问题通常涉及求和、通项等问题。
1. 求等差数列的前n项和：设等差数列的首项为a1，公差为d，首项为a1，末项为an，共有n 项。
根据等差数列的特点，可得到如下公式：Sn = (2a1 + (n - 1)d) * n / 22. 求等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
根据等差数列的特点，可得到如下公式：an = a1 + (n - 1)d3. 求等差数列中满足特定条件的项数：对于等差数列，我们常常需要求出满足一定条件的项数。
例如，已知等差数列的首项为a1，公差为d，求第n项为m的项数时，可以通过以下公式解答：an = a1 + (n - 1)d = m二、等比数列问题解答等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常见的等比数列问题通常涉及求和、通项等问题。
1. 求等比数列的前n项和：设等比数列的首项为a1，公比为q，首项为a1，末项为an，共有n 项。
根据等比数列的特点，可得到如下公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 求等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an。
根据等比数列的特点，可得到如下公式：an = a1 * q^(n - 1)3. 求等比数列中满足特定条件的项数：对于等比数列，我们常常需要求出满足一定条件的项数。
例如，已知等比数列的首项为a1，公比为q，求第n项为m的项数时，可以通过以下公式解答：an = a1 * q^(n - 1) = m三、其他常见数列问题解答除了等差数列和等比数列外，还有一些其他常见的数列形式，如递推数列、斐波那契数列等，下面将对这些问题进行解答。
数列问题详解数列是指根据一定的规律依次排列的一系列数。
数列问题是指在给定规律下，求解数列中某一项的值或者数列的通项公式等。
下面将详细介绍几种常见的数列问题及其解法。
1. 等差数列：等差数列是指数列中每一项与它的前一项之差都相等的数列。
例如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其中公差为2。
解决等差数列问题的核心是找到数列的通项公式。
通项公式为：an = a1 + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差，n表示项数。
例如，求等差数列1, 3, 5, 7, 9的第10项：a1 = 1d = 2n = 10使用通项公式：a10 = 1 + (10 - 1)2 = 1 + 18 = 19所以，等差数列1, 3, 5, 7, 9的第10项为19。
2. 等比数列：等比数列是指数列中每一项与它的前一项之比都相等的数列。
例如，1, 2, 4, 8, 16就是一个等比数列，其中公比为2。
解决等比数列问题的核心是找到数列的通项公式。
通项公式为：an = a1 * q^(n - 1)其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比，n表示项数。
例如，求等比数列1, 2, 4, 8, 16的第10项：a1 = 1q = 2n = 10使用通项公式：a10 = 1 * 2^(10 - 1) = 1 * 2^9 = 512所以，等比数列1, 2, 4, 8, 16的第10项为512。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中每一项等于前两项之和的数列。
例如，1, 1, 2, 3, 5, 8就是一个斐波那契数列。
解决斐波那契数列问题的核心是找到数列的递推公式。
递推公式为：an = an-1 + an-2其中，an表示数列的第n项，an-1表示数列的第n-1项，an-2表示数列的第n-2项。
例如，求斐波那契数列的第10项：a1 = 1a2 = 1n = 10根据递推公式，可以计算出数列的前10项：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55所以，斐波那契数列的第10项为55。
第三讲等差数列课前练习：1. 求等差数列1，4，7，10，13，…的第20 项和第80 项。
例1：36 个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？【思路导航】从题意可知。
同学们报的数是一个等差数列。
n=36，d=8,ɑn=286，要求ɑ, 可用公式ɑn=ɑ1 ＋(n－1) ×d 推导出：ɑl =ɑn－(n-1)×d ɑ1=286－(36－1)×8=286－280=6答：第一个同学报的数是6。
1. 仓库里有一叠被编上号的书，共40 本，已知每下面一本书都比上面一本书的编号多5，最后一本书的编号是225，问第一本书的编号是几？例2：等差数列4，12 ，20，…中，580 是第几项？【思路导航】在这一等差数列中，己知ɑ1=4，ɑn =580，d=8，求n 是多少，根据公式ɑn =ɑ1 十(n－1) ×d 推导出n=(ɑn 一ɑ1 ) ÷d+1n=(580-4)÷8+1=72+1=73答：580 是第73 项。
1. 等差数列3，9，15，21，…中，381是第几项？例3：一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的，第1项是3.6 ，第5 项是12，求它的第2 项。
【思路导航】要求这个等差数列的第 2 项，我们必须先求出等差数列的公差是多少。
已知ɑ1=3.6，ɑ5=12，n=5，可以得出：ɑ1与ɑ5 相差12-3. 6=8.4，8.4 就是（5－1)个公差。
d =（12-3.6)÷(5-1)=8.4÷4=2.1ɑ2 =3.6+(2-1) ×2. 1=3.6+2.1=5.7答：第2项是5.7。
1. 有一个等差数列的第1项是2.4,第7项是26.4，求它的第5项。
课堂巩固练习：1. 学校举办运动会，共54 个人参加，每人都有参赛号码。
已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少4，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？2.糖果生产商为机器编号。
第三讲 数列中的其他几个问题一、等差和等比的判定等差数列和等比数列的判定基本方法有：定义法、通项法例1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1231,6,11a a a ===，且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+，1,2,3,n =…其中A 、B 为常数。
（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列。
解：（1）由已知得111S a ==，2127S a a =+=，212318S a a a =++= 由1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+得2132372122S S A B S S A B --=+⎧⎨-=+⎩ 即28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩ 即208A B =-⎧⎨=-⎩（2）由（1）得1(58)(52)208n n n S n S n +--+=-- ① 所以21(53)(57)2028n n n S n S n ++--+=-- ②② – ①得21(53)(101)(52)20n n n n S n S n S ++---++=- ③ ∴321(52)(109)(57)20n n n n S n S n S ++++-+++=- ④④ – ③得321(52)(156)(156)(52)0n n n n n S n S n S n S ++++-+++-+= ∴321(52)(104)(52)0n n n n a n a n a ++++-+++= 因为520n +≠ ∴32120n n n a a a +++-+= 即3221(1)n n n n a a a a n ++++-=-≥ 又32215a a a a -=-=所以，数列{}n a 是一个以1为首项公差为2的等差数列 证法二：111S a ==又1(58)(52)208n n n S n S +--+=-且580n -≠所以数列{}n S 是唯一确定的，由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 可知数列{}n a 也是唯一确定的设54n b n =-，则数列{}n b 为等差数列 前n 项和(53)2n n n T -=于是1(1)(52)(51)(58)(52)(58)(52)20822n n n n n n n T n T n n n +++---+=--+=--由唯一性得n n a b =，即数列{}n a 为等差数列例2．（1）已知数列{}n a ，其中23n n n C =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p 。
（2）设{}n a ，{}b a 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明：数列{}n a 不是等比数列。
解：（1）方法一：因为{}1n n c pc +-是等比数列，故有21211()()()n n n n n n c pc c pc c pc +++--=-- 即112221111[23(23)][23(23)][23(23)]n n n n n n n n n n n n p p p ++++++--+-+=+-++-+即21111[(2)2(3)][(2)2(3)2][(2)2(3)3]nn n n n n p p p p p p ++---+-=-+--+-整理得1(2)(3)2306n n p p --= 解得2p =或3p =方法二：∵{}1n n c pc +-为等比数列 ∴2322143()()()c pc c pc c pc -=--即3322224433(2323)(2323)(2323)p p p p p p +--=+--+-- 解得2p =或3p =当2p =时 11112322233233n n n nn nnn n c pc ++++-=+-∙-∙=-∙=显然{}1n n c pc +-是等比数列当3p =时 1112332332n n n n n n n c pc +++-=+-∙-∙=- 因此{}1n n c pc +-也是等比数列 故2p =或3p =（2）证明：设{}{},n n a b 的公比分别为,()p q p q ≠，n n n c a b =+，要证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++222222221311111111()()()c c a b a p b q a p b q a b p q =++=+++于是p q ≠，222p q pq +> 又11,a b 不为零因此2213c c c ≠故{}n c 不是等比数列例3．已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=，1243n n a a n +=+-，(1)(321)n n n b a n =--+，其中λ为实数，为正整数。
（1）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得对任意正数n ，都有12n S >-？若存在，求λ的取值范围，若不存在，说明理由。
二、n S 和n a 的关系问题 ∵12(*)n n S a a a n N =+++∈…∴11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩由n S 求n a 一定要注意分段考虑，然后综述。
如若2234n S n n =++，求n a例1．已知数列{}n a 满足11,0n a a =>，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有22(21)n n n S p a a =+-（p 为常数） （1）求p 和23,a a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式例2．设数列{}n a 满足21123333,*3n n na a a a n N -++++=∈… （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和。
例3．设数列12,,,,n a a a ……中的每一项都不为0，证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何的*n N ∈，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=…。
三、数列的单调性及其应用数列的单调性可由函数()n a f n =的单调性和1n n a a +> 1n n a a +<或11n n a a +> 11n naa +< 一般后者用得较多，数列的单调性研究之后，则可确定数列中最大项和最小项 例1．已知数列{}n a 的通项公式。
10(1)()(*)11n n a n n N =+∈，试问该数{}n a 有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数，若没有，说明理由。
例3．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，2n n n T S S =-（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求证：1n n T T +>；解：（1）121n n n a a a +=+ 得112n na a +=-∴11111n n n na a a a -+-=-=∴1111111n n n n a a a a +==+--- ∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列 ∴111(1)11n n n a a =+-=-- ∴11n a n -= 1n b n= （2）2111122n n n T S S n n n=-=+++++ (111111)022*******n n T T n n n n n +-=+-=->+++++∴1n n T T +> m i n 11()2n T T ==例2．若200710200810nn na -=-，则该数列{}n a 中最大项、最小项的情况是（ ） A ．最大项为1a ，最小项为10a B ．最大项为10a ，最小项为1a C ．最大项为6a ，最小项为5aD ．最大项为1a ，最小项为3a 四、递推方法在数列的应用题中，有时很难找到n a ，在这种情况下，我们就先找n a 和1n a -的关系例1．一堆苹果，第一个猴子来扔掉了其中1个，则恰好均分5份，它拿走其中1份，第2个猴子来从余下的苹果中扔掉1个，也恰好均分成5份，它也拿走1份，第3、4、6个猴子来都是如此情况和做法，问原来那堆苹果至少有多少个？最大还剩多少个？例2．对自然数k ，()g k 表示k 的最大奇因子[例如(3)3,(20)g g ==]，求(1)(2)(2ng g g+++…（其中n 是自然数）例3．用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，……依次类推，每一层都用去了前一层剩下的一半多一块，如果到第九曾恰好用完砖，那么共用去砖的块数为（ ）A ．1022B ．1024C ．1026D ．1028。
