数列中整数解问题

公务员考试行测数量关系部分的试题，考点比较多，试题有一定的难度，有的试题甚至会考查考生的计算能力，在今年的考试试题中，就涉及到了此类的考查，所以我们对一些基本的技巧一定有所掌握。

在今年，计算性的试题主要计算算式结果的整数部分，这个计算式可以是分数式子，也可以是一个乘积算式，当然了也可以是计算数列的和值，不过不论算式如何变化，在计算的时候，都可以通过找规律，然后估算、推理从而得到结果。

一般来说，解答此类问题主要有两个方法，一是放缩估算，分析出数值的取值范围，可以放缩乘数、除数或者被除数，求出乘积或者商值的范围，结合选项，得到正确答案；另一个就是在计算数列和值的时候，根据位数的数值的分析，得到试题的正确答案。

【注】在求有规律的数列的和值的时候，加数的百分位之前的数值的和值对结果的整数部分的大小有影响，在百分位之后数值是不起作用的。

********************************************** **************************************【真题示例1】已知，问X的整数部分是多少？A．182 B．186 C．194 D．196【答案】A【解析】本题考查的是计算能力。

这个算式的分母中2002、2003、 (2012)差不多，所以我们可以假设全部是2012，那么算式就应该小于2012/11=182……，结合选项来看，整数部分只能是182，故本题的正确答案为A选项。

【补充说明】在解答这类试题的时候一定要注意，这样的算式肯定不是让我们通分、化简来的，而是需要通过一定的放缩来估算出答案。

【真题示例2】31.719×1.2798的整数部分是（）。

A．37 B．38 C．39 D．40【答案】D【解析一】本题考查的是计算能力。

本题在计算的时候可以采用拆分的方法来解答。

由于 1.2798=1+0.25+0.03-0.0002，所以计算式可以化为31.719×（1+0.25+0.03-0.0002）=31.719+31.719/4+31.719×0.03-31.719×0.0002≈31.719+7.93+0.75=39.65+0.75=40.3，故其整数部分为40，故本题的正确答案为D选项。

2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练【题型归纳】等差数列、等比数列的基本运算题组一 等差数列基本量的计算例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】D【解析】解法一：由题知()21(1)21n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。

题组二 等比数列基本量的计算例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即4220q q --=，解得q 2=2，∴4624a a q ==.【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．等差数列、等比数列的判定与证明题组一 等差数列的判定与证明例1设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n =−n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值． 【答案】(1)见解析；(2) 当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2S n =a 2n ＋a n ，且a n >0， 当n =1时，2a 1=a 21＋a 1，解得a 1=1； 当n ≥2时，有2S n −1=a 2n －1＋a n −1，所以2a n =2S n −2S n −1=a 2n −a 2n －1＋a n −a n −1，所以a 2n −a 2n －1=a n ＋a n −1，即(a n ＋a n −1)(a n −a n −1)=a n ＋a n −1，因为a n ＋a n −1>0， 所以a n −a n −1=1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知a n =n ，设c n =a n ·b n ，则c n =n (−n ＋5)=−n 2＋5n =−⎝⎛⎭⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.【易错点】S n 是a 2n 和a n 的等差中项，无法构建一个等式去求解出a n 。

数论题的解题诀窍数论题是数学中的一个分支，研究整数之间的性质和关系。

解题的诀窍包括找规律、分类讨论、数形结合等方法。

下面将详细介绍这些解题的技巧，并以实例加以说明。

一、找规律是解决数论题的常用方法之一。

数论题通常需要找到或证明一种性质或关系。

这时我们可以从一些特殊情况入手，观察数列或方程中数值的变化规律，尝试找到规律并进行归纳。

举例说明：求证任意一个整数的平方必为偶数。

我们考察一些数字的平方和奇偶性：1^2=1，是奇数；2^2=4，是偶数；3^2=9，是奇数；4^2=16，是偶数；...我们发现，无论正整数n取多大，n^2的结果都是偶数。

所以可以得出结论：任意一个整数的平方都是偶数。

二、分类讨论是解决数论题的常用方法之一。

当数论题目中的数字或问题具有多种情况时，我们可以按照特定的规则进行分类讨论，从而找到问题的解决之道。

举例说明：有一袋中有100个球，其中有红球、蓝球和绿球，红球与蓝球的数量相等，绿球的数量是红球和蓝球的数量之和的一半。

问红球、蓝球和绿球分别的数量是多少？解析：设红球的数量为x，蓝球的数量为y，则绿球的数量为(x+y)/2。

根据题目条件可以列出方程组：x + y + (x + y)/2 = 100。

化简得到：3x + 3y = 200，即x+y = 200/3。

由于x和y都是整数，所以200/3必须是整数。

假设x和y都小于200/3，那么它们的和不可能等于200/3，所以x和y必然大于等于200/3。

但是，200/3在整数范围内最近的整数是67，所以x和y的和必然小于等于最大为67，因此只有一种情况。

分类讨论可用于解决类似的数论题目，当题目中数字或情况有多种组合时，我们可以采用这种方法。

三、数形结合是解决数论题的另一种方法。

有些数论问题可以通过数学模型的图形推理或与几何问题的联系相结合来解决。

举例说明：在一个等边三角形的顶点上依次标上1,2,…,100这一百个整数，要求将顶点上的整数分别用两个颜色红和蓝进行染色，使得对于每一个等边三角形的三个顶点，如果存在一个定的整数n，且其三个顶点的整数之和为n的话，则这三个顶点必须用同样的颜色染色。

给出一个包含n个整数的数列,问整数a在数列中的第一次出现是第几个。

在解决此类问题时，我们可以先给出一个计算题的背景；
我们给出的是一个包含n个整数的数列，数列中的每个数字都有一个编号，比如说1号，
2号，3号，......，n号。

那么我们要求的是，数列中整数a在数列中的第一次出现是第几
个数字？
为了解决这个问题，我们需要首先仔细分析问题，对题目中给出的条件及要求是否有足够
的准确性，以便我们清晰地了解题目type和条件，以便明确问题的解决方法。

从上面的分析，我们可以得出结论：此题是一个查找的问题，我们要在给定的n个整数中，找出我们要求的a项，即要求整数a在数列中的第一次出现是第几个数字。

对于此问题，解决的最常见的方法就是采用循环遍历的方法，即我们从数列中的第一个元
素开始遍历，一一比较，直到找到我们要求的a项，这时就可以知道其第一次出现是第几
个元素。

从上述方法可知，解决此类问题，不仅要清晰地分析问题，而且还要采用正确的方法，才
能得到准确的答案。

因此，通过仔细分析问题，使用正确的方法，我们就可以找到数列中
整数a在数列中的第一次出现是第几个数字。

专题06整式中规律探索的三种考法类型一、单项式规律性问题例．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从数1这点开始跳，第1次跳到数3那个点，如此，则经2015次跳后它停的点所对应的数为（）A．5B．3C．2D．1【答案】C【分析】先根据题意，求出前几次跳到的点的位置，发现这是一个循环，按照3、5、2、1成一个循环，再用解循环问题的方法求解．【详解】解：按照题意，第一次在1这个点，下一次就跳到3，再下一次跳到5，再下一次跳到2，2是偶数了，就逆时针跳一个点，又回到了1这个点，发现这是一个循环，3、5、2、1是一个循环，÷ ，20154=5033∴最后到2这个点．故选：C．【点睛】本题考查找规律，解题的关键是通过前几个数发现这是一个循环问题，利用解循环问题的方法求解．【变式训练1】按上面数表的规律．得下面的三角形数表：【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．类型三、图形类规律探索例.根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（）根．A．8080B．6066C．6061D．6060【答案】C【分析】通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．【详解】解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；故选C．【点睛】本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．【变式训练1】下列每一个图形都是由一些同样大小的三角形按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中有5个小三角形，第②个图形中有10个小三角形，第③个图形中有16个小三角形，按此规律，则第⑨个图中小三角形的个数是（）A．69B．73C．77D．83【答案】B【分析】根据已知图形得出第⑨个图形中三角形的个数的特点，据此可得答案．【详解】解：∵第①个图形中三角形的个数5=1+2×（1-1），第②个图形中三角形的个数10=5+2×1+3，第③个图形中三角形的个数16=5+2×2+3+4，第④个图形中三角形的个数23=5+2×3+3+4+5，第⑤个图形中三角形的个数31=5+2×4+3+4+5+6，……【答案】57【分析】根据每个图形增加三角形的个数，找到规律即可．【详解】解：第1个图形中一共有1个三角形，第2个图形中一共有1+4=5个三角形，第3个图形中一共有1+4+4=9个三角形，…，第n个图形中三角形的个数是1+4（n﹣1）=（4n﹣3）个，当n=15时，4n﹣3=4×15﹣3=57．故答案为：57．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题关键是通过图形数量的变化发现规律，并应用规律解决问题．课后训练20192020)a a -。

公差裂项解法对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。

如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。

而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。

通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。

下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。

例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。

算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。

1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）……98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。

与数列有关的不定方程的整数解问题初探一、引言数列是我们在数学学科中常见的概念，而不定方程则是我们在初等数论和高等代数中学习的一个重要概念。

在实际应用中，数列和不定方程经常出现在一起，这篇文章将重点探讨与数列有关的不定方程的整数解问题。

二、数列与不定方程数列是按一定规律排列的数，也可称为序列。

数列在数学中的基本概念是不同的，它们可能是线性、比例、等差、等比数列等各种类型，但无论哪种类型，数列都可以用递推公式进行表达。

而不定方程则是一种带有未知数的方程，它通常的形式是$f(x,y)=0$，其中 $x$ 和 $y$ 都是未知数，每个 $x$ 和 $y$ 的取值都可以使该方程成立。

不定方程的解通常被称为整数解（或非负整数解、正整数解等）。

三、与数列有关的不定方程的整数解问题在实际应用中，我们有时需要求解与数列有关的不定方程的整数解问题，例如下面这个经典问题：【问题】求解正整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2-b^2=100$。

我们可以通过枚举发现 $a=11$，$b=9$ 或者 $a=50$，$b=48$ 都是方程的解。

但这种方法并不是很高效，特别是当方程的解特别多时，我们很难通过枚举的方式来找到所有的解。

对于这种问题，我们可以采用分析的方法。

对于上面的问题，我们不妨设$a+b=p$，$a-b=q$，其中$p$ 和$q$ 都是正整数。

不难发现，由于 $a$ 和 $b$ 都是正整数，所以 $p$ 和 $q$ 都大于 $1$。

将上面的式子代入原方程得：$$(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2=100$$这是一个关于 $p$ 和 $q$ 的不定方程，我们可以将它化简为：$$pq=50$$这时，我们可以列举 $50$ 的各个因数来确定 $p$ 和 $q$ 的值，从而得到 $a$ 和 $b$ 的值。

例如，当 $p=25$，$q=2$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=13,b=\frac{p-q}{2}=12$$当 $p=10$，$q=5$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=7,b=\frac{p-q}{2}=3$$通过这种方法，我们可以找到所有的解，而不必进行枚举。

数列极限定义中的任意正数的理解在数学中，数列极限是一个重要的概念，它描述了数列中的数随着项数的增加逐渐趋近于某个确定的值。

在数列极限定义中，我们要求这个确定的值为任意正数。

那么，数列极限到底是如何定义的呢？数列极限的定义是这样的：对于任意正数ε（读作epsilon），存在一个正整数N，使得当n大于N时，数列的第n项与极限之间的差的绝对值小于ε。

换句话说，无论我们选择多小的正数ε，总存在一个项数N，使得从第N项开始，数列的每一项都与极限之间的差的绝对值都小于ε。

这个定义可能有些抽象，我们可以通过一些具体的数列来理解。

例如，考虑数列an = 1/n，其中n是正整数。

我们可以发现，随着n 的增大，an的值逐渐趋近于0。

根据数列极限的定义，我们可以选择任意小的正数ε，然后找到一个项数N，使得当n大于N时，an 与0的差的绝对值小于ε。

这个例子中，我们可以选择ε=0.001，然后找到N=1000，当n大于1000时，an与0的差的绝对值小于0.001。

也就是说，从第1001项开始，an的值都在0.001的范围内。

数列极限的定义可以用来判断数列是否收敛，即数列是否存在极限。

如果一个数列存在极限，我们称其为收敛数列；如果一个数列不存在极限，我们称其为发散数列。

根据数列极限的定义，如果对于任意正数ε，存在一个项数N，使得从第N项开始，数列的每一项都与极限之间的差的绝对值小于ε，那么这个数列就是收敛数列；如果存在一个正数ε，无论我们选择多小的项数N，总存在一个项数n 大于N，使得数列的第n项与极限之间的差的绝对值大于ε，那么这个数列就是发散数列。

例如，数列bn = (-1)^n，其中n是正整数。

这个数列的项交替取正负值，没有固定的趋势。

我们可以发现，无论我们选择多小的正数ε，总能找到一个项数N，使得从第N项开始，数列的每一项与极限之间的差的绝对值大于ε。

因此，这个数列是一个发散数列。

数列极限的定义也可以用来证明数列的极限。

数列中的整数解问题
张鸿星;杨美红
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2017(000)007
【总页数】2页(P11-12)
【作者】张鸿星;杨美红
【作者单位】山东省寿光中学;山东省寿光中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.解题教学,如何把知识转化为能力——以《数列中的整数解问题》一课为例 [J], 王思俭
2.例谈数列中的不定方程的整数解问题 [J], 冯万林
3.微专题"数列中的不定方程整数解问题求解策略"的教学与反思 [J], 毛东良
4.高三二轮"微专题"复习课的设计与思考
——以"数列与不定方程整数解问题"的教学为例 [J], 周星月
5.揭开“不定”方程的面纱——对数列中不定方程整数解问题的探究与反思 [J], 蔡莹
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