小学四年级奥数 整数与数列(二)

整数与数列(二)【例1】(★★★) 【例2】(★★★)(22＋42＋62＋…＋1002)－(12＋32＋52＋…＋992) 学学把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出5棵树苗；后来又运来18棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵，那么后来的方阵最外层每边有________棵树。

【例3】⑴(★★★) 【例4】(★★★★)利用“平方差公式”，我们还可以巧算下列各题，让我们来试试吧。

⑴98×102 ⑵29×31计算：20132－2012×2014平方和公式：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷6【例3】⑵(★★★★) 12＋22＋32＋…＋n2＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n＝1＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋n＋n＋…＋n1【例5】(★★★)已知：12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)÷612＋22＋32＋…＋n2＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n＝1＋2＋2＋3＋3＋3＋…＋n＋n＋…＋n求：152＋162＋172＋…＋212【例6】(★★★★)＝(2n＋1)×(1＋2＋3＋…＋n)÷3 ＝(2n＋1)×n×(n＋1)÷2÷3＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 计算：22＋42＋62＋82＋…＋1002【大海点睛】一、本讲知识等差数列通项公式：末项＝首项＋(项数－1)×公差项数公式：项数＝末项－首项÷公差＋求和公式：和＝(首项＋末项)×项数÷2拓展：一个等差数列若有奇数项，则这个数列的和＝中间项×项数常见结论：1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n21＋2＋3＋…＋n＋…3＋2＋1＝n2常见公式平方差公式：a－b＝(a－b)×(a＋b)平方和公式：12＋22＋32＋…＋n2 ＝n(n＋1)(2n＋1)÷6 二、本讲经典例题整数与数列(一)：例2，例3，例6整数与数列(二)：例1，例3，例4，例6 重要新闻答疑交流QQ群：132277927温馨提示：申请时请提供登录时的用户名邮箱2。

第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。

例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。

由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。

等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要改变运算顺序，有时需通过裂项来多项求和．按照给定的法则进行定义新运算．较为复杂的整数四则运算问题．重要公式数列基本运算和=（首相+末项）×项数÷2，项数=（末项-首相）÷公差+1。

第N项=首相+（N-1）×公差例题1．如图1-1所示的表中有55个数，那么它们的和加多少才等于1994？图1-1[分析与解]显然这些数是从1到66，但是少了6的倍数6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66；所以这55个数的和为(1+2+3+4+5+6+7+8+…+63+64+65+66)－(6+12+18+24+30+…+54+60+66)＝(1+66)×66÷2－6×(1+2+3+4+ (11)＝2211－6×(1+11)×11÷2＝2211－396＝1815．所以，它们的和再加上1994－1815＝179后才等于1994．2．计算：(1+3+5+…+1989)－(2+4+6+…+1988)．[分析与解]1～1989是公差为2的等差数列，有(1989－1)÷2+1＝995项；2～1988是公差为2的等差数列，有(1988－2)÷2+1＝994项；所以(1+3+5+…+1989)＝(1+1989)×995÷2＝990025，(2+4+6+…+1988)＝(2+1988)×994÷2＝989030．所以原式＝990025－989030＝995．3．计算：1000+999—998—997+996+995—994—993+…+108+107－106－105+104+103－102－101．几个基本常用公式：1×1+2×2+…+n×n＝n×(n+1)×(2×n+1)÷6m2－n2＝(m－n)×(m+n)4．利用公式1×1+2×2+…+n×n＝n×(n+1)×(2×n+1)÷6，计算：15×15+16×16+…+21×21．[分析与解]有15×15+16×16+…+21×21＝(1×1+2×2+…+15×15+16×16+…+21×21)－(1×1+2×2+…+13×13+14×14)＝[21×(21+1)×(2×21+1)÷6]－[14×(14+1)×(2×14+1)÷6]＝3311－1015＝2296．5．求和：1×2+2×3+3×4+…+9×10．[分析与解]原式＝[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+9×10×3]÷3＝[1×2×3+2×3×(4－1)+3×4×(5－2)+…+9×10×(11－8)]÷3＝(1×2×3+2×3×4－1×2×3+3×4×5－2×3×4+…+9×10×11－8×9×10)÷3＝9×10×11÷3＝330．解法二：利用第4题的公式，1×1+2×2+…+n×n＝n×(n+1)×(2×n+1)÷6．1×2+2×3+3×4+…+9×10＝(1×1+2×2+3×3+4×4+...+9×9)+(1+2+3+4+ (9)＝9×(9+1)×(2×9+1)÷6+(1+9)×9÷2＝9×10×19÷6+45＝330．6．计算：20×20—19×19+18×18—17×17+…+2×2—1×1．[分析与解]有20×20－19×19＝(19+1)×20－19×19＝19×20+20－19×19＝19+20；18×18－17×17＝(17+1)×18－17×17＝17×18+18－17×17＝17+18；16×16－15×15＝(15+1)×16－15×15＝15×16+16－15×15＝15+16；…………2×2－1×1＝(1+1)×2－1×1＝1×2+2－1×1＝1+2；所以，原式＝19+20+17+18+15+16+…+1+2＝(1+20)×20÷2＝210．评注：实际上m2－n2＝(m－n)×(m+n)，特别的(n+1)2－n2＝(n+1)+n．整数的裂项：M×N=m1×m2×N, M×N=(m1+m2)×N=m1N+m2NM×N=(m1-m2)×N=m1N-m2N7．计算：3333×5555+6×4444×2222．[分析与解]原式＝1111×3×5×1111+6×4×1111×2×1111＝1111×1111×(3×5+6×4×2)＝1234321×63＝1234321×7×9＝8640247×(10－1)＝86402470－8640247＝77762223．8．计算：19931993×1993—19931992×1992—19931992．[分析与解]原式＝19931993×1993—(19931992×1992+19931992)＝19931993×1993－19931992×1993＝1993×(19931993－19931992)＝1993×1＝1993．9．两个十位数111111111l与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?[分析与解]111111111l×9999999999＝1111111111×(10000000000－1)＝11111111110000000000－1111111111＝11111111109999999999+1－1111111111＝11111111108888888888+1＝11111111108888888889，所以共有9+1＝10个数字是奇数．10．我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数．已知自然数1111155555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少?[分析与解]1111155555＝33333×33335，而33333+33335＝66668，即这两个奇数的和是66668．11．计算：l×l+2×l×2+3×l×2×3+4×1×2×3×4+5×1×2×3×4×5+6×1×2×3××4×5×6+7×1×2×3×4×5×6×7+8×1×2×3×4×5×6×7×8．[分析与解]原式＝2×1－1×1+3×1×2—1×1×2+4×1×2×3―1×2×3+5×1×2×3×4—1×2×3×4+6×1×2×3×4×5―1×2×3×4×5+7×1×2×3×4×5×6－1×2×3×4×5×6+8×1×2×3×4×5×6×7―1×2×3×4×5×6×7+9×1×2×3×4×5×6×7×8―1×2×3×4×5×6×7×8＝9×1×2×3×4×5×6×7×8―1×1＝3628801—1＝362879．12．在两个数之间写上一个，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如：135＝3，62＝0．试计算：(200049)9．[分析与解]2000÷49＝40……40，所以200049＝40，40÷9＝4……4，所以409＝4，即(200049)9＝4．13．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊．所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼．以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊；狼☆狼＝狼．这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一越时，它便被羊赶走而只剩下羊了．对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算．混合运算的法则是从左到右，括号内先算，运算结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)．[分析与解]羊△羊＝羊，羊△狼＝狼，狼△羊＝狼，狼△狼＝狼，或羊☆羊＝羊，羊☆狼＝羊，狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼．所以，羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)＝羊△羊☆羊△狼＝羊☆羊△＝羊△狼＝狼．数字问题：-----分类枚举法14．对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它的非零数字相乘，得到100个乘积(例如23，积为2×3＝6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1)．问：这100个乘积之和为多少?[分析与解]原式＝(1+2+3+……+8+9)+1+(1+2+3+……+8+9)+2+2×(1+2+3+……+8+9)+…+9+9×(1+2+3+……+9)+1＝45+45+45×45+1＝45×47+1＝2116．15．从1到1989这些自然数中的所有数字之和是多少?[分析与解]1～9的数字之和为1+2+3+…+9＝(1+9)×9÷2＝45；10～19的数字之和为1×10+(1+2+3+…+9)＝10+45＝55；20～29的数字之和为2×10+(1+2+3+…+9)＝20+45＝65；………………80～89的数字之和为8×10+(1+2+3+…+9)＝80+45＝125；90～99的数字之和为9×10+(1+2+3+…+9)＝90+45＝135；所以1～99的数字之和为45+55+65+…+125+135＝(45+135)×10÷2＝900；则100～199的数字之和为1×100+900＝1000；200～299的数字之和为2×100+900＝1100；300～399的数字之和为3×100+900＝1200；………………800～899的数字之和为8×100+900＝1700；900～999的数字之和为9×100+900＝1800；所以1～999的数字之和为900+1000+1100+1200+…+1700+1800＝(900+1800)×10÷2＝13500；于是1000～1999的数字之和为1×1000+13500＝14500；所以1～1999的数字之和为13500+14500＝28000；而1990～1999的数字之和为(1+9+9)×10+(0+1+2+3+…+9)＝190+45＝235；所以1～1989的数字之和为28000－235＝27765。

第五讲等差数列（二）解题方法某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

例题1小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数，即20、22、24、…、76、78。

要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。

解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有（20+78）×30÷2=1470（页）答：这本书共有1470页。

引申1、文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即3、4、5、6、…、21。

首项=3，末项=21，项数=（21-3）÷2+1=10。

所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)答：文丽在这些天中共学会了120个英语单词。

2、李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？答:（25+63）×20÷2=880（个）3、小李读一本短篇小说，她第一天读了20页这个等差数列共有多少项?答：这个等差数列共有29项。

例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

提示：根据图可以知道，这是一个以3为首项，以1为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。

解：求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。

项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:3+4+5+…+9+10=(3+10)×8÷2=13×8÷ 2=52(根)。

小学数学《整数与数列》练习题一、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ．二、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；②65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．模块一、等差数列基本概念及公式的应用【例 1】小朋友你会用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？【巩固】计算：⑴2469698100135959799++++++-++++++（）（）⑵13467910121366676970+++++++++++++；⑶1000999998997996995106105104103102101+-++-+++-++-．⑷616926993699946999956999996+++++【巩固】计算1231990 1990199019901990+++=______【巩固】⑴计算468103436++++++⑵以质数71做分母的最简真分数有123,,......,7171716970,;7171求这列数的和⑶计算：567891011 135791113 13131313131313 ++++++【例 2】把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【巩固】⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【巩固】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．【巩固】已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【例 3】 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？【巩固】 2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【例 4】 编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？【巩固】 小王和小高同时开始工作。

第十一讲整数数列计算在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识，如等差数列2, 5, 8, 11, 14, 17, ? ?在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3, 3称为公差.你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗?第m 项和第n 项相差m n个公差（m> n ）；项数公式：项数末项首项公差1;求和公式：和首项末项项数 2 ；项数为奇数时有：和中间项项数.在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想?事实上，“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作用.例题1匚的作用▼的作用羊族和狼族发生了一场惊天动地的大混战.战斗打得天昏地暗*同梭内部偶尔也会出现口和號杀-战场上，▲和▼这两种武器被广迂使用，它们的作用却不相同.战场的某个肃落里*有这样串争斗（顺序从左至右）.这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?计算：100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？练习1计算：100 99 98 97 96 95 L 2 1 .例题2计算：50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？练习2计算：95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1.除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为 6 5 .乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为65，读作“　6的5次方”.再举几个例子：10 10可以记为102，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10 可以记为103，读作“　10的3次方”或“　10的立方”；10 10 10 10可以记为104，读作“　10的4次方”.对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如a2 a a，b4 b b b b 等.已知平方差公式：a2b2a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）.可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”.例题3已知平方差公式：『b2 a b a b.计算：（1 ）66623342;（2）50 1 50 1 ；2 2 2 2 2 2(3) 20 19 18 17 16 152L 221 .「分析」对于202192我们可以写为20 192019 20 19，是不是整个算式中的数都可以这样转化呢？练习3计算：1 12 1 0292 8272 62 52423222 12.本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过?在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.例题4规定运算“　@”为：a@b a 1 b 2 .计算：6@ 5@3 .「分析」算式中涉及到两次“　@”运算，那么应该先算哪一个呢？练习4规定运算为：a b 2 a b，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .例题5计算:123456789L 97 98 99 .「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？例题6计算：100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 .「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？课堂内外平方和公式计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：122232L n2n n 1 2n 1 6平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.平方数列求和：2 2 2 21 2 3 L n 121 231 341L nn11=1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n其中，等差数列1 2 3 L n n n 1 2 ；...................................... ①剩下的部分 1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：3 1 2 1 2 4 0 1 23232341233 34 3 45 2 3 43nn1nn1 n2 n1nn1相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:3 1 2 2 3 34 L n n 1 = n n 1 n 2所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 ............ ........... ②②减①，得平方和公式：2 21 2 32L n 2=n n 1 n 2 3 n n 1 2=n n 1 n 2 3 1 2=n n 1 2n 4 6 3 6=n n 1 2n 1 6作业1. 计算：99 97 95 93 91 89 L 3 12. 计算：（1）552452；（2）632372．3. 计算：1002992982972962952L 22124. 规定运算“　?”为： a b a b+2 ．计算 5 4 25．计算：1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．第十一讲整数数列计算1.例题 1 答案：50 详解：原式共有50项，两个一组，共有25组，每一组都是2，所以这个算式的结果是25 2 50.2.例题 2 答案：518. 练习 2 答案：96 简答：原式(95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有48 个，所以共分了12 组，原式12 8 96 .9.练习 3原式(50 49 48 47) (4645 44 43) L(6 5 4 3) 2 1，3~50 共48个数，所以一共分了12 组，原式12 4 2 1 51 .例题 3答案：(1)332000；(2)2499；(3)210 详解：(1)原式(666 334)(666-334) 332000 ；(2)原式=502 12 2500 1 2499 ；(3)原式20 19 20 1918 17 18 17 L 2 12 120 19 18 17 L2 1 210.详解：3.4例题答案：284.详解：先算括号里面的：5@3 (5 1) (3 2) 6，5.6@(5@3) 6@6 (6例题5答案：1584 1) (6 2) 28 .详解：6.原式(1 2 3) (4 5 6) L(9798 99) 0 3 6L 96 (3 例题 6 答案：500096) 321584 .详解：原式=(100 9999 98) (98 97 97 96)(4 3 3 2) 2 199 2 97 2 L 3(99 1) 50 2 5000 .7.练习 1 答案：50简答：原式共有100 项，两个一组，共有50 组，每一组都是1，所以这个算式的结果是501 50 .答案：6612. 作业 2答案：1000 ；2600简答：（1）原式= 55 45 5545 100 101000 ；（2）原式=6337 6337100 26 2600 ．13.作业 3 答案：5050简答：平方差公式，原式=10099 9897 L321，和为5050．14.作业 4 答案：52简答：根据运算规定：4 2 42210，54 2 510 510 25215.作业 5 答案：135简答：三项为一组，共有10 组：原式= 1 2 3 4 5 67 89 L 28 29 3003 6L 27 可以看成首项为3，末项为27，公差为 3 的等差数列，和为3+27 9 2=135 ．简答：原式11 1011 109 8 9 11 109 8 L 21 6610. 练习4答案：10；6简答：（1）65 4 2 6 5 4 742 （2）65 462 5 466211. 作业1答案：50简答：原式= 99 97 95 93 L399 12150项，每两项为一组，共有7 4 10；6 6 6 ．1 ，从 1 至99，公差为2 的等差数列共有25 组，和= 2 25 50 ．。

第三讲、整数和数列※内容提要：复习等差数列求和，学会整数数列裂项的办法，熟悉一些裂项基本技巧，配对的思想。

下面两个公式是我们需要熟悉的：22()()a b a b a b -=+-，222(1)(21)126n n n n ++++⋅⋅⋅+=。

※参考书目：导引第一讲，课本一、二、三、四讲。

※重点例题：1. 2006－2005－2004＋2003＋2002－2001－2000＋…－4＋3＋2－1＝__________。

2. （2006＋2005＋…＋1005）－（1004＋1003＋…＋2＋1）＝_________。

3. 右边数表中所有数之和为___________。

4. 图中的第一行有6个数，第一列有5个数，其他位置的每个数等于它所在的行的第一个数与它所在列的第一个数的乘积（例如※=15⨯6=90）．求表中所有数之和为___________。

5. （1）（3，5）（7，9，11）……，那么第200个括号里面的数之和为________。

6. 计算222111220++⋅⋅⋅+＝________。

7. 计算1⨯2+2⨯3+3⨯4++ 9⨯10= 。

8. 已知公式23333]2)1([321÷+⨯=++++n n n 总是成立的，例如：3025]2)110(10[1032123333=÷+⨯=++++ ，那么计算333311531++++ 是 。

9. 计算1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+3⨯4⨯5++ 8⨯9⨯10= 。

10. 1至101所有自然数的所有数字之和等于________。

11. 将100，101，…，999这900个三位数的各位数字乘起来得到900个乘积，如：121得到1×2×1＝2，254得到2×5×4＝20，那么所有这些乘积的和是________。

※ 重点练习：（注：下面6个练习题为最近8年华校期末测验题）1. 计算：()()50493212129899100+++++⨯-+++++ ．2. 一个公差为7的等差数列，前三项的和是78，最后五项的和是1775，那么这个等差数列一共有多少项？3. 计算：1+2+4+5+7+8+……+100+101．4. 利用公式1⨯1+2⨯2++ n ⨯n =n ⨯(n +1)⨯(2n +1)÷6，计算：1⨯1+3⨯3++ 29⨯29．5. 计算：1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+……+(1+2+……+20) ．6. 计算：1⨯4+4⨯7+7⨯10+……+97⨯100．。

四年级奥数第2讲整数巧算同学们，在整数巧算中有很多计算方法需要掌握哦，下面我们一起来看需要掌握的知识吧！一、常用巧算方法四则混合运算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号内的.注意：加减同为第一级运算，乘除同为第二级运算.1.同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序。

【注意】每个数前面的运算符号是这个数的符号。

2.同级运算可以去（添）括号：加、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括号前面是“—”，去（添）括号后要变号。

乘、除法去（添）括号：括号前面是“×”，去（添）括号后不变号；括号前面是“÷”，去（添）括号后要变号。

3.在计算过程中，最常用的技巧之一是灵活熟练地运用运算律.运算律有：（1）加法交换律：a＋b=b＋a（2）加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)（3）乘法交换律：ab=ba（4）乘法结合律：(ab)c=a(bc)（5）乘法分配律：a(b＋c)=ab＋ac（反过来就是提取公因数）（6）减法（括号）的性质：a-b-c=a-(b＋c)（7）除法的性质：a÷(b×c)=a÷b÷c(a＋b)÷c=a÷c＋b÷c(a-b)÷c=a÷c-b÷c和不变的规律：如果一个加数增加另一个加数减少同一个数，它们的和不变.积不变的规律：如果一个因数扩大几倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变.商不变的规律：如果除数和被除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变.4.把整数拆分成几个数的和或差；把整数拆分成几个数的乘积。

常用技巧：凑整法、提公因数法二、整数巧算的题型题型一：同级运算-----带符号搬家例1计算这两道题（1）325+46-125+54（2）100÷9×81÷25训练巩固：计算（1）152—19—13+19+223—32（2）360÷39×78÷90题型二：同级运算------可以去（添）括号方法：加、减法去（添）括号：括号前面是“+”，去（添）括号后不变号；括号前面是“—”，去（添）括号后要变号。

四年级数列知识点总结归纳数列是数学中的重要概念，在四年级的学习中，我们学习了数列的基本概念以及一些常见的数列类型。

在本文中，我将对四年级数列的知识点进行总结归纳，帮助大家更好地理解和应用数列。

一、什么是数列数列是由一系列按照一定顺序排列的数字组成的集合。

数列中的每个数字称为数列的项，项之间的顺序是按照一定的规律排列的。

数列可以用一个通项公式或者递推关系式来表示。

二、等差数列等差数列是其中相邻两项之差保持恒定的数列。

如：1，3，5，7，9，11，...，其中相邻两项的差为2，恒定不变。

1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可以用以下公式表示：aₙ = a₁ + (n - 1) × d2. 等差数列的性质（1）等差数列的n项和公式等差数列的前n项和Sₙ可以用以下公式表示：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2（2）等差数列的中项对于等差数列，如果项数是奇数，那么中项为第（n+1）÷ 2项；如果项数是偶数，那么中间两项的平均值为中项。

三、等比数列等比数列是其中相邻两项之比保持恒定的数列。

如：2，4，8，16，32，64，...，其中相邻两项的比为2，恒定不变。

1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可以用以下公式表示：aₙ = a₁ × q^(n-1)2. 等比数列的性质（1）等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和Sₙ可以用以下公式表示：Sₙ = a₁ × (1 - q^n) ÷ (1 - q)（2）等比数列求和时的特殊情况当公比q等于1时，等比数列变为等差数列，求和公式为Sₙ = n ×a₁。

四、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其中每个项都是前两个项的和。

斐波那契数列从0和1开始，之后的每一项都是前两项的和。

如：0，1，1，2，3，5，8，13，...。

第1讲整数计算综合内容概述熟练运用已学的各种方法解决复杂的整数四则运算问题；学会利用加减抵消、分组计算方法处理各种数列的计算问题。

学会处理“定义新运算”的问题，初步体会用字母表示数。

典型问题兴趣篇1. 计算：(1) 121×32÷8; (2) 4×(250÷8) (3) 25×83×32×1252. 计算：(1) 56×22+56×33+56×44 (2) 222×33+889×66.3. 计算：(1) 37×47+36×53 (2) 123×76－124×75。

4. 计算：100－99+98－97+96－95+…+12－11+10.5. 计算：50+49－48－47+46+45－44－43+…－4－3+2+1.6. 计算：(1+3+5+7+…+199+201) －(2+4+6+8+…+198+200).7. 计算：1+2+3+4+…+48+49+50+49+48+…+4+3+2+1.8. 下面是一个叫做“七上八下”的数字游戏。

游戏规则是：对一个给定的数，按照由若干个7和8组成的口令进行一连串的变换。

口令“7”是指在这个数中插入一个数字，使得新生成的数尽量大；口令“8”是指将这个数中的一个数字去掉，也要使新生成的数尽量大。

例如：给出的数是1995，口令是“8→7，”在第一个口令“8”发出后变成995，在第二个口令“7”发出后变成9995。

如果给出数“6595”以及口令“8→7→8→7→8→8”，问：变换后依次得到的6个数的和是多少？9. 规定运算“∇”为：a∇b= (a+1) ×(b－1), 请计算：(1)8∇10; (2) 10∇8.10. 规定运算“☺”为：a☺b=a×b－(a+b), 请计算：(1) 5☺8; (2) 8☺5; (3) (6☺5)4; (4)6☺ (54)拓展篇1. 计算：(1)72×27×88÷(9×11×12); (2) 31×121－88×125÷(1000÷121).2. 计算：(1) 555×445－556×444; (2) 42×137－80÷15+58×138－70÷15.3. 计算：20092009×2009－20092008×2008－20092008.4. 计算：1+2－3+4+5－6+7+8－9+……+97+98－99.5. 计算：100×99－99×98－98×97－97×96－96×95－95×94+…+4×3－3×2－2×1.6. 在不大于1000的自然数中，A 为所有个位数字为8的数之和，B 为所有个位数字为3的数之和. A 与B 的差是多少？7. 求图1-1中所有数的和.8. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-，计算： 2222222220191817161521-+-+-++-9. 计算：951×949－52×48.10. 规定运算“Θ”为：a Θb=a+2b －2, 计算：(1) (8Θ7) Θ6;(2) 8Θ(7Θ6)11. 规定运算“”为：a b=(a+1) ×(b －2). 如果6 (5)=91, 那么方格内应该填入什么数？12. 规定：符号“∆”为选择两数中较大的数的运算，“∇”为选择两数中较小的数的运算，例如：3∆5=5，3∇5=3请计算：1∆2∆3∇4∆5∆6∇7∆…∇100.（运算的顺序是从左至右）超越篇1. 观察下面算式的规律：2000+1991－1988－1982+1976+1970－1964－1958+1952+1946－1940－1934+……一直这样写下去，那么最后4个自然数分别是哪4个？符号分别是加还是减？算式最终的结果为多少？2. 从1, 2, ……, 9, 10 中任意选取一个奇数和一个偶数，并将两数相乘，可以得到一个乘积，把所有这样的乘积全部加起来，总和是多少？3. 计算：1－3+6－10+15－21+28－ (4950)4. 已知平方差公式：22()()a b a b a b -=+⨯-, 计算： 222222222222100999897969594934321+--++--+++--5. a Θb 表示从a 开始依次增加的b 个连续自然数的和，例如：4Θ3=4+5+6=15, 5Θ4=5+6+7+8=26, 请计算：(1) 4Θ15 (2) 在算式（Θ7）Θ11=1056中，方框里的数应该是多少？6. 定义两种运算：a Ωb=a －b+1, a ∀b=a ×b+1, 用“Ω”、“∀”和括号填入下面的式子，使得等式成立（不能用别的计算符号）：7 3 4 5=27.现定义四种操作的规则如下：①“一分为二”：如果一个自然数是偶数，就把它除以2；如果是奇数，就先加上1， 然后除以2. 例如从16可以得到8，从27可以得到14.②“丢三落四”：如果一个自然数中包含数字 “3”或“4”，就将其划掉，例如从5304可以得到50，从408可以得到8. （不含数字3和4的自然数不能进行“丢三落四”操作） ③“七上八下”：如果一个自然数中包含数字“7”，就将所有“7”移到最左边；如果一个自然数中包含数字“8”，就将所有“8”移到最右边。